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Vektorgeometrie

Aufgaben
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1
Gegeben sind die drei Punkte $A(2\mid1\mid1)$, $B(6\mid4\mid1)$ und $C(3\mid8\mid1)$.
1.1
Weise nach, dass das Dreieck $ABC$ in der Ebene
$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix}$ mit $s,t\in\mathbb{R}$ liegt.
Welche besondere Lage hat diese Ebene?
(3P)
Vektorgeometrie  Aufgabe ab 2017 in hilfsmittelfreiem Teil oder in Teil mit Hilfsmitteln
1.2
Untersuche, ob dieses Dreieck $ABC$ gleichschenklig und rechtwinklig ist.
(4P)
Vektorgeometrie  Aufgabe ab 2017 in hilfsmittelfreiem Teil oder in Teil mit Hilfsmitteln
1.3
Gib die Koordinaten eines Punktes $D$ an, sodass die Pyramide $ABCD$ ein Volumen von $125$ Volumeneinheiten hat.
(3P)
Vektorgeometrie  Aufgabe ab 2017 in hilfsmittelfreiem Teil oder in Teil mit Hilfsmitteln
1.4
Eine Gerade verläuft durch den Punkt $Q(7\mid6\mid5)$ in Richtung des Vektors $\begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}$.
Bestimme den Punkt, in dem diese Gerade die Ebene $E$ schneidet.
Begründe mit Hilfe einer Zeichnung, dass die Gerade im Innern des Dreiecks $ABC$ auf die Ebene trifft.
(3P)
Vektorgeometrie  Aufgabe ab 2017 in hilfsmittelfreiem Teil oder in Teil mit Hilfsmitteln

(15P)
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Aufgabe 1.1

$\blacktriangleright$ Zeige, dass das Dreieck in der Ebene liegt
Gegeben ist eine Ebene $E$ mit
$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix}$ mit $s,t\in\mathbb{R}$
und die Koordinaten eines Dreiecks.
Deine Aufgabe ist es, zu zeigen, dass das Dreieck in der Ebene liegt. Dazu genügt es eine Punktprobe durchzuführen und so zu zeigen, dass die Punkte A, B und C in der Ebene liegen.
Setze Ortsvektoren der Punkte A, B und C in die Ebenengleichung ein und löse mit Hilfe des solve–Befehls nach den Parametern $s$ und $t$ auf. Existieren solche Parameter, so liegt der Punkt in der Ebene.
$\blacktriangleright$ Besondere Lage der Ebene
Betrachte die Richtungsvektoren der Ebene $E$, überlege dir wie die $x_3$–Koordinaten der Punkte in der Ebene lauten und was das für die Lage der Ebene zu bedeuten hat.

Aufgabe 1.2

$\blacktriangleright$ Überprüfe, ob das Dreieck gleichschenklig ist
Du sollst überprüfen, ob das Dreieck ABC ein gleichschenkliges Dreieck ist. Dafür müssen zwei der Seiten des Dreiecks gleich lang sein.
Du kannst folgendermaßen vorgehen:
  1. Stelle die Verbindungsvektoren der Eckpunkte auf.
  2. Berechne die Länge der Strecken mit Hilfe des Betrags der zuvor aufgestellten Vektoren.
$\blacktriangleright$  Überprüfe, ob das Dreieck rechtwinklig ist
Damit das Dreieck ABC rechtwinklig ist, müssen zwei der Seiten einen rechten Winkel bilden. Dies ist der Fall, wenn zwei der Vektoren, die durch die Seiten aufgespannt werden, orthogonal zueinander liegen. Da das Dreieck gleichschenklig ist, muss der rechte Winkel im Punkt $B$ liegen. Berechne also das Skalarprodukt, wenn dieses Skalarprodukt $=0$ ist, sind die Vektoren orthogonal.

Aufgabe 1.3

$\blacktriangleright$ Punkt $\boldsymbol{D}$ bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du die Koordinaten des Punkts $D(d_1\mid d_2 \mid d_3)$ bestimmen, sodass die Pyramide ABCD ein Volumen von 125 VE hat.
Das Dreieck ABC ist die Grundfläche G der Pyramide. Das Volumen einer Pyramide berechnest du mit folgender Formel:
$V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h$
$V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h$
Wobei $h$ die Höhe der Pyramide darstellt.
Berechne zunächst die Fläche des Dreiecks ABC. Dann kennst du die Größe der Grundfläche und das Volumen, nun kannst du die Höhe $h$ der Pyramide berechnen.
Aus Aufgabenteil 1.1 ist dir bekannt, dass die Ebene, in der das Dreieck liegt, parallel zur $x_1$–$x_2$–Ebene verläuft und $x_3=1$ ist. Deshalb muss man also zu dieser $x_3$–Koordinate die Höhe addieren oder subtrahieren, um die $x_3$–Koordinate der Spitze zu erhalten. Überlege dir, welche Werte die Koordinaten $d_1$ und $d_2$ haben können.

Aufgabe 1.4

$\blacktriangleright$ Schnittpunkt bestimmen
Um den Schnittpunkt der Ebene $E$ mit der Geraden $g$ zu bestimmen, stelle zunächst die Geradengleichung auf und berechne den Schnittpunkt durch Gleichsetzen.
Du hast einen Punkt und die Richtung der Geraden gegeben. Verwende den Vektor $\overrightarrow{OQ}$ als Stützvektor und die Richtung als Richtungsvektor.
Setze nun die Gerade und die Ebene gleich und löse die Gleichung nach den Parametern $r,s$ und $t$ mit Hilfe des solve–Befehls deines CAS auf.
$\blacktriangleright$  Zeichnung
Zur Vereinfachung betrachten wir in der Skizze nur die $x_1$– und die $x_2$–Koordinaten in der Ebene $E$. Die $x_3$–Koordinate ist für alle Punkte der Ebene $x_3=1$ und auch der Punkt $P$ hat $x_3=1$, somit liegt er in der Ebene $E$ und es reicht die $x_1$– und die $x_2$–Koordinaten zu betrachten.
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Lösungen TI
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Aufgabe 1.1

$\blacktriangleright$ Zeige, dass das Dreieck in der Ebene liegt
Gegeben ist eine Ebene $E$ mit
$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix}$ mit $s,t\in\mathbb{R}$
und die Koordinaten eines Dreiecks.
Deine Aufgabe ist es, zu zeigen, dass das Dreieck in der Ebene liegt. Dazu genügt es eine Punktprobe durchzuführen und so zu zeigen, dass die Punkte A, B und C in der Ebene liegen.
Setze Ortsvektoren der Punkte A, B und C in die Ebenengleichung ein und löse mit Hilfe des solve –Befehls nach den Parametern $s$ und $t$ auf. Existieren solche Parameter, so liegt der Punkt in der Ebene.
$\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}6\\4\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}8\\3\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix}$
Der Ortsvektor $\overrightarrow{OA}$ entspricht gerade dem Stützvektor der Ebene, somit liegt der Punkt $A$ in der Ebene und eine Punktprobe wäre für $A$ nicht mehr notwendig.
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Die Punktproben liefern wahre Aussagen, das Dreieck liegt somit in der Ebene $E$.
$\blacktriangleright$ Besondere Lage der Ebene
Betrachtest du die Gleichung der Ebene $E$, so fällt auf, dass die $x_3$–Koordinate der beiden Richtungsvektoren Null ist. Das bedeutet, dass die Ebene parallel zur $x_1$–$x_2$–Ebene verläuft.

Aufgabe 1.2

$\blacktriangleright$ Überprüfe, ob das Dreieck gleichschenklig ist
Du sollst überprüfen, ob das Dreieck ABC ein gleichschenkliges Dreieck ist. Dafür müssen zwei der Seiten des Dreiecks gleich lang sein.
Du kannst folgendermaßen vorgehen:
  1. Stelle die Verbindungsvektoren der Eckpunkte auf.
  2. Berechne die Länge der Strecken mit Hilfe des Betrags der zuvor aufgestellten Vektoren.
1. Schritt: Vektoren aufstellen
Stelle die Vektoren, die die Seiten des Dreiecks darstellen auf:
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix}6\\4\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6-2\\4-1\\1-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix}3\\8\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\4\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3-6\\8-4\\1-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\8\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2-3\\1-8\\1-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\-7\\0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} …$
2. Schritt: Länge berechnen
Berechne nun die Längen der Seiten des Dreiecks mit Hilfe deines CAS.
Menü $\to$ 7: Matrix und Vektor $\to$ 7: Normen $\to$ 1: Norm
Menü $\to$ 7: Matrix und Vektor $\to$ 7: Normen $\to$ 1: Norm
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Die Strecke $AB$ und die Strecke $BC$ haben beide eine Länge von 5 LE. Das Dreieck ist somit gleichschenklig.
$\blacktriangleright$  Überprüfe, ob das Dreieck rechtwinklig ist
Damit das Dreieck ABC rechtwinklig ist, müssen zwei der Seiten einen rechten Winkel bilden. Dies ist der Fall, wenn zwei der Vektoren, die durch die Seiten aufgespannt werden, orthogonal zueinander liegen. Da das Dreieck gleichschenklig ist, muss der rechte Winkel im Punkt $B$ liegen. Berechne also das Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$, wenn dieses gleich Null ist, sind die Vektoren orthogonal.
$\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix} = 4\cdot (-3) + 3 \cdot 4 = 0$
$\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{BC} = …$
Alternativ kannst du für die Berechnung der Skalarprodukte den dotp –Befehl deines CAS verwenden.
Die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$ verlaufen orthogonal. Das Dreieck ist somit rechtwinklig.

Aufgabe 1.3

$\blacktriangleright$ Punkt $\boldsymbol{D}$ bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du die Koordinaten des Punkts $D(d_1\mid d_2 \mid d_3)$ bestimmen, sodass die Pyramide ABCD ein Volumen von 125 VE hat.
Das Dreieck ABC bildet die Grundfläche G der Pyramide. Das Volumen einer Pyramide berechnest du mit folgender Formel:
$V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h$
$V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h$
Wobei $h$ die Höhe der Pyramide darstellt.
Berechne zunächst die Fläche des Dreiecks ABC:
$\begin{array}[t]{rll} G&=&\dfrac{1}{2}\cdot \overline{AB} \cdot \overline{BC} \quad \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot 5 \cdot 5\\[5pt] &=&12,5 \text{ FE} \end{array}$
Du kennst also die Größe der Grundfläche und das Volumen, nun kannst du die Höhe $h$ der Pyramide berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \quad \scriptsize \mid\; \cdot 3\quad \mid\;\ :G\\[5pt] h&=&\dfrac{3\cdot V}{G}\\[5pt] &=&\dfrac{3\cdot 125}{12,5}\\[5pt] &=&30 \text{ LE} \end{array}$
Die Höhe beträgt $h=30$ LE. Aus Aufgabenteil 1.1 ist dir bekannt, dass die Ebene, in der das Dreieck liegt, parallel zur $x_1$–$x_2$–Ebene verläuft und $x_3=1$ ist. Deshalb muss du also zu dieser $x_3$–Koordinate 30 addieren oder subtrahieren, um die $x_3$–Koordinate der Spitze zu erhalten. Für $d_3$ erhältst du zwei mögliche Werte $d_3=31$ oder $d_3 = -29$. Die Koordinaten $d_1$ und $d_2$ kannst du frei wählen.
Der Punkt $D$ kann beispielsweise $D(6 \mid 4\mid 31)$ lauten.

Aufgabe 1.4

$\blacktriangleright$ Schnittpunkt bestimmen
Um den Schnittpunkt der Ebene $E$ mit der Geraden $g$ zu bestimmen, stelle zunächst die Geradengleichung auf und berechne den Schnittpunkt durch Gleichsetzen .
Du hast einen Punkt und die Richtung der Geraden gegeben. Verwende den Vektor $\overrightarrow{OQ}$ als Stützvektor und den gegebenen Vektor als Richtungsvektor. Die Gerade hat dann folgende Gleichung:
$g: \vec{x} = \begin{pmatrix}7\\6\\5\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}$
Löse nun die Gleichung nach den Parametern $r,s$ und $t$ mit Hilfe des solve –Befehls deines CAS auf.
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}7\\6\\5\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{pmatrix}7\\6\\5\end{pmatrix} + r …$
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Jetzt kannst du den Wert für den Parameter $r$ in die Geradengleichung einsetzen, um die Koordinaten des Schnittpunkts $P$ zu berechnen.
$ \begin{pmatrix}7\\6\\5\end{pmatrix} + (-1) \begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\4\\1\end{pmatrix}$
Die Gerade $g$ schneidet die Ebene $E$ im Punkt $P(4\mid 4\mid 1)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnung
Zur Vereinfachung betrachten wir in der Skizze nur die $x_1$– und die $x_2$–Koordinaten in der Ebene $E$. Die $x_3$–Koordinate ist für alle Punkte der Ebene $x_3=1$ und auch der Punkt $P$ hat $x_3=1$, somit liegt er in der Ebene $E$ und es reicht die $x_1$– und die $x_2$–Koordinaten zu betrachten.
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Aus der Zeichnung erkennst du, dass der Punkt $P$ innerhalb des Dreiecks liegt, somit schneidet die Gerade $g$ die Ebene $E$ innerhalb des Dreiecks.
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Aufgabe 1.1

$\blacktriangleright$ Zeige, dass das Dreieck in der Ebene liegt
Gegeben ist eine Ebene $E$ mit
$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix}$ mit $s,t\in\mathbb{R}$
und die Koordinaten eines Dreiecks.
Deine Aufgabe ist es, zu zeigen, dass das Dreieck in der Ebene liegt. Dazu genügt es eine Punktprobe durchzuführen und so zu zeigen, dass die Punkte A, B und C in der Ebene liegen.
Setze Ortsvektoren der Punkte A, B und C in die Ebenengleichung ein und löse mit Hilfe des solve –Befehls nach den Parametern $s$ und $t$ auf. Existieren solche Parameter, so liegt der Punkt in der Ebene.
$\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}6\\4\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}8\\3\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix}$
Der Ortsvektor $\overrightarrow{OA}$ entspricht gerade dem Stützvektor der Ebene, somit liegt der Punkt $A$ in der Ebene und eine Punktprobe wäre für $A$ nicht mehr notwendig.
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Die Punktproben liefern wahre Aussagen, das Dreieck liegt somit in der Ebene $E$.
$\blacktriangleright$ Besondere Lage der Ebene
Betrachtest du die Gleichung der Ebene $E$, so fällt auf, dass die $x_3$–Koordinate der beiden Richtungsvektoren Null ist. Das bedeutet, dass die Ebene parallel zur $x_1$–$x_2$–Ebene verläuft.

Aufgabe 1.2

$\blacktriangleright$ Überprüfe, ob das Dreieck gleichschenklig ist
Du sollst überprüfen, ob das Dreieck ABC ein gleichschenkliges Dreieck ist. Dafür müssen zwei der Seiten des Dreiecks gleich lang sein.
Du kannst folgendermaßen vorgehen:
  1. Stelle die Verbindungsvektoren der Eckpunkte auf.
  2. Berechne die Länge der Strecken mit Hilfe des Betrags der zuvor aufgestellten Vektoren.
1. Schritt: Vektoren aufstellen
Stelle die Vektoren, die die Seiten des Dreiecks darstellen auf:
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix}6\\4\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6-2\\4-1\\1-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix}3\\8\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\4\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3-6\\8-4\\1-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\8\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2-3\\1-8\\1-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\-7\\0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AB} =…$
2. Schritt: Länge berechnen
Berechne nun die Längen der Seiten des Dreiecks mit Hilfe deines CAS.
Interaktiv $\to$ Matrix $\to$ Berechnungen $\to$ Norm
Interaktiv $\to$ Matrix $\to$ Berechnungen $\to$ Norm
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Die Strecke $AB$ und die Strecke $BC$ haben beide eine Länge von 5 LE. Das Dreieck ist somit gleichschenklig.
$\blacktriangleright$  Überprüfe, ob das Dreieck rechtwinklig ist
Damit das Dreieck ABC rechtwinklig ist, müssen zwei der Seiten einen rechten Winkel bilden. Dies ist der Fall, wenn zwei der Vektoren, die durch die Seiten aufgespannt werden, orthogonal zueinander liegen. Da das Dreieck gleichschenklig ist, muss der rechte Winkel im Punkt $B$ liegen. Berechne also das Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$, wenn dieses gleich Null ist, sind die Vektoren orthogonal.
$\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix} = 4\cdot (-3) + 3 \cdot 4 = 0$
$\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{BC} = …$
Die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$ verlaufen orthogonal. Das Dreieck ist somit rechtwinklig.

Aufgabe 1.3

$\blacktriangleright$ Punkt $\boldsymbol{D}$ bestimmen
In diesem Aufgabenteil sollst du die Koordinaten des Punkts $D(d_1\mid d_2 \mid d_3)$ bestimmen, sodass die Pyramide ABCD ein Volumen von 125 VE hat.
Das Dreieck ABC bildet die Grundfläche G der Pyramide. Das Volumen einer Pyramide berechnest du mit folgender Formel:
$V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h$
$V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h$
Wobei $h$ die Höhe der Pyramide darstellt.
Berechne zunächst die Fläche des Dreiecks ABC:
$\begin{array}[t]{rll} G&=&\dfrac{1}{2}\cdot \overline{AB} \cdot \overline{BC} \quad \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot 5 \cdot 5\\[5pt] &=&12,5 \text{ FE} \end{array}$
Du kennst also die Größe der Grundfläche und das Volumen, nun kannst du die Höhe $h$ der Pyramide berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \quad \scriptsize \mid\; \cdot 3\quad \mid\;\ :G\\[5pt] h&=&\dfrac{3\cdot V}{G}\\[5pt] &=&\dfrac{3\cdot 125}{12,5}\\[5pt] &=&30 \text{ LE} \end{array}$
Die Höhe beträgt $h=30$ LE. Aus Aufgabenteil 1.1 ist dir bekannt, dass die Ebene, in der das Dreieck liegt, parallel zur $x_1$–$x_2$–Ebene verläuft und $x_3=1$ ist. Deshalb muss du also zu dieser $x_3$–Koordinate 30 addieren oder subtrahieren, um die $x_3$–Koordinate der Spitze zu erhalten. Für $d_3$ erhältst du zwei mögliche Werte $d_3=31$ oder $d_3 = -29$. Die Koordinaten $d_1$ und $d_2$ kannst du frei wählen.
Der Punkt $D$ kann beispielsweise $D(6 \mid 4\mid 31)$ lauten.

Aufgabe 1.4

$\blacktriangleright$ Schnittpunkt bestimmen
Um den Schnittpunkt der Ebene $E$ mit der Geraden $g$ zu bestimmen, stelle zunächst die Geradengleichung auf und berechne den Schnittpunkt durch Gleichsetzen .
Du hast einen Punkt und die Richtung der Geraden gegeben. Verwende den Vektor $\overrightarrow{OQ}$ als Stützvektor und den gegebenen Vektor als Richtungsvektor. Die Gerade hat dann folgende Gleichung:
$g: \vec{x} = \begin{pmatrix}7\\6\\5\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}$
Löse nun die Gleichung nach den Parametern $r,s$ und $t$ mit Hilfe des solve –Befehls deines CAS auf.
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}7\\6\\5\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix} \end{array}$
$ \begin{pmatrix}7\\6\\5\end{pmatrix} + r … $
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Jetzt kannst du den Wert für den Parameter $r$ in die Geradengleichung einsetzen, um die Koordinaten des Schnittpunkts $P$ zu berechnen.
$ \begin{pmatrix}7\\6\\5\end{pmatrix} + (-1) \begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\4\\1\end{pmatrix}$
Die Gerade $g$ schneidet die Ebene $E$ im Punkt $P(4\mid 4\mid 1)$.
$\blacktriangleright$  Zeichnung
Zur Vereinfachung betrachten wir in der Skizze nur die $x_1$– und die $x_2$–Koordinaten in der Ebene $E$. Die $x_3$–Koordinate ist für alle Punkte der Ebene $x_3=1$ und auch der Punkt $P$ hat $x_3=1$, somit liegt er in der Ebene $E$ und es reicht die $x_1$– und die $x_2$–Koordinaten zu betrachten.
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Aus der Zeichnung erkennst du, dass der Punkt $P$ innerhalb des Dreiecks liegt, somit schneidet die Gerade $g$ die Ebene $E$ innerhalb des Dreiecks.
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