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Stochastik 1

Aufgaben
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1
Zwei Seiten eines idealen Würfels sind mit S, zwei Seiten sind mit A und zwei Seiten sind mit M beschriftet.
Bei einem Schulfest der „Schule am Meer“ (SAM) stehen drei derart beschriftete Würfel zur Verfügung. Bei einem Versuch werden diese Würfel gleichzeitig geworfen.
1.1
Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
$E_1$: Alle drei Würfel zeigen den gleichen Buchstaben.
$E_2$: Mindestens ein Würfel zeigt den Buchstaben S.
Zeige, dass mit der Wahrscheinlichkeit von $\frac{2}{9}$ mit den gewürfelten Buchstaben das Wort SAM gebildet werden kann.
(5P)
Stochastik 1  Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
1.2
Formuliere für den oben beschriebenen Versuch ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit $\frac{7}{27}$ ist.
(2P)
Stochastik 1  Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
1.3
Wie viele Versuche mindestens braucht man, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $90\,\%$ mindestens einmal das Wort SAM bilden zu können?
(3P)
Stochastik 1  Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln
1.4
Wer nach einem Versuch das Wort SAM bilden kann, erhält einen Preis.
Ein Spiel besteht aus drei Versuchen. Pro Spiel kann man also maximal drei Preise erhalten.
Wie viele Preise erhält man durchschnittlich pro Spiel?
Gib eine begründete Empfehlung, wie viele Preise die Schule bereithalten sollte, wenn insgesamt maximal 900 Spiele auf dem Schulfest gemacht werden.
(5P)
Stochastik 1  Aufgabe ab 2017 in Teil mit Hilfsmitteln

(15P)
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Aufgabe 1.1

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit zu Ereignis $\boldsymbol{E_1}$ berechnen
Ein idealer Würfel mit 6 Seiten habe folgende Beschriftung: 2 Seiten sind mit $S$, 2 Seiten mit $A$ und 2 weitere Seiten sind mit $M$ markiert. Es werden nun 3 solcher beschrifteten Würfel gleichzeitig geworfen.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis:
$\boldsymbol{E_1}:$ Alle drei Würfel zeigen den gleichen Buchstaben .
Sollen alle 3 geworfenen Würfel die gleichen Buchstaben anzeigen, so können 3 Fälle in Frage kommen:
  • $S$ - $S$ - $S$
  • $A$ - $A$ - $A$
  • $M$ - $M$ - $M$
Das heißt, die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_1$ summiert sich aus den Wahrscheinlichkeiten dieser 3 Teilereignisse. Um diese zu bestimmen, kannst du zunächst berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit man den Buchstaben $S$, $A$ bzw. $M$ würfelt und anschließend mit Hilfe von Pfadmultiplikation und Pfadaddition die Wahrscheinlichkeit von $E_1$ ermitteln.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit zu Ereignis $\boldsymbol{E_2}$ berechnen
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis
$\boldsymbol{E_2}:$ Mindestens ein Würfel zeigt den Buchstaben $\boldsymbol{S}$ .
eintritt. Soll mindestens einmal der Buchstabe $S$ geworfen werden, so heißt das, dass der Buchstabe $S$ einmal , zweimal oder sogar dreimal geworfen wird.
Definiere dazu die Zufallsvariable $Z$, die die Anzahl der Würfe beschreibt, bei denen $S$ geworfen wird. Diese Zufallsvariable ist binomialverteilt , da nur die Möglichkeit besteht, dass entweder $S$ oder nicht $S$ geworfen wird und die Wahrscheinlichkeit, $S$ zu würfeln, immer gleich bleibt.
Damit kann die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_2$ wie folgt geschrieben werden:
$\begin{array}{rll} P(E_2)&=&P(Z \geq 1)\\ \end{array}$
Forme diesen Ausdruck um ( Gegenereignis ) und berechne anschließend, um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu erhalten.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit das Wort $\boldsymbol{SAM}$ bilden zu können
In der Aufgabenstellung wird behauptet, dass die Wahrscheinlichkeit, mit den geworfenen Würfeln das Wort $SAM$ bilden zu können, $\frac{2}{9}$ beträgt. Deine Aufgabe ist es, diese Aussage zu beweisen.
Um diese Aussage nachzuweisen, kannst du die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass beim Werfen von den 3 Würfeln die Buchstaben $S$, $A$ und $M$ auftreten. Stimmt diese mit $\frac{2}{9}$ überein, so hast du die Aussage bewiesen.
Damit das Wort $SAM$ gebildet werden kann, sind mehrere Kombinationen möglich:
  • $S$ - $A$ - $M$
  • $S$ - $M$ - $A$
  • $A$ - $S$ - $M$
Bestimme in einem ersten Schritt wie viele Kombinationen möglich sind und multipliziere diese Anzahl dann mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit.

Aufgabe 1.2

$\blacktriangleright$ Ereignis formulieren
Formuliere ein Ereignis, das mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{7}{27}$ auftritt.
Du weißt, dass die Abfolge 3 beliebiger Buchstaben immer mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{27}$ auftritt. Insgesamt gibt es 27 Kombinationen für das Anordnen der Buchstaben. Wir versuchen von diesen 27 eine geringere Menge herauszunehmen:
Soll der erste Würfel den Buchstaben $A$ anzeigen, so gibt es nur noch 9 Möglichkeiten, welche Buchstaben danach geworfen werden können. Dabei können alle Buchstaben verschieden sein, oder ein Buchstabe kann mindestens zweimal auftreten. Dieses Ereignis tritt dann noch mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{9}{27}$ auf. Können wir also noch 2 Kombinationen ausschließen, so haben wir ein Ereignis gefunden, das mit der gewünschten Wahrscheinlichkeit auftritt.

Aufgabe 1.3

$\blacktriangleright$ Anzahl der Versuche berechnen
Wie oft müssen die 3 Würfel geworfen werden, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal das Wort $SAM$ bilden zu können, mehr als $90\,\%$ beträgt?
Um diese Fragestellung zu beantworten, kannst du wie folgt vorgehen:
Zuvor hast du gezeigt, dass man bei einem Wurf der 3 Würfel mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=\frac{2}{9}$ das Wort $SAM$ bilden kann. Wir können uns nun eine Zufallsvariable $X$ definieren, die die Anzahl der Würfe beschreibt, bei denen das Wort $SAM$ gebildet werden kann. Diese Zufallsvariable $X$ ist binomialverteilt , da entweder das Wort $SAM$ gebildet werden kann oder nicht. Die Wahrscheinlichkeit dafür bleibt ebenfalls bei jedem Versuch mit $p=\frac{2}{9}$ gleich.
Die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal unter $n$ Würfen das Wort $SAM$ bilden zu können, soll mehr als $\boldsymbol{90\,\%}$ betragen. Diese Aussage kannst du wie folgt schreiben:
$\begin{array}{rll} P(X \geq 1)&>&0,9\\ \end{array}$
Forme diesen Ausdruck um und berechne.

Aufgabe 1.4

$\blacktriangleright$ Durchschnittliche Anzahl der Preise bestimmen
Es wird nun ein Spiel angeboten, bei dem man 3 Versuche hat, bei einem Wurf der 3 Würfel das Wort $SAM$ zu bilden. Ist das der Fall, so erhält der Spieler einen Preis. Pro Spiel kann man also maximal 3 Preise gewinnen.
Wie viele Preise kann man durchschnittlich pro Spiel erwarten?
Bei dieser Aufgabe musst du den Erwartungswert berechnen, da dieser gerade angibt, wie viele Preise in einem Spiel gewonnen werden können.
Der Erwartungswert einer Zufallsvariable $X$ ist folgendermaßen definiert:
$E(X)=n \cdot p$
$E(X)=n \cdot p$
Dabei beschreibt $p$ die Wahrscheinlichkeit, dass das Wort $SAM$ gebildet werden kann und $n$ entspricht der Anzahl der Versuche, die ein Spieler insgesamt hat.
$\blacktriangleright$ Empfehlung geben
Insgesamt werden maximal $900$ Spiele auf dem Schulfest gemacht. Begründe, wie viele Preise die Schule bereithalten sollte.
Hierbei kannst du verwenden, dass in einem Spiel durchschnittlich $\frac{2}{3}$ Preise gewonnen werden.
Möchtest du abschätzen, wie viele Preise in $900$ Spielen gewonnen werden, so kannst du die durchschnittliche Anzahl ( Erwartungswert ) an Preisen mit der Anzahl an gemachten Spielen multiplizieren.
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Aufgabe 1.1

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit zu Ereignis $\boldsymbol{E_1}$ berechnen
Ein idealer Würfel mit 6 Seiten habe folgende Beschriftung: 2 Seiten sind mit $S$, 2 Seiten mit $A$ und 2 weitere Seiten sind mit $M$ markiert. Es werden nun 3 solcher beschrifteten Würfel gleichzeitig geworfen.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis:
$\boldsymbol{E_1}:$ Alle drei Würfel zeigen den gleichen Buchstaben .
Sollen alle 3 geworfenen Würfel die gleichen Buchstaben anzeigen, so können 3 Fälle in Frage kommen:
  • $S$ - $S$ - $S$
  • $A$ - $A$ - $A$
  • $M$ - $M$ - $M$
Das heißt, die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_1$ summiert sich aus den Wahrscheinlichkeiten dieser 3 Teilereignisse. Um diese zu bestimmen, kannst du zunächst berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit man den Buchstaben $S$, $A$ bzw. $M$ würfelt und anschließend mit Hilfe von Pfadmultiplikation und Pfadaddition die Wahrscheinlichkeit von $E_1$ ermitteln.
Die Würfel haben je 6 Seiten, von denen wiederum 2 mit einem der Buchstaben $S$, $A$ bzw. $M$ beschriftet sind. Die Wahrscheinlichkeit, einen der Buchstaben zu werfen, beträgt dann:
$P(S)=P(A)=P(M)=2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Soll nun dreimal der gleiche Buchstabe geworfen werden, so kannst du diese Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Pfadmultiplikation bestimmen:
$P(S-S-S)= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}= \frac{1}{27}$
$P(A-A-A)= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}= \frac{1}{27}$
$P(M-M-M)= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}= \frac{1}{27}$
Da insgesamt die 3 Fälle $S$ - $S$ - $S$, $A$ - $A$ - $A$ und $M$ - $M$ - $M$ möglich sind, kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $E_1$ mit Hilfe der Pfadaddition berechnen:
$\begin{array}{rll} P(E_1)&=&P(S-S-S)+P(A-A-A)+P(M-M-M)\\ &=& \frac{1}{27}+\frac{1}{27}+\frac{1}{27}\\ &=&\frac{3}{27} \\ &=& \frac{1}{9} \\ \end{array}$
$\begin{array}{rll} P(E_1)&=& \frac{1}{9} \\ \end{array}$
Stochastik 1
$\begin{array}{rll} P(E_1)&=&P(S-S-S)+P(A-A-A)+P(M-M-M)\\ &=& \frac{1}{27}+\frac{1}{27}+\frac{1}{27}\\ &=&\frac{3}{27} \\ &=& \frac{1}{9} \\ \end{array}$
Das Ereignis $E_1$ tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{9}$ ein.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit zu Ereignis $\boldsymbol{E_2}$ berechnen
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis
$\boldsymbol{E_2}:$ Mindestens ein Würfel zeigt den Buchstaben $\boldsymbol{S}$ .
eintritt. Soll mindestens einmal der Buchstabe $S$ geworfen werden, so heißt das, dass der Buchstabe $S$ einmal , zweimal oder sogar dreimal geworfen wird.
Definiere dazu die Zufallsvariable $Z$, die die Anzahl der Würfe beschreibt, bei denen $S$ geworfen wird. Diese Zufallsvariable ist binomialverteilt , da nur die Möglichkeit besteht, dass entweder $S$ oder nicht $S$ geworfen wird und die Wahrscheinlichkeit, $S$ zu würfeln, immer gleich bleibt.
Damit kann die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_2$ wie folgt geschrieben werden:
$\begin{array}{rll} P(E_2)&=&P(Z \geq 1)\\ &=& 1-P(Z=0)\\ \end{array}$
In der obigen Umformung wurde das Gegenereignis verwendet. Diese Wahrscheinlichkeit kannst du mit Hilfe des CAS bestimmen. Wähle dazu unter
5: Wahrscheinlichkeiten $\rightarrow$ 5 $\rightarrow$ 5: D: Binomial Pdf 5: Wahrscheinlichkeiten $\rightarrow$ 5 $\rightarrow$ 5: D: Binomial Pdf
den Befehl Binomial Pdf aus. Da 3 Würfel geworfen werden, gilt $n=3$. Die Wahrscheinlichkeit, $S$ zu werfen, hast du im Aufgabenteil zuvor mit $P(S)=\frac{1}{3}$ bereits berechnet und kannst diese direkt im CAS angeben.
Stochastik 1
Stochastik 1
Alternativ kannst du auch den Befehl Binomial Cdf verwenden. Hier musst du allerdings angeben, dass $Z$ im Intervall $\left[1,3\right]$ liegt.
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $E_2$ beträgt $70,37\,\%$.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit das Wort $\boldsymbol{SAM}$ bilden zu können
In der Aufgabenstellung wird behauptet, dass die Wahrscheinlichkeit, mit den geworfenen Würfeln das Wort $SAM$ bilden zu können, $\frac{2}{9}$ beträgt. Deine Aufgabe ist es, diese Aussage zu beweisen.
Um diese Aussage nachzuweisen, kannst du die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass beim Werfen von den 3 Würfeln die Buchstaben $S$, $A$ und $M$ auftreten. Stimmt diese mit $\frac{2}{9}$ überein, so hast du die Aussage bewiesen.
Damit das Wort $SAM$ gebildet werden kann, sind mehrere Kombinationen möglich:
  • $S$ - $A$ - $M$
  • $S$ - $M$ - $A$
  • $A$ - $S$ - $M$
Bestimme in einem ersten Schritt wie viele Kombinationen möglich sind und multipliziere diese Anzahl dann mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit.
1. Schritt: Anzahl der Möglichkeiten bestimmen
Um herauszufinden, wie viele Kombinationen möglich sind, kannst du folgende Überlegung vornehmen: Damit das Wort $SAM$ gebildet werden kann, kannst du zuerst den ersten Buchstaben fest wählen. Dafür hast du 3 Möglichkeiten ($S$, $A$ oder $M$). Anschließend sind für den nächsten Buchstaben nur noch 2 Optionen verfügbar, auf dem letzten Platz nur noch 1. Insgesamt existieren also
$3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$
Möglichkeiten, die Buchstaben anzuordnen, sodass das Wort $SAM$ gebildet werden kann.
2. Schritt: Wahrscheinlichkeit berechnen
Aus dem Aufgabenteil zuvor weißt du, dass jeder Buchstabe mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{3}$ geworfen wird. Die Wahrscheinlichkeit, 3 bestimme Buchstaben hintereinander zu werfen, kannst du dann wie folgt berechnen:
$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27}$
Da es aber insgesamt 6 Möglichkeiten gibt, die Buchstaben anzuordnen, musst du die Wahrscheinlichkeit noch mit dem Faktor 6 multiplizieren:
$P(SAM \text{ in beliebiger Reihenfolge})$ =$6 \cdot \frac{1}{27}$=$ \frac{6}{27}$=$ \frac{2}{9}$
Diese Wahrscheinlichkeit stimmt mit der aus dem Aufgabentext überein. Damit hast du gezeigt, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{2}{9}$ das Wort $SAM$ gebildet werden kann.

Aufgabe 1.2

$\blacktriangleright$ Ereignis formulieren
Formuliere ein Ereignis, das mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{7}{27}$ auftritt.
Du weißt, dass die Abfolge 3 beliebiger Buchstaben immer mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{27}$ auftritt. Insgesamt gibt es 27 Kombinationen für das Anordnen der Buchstaben. Wir versuchen von diesen 27 eine geringere Menge herauszunehmen:
Soll der erste Würfel den Buchstaben $A$ anzeigen, so gibt es nur noch 9 Möglichkeiten, welche Buchstaben danach geworfen werden können. Dabei können alle Buchstaben verschieden sein, oder ein Buchstabe kann mindestens zweimal auftreten. Dieses Ereignis tritt dann noch mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{9}{27}$ auf. Können wir also noch 2 Kombinationen ausschließen, so haben wir ein Ereignis gefunden, das mit der gewünschten Wahrscheinlichkeit auftritt.
Ein Wurf der 3 Würfel, bei dem der erste Buchstabe $A$ ist und ein Buchstabe mehrfach vertreten ist, könnte wie folgt aussehen:
  • $A$ - $A$ - $M$
  • $A$ - $A$ - $S$
  • $A$ - $A$ - $A$
  • $A$ - $S$ - $S$
  • $A$ - $S$ - $A$
  • $A$ - $M$ - $A$
  • $A$ - $M$ - $M$
Damit gibt es 7 Möglichkeiten aus insgesamt 27, bei den restlichen Optionen sind alle Buchstaben voneinander verschieden oder haben $A$ nicht als ersten Buchstaben. Damit hast du ein Ereignis gefunden, das auf die gewünschte Bedingung passt:
$E:$ Zuerst wird der Buchstabe $A$ geworfen und ein Buchstabe kommt mindestens zweimal vor.
Hier ist als zuerst geworfener Buchstabe natürlich auch $S$ oder $M$ denkbar.

Aufgabe 1.3

$\blacktriangleright$ Anzahl der Versuche berechnen
Wie oft müssen die 3 Würfel geworfen werden, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal das Wort $SAM$ bilden zu können, mehr als $90\,\%$ beträgt?
Um diese Fragestellung zu beantworten, kannst du wie folgt vorgehen:
Zuvor hast du gezeigt, dass man bei einem Wurf der 3 Würfel mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=\frac{2}{9}$ das Wort $SAM$ bilden kann. Wir können uns nun eine Zufallsvariable $X$ definieren, die die Anzahl der Würfe beschreibt, bei denen das Wort $SAM$ gebildet werden kann. Diese Zufallsvariable $X$ ist binomialverteilt , da entweder das Wort $SAM$ gebildet werden kann oder nicht. Die Wahrscheinlichkeit dafür bleibt ebenfalls bei jedem Versuch mit $p=\frac{2}{9}$ gleich.
Die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal unter $n$ Würfen das Wort $SAM$ bilden zu können, soll mehr als $\boldsymbol{90\,\%}$ betragen. Diese Aussage kannst du wie folgt schreiben und schließlich umformen:
$\begin{array}{rll} P(X \geq 1)&>&0,9\\ 1-P(X=0)&>& 0,9&\mid \scriptsize -0,9\\ 0,1-P(X=0)&>& 0&\mid \scriptsize +P(X=0)\\ 0,1&>& P(X=0)\\ \end{array}$
$\begin{array}{rll} 0,1&>& P(X=0)\\ \end{array}$
Stochastik 1
$\begin{array}{rll} P(X \geq 1)&>&0,9\\ 1-P(X=0)&>& 0,9&\mid \scriptsize -0,9\\ 0,1-P(X=0)&>& 0&\mid \scriptsize +P(X=0)\\ 0,1&>& P(X=0)\\ \end{array}$
An dieser Stelle kannst du verwenden, dass die Zufallsvariable $X$ binomialverteilt ist. Wir können die Wahrscheinlichkeit $P(X=0)$ folglich auch schreiben als:
$\begin{array}{rll} 0,1&>& P(X=0)\\ 0,1&>& \binom {n}{k}\cdot (p)^k \cdot (1-p)^{n-k}\\ 0,1&>& \binom {n}{0}\cdot \left(\frac{2}{9}\right)^0 \cdot \left(1-\frac{2}{9}\right)^{n-0}\\ 0,1&>& 1\cdot 1 \cdot \left(\frac{7}{9}\right)^{n}\\ \end{array}$
Damit hast du einen Term, der nur noch von der Anzahl $n$ der benötigten Versuche abhängig ist. Forme nach $n$ um, um die gesuchte Anzahl zu erhalten. Verwende dazu den solve-Befehl des CAS:
Stochastik 1
Stochastik 1
Das liefert dir, dass man mindestens 10 Versuche benötigt, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $90\,\%$ das Wort $SAM$ mindestens einmal bilden zu können.

Aufgabe 1.4

$\blacktriangleright$ Durchschnittliche Anzahl der Preise bestimmen
Es wird nun ein Spiel angeboten, bei dem man 3 Versuche hat, bei einem Wurf der 3 Würfel das Wort $SAM$ zu bilden. Ist das der Fall, so erhält der Spieler einen Preis. Pro Spiel kann man also maximal 3 Preise gewinnen.
Wie viele Preise kann man durchschnittlich pro Spiel erwarten?
Bei dieser Aufgabe musst du den Erwartungswert berechnen, da dieser gerade angibt, wie viele Preise in einem Spiel gewonnen werden können.
Der Erwartungswert einer Zufallsvariable $X$ ist folgendermaßen definiert:
$E(X)=n \cdot p$
Dabei beschreibt $p$ die Wahrscheinlichkeit, dass das Wort $SAM$ gebildet werden kann und $n$ entspricht der Anzahl der Versuche, die ein Spieler insgesamt hat.
Pro Spiel hat man 3 Versuche, damit gilt $n=3$. Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf der 3 Würfel das Wort $SAM$ bilden zu können, beträgt $p=\frac{2}{9}$. Einsetzen in die Definition des Erwartungswerts liefert dir die durchschnittle Anzahl an Preisen, die man pro Runde gewinnen kann:
$E(X)=3 \cdot \frac{2}{9}=\frac{2}{3}$
In einem Spiel gewinnt man durchschnittlich $\frac{2}{3}$ Preise.
$\blacktriangleright$ Empfehlung geben
Insgesamt werden maximal $900$ Spiele auf dem Schulfest gemacht. Begründe, wie viele Preise die Schule bereithalten sollte.
Hierbei kannst du verwenden, dass in einem Spiel durchschnittlich $\frac{2}{3}$ Preise gewonnen werden.
Möchtest du abschätzen, wie viele Preise in $900$ Spielen gewonnen werden, so kannst du die durchschnittliche Anzahl ( Erwartungswert ) an Preisen mit der Anzahl an gemachten Spielen multiplizieren.
$900 \cdot \frac{2}{3} = 600$
Werden maximal $900$ Spiele gemacht, so müssen etwa $600$ Preise bereitgehalten werden.
(Da der Erwartungswert jedoch nur eine Schätzung ist und deshalb von der erwarteten Anzahl abweichen kann, ist es ratsam, sogar mehr als $600$ Preise zu stellen, um zu gewährleisten, dass genügend Preise vorhanden sind.)
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Aufgabe 1.1

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit zu Ereignis $\boldsymbol{E_1}$ berechnen
Ein idealer Würfel mit 6 Seiten habe folgende Beschriftung: 2 Seiten sind mit $S$, 2 Seiten mit $A$ und 2 weitere Seiten sind mit $M$ markiert. Es werden nun 3 solcher beschrifteten Würfel gleichzeitig geworfen.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis:
$\boldsymbol{E_1}:$ Alle drei Würfel zeigen den gleichen Buchstaben .
Sollen alle 3 geworfenen Würfel die gleichen Buchstaben anzeigen, so können 3 Fälle in Frage kommen:
  • $S$ - $S$ - $S$
  • $A$ - $A$ - $A$
  • $M$ - $M$ - $M$
Das heißt, die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_1$ summiert sich aus den Wahrscheinlichkeiten dieser 3 Teilereignisse. Um diese zu bestimmen, kannst du zunächst berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit man den Buchstaben $S$, $A$ bzw. $M$ würfelt und anschließend mit Hilfe von Pfadmultiplikation und Pfadaddition die Wahrscheinlichkeit von $E_1$ ermitteln.
Die Würfel haben je 6 Seiten, von denen wiederum 2 mit einem der Buchstaben $S$, $A$ bzw. $M$ beschriftet sind. Die Wahrscheinlichkeit, einen der Buchstaben zu werfen, beträgt dann:
$P(S)=P(A)=P(M)=2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Soll nun dreimal der gleiche Buchstabe geworfen werden, so kannst du diese Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Pfadmultiplikation bestimmen:
$P(S-S-S)= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}= \frac{1}{27}$
$P(A-A-A)= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}= \frac{1}{27}$
$P(M-M-M)= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}= \frac{1}{27}$
Da insgesamt die 3 Fälle $S$ - $S$ - $S$, $A$ - $A$ - $A$ und $M$ - $M$ - $M$ möglich sind, kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $E_1$ mit Hilfe der Pfadaddition berechnen:
$\begin{array}{rll} P(E_1)&=&P(S-S-S)+P(A-A-A)+P(M-M-M)\\ &=& \frac{1}{27}+\frac{1}{27}+\frac{1}{27}\\ &=&\frac{3}{27} \\ &=& \frac{1}{9} \\ \end{array}$
$\begin{array}{rll} P(E_1)&=& \frac{1}{9} \\ \end{array}$
Stochastik 1
$\begin{array}{rll} P(E_1)&=&P(S-S-S)+P(A-A-A)+P(M-M-M)\\ &=& \frac{1}{27}+\frac{1}{27}+\frac{1}{27}\\ &=&\frac{3}{27} \\ &=& \frac{1}{9} \\ \end{array}$
Das Ereignis $E_1$ tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{9}$ ein.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit zu Ereignis $\boldsymbol{E_2}$ berechnen
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis
$\boldsymbol{E_2}:$ Mindestens ein Würfel zeigt den Buchstaben $\boldsymbol{S}$ .
eintritt. Soll mindestens einmal der Buchstabe $S$ geworfen werden, so heißt das, dass der Buchstabe $S$ einmal , zweimal oder sogar dreimal geworfen wird.
Definiere dazu die Zufallsvariable $Z$, die die Anzahl der Würfe beschreibt, bei denen $S$ geworfen wird. Diese Zufallsvariable ist binomialverteilt , da nur die Möglichkeit besteht, dass entweder $S$ oder nicht $S$ geworfen wird und die Wahrscheinlichkeit, $S$ zu würfeln, immer gleich bleibt.
Damit kann die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_2$ wie folgt geschrieben werden:
$\begin{array}{rll} P(E_2)&=&P(Z \geq 1)\\ &=& 1-P(Z=0)\\ \end{array}$
In der obigen Umformung wurde das Gegenereignis verwendet. Diese Wahrscheinlichkeit kannst du mit Hilfe des CAS bestimmen. Wähle dazu unter
Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfunktionen $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialPdf Interaktiv $\rightarrow$ Verteilungsfunktionen $\rightarrow$ Diskret $\rightarrow$ binomialPdf
den Befehl Binomial Pdf aus. Da 3 Würfel geworfen werden, gilt $n=3$. Die Wahrscheinlichkeit, $S$ zu werfen, hast du im Aufgabenteil zuvor mit $P(S)=\frac{1}{3}$ bereits berechnet und kannst diese direkt im CAS angeben.
Stochastik 1
Stochastik 1
Alternativ kannst du auch den Befehl Binomial Cdf verwenden. Hier musst du allerdings angeben, dass $Z$ im Intervall $\left[1,3\right]$ liegt.
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $E_2$ beträgt $70,37\,\%$.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit das Wort $\boldsymbol{SAM}$ bilden zu können
In der Aufgabenstellung wird behauptet, dass die Wahrscheinlichkeit, mit den geworfenen Würfeln das Wort $SAM$ bilden zu können, $\frac{2}{9}$ beträgt. Deine Aufgabe ist es, diese Aussage zu beweisen.
Um diese Aussage nachzuweisen, kannst du die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass beim Werfen von den 3 Würfeln die Buchstaben $S$, $A$ und $M$ auftreten. Stimmt diese mit $\frac{2}{9}$ überein, so hast du die Aussage bewiesen.
Damit das Wort $SAM$ gebildet werden kann, sind mehrere Kombinationen möglich:
  • $S$ - $A$ - $M$
  • $S$ - $M$ - $A$
  • $A$ - $S$ - $M$
Bestimme in einem ersten Schritt wie viele Kombinationen möglich sind und multipliziere diese Anzahl dann mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit.
1. Schritt: Anzahl der Möglichkeiten bestimmen
Um herauszufinden, wie viele Kombinationen möglich sind, kannst du folgende Überlegung vornehmen: Damit das Wort $SAM$ gebildet werden kann, kannst du zuerst den ersten Buchstaben fest wählen. Dafür hast du 3 Möglichkeiten ($S$, $A$ oder $M$). Anschließend sind für den nächsten Buchstaben nur noch 2 Optionen verfügbar, auf dem letzten Platz nur noch 1. Insgesamt existieren also
$3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$
Möglichkeiten, die Buchstaben anzuordnen, sodass das Wort $SAM$ gebildet werden kann.
2. Schritt: Wahrscheinlichkeit berechnen
Aus dem Aufgabenteil zuvor weißt du, dass jeder Buchstabe mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{3}$ geworfen wird. Die Wahrscheinlichkeit, 3 bestimme Buchstaben hintereinander zu werfen, kannst du dann wie folgt berechnen:
$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27}$
Da es aber insgesamt 6 Möglichkeiten gibt, die Buchstaben anzuordnen, musst du die Wahrscheinlichkeit noch mit dem Faktor 6 multiplizieren:
$P(SAM \text{ in beliebiger Reihenfolge})= 6 \cdot \frac{1}{27}= \frac{6}{27}= \frac{2}{9}$
Diese Wahrscheinlichkeit stimmt mit der aus dem Aufgabentext überein. Damit hast du gezeigt, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{2}{9}$ das Wort $SAM$ gebildet werden kann.

Aufgabe 1.2

$\blacktriangleright$ Ereignis formulieren
Formuliere ein Ereignis, das mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{7}{27}$ auftritt.
Du weißt, dass die Abfolge 3 beliebiger Buchstaben immer mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{27}$ auftritt. Insgesamt gibt es 27 Kombinationen für das Anordnen der Buchstaben. Wir versuchen von diesen 27 eine geringere Menge herauszunehmen:
Soll der erste Würfel den Buchstaben $A$ anzeigen, so gibt es nur noch 9 Möglichkeiten, welche Buchstaben danach geworfen werden können. Dabei können alle Buchstaben verschieden sein, oder ein Buchstabe kann mindestens zweimal auftreten. Dieses Ereignis tritt dann noch mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{9}{27}$ auf. Können wir also noch 2 Kombinationen ausschließen, so haben wir ein Ereignis gefunden, das mit der gewünschten Wahrscheinlichkeit auftritt.
Ein Wurf der 3 Würfel, bei dem der erste Buchstabe $A$ ist und ein Buchstabe mehrfach vertreten ist, könnte wie folgt aussehen:
  • $A$ - $A$ - $M$
  • $A$ - $A$ - $S$
  • $A$ - $A$ - $A$
  • $A$ - $S$ - $S$
  • $A$ - $S$ - $A$
  • $A$ - $M$ - $A$
  • $A$ - $M$ - $M$
Damit gibt es 7 Möglichkeiten aus insgesamt 27, bei den restlichen Optionen sind alle Buchstaben voneinander verschieden oder haben $A$ nicht als ersten Buchstaben. Damit hast du ein Ereignis gefunden, das auf die gewünschte Bedingung passt:
$E:$ Zuerst wird der Buchstabe $A$ geworfen und ein Buchstabe kommt mindestens zweimal vor.
Hier ist als zuerst geworfener Buchstabe natürlich auch $S$ oder $M$ denkbar.

Aufgabe 1.3

$\blacktriangleright$ Anzahl der Versuche berechnen
Wie oft müssen die 3 Würfel geworfen werden, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal das Wort $SAM$ bilden zu können, mehr als $90\,\%$ beträgt?
Um diese Fragestellung zu beantworten, kannst du wie folgt vorgehen:
Zuvor hast du gezeigt, dass man bei einem Wurf der 3 Würfel mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=\frac{2}{9}$ das Wort $SAM$ bilden kann. Wir können uns nun eine Zufallsvariable $X$ definieren, die die Anzahl der Würfe beschreibt, bei denen das Wort $SAM$ gebildet werden kann. Diese Zufallsvariable $X$ ist binomialverteilt , da entweder das Wort $SAM$ gebildet werden kann oder nicht. Die Wahrscheinlichkeit dafür bleibt ebenfalls bei jedem Versuch mit $p=\frac{2}{9}$ gleich.
Die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal unter $n$ Würfen das Wort $SAM$ bilden zu können, soll mehr als $\boldsymbol{90\,\%}$ betragen. Diese Aussage kannst du wie folgt schreiben und schließlich umformen:
$\begin{array}{rll} P(X \geq 1)&>&0,9\\ 1-P(X=0)&>& 0,9&\mid \scriptsize -0,9\\ 0,1-P(X=0)&>& 0&\mid \scriptsize +P(X=0)\\ 0,1&>& P(X=0)\\ \end{array}$
$\begin{array}{rll} 0,1&>& P(X=0)\\ \end{array}$
Stochastik 1
$\begin{array}{rll} P(X \geq 1)&>&0,9\\ 1-P(X=0)&>& 0,9&\mid \scriptsize -0,9\\ 0,1-P(X=0)&>& 0&\mid \scriptsize +P(X=0)\\ 0,1&>& P(X=0)\\ \end{array}$
An dieser Stelle kannst du verwenden, dass die Zufallsvariable $X$ binomialverteilt ist. Wir können die Wahrscheinlichkeit $P(X=0)$ folglich auch schreiben als:
$\begin{array}{rll} 0,1&>& P(X=0)\\ 0,1&>& \binom {n}{k}\cdot (p)^k \cdot (1-p)^{n-k}\\ 0,1&>& \binom {n}{0}\cdot \left(\frac{2}{9}\right)^0 \cdot \left(1-\frac{2}{9}\right)^{n-0}\\ 0,1&>& 1\cdot 1 \cdot \left(\frac{7}{9}\right)^{n}\\ \end{array}$
$\begin{array}{rll} 0,1&>& 1\cdot 1 \cdot \left(\frac{7}{9}\right)^{n}\\ \end{array}$
Stochastik 1
$\begin{array}{rll} 0,1&>& P(X=0)\\ 0,1&>& \binom {n}{k}\cdot (p)^k \cdot (1-p)^{n-k}\\ 0,1&>& \binom {n}{0}\cdot \left(\frac{2}{9}\right)^0 \cdot \left(1-\frac{2}{9}\right)^{n-0}\\ 0,1&>& 1\cdot 1 \cdot \left(\frac{7}{9}\right)^{n}\\ \end{array}$
Damit hast du einen Term, der nur noch von der Anzahl $n$ der benötigten Versuche abhängig ist. Forme nach $n$ um, um die gesuchte Anzahl zu erhalten. Verwende dazu den solve-Befehl des CAS:
Stochastik 1
Stochastik 1
Das liefert dir, dass man mindestens 10 Versuche benötigt, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $90\,\%$ das Wort $SAM$ mindestens einmal bilden zu können.

Aufgabe 1.4

$\blacktriangleright$ Durchschnittliche Anzahl der Preise bestimmen
Es wird nun ein Spiel angeboten, bei dem man 3 Versuche hat, bei einem Wurf der 3 Würfel das Wort $SAM$ zu bilden. Ist das der Fall, so erhält der Spieler einen Preis. Pro Spiel kann man also maximal 3 Preise gewinnen.
Wie viele Preise kann man durchschnittlich pro Spiel erwarten?
Bei dieser Aufgabe musst du den Erwartungswert berechnen, da dieser gerade angibt, wie viele Preise in einem Spiel gewonnen werden können.
Der Erwartungswert einer Zufallsvariable $X$ ist folgendermaßen definiert:
$E(X)=n \cdot p$
$E(X)=n \cdot p$
Dabei beschreibt $p$ die Wahrscheinlichkeit, dass das Wort $SAM$ gebildet werden kann und $n$ entspricht der Anzahl der Versuche, die ein Spieler insgesamt hat.
Pro Spiel hat man 3 Versuche, damit gilt $n=3$. Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf der 3 Würfel das Wort $SAM$ bilden zu können, beträgt $p=\frac{2}{9}$. Einsetzen in die Definition des Erwartungswerts liefert dir die durchschnittle Anzahl an Preisen, die man pro Runde gewinnen kann:
$E(X)=3 \cdot \frac{2}{9}=\frac{2}{3}$
In einem Spiel gewinnt man durchschnittlich $\frac{2}{3}$ Preise.
$\blacktriangleright$ Empfehlung geben
Insgesamt werden maximal $900$ Spiele auf dem Schulfest gemacht. Begründe, wie viele Preise die Schule bereithalten sollte.
Hierbei kannst du verwenden, dass in einem Spiel durchschnittlich $\frac{2}{3}$ Preise gewonnen werden.
Möchtest du abschätzen, wie viele Preise in $900$ Spielen gewonnen werden, so kannst du die durchschnittliche Anzahl ( Erwartungswert ) an Preisen mit der Anzahl an gemachten Spielen multiplizieren.
$900 \cdot \frac{2}{3} = 600$
Werden maximal $900$ Spiele gemacht, so müssen etwa $600$ Preise bereitgehalten werden.
(Da der Erwartungswert jedoch nur eine Schätzung ist und deshalb von der erwarteten Anzahl abweichen kann, ist es ratsam, sogar mehr als $600$ Preise zu stellen, um zu gewährleisten, dass genügend Preise vorhanden sind.)
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