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Anwendungsorientierte Aufgaben 2

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Bei den Olympischen Sommerspielen 2008 in Peking legte der Jamaikaner Usain Bolt die $100$ Meter (m) in der damaligen Weltrekordzeit von fabelhaften $9,69$ Sekunden (s) zurück. Dabei begann Bolt bereits nach $80\,\text{m}$ zu jubeln und verringerte somit vorzeitig seine Geschwindigkeit.
Analysiert man seinen Lauf auf jeweils $10\,\text{m}$ langen Abschnitten, ergeben sich die folgenden Daten.
$d$0102030405060708090100
$t$01,852,873,784,655,506,327,147,968,799,69
$\overline{v}$5,419,8010,9911,4911,7612,1912,1912,1912,0511,11$-$
$d$$t$$\overline{v}$
005,41
101,859,80
202,8710,99
303,7811,49
404,6511,76
505,5012,19
606,3212,19
707,1412,19
807,9612,05
908,7911,11
1009,69$-$
Dabei sind:
  • $d$ die zurückgelegte Distanz in m
  • $t$ die Zeit in s
  • $\overline{v}$ die Durchschnittsgeschwindigkeit im jeweiligen $10$-m-Intervall in $\frac{\text{m}}{\text{s}}$.
Zum Beispiel ist $5,41\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ die Durchschnittsgeschwindigkeit $\overline{v}$ auf den ersten $10$ Metern.
2.1
 Wie lange benötigte Bolt für die letzten $50$ Meter des Laufs?
Kann ein Mensch mit einer höheren Geschwindigkeit als $40\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ rennen?
Welche Zeit hätte Bolt erreicht, wenn er in diesem Lauf die maximale Durchschnittsgeschwindigkeit aus der Tabelle bis zum Ende des Laufs beibehalten hätte?
(5P)
 Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
2.2
Die Funktion $v$ mit
$v(t)=0,0382\cdot t^{3}-0,8158\cdot t^{2}+5,4828\cdot t+0,4546$    $t\in[0;\;9,69]$
$v(t)=…$
modelliert die Momentangeschwindigkeit $v$ in $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ in Abhängigkeit von der Laufzeit $t$ in s.
2.2.1
Zu welchem Zeitpunkt war Bolt nach diesem Modell am schnellsten?
Wie groß war die entsprechende maximale Geschwindigkeit?
(3P)
 Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
2.2.2
Nenne jeweils zwei Argumente, die für beziehungsweise gegen die Eignung dieses Modells sprechen.
(4P)
 Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
2.2.3
 Formuliere für Bolts Lauf eine passende Frage, deren Antwort die Lösung der Gleichung
$\mathop{\displaystyle\int}\limits_{3}^{3+z}v(t)\;\mathrm dt=50$ für $z>0$ ist.
(3P)
 Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln

(15P)
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