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Lernbereich Abitur bis 2016 (GTR)
Abi 2016
Analysis
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Anwendungsorientierte...
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Wirtschaftliche Anwen...
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Abi 2011
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Analysis 1
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Lineare Optimierung 1
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Abi 2009
Analysis 1
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Vektorgeometrie 1
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Lineare Optimierung 1
Lineare Optimierung 2

Anwendungsorientierte Aufgaben 1

Aufgaben
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1.1
In einem Bootsverleih kann man sich Boote verschiedenen Typs ausleihen.
Die entsprechenden Preise sind in der nachfolgenden Tabelle aufgelistet.
BootstypPreis je Stunde
Motorboot$35\,€$
Elektroboot$25\,€$
Tretboot$10\,€$
1.1.1
An einem heißen Sommertag sind alle verfügbaren 48 Boote gleichzeitig ausgeliehen. Die Einnahmen nach einer Stunde betragen $980\,€$.
Die Anzahl der Tretboote ist doppelt so groß wie die Anzahl der Motorboote.
Wie viele Motor-, Elektro- und Tretboote besitzt der Bootsverleih jeweils?
(4P)
Anwendungsorientierte Aufgaben 1  Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
1.1.2
In den Abendstunden lässt der Besucherstrom nach.
In der letzten Stunde sind nur noch 25 Boote auf dem See, und die Einnahmen belaufen sich in dieser Stunde auf $525\,€$.
Wie viele Motorboote sind nun mindestens unterwegs?
(4P)
Anwendungsorientierte Aufgaben 1  Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
1.2
Ben leiht sich ein Motorboot aus und fährt bis zur gegenüberliegenden Insel.
Die Geschwindigkeit seines Motorbootes wird durch die Polynomfunktion $v$ mit
$v(t)=-0,003t^{4}+0,127t^{3}-1,758t^{2}+8,733t$;    $0\leq t\leq21$
$v(t)=…$
modelliert.
(Zeit $t$ in Minuten; Geschwindigkeit $v(t)$ in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$)
1.2.1
Zeichne und beschreibe den Geschwindigkeitsverlauf der Bootsfahrt.
(4P)
Anwendungsorientierte Aufgaben 1  Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
1.2.2
Welche Durchschnittsgeschwindigkeit hatte das Boot, und welche Strecke hat es während dieser 21-minütigen Fahrt zurückgelegt?
(3P)
Anwendungsorientierte Aufgaben 1  Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
(15P)
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Aufgabe 1.1.1

$\blacktriangleright$ Anzahl der Motor-, Elektro- und Tretboote berechnen
Ein Bootsverleih hat $48$ Boote. Sind alle Boote ausgeliehen, betragen die Einnahmen nach einer Stunde $980\,€$. Du sollst nun berechnen, wie viele Motor-, Elektro- und Tretboote der Bootsverleih besitzt.
Du hast folgende Informationen gegeben:
  • Ausleihgebühr für ein Motorboot: $35\,€$ pro Stunde
  • Ausleihgebühr für ein Elektroboot: $25\,€$ pro Stunde
  • Ausleihgebühr für ein Tretboot: $10\,€$ pro Stunde
  • Die Anzahl der Tretboote ist doppelt so groß wie die der Motorboote
Mit diesen Informationen kannst du zwei Gleichungen aufstellen und die Anzahl der jeweiligen Boote berechnen. Dafür führen wir für jeden Boottyp eine Variable ein:
  • Anzahl der Motorboote: $m$
  • Anzahl der Elektorboote: $e$
  • Anzahl der Tretboote: $t$
Da du weißt, dass es doppelt soviele Tretboote wie Motorboote gibt, kannst du die Variable $t$ in $m$ ausdrücken. Es gilt $t=2m$.
Addierst du die Anzahl der jeweiligen Boote zusammen erhältst du die Anzahl aller verfügbaren Boote. Diese beträgt $48$. Du erhältst folgende Gleichung (1):
$\begin{array}[t]{rlll} m+e+t&=&48 \\[5pt] m+e+2m&=&48\\[5pt] e+3m&=&48&\quad \scriptsize \text{Gl.(1)} \end{array}$
Die zweite Gleichung (2) erhältst du, indem du die Einnahmen pro Bootstyp addierst. Die Einnahmen für das Motorboot erhältst du indem du die Anzahl der Motorboote mit dem Stundenpreis multipizierst. Die gesamten Einnahmen in einer Stunde betragen $980\,€$.
$\begin{array}[t]{rlll} 35\,€\cdot m+25\,€\cdot e+10\,€\cdot t&=&980\,€\\[5pt] 35\,€\cdot m+25\,€\cdot e+2\cdot10\,€\cdot m&=&980\,€&\quad \scriptsize \text{Gl.(2)} \end{array}$
Du kannst das Gleichungssystem mit dem GTR lösen.

Aufgabe 1.1.2

$\blacktriangleright$ Mindestanzahl der Motorboote bestimmen
Bei dieser Teilaufgabe kannst du wie in Aufgabe 1.1.1 vorgehen. Nun sind jedoch nur noch $25$ Boote unterwegs. Die Einnahmen belaufen sich daher nur noch auf $525\;€$.

Aufgabe 1.2.1

$\blacktriangleright$ Geschwindigkeitsverlauf zeichnen
Der Geschwindigkeitsverlauf wird durch die Funktion $v$ beschrieben:
$\begin{array}[t]{rll} v(t)&=&-0,003t^4+0,127t^3-1,758t^2+8,733t \quad \scriptsize 0\leq t\leq21 \end{array}$
Den Graph dieser Funktion kannst du mit dem GTR zeichnen.
$\blacktriangleright$ Geschwindigkeitsverlauf beschreiben
Um den Geschwindigkeitsverlauf des Motorbootes zu beschreiben, überlegst du dir zunächst was die horizontale und die vertikale Achse darstellen.
Die $t$-Achse gibt die Zeit $t$ in Minuten an. Die $v(t)$-Achse gibt die Geschwindigkeit des Motorbootes in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ an.

Aufgabe 1.2.2

$\blacktriangleright$ Durchschnittsgeschwindigkeit $\boldsymbol{\overline{v}}$ und zurückgelegte Strecke $\boldsymbol{s}$ berechnen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Durchschnittsgeschwindigkeit $\overline{v}$ des Bootes berechnen. Diese berechnest du, indem du die zurückgelegte Strecke $s$ durch die benötigte Zeit $t$ dividierst. Es gilt also:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{v}&=& \dfrac{s}{t} \\ \end{array}$
Die Bootsfahrt dauert $21$ Minuten. Um die zurückgelegte Strecke zu berechnen, berechnest du das Integral der Funktion $v(t)$ über dem Bereich $0\leq t\leq21$. Diese Fläche entspricht der zurückgelegten Strecke. Das Integral kannst du mit dem GTR berechnen. Beachte dabei, dass die Geschwindigkeit $v$ in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ angegeben wird und die Zeit $t$ in Minuten.
Du kannst nun so vorgehen:
  1. Berechne die zurückgelegte Strecke $s$
  2. Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit $\overline{v}$
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Lösungen TI
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Aufgabe 1.1.1

$\blacktriangleright$ Anzahl der Motor-, Elektro- und Tretboote berechnen
Ein Bootsverleih hat $48$ Boote. Sind alle Boote ausgeliehen, betragen die Einnahmen nach einer Stunde $980\,€$. Du sollst nun berechnen, wie viele Motor-, Elektro- und Tretboote der Bootsverleih besitzt.
Du hast folgende Informationen gegeben:
  • Ausleihgebühr für ein Motorboot: $35\,€$ pro Stunde
  • Ausleihgebühr für ein Elektroboot: $25\,€$ pro Stunde
  • Ausleihgebühr für ein Tretboot: $10\,€$ pro Stunde
  • Die Anzahl der Tretboote ist doppelt so groß wie die der Motorboote
Mit diesen Informationen kannst du zwei Gleichungen aufstellen und die Anzahl der jeweiligen Boote berechnen. Dafür führen wir für jeden Boottyp eine Variable ein:
  • Anzahl der Motorboote: $m$
  • Anzahl der Elektorboote: $e$
  • Anzahl der Tretboote: $t$
Da du weißt, dass es doppelt soviele Tretboote wie Motorboote gibt, kannst du die Variable $t$ in $m$ ausdrücken. Es gilt $t=2m$.
Addierst du die Anzahl der jeweiligen Boote zusammen, erhältst du die Anzahl aller verfügbaren Boote. Diese beträgt $48$. Du erhältst folgende Gleichung (1):
$\begin{array}[t]{rlll} m+e+t&=&48 \\[5pt] m+e+2m&=&48\\[5pt] e+3m&=&48&\quad \scriptsize \text{Gl.(1)} \end{array}$
Die zweite Gleichung (2) erhältst du, indem du die Einnahmen pro Bootstyp addierst. Die Einnahmen für das Motorboot erhältst du, indem du die Anzahl der Motorboote mit dem Stundenpreis multipizierst. Die gesamten Einnahmen in einer Stunde betragen $980\,€$. Es gilt also:
$\begin{array}[t]{rlll} 35\,€\cdot m+25\,€\cdot e+10\,€\cdot t&=&980\,€\\[5pt] 35\,€\cdot m+25\,€\cdot e+2\cdot10\,€\cdot m&=&980\,€\\[5pt] 25\,€\cdot e+55\,€\cdot m&=&980\,€&\quad \scriptsize \text{Gl.(2)} \end{array}$
Insgesamt erhältst du dann das folgende lineare Gleichungssystem:
$\begin{array}[t]{rlll} e+3m&=&48&\quad \scriptsize \text{Gl.(1)} \\ 25\,€\cdot e+55\,€\cdot m&=&980\,€&\quad \scriptsize \text{Gl.(2)} \end{array}$
Du kannst das lineare Gleichungssystem mit dem GTR lösen. Definiere dir dazu zunächst eine Matrix mit den entsprechenden Einträgen:
MATRIX (2nd + $x^{-1}$) $\rightarrow$ EDIT $\rightarrow$ 1:$\left[ A \right]$
Betrachte noch einmal das Gleichungssystem. Für die Einträge in der Matrix benötigen wir jeweils die Faktoren vor den unbekannten Variablen. Wir benötigen also eine $2 \times 3$-Matrix und geben die Einträge wie in der folgenden Abbildung an:
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
In der ersten Spalte stehe jeweils die Faktoren von $e$, in der zweiten Spalte die von $m$. Verlasse anschließend diese Ansicht und kehre zum Hauptbildschirm zurück. Dort wählst du den folgenden Befehl zum Lösen des linearen Gleichungssystems aus:
MATRIX (2nd + $x^{-1}$) $\rightarrow$ MATH $\rightarrow$ B:rref(
Gib anschließend die Matrix an und bestätige mit Enter.
Der GTR gibt dir hier nun eine weitere Matrix aus. Wir können die Lösung wie folgt herauslesen: In der ersten Spalte stehen die Faktoren zur Variablen $e$, in der Ergebnismatrix steht dort in der ersten Zeile eine $1$. Das heißt, die zugehörige Zeile gibt die berechnete Anzahl von $e$ an. Folglich gibt es $e=15$ Elektrobotote.
Analog verfährst du mit der Variablen $m$: Diese befindet sich in der zweiten Spalte, das heißt, es gibt $m=11$ Motorboote.
Es gibt des Weiteren doppelt so viele Tretboote wie Motorboote. Also:
$\begin{array}[t]{rll} t&=&2m\\[5pt] t&=&2\cdot 11\\[5pt] t&=&22 \end{array}$
Der Bootsverleih besitzt $11$ Motorboote, $15$ Elektroboote und $22$ Tretboote.

Aufgabe 1.1.2

$\blacktriangleright$ Mindestanzahl der Motorboote bestimmen
Bei dieser Teilaufgabe kannst du wie in Aufgabe 1.1.1 vorgehen. Nun sind jedoch nur noch $25$ Boote unterwegs. Die Einnahmen belaufen sich daher nur noch auf $525\;€$.
Du erhältst also folgende zwei Gleichungen:
Gleichung (1):
$\begin{array}[t]{rlll} m+e+t&=&25 & \quad \scriptsize \text{Gl.(1)} \\ \end{array}$
Gleichung (2):
$\begin{array}[t]{rlll} 35\,€\cdot m+25\,€\cdot e+10\,€\cdot t&=&525\,€&\quad \scriptsize \text{Gl.(2)}\\ \end{array}$
Da hier nicht mehr gegeben ist, dass sich doppelt so viele Tretboote wie Motorboote auf dem See befinden, liegt hier ein unterbestimmtes Gleichungssystem vor. Da wir bestimmen wollen, wie viele Motorboote sich auf dem See befinden, können wir entweder $t$ oder $e$ als freie Variable wählen. (Wir wählen hierbei $t$.)
Wir stellen die beiden Gleichungen im Folgenden so um, dass $m$ und $e$ von $t$ abhängig sind und überprüfen anschließend mit allen weiteren Bedingungen, welche Werte für $m$ dadurch in Frage kommen können. Beachte, dass $m$ und $e$ ganzzahlig und nicht negativ sein müssen.
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}&m+e+t&=&25 & \scriptsize \mid\; -t\\[5pt] \text{II}&35\cdot m+25\cdot e+10\cdot t&=&525& \scriptsize \mid\; -10 \cdot t\\[5pt] \hline \text{Ia}&m+e&=&25 -t & \scriptsize \mid\; \cdot (-5)\\[5pt] \text{IIa}&35\cdot m+25\cdot e&=&525 - 10\cdot t& \scriptsize \mid\; :5\\[5pt] \hline \text{Ib}&-5 \cdot m-5 \cdot e&=&-125 +5 \cdot t & \scriptsize \mid\; + \text{IIb}\\[5pt] \text{IIb}&7\cdot m+5\cdot e&=&105 - 2\cdot t& \scriptsize \\[5pt] \hline \text{Ic}&2 \cdot m&=&-20 +3 \cdot t & \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] \text{IIb}&7\cdot m+5\cdot e&=&105 - 2\cdot t& \scriptsize \\[5pt] \hline \text{Id}&m&=&-10 +\frac{3}{2} \cdot t & \scriptsize \\[5pt] \text{IIb}&7\cdot m+5\cdot e&=&105 - 2\cdot t& \scriptsize \\ \end{array}$
Die Anzahl der Motorboote $m$ kann durch $m=-10 + \frac{3}{2}\cdot t$ dargestellt werden. Da $m$ zusätzlich nicht negativ sein soll, müssen wir die Werte für $t$ finden, für die $m \geq 0$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} m&\geq&0 & \scriptsize \\[5pt] -10 +\frac{3}{2} \cdot t&\geq&0 & \scriptsize \mid\; +10\\[5pt] \frac{3}{2} \cdot t&\geq&10 & \scriptsize \mid\; \cdot \frac{2}{3}\\[5pt] t&\geq&\frac{20}{3} & \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Du erhältst, dass $t \geq \frac{20}{3} \approx 6,67$ gelten muss. Da aber $t$ die Anzahl der Tretboote angibt und diese ebenfalls ganzzahlig sein muss, müssen wir für $t$ den nächst größeren ganzzahligen Wert wählen: $t\geq7$.
Jetzt können wir ganzzahlige Werte $t \geq 7$ für $m$ einsetzen, bis wir für $m$ ebenfalls einen ganzzahligen Wert erhalten:
  • $t=7: \quad m=-10 + \frac{3}{2} \cdot 7 = 0,5$
  • $t=8: \quad m=-10 + \frac{3}{2} \cdot 8 = 2$
Der erste ganzzahlige, nichtnegative Wert ist damit $2$. Wir müssen aber noch überprüfen, ob mit $t=8$ eventuell die Anzahl der Elektroboote überschritten wird, da es hier nur $15$ Stück gibt.
$e = 25-t-m =15$
Die Anzahl der Elektroboote passt also zum Bestand. Folglich sind mindestens $\boldsymbol{2}$ Motorboote unterwegs.

Aufgabe 1.2.1

$\blacktriangleright$ Geschwindigkeitsverlauf zeichnen
Der Geschwindigkeitsverlauf wird durch die Funktion $v$ beschrieben:
$\begin{array}[t]{rll} v(t)&=&-0,003t^4+0,127t^3-1,758t^2+8,733t \quad \scriptsize 0\leq t\leq21 \end{array}$
Den Graph dieser Funktion kannst du im Graph-Modus deines GTR im Bereich $0\leq t\leq21$ zeichnen lassen. Anschließend kannst du dir zur weiteren Hilfestellung die zugehörige Wertetabelle ansehen. Verwende dazu folgende Befehlsfolge:
TABLE (2ND + GRAPH)
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Dein Schaubild sollte dann ungefähr wie folgt aussehen:
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
$\blacktriangleright$ Geschwindigkeitsverlauf beschreiben
Um den Geschwindigkeitsverlauf des Motorbootes zu beschreiben, überlegst du dir zunächst, was die horizontale und die vertikale Achse abtragen.
Die horizontale Achse gibt die Zeit $t$ in Minuten an. Die vertikale Achse gibt die Geschwindigkeit $v(t)$ des Motorbootes in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ an.
An dem Graph erkennst du, dass das Boot zunächst auf ca. $14\;\frac{\text{km}}{\text{h}}$ beschleunigt. Anschließend wird das Boot wieder langsamer. Ungefähr nach der Hälfte der Zeit erreicht die Geschwindigkeit ein lokales Minimum. Dabei beträgt die Geschwindigkeit etwa $8\;\frac{\text{km}}{\text{h}}$. Dann wird das Boot wieder auf ca. $14\;\frac{\text{km}}{\text{h}}$ beschleunigt. Nach $18\;\text{min}$ nimmt die Geschwindigkeit wieder ab, bis das Boot nach $21$ Minuten zum Stillstand kommt.

Aufgabe 1.2.2

$\blacktriangleright$ Durchschnittsgeschwindigkeit $\boldsymbol{\overline{v}}$ und zurückgelegte Strecke $\boldsymbol{s}$ berechnen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Durchschnittsgeschwindigkeit $\overline{v}$ des Bootes berechnen. Diese berechnest du, indem du die zurückgelegte Strecke $s$ durch die benötigte Zeit $t$ dividierst. Es gilt also:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{v}&=& \dfrac{s}{t} \\ \end{array}$
Die Bootsfahrt dauert $21$ Minuten. Um die zurückgelegte Strecke zu berechnen, berechnest du das Integral der Funktion $v$ über dem Intervall $0\leq t\leq21$. Diese Fläche entspricht der zurückgelegten Strecke. Das Integral kannst du mit dem GTR berechnen. Beachte dabei, dass die Geschwindigkeit $v$ in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ angegeben wird und die Zeit $t$ in Minuten.
Du kannst nun so vorgehen:
  1. Berechne die zurückgelegte Strecke $s$
  2. Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit $\overline{v}$
1. Schritt: Zurückgelegte Strecke $\boldsymbol{s}$ berechnen
Da die Geschwindigkeit in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ und die Zeit in Minuten angegeben wird, musst du die Fläche durch $60$ teilen, um die Minuten in Stunden umzurechnen.
Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} s&=&\frac{1}{60}\displaystyle\int_{0}^{21} v(t)\;\mathrm dt\\ \end{array}$
Definiere nun zunächst die Funktion $v$ im GTR unter Y=. Anschließend kannst du im Hauptbildschirm mit dem folgenden Befehl das Integral berechnen:
MATH $\rightarrow$ 7: fnInt(
Gib an, dass die Funktion im Intervall $\left[0;21 \right]$ nach der Variablen $x$ integriert werden soll. Die entsprechende Funktion findest du unter
VARS $\rightarrow$ Y-VARS $\rightarrow$ 1: Function… $\rightarrow$ 1: Y1
Bestätigen mit Enter liefert dir das folgende Ergebnis:
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Die zurückgelegte Strecke beträgt etwa $3,72\;\text{km}$.
2. Schritt: Durchschnittsgeschwindigkeit $\boldsymbol{\overline{v}}$ berechnen
Nun dividierst du die zurückgelegte Strecke $s$ durch die benötigt Zeit $t$. Beachte auch hier wieder die Einheiten. Um die Durchschnittsgeschwindigkeit $\overline{v}$ in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ zu berechnen, musst du die Zeit noch von Minuten in Stunden umrechnen.
Die Bootsfahrt dauert $21$ Minuten. Dies entspricht demnach $t=\frac{21\;\text{min}}{60}=0,35\;\text{h}$. Nun kannst du die Werte in die Formel zur Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} \overline{v}&=& \dfrac{s}{t} \\[5pt] &=& \dfrac{3,72\;\text{km}}{0,35\;\text{h}} \\[5pt] &=&10,6\;\frac{\text{km}}{\text{h}} \end{array}$
Das Boot fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von ca. $10,6\;\frac{\text{km}}{\text{h}}$ und legt eine Strecke von $3,72\;\text{km}$ zurück.
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Aufgabe 1.1.1

$\blacktriangleright$ Anzahl der Motor-, Elektro- und Tretboote berechnen
Ein Bootsverleih hat $48$ Boote. Sind alle Boote ausgeliehen, betragen die Einnahmen nach einer Stunde $980\,€$. Du sollst nun berechnen, wie viele Motor-, Elektro- und Tretboote der Bootsverleih besitzt.
Du hast folgende Informationen gegeben:
  • Ausleihgebühr für ein Motorboot: $35\,€$ pro Stunde
  • Ausleihgebühr für ein Elektroboot: $25\,€$ pro Stunde
  • Ausleihgebühr für ein Tretboot: $10\,€$ pro Stunde
  • Die Anzahl der Tretboote ist doppelt so groß wie die der Motorboote
Mit diesen Informationen kannst du zwei Gleichungen aufstellen und die Anzahl der jeweiligen Boote berechnen. Dafür führen wir für jeden Boottyp eine Variable ein:
  • Anzahl der Motorboote: $m$
  • Anzahl der Elektorboote: $e$
  • Anzahl der Tretboote: $t$
Da du weißt, dass es doppelt soviele Tretboote wie Motorboote gibt, kannst du die Variable $t$ in $m$ ausdrücken. Es gilt $t=2m$.
Addierst du die Anzahl der jeweiligen Boote zusammen, erhältst du die Anzahl aller verfügbaren Boote. Diese beträgt $48$. Du erhältst folgende Gleichung (1):
$\begin{array}[t]{rlll} m+e+t&=&48 \\[5pt] m+e+2m&=&48\\[5pt] e+3m&=&48&\quad \scriptsize \text{Gl.(1)} \end{array}$
Die zweite Gleichung (2) erhältst du, indem du die Einnahmen pro Bootstyp addierst. Die Einnahmen für das Motorboot erhältst du, indem du die Anzahl der Motorboote mit dem Stundenpreis multipizierst. Die gesamten Einnahmen in einer Stunde betragen $980\,€$. Es gilt also:
$\begin{array}[t]{rlll} 35\,€\cdot m+25\,€\cdot e+10\,€\cdot t&=&980\,€\\[5pt] 35\,€\cdot m+25\,€\cdot e+2\cdot10\,€\cdot m&=&980\,€\\[5pt] 25\,€\cdot e+55\,€\cdot m&=&980\,€&\quad \scriptsize \text{Gl.(2)} \end{array}$
Insgesamt erhältst du dann das folgende lineare Gleichungssystem:
$\begin{array}[t]{rlll} e+3m&=&48&\quad \scriptsize \text{Gl.(1)} \\ 25\,€\cdot e+55\,€\cdot m&=&980\,€&\quad \scriptsize \text{Gl.(2)} \end{array}$
Du kannst das lineare Gleichungssystem mit dem GTR lösen. Wähle dazu den rref()-Befehl aus. Diesen findest du unter:
OPTN $\rightarrow$ F2: MAT $\rightarrow$ F6: $\blacktriangleright$ $\rightarrow$ F5: Rref
Betrachte noch einmal das Gleichungssystem. Für die Einträge in der Matrix benötigen wir jeweils die Faktoren vor den unbekannten Variablen. Eine Matrix kannst du unter
F4: MATH $\rightarrow$ F1: MAT $\rightarrow$ F3: $m \times n$
definieren. Wir benötigen hier eine $2 \times 3$-Matrix und geben die Einträge wie in der folgenden Abbildung an:
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
In der ersten Spalte stehe jeweils die Faktoren von $e$, in der zweiten Spalte die von $m$.
Der GTR gibt dir hier nun eine weitere Matrix aus. Wir können die Lösung wie folgt herauslesen: In der ersten Spalte stehen die Faktoren zur Variablen $e$, in der Ergebnismatrix steht dort in der ersten Zeile eine $1$. Das heißt, die zugehörige Zeile gibt die berechnete Anzahl von $e$ an. Folglich gibt es $e=15$ Elektrobotote.
Analog verfährst du mit der Variablen $m$: Diese befindet sich in der zweiten Spalte, das heißt, es gibt $m=11$ Motorboote.
Es gibt des Weiteren doppelt so viele Tretboote wie Motorboote. Also:
$\begin{array}[t]{rll} t&=&2m\\[5pt] t&=&2\cdot 11\\[5pt] t&=&22 \end{array}$
Der Bootsverleih besitzt $11$ Motorboote, $15$ Elektroboote und $22$ Tretboote.

Aufgabe 1.1.2

$\blacktriangleright$ Mindestanzahl der Motorboote bestimmen
Bei dieser Teilaufgabe kannst du wie in Aufgabe 1.1.1 vorgehen. Nun sind jedoch nur noch $25$ Boote unterwegs. Die Einnahmen belaufen sich daher nur noch auf $525\;€$.
Du erhältst also folgende zwei Gleichungen:
Gleichung (1):
$\begin{array}[t]{rlll} m+e+t&=&25 & \quad \scriptsize \text{Gl.(1)} \\ \end{array}$
Gleichung (2):
$\begin{array}[t]{rlll} 35\,€\cdot m+25\,€\cdot e+10\,€\cdot t&=&525\,€&\quad \scriptsize \text{Gl.(2)}\\ \end{array}$
Da hier nicht mehr gegeben ist, dass sich doppelt so viele Tretboote wie Motorboote auf dem See befinden, liegt hier ein unterbestimmtes Gleichungssystem vor. Da wir bestimmen wollen, wie viele Motorboote sich auf dem See befinden, können wir entweder $t$ oder $e$ als freie Variable wählen. (Wir wählen hierbei $t$.)
Wir stellen die beiden Gleichungen im Folgenden so um, dass $m$ und $e$ von $t$ abhängig sind und überprüfen anschließend mit allen weiteren Bedingungen, welche Werte für $m$ dadurch in Frage kommen können. Beachte, dass $m$ und $e$ ganzzahlig und nicht negativ sein müssen.
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}&m+e+t&=&25 & \scriptsize \mid\; -t\\[5pt] \text{II}&35\cdot m+25\cdot e+10\cdot t&=&525& \scriptsize \mid\; -10 \cdot t\\[5pt] \hline \text{Ia}&m+e&=&25 -t & \scriptsize \mid\; \cdot (-5)\\[5pt] \text{IIa}&35\cdot m+25\cdot e&=&525 - 10\cdot t& \scriptsize \mid\; :5\\[5pt] \hline \text{Ib}&-5 \cdot m-5 \cdot e&=&-125 +5 \cdot t & \scriptsize \mid\; + \text{IIb}\\[5pt] \text{IIb}&7\cdot m+5\cdot e&=&105 - 2\cdot t& \scriptsize \\[5pt] \hline \text{Ic}&2 \cdot m&=&-20 +3 \cdot t & \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] \text{IIb}&7\cdot m+5\cdot e&=&105 - 2\cdot t& \scriptsize \\[5pt] \hline \text{Id}&m&=&-10 +\frac{3}{2} \cdot t & \scriptsize \\[5pt] \text{IIb}&7\cdot m+5\cdot e&=&105 - 2\cdot t& \scriptsize \\ \end{array}$
Die Anzahl der Motorboote $m$ kann durch $m=-10 + \frac{3}{2}\cdot t$ dargestellt werden. Da $m$ zusätzlich nicht negativ sein soll, müssen wir die Werte für $t$ finden, für die $m \geq 0$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} m&\geq&0 & \scriptsize \\[5pt] -10 +\frac{3}{2} \cdot t&\geq&0 & \scriptsize \mid\; +10\\[5pt] \frac{3}{2} \cdot t&\geq&10 & \scriptsize \mid\; \cdot \frac{2}{3}\\[5pt] t&\geq&\frac{20}{3} & \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Du erhältst, dass $t \geq \frac{20}{3} \approx 6,67$ gelten muss. Da aber $t$ die Anzahl der Tretboote angibt und diese ebenfalls ganzzahlig sein muss, müssen wir für $t$ den nächst größere ganzzahligen Wert wählen: $t\geq7$.
Jetzt können wir ganzzahlige Werte $t \geq 7$ für $m$ einsetzen, bis wir für $m$ ebenfalls einen ganzzahligen Wert erhalten:
  • $t=7: \quad m=-10 + \frac{3}{2} \cdot 7 = 0,5$
  • $t=8: \quad m=-10 + \frac{3}{2} \cdot 8 = 2$
Der erste ganzzahlige, nichtnegative Wert ist damit $2$. Wir müssen aber noch überprüfen, ob mit $t=8$ eventuell die Anzahl der Elektroboote überschritten wird, da es hier nur $15$ Stück gibt.
$e = 25-t-m =15$
Die Anzahl der Elektroboote passt also zum Bestand. Folglich sind mindestens $\boldsymbol{2}$ Motorboote unterwegs.

Aufgabe 1.2.1

$\blacktriangleright$ Geschwindigkeitsverlauf zeichnen
Der Geschwindigkeitsverlauf wird durch die Funktion $v$ beschrieben:
$\begin{array}[t]{rll} v(t)&=&-0,003t^4+0,127t^3-1,758t^2+8,733t \quad \scriptsize 0\leq t\leq21 \end{array}$
Den Graph dieser Funktion kannst du im Graph-Modus deines GTR im Bereich $0\leq t\leq21$ zeichnen lassen. Anschließend kannst du dir zur weiteren Hilfestellung die zugehörige Wertetabelle ansehen. Dazu musst du jedoch in der TABLE-Modus wechseln und auswählen:
F6: TABL
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Dein Schaubild sollte dann ungefähr wie folgt aussehen:
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
$\blacktriangleright$ Geschwindigkeitsverlauf beschreiben
Um den Geschwindigkeitsverlauf des Motorbootes zu beschreiben, überlegst du dir zunächst, was die horizontale und die vertikale Achse abtragen.
Die horizontale Achse gibt die Zeit $t$ in Minuten an. Die vertikale Achse gibt die Geschwindigkeit $v(t)$ des Motorbootes in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ an.
An dem Graph erkennst du, dass das Boot zunächst auf ca. $14\;\frac{\text{km}}{\text{h}}$ beschleunigt. Anschließend wird das Boot wieder langsamer. Ungefähr nach der Hälfte der Zeit erreicht die Geschwindigkeit ein lokales Minimum. Dabei beträgt die Geschwindigkeit etwa $8\;\frac{\text{km}}{\text{h}}$. Dann wird das Boot wieder auf ca. $14\;\frac{\text{km}}{\text{h}}$ beschleunigt. Nach $18\;\text{min}$ nimmt die Geschwindigkeit wieder ab, bis das Boot nach $21$ Minuten zum Stillstand kommt.

Aufgabe 1.2.2

$\blacktriangleright$ Durchschnittsgeschwindigkeit $\boldsymbol{\overline{v}}$ und zurückgelegte Strecke $\boldsymbol{s}$ berechnen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Durchschnittsgeschwindigkeit $\overline{v}$ des Bootes berechnen. Diese berechnest du, indem du die zurückgelegte Strecke $s$ durch die benötigte Zeit $t$ dividierst. Es gilt also:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{v}&=& \dfrac{s}{t} \\ \end{array}$
Die Bootsfahrt dauert $21$ Minuten. Um die zurückgelegte Strecke zu ermitteln, berechnest du das Integral der Funktion $v$ über dem Intervall $0\leq t\leq21$. Diese Fläche entspricht der zurückgelegten Strecke. Das Integral kannst du mit dem GTR berechnen. Beachte dabei, dass die Geschwindigkeit $v$ in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ angegeben wird und die Zeit $t$ in Minuten.
Du kannst nun so vorgehen:
  1. Berechne die zurückgelegte Strecke $s$
  2. Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit $\overline{v}$
1. Schritt: Zurückgelegte Strecke $\boldsymbol{s}$ berechnen
Da die Geschwindigkeit in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ und die Zeit in Minuten angegeben wird, musst du die Fläche durch $60$ teilen, um die Minuten in Stunden umzurechnen.
Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} s&=&\frac{1}{60}\displaystyle\int_{0}^{21} v(t)\;\mathrm dt\\ \end{array}$
Definiere nun zunächst die Funktion $v$ im GTR im GRAPH-Modus. Anschließend kannst du im Hauptbildschirm mit dem folgenden Befehl das Integral berechnen:
F4: MATH $\rightarrow$ F6: $\blacktriangleright$ $\rightarrow$ F1: $\int$ dx
Gib an, dass die Funktion im Intervall $\left[0;21 \right]$ nach der Variablen $x$ integriert werden soll. Die entsprechende Funktion findest du unter
VARS $\rightarrow$ F4: GRPH $\rightarrow$ F1: Y
Bestätigen mit EXE liefert dir das folgende Ergebnis:
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Anwendungsorientierte Aufgaben 1
Die zurückgelegte Strecke beträgt etwa $3,72\;\text{km}$.
2. Schritt: Durchschnittsgeschwindigkeit $\boldsymbol{\overline{v}}$ berechnen
Nun dividierst du die zurückgelegte Strecke $s$ durch die benötigt Zeit $t$. Beachte auch hier wieder die Einheiten. Um die Durchschnittsgeschwindigkeit $\overline{v}$ in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ zu berechnen, musst du die Zeit noch von Minuten in Stunden umrechnen.
Die Bootsfahrt dauert $21$ Minuten. Dies entspricht demnach $t=\frac{21\;\text{min}}{60}=0,35\;\text{h}$. Nun kannst du die Werte in die Formel zur Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} \overline{v}&=& \dfrac{s}{t} \\[5pt] &=& \dfrac{3,72\;\text{km}}{0,35\;\text{h}} \\[5pt] &=&10,6\;\frac{\text{km}}{\text{h}} \end{array}$
Das Boot fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von ca. $10,6\;\frac{\text{km}}{\text{h}}$ und legt eine Strecke von $3,72\;\text{km}$ zurück.
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