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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur bis 2016 (GTR)
Abi 2016
Analysis
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie
Wirtschaftliche Anwen...
Lineare Optimierung
Abi 2015
Analysis
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie
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Lineare Optimierung
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Analysis
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
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Analysis 1
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Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
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Vektorgeometrie 1
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Lineare Optimierung 1
Lineare Optimierung 2
Abi 2012
Analysis 1
Analysis 2
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie 1
Vektorgeometrie 2
Wirtschaftliche Anwen...
Wirtschaftliche Anwen...
Lineare Optimierung 1
Lineare Optimierung 2
Abi 2011
Analysis 1
Analysis 2
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie 1
Vektorgeometrie 2
Wirtschaftliche Anwen...
Wirtschaftliche Anwen...
Lineare Optimierung 1
Lineare Optimierung 2
Abi 2010
Analysis 1
Analysis 2
Stochastik 1
Stochastik 2
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Anwendungsorientierte...
Vektorgeometrie 1
Vektorgeometrie 2
Wirtschaftliche Anwen...
Wirtschaftliche Anwen...
Lineare Optimierung 1
Lineare Optimierung 2
Abi 2009
Analysis 1
Analysis 2
Stochastik 1
Stochastik 2
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Vektorgeometrie 1
Vektorgeometrie 2
Wirtschaftliche Anwen...
Wirtschaftliche Anwen...
Lineare Optimierung 1
Lineare Optimierung 2

Anwendungsorientierte Aufgaben 2

Aufgaben
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Bei den Olympischen Sommerspielen 2008 in Peking legte der Jamaikaner Usain Bolt die $100$ Meter (m) in der damaligen Weltrekordzeit von fabelhaften $9,69$ Sekunden (s) zurück. Dabei begann Bolt bereits nach $80\,\text{m}$ zu jubeln und verringerte somit vorzeitig seine Geschwindigkeit.
Analysiert man seinen Lauf auf jeweils $10\,\text{m}$ langen Abschnitten, ergeben sich die folgenden Daten.
$d$0102030405060708090100
$t$01,852,873,784,655,506,327,147,968,799,69
$\overline{v}$5,419,8010,9911,4911,7612,1912,1912,1912,0511,11$-$
$d$$t$$\overline{v}$
005,41
101,859,80
202,8710,99
303,7811,49
404,6511,76
505,5012,19
606,3212,19
707,1412,19
807,9612,05
908,7911,11
1009,69$-$
Dabei sind:
  • $d$ die zurückgelegte Distanz in m
  • $t$ die Zeit in s
  • $\overline{v}$ die Durchschnittsgeschwindigkeit im jeweiligen $10$-m-Intervall in $\frac{\text{m}}{\text{s}}$.
Zum Beispiel ist $5,41\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ die Durchschnittsgeschwindigkeit $\overline{v}$ auf den ersten $10$ Metern.
2.1
 Wie lange benötigte Bolt für die letzten $50$ Meter des Laufs?
Kann ein Mensch mit einer höheren Geschwindigkeit als $40\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ rennen?
Welche Zeit hätte Bolt erreicht, wenn er in diesem Lauf die maximale Durchschnittsgeschwindigkeit aus der Tabelle bis zum Ende des Laufs beibehalten hätte?
(5P)
Anwendungsorientierte Aufgaben 2  Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
2.2
Die Funktion $v$ mit
$v(t)=0,0382\cdot t^{3}-0,8158\cdot t^{2}+5,4828\cdot t+0,4546$    $t\in[0;\;9,69]$
$v(t)=…$
modelliert die Momentangeschwindigkeit $v$ in $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ in Abhängigkeit von der Laufzeit $t$ in s.
2.2.1
Zu welchem Zeitpunkt war Bolt nach diesem Modell am schnellsten?
Wie groß war die entsprechende maximale Geschwindigkeit?
(3P)
Anwendungsorientierte Aufgaben 2  Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
2.2.2
Nenne jeweils zwei Argumente, die für beziehungsweise gegen die Eignung dieses Modells sprechen.
(4P)
Anwendungsorientierte Aufgaben 2  Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
2.2.3
 Formuliere für Bolts Lauf eine passende Frage, deren Antwort die Lösung der Gleichung
$\mathop{\displaystyle\int}\limits_{3}^{3+z}v(t)\;\mathrm dt=50$ für $z>0$ ist.
(3P)
Anwendungsorientierte Aufgaben 2  Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln

(15P)
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Aufgabe 2.1

$\blacktriangleright$ Zeit $\boldsymbol{t}$ für die letzten $\boldsymbol{50\,\textbf{m}}$ berechnen
Bei dieser Aufgabe sollst du berechnen, wie lange Bolt für die letzten $50\,\text{m}$ benötigte. Du hast eine Tabelle gegeben, die die Zeit $t$ angibt, die er jeweils für $10\,\text{m}$, $20\,\text{m}$, …,$90\,\text{m}$ und $100\,\text{m}$ gebraucht hat.
Für die gesamten $100\,\text{m}$ hat Bolt $9,69\,\text{s}$ gebraucht. Die ersten $50\,\text{m}$ lief er in $5,50\,\text{s}$. Um nun die Zeit die er für die letzten $50\,\text{m}$ gebraucht hat zu berechnen, subtrahierst du die Zeit der ersten $50\,\text{m}$ von der Gesamtzeit.
$\blacktriangleright$  Kann ein Mensch mit einer höheren Geschwindigkeit als $\boldsymbol{40\,\frac{\textbf{km}}{\textbf{h}}}$ rennen?
Um herauszufinden, ob ein Mensch schneller als $40\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ rennen kann, kannst du die beispielhaft die höchste Durchschnittsgeschwindigkeit $\overline{v}$ im $10$-Meter-Intervall von Bolt in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ umrechnen.
Wenn diese Geschwindigkeit größer als $40\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ ist, kann ein Mensch schneller als $40\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ rennen.
Um die Einheit $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ umzurechnen, multiplizierst du mit $\frac{3600}{1000}=3,6$.
$\blacktriangleright$  Zeit $\boldsymbol{t}$ berechnen
Nun sollst du die Zeit $t$ berechnen die Usain Bolt gebraucht hätte, wenn er seine maximale Durchschnittsgeschwindigkeit $\overline{v}$ bis zum Ende beibehalten hätte. Seine maximale Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt $12,19\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Während der letzten $20\,\text{m}$ ist er langsamer geworden. Berechne zunächst die Zeit $t^*$ die er bei einer Geschwindigkeit von $12,19\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ für $20\,\text{m}$ braucht (1. Schritt). Dann kannst du diese Zeit $t^*$ zu der Zeit addieren, die er für die ersten $80\,\text{m}$ gebraucht hat (2. Schritt).
Die Geschwindigkeit wird über den Quotient von Strecke und Zeit berechnet. Indem du diese Formel nach der Zeit $t$ auflöst erhältst du die benötigte Formel um die Zeit $t^*$ für die letzen $20\,\text{m}$ zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rlll} v&=&\dfrac{s}{t} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot\dfrac{t}{v}\\[5pt] t&=&\dfrac{s}{v} \end{array}$

Aufgabe 2.2.1

$\blacktriangleright$ Hochpunkt $\boldsymbol{H}$ berechnen
Du hast eine Funktion $v$ gegeben, die die Momentangeschwindigkeit $v$ in Abhängigkeit von der Laufzeit $t$ modelliert. Diese lautet:
$\begin{array}[t]{rll} v(t)&=&0,0382t^3-0,8158t^2+5,4828t+0,4546\\ \end{array}$
Du sollst nun berechnen, zu welchem Zeitpunkt $t$ Bolt am schnellsten gelaufen ist und wie schnell er zu diesem Zeitpunkt war. Der Zeitpunkt $t$ entspricht der Stelle an der die Funktion ein Maximum hat. Der Funktionswert an dieser Stelle entspricht der maximalen Geschwindigkeit. Du suchst also den Hochpunkt des Graphen von der Funktion $v$.
Für eine Extremstelle $t_E$ einer Funktion $v$ müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
  • Notwendige Bedingung: $\boldsymbol{v'(t_E)=0}$
  • Hinreichende Bedingung: $\boldsymbol{v''(t_E)\neq0}$
Ist $v''(t_E)>0$ handelt es sich um ein Minimum. Wenn gilt $v''(t_E)<0$, ist die Extremstelle ein Maximum.
Gehe nun folgendermaßen vor:
  1. Bilde die Ableitungen $v'$ und $v''$
  2. Prüfe die notwendige und hinreichende Bedingung
  3. Berechne die vollständigen Koordinaten des Hochpunktes $H$

Aufgabe 2.2.2

$\blacktriangleright$ Argumente nennen
Die Funktion $v$ modelliert die Momentangeschwindigkeit. Du sollst nun je zwei Argumente nennen, die für bzw. gegen die Eignung des Modells sprechen. Betrachte dazu den Graph der Funktion $v$. Diesen kannst du dir mit dem GTR im Bereich $0\leq t\leq9,69$ zeichnen lassen.

Aufgabe 2.2.3

$\blacktriangleright$ Frage formulieren
Du hast folgende Gleichung gegeben:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{3}^{3+z}v(t)\,\mathrm dt&=&50 \quad \scriptsize \text{für}\; z>0 \\ \end{array}$
Du sollst dir eine Frage überlegen, deren Antwort die Lösung dieser Gleichung ist. Überlege dir was du mit einem Integral in diesem Zusammenhang berechnest. Die untere Grenze des Integrals ist $3$ und die obere Grenze $3+z$.
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Aufgabe 2.1

$\blacktriangleright$ Zeit $\boldsymbol{t}$ für die letzten $\boldsymbol{50\,\textbf{m}}$ berechnen
Bei dieser Aufgabe sollst du berechnen, wie lange Bolt für die letzten $50\,\text{m}$ benötigte. Du hast eine Tabelle gegeben, die die Zeit $t$ angibt, die er jeweils für $10\,\text{m}$, $20\,\text{m}$, …,$90\,\text{m}$ und $100\,\text{m}$ gebraucht hat.
Für die gesamten $100\,\text{m}$ hat Bolt $9,69\,\text{s}$ gebraucht. Die ersten $50\,\text{m}$ lief er in $5,50\,\text{s}$. Um nun die Zeit, die er für die letzten $50\,\text{m}$ gebraucht hat, zu berechnen, subtrahierst du die Zeit der ersten $50\,\text{m}$ von der Gesamtzeit.
Du erhältst:
$\begin{array}[t]{rll} t&=&9,69\,\text{s}-5,50\,\text{s}\\[5pt] t&=&4,19\,\text{s} \end{array}$
Für die letzten $50\,\text{m}$ hat Usain Bolt $4,19\,\text{s}$ gebraucht.
$\blacktriangleright$  Kann ein Mensch mit einer höheren Geschwindigkeit als $\boldsymbol{40\,\frac{\textbf{km}}{\textbf{h}}}$ rennen?
Um herauszufinden, ob ein Mensch schneller als $40\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ rennen kann, kannst du beispielhaft die höchste Durchschnittsgeschwindigkeit $\overline{v}$ im $10$-Meter-Intervall von Bolt in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ umrechnen.
Wenn diese Geschwindigkeit größer als $40\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ ist, kann ein Mensch schneller als $40\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ rennen.
Um die Einheit $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ umzurechnen, multiplizierst du mit $\frac{3600}{1000}=3,6$. Die höchste Geschwindigkeit von Bolt beträgt $12,19\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$.
$\begin{array}[t]{rll} \overline{v}&=&12,19\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot3,6\\[5pt] &=&43,9\,\frac{\text{km}}{\text{h}} \end{array}$
Usain Bolt läuft zwischenzeitlich mit einer Geschwindigkeit von $43,9\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$. Somit ist es möglich, dass ein Mensch schneller als $40\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ läuft.
$\blacktriangleright$  Zeit $\boldsymbol{t}$ berechnen
Nun sollst du die Zeit $t$ berechnen, die Usain Bolt gebraucht hätte, wenn er seine maximale Durchschnittsgeschwindigkeit $\overline{v}$ bis zum Ende beibehalten hätte. Seine maximale Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt $12,19\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Während der letzten $20\,\text{m}$ ist er langsamer geworden. Berechne zunächst die Zeit $t^*$, die er bei einer Geschwindigkeit von $12,19\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ für $20\,\text{m}$ braucht (1. Schritt). Dann kannst du diese Zeit $t^*$ zu der Zeit addieren, die er für die ersten $80\,\text{m}$ gebraucht hat (2. Schritt).
Die Geschwindigkeit wird über den Quotient von Strecke und Zeit berechnet. Indem du diese Formel nach der Zeit $t$ auflöst, erhältst du die benötigte Formel, um die Zeit $t^*$ für die letzen $20\,\text{m}$ zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rlll} v&=&\dfrac{s}{t} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot\dfrac{t}{v}\\[5pt] t&=&\dfrac{s}{v} \end{array}$
1. Schritt: Zeit für die letzten $\boldsymbol{20\,\textbf{m}}$
$\begin{array}[t]{rll} t^*&=&\dfrac{s}{v}\\[5pt] t^*&=&\dfrac{20\,\text{m}}{12,19\,\frac{\text{m}}{\text{s}}}\\[5pt] t^*&=&1,64\,\text{s} \end{array}$
2. Schritt: Gesamte Zeit $\boldsymbol{t}$
Nun musst du noch die Zeit für die letzten $20\,\text{m}$ zu der Zeit für die ersten $80\,\text{m}$ addieren.
$\begin{array}[t]{rll} t&=&t^*+t_{80} \\[5pt] &=&1,64\,\text{s}+7,96\,\text{s}\\[5pt] &=&9,60\,\text{s} \end{array}$
Usain Bolt hätte $9,60\,\text{s}$ gebraucht, wenn er seine Geschwindigkeit beibehalten hätte.

Aufgabe 2.2.1

$\blacktriangleright$ Hochpunkt $\boldsymbol{H}$ berechnen
Du hast eine Funktion $v$ gegeben, die die Momentangeschwindigkeit $v$ in Abhängigkeit von der Laufzeit $t$ modelliert. Diese lautet:
$\begin{array}[t]{rll} v(t)&=&0,0382t^3-0,8158t^2+5,4828t+0,4546\\ \end{array}$
Du sollst nun berechnen, zu welchem Zeitpunkt $t$ Bolt am schnellsten gelaufen ist und wie schnell er zu diesem Zeitpunkt war. Der Zeitpunkt $t$ entspricht der Stelle, an der die Funktion ein Maximum hat. Der Funktionswert an dieser Stelle entspricht der maximalen Geschwindigkeit. Du suchst also den Hochpunkt des Graphen von der Funktion $v$.
Für eine Extremstelle $t_E$ einer Funktion $v$ müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
  • Notwendige Bedingung: $\boldsymbol{v'(t_E)=0}$
  • Hinreichende Bedingung: $\boldsymbol{v''(t_E)\neq0}$
Ist $v''(t_E)>0$, handelt es sich um ein Minimum. Wenn gilt $v''(t_E)<0$, ist die Extremstelle ein Maximum.
Gehe nun folgendermaßen vor:
  1. Bilde die Ableitungen $v'$ und $v''$
  2. Prüfe die notwendige und hinreichende Bedingung
  3. Berechne die vollständigen Koordinaten des Hochpunktes $H$
1. Schritt: Ableitungen $\boldsymbol{v'}$ und $\boldsymbol{v''}$ bestimmen
Um die erste und zweite Ableitung der Funktion $v$ zu bestimmen, benötigst du die Summenregel.
1. Ableitung:
$\begin{array}[t]{rll} v(t)&=&0,0382t^3-0,8158t^2+5,4828t+0,4546 \\[5pt] v'(t)&=&0,0382\cdot3t^2-0,8158\cdot2t+5,4828\\[5pt] v'(t)&=&0,1146t^2-1,6316t+5,4828 \end{array}$
2. Ableitung:
$\begin{array}[t]{rll} v'(t)&=&0,1146t^2-1,6316t+5,4828\\[5pt] v''(t)&=&0,1146\cdot2t-1,6316\\[5pt] v''(t)&=&0,2292t-1,6316 \end{array}$
2. Schritt: Notwendige und hinreichende Bedingung überprüfen
Damit die notwendige Bedingung erfüllt ist, muss gelten: $v'(t)=0$
Diese Gleichung kannst du mit Hilfe der Mitternachtsformel lösen.
$\begin{array}[t]{rll} v'(t)&=&0 \\[5pt] 0,1146t^2-1,6316t+5,4828&=&0 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \scriptsize \text{Mitternachtsformel}\\[5pt] t_{1,2}&=&\dfrac{{ - (-1,6316) \pm \sqrt {(-1,6316)^2 - 4\cdot0,1146\cdot5,4828} }}{{2\cdot0,1146}}\\[5pt] t_{1,2}&=&\dfrac{{ 1,6316 \pm \sqrt {1,6316^2 - 4\cdot0,1146\cdot5,4828} }}{{0,2292}}\\[5pt] t_1&=&5,44\\[5pt] t_2&=&8,80 \end{array}$
Die Funktion $v$ hat an den Stellen $t_1=5,44$ und $t_2=8,80$ potentielle Extremstellen. Überprüfe nun auch die hinreichende Bedingung.
Dies kannst du mit dem GTR überprüfen. Definiere zunächst die Funktion $v$ in dem GTR. Die Ableitungen der Funktion $v$ kannst du entweder von Hand ausrechnen und eintragen oder mit Hilfe des folgenden GTR-Befehls definieren:
MATH \rightarrow 8: nDeriv(
Lass die gewünschte Funktion zeichnen und überprüfe, welchen Wert die 2. Ableitung an der Stellen $t_1=5,44$ und $t_2=8,80$. Das kannst du mit Hilfe des folgenden Befehls erledigen:
(2ND + TRACE) CALC $\rightarrow$ 1: Value
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Die Funktion $v$ hat an den Stellen $t_1=5,44$ und $t_2=8,80$ Extremstellen. Das Einsetzen von $t_1$ bzw. $t_2$ hat ergeben, dass $v''(t_1)<0$ ist und $v''(t_2)>0$ ist. Das bedeutet, dass an der Stelle $t_1=5,44$ ein Maximum und an der Stelle $t_2=8,80$ ein Minimum ist.
3. Schritt: Koordinaten des Hochpunktes $\boldsymbol{H}$ berechnen
Um die vollständigen Koordinaten des Hochpunktes $H$ zu berechnen, setzt du den Wert $t_1=5,44$ in den Funktionsterm von $v$ ein.
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Der Graph der Funktion $v$ hat einen Hochpunkt $H$ mit den Koordinaten $H(5,44\mid 12,29)$.
Zum Zeitpunkt $t=5,44\,\text{s}$ läuft Bolt nach diesem Modell am schnellsten. Seine maximale Geschwindigkeit beträgt etwa $12,29\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

Aufgabe 2.2.2

$\blacktriangleright$ Argumente nennen
Die Funktion $v$ modelliert die Momentangeschwindigkeit. Du sollst nun je zwei Argumente nennen, die für bzw. gegen die Eignung des Modells sprechen. Betrachte dazu den Graph der Funktion $v$. Diesen kannst du dir mit dem GTR im Bereich $0\leq t\leq9,69$ zeichnen lassen.
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Argumente für das Modell
  • Die Funktion $v$ beschreibt gut, wie Bolt zunächst beschleunigt bis er seine maximale Geschwindigkeit erreicht.
  • Der Graph der Funktion zeigt ebenfalls, wie Bolt seine Geschwindigkeit vorzeitig verringert.
Argumente gegen das Modell
  • Die Funktion hat den $y$-Achsenabschnitt $0,4546$. Das bedeutet, dass Bolt zum Zeitpunkt $t=0$ bereits eine Momentangeschwindigkeit von $v=0,4546\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ hat. Diese müsste zum Zeitpunkt $t=0$ jedoch Null betragen.
  • Wie du aus Aufgabe 2.2.1 weißt, hat die Funktion $v$ ein Minimum an der Stelle $t=8,80$. Das heißt, dass Usain Bolt anschließend wieder beschleunigen würde. Allerdings verringert er in Wirklichkeit seine Geschwindigkeit.

Aufgabe 2.2.3

$\blacktriangleright$ Frage formulieren
Du hast folgende Gleichung gegeben:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{3}^{3+z}v(t)\,\mathrm dt&=&50 \quad \scriptsize \text{für}\; z>0 \\ \end{array}$
Du sollst dir eine Frage überlegen, deren Antwort die Lösung dieser Gleichung ist. Überlege dir, was du mit einem Integral in diesem Zusammenhang berechnest. Die untere Grenze des Integrals ist $3$ und die obere Grenze $3+z$.
Mit dem Integral wird die Strecke berechnet die Bolt in der Zeit von $3\,\text{s}$ und $(3+z)\,\text{s}$ zurücklegt. Diese Strecke soll $50\,\text{m}$ betragen.
Eine passende Frage lautet demnach:
Welchen Wert muss $z$ haben, damit Bolt in dem Zeitintervall $[3;3+z]$ eine Strecke von $50\,\text{m}$ zurücklegt?
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Aufgabe 2.1

$\blacktriangleright$ Zeit $\boldsymbol{t}$ für die letzten $\boldsymbol{50\,\textbf{m}}$ berechnen
Bei dieser Aufgabe sollst du berechnen, wie lange Bolt für die letzten $50\,\text{m}$ benötigte. Du hast eine Tabelle gegeben, die die Zeit $t$ angibt, die er jeweils für $10\,\text{m}$, $20\,\text{m}$, …,$90\,\text{m}$ und $100\,\text{m}$ gebraucht hat.
Für die gesamten $100\,\text{m}$ hat Bolt $9,69\,\text{s}$ gebraucht. Die ersten $50\,\text{m}$ lief er in $5,50\,\text{s}$. Um nun die Zeit, die er für die letzten $50\,\text{m}$ gebraucht hat, zu berechnen, subtrahierst du die Zeit der ersten $50\,\text{m}$ von der Gesamtzeit.
Du erhältst:
$\begin{array}[t]{rll} t&=&9,69\,\text{s}-5,50\,\text{s}\\[5pt] t&=&4,19\,\text{s} \end{array}$
Für die letzten $50\,\text{m}$ hat Usain Bolt $4,19\,\text{s}$ gebraucht.
$\blacktriangleright$  Kann ein Mensch mit einer höheren Geschwindigkeit als $\boldsymbol{40\,\frac{\textbf{km}}{\textbf{h}}}$ rennen?
Um herauszufinden, ob ein Mensch schneller als $40\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ rennen kann, kannst du beispielhaft die höchste Durchschnittsgeschwindigkeit $\overline{v}$ im $10$-Meter-Intervall von Bolt in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ umrechnen.
Wenn diese Geschwindigkeit größer als $40\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ ist, kann ein Mensch schneller als $40\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ rennen.
Um die Einheit $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ umzurechnen, multiplizierst du mit $\frac{3600}{1000}=3,6$. Die höchste Geschwindigkeit von Bolt beträgt $12,19\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$.
$\begin{array}[t]{rll} \overline{v}&=&12,19\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot3,6\\[5pt] &=&43,9\,\frac{\text{km}}{\text{h}} \end{array}$
Usain Bolt läuft zwischenzeitlich mit einer Geschwindigkeit von $43,9\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$. Somit ist es möglich, dass ein Mensch schneller als $40\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ läuft.
$\blacktriangleright$  Zeit $\boldsymbol{t}$ berechnen
Nun sollst du die Zeit $t$ berechnen, die Usain Bolt gebraucht hätte, wenn er seine maximale Durchschnittsgeschwindigkeit $\overline{v}$ bis zum Ende beibehalten hätte. Seine maximale Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt $12,19\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Während der letzten $20\,\text{m}$ ist er langsamer geworden. Berechne zunächst die Zeit $t^*$, die er bei einer Geschwindigkeit von $12,19\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ für $20\,\text{m}$ braucht (1. Schritt). Dann kannst du diese Zeit $t^*$ zu der Zeit addieren, die er für die ersten $80\,\text{m}$ gebraucht hat (2. Schritt).
Die Geschwindigkeit wird über den Quotient von Strecke und Zeit berechnet. Indem du diese Formel nach der Zeit $t$ auflöst, erhältst du die benötigte Formel um die Zeit $t^*$ für die letzen $20\,\text{m}$ zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rlll} v&=&\dfrac{s}{t} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot\dfrac{t}{v}\\[5pt] t&=&\dfrac{s}{v} \end{array}$
1. Schritt: Zeit für die letzten $\boldsymbol{20\,\textbf{m}}$
$\begin{array}[t]{rll} t^*&=&\dfrac{s}{v}\\[5pt] t^*&=&\dfrac{20\,\text{m}}{12,19\,\frac{\text{m}}{\text{s}}}\\[5pt] t^*&=&1,64\,\text{s} \end{array}$
2. Schritt: Gesamte Zeit $\boldsymbol{t}$
Nun musst du noch die Zeit für die letzten $20\,\text{m}$ zu der Zeit für die ersten $80\,\text{m}$ addieren.
$\begin{array}[t]{rll} t&=&t^*+t_{80} \\[5pt] &=&1,64\,\text{s}+7,96\,\text{s}\\[5pt] &=&9,60\,\text{s} \end{array}$
Usain Bolt hätte $9,60\,\text{s}$ gebraucht, wenn er seine Geschwindigkeit beibehalten hätte.

Aufgabe 2.2.1

$\blacktriangleright$ Hochpunkt $\boldsymbol{H}$ berechnen
Du hast eine Funktion $v$ gegeben, die die Momentangeschwindigkeit $v$ in Abhängigkeit von der Laufzeit $t$ modelliert. Diese lautet:
$\begin{array}[t]{rll} v(t)&=&0,0382t^3-0,8158t^2+5,4828t+0,4546\\ \end{array}$
Du sollst nun berechnen, zu welchem Zeitpunkt $t$ Bolt am schnellsten gelaufen ist und wie schnell er zu diesem Zeitpunkt war. Der Zeitpunkt $t$ entspricht der Stelle, an der die Funktion ein Maximum hat. Der Funktionswert an dieser Stelle entspricht der maximalen Geschwindigkeit. Du suchst also den Hochpunkt des Graphen von der Funktion $v$.
Für eine Extremstelle $t_E$ einer Funktion $v$ müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
  • Notwendige Bedingung: $\boldsymbol{v'(t_E)=0}$
  • Hinreichende Bedingung: $\boldsymbol{v''(t_E)\neq0}$
Ist $v''(t_E)>0$, handelt es sich um ein Minimum. Wenn gilt $v''(t_E)<0$, ist die Extremstelle ein Maximum.
Gehe nun folgendermaßen vor:
  1. Bilde die Ableitungen $v'$ und $v''$
  2. Prüfe die notwendige und hinreichende Bedingung
  3. Berechne die vollständigen Koordinaten des Hochpunktes $H$
1. Schritt: Ableitungen $\boldsymbol{v'}$ und $\boldsymbol{v''}$ bestimmen
Um die erste und zweite Ableitung der Funktion $v$ zu bestimmen, benötigst du die Summenregel.
1. Ableitung:
$\begin{array}[t]{rll} v(t)&=&0,0382t^3-0,8158t^2+5,4828t+0,4546 \\[5pt] v'(t)&=&0,0382\cdot3t^2-0,8158\cdot2t+5,4828\\[5pt] v'(t)&=&0,1146t^2-1,6316t+5,4828 \end{array}$
2. Ableitung:
$\begin{array}[t]{rll} v'(t)&=&0,1146t^2-1,6316t+5,4828\\[5pt] v''(t)&=&0,1146\cdot2t-1,6316\\[5pt] v''(t)&=&0,2292t-1,6316 \end{array}$
2. Schritt: Notwendige und hinreichende Bedingung überprüfen
Damit die notwendige Bedingung erfüllt ist, muss gelten: $v'(t)=0$
Diese Gleichung kannst du mit Hilfe der Mitternachtsformel lösen.
$\begin{array}[t]{rll} v'(t)&=&0 \\[5pt] 0,1146t^2-1,6316t+5,4828&=&0 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \scriptsize \text{Mitternachtsformel}\\[5pt] t_{1,2}&=&\dfrac{{ - (-1,6316) \pm \sqrt {(-1,6316)^2 - 4\cdot0,1146\cdot5,4828} }}{{2\cdot0,1146}}\\[5pt] t_{1,2}&=&\dfrac{{ 1,6316 \pm \sqrt {1,6316^2 - 4\cdot0,1146\cdot5,4828} }}{{0,2292}}\\[5pt] t_1&=&5,44\\[5pt] t_2&=&8,80 \end{array}$
Die Funktion $v$ hat an den Stellen $t_1=5,44$ und $t_2=8,80$ potentielle Extremstellen. Überprüfe nun auch die hinreichende Bedingung.
Dies kannst du mit dem GTR überprüfen. Gib zunächst die Funktion $v$ unter $Y1$ in dem Graph-Modus des GTR ein. Wähle dann im Run-Matrix-Modus folgenden Befehl aus:
F4: Math $\rightarrow$ F5: d^2/dx^2
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Die Funktion $v$ hat an den Stellen $t_1=5,44$ und $t_2=8,80$ Extremstellen. Das Einsetzen von $t_1$ bzw. $t_2$ hat ergeben, dass $v''(t_1)<0$ ist und $v''(t_2)>0$ ist. Das bedeutet, dass an der Stelle $t_1=5,44$ ein Maximum und an der Stelle $t_2=8,80$ ein Minimum ist.
3. Schritt: Koordinaten des Hochpunktes $\boldsymbol{H}$ berechnen
Um die vollständigen Koordinaten des Hochpunktes $H$ zu berechnen, setzt du den Wert $t_1=5,44$ in den Funktionsterm von $v$ ein.
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Der Graph der Funktion $v$ hat einen Hochpunkt $H$ mit den Koordinaten $H(5,44\mid 12,29)$.
Zum Zeitpunkt $t=5,44\,\text{s}$ läuft Bolt nach diesem Modell am schnellsten. Seine maximale Geschwindigkeit beträgt etwa $12,29\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

Aufgabe 2.2.2

$\blacktriangleright$ Argumente nennen
Die Funktion $v$ modelliert die Momentangeschwindigkeit. Du sollst nun je zwei Argumente nennen, die für bzw. gegen die Eignung des Modells sprechen. Betrachte dazu den Graph der Funktion $v$. Diesen kannst du dir mit dem GTR im Bereich $0\leq t\leq9,69$ zeichnen lassen.
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Anwendungsorientierte Aufgaben 2
Argumente für das Modell
  • Die Funktion $v$ beschreibt gut, wie Bolt zunächst beschleunigt bis er seine maximale Geschwindigkeit erreicht.
  • Der Graph der Funktion zeigt ebenfalls, wie Bolt seine Geschwindigkeit vorzeitig verringert.
Argumente gegen das Modell
  • Die Funktion hat den $y$-Achsenabschnitt $0,4546$. Das bedeutet, dass Bolt zum Zeitpunkt $t=0$ bereits eine Momentangeschwindigkeit von $v=0,4546\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ hat. Diese müsste zum Zeitpunkt $t=0$ jedoch Null betragen.
  • Wie du aus Aufgabe 2.2.1 weißt, hat die Funktion $v$ ein Minimum an der Stelle $t=8,80$. Das heißt, dass Usain Bolt anschließend wieder beschleunigen würde. Allerdings verringert er in Wirklichkeit seine Geschwindigkeit.

Aufgabe 2.2.3

$\blacktriangleright$ Frage formulieren
Du hast folgende Gleichung gegeben:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{3}^{3+z}v(t)\,\mathrm dt&=&50 \quad \scriptsize \text{für}\; z>0 \\ \end{array}$
Du sollst dir eine Frage überlegen, deren Antwort die Lösung dieser Gleichung ist. Überlege dir, was du mit einem Integral in diesem Zusammenhang berechnest. Die untere Grenze des Integrals ist $3$ und die obere Grenze $3+z$.
Mit dem Integral wird die Strecke berechnet die Bolt in der Zeit von $3\,\text{s}$ und $(3+z)\,\text{s}$ zurücklegt. Diese Strecke soll $50\,\text{m}$ betragen.
Eine passende Frage lautet demnach:
Welchen Wert muss $z$ haben, damit Bolt in dem Zeitintervall $[3;3+z]$ eine Strecke von $50\,\text{m}$ zurücklegt?
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