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Analysis

Aufgaben
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1.1 Für jedes $t\in\mathbb{R}$ ist die Funktion $f_t$ gegeben durch
$f_t(x)=\dfrac{1}{2}x^3-3tx^2+4(t^2-1)x+10t^2$;   $x\in\mathbb{R}$.
Das Schaubild von $f_t$ ist $K_t$.
1.1.1 Bestimmen Sie die Schnittpunkte von $K_{1}$ mit den Koordinatenachsen.*
Berechnen Sie von Hand die Koordinaten der Extrempunkte von $K_1$.**
Zeichnen Sie $K_1$.***
(9P)
Analysis*
**
***
 Aufgabe entfällt ab 2017
 Aufgabe ab 2017 im hilfsmittelfreien Teil oder im Teil mit Hilfsmitteln
 Aufgabe ab 2017 im Teil mit Hilfsmitteln
1.1.2 Betrachten Sie nun Geraden mit negativer Steigung, die den Hochpunkt von $K_1$ enthalten und mit $K_1$ zwei Flächenstücke einschließen.
1.1.2.1 Zeichnen Sie eine dieser Geraden in das Koordinatensystem von 1.1.1 ein und geben Sie die Gleichung dieser Geraden an.
(2P)
Analysis  Aufgabe ab 2017 im hilfsmittelfreien Teil oder im Teil mit Hilfsmitteln
1.1.2.2 Bestimmen Sie alle Werte der Steigungen dieser Geraden, sodass diese drei Eigenschaften erfüllt sind.
(4P)
Analysis  Aufgabe entfällt ab 2017
1.1.3 Zeigen Sie, dass für alle $t$ das Schaubild $K_t$ zwei Extrempunkte besitzt.
Berechnen Sie die Ortskurve der Wendepunkte von $K_t$.
(8P)
Analysis  Aufgabe entfällt ab 2017
1.1.4 $F_t$ ist eine Stammfunktion von $f_t$.
Untersuchen Sie, ob es einen Wert für $t$ gibt, sodass $F_t$ an der Stelle $x=-4$ eine Wendestelle besitzt und das Schaubild von $F_t$ in $S(0\mid 20)$ die Steigung 10 hat.
Geben Sie gegebenenfalls diese Stammfunktion $F_t$ an.
(6P)
Analysis  Aufgabe entfällt ab 2017
1.2 Für jedes $a\ne 0$ ist die Funktion $g_a$ gegeben durch
$g_{a}(x)=a+a\cdot\cos(x)$    mit $x\in[-2 \pi;\;2 \pi]$.
1.2.1 Prüfen Sie für jede der folgenden Abbildungen, ob die dort gezeigten Schaubilder zu einer Funktion $g_a$ gehören können. Begründen Sie jeweils, und ermitteln Sie gegebenenfalls den zugehörigen Wert von $a$.
Analysis
Analysis
Analysis
Analysis
Analysis
Analysis
Analysis
Analysis
(6P)
Analysis  Aufgabe ab 2017 im hilfsmittelfreien Teil oder im Teil mit Hilfsmitteln
1.2.2 Für $0<u<\pi$ bilden die Punkte $O(0\mid 0)$, $P(u\mid 0)$, $Q(u\mid g_2(u))$ und $R(0\mid 1)$ ein Viereck. Für welchen Wert von $u$ wird der Flächeninhalt dieses Vierecks maximal?
(5P)
Analysis  Aufgabe entfällt ab 2017
1.2.3 Das Schaubild der Funktion $g_a$ schließt mit der $x$–Achse eine Fläche ein.
Diese Fläche rotiert um die $x$–Achse. Für welche Werte von $a$ beträgt das Volumen des Drehkörpers 120 Volumeneinheiten?
(5P)
Analysis  Aufgabe entfällt ab 2017

(45P)
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Tipps
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1.1
1.1.1 $\blacktriangleright$ Ermittlung der Schnittpunkte von $\boldsymbol{K_1}$ mit den Koordinatenachsen
Es ist eine Funktion $f_t$ gegeben, deren Schaubild $K_t$ ist. Diese Funktion ist abhängig von $t \in \mathbb{R}$ und von $x \in \mathbb{R}$.
Du sollst die Schnittpunkte des Schaubildes $K_1$ mit den Koordinatenachsen bestimmen.
  • Dazu brauchst du die Funktion $f_1$, die du im 1. Schritt durch Einsetzen des Wertes $1$ für $t$ erhältst.
  • Im 2. Schritt bestimmst du die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Die Schnittstellen mit der $x$–Achse bzw. Nullstelle bestimmst du mit Hilfe des GTR. Den Schnittpunkt mit der $y$–Achse erhältst du, indem du $x = 0$ in deine Funktion einsetzt.
$\blacktriangleright$ Berechnen der Koordinaten der Extrempunkte von Hand
Du sollst die Extrempunkte des Graphen $K_1$ von Hand ausrechnen.
  • Willst du die lokalen Extrempunkte von $K_1$ bestimmen, so bestimmst du im 1. Schritt die erste und zweite Ableitung von $f$. Bestimmst du dann die Nullstellen von $f_1'$, so hast du die potentiellen Extremstellen bestimmt (Notwendige Bedingung).
  • Um zu bestimmen, ob es sich um Hoch– oder Tiefpunkte handelt, werden im 2. Schritt die ermittelten Werte in die zweite Ableitung $f_1''$ eingesetzt und somit die hinreichende Bedingung überprüft.
Für die hinreichende Bedingung musst du wie folgt unterscheiden:
  • Hochpunkt für $f_1''(x) < 0$
  • Tiefpunkt für $f_1''(x) > 0$
Zuletzt erhältst du über Einsetzen der Extremstellen in $f_1(x)$ die vollständigen Koordinaten der Extrempunkte.
$\blacktriangleright$ Zeichnen des Schaubildes
Zum Zeichnen des Schaubildes kannst du dir im GTR eine Wertetabelle zur Funktion $f_1$ anzeigen lassen.
Wenn du diese Punkte mit den zuvor berechneten Werten vergleichst, erhältst du folgende Punkte, die du in dein Koordinatensystem eintragen kannst:
  • $\boldsymbol{X_1 (-2 \mid -6)}$
  • 1. Schnittpunkt von $K_1$ mit der $x$–Achse: $\boldsymbol{N_1(-1,62 \mid 0)}$
  • $\boldsymbol{X_2 (-1 \mid 6,5)}$
  • Schnittpunkt von $K_1$ mit der $y$–Achse ist gleichzeitig der Hochpunkt $\boldsymbol{H(0 \mid 10)}$
  • $\boldsymbol{X_4 (1 \mid 7,5)}$
  • $\boldsymbol{X_5 (2 \mid 2)}$
  • 2. Schnittpunkt von $K_1$ mit der $x$–Achse: $\boldsymbol{N_2(2,34 \mid 0)}$
  • $\boldsymbol{X_6 (3 \mid -3,5)}$
  • Tiefpunkt $\boldsymbol{T(4 \mid -6)}$
  • $\boldsymbol{X_8 (5 \mid -2,5)}$
  • 3. Schnittpunkt von $K_1$ mit der $x$–Achse: $\boldsymbol{N_3(5,28 \mid 0)}$
  • $\boldsymbol{X_9 (6 \mid 10)}$
1.1.2
1.1.2.1 $\blacktriangleright$ Zeichnen einer Geraden
Im ersten Aufgabenteil sollst du eine Gerade in das Koordinatensystem aus Aufgabe 1.1.1 einzeichnen, die
  • den Hochpunkt von $K_1$ enthält,
  • eine negative Steigung hat und
  • mit dem Funktionsgraphen zwei Flächenstücke einschließt.
Wenn du dir das Schaubild, das du soeben gezeichnet hast, betrachtest, siehst du, dass es viele Möglichkeiten gibt, eine solche Gerade einzuzeichnen. Da ihre Steigung negativ sein soll und sie den Hochpunkt von $K_1$ enthalten soll, muss die Gerade einen Schnittpunkt mit der positiven $x$–Achse besitzen. Außerdem muss die Gerade $K_1$ zusätzlich noch zweimal schneiden, damit zwei Flächenstücke eingeschlossen werden.
Zum Lösen der Aufgabe kannst du eine beliebige Gerade, die die oben genannten Kriterien erfüllt, in dein Koordinatensystem einzeichnen.
$\blacktriangleright$ Bestimmen der Geradengleichung
Zur Bestimmung der Geradengleichung, wird die Steigung anhand des Schaubildes von oben bestimmt. Um anschließend die Gleichung der eben gezeichneten Geraden zu ermitteln, nutzt du die allgemeine Geradengleichung. Diese sieht wie folgt aus:
$g(x)= m\cdot x + b$
mit
  • $m$: Steigung der Geraden
  • $b$: $y$–Achsenabschnitt
Für die Steigung gilt:
$m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$
Um $\Delta x$ und $\Delta y$ zu ermitteln, zeichnest du ein Steigungsdreieck an deine Gerade.
1.1.2.2 $\blacktriangleright$ Steigungswerte bestimmen
Du betrachtest Geraden mit negativer Steigung, die den Hochpunkt von $K_1$ enthalten und mit $K_1$ zwei Flächenstücke einschließen. In dieser Aufgabe sollst du alle Werte bestimmen, die die Steigung einer solchen Geraden annehmen kann, so dass die gegebenen Bedingungen noch erfüllt sind. Von oben weißt du dabei, dass die Steigung einer solchen Geraden negativ sein muss. Es gilt also $\boldsymbol{m < 0}$.
Außerdem soll die Gerade durch den Hochpunkt $H$ von $K_1$ verlaufen. Anhand des Schaubildes können wir bereits sagen, dass eine Gerade, die durch den Hochpunkt geht und eine Steigung $m < 0$ hat, $K_1$ zweimal schneidet.
Allerdings nur, bis die Gerade den Graphen der Funktion $f_1$ in einem bestimmten Punkt berührt. Dann hat sie nur noch einen Schnitt– bzw. Berührpunkt mit $K_1$.
  • Diesen Punkt $x_0$ kannst du im 1. Schritt mit Hilfe der Tangentengleichung ermitteln.
  • $y = f'(x_0)\cdot (x - x_0) + f (x_0)$
  • Um die Steigung zu ermitteln, die die Geraden nicht mehr annehmen dürfen, kannst du im 2. Schritt die bestimmte Stelle $x_0$ in $f'(x)$ einsetzen.
Die Steigung der Tangente an den Punkt $x_0$ stimmt mit der Steigung der Funktion $f_1$ an diesem Punkt überein.
1.1.3 $\blacktriangleright$ Extrempunkte von $\boldsymbol{K_t}$
In dieser Aufgabe soll gezeigt werden, dass $\text{K}_t$ für alle t zwei Extrempunkte besitzt.
Du hast bereits in Aufgabe 1.1.1 die Extrempunkte von $K_1$ ausgerechnet. Das Vorgehen zur Bestimmung von Extrempunkten einer Kurvenschar ist ähnlich. Der einzige Unterschied besteht darin, dass der Parameter $t$ möglicherweise erhalten bleibt.
  • Für die lokalen Extrema musst du im 1. Schritt die ersten beiden Ableitungen von $f_t$ bestimmen.
  • Dann kannst du im 2. Schritt den Term der ersten Ableitung mit dem Wert Null gleichsetzen und nach $x$ auflösen und somit die notwendige Bedingung für Extremstellen überprüfen.
  • Um dann im 3. Schritt zu zeigen, dass es sich um Extremstellen und nicht um Wendestellen handelt, muss für die ermittelten Werte $f_t(x_E)'' \neq 0$ gelten (hinreichende Bedingung).
$\blacktriangleright$ Ortskurve der Wendepunkte von $\boldsymbol{K_t}$ bestimmen
Im zweiten Teil der Aufgabe ist die Ortskurve der Wendepunkte von $K_t$ zu berechnen. Gehe beim Bestimmen dieser wie folgt vor:
  • 1.Schritt: Bilden der Ableitungen $f_t'$, $f_t''$ und $f_t'''$
  • 2.Schritt: Wendestellen mit der notwendigen Bedingung $f_t''(x)\stackrel{!}{=} 0$ bestimmen
  • 3.Schritt: Hinreichende Bedingung für Wendepunkt prüfen: $f_t'''(x_{W}) \neq 0$
  • 4.Schritt: $y$–Koordinate des Wendepunktes bestimmen
  • 5.Schritt: Bestimmung der Ortskurve durch Auflösen der $x$–Koordinate nach $t$ und Einsetzen von $t$ in die $y$–Koordinate des Wendepunktes
1.1.4 $\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{t}$ bestimmen
$F_t$ ist eine Stammfunktion von $f_t$.
Du sollst nun überprüfen, ob es einen Wert für die Variable $t$ gibt, sodass folgendes für die Stammfunktion $F_t$ hier gilt:
  • 1. Bedingung: Graph von $F_t$ verläuft durch $S$: $F_t (x=0)= 20$
  • 2. Bedingung: $F_t$ besitzt in $S$ eine Steigung von 10: $F_t' (x=0)= 10$
  • 3. Bedingung: $F_t$ besitzt eine Wendestelle bei $x=-4$: $F_t'' (x=-4)= 0$
  • 4. Bedingung Überprüfen der hinreichenden Bedingung: $F_t''' (x=-4)\neq 0$
Gehe dabei wie folgt vor:
  • Willst du diese Aufgabe lösen, so bestimmst du zunächst eine Stammfunktion $F_t$ von $f_t$.
  • Im 2. Schritt kannst du mit Hilfe der ersten Bedingung die Integrationskonstante $c$ ermitteln und so die Stammfunktion festlegen.
  • Im 3. Schritt berechnest du mögliche Werte für $t$, für die die Steigung im Punkt S $(0 \mid 20)$ den Wert 10 annimmt. Beachte dabei, das $f_t$ der ersten Ableitung von $F_t$ entspricht.
  • Im 4. Schritt überprüfst du, für welche der zuvor berechneten $t$ an der Stelle $x=-4$ eine Wendestelle vorliegt.
  • Hast du ein solches $t$ gefunden, so muss anschließend im 5. Schritt die hinreichende Bedingung für ein solches $t$ überprüft werden.
1.2
1.2.1 $\blacktriangleright$ Prüfen der Zugehörigkeit der gezeigten Schaubilder zu einer Funktion $\boldsymbol{g_a}$
Es ist eine Funktionenschar $g_a$ trigonometrischer Funktionen gegeben. Für jedes $a \neq 0$ gilt dabei:
$g_a(x) = a + a \cdot \cos(x)$
Du hast vier Schaubilder gegeben, für die du prüfen sollst, ob sie zu einer der Funktionen $g_a$ gehören. Wenn dies der Fall ist, sollst du den zugehörigen Wert von $a$ ermitteln.
Zur Ermittlung des zugehörigen Wertes von $a$ ist es dann vorteilhaft, einen gut ablesbaren Wert eines Schaubildes zu wählen und in den Funktionsterm einzusetzen. Dann kannst du den Term anschließend nach $a$ auflösen.
Aber zuerst musst du wissen, für welche Schaubilder du den zugehörigen $a$–Wert ermitteln musst.
Dazu siehst du dir die Funktionenschar $g_a$ genauer an. Gegeben ist eine Kosinus–Funktion, also musst du hier reflektieren, was du über den Kosinus weißt.
  • Der Kosinus besitzt eine Periode von $2\,\pi$.
  • $\cos(x)$ schneidet die $y$–Achse im Punkt $P(0 \mid 1)$. Dieser Punkt ist gleichzeitig ein Hochpunkt der Funktion.
  • Für $f(x) = a\;\sin(b\,(x + c)) + d$ mit $a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}, c \in \mathbb{R}, d \in \mathbb{R}$ gilt:
    • $a$ bewirkt eine Änderung der Amplitude, das heißt der Graph wird in $y$–Richtung um den Faktor $a$ gestreckt ($a > 1$) oder gestaucht $(0 < a < 1)$.
    • Für $a < 0$ wird der Graph zusätzlich zur Amplitudenänderung an der $x$–Achse gespiegelt.
    • Durch $b$ wird der Graph um den Faktor $ \frac{1}{b}$ in $x$–Richtung gestaucht ($b > 1$) oder gestreckt $(b < 1)$, die Periode ändert sich. Das Schaubild ist nun nicht mehr $2 \, \pi$–periodisch, sondern $\frac{2\, \pi}{b}$–periodisch.
    • Der Parameter $c$ verschiebt das Schaubild auf der $x$–Achse in positive Koordinatenrichtung ($c < 0$) und in negative Koordinatenrichtung ($c < 0$).
    • $d$ verschiebt das Schaubild in positive $y$–Richtung ($d > 0$) und negative $y$–Richtung $ (d < 0)$.
Damit kannst du jetzt erkennen, wie der Parameter $a$ die Schaubilder zu verschiedenen Funktionen $g_a$ beeinflusst.
$\boldsymbol{a}$ kann in dem Schaubild einer Funktion $g_a$ eine Änderung der Amplitude, also eine Streckung oder Stauchung in $y$–Richtung, bewirken. Falls $\boldsymbol{a}$ negativ ist, wird das Schaubild an der $\boldsymbol{x}$–Achse gespiegelt. Außerdem wird das Schaubild um $\boldsymbol{a}$ in Richtung der der $\boldsymbol{y}$–Achse verschoben.
Du weißt also, dass die Hoch– bzw. Tiefpunkte der Graphen der Funktionenschar $g_a$ immer auf der $y$–Achse liegen müssen, da diese nicht in $x$–Richtung verschoben werden kann.
1.2.2 $\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{u}$ mit maximalen Flächeninhalt bestimmen
Du hast vier Punkte O $(0 \mid 0)$, P $(u \mid 0)$, Q $(u \mid g_2(u))$ und R $(0 \mid 1)$ gegeben. Für $u$ gilt dabei: $0 < u < \pi$. Diese vier Punkte bilden ein Viereck. Du sollst nun bestimmen für welchen Wert $u$ der Flächeninhalt des Vierecks maximal wird.
Die Funktion die du dabei betrachtest ist $g_2$, dargestellt in Abbildung 1.
Die Punkte die unabhängig von $u$ gegeben sind, sind die Punkte $O$ und $R$.
$Q$ liegt auf dem Schaubild von $g_2$ zwischen der $y$–Achse bei $x = 0$ und dem Wert $x = \pi$.
Über den Punkt $P$ weißt du, dass er unterhalb des Punktes $Q$ auf der $x$–Achse liegt.
Um das Ganze zu veranschaulichen, kannst du die Punkte mit einem beliebig gewählten Wert für $u$ in eine Skizze übertragen:
Analysis
Analysis
Jetzt kannst du sehen, dass es sich bei dem Viereck um ein Trapez handelt.
Der Flächeninhalt eines Trapezes berechnet sich über folgende Formel:
$A = \dfrac{1}{2}\,(a+c) \cdot h$
mit
  • $a$ und $c$: Grundseiten (parallele Seiten) des Trapezes
  • $h$: Höhe des Trapezes $\mathrel{\widehat{=}}$ Abstand zwischen den Grundseiten
In unserem Fall sind die beiden parallelen Seiten des Trapezes die Strecken $\overline{OR}$ und $\overline{PQ}$, da beide Grundseiten senkrecht auf der $x$–Achse stehen. Die Höhe des Trapezes entspricht dem Wert von $u$.
Eingesetzt in die Formel für den Flächeninhalt erhältst du eine Flächenfunktion $A$. Der Flächeninhalt des Trapezes wird maximal für den Wert $u$, bei dem die Flächenfunktion $A$ ein absolutes Maximum besitzt.
  • Also berechnest du jetzt im 1. Schritt den Term der Flächenfunktion $A$.
  • Im 2. Schritt kannst mit Hilfe des GTR den Wert für $u$ bestimmen, bei dem die Funktion ein absolutes Maximum besitzt.
1.2.3 $\blacktriangleright$ Bestimmen des gesuchten Wertes für $\boldsymbol{a}$
Wenn du Abbildung 1 betrachtest, die ein mögliches Schaubild der Funktion $g_a$ darstellt, siehst du, dass das Schaubild mit der $x$–Achse eine Fläche einschließt. Diese Fläche soll nun um die $x$–Achse rotieren.
Deine Aufgabe ist es, die Werte für Parameter $a$ zu bestimmen, für die der Rotationskörper ein Volumen von 120 Volumeneinheiten annimmt.
Für das Volumen von Rotationskörpern um die $x$–Achse gilt folgender Zusammenhang:
$V = \pi \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\mathrm dx$
Als Integrationsgrenzen nimmst du hier die in der Aufgabenstellung gegeben Intervallsgrenzen deiner Funktion mit $-2 \pi$ und $2 \pi$ an und setzt alles in die Formel von oben ein und vereinfachst wie folgt:
$\begin{array}{rcll} V&=&\pi \cdot \displaystyle\int_{-2 \pi}^{2 \pi}(g_a(x))^2\mathrm dx \\ &=&\pi \cdot \displaystyle\int_{-2 \pi}^{2 \pi}(a + a \cdot \cos(x))^2\mathrm dx \\ &=&\pi \cdot \displaystyle\int_{-2 \pi}^{2 \pi} a^2 \cdot (1 + \cos(x))^2\mathrm dx \\ &=&\pi \cdot a^2 \cdot \displaystyle\int_{-2 \pi}^{2 \pi} (1 + \cos(x))^2\mathrm dx&\\ \end{array}$
Den Parameter $a$ kannst du hier vor das Integral ziehen, da lediglich über $x$ integriert wird und $a$ als Konstante betrachtet werden kann (Linearität des Integrals).
Das Integral des Terms kannst du mit deinem GTR berechnen.
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1.1
1.1.1 $\blacktriangleright$ Ermittlung der Schnittpunkte von $\boldsymbol{K_1}$ mit den Koordinatenachsen
Es ist eine Funktion $f_t$ gegeben, deren Schaubild $K_t$ ist. Diese Funktion ist abhängig von $t \in \mathbb{R}$ und von $x \in \mathbb{R}$.
Du sollst die Schnittpunkte des Schaubildes $K_1$ mit den Koordinatenachsen bestimmen.
  • Dazu brauchst du die Funktion $f_1$, die du im 1. Schritt durch Einsetzen des Wertes $1$ für $t$ erhältst.
  • Im 2. Schritt bestimmst du die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Die Schnittstellen mit der $x$–Achse bzw. Nullstelle bestimmst du mit Hilfe des GTR. Den Schnittpunkt mit der $y$–Achse erhältst du, indem du $x = 0$ in deine Funktion einsetzt.
1. Schritt: $\boldsymbol{f_1}$ bestimmen
Die Funktion $f_1$ erhältst du, indem du in den gegebene Funktionsterm
$f_t(x) = \frac{1}{2}\,x^3 - 3\,t\,x^2 + 4\,(t^2 - 1)\,x + 10\,t^2$
den Wert $t = 1$ einsetzt:
$\begin{array}{rcll} f_1(x)&=&\frac{1}{2}\,x^3 - 3\cdot 1\cdot x^2 + 4\,(1^2 - 1)\,x + 10\cdot 1^2 &\\ &=&\frac{1}{2}\,x^2 - 3\,x^2 + 10 &\\ \end{array}$
2. Schritt: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Die Nullstellen, also die Schnittpunkte des Schaubildes mit der $x$–Achse, kannst du mit Hilfe des Taschenrechners bestimmen.
Dazu gibst du den Funktionsterm im Funktionseditor (Y=) ein und wechselst anschließend zu Ansicht des Graphen (GRAPH).
Über CALC $\rightarrow$ 2: zero kommst du zur Nullstellenbestimmung.
Dein Graph hat, wie du siehst, mehr als eine Nullstelle. Also wählst du für die erste Nullstelle einen $x$–Wert, der kleiner als der der Nullstelle ist, zum Beispiel $-2$. Für den rechten Wert kannst du $0$ wählen. Als Startwert für die Suche (Guess) kannst du deinen ersten Wert $-2$ einsetzen.
Dann zeigt dir der GTR deine erste Nullstelle $\boldsymbol{x_{N_1}=-1,62}$ an.
Analysis
Analysis
Die zweite Nullstelle erhältst du, indem du den Vorgang mit anderen Werten wiederholst. Setze für den linken Wert 0 ein und für den rechten 3. Als Startwert kannst du 0 wählen.
Damit erhältst du die zweite Nullstelle $\boldsymbol{x_{N_2}=2,34}$.
Die dritte und letzte Nullstelle kannst du analog bestimmen.
Du erhältst $\boldsymbol{x_{N_3}=5,28}$.
Zur Bestimmung des $\boldsymbol{y}$–Achsenabschnitts wird $x = 0$ in $f_1$ eingesetzt:
$\begin{array}{rcll} f_1(x=0)&=&\frac{1}{2}\,0^3 - 3 \cdot 0^2 + 10& \\ &=&10& \\ \end{array}$
Das Schaubild $K_1$ besitzt also bei $N_1(-1,62 \mid 0)$, $N_2(2,34 \mid 0)$ und $N_3(5,28 \mid 0)$ Schnittpunkte mit der $x$–Achse. Bei $S(0 \mid 10)$ befindet sich der Schnittpunkt mit der $y$–Achse.
$\blacktriangleright$ Berechnen der Koordinaten der Extrempunkte von Hand
Du sollst die Extrempunkte des Graphen $K_1$ von Hand ausrechnen.
  • Willst du die lokalen Extrempunkte von $K_1$ bestimmen, so bestimmst du im 1. Schritt die erste und zweite Ableitung von $f$. Bestimmst du dann die Nullstellen von $f_1'$, so hast du die potentiellen Extremstellen bestimmt (Notwendige Bedingung).
  • Um zu bestimmen, ob es sich um Hoch– oder Tiefpunkte handelt, werden im 2. Schritt die ermittelten Werte in die zweite Ableitung $f_1''$ eingesetzt und somit die hinreichende Bedingung überprüft.
Für die hinreichende Bedingung musst du wie folgt unterscheiden:
  • Hochpunkt für $f_1''(x) < 0$
  • Tiefpunkt für $f_1''(x) > 0$
Zuletzt erhältst du über Einsetzen der Extremstellen in $f_1(x)$ die vollständigen Koordinaten der Extrempunkte.
1. Schritt: Ableitungen bilden und potentielle Extremstellen bestimmen
Hier bestimmst du zuerst die Ableitungen $f_1'$ und $f_1''$ der Funktion
$f_1(x)= \frac{1}{2}\,x^3 - 3\,x^2 + 10$.
1. Ableitung von $f_1$:
$\begin{array}{rcll} f_1'(x)&=& \frac{1}{2}\cdot 3\cdot x^2 - 3\cdot 2\,x&\\ &=& \frac{3}{2}\cdot x^2 - 6\,x&\\ \end{array}$
2. Ableitung von $f_1$:
$\begin{array}{rcll} f_1''(x)&=&3\cdot x - 6& \end{array}$
Die Extremstellen ermittelst du, indem du den Term der Ableitungsfunktion $f_1'$ mit Null gleichsetzt und nach $x$ auflöst:
$\begin{array}{rcll} f_1'(x)&\stackrel{!}{=}&0&\\ 0&=&\frac{3}{2}\,x^2 - 6\,x&\\ 0&=&x\,(\frac{3}{2}\,x - 6)&\\ \end{array}$
Nach dem Satz des Nullproduktes folgt, dass diese Gleichung hier einen Wert von Null annimmt, wenn einer der beiden Faktoren Null wird. Es ergibt sich also:
$x_1 =0$
und
$\begin{array}{rcll} \frac{3}{2}\,x_2 - 6&=&0&\scriptsize{\mid\;\cdot \frac{2}{3} }\\ x_2 - 4&=&0&\scriptsize{\mid\; +4} \\ x_2&=&4&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} \frac{3}{2}\,x_2 - 6&=&0&\\ x_2 - 4&=&0&\\ x_2&=&4&\\ \end{array}$
2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Um nun zu bestimmen, um welche Art von Extrema es sich bei den Extremstellen handelt, setzt du $x_1$ und $x_2$ in den Term der 2. Ableitung ein:
$\begin{array}{rcll} f_1''(x_1=0)&=& 3 \cdot 0 - 6&\\ &=& -6&\\ \end{array}$
$\Longrightarrow\,f_1''(x_1=0) < 0\;\Rightarrow$ Es handelt sich um ein Maximum.
$\begin{array}{rcll} f_1''(x_2=4)&=& 3 \cdot 4 - 6&\\ &=&6&\\ \end{array}$
$\Longrightarrow\,f_1''(x_2=4) > 0\;\Rightarrow$ Es handelt sich um ein Minimum.
Jetzt musst du nur noch die zugehörigen $y$–Koordinaten berechnen, um die vollständigen Koordinaten der Extrempunkte von $K_1$ zu bestimmen. Erreiche dies durch Einsetzen von $x_1$ und $x_2$ in den Term der Funktion $f_1$.
$\begin{array}{rcll} f_1(x_1=0)&=&\frac{1}{2}\,0^3 - 3 \cdot 0^2 + 10&\\ &=&10&\\ \end{array}$
$\Rightarrow$ Hochpunkt $ \boldsymbol{H(0 \mid 10)}$
$\begin{array}{rcll} f_1(x_2=4)&=&\frac{1}{2}\cdot 4^3 - 3\cdot 4^2 + 10&\\ &=&\frac{1}{2} \cdot 64 - 3\cdot 16 + 10&\\ &=&32 - 48 + 10&\\ &=&-6&\\ \end{array}$
$\Rightarrow$ Tiefpunkt $ \boldsymbol{T (4 \mid -6)}$
$K_1$ besitzt also einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H(0 \mid 10)$ und einen Tiefpunkt bei $T(4 \mid -6)$.
$\blacktriangleright$ Zeichnen des Schaubildes
Analysis
Analysis
Zum Zeichnen des Schaubildes kannst du dir im GTR eine Wertetabelle zur Funktion $f_1$ anzeigen lassen.
Dafür gehst du zunächst auf TBLSET.
Als Startwert (TblStart) brauchst du einen Wert, der geringer ist als die zuvor berechneten Nullstellen, Hoch– und Tiefpunkte.
Der kleinste, vorkommende Wert ist $x_{N_1}=-1,62$. Also nehmen wir einen etwas geringeren Wert, $-2$.
Nun muss die Schrittweite eingestellt werden. Bei unserem Graph ist eine Schrittweite von $1$ sinnvoll.
Wenn du jetzt zu TABLE wechselst, wird dir die Wertetabelle angezeigt.
Wenn du diese Punkte mit den zuvor berechneten Werten vergleichst, erhältst du folgende Punkte, die du in dein Koordinatensystem eintragen kannst:
  • $\boldsymbol{X_1 (-2 \mid -6)}$
  • 1. Schnittpunkt von $K_1$ mit der $x$–Achse: $\boldsymbol{N_1(-1,62 \mid 0)}$
  • $\boldsymbol{X_2 (-1 \mid 6,5)}$
  • Schnittpunkt von $K_1$ mit der $y$–Achse ist gleichzeitig der Hochpunkt $\boldsymbol{H(0 \mid 10)}$
  • $\boldsymbol{X_4 (1 \mid 7,5)}$
  • $\boldsymbol{X_5 (2 \mid 2)}$
  • 2. Schnittpunkt von $K_1$ mit der $x$–Achse: $\boldsymbol{N_2(2,34 \mid 0)}$
  • $\boldsymbol{X_6 (3 \mid -3,5)}$
  • Tiefpunkt $\boldsymbol{T(4 \mid -6)}$
  • $\boldsymbol{X_8 (5 \mid -2,5)}$
  • 3. Schnittpunkt von $K_1$ mit der $x$–Achse: $\boldsymbol{N_3(5,28 \mid 0)}$
  • $\boldsymbol{X_9 (6 \mid 10)}$
Wenn du diese Punkte nun verbindest, erhältst du folgendes Schaubild $K_1$:
Analysis
Analysis
1.1.2
1.1.2.1 $\blacktriangleright$ Zeichnen einer Geraden
Im ersten Aufgabenteil sollst du eine Gerade in das Koordinatensystem aus Aufgabe 1.1.1 einzeichnen, die
  • den Hochpunkt von $K_1$ enthält,
  • eine negative Steigung hat und
  • mit dem Funktionsgraphen zwei Flächenstücke einschließt.
Wenn du dir das Schaubild, das du soeben gezeichnet hast, betrachtest, siehst du, dass es viele Möglichkeiten gibt, eine solche Gerade einzuzeichnen. Da ihre Steigung negativ sein soll und sie den Hochpunkt von $K_1$ enthalten soll, muss die Gerade einen Schnittpunkt mit der positiven $x$–Achse besitzen. Außerdem muss die Gerade $K_1$ zusätzlich noch zweimal schneiden, damit zwei Flächenstücke eingeschlossen werden.
Zum Lösen der Aufgabe kannst du eine beliebige Gerade, die die oben genannten Kriterien erfüllt, in dein Koordinatensystem einzeichnen.
Eine mögliche Gerade $g$, die diese Bedingungen erfüllt, geht durch den Punkt $\text{X}_5\,(2 \mid 2)$.
Also zeichnest du sie in dein Koordinatensystem, indem du den Hochpunkt mit dem Punkt $\text{X}_5$ verbindest.
Analysis
Analysis
$\blacktriangleright$ Bestimmen der Geradengleichung
Zur Bestimmung der Geradengleichung, wird die Steigung anhand des Schaubildes von oben bestimmt. Um anschließend die Gleichung der eben gezeichneten Geraden zu ermitteln, nutzt du die allgemeine Geradengleichung. Diese sieht wie folgt aus:
$g(x)= m\cdot x + b$
mit
  • $m$: Steigung der Geraden
  • $b$: $y$–Achsenabschnitt
Für die Steigung gilt:
$m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$
Um $\Delta x$ und $\Delta y$ zu ermitteln, zeichnest du ein Steigungsdreieck (siehe oben) an deine Gerade. Mit den Koordinaten von $H$ und $X_5$ ergibt sich hier:
$\begin{array}{rcll} m&=&\dfrac{\Delta y}{\Delta x}&\\ &=&\dfrac{2 - 10}{2 - 0}&\\ &=&\dfrac{-8}{2}&\\ &=&-4& \end{array}$
Den $y$–Achsenabschnitt haben wir bereits in der vorherigen Aufgabe bestimmt, dieser entsprach gerade der $y$–Koordinate des Hochpunktes $H$.
Die Geradengleichung von $g$ kannst du also wie folgt hier angeben:
$\boldsymbol{g_1(x)= -4\,x + 10}$
1.1.2.2 $\blacktriangleright$ Steigungswerte bestimmen
Du betrachtest Geraden mit negativer Steigung, die den Hochpunkt von $K_1$ enthalten und mit $K_1$ zwei Flächenstücke einschließen. In dieser Aufgabe sollst du alle Werte bestimmen, die die Steigung einer solchen Geraden annehmen kann, so dass die gegebenen Bedingungen noch erfüllt sind. Von oben weißt du dabei, dass die Steigung einer solchen Geraden negativ sein muss. Es gilt also $\boldsymbol{m < 0}$.
Außerdem soll die Gerade durch den Hochpunkt $H$ von $K_1$ verlaufen. Anhand des Schaubildes können wir bereits sagen, dass eine Gerade, die durch den Hochpunkt geht und eine Steigung $m < 0$ hat, $K_1$ zweimal schneidet.
Allerdings nur, bis die Gerade den Graphen der Funktion $f_1$ in einem bestimmten Punkt berührt. Dann hat sie nur noch einen Schnitt– bzw. Berührpunkt mit $K_1$.
  • Diesen Punkt $x_0$ kannst du im 1. Schritt mit Hilfe der Tangentengleichung ermitteln.
  • $y = f'(x_0)\cdot (x - x_0) + f (x_0)$
  • Um die Steigung zu ermitteln, die die Geraden nicht mehr annehmen dürfen, kannst du im 2. Schritt die bestimmte Stelle $x_0$ in $f'(x)$ einsetzen.
Die Steigung der Tangente an den Punkt $x_0$ stimmt mit der Steigung der Funktion $f_1$ an diesem Punkt überein.
1. Schritt: $\boldsymbol{x_0}$ bestimmen
Bestimme nun die Berührstelle der Geraden, die durch den Hochpunkt $H$ verläuft und $K_1$ berührt. Verwende dazu die allgemeine Tangentengleichung, sowie $f_1(x)$ und $f_1'(x)$. Setze diese beiden Funktionen und den Hochpunkt $(0 \mid 10)$ nun in die Tangentengleichung ein und löse nach $x_0$:
$\begin{array}{rcll} y&=&f_1'(x_0)\cdot (x - x_0) + f_1 (x_0) \\ 10&=&\left(\frac{3}{2}\,x_0^2 - 6\,x_0\right) \cdot (0- x_0) + \frac{1}{2}\,x_0^3 - 3\,x_0^2 + 10 \\ 10&=&- \frac{3}{2}\,x_0^3 + 6\,x_0^2 + \frac{1}{2}\,x_0^3 - 3\,x_0^2 + 10&\scriptsize{\mid -10}\\ 0&=&-x_0^3 + 3\,x_0^2&\\ 0&=&x_0^2 (-x_0 + 3)&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} y&=&f_1'(x_0)\cdot (x - x_0) + f_1 (x_0) \\ 10&=&\left(\frac{3}{2}\,x_0^2 - 6\,x_0\right) \cdot (0- x_0) + \frac{1}{2}\,x_0^3 - 3\,x_0^2 + 10 \\ 10&=&- \frac{3}{2}\,x_0^3 + 6\,x_0^2 + \frac{1}{2}\,x_0^3 - 3\,x_0^2 + 10&\\ 0&=&-x_0^3 + 3\,x_0^2&\\ 0&=&x_0^2 (-x_0 + 3)&\\ \end{array}$
Die Gleichung nimmt genau dann den Wert 0 an, wenn einer der beiden Faktoren $0$ wird (Satz des Nullproduktes). Dies gilt für:
$x_1=0$
und für
$\begin{array}{rcll} 3 - x_2&=&0&\scriptsize{\mid\; + x_2} \\ x_2&=&3&\\ \end{array}$
Da $x_1$ gerade der $x$–Koordinate von $H$ entspricht, wird dieser Wert hier nicht weiter beachtet. Die Gerade, welche eine Steigung von $f_1'(3)$ besitzt, berührt also den Graphen von $f_1$ und besitzt somit nur einen Schnittpunkt mit $K_1$.
2. Schritt: Steigung ermitteln
Um nun die Steigung der Geraden zu ermitteln, die $K_1$ berührt, setzen wir $x_2 = 3$ in $f_1'(x)$ ein:
$\begin{array}{rcll} f_1'(x_2=3)&=&\frac{3}{2} \cdot 3^2 - 6 \cdot 3&\\ &=&\frac{3}{2} \cdot 9 - 18&\\ &=&13,5 - 18&\\ &=&- 4,5&\\ \end{array}$
Also liegen die Steigungswerte der Geraden, die den Hochpunkt von $K_1$ enthalten und mit $K_1$ zwei Flächenstücke einschließen, zwischen den Werten $0$ und $- 4,5$. Für Steigung $m$ muss also gelten: $\boldsymbol{- 4,5 < m < 0}$.
1.1.3 $\blacktriangleright$ Extrempunkte von $\boldsymbol{K_t}$
In dieser Aufgabe soll gezeigt werden, dass $\text{K}_t$ für alle t zwei Extrempunkte besitzt.
Du hast bereits in Aufgabe 1.1.1 die Extrempunkte von $K_1$ ausgerechnet. Das Vorgehen zur Bestimmung von Extrempunkten einer Kurvenschar ist ähnlich. Der einzige Unterschied besteht darin, dass der Parameter $t$ möglicherweise erhalten bleibt.
  • Für die lokalen Extrema musst du im 1. Schritt die ersten beiden Ableitungen von $f_t$ bestimmen.
  • Dann kannst du im 2. Schritt den Term der ersten Ableitung mit dem Wert Null gleichsetzen und nach $x$ auflösen und somit die notwendige Bedingung für Extremstellen überprüfen.
  • Um dann im 3. Schritt zu zeigen, dass es sich um Extremstellen und nicht um Wendestellen handelt, muss für die ermittelten Werte $f_t(x_E)'' \neq 0$ gelten (hinreichende Bedingung).
1. Schritt: Erste und zweite Ableitung bestimmen
$f_t(x) = \frac{1}{2}\,x^3 - 3tx^2 + 4 (t^2 - 1)x + 10t^2$
1. Ableitung von $f_t$:
$ f_t'(x)=\frac{3}{2}\,x^2 - 6\,t\,x + 4 (t^2 - 1)$
2. Ableitung von $f_t$:
$f_t''(x)=3\,x - 6\,t$
2. Schritt: Nullstellen der ersten Ableitungsfunktion
Bestimme nun die Nullstellen von $f_t'$, um mögliche Extremstellen von $f_t$ zu bestimmen:
$\begin{array}{rcll} f_t'(x)&\stackrel{!}{=}&0&\\ 0&=&\frac{3}{2}\,x^2 - 6\,t\,x + 4 (t^2-1) &\scriptsize{\mid\; \cdot \frac{2}{3}}\\ 0&=&x^2 - 4\,t\,x + \frac{8}{3} (t^2 - 1)&\\ \end{array}$
Hier liegt eine quadratische Gleichung vor. Es gibt zwei Möglichkeiten diese Gleichung zu lösen. Du kannst Sie mit der $\boldsymbol{p}$–$\boldsymbol{q}$–Formel lösen oder mit der Mitternachtsformel ($a$–$b$–$c$–Formel).
p–q–Formel:
$x_{1,2}=-\dfrac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2 - q}$
Mit $p=-4\,t$ und $q=\frac{8}{3} (t^2 - 1)$ kannst du nun die $x$–Werte ausrechnen:
$\begin{array}{rcll} x_{1,2}&=&- \frac{(-4t)}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{(-4t)}{2}\right)^2 - \frac{8}{3} (t^2 - 1)}&\\ &=&2\,t \pm \sqrt{4\,t^2 - \frac{8}{3} t^2 + \frac{8}{3}}&\\ &=&2\,t \pm \sqrt{\frac{4}{3} t^2 + \frac{8}{3}}&\\ \end{array}$
$\Rightarrow$ $\boldsymbol{x_1=2\,t + \sqrt{\frac{4}{3} t^2 + \frac{8}{3}}}$
$\Rightarrow$ $\boldsymbol{x_2=2\,t - \sqrt{\frac{4}{3} t^2 + \frac{8}{3}}}$
Mitternachtsformel:
$x_{1,2} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}}$
Hier gilt $a=1$, $b=-4\,t$ und $c=\frac{8}{3} (t^2-1)$
$\begin{array}{rcll} x_{1,2}&=&\dfrac{-(-4t) \pm \sqrt{(-4\,t)^2-4 \cdot 1 \cdot \frac{8}{3}(t^2-1)}}{2 \cdot 1} \\ &=&\dfrac{4\,t \pm \sqrt{16\,t^2 - \frac{32}{3} \cdot (t^2-1)}}{2} \\ &=&\dfrac{4\,t \pm \sqrt{16\,t^2 - \frac{32}{3} \cdot t^2 + \frac{32}{3}}}{2} \\ &=&\dfrac{4\,t \pm \sqrt{\frac{16}{3}\,t^2 + \frac{32}{3}}}{2}\\ &=&\dfrac{4\,t \pm 2 \cdot \sqrt{\frac{4}{3}\,t^2 + \frac{8}{3}}}{2}\\ &=&2\,t \pm \sqrt{\frac{4}{3} t^2 + \frac{8}{3}}&\\ \end{array}$
$\Rightarrow$ $\boldsymbol{x_1=2\,t + \sqrt{\frac{4}{3} t^2 + \frac{8}{3}}}$
$\Rightarrow$ $\boldsymbol{x_2=2\,t - \sqrt{\frac{4}{3} t^2 + \frac{8}{3}}}$
3. Schritt: Überprüfen der hinreichenden Bedingung
Überprüfe nun, ob $x_1$ und $x_2$ die hinreichende Bedingung für Extremstellen erfüllen:
$\begin{array}{rcll} f_t''(x_1)&=&3 \left(2\,t + \sqrt{\frac{4}{3} t^2 + \frac{8}{3}}\right) - 6\,t&\\ &=&6\,t + 3 \sqrt{\frac{4}{3} t^2 + \frac{8}{3}} - 6\,t&\\ &=&3 \sqrt{\frac{4}{3} t^2 + \frac{8}{3}}&\\ \end{array}$
Es gilt $\boldsymbol{t^2 \geq 0}$ für alle $t \in \mathbb{R}$. Damit kann der Ausdruck $\sqrt{\frac{4}{3} t^2 + \frac{8}{3}}$ nie einen Wert gleich oder kleiner Null annehmen und folglich gilt $\boldsymbol{f_t''(x_1) > 0}$.
Jetzt ist nur noch der Wert $x_2$ einzusetzen:
$\begin{array}{rcll} f_t''(x_2)&=&3 \left(2\,t - \sqrt{\frac{4}{3} t^2 + \frac{8}{3}}\right) - 6\,t&\\ &=&6\,t - 3 \sqrt{\frac{4}{3} t^2 + \frac{8}{3}} - 6\,t&\\ &=&-3 \sqrt{\frac{4}{3} t^2 + \frac{8}{3}}&\\ \end{array}$
Für den Wert $x_2$ gilt ebenfalls $\boldsymbol{t^2 > 0}$ für alle $t \in \mathbb{R}$. Folglich gilt hier $\boldsymbol{f_t''(x_2) < 0}$.
Das Schaubild $K_t$ besitzt genau zwei Extremstellen. Diese liegen bei $\boldsymbol{x_1=2\,t + \sqrt{\frac{4}{3} t^2 + \frac{8}{3}}}$ und $\boldsymbol{x_2=2\,t - \sqrt{\frac{4}{3} t^2 + \frac{8}{3}}}$.
$\blacktriangleright$ Ortskurve der Wendepunkte von $\boldsymbol{K_t}$ bestimmen
Im zweiten Teil der Aufgabe ist die Ortskurve der Wendepunkte von $K_t$ zu berechnen. Gehe beim Bestimmen dieser wie folgt vor:
  • 1.Schritt: Bilden der Ableitungen $f_t'$, $f_t''$ und $f_t'''$
  • 2.Schritt: Wendestellen mit der notwendigen Bedingung $f_t''(x)\stackrel{!}{=} 0$ bestimmen
  • 3.Schritt: Hinreichende Bedingung für Wendepunkt prüfen: $f_t'''(x_{W}) \neq 0$
  • 4.Schritt: $y$–Koordinate des Wendepunktes bestimmen
  • 5.Schritt: Bestimmung der Ortskurve durch Auflösen der $x$–Koordinate nach $t$ und Einsetzen von $t$ in die $y$–Koordinate des Wendepunktes
1. Schritt: Ableitungen bilden
Die Ableitungen $f_t'$ und $f_t''$ hast du bereits in den vorherigen Aufgabenteilen bestimmt, also fehlt nur noch die dritte Ableitung:
1. Ableitung von $f_t$:
$f_t'(x)=\frac{3}{2}\,x^2 - 6\,t\,x + 4 (t^2 - 1)$
2. Ableitung von $f_t$:
$f_t''(x)=3\,x - 6\,t$
3. Ableitung von $f_t$:
$f_t'''(x)=3$
2. Schritt: Notwendige Bedingung prüfen
Bestimme nun die potentiellen Wendestellen über die notwendige Bedingung. Das bedeutet ein Bestimmen der Nullstellen von $f_t''$
$\begin{array}{rcll} f_t''(x)&\stackrel{!}{=}&0&\\ 0&=&3\,x_{W} - 6\,t &\scriptsize{\mid\; \cdot \frac{1}{3}}\\ 0&=&x_{W} - 2\,t&\scriptsize{\mid\; +2\,t}\\ x_{W}&=&2\,t&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} f_t''(x)&\stackrel{!}{=}&0&\\ 0&=&3\,x_{W} - 6\,t &\\ 0&=&x_{W} - 2\,t&\\ x_{W}&=&2\,t&\\ \end{array}$
3. Schritt: Hinreichende Bedingung prüfen
Für die hinreichende Bedingung muss gelten: $f_t'''(x_{W}) \neq 0$
Da die dritte Ableitung der Funktion $f_t$ unabhängig von von $t$ oder $x$ mit $f'''_t(x)= 3$ ungleich Null ist, ist die hinreichende Bedingung an der Stelle $x_W = 2 \cdot t$ erfüllt.
4. Schritt: $\boldsymbol{y}$–Koordinate des Wendepunktes ermitteln
Zur Bestimmung der $y$–Koordinate des Wendepunktes $W$ musst du die Wendestelle $x_W=2 \cdot t$, die wir im 2. Schritt erhalten haben, in den Funktionsterm $f_t(x)$ einsetzen:
$\begin{array}{rcll} f_t(x_{W}=2\,t)&=&\frac{1}{2} (2\,t)^3 - 3\,t (2\,t)^2 + 4 (t^2-1)\cdot 2\,t + 10\,t^2&\\ &=&\frac{1}{2} \cdot 8\,t^3 - 3\,t\cdot 4\,t^2 + 8t (t^2-1) + 10 \,t^2&\\ &=&4\,t^3 - 12\,t^3 + 8\,t^3 - 8\,t + 10\,t^2&\\ &=&10\,t^2 - 8\,t&\\ \end{array}$
Die Koordinaten des Wendepunkts $W$ sind also: $\boldsymbol{W(2\,t \mid 10\,t^2 - 8\,t)}$
5. Schritt: Gleichung der Ortskurve aufstellen
Zuerst musst du die $x$–Koordinate nach $t$ umstellen:
$\begin{array}{rcll} x&=&2\,t&\scriptsize{\mid\; \cdot \frac{1}{2}}\\ t&=&\frac{1}{2}\,x&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} x&=&2\,t&\\ t&=&\frac{1}{2}\,x&\\ \end{array}$
Jetzt kannst du $t$ in die $y$–Koordinate des Wendepunktes $W$ einsetzen:
$\begin{array}{rcll} y&=&10\,t^2 - 8\,t&\scriptsize{t= \frac{1}{2}\,x}\\ &=&10 (\frac{1}{2} \cdot x)^2 - 8 \cdot \frac{1}{2}\,x&\\ &=&10 \cdot \frac{1}{4}\,x^2 - 4\,x&\\ &=&\frac{5}{2}\,x^2 - 4\,x&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} y&=&10\,t^2 - 8\,t&\\ &=&10 (\frac{1}{2} \cdot x)^2 - 8 \cdot \frac{1}{2}\,x&\\ &=&10 \cdot \frac{1}{4}\,x^2 - 4\,x&\\ &=&\frac{5}{2}\,x^2 - 4\,x&\\ \end{array}$
Die Ortskurve $o$ der Wendepunkte von $K_1$ besitzt also folgenden Funktionsterm:
$o(x) = \frac{5}{2}\,x^2 - 4\,x$.
1.1.4 $\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{t}$ bestimmen
$F_t$ ist eine Stammfunktion von $f_t$.
Du sollst nun überprüfen, ob es einen Wert für die Variable $t$ gibt, sodass folgendes für die Stammfunktion $F_t$ hier gilt:
  • 1. Bedingung: Graph von $F_t$ verläuft durch $S$: $F_t (x=0)= 20$
  • 2. Bedingung: $F_t$ besitzt in $S$ eine Steigung von 10: $F_t' (x=0)= 10$
  • 3. Bedingung: $F_t$ besitzt eine Wendestelle bei $x=-4$: $F_t'' (x=-4)= 0$
  • 4. Bedingung Überprüfen der hinreichenden Bedingung: $F_t''' (x=-4)\neq 0$
Gehe dabei wie folgt vor:
  • Willst du diese Aufgabe lösen, so bestimmst du zunächst eine Stammfunktion $F_t$ von $f_t$.
  • Im 2. Schritt kannst du mit Hilfe der ersten Bedingung die Integrationskonstante $c$ ermitteln und so die Stammfunktion festlegen.
  • Im 3. Schritt berechnest du mögliche Werte für $t$, für die die Steigung im Punkt S $(0 \mid 20)$ den Wert 10 annimmt. Beachte dabei, das $f_t$ der ersten Ableitung von $F_t$ entspricht.
  • Im 4. Schritt überprüfst du, für welche der zuvor berechneten $t$ an der Stelle $x=-4$ eine Wendestelle vorliegt.
  • Hast du ein solches $t$ gefunden, so muss anschließend im 5. Schritt die hinreichende Bedingung für ein solches $t$ überprüft werden.
1. Schritt: Stammfunktion $\boldsymbol{F_t}$ bestimmen
Zur Bestimmung einer Stammfunktion $F_t$ von $f_t$ muss das unbestimmte Integral dieser Funktion gebildet werden.
$\begin{array}{rcll} F_t(x)&=&\displaystyle\int \left( f_t(x) \right)\;\mathrm dx&\\ &=&\displaystyle\int \left(\frac{1}{2}x^3 - 3\,t\,x^2 + 4 (t^2 - 1)x + 10\,t^2\right)\;\mathrm dx&\\ &=&\frac{1}{2 \cdot 4}\, x^4 - 3 \cdot \frac{1}{3}\,t\,x^3 + \frac{4}{2} (t^2 - 1)\,x^2 + 10\,t^2\,x + c&\\ &=&\frac{1}{8}\,x^4 - t\,x^3 + 2(t^2-1)\,x^2 + 10\,t^2\,x + c&\\ \end{array}$
$c$ ist die Integrationskonstante. Diese wird nun im nächsten Schritt entsprechend den gegebenen Bedingungen bestimmt.
2. Schritt: Bestimmen der Integrationskonstante
Jetzt kannst du mit Hilfe der 1. Bedingung die Integrationskonstante $c$ bestimmen. Führe dazu eine Punktprobe mit $S(0 \mid 20)$ durch:
$\begin{array}{rcll} F_t (x=0)&\stackrel{!}{=}&20\\ 20&=&\frac{1}{8}\,0^4 - t\,0^3 + 2(t^2-1)\,0^2 + 10\,t^2\,0 + c\\ 20&=&c\\ \end{array}$
Die hier gesuchte Stammfunktion $F_t$ von $f_t$ ist also:
$F_t(x)=\frac{1}{8}\,x^4 - t\,x^3 + 2(t^2-1)\,x^2 + 10\,t^2\,x + 20$
3. Schritt: Mögliche Werte für $\boldsymbol{t}$ berechnen
Um nun die Werte für $t$ zu bestimmen, welche hier in Frage kommen, nutzen wir die 2. Bedingung:
Die Steigung des Graphen von $F_t$ im Punkt $S(0 \mid 20)$ soll den Wert 10 annehmen.
Dafür benötigen wir die erste Ableitung von $F_t$. Diese ist, wie oben schon erwähnt, die gegebene Funktion $f_t$.
$\begin{array}{rcll} F_t'(x=0)&\stackrel{!}{=}&10\\ f_t(0)&=&10\\ \frac{1}{2}\cdot 0^3 - 3t \cdot 0^2 + 4 (t^2 - 1) \cdot 0 + 10t^2&=&10\\ 10t^2&=&10&\scriptsize{\mid\; \cdot \frac{1}{10}} \\ t^2&=&1&\scriptsize{\mid\;\sqrt{\,}} \\ t_1&=&1 \\ t_2&=&-1\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} F_t'(x=0)&\stackrel{!}{=}&10\\ f_t(0)&=&10\\ \frac{1}{2}\cdot 0^3 - 3t \cdot 0^2 + 4 (t^2 - 1) \cdot 0 + 10t^2&=&10\\ 10t^2&=&10&\\ t^2&=&1& \\ t_1&=&1 \\ t_2&=&-1\\ \end{array}$
Die möglichen Werte für $t$ sind also $\boldsymbol{t_1 = 1}$ und $\boldsymbol{t_2 = -1}$.
4. Schritt: Existenz eines Wendepunktes an der Stelle $\boldsymbol{x=-4}$ überprüfen
Eine weitere Bedingung für den Wert von $t$ ist die Existenz einer Wendestelle bei $x=-4$.
Um die notwendige Bedingung für Wendestellen zu überprüfen, benötigen wir zunächst die zweite Ableitung von $F_t$. Diese ist identisch mit der ersten Ableitung von $f_t$, die wir schon in Aufgabe 1.1.3 bestimmt haben. Überprüfe, für welchen Wert von $t$ die Stammfunktion $F_t$ an der Stelle $x = -4$ eine Wendestelle besitzt.
$\begin{array}{rcll} F_t''(x=-4)&\stackrel{!}{=}&0&\\ f_t'(-4)&\stackrel{!}{=}&0&\\ 0&=&\frac{3}{2}\,(-4)^2 - 6\,t\,(-4) + 4 (t^2 - 1)&\\ 0&=&24+24\,t+4\,t^2-4&\\ 0&=&4\,t^2 + 24\,t + 20&\\ \end{array}$
Jetzt setzen wir die zwei zuvor ermittelten Werte für $t$ ein:
$\begin{array}{rcll} F_{t = 1}''(-4)&=&4 + 24 + 20&\\ &=&48&\\ &\neq&0&\\ \end{array}$
$\boldsymbol{\Rightarrow}$ $\boldsymbol{t=1}$ ist keine Lösung für diese Aufgabe.
$\begin{array}{rcll} F_{t=-1}''(-4)&=&4 - 24 + 20&\\ &=&0& \end{array}$
$\boldsymbol{\Rightarrow}$ Für $\boldsymbol{t=-1}$ nimmt die zweite Ableitung von $\boldsymbol{F_t}$ den Wert 0 an.
5. Schritt: Hinreichende Bedingung für Wendepunkte
Um jetzt noch zu zeigen, dass sich an der Stelle $x=-4$ für $t=-1$ eine Wendestelle befindet, muss die hinreichende Bedingung für Wendestellen erfüllt werden: $F_{t = -1}'''(x=-4) \neq 0$.
$\begin{array}{rcll} F_{-1}'''(x=-4)&\neq&0\\ f_{-1}''(x=-4)&\neq&0\\ f_{-1}''(x=-4)&=&3 \cdot (-4) - 6 \cdot (-1)\\ &=&-12 + 6&\\ &=&6&\\ \end{array}$
$\boldsymbol{\Rightarrow}$ Für $\boldsymbol{t=-1}$ ist $\boldsymbol{F_t'''(x=-4) \neq 0}$
Die oben genannten Bedingungen werden für den Wert $t=-1$ erfüllt. Setze nun $t = -1$ in $F_t$ ein, um die hier gesuchte Stammfunktion zu bestimmen.
$\begin{array}{rcll} F_{t=-1}(x)&=&\frac{1}{8}\,x^4 + x^3 + 2 ((-1)^2-1)\,x^2 + 10 (-1)^2\,x + 20&\\ &=&\frac{1}{8}\,x^4 + x^3 + 10\,x + 20&\\ \end{array}$
Der hier gesuchte Wert für $t$ ist $t = -1$. Der Funktionsterm der zugehörigen Stammfunktion ist:
$F_{t=-1}(x)=\frac{1}{8}\,x^4 + x^3 + 10\,x + 20$
1.2
1.2.1 $\blacktriangleright$ Prüfen der Zugehörigkeit der gezeigten Schaubilder zu einer Funktion $\boldsymbol{g_a}$
Es ist eine Funktionenschar $g_a$ trigonometrischer Funktionen gegeben. Für jedes $a \neq 0$ gilt dabei:
$g_a(x) = a + a \cdot \cos(x)$
Du hast vier Schaubilder gegeben, für die du prüfen sollst, ob sie zu einer der Funktionen $g_a$ gehören. Wenn dies der Fall ist, sollst du den zugehörigen Wert von $a$ ermitteln.
Zur Ermittlung des zugehörigen Wertes von $a$ ist es dann vorteilhaft, einen gut ablesbaren Wert eines Schaubildes zu wählen und in den Funktionsterm einzusetzen. Dann kannst du den Term anschließend nach $a$ auflösen.
Aber zuerst musst du wissen, für welche Schaubilder du den zugehörigen $a$–Wert ermitteln musst.
Dazu siehst du dir die Funktionenschar $g_a$ genauer an. Gegeben ist eine Kosinus–Funktion, also musst du hier reflektieren, was du über den Kosinus weißt.
  • Der Kosinus besitzt eine Periode von $2\,\pi$.
  • $\cos(x)$ schneidet die $y$–Achse im Punkt $P(0 \mid 1)$. Dieser Punkt ist gleichzeitig ein Hochpunkt der Funktion.
  • Für $f(x) = a\;\sin(b\,(x + c)) + d$ mit $a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}, c \in \mathbb{R}, d \in \mathbb{R}$ gilt:
    • $a$ bewirkt eine Änderung der Amplitude, das heißt der Graph wird in $y$–Richtung um den Faktor $a$ gestreckt ($a > 1$) oder gestaucht $(0 < a < 1)$.
    • Für $a < 0$ wird der Graph zusätzlich zur Amplitudenänderung an der $x$–Achse gespiegelt.
    • Durch $b$ wird der Graph um den Faktor $ \frac{1}{b}$ in $x$–Richtung gestaucht ($b > 1$) oder gestreckt $(b < 1)$, die Periode ändert sich. Das Schaubild ist nun nicht mehr $2 \, \pi$–periodisch, sondern $\frac{2\, \pi}{b}$–periodisch.
    • Der Parameter $c$ verschiebt das Schaubild auf der $x$–Achse in positive Koordinatenrichtung ($c < 0$) und in negative Koordinatenrichtung ($c < 0$).
    • $d$ verschiebt das Schaubild in positive $y$–Richtung ($d > 0$) und negative $y$–Richtung $ (d < 0)$.
Damit kannst du jetzt erkennen, wie der Parameter $a$ die Schaubilder zu verschiedenen Funktionen $g_a$ beeinflusst.
$\boldsymbol{a}$ kann in dem Schaubild einer Funktion $g_a$ eine Änderung der Amplitude, also eine Streckung oder Stauchung in $y$–Richtung, bewirken. Falls $\boldsymbol{a}$ negativ ist, wird das Schaubild an der $\boldsymbol{x}$–Achse gespiegelt. Außerdem wird das Schaubild um $\boldsymbol{a}$ in Richtung der der $\boldsymbol{y}$–Achse verschoben.
Du weißt also, dass die Hoch– bzw. Tiefpunkte der Graphen der Funktionenschar $g_a$ immer auf der $y$–Achse liegen müssen, da diese nicht in $x$–Richtung verschoben werden kann.
Abbildung 1
Hier siehst du eine Amplitudenänderung im Vergleich zum Schaubild der Kosinusfunktion. Das Schaubild wurde gestreckt. Zusätzlich wurde es auf der $y$–Achse in positiver Richtung verschoben. Beide Phänomene könnten durch den Parameter $a$ zustande kommen. Also gehört das Schaubild in Abbildung 1 zu einer Funktion $\boldsymbol{g_a}$.
Zur Ermittlung des zugehörigen Wertes von $a$ kannst du nun einen beliebigen Punkt des Schaubildes ablesen. In diesem Fall ist es am einfachsten den Schnittpunkt mit der $y$–Achse zu wählen.
In Abbildung 1 erhältst du so den Punkt $A(0 \mid 4)$. Diesen setzt du in den Funktionsterm $g_a(x)$ ein:
$\begin{array}{rcll} g_a(x=0) &\stackrel{!}{=}&4&\\ 4&=&a + a \cdot \cos(0)&\scriptsize{ \cos (x=0)=1} \\ 4&=&2\,a&\scriptsize{\mid\; \cdot \frac{1}{2}}\\ a&=&2&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} g_a(x=0) &\stackrel{!}{=}&4&\\ 4&=&a + a \cdot \cos(0)&\scriptsize{ \cos (x=0)=1} \\ 4&=&2\,a&\scriptsize{\mid\; \cdot \frac{1}{2}}\\ a&=&2&\\ \end{array}$
$\boldsymbol{\Rightarrow} $Das Schaubild in Abbildung 1 gehört zur Funktion $\boldsymbol{g_2}$
Abbildung 2
Dieses Schaubild ähnelt sehr dem Schaubild in Abbildung 1. Es ist ebenfalls in $y$–Richtung gestreckt und in Richtung der negativen $y$–Achse verschoben. Der einzige Unterschied, den du erkennen kannst, ist die Spiegelung an der $x$–Achse. Das ist ebenfalls durch den Parameter $a$ möglich, also zeigt das Schaubild eine Funktion $\boldsymbol{g_a}$.
Den zugehörigen $a$–Wert ermittelst du wie zuvor beschrieben. Der Schnittpunkt mit der $y$–Achse ist in diesem Fall $B(0 \mid -3)$.
$\begin{array}{rcll} g_a(x=0) &\stackrel{!}{=}&-3&\\ -3&=&a + a\,\cos(0)&\scriptsize{\cos (x=0)=1} \\ -3&=&2\cdot a&\scriptsize{\mid\; \cdot \frac{1}{2}}\\ a&=&-\frac{3}{2}&\\ \end{array}$
$\boldsymbol{\Rightarrow}$Das Schaubild in Abbildung 2 gehört zur Funktion $\boldsymbol{g_{-\frac{3}{2}}}$
Abbildung 3
Dieses Schaubild sieht aus wie das in Abbildung 2, mit dem einzigen Unterschied, dass es noch weiter in Richtung der negativen $y$–Achse verschoben wurde.
Im gegebenen Funktionsterm wird das Schaubild immer genau um den Wert um den es gestreckt wird auch auf der $y$–Achse verschoben, da der Parameter der die Amplitude verändert derselbe ist, der auch die Verschiebung in $y$–Richtung verursacht.
Also muss jedes Schaubild der Funktion $g_a$ die $x$–Achse berühren oder schneiden.
$\boldsymbol{\Rightarrow}$Das Schaubild in Abbildung 3 gehört nicht zu einer Funktion $\boldsymbol{g_a}$
Abbildung 4
Du hast vorher schon festgestellt, dass der Parameter $a$ das Schaubild nur in $y$–Richtung verändern kann. Das in Abbildung 4 dargestellt Schaubild wurde jedoch in $x$–Richtung verschoben. Damit steht fest:
$\boldsymbol{\Rightarrow}$Das Schaubild in Abbildung 3 gehört nicht zu einer Funktion $\boldsymbol{g_a}$
1.2.2 $\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{u}$ mit maximalen Flächeninhalt bestimmen
Du hast vier Punkte O $(0 \mid 0)$, P $(u \mid 0)$, Q $(u \mid g_2(u))$ und R $(0 \mid 1)$ gegeben. Für $u$ gilt dabei: $0 < u < \pi$. Diese vier Punkte bilden ein Viereck. Du sollst nun bestimmen für welchen Wert $u$ der Flächeninhalt des Vierecks maximal wird.
Die Funktion die du dabei betrachtest ist $g_2$, dargestellt in Abbildung 1.
Die Punkte die unabhängig von $u$ gegeben sind, sind die Punkte $O$ und $R$.
$Q$ liegt auf dem Schaubild von $g_2$ zwischen der $y$–Achse bei $x = 0$ und dem Wert $x = \pi$.
Über den Punkt $P$ weißt du, dass er unterhalb des Punktes $Q$ auf der $x$–Achse liegt.
Um das Ganze zu veranschaulichen, kannst du die Punkte mit einem beliebig gewählten Wert für $u$ in eine Skizze übertragen:
Analysis
Analysis
Jetzt kannst du sehen, dass es sich bei dem Viereck um ein Trapez handelt.
Der Flächeninhalt eines Trapezes berechnet sich über folgende Formel:
$A = \dfrac{1}{2}\,(a+c) \cdot h$
mit
  • $a$ und $c$: Grundseiten (parallele Seiten) des Trapezes
  • $h$: Höhe des Trapezes $\mathrel{\widehat{=}}$ Abstand zwischen den Grundseiten
In unserem Fall sind die beiden parallelen Seiten des Trapezes die Strecken $\overline{OR}$ und $\overline{PQ}$, da beide Grundseiten senkrecht auf der $x$–Achse stehen. Die Höhe des Trapezes entspricht dem Wert von $u$.
Eingesetzt in die Formel für den Flächeninhalt erhältst du eine Flächenfunktion $A$. Der Flächeninhalt des Trapezes wird maximal für den Wert $u$, bei dem die Flächenfunktion $A$ ein absolutes Maximum besitzt.
  • Also berechnest du jetzt im 1. Schritt den Term der Flächenfunktion $A$.
  • Im 2. Schritt kannst mit Hilfe des GTR den Wert für $u$ bestimmen, bei dem die Funktion ein absolutes Maximum besitzt.
1. Schritt: Flächenfunktion $\boldsymbol{A}$ bestimmen
Zuerst musst du $a, c$ und $h$ bestimmen:
  • $a = y_R - y_O = 1 - 0 = 1$
  • $c = y_Q - y_P = g_2(u) - 0 = g_2(u)$
  • $h = x_P - x_O = u - 0 = u$
Eingesetzt in die Formel von oben ergibt sich hier:
$A(u)=\frac{1}{2}\,(a+c) \cdot h $$= \frac{1}{2}\,(1 + g_2(u))\cdot u $$= \frac{1}{2}\,(1 + 2 + 2\cdot cos(u)) \cdot u$
2. Schritt: Bestimmung des gesuchten Wertes für $\boldsymbol{u}$
Du hast im 1. Schritt den Term der Flächenfunktion $A$ bestimmt, die die Funktion $g_2$ beinhaltet.
Um jetzt das absolute Maximum der Flächenfunktion mit dem GTR zu bestimmen, musst du zu erst die Funktion $g_2$ in deinen GTR im Y=– Menü eingeben. Dabei musst du beachten, dass dein GTR die Variable $u$ nicht kennt, also musst du $u$ bei der Eingabe in den Taschenrechner durch X ersetzen.
Du brauchst aber die Flächenfunktion, die wir zuvor ermittelt haben. Die kannst du jetzt unter $Y_2$ eingeben. Um die zuvor unter $Y_1$ eingegebene Funktion einzubinden, musst du folgende Tastenkombination eingeben:
VARS $\rightarrow$ Y–VARS $\rightarrow$ FUNCTION $\rightarrow$ 1:Y1
Jetzt kannst du das absolute Maximum mit dieser Tastenfolge bestimmen:
2nd $\rightarrow$ TRACE $\rightarrow$ 4:maximum
Da in der Aufgabenstellung $0 < u < \pi$ vorgegeben ist, weißt du, dass sich das Maximum irgendwo zwischen den Werten $0$ und $\pi$ befindet.
Also kannst du diese Werte als Grenzen in deinem Taschenrechner wählen.
Achte darauf, dass du den richtigen Graphen ausgewählt hast, falls beide Graphen gezeichnet wurden!
Nun zeigt dir der GTR dein Maximum an:
Analysis
Analysis
Das Maximum liegt im Punkt $\boldsymbol{P(1,54 \mid 2,36)}$
In der Aufgabe war der Wert von $u$ gesucht, bei dem der Flächeninhalt des Vierecks maximal wird.
Der $u$–Wert entspricht dem X–Wert, den der Taschenrechner für das absolute Maximum bestimmt hat, da du $u$ bei der Eingabe in den Taschenrechner durch X ersetzt hast.
Weiterhin kannst du erkennen, dass das das global Maximum ist, da die Funktion im Intervall $0 < u < \pi$ ihren größten Funktionswert erreicht.
Der Flächeninhalt des Vierecks wird für den Wert $\boldsymbol{u \approx 1,54}$ maximal.
1.2.3 $\blacktriangleright$ Bestimmen des gesuchten Wertes für $\boldsymbol{a}$
Wenn du Abbildung 1 betrachtest, die ein mögliches Schaubild der Funktion $g_a$ darstellt, siehst du, dass das Schaubild mit der $x$–Achse eine Fläche einschließt. Diese Fläche soll nun um die $x$–Achse rotieren.
Deine Aufgabe ist es, die Werte für Parameter $a$ zu bestimmen, für die der Rotationskörper ein Volumen von 120 Volumeneinheiten annimmt.
Für das Volumen von Rotationskörpern um die $x$–Achse gilt folgender Zusammenhang:
$V = \pi \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\mathrm dx$
Als Integrationsgrenzen nimmst du hier die in der Aufgabenstellung gegeben Intervallsgrenzen deiner Funktion mit $-2 \pi$ und $2 \pi$ an und setzt alles in die Formel von oben ein und vereinfachst wie folgt:
$\begin{array}{rcll} V&=&\pi \cdot \displaystyle\int_{-2 \pi}^{2 \pi}(g_a(x))^2\mathrm dx \\ &=&\pi \cdot \displaystyle\int_{-2 \pi}^{2 \pi}(a + a \cdot \cos(x))^2\mathrm dx \\ &=&\pi \cdot \displaystyle\int_{-2 \pi}^{2 \pi} a^2 \cdot (1 + \cos(x))^2\mathrm dx \\ &=&\pi \cdot a^2 \cdot \displaystyle\int_{-2 \pi}^{2 \pi} (1 + \cos(x))^2\mathrm dx&\\ \end{array}$
Den Parameter $a$ kannst du hier vor das Integral ziehen, da lediglich über $x$ integriert wird und $a$ als Konstante betrachtet werden kann (Linearität des Integrals).
Das Integral des Terms kannst du mit deinem GTR berechnen.
Du gibst die Funktion $f(x)=(1 + \cos(x))^2$ im Y=–Menü ein und lässt den zugehörigen Graph im Graph–Modus zeichnen. Anschließend kannst du die Funktion integrieren:
2nd $\rightarrow$ TRACE $\rightarrow$ 7:$\displaystyle\int f(x)\mathrm dx$
Dazu musst du die Integrationsgrenzen $x_1 = -2 \pi$ und $x_2 = -2 \pi$ eingeben.
Analysis
Analysis
Du erhältst den Integrationswert $\boldsymbol{18,85}$.
Alternative:
Du kannst das Integral auch ohne Schaubild mit deinem GTR bestimmen. Dazu gibst du im normalen Rechenmodus folgendes ein:
MATH $\rightarrow$ 9: fnInt
Dann gibst du deine Integrationsgrenzen und den Funktionsterm ein.
Analysis
Analysis
Mit dem oben berechneten Integrationswert hat sich deine Gleichung vereinfacht zu:
$V=\pi \cdot a^2\cdot 18,85$
Du suchst nun die Werte von $a$, für die das Volumen des Drehkörpers den Wert $120$ annimmt. Das heißt, es muss gelten:
$120=\pi \cdot a^2\cdot 18,85$
Auch hier gibt es wieder zwei Möglichkeiten diese Werte zu berechnen. Du kannst sie mit dem GTR bestimmen oder von Hand ausrechnen.
$\blacktriangleright$ GTR
Du hast eine Volumenfunktion gegeben. Die gesuchte Werte für $a$ sind die $x$–Werte der Schnittpunkte der Volumenfunktion mit $y=120$.
Um die Funktion in den Taschenrechner eingeben zu können, musst du deinen Parameter $a$ durch die Variable $x$ ersetzen.
Im Funktionseditor gibst du die Funktionsterme Y1: $\pi \cdot x^2 \cdot 18,85$ und Y2: 120 ein und lässt sie im Graph–Modus darstellen. Achte darauf, dass dein Fenster (unter WINDOW) entsprechend groß definiert ist, dass du beide Funktionen sehen kannst.
Mit der Tastenkombination
2nd $\rightarrow$ TRACE $\rightarrow$ 5:intersect
kannst du die Schnittpunkte der Funktionen berechnen. Hier musst du beide einzeln bestimmen und immer einen Wert für $x$ eingeben, der ein wenig kleiner ist als der $x$–Wert des Schnittpunktes.
Analysis
Analysis
$\boldsymbol{\Rightarrow a_1=-1,42}$
$\boldsymbol{\Rightarrow a_2= 1,42}$
$\blacktriangleright$ Von Hand berechnen
Alternativ kannst du die Werte auch von Hand bestimmen. Dazu setzt du für das Volumen $V$ den Wert $120$ ein:
$\begin{array}{rcll} V&\stackrel{!}{=}&120 \\ 120&=&\pi \cdot a^2 \cdot 18,85&\scriptsize{\mid\; \dfrac{1}{\pi \cdot 18,85}}\\ a^2&=&\dfrac{120}{\pi \cdot 18,85}&\scriptsize{\mid\; \sqrt{}}\\ a&=&\pm \sqrt{\dfrac{120}{\pi \cdot 18,85}}&\\ a&=&\pm 1,4235&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} V&\stackrel{!}{=}&120 \\ 120&=&\pi \cdot a^2 \cdot 18,85&\scriptsize{\mid\; \dfrac{1}{\pi \cdot 18,85}}\\ a^2&=&\dfrac{120}{\pi \cdot 18,85}&\scriptsize{\mid\; \sqrt{}}\\ a&=&\pm \sqrt{\dfrac{120}{\pi \cdot 18,85}}&\\ a&=&\pm 1,4235&\\ \end{array}$
Für $\boldsymbol{a_1=-1,42}$ und $\boldsymbol{a_2= 1,42}$ beträgt das Volumen des Rotationskörpers 120 Volumeneinheiten.
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1.1
1.1.1 $\blacktriangleright$ Ermittlung der Schnittpunkte von $\boldsymbol{K_1}$ mit den Koordinatenachsen
Es ist eine Funktion $f_t$ gegeben, deren Schaubild $K_t$ ist. Diese Funktion ist abhängig von $t \in \mathbb{R}$ und von $x \in \mathbb{R}$.
Du sollst die Schnittpunkte des Schaubildes $K_1$ mit den Koordinatenachsen bestimmen.
  • Dazu brauchst du die Funktion $f_1$, die du im 1. Schritt durch Einsetzen des Wertes $1$ für $t$ erhältst.
  • Im 2. Schritt bestimmst du die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Die Schnittstellen mit der $x$–Achse bzw. Nullstelle bestimmst du mit Hilfe des GTR. Den Schnittpunkt mit der $y$–Achse erhältst du, indem du $x = 0$ in deine Funktion einsetzt.
1. Schritt: $\boldsymbol{f_1}$ bestimmen
Die Funktion $f_1$ erhältst du, indem du in den gegebene Funktionsterm
$f_t(x) = \frac{1}{2}\,x^3 - 3\,t\,x^2 + 4\,(t^2 - 1)\,x + 10\,t^2$
den Wert $t = 1$ einsetzt:
$\begin{array}{rcll} f_1(x)&=&\frac{1}{2}\,x^3 - 3\cdot 1\cdot x^2 + 4\,(1^2 - 1)\,x + 10\cdot 1^2 &\\ &=&\frac{1}{2}\,x^2 - 3\,x^2 + 10 &\\ \end{array}$
2. Schritt: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Die Nullstellen, also die Schnittpunkte des Schaubildes mit der $x$–Achse, kannst du mit Hilfe des Taschenrechners bestimmen.
Dazu gibst du den Funktionsterm im Funktionseditor (Y=) ein und wechselst anschließend zu Ansicht des Graphen (GRAPH).
Über Shift $\rightarrow$ G–Solv $\rightarrow$ ROOT kommst du zur Nullstellenbestimmung.
Dein Graph hat, wie du siehst, mehr als eine Nullstelle. Also wählst du für die erste Nullstelle einen $x$–Wert, der kleiner als der der Nullstelle ist, zum Beispiel $-2$. Für den rechten Wert kannst du $0$ wählen. Als Startwert für die Suche (Guess) kannst du deinen ersten Wert $-2$ einsetzen.
Dann zeigt dir der GTR deine erste Nullstelle $\boldsymbol{x_{N_1}=-1,62}$ an.
Analysis
Analysis
Die zweite Nullstelle erhältst du, indem du den Vorgang mit anderen Werten wiederholst. Setze für den linken Wert 0 ein und für den rechten 3. Als Startwert kannst du 0 wählen.
Damit erhältst du die zweite Nullstelle $\boldsymbol{x_{N_2}=2,34}$.
Die dritte und letzte Nullstelle kannst du analog bestimmen.
Du erhältst $\boldsymbol{x_{N_3}=5,28}$.
Zur Bestimmung des $\boldsymbol{y}$–Achsenabschnitts wird $x = 0$ in $f_1$ eingesetzt:
$\begin{array}{rcll} f_1(x=0)&=&\frac{1}{2}\,0^3 - 3 \cdot 0^2 + 10& \\ &=&10& \\ \end{array}$
Das Schaubild $K_1$ besitzt also bei $N_1(-1,62 \mid 0)$, $N_2(2,34 \mid 0)$ und $N_3(5,28 \mid 0)$ Schnittpunkte mit der $x$–Achse. Bei $S(0 \mid 10)$ befindet sich der Schnittpunkt mit der $y$–Achse.
$\blacktriangleright$ Berechnen der Koordinaten der Extrempunkte von Hand
Du sollst die Extrempunkte des Graphen $K_1$ von Hand ausrechnen.
  • Willst du die lokalen Extrempunkte von $K_1$ bestimmen, so bestimmst du im 1. Schritt die erste und zweite Ableitung von $f$. Bestimmst du dann die Nullstellen von $f_1'$, so hast du die potentiellen Extremstellen bestimmt (Notwendige Bedingung).
  • Um zu bestimmen, ob es sich um Hoch– oder Tiefpunkte handelt, werden im 2. Schritt die ermittelten Werte in die zweite Ableitung $f_1''$ eingesetzt und somit die hinreichende Bedingung überprüft.
Für die hinreichende Bedingung musst du wie folgt unterscheiden:
  • Hochpunkt für $f_1''(x) < 0$
  • Tiefpunkt für $f_1''(x) > 0$
Zuletzt erhältst du über Einsetzen der Extremstellen in $f_1(x)$ die vollständigen Koordinaten der Extrempunkte.
1. Schritt: Ableitungen bilden und potentielle Extremstellen bestimmen
Hier bestimmst du zuerst die Ableitungen $f_1'$ und $f_1''$ der Funktion
$f_1(x)= \frac{1}{2}\,x^3 - 3\,x^2 + 10$.
1. Ableitung von $f_1$:
$\begin{array}{rcll} f_1'(x)&=& \frac{1}{2}\cdot 3\cdot x^2 - 3\cdot 2\,x&\\ &=& \frac{3}{2}\cdot x^2 - 6\,x&\\ \end{array}$
2. Ableitung von $f_1$:
$\begin{array}{rcll} f_1''(x)&=&3\cdot x - 6& \end{array}$
Die Extremstellen ermittelst du, indem du den Term der Ableitungsfunktion $f_1'$ mit Null gleichsetzt und nach $x$ auflöst:
$\begin{array}{rcll} f_1'(x)&\stackrel{!}{=}&0&\\ 0&=&\frac{3}{2}\,x^2 - 6\,x&\\ 0&=&x\,(\frac{3}{2}\,x - 6)&\\ \end{array}$
Nach dem Satz des Nullproduktes folgt, dass diese Gleichung hier einen Wert von Null annimmt, wenn einer der beiden Faktoren Null wird. Es ergibt sich also:
$x_1 =0$
und
$\begin{array}{rcll} \frac{3}{2}\,x_2 - 6&=&0&\scriptsize{\mid\;\cdot \frac{2}{3} }\\ x_2 - 4&=&0&\scriptsize{\mid\; +4} \\ x_2&=&4&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} \frac{3}{2}\,x_2 - 6&=&0&\\ x_2 - 4&=&0&\\ x_2&=&4&\\ \end{array}$
2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Um nun zu bestimmen, um welche Art von Extrema es sich bei den Extremstellen handelt, setzt du $x_1$ und $x_2$ in den Term der 2. Ableitung ein:
$\begin{array}{rcll} f_1''(x_1=0)&=& 3 \cdot 0 - 6&\\ &=& -6&\\ \end{array}$
$\Longrightarrow\,f_1''(x_1=0) < 0\;\Rightarrow$ Es handelt sich um ein Maximum.
$\begin{array}{rcll} f_1''(x_2=4)&=& 3 \cdot 4 - 6&\\ &=&6&\\ \end{array}$
$\Longrightarrow\,f_1''(x_2=4) > 0\;\Rightarrow$ Es handelt sich um ein Minimum.
Jetzt musst du nur noch die zugehörigen $y$–Koordinaten berechnen, um die vollständigen Koordinaten der Extrempunkte von $K_1$ zu bestimmen. Erreiche dies durch Einsetzen von $x_1$ und $x_2$ in den Term der Funktion $f_1$.
$\begin{array}{rcll} f_1(x_1=0)&=&\frac{1}{2}\,0^3 - 3 \cdot 0^2 + 10&\\ &=&10&\\ \end{array}$
$\Rightarrow$ Hochpunkt $ \boldsymbol{H(0 \mid 10)}$
$\begin{array}{rcll} f_1(x_2=4)&=&\frac{1}{2}\cdot 4^3 - 3\cdot 4^2 + 10&\\ &=&\frac{1}{2} \cdot 64 - 3\cdot 16 + 10&\\ &=&32 - 48 + 10&\\ &=&-6&\\ \end{array}$
$\Rightarrow$ Tiefpunkt $ \boldsymbol{T (4 \mid -6)}$
$K_1$ besitzt also einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H(0 \mid 10)$ und einen Tiefpunkt bei $T(4 \mid -6)$.
$\blacktriangleright$ Zeichnen des Schaubildes
Analysis
Analysis
Zum Zeichnen des Schaubildes kannst du dir im GTR eine Wertetabelle zur Funktion $f_1$ anzeigen lassen.
Wähle dazu das TABLE–Menü.
Wenn du diese Punkte mit den zuvor berechneten Werten vergleichst, erhältst du folgende Punkte, die du in dein Koordinatensystem eintragen kannst:
  • $\boldsymbol{X_1 (-2 \mid -6)}$
  • 1. Schnittpunkt von $K_1$ mit der $x$–Achse: $\boldsymbol{N_1(-1,62 \mid 0)}$
  • $\boldsymbol{X_2 (-1 \mid 6,5)}$
  • Schnittpunkt von $K_1$ mit der $y$–Achse ist gleichzeitig der Hochpunkt $\boldsymbol{H(0 \mid 10)}$
  • $\boldsymbol{X_4 (1 \mid 7,5)}$
  • $\boldsymbol{X_5 (2 \mid 2)}$
  • 2. Schnittpunkt von $K_1$ mit der $x$–Achse: $\boldsymbol{N_2(2,34 \mid 0)}$
  • $\boldsymbol{X_6 (3 \mid -3,5)}$
  • Tiefpunkt $\boldsymbol{T(4 \mid -6)}$
  • $\boldsymbol{X_8 (5 \mid -2,5)}$
  • 3. Schnittpunkt von $K_1$ mit der $x$–Achse: $\boldsymbol{N_3(5,28 \mid 0)}$
  • $\boldsymbol{X_9 (6 \mid 10)}$
Wenn du diese Punkte nun verbindest, erhältst du folgendes Schaubild $K_1$:
Analysis
Analysis
1.1.2
1.1.2.1 $\blacktriangleright$ Zeichnen einer Geraden
Im ersten Aufgabenteil sollst du eine Gerade in das Koordinatensystem aus Aufgabe 1.1.1 einzeichnen, die
  • den Hochpunkt von $K_1$ enthält,
  • eine negative Steigung hat und
  • mit dem Funktionsgraphen zwei Flächenstücke einschließt.
Wenn du dir das Schaubild, das du soeben gezeichnet hast, betrachtest, siehst du, dass es viele Möglichkeiten gibt, eine solche Gerade einzuzeichnen. Da ihre Steigung negativ sein soll und sie den Hochpunkt von $K_1$ enthalten soll, muss die Gerade einen Schnittpunkt mit der positiven $x$–Achse besitzen. Außerdem muss die Gerade $K_1$ zusätzlich noch zweimal schneiden, damit zwei Flächenstücke eingeschlossen werden.
Zum Lösen der Aufgabe kannst du eine beliebige Gerade, die die oben genannten Kriterien erfüllt, in dein Koordinatensystem einzeichnen.
Eine mögliche Gerade $g$, die diese Bedingungen erfüllt, geht durch den Punkt $\text{X}_5\,(2 \mid 2)$.
Also zeichnest du sie in dein Koordinatensystem, indem du den Hochpunkt mit dem Punkt $\text{X}_5$ verbindest.
Analysis
Analysis
$\blacktriangleright$ Bestimmen der Geradengleichung
Zur Bestimmung der Geradengleichung, wird die Steigung anhand des Schaubildes von oben bestimmt. Um anschließend die Gleichung der eben gezeichneten Geraden zu ermitteln, nutzt du die allgemeine Geradengleichung. Diese sieht wie folgt aus:
$g(x)= m\cdot x + b$
mit
  • $m$: Steigung der Geraden
  • $b$: $y$–Achsenabschnitt
Für die Steigung gilt:
$m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$
Um $\Delta x$ und $\Delta y$ zu ermitteln, zeichnest du ein Steigungsdreieck (siehe oben) an deine Gerade. Mit den Koordinaten von $H$ und $X_5$ ergibt sich hier:
$\begin{array}{rcll} m&=&\dfrac{\Delta y}{\Delta x}&\\ &=&\dfrac{2 - 10}{2 - 0}&\\ &=&\dfrac{-8}{2 }&\\ &=&-4& \end{array}$
Den $y$–Achsenabschnitt haben wir bereits in der vorherigen Aufgabe bestimmt, dieser entsprach gerade der $y$–Koordinate des Hochpunktes $H$.
Die Geradengleichung von $g$ kannst du also wie folgt hier angeben:
$\boldsymbol{g_1(x)= -4\,x + 10}$
1.1.2.2 $\blacktriangleright$ Steigungswerte bestimmen
Du betrachtest Geraden mit negativer Steigung, die den Hochpunkt von $K_1$ enthalten und mit $K_1$ zwei Flächenstücke einschließen. In dieser Aufgabe sollst du alle Werte bestimmen, die die Steigung einer solchen Geraden annehmen kann, so dass die gegebenen Bedingungen noch erfüllt sind. Von oben weißt du dabei, dass die Steigung einer solchen Geraden negativ sein muss. Es gilt also $\boldsymbol{m < 0}$.
Außerdem soll die Gerade durch den Hochpunkt $H$ von $K_1$ verlaufen. Anhand des Schaubildes können wir bereits sagen, dass eine Gerade, die durch den Hochpunkt geht und eine Steigung $m < 0$ hat, $K_1$ zweimal schneidet.
Allerdings nur, bis die Gerade den Graphen der Funktion $f_1$ in einem bestimmten Punkt berührt. Dann hat sie nur noch einen Schnitt– bzw. Berührpunkt mit $K_1$.
  • Diesen Punkt $x_0$ kannst du im 1. Schritt mit Hilfe der Tangentengleichung ermitteln.
  • $y = f'(x_0)\cdot (x - x_0) + f (x_0)$
  • Um die Steigung zu ermitteln, die die Geraden nicht mehr annehmen dürfen, kannst du im 2. Schritt die bestimmte Stelle $x_0$ in $f'(x)$ einsetzen.
Die Steigung der Tangente an den Punkt $x_0$ stimmt mit der Steigung der Funktion $f_1$ an diesem Punkt überein.
1. Schritt: $\boldsymbol{x_0}$ bestimmen
Bestimme nun die Berührstelle der Geraden, die durch den Hochpunkt $H$ verläuft und $K_1$ berührt. Verwende dazu die allgemeine Tangentengleichung, sowie $f_1(x)$ und $f_1'(x)$. Setze diese beiden Funktionen und den Hochpunkt $(0 \mid 10)$ nun in die Tangentengleichung ein und löse nach $x_0$:
$\begin{array}{rcll} y&=&f_1'(x_0)\cdot (x - x_0) + f_1 (x_0) \\ 10&=&\left(\frac{3}{2}\,x_0^2 - 6\,x_0\right) \cdot (0- x_0) + \frac{1}{2}\,x_0^3 - 3\,x_0^2 + 10 \\ 10&=&- \frac{3}{2}\,x_0^3 + 6\,x_0^2 + \frac{1}{2}\,x_0^3 - 3\,x_0^2 + 10&\scriptsize{\mid -10}\\ 0&=&-x_0^3 + 3\,x_0^2&\\ 0&=&x_0^2 (-x_0 + 3)&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} y&=&f_1'(x_0)\cdot (x - x_0) + f_1 (x_0) \\ 10&=&\left(\frac{3}{2}\,x_0^2 - 6\,x_0\right) \cdot (0- x_0) + \frac{1}{2}\,x_0^3 - 3\,x_0^2 + 10 \\ 10&=&- \frac{3}{2}\,x_0^3 + 6\,x_0^2 + \frac{1}{2}\,x_0^3 - 3\,x_0^2 + 10&\\ 0&=&-x_0^3 + 3\,x_0^2&\\ 0&=&x_0^2 (-x_0 + 3)&\\ \end{array}$
Die Gleichung nimmt genau dann den Wert 0 an, wenn einer der beiden Faktoren $0$ wird (Satz des Nullproduktes). Dies gilt für:
$x_1=0$
und für
$\begin{array}{rcll} 3 - x_2&=&0&\scriptsize{\mid\; + x_2} \\ x_2&=&3&\\ \end{array}$
Da $x_1$ gerade der $x$–Koordinate von $H$ entspricht, wird dieser Wert hier nicht weiter beachtet. Die Gerade, welche eine Steigung von $f_1'(3)$ besitzt, berührt also den Graphen von $f_1$ und besitzt somit nur einen Schnittpunkt mit $K_1$.
2. Schritt: Steigung ermitteln
Um nun die Steigung der Geraden zu ermitteln, die $K_1$ berührt, setzen wir $x_2 = 3$ in $f_1'(x)$ ein:
$\begin{array}{rcll} f_1'(x_2=3)&=&\frac{3}{2} \cdot 3^2 - 6 \cdot 3&\\ &=&\frac{3}{2} \cdot 9 - 18&\\ &=&13,5 - 18&\\ &=&- 4,5&\\ \end{array}$
Also liegen die Steigungswerte der Geraden, die den Hochpunkt von $K_1$ enthalten und mit $K_1$ zwei Flächenstücke einschließen, zwischen den Werten $0$ und $- 4,5$. Für Steigung $m$ muss also gelten: $\boldsymbol{- 4,5 < m < 0}$.
1.1.3 $\blacktriangleright$ Extrempunkte von $\boldsymbol{K_t}$
In dieser Aufgabe soll gezeigt werden, dass $\text{K}_t$ für alle t zwei Extrempunkte besitzt.
Du hast bereits in Aufgabe 1.1.1 die Extrempunkte von $K_1$ ausgerechnet. Das Vorgehen zur Bestimmung von Extrempunkten einer Kurvenschar ist ähnlich. Der einzige Unterschied besteht darin, dass der Parameter $t$ möglicherweise erhalten bleibt.
  • Für die lokalen Extrema musst du im 1. Schritt die ersten beiden Ableitungen von $f_t$ bestimmen.
  • Dann kannst du im 2. Schritt den Term der ersten Ableitung mit dem Wert Null gleichsetzen und nach $x$ auflösen und somit die notwendige Bedingung für Extremstellen überprüfen.
  • Um dann im 3. Schritt zu zeigen, dass es sich um Extremstellen und nicht um Wendestellen handelt, muss für die ermittelten Werte $f_t(x_E)'' \neq 0$ gelten (hinreichende Bedingung).
1. Schritt: Erste und zweite Ableitung bestimmen
$f_t(x) = \frac{1}{2}\,x^3 - 3tx^2 + 4 (t^2 - 1)x + 10t^2$
1. Ableitung von $f_t$:
$ f_t'(x)=\frac{3}{2}\,x^2 - 6\,t\,x + 4 (t^2 - 1)$
2. Ableitung von $f_t$:
$f_t''(x)=3\,x - 6\,t$
2. Schritt: Nullstellen der ersten Ableitungsfunktion
Bestimme nun die Nullstellen von $f_t'$, um mögliche Extremstellen von $f_t$ zu bestimmen:
$\begin{array}{rcll} f_t'(x)&\stackrel{!}{=}&0&\\ 0&=&\frac{3}{2}\,x^2 - 6\,t\,x + 4 (t^2-1) &\scriptsize{\mid\; \cdot \frac{2}{3}}\\ 0&=&x^2 - 4\,t\,x + \frac{8}{3} (t^2 - 1)&\\ \end{array}$
Hier liegt eine quadratische Gleichung vor. Es gibt zwei Möglichkeiten diese Gleichung zu lösen. Du kannst Sie mit der $\boldsymbol{p}$–$\boldsymbol{q}$–Formel lösen oder mit der Mitternachtsformel ($a$–$b$–$c$–Formel).
p–q–Formel:
$x_{1,2}=-\dfrac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2 - q}$
Mit $p=-4\,t$ und $q=\frac{8}{3} (t^2 - 1)$ kannst du nun die $x$–Werte ausrechnen:
$\begin{array}{rcll} x_{1,2}&=&- \frac{(-4t)}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{(-4t)}{2}\right)^2 - \frac{8}{3} (t^2 - 1)}&\\ &=&2\,t \pm \sqrt{4\,t^2 - \frac{8}{3} t^2 + \frac{8}{3}}&\\ &=&2\,t \pm \sqrt{\frac{4}{3} t^2 + \frac{8}{3}}&\\ \end{array}$
$\Rightarrow$ $\boldsymbol{x_1=2\,t + \sqrt{\frac{4}{3} t^2 + \frac{8}{3}}}$
$\Rightarrow$ $\boldsymbol{x_2=2\,t - \sqrt{\frac{4}{3} t^2 + \frac{8}{3}}}$
Mitternachtsformel:
$x_{1,2} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}}$
Hier gilt $a=1$, $b=-4\,t$ und $c=\frac{8}{3} (t^2-1)$
$\begin{array}{rcll} x_{1,2}&=&\dfrac{-(-4t) \pm \sqrt{(-4\,t)^2-4 \cdot 1 \cdot \frac{8}{3}(t^2-1)}}{2 \cdot 1} \\ &=&\dfrac{4\,t \pm \sqrt{16\,t^2 - \frac{32}{3} \cdot (t^2-1)}}{2} \\ &=&\dfrac{4\,t \pm \sqrt{16\,t^2 - \frac{32}{3} \cdot t^2 + \frac{32}{3}}}{2} \\ &=&\dfrac{4\,t \pm \sqrt{\frac{16}{3}\,t^2 + \frac{32}{3}}}{2}\\ &=&\dfrac{4\,t \pm 2 \cdot \sqrt{\frac{4}{3}\,t^2 + \frac{8}{3}}}{2}\\ &=&2\,t \pm \sqrt{\frac{4}{3} t^2 + \frac{8}{3}}&\\ \end{array}$
$\Rightarrow$ $\boldsymbol{x_1=2\,t + \sqrt{\frac{4}{3} t^2 + \frac{8}{3}}}$
$\Rightarrow$ $\boldsymbol{x_2=2\,t - \sqrt{\frac{4}{3} t^2 + \frac{8}{3}}}$
3. Schritt: Überprüfen der hinreichenden Bedingung
Überprüfe nun, ob $x_1$ und $x_2$ die hinreichende Bedingung für Extremstellen erfüllen:
$\begin{array}{rcll} f_t''(x_1)&=&3 \left(2\,t + \sqrt{\frac{4}{3} t^2 + \frac{8}{3}}\right) - 6\,t&\\ &=&6\,t + 3 \sqrt{\frac{4}{3} t^2 + \frac{8}{3}} - 6\,t&\\ &=&3 \sqrt{\frac{4}{3} t^2 + \frac{8}{3}}&\\ \end{array}$
Es gilt $\boldsymbol{t^2 \geq 0}$ für alle $t \in \mathbb{R}$. Damit kann der Ausdruck $\sqrt{\frac{4}{3} t^2 + \frac{8}{3}}$ nie einen Wert gleich oder kleiner Null annehmen und folglich gilt $\boldsymbol{f_t''(x_1) > 0}$.
Jetzt ist nur noch der Wert $x_2$ einzusetzen:
$\begin{array}{rcll} f_t''(x_2)&=&3 \left(2\,t - \sqrt{\frac{4}{3} t^2 + \frac{8}{3}}\right) - 6\,t&\\ &=&6\,t - 3 \sqrt{\frac{4}{3} t^2 + \frac{8}{3}} - 6\,t&\\ &=&-3 \sqrt{\frac{4}{3} t^2 + \frac{8}{3}}&\\ \end{array}$
Für den Wert $x_2$ gilt ebenfalls $\boldsymbol{t^2 > 0}$ für alle $t \in \mathbb{R}$. Folglich gilt hier $\boldsymbol{f_t''(x_2) < 0}$.
Das Schaubild $K_t$ besitzt genau zwei Extremstellen. Diese liegen bei $\boldsymbol{x_1=2\,t + \sqrt{\frac{4}{3} t^2 + \frac{8}{3}}}$ und $\boldsymbol{x_2=2\,t - \sqrt{\frac{4}{3} t^2 + \frac{8}{3}}}$.
$\blacktriangleright$ Ortskurve der Wendepunkte von $\boldsymbol{K_t}$ bestimmen
Im zweiten Teil der Aufgabe ist die Ortskurve der Wendepunkte von $K_t$ zu berechnen. Gehe beim Bestimmen dieser wie folgt vor:
  • 1.Schritt: Bilden der Ableitungen $f_t'$, $f_t''$ und $f_t'''$
  • 2.Schritt: Wendestellen mit der notwendigen Bedingung $f_t''(x)\stackrel{!}{=} 0$ bestimmen
  • 3.Schritt: Hinreichende Bedingung für Wendepunkt prüfen: $f_t'''(x_{W}) \neq 0$
  • 4.Schritt: $y$–Koordinate des Wendepunktes bestimmen
  • 5.Schritt: Bestimmung der Ortskurve durch Auflösen der $x$–Koordinate nach $t$ und Einsetzen von $t$ in die $y$–Koordinate des Wendepunktes
1. Schritt: Ableitungen bilden
Die Ableitungen $f_t'$ und $f_t''$ hast du bereits in den vorherigen Aufgabenteilen bestimmt, also fehlt nur noch die dritte Ableitung:
1. Ableitung von $f_t$:
$f_t'(x)=\frac{3}{2}\,x^2 - 6\,t\,x + 4 (t^2 - 1)$
2. Ableitung von $f_t$:
$f_t''(x)=3\,x - 6\,t$
3. Ableitung von $f_t$:
$f_t'''(x)=3$
2. Schritt: Notwendige Bedingung prüfen
Bestimme nun die potentiellen Wendestellen über die notwendige Bedingung. Das bedeutet ein Bestimmen der Nullstellen von $f_t''$
$\begin{array}{rcll} f_t''(x)&\stackrel{!}{=}&0&\\ 0&=&3\,x_{W} - 6\,t &\scriptsize{\mid\; \cdot \frac{1}{3}}\\ 0&=&x_{W} - 2\,t&\scriptsize{\mid\; +2\,t}\\ x_{W}&=&2\,t&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} f_t''(x)&\stackrel{!}{=}&0&\\ 0&=&3\,x_{W} - 6\,t &\\ 0&=&x_{W} - 2\,t&\\ x_{W}&=&2\,t&\\ \end{array}$
3. Schritt: Hinreichende Bedingung prüfen
Für die hinreichende Bedingung muss gelten: $f_t'''(x_{W}) \neq 0$
Da die dritte Ableitung der Funktion $f_t$ unabhängig von von $t$ oder $x$ mit $f'''_t(x)= 3$ ungleich Null ist, ist die hinreichende Bedingung an der Stelle $x_W = 2 \cdot t$ erfüllt.
4. Schritt: $\boldsymbol{y}$–Koordinate des Wendepunktes ermitteln
Zur Bestimmung der $y$–Koordinate des Wendepunktes $W$ musst du die Wendestelle $x_W=2 \cdot t$, die wir im 2. Schritt erhalten haben, in den Funktionsterm $f_t(x)$ einsetzen:
$\begin{array}{rcll} f_t(x_{W}=2\,t)&=&\frac{1}{2} (2\,t)^3 - 3\,t (2\,t)^2 + 4 (t^2-1)\cdot 2\,t + 10\,t^2&\\ &=&\frac{1}{2} \cdot 8\,t^3 - 3\,t\cdot 4\,t^2 + 8t (t^2-1) + 10 \,t^2&\\ &=&4\,t^3 - 12\,t^3 + 8\,t^3 - 8\,t + 10\,t^2&\\ &=&10\,t^2 - 8\,t&\\ \end{array}$
Die Koordinaten des Wendepunkts $W$ sind also: $\boldsymbol{W(2\,t \mid 10\,t^2 - 8\,t)}$
5. Schritt: Gleichung der Ortskurve aufstellen
Zuerst musst du die $x$–Koordinate nach $t$ umstellen:
$\begin{array}{rcll} x&=&2\,t&\scriptsize{\mid\; \cdot \frac{1}{2}}\\ t&=&\frac{1}{2}\,x&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} x&=&2\,t&\\ t&=&\frac{1}{2}\,x&\\ \end{array}$
Jetzt kannst du $t$ in die $y$–Koordinate des Wendepunktes $W$ einsetzen:
$\begin{array}{rcll} y&=&10\,t^2 - 8\,t&\scriptsize{t= \frac{1}{2}\,x}\\ &=&10 (\frac{1}{2} \cdot x)^2 - 8 \cdot \frac{1}{2}\,x&\\ &=&10 \cdot \frac{1}{4}\,x^2 - 4\,x&\\ &=&\frac{5}{2}\,x^2 - 4\,x&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} y&=&10\,t^2 - 8\,t&\\ &=&10 (\frac{1}{2} \cdot x)^2 - 8 \cdot \frac{1}{2}\,x&\\ &=&10 \cdot \frac{1}{4}\,x^2 - 4\,x&\\ &=&\frac{5}{2}\,x^2 - 4\,x&\\ \end{array}$
Die Ortskurve $o$ der Wendepunkte von $K_1$ besitzt also folgenden Funktionsterm:
$o(x) = \frac{5}{2}\,x^2 - 4\,x$.
1.1.4 $\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{t}$ bestimmen
$F_t$ ist eine Stammfunktion von $f_t$.
Du sollst nun überprüfen, ob es einen Wert für die Variable $t$ gibt, sodass folgendes für die Stammfunktion $F_t$ hier gilt:
  • 1. Bedingung: Graph von $F_t$ verläuft durch $S$: $F_t (x=0)= 20$
  • 2. Bedingung: $F_t$ besitzt in $S$ eine Steigung von 10: $F_t' (x=0)= 10$
  • 3. Bedingung: $F_t$ besitzt eine Wendestelle bei $x=-4$: $F_t'' (x=-4)= 0$
  • 4. Bedingung Überprüfen der hinreichenden Bedingung: $F_t''' (x=-4)\neq 0$
Gehe dabei wie folgt vor:
  • Willst du diese Aufgabe lösen, so bestimmst du zunächst eine Stammfunktion $F_t$ von $f_t$.
  • Im 2. Schritt kannst du mit Hilfe der ersten Bedingung die Integrationskonstante $c$ ermitteln und so die Stammfunktion festlegen.
  • Im 3. Schritt berechnest du mögliche Werte für $t$, für die die Steigung im Punkt S $(0 \mid 20)$ den Wert 10 annimmt. Beachte dabei, das $f_t$ der ersten Ableitung von $F_t$ entspricht.
  • Im 4. Schritt überprüfst du, für welche der zuvor berechneten $t$ an der Stelle $x=-4$ eine Wendestelle vorliegt.
  • Hast du ein solches $t$ gefunden, so muss anschließend im 5. Schritt die hinreichende Bedingung für ein solches $t$ überprüft werden.
1. Schritt: Stammfunktion $\boldsymbol{F_t}$ bestimmen
Zur Bestimmung einer Stammfunktion $F_t$ von $f_t$ muss das unbestimmte Integral dieser Funktion gebildet werden.
$\begin{array}{rcll} F_t(x)&=&\displaystyle\int \left( f_t(x) \right)\;\mathrm dx&\\ &=&\displaystyle\int \left(\frac{1}{2}x^3 - 3\,t\,x^2 + 4 (t^2 - 1)x + 10\,t^2\right)\;\mathrm dx&\\ &=&\frac{1}{2 \cdot 4}\, x^4 - 3 \cdot \frac{1}{3}\,t\,x^3 + \frac{4}{2} (t^2 - 1)\,x^2 + 10\,t^2\,x + c&\\ &=&\frac{1}{8}\,x^4 - t\,x^3 + 2(t^2-1)\,x^2 + 10\,t^2\,x + c&\\ \end{array}$
$c$ ist die Integrationskonstante. Diese wird nun im nächsten Schritt entsprechend den gegebenen Bedingungen bestimmt.
2. Schritt: Bestimmen der Integrationskonstante
Jetzt kannst du mit Hilfe der 1. Bedingung die Integrationskonstante $c$ bestimmen. Führe dazu eine Punktprobe mit $S(0 \mid 20)$ durch:
$\begin{array}{rcll} F_t (x=0)&\stackrel{!}{=}&20\\ 20&=&\frac{1}{8}\,0^4 - t\,0^3 + 2(t^2-1)\,0^2 + 10\,t^2\,0 + c\\ 20&=&c\\ \end{array}$
Die hier gesuchte Stammfunktion $F_t$ von $f_t$ ist also:
$F_t(x)=\frac{1}{8}\,x^4 - t\,x^3 + 2(t^2-1)\,x^2 + 10\,t^2\,x + 20$
3. Schritt: Mögliche Werte für $\boldsymbol{t}$ berechnen
Um nun die Werte für $t$ zu bestimmen, welche hier in Frage kommen, nutzen wir die 2. Bedingung:
Die Steigung des Graphen von $F_t$ im Punkt $S(0 \mid 20)$ soll den Wert 10 annehmen.
Dafür benötigen wir die erste Ableitung von $F_t$. Diese ist, wie oben schon erwähnt, die gegebene Funktion $f_t$.
$\begin{array}{rcll} F_t'(x=0)&\stackrel{!}{=}&10\\ f_t(0)&=&10\\ \frac{1}{2}\cdot 0^3 - 3t \cdot 0^2 + 4 (t^2 - 1) \cdot 0 + 10t^2&=&10\\ 10t^2&=&10&\scriptsize{\mid\; \cdot \frac{1}{10}} \\ t^2&=&1&\scriptsize{\mid\;\sqrt{\,}} \\ t_1&=&1 \\ t_2&=&-1\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} F_t'(x=0)&\stackrel{!}{=}&10\\ f_t(0)&=&10\\ \frac{1}{2}\cdot 0^3 - 3t \cdot 0^2 + 4 (t^2 - 1) \cdot 0 + 10t^2&=&10\\ 10t^2&=&10&\\ t^2&=&1& \\ t_1&=&1 \\ t_2&=&-1\\ \end{array}$
Die möglichen Werte für $t$ sind also $\boldsymbol{t_1 = 1}$ und $\boldsymbol{t_2 = -1}$.
4. Schritt: Existenz eines Wendepunktes an der Stelle $\boldsymbol{x=-4}$ überprüfen
Eine weitere Bedingung für den Wert von $t$ ist die Existenz einer Wendestelle bei $x=-4$.
Um die notwendige Bedingung für Wendestellen zu überprüfen, benötigen wir zunächst die zweite Ableitung von $F_t$. Diese ist identisch mit der ersten Ableitung von $f_t$, die wir schon in Aufgabe 1.1.3 bestimmt haben. Überprüfe, für welchen Wert von $t$ die Stammfunktion $F_t$ an der Stelle $x = -4$ eine Wendestelle besitzt.
$\begin{array}{rcll} F_t''(x=-4)&\stackrel{!}{=}&0&\\ f_t'(-4)&\stackrel{!}{=}&0&\\ 0&=&\frac{3}{2}\,(-4)^2 - 6\,t\,(-4) + 4 (t^2 - 1)&\\ 0&=&24+24\,t+4\,t^2-4&\\ 0&=&4\,t^2 + 24\,t + 20&\\ \end{array}$
Jetzt setzen wir die zwei zuvor ermittelten Werte für $t$ ein:
$\begin{array}{rcll} F_{t = 1}''(-4)&=&4 + 24 + 20&\\ &=&48&\\ &\neq&0&\\ \end{array}$
$\boldsymbol{\Rightarrow}$ $\boldsymbol{t=1}$ ist keine Lösung für diese Aufgabe.
$\begin{array}{rcll} F_{t=-1}''(-4)&=&4 - 24 + 20&\\ &=&0& \end{array}$
$\boldsymbol{\Rightarrow}$ Für $\boldsymbol{t=-1}$ nimmt die zweite Ableitung von $\boldsymbol{F_t}$ den Wert 0 an.
5. Schritt: Hinreichende Bedingung für Wendepunkte
Um jetzt noch zu zeigen, dass sich an der Stelle $x=-4$ für $t=-1$ eine Wendestelle befindet, muss die hinreichende Bedingung für Wendestellen erfüllt werden: $F_{t = -1}'''(x=-4) \neq 0$.
$\begin{array}{rcll} F_{-1}'''(x=-4)&\neq&0\\ f_{-1}''(x=-4)&\neq&0\\ f_{-1}''(x=-4)&=&3 \cdot (-4) - 6 \cdot (-1)\\ &=&-12 + 6&\\ &=&6&\\ \end{array}$
$\boldsymbol{\Rightarrow}$ Für $\boldsymbol{t=-1}$ ist $\boldsymbol{F_t'''(x=-4) \neq 0}$
Die oben genannten Bedingungen werden für den Wert $t=-1$ erfüllt. Setze nun $t = -1$ in $F_t$ ein, um die hier gesuchte Stammfunktion zu bestimmen.
$\begin{array}{rcll} F_{t=-1}(x)&=&\frac{1}{8}\,x^4 + x^3 + 2 ((-1)^2-1)\,x^2 + 10 (-1)^2\,x + 20&\\ &=&\frac{1}{8}\,x^4 + x^3 + 10\,x + 20&\\ \end{array}$
Der hier gesuchte Wert für $t$ ist $t = -1$. Der Funktionsterm der zugehörigen Stammfunktion ist:
$F_{t=-1}(x)=\frac{1}{8}\,x^4 + x^3 + 10\,x + 20$
1.2
1.2.1 $\blacktriangleright$ Prüfen der Zugehörigkeit der gezeigten Schaubilder zu einer Funktion $\boldsymbol{g_a}$
Es ist eine Funktionenschar $g_a$ trigonometrischer Funktionen gegeben. Für jedes $a \neq 0$ gilt dabei:
$g_a(x) = a + a \cdot \cos(x)$
Du hast vier Schaubilder gegeben, für die du prüfen sollst, ob sie zu einer der Funktionen $g_a$ gehören. Wenn dies der Fall ist, sollst du den zugehörigen Wert von $a$ ermitteln.
Zur Ermittlung des zugehörigen Wertes von $a$ ist es dann vorteilhaft, einen gut ablesbaren Wert eines Schaubildes zu wählen und in den Funktionsterm einzusetzen. Dann kannst du den Term anschließend nach $a$ auflösen.
Aber zuerst musst du wissen, für welche Schaubilder du den zugehörigen $a$–Wert ermitteln musst.
Dazu siehst du dir die Funktionenschar $g_a$ genauer an. Gegeben ist eine Kosinus–Funktion, also musst du hier reflektieren, was du über den Kosinus weißt.
  • Der Kosinus besitzt eine Periode von $2\,\pi$.
  • $\cos(x)$ schneidet die $y$–Achse im Punkt $P(0 \mid 1)$. Dieser Punkt ist gleichzeitig ein Hochpunkt der Funktion.
  • Für $f(x) = a\;\sin(b\,(x + c)) + d$ mit $a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}, c \in \mathbb{R}, d \in \mathbb{R}$ gilt:
    • $a$ bewirkt eine Änderung der Amplitude, das heißt der Graph wird in $y$–Richtung um den Faktor $a$ gestreckt ($a > 1$) oder gestaucht $(0 < a < 1)$.
    • Für $a < 0$ wird der Graph zusätzlich zur Amplitudenänderung an der $x$–Achse gespiegelt.
    • Durch $b$ wird der Graph um den Faktor $ \frac{1}{b}$ in $x$–Richtung gestaucht ($b > 1$) oder gestreckt $(b < 1)$, die Periode ändert sich. Das Schaubild ist nun nicht mehr $2 \, \pi$–periodisch, sondern $\frac{2\, \pi}{b}$–periodisch.
    • Der Parameter $c$ verschiebt das Schaubild auf der $x$–Achse in positive Koordinatenrichtung ($c < 0$) und in negative Koordinatenrichtung ($c < 0$).
    • $d$ verschiebt das Schaubild in positive $y$–Richtung ($d > 0$) und negative $y$–Richtung $ (d < 0)$.
Damit kannst du jetzt erkennen, wie der Parameter $a$ die Schaubilder zu verschiedenen Funktionen $g_a$ beeinflusst.
$\boldsymbol{a}$ kann in dem Schaubild einer Funktion $g_a$ eine Änderung der Amplitude, also eine Streckung oder Stauchung in $y$–Richtung, bewirken. Falls $\boldsymbol{a}$ negativ ist, wird das Schaubild an der $\boldsymbol{x}$–Achse gespiegelt. Außerdem wird das Schaubild um $\boldsymbol{a}$ in Richtung der der $\boldsymbol{y}$–Achse verschoben.
Du weißt also, dass die Hoch– bzw. Tiefpunkte der Graphen der Funktionenschar $g_a$ immer auf der $y$–Achse liegen müssen, da diese nicht in $x$–Richtung verschoben werden kann.
Abbildung 1
Hier siehst du eine Amplitudenänderung im Vergleich zum Schaubild der Kosinusfunktion. Das Schaubild wurde gestreckt. Zusätzlich wurde es auf der $y$–Achse in positiver Richtung verschoben. Beide Phänomene könnten durch den Parameter $a$ zustande kommen. Also gehört das Schaubild in Abbildung 1 zu einer Funktion $\boldsymbol{g_a}$.
Zur Ermittlung des zugehörigen Wertes von $a$ kannst du nun einen beliebigen Punkt des Schaubildes ablesen. In diesem Fall ist es am einfachsten den Schnittpunkt mit der $y$–Achse zu wählen.
In Abbildung 1 erhältst du so den Punkt $A(0 \mid 4)$. Diesen setzt du in den Funktionsterm $g_a(x)$ ein:
$\begin{array}{rcll} g_a(x=0) &\stackrel{!}{=}&4&\\ 4&=&a + a \cdot \cos(0)&\scriptsize{ \cos (x=0)=1} \\ 4&=&2\,a&\scriptsize{\mid\; \cdot \frac{1}{2}}\\ a&=&2&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} g_a(x=0) &\stackrel{!}{=}&4&\\ 4&=&a + a \cdot \cos(0)&\scriptsize{ \cos (x=0)=1} \\ 4&=&2\,a&\scriptsize{\mid\; \cdot \frac{1}{2}}\\ a&=&2&\\ \end{array}$
$\boldsymbol{\Rightarrow} $Das Schaubild in Abbildung 1 gehört zur Funktion $\boldsymbol{g_2}$
Abbildung 2
Dieses Schaubild ähnelt sehr dem Schaubild in Abbildung 1. Es ist ebenfalls in $y$–Richtung gestreckt und in Richtung der negativen $y$–Achse verschoben. Der einzige Unterschied, den du erkennen kannst, ist die Spiegelung an der $x$–Achse. Das ist ebenfalls durch den Parameter $a$ möglich, also zeigt das Schaubild eine Funktion $\boldsymbol{g_a}$.
Den zugehörigen $a$–Wert ermittelst du wie zuvor beschrieben. Der Schnittpunkt mit der $y$–Achse ist in diesem Fall $B(0 \mid -3)$.
$\begin{array}{rcll} g_a(x=0) &\stackrel{!}{=}&-3&\\ -3&=&a + a\,\cos(0)&\scriptsize{\cos (x=0)=1} \\ -3&=&2\cdot a&\scriptsize{\mid\; \cdot \frac{1}{2}}\\ a&=&-\frac{3}{2}&\\ \end{array}$
$\boldsymbol{\Rightarrow}$Das Schaubild in Abbildung 2 gehört zur Funktion $\boldsymbol{g_{-\frac{3}{2}}}$
Abbildung 3
Dieses Schaubild sieht aus wie das in Abbildung 2, mit dem einzigen Unterschied, dass es noch weiter in Richtung der negativen $y$–Achse verschoben wurde.
Im gegebenen Funktionsterm wird das Schaubild immer genau um den Wert um den es gestreckt wird auch auf der $y$–Achse verschoben, da der Parameter der die Amplitude verändert derselbe ist, der auch die Verschiebung in $y$–Richtung verursacht.
Also muss jedes Schaubild der Funktion $g_a$ die $x$–Achse berühren oder schneiden.
$\boldsymbol{\Rightarrow}$Das Schaubild in Abbildung 3 gehört nicht zu einer Funktion $\boldsymbol{g_a}$
Abbildung 4
Du hast vorher schon festgestellt, dass der Parameter $a$ das Schaubild nur in $y$–Richtung verändern kann. Das in Abbildung 4 dargestellt Schaubild wurde jedoch in $x$–Richtung verschoben. Damit steht fest:
$\boldsymbol{\Rightarrow}$Das Schaubild in Abbildung 3 gehört nicht zu einer Funktion $\boldsymbol{g_a}$
1.2.2 $\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{u}$ mit maximalen Flächeninhalt bestimmen
Du hast vier Punkte O $(0 \mid 0)$, P $(u \mid 0)$, Q $(u \mid g_2(u))$ und R $(0 \mid 1)$ gegeben. Für $u$ gilt dabei: $0 < u < \pi$. Diese vier Punkte bilden ein Viereck. Du sollst nun bestimmen für welchen Wert $u$ der Flächeninhalt des Vierecks maximal wird.
Die Funktion die du dabei betrachtest ist $g_2$, dargestellt in Abbildung 1.
Die Punkte die unabhängig von $u$ gegeben sind, sind die Punkte $O$ und $R$.
$Q$ liegt auf dem Schaubild von $g_2$ zwischen der $y$–Achse bei $x = 0$ und dem Wert $x = \pi$.
Über den Punkt $P$ weißt du, dass er unterhalb des Punktes $Q$ auf der $x$–Achse liegt.
Um das Ganze zu veranschaulichen, kannst du die Punkte mit einem beliebig gewählten Wert für $u$ in eine Skizze übertragen:
Analysis
Analysis
Jetzt kannst du sehen, dass es sich bei dem Viereck um ein Trapez handelt.
Der Flächeninhalt eines Trapezes berechnet sich über folgende Formel:
$A = \dfrac{1}{2}\,(a+c) \cdot h$
mit
  • $a$ und $c$: Grundseiten (parallele Seiten) des Trapezes
  • $h$: Höhe des Trapezes $\mathrel{\widehat{=}}$ Abstand zwischen den Grundseiten
In unserem Fall sind die beiden parallelen Seiten des Trapezes die Strecken $\overline{OR}$ und $\overline{PQ}$, da beide Grundseiten senkrecht auf der $x$–Achse stehen. Die Höhe des Trapezes entspricht dem Wert von $u$.
Eingesetzt in die Formel für den Flächeninhalt erhältst du eine Flächenfunktion $A$. Der Flächeninhalt des Trapezes wird maximal für den Wert $u$, bei dem die Flächenfunktion $A$ ein absolutes Maximum besitzt.
  • Also berechnest du jetzt im 1. Schritt den Term der Flächenfunktion $A$.
  • Im 2. Schritt kannst mit Hilfe des GTR den Wert für $u$ bestimmen, bei dem die Funktion ein absolutes Maximum besitzt.
1. Schritt: Flächenfunktion $\boldsymbol{A}$ bestimmen
Zuerst musst du $a, c$ und $h$ bestimmen:
  • $a = y_R - y_O = 1 - 0 = 1$
  • $c = y_Q - y_P = g_2(u) - 0 = g_2(u)$
  • $h = x_P - x_O = u - 0 = u$
Eingesetzt in die Formel von oben ergibt sich hier:
$A(u)=\frac{1}{2}\,(a+c) \cdot h $$= \frac{1}{2}\,(1 + g_2(u))\cdot u $$= \frac{1}{2}\,(1 + 2 + 2\cdot cos(u)) \cdot u$
2. Schritt: Bestimmung des gesuchten Wertes für $\boldsymbol{u}$
Du hast im 1. Schritt den Term der Flächenfunktion $A$ bestimmt, die die Funktion $g_2$ beinhaltet.
Um jetzt das absolute Maximum der Flächenfunktion mit dem GTR zu bestimmen, musst du zu erst die Funktion $g_2$ in deinen GTR im Y=– Menü eingeben. Dabei musst du beachten, dass dein GTR die Variable $u$ nicht kennt, also musst du $u$ bei der Eingabe in den Taschenrechner durch X ersetzen.
Du brauchst aber die Flächenfunktion, die wir zuvor ermittelt haben. Lege dazu den Funktionsterm von $g2$ unter Y1 fest und greife bei der Definition des Funktionsterms von $A$ auf diese Definition zu. Lasse dir den Graphen von $A$ anzeigen und bestimme das absolute Maximum mit dieser Tastenfolge:
Shift $\rightarrow$ G–Solv $\rightarrow$ MAX
Da in der Aufgabenstellung $0 < u < \pi$ vorgegeben ist, weißt du, dass sich das Maximum irgendwo zwischen den Werten $0$ und $\pi$ befindet.
Also kannst du diese Werte als Grenzen in deinem Taschenrechner wählen.
Achte darauf, dass du den richtigen Graphen ausgewählt hast, falls beide Graphen gezeichnet wurden!
Nun zeigt dir der GTR dein Maximum an:
Analysis
Analysis
Das Maximum liegt im Punkt $\boldsymbol{P(1,54 \mid 2,36)}$
In der Aufgabe war der Wert von $u$ gesucht, bei dem der Flächeninhalt des Vierecks maximal wird.
Der $u$–Wert entspricht dem X–Wert, den der Taschenrechner für das absolute Maximum bestimmt hat, da du $u$ bei der Eingabe in den Taschenrechner durch X ersetzt hast.
Weiterhin kannst du erkennen, dass das das global Maximum ist, da die Funktion im Intervall $0 < u < \pi$ ihren größten Funktionswert erreicht.
Der Flächeninhalt des Vierecks wird für den Wert $\boldsymbol{u \approx 1,54}$ maximal.
1.2.3 $\blacktriangleright$ Bestimmen des gesuchten Wertes für $\boldsymbol{a}$
Wenn du Abbildung 1 betrachtest, die ein mögliches Schaubild der Funktion $g_a$ darstellt, siehst du, dass das Schaubild mit der $x$–Achse eine Fläche einschließt. Diese Fläche soll nun um die $x$–Achse rotieren.
Deine Aufgabe ist es, die Werte für Parameter $a$ zu bestimmen, für die der Rotationskörper ein Volumen von 120 Volumeneinheiten annimmt.
Für das Volumen von Rotationskörpern um die $x$–Achse gilt folgender Zusammenhang:
$V = \pi \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\mathrm dx$
Als Integrationsgrenzen nimmst du hier die in der Aufgabenstellung gegeben Intervallsgrenzen deiner Funktion mit $-2 \pi$ und $2 \pi$ an und setzt alles in die Formel von oben ein und vereinfachst wie folgt:
$\begin{array}{rcll} V&=&\pi \cdot \displaystyle\int_{-2 \pi}^{2 \pi}(g_a(x))^2\mathrm dx \\ &=&\pi \cdot \displaystyle\int_{-2 \pi}^{2 \pi}(a + a \cdot \cos(x))^2\mathrm dx \\ &=&\pi \cdot \displaystyle\int_{-2 \pi}^{2 \pi} a^2 \cdot (1 + \cos(x))^2\mathrm dx \\ &=&\pi \cdot a^2 \cdot \displaystyle\int_{-2 \pi}^{2 \pi} (1 + \cos(x))^2\mathrm dx&\\ \end{array}$
Den Parameter $a$ kannst du hier vor das Integral ziehen, da lediglich über $x$ integriert wird und $a$ als Konstante betrachtet werden kann (Linearität des Integrals).
Das Integral des Terms kannst du mit deinem GTR berechnen.
Du gibst die Funktion $f(x)=(1 + \cos(x))^2$ im GRAPH–Menü ein und lässt den zugehörigen Graph im Graph–Modus zeichnen. Anschließend kannst du die Funktion integrieren:
Shift $\rightarrow$ G–Solv $\rightarrow$ 7:$\displaystyle\int \mathrm dx$
Dazu musst du die Integrationsgrenzen $x_1 = -2 \pi$ und $x_2 = -2 \pi$ eingeben.
Analysis
Analysis
Du erhältst den Integrationswert $\boldsymbol{18,85}$.
Mit dem oben berechneten Integrationswert hat sich deine Gleichung vereinfacht zu:
$V=\pi \cdot a^2\cdot 18,85$
Du suchst nun die Werte von $a$, für die das Volumen des Drehkörpers den Wert $120$ annimmt. Das heißt, es muss gelten:
$120=\pi \cdot a^2\cdot 18,85$
Auch hier gibt es wieder zwei Möglichkeiten diese Werte zu berechnen. Du kannst sie mit dem GTR bestimmen oder von Hand ausrechnen.
$\blacktriangleright$ GTR
Du hast eine Volumenfunktion gegeben. Die gesuchte Werte für $a$ sind die $x$–Koordinaten, der Punkte, an welchen die $A$ den Funktionswert von 120 annimmt.
Um die Funktion in den Taschenrechner eingeben zu können, musst du deinen Parameter $a$ durch die Variable $x$ ersetzen.
Mit der Tastenkombination
Shift $\rightarrow$ G–Solv $\rightarrow$ X–CAL
kannst du die Stelle mit einem Funktionswert von 120 berechnen.
Analysis
Analysis
$\boldsymbol{\Rightarrow a_1=-1,42}$
$\boldsymbol{\Rightarrow a_2= 1,42}$
$\blacktriangleright$ Von Hand berechnen
Alternativ kannst du die Werte auch von Hand bestimmen. Dazu setzt du für das Volumen $V$ den Wert $120$ ein:
$\begin{array}{rcll} V&\stackrel{!}{=}&120 \\ 120&=&\pi \cdot a^2 \cdot 18,85&\scriptsize{\mid\; \dfrac{1}{\pi \cdot 18,85}}\\ a^2&=&\dfrac{120}{\pi \cdot 18,85}&\scriptsize{\mid\; \sqrt{}}\\ a&=&\pm \sqrt{\dfrac{120}{\pi \cdot 18,85}}&\\ a&=&\pm 1,4235&\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} V&\stackrel{!}{=}&120 \\ 120&=&\pi \cdot a^2 \cdot 18,85&\scriptsize{\mid\; \dfrac{1}{\pi \cdot 18,85}}\\ a^2&=&\dfrac{120}{\pi \cdot 18,85}&\scriptsize{\mid\; \sqrt{}}\\ a&=&\pm \sqrt{\dfrac{120}{\pi \cdot 18,85}}&\\ a&=&\pm 1,4235&\\ \end{array}$
Für $\boldsymbol{a_1=-1,42}$ und $\boldsymbol{a_2= 1,42}$ beträgt das Volumen des Rotationskörpers 120 Volumeneinheiten.
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