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Lineare Optimierung 2

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 Sämtliche Aufgaben entfallen ab 2017
2.1
Die Abbildung zeigt die Lösungsmenge einer Optimierungsaufgabe.
Stelle mittels linearer Ungleichungen geeignete Restriktionen auf.
(4P)
2.2
In einem Betrieb werden die Produkte $P_1$ und $P_2$ auf den Maschinen A, B und C gefertigt. Die Fertigungszeit pro Stück in Stunden und die maximalen Laufzeiten der Maschinen pro Woche in Stunden sind der nachfolgenden Tabelle zu entnehmen.
Fertigungszeit $P_1$ Fertigungszeit $P_2$ Max. Laufzeit
Maschine A 2 1 120
Maschine B 1 1 70
Maschine C 1 3 150
Fertigungszeit $P_1$
Maschine A 2
Maschine B 1
Maschine C 1
Der Reingewinn für $P_1$ beträgt $10$ Euro pro Stück, für $P_2$ $15$ Euro pro Stück.
2.2.1
Bestimme den maximalen Gewinn, wenn alle hergestellten Produkte verkauft werden.
Begründe, dass es nicht möglich ist, alle Maschinen voll auszulasten.
(7P)
2.2.2
Gibt es Produktionsmengen, bei welchen die Maschinen A und C gleiche Laufzeiten haben und die Maschine B vierzig Stunden weniger läuft als Maschine A?
(4P)

(15P)
2
Für jedes $a\in\mathbb{R}$ ist durch$\quad$ $f_{a}(x)=-\dfrac{1}{12}x^{4}+\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2a}x^{2};\quad x\in\mathbb{R}$,
eine Funktion $f_a$ bestimmt. $K_a$ ist das Schaubild von $f_a$.
Außerdem ist eine Kurve $C$ mit $y=\dfrac{5}{12}x^{4}$ mit $x\in\mathbb{R}$ gegeben.
2.1
Skizziere $K_{0,5}$ und $C$ in ein gemeinsames Koordinatensystem.
In welchem Punkt und unter welchem Winkel schneiden sich $K_{0,5}$ und $C$ rechts von der $y$-Achse?
(8P)
 Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
2.2
$K_a$ und $C$ schließen zwei Flächenstücke ein. Berechne den Inhalt der gesamten Fläche für $a=0,5$.
Für welches $a$ hat die gesamte Fläche den Inhalt 4?
(6P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
2.3
Die Gerade mit der Gleichung $x=u$ mit $0\leq u\leq\sqrt{\mathrm{e}}$ schneidet das Schaubild $K_{0,5}$ im Punkt $A$ und die Kurve $C$ im Punkt $B$.
Für welchen Wert von $u$ ist $AB$ am längsten?
(4P)
 Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
2.4
Begründe, dass sich die Wendetangenten von $K_a$ auf der $y$-Achse schneiden.
Überprüfe die Behauptung: „Es gibt ein $a$, für das sich die Wendetangenten von $K_a$ im Ursprung schneiden.“
(6P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
2.5
Zeige, dass die Wendepunkte aller Schaubilder $K_a$ auf $C$ liegen.
Prüfe, ob jeder Punkt von $C$ ein Wendepunkt eines Schaubildes $K_a$ ist.
(6P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
2.6
Für welches $a$ sind die Extrempunkte von $K_a$ Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks?
(7P)
 Aufgabe entfällt ab 2017
2.7
Die von $K_{0,5}$ und der $x$-Achse im ersten Quadranten eingeschlossene Fläche rotiert um die $x$-Achse. Berechne das Volumen des Rotationskörpers.
Dieser Rotationskörper wird aus einem Holzzylinder geschnitten. Dazu wird der Zylinder so eingespannt, dass seine Rotationsachse auf der $x$-Achse liegt. Untersuche, ob die Maße des Holzzylinders so gewählt werden können, dass nicht mehr als $50\,\%$ Abfall entstehen.
(8P)
 Aufgabe entfällt ab 2017

(45P)
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