Inhalt
Better Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Berufl. Gymnasium (AG)
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur (WTR)
Abitur bis 2016 (GTR)
Abitur bis 2016 (CAS)
Abitur (WTR)
Prüfung
wechseln
Abitur (WTR)
Abitur bis 2016 (GTR)
Abitur bis 2016 (CAS)
Better Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Vektorgeometrie

Aufgaben
Download als Dokument:PDFPDFWordWord
3.1  In nebenstehendem Koordinatensystem sind drei
Geraden $g_1$, $g_2$ und $g_3$ eingezeichnet.
Entscheide, ob die folgenden Aussagen sicher richtig, sicher falsch oder nicht entscheidbar sind.
a) $g_1$ und $g_2$ sind parallel.
b) $g_1$ und $g_3$ sind nicht parallel.
c) $g_2$ und $g_3$ schneiden sich.
d) $g_3$ verläuft parallel zur $x_1x_2$-Ebene.
e) $g_3$ schneidet die $x_2$-Achse.
f) Der Spurpunkt von $g_1$ in der $x_1x_2$-Ebene hat
$\;\;\,$positive $x_1$- und $x_2$-Koordinaten.
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
(3P)
3.2  Gegeben sind die Ebene $E: x_1-2x_2+3x_3=6$ und die Gerade $g:\vec{x}=r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$.
3.2.1  Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat die Gerade $g$?
(1P)
3.2.2  Zeige, dass die Ebene $E$ und die Gerade $g$ parallel sind.
(2P)
3.2.3  Gib eine Gleichung einer zu $g$ parallelen Geraden $h$ an, die ganz in $E$ liegt.
(1P)

(7P)
#hilfsmittelfreieaufgaben
3.1  In nebenstehendem Koordinatensystem sind drei
Geraden $g_1$, $g_2$ und $g_3$ eingezeichnet.
Entscheide, ob die folgenden Aussagen sicher richtig, sicher falsch oder nicht entscheidbar sind.
a) $g_1$ und $g_2$ sind parallel.
b) $g_1$ und $g_3$ sind nicht parallel.
c) $g_2$ und $g_3$ schneiden sich.
d) $g_3$ verläuft parallel zur $x_1x_2$-Ebene.
e) $g_3$ schneidet die $x_2$-Achse.
f) Der Spurpunkt von $g_1$ in der $x_1x_2$-Ebene hat
$\;\;\,$positive $x_1$- und $x_2$-Koordinaten.
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
(3P)
3.2  Gegeben sind die Ebene $E: x_1-2x_2+3x_3=6$ und die Gerade $g:\vec{x}=r\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$.
3.2.1  Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat die Gerade $g$?
(1P)
3.2.2  Zeige, dass die Ebene $E$ und die Gerade $g$ parallel sind.
(2P)
3.2.3  Gib eine Gleichung einer zu $g$ parallelen Geraden $h$ an, die ganz in $E$ liegt.
(1P)

(7P)
#hilfsmittelfreieaufgaben
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDFPDF
3.1
$\blacktriangleright$   Entscheiden, ob die Aussage richtig, falsch oder nicht entscheidbar ist
In dieser Aufgabe sollst du mit Hilfe des Koordinatensystems entscheiden, ob die Aussagen über die drei Geraden $g_1$, $g_2$ und $g_3$ richtig, falsch oder nicht entscheidbar sind.
a)
Die beiden Geraden haben zwar in der Abbildung in jedem Punkt den gleichen Abstand, allerdings wird hier ein dreidimensionales Koordinatensystem zweidimensional abgebildet. Dadurch, dass eine Dimension nicht abgebildet werden kann, kann es sein, dass sich die Richtungsvektoren der Geraden zwar ähneln aber nicht linear abhängig sind und die Geraden damit windschief sind.
Auf den folgenden Abbildungen siehst du zwei Geraden aus verschiedenen Perspektiven:
Auf Bild 1 sieht es so aus, als wären sie parallel. Wird die Perspektive nur ein wenig gedreht, wie in Bild 2, kannst du sehen, dass sie eigentlich windschief sind.
Vektorgeometrie
Abb. 2: Windschiefe Geraden
Vektorgeometrie
Abb. 2: Windschiefe Geraden
Alternativ, kannst du auch zwei Geradengleichungen betrachten, die $g_1$ und $g_2$ beschreiben könnten. Die folgenden zwei Geradengleichungen können zu $g_1$ und $g_2$ gehören:
$g_1: \quad \pmatrix{1\\0\\0} + t \cdot \pmatrix{5\\0\\6}\quad $ $g_2: \quad \pmatrix{0\\1\\1}+ s\cdot \pmatrix{0\\2,5\\3,5}$
Die Richtungsvektoren dieser Geraden sind nicht linear abhängig und somit die Geraden nicht parallel.
Diese Aussage ist also nicht entscheidbar.
b)
Die beiden Geraden $g_1$ und $g_3$ sind nicht parallel. Diese Aussage ist somit richtig.
c)
Die beiden Geraden $g_2$ und $g_3$ scheinen sich zwar in der Abbildung zu schneiden, allerdings könnten sie auch versetzt hintereinander liegen, sodass sie windschief sind. In diesem Fall würden sie sich nicht schneiden. Diese Aussage ist also nicht entscheidbar.
d)
Wie in Aufgabenteil a) spielt auch hier die Perspektive eine Rolle. In der Abbildung sieht es so aus, als wäre $g_3$ parallel zur $x_2$-Achse und damit auch zur $x_1$-$x_2$-Ebene. Sie kann aber auch windschief zur $x_2$-Achse liegen und kann somit die Ebene schneiden. Diese Aussage ist also nicht entscheidbar.
e)
In Aufgabenteil a) ist dargestellt, dass zwei Geraden, die zwar parallel erscheinen, auch windschief zueinander liegen können. Dies kann auch bei $g_3$ und der $x_2$-Achse der Fall sein. Allerdings können sich die beiden Geraden nicht schneiden, da es eine Ansicht gibt, in der die Geraden auf dem Bild immer den gleichen Abstand voneinander haben. Wenn sie parallel erscheinen, können sie höchstens windschief sein, sich aber nicht schneiden. Diese Aussage ist daher falsch.
f)
Dadurch, dass in der Abbildung ein dreidimensionaler Sachverhalt dargestellt wird, kannst du nicht sagen, wo im Raum die Gerade $g_1$ genau liegt. Sie könnte die $x_1$-$x_2$-Ebene im positiven Bereich aber auch im negativen schneiden. Diese Aussage ist daher nicht entscheidbar.
3.2
3.2.1
$\blacktriangleright$   Lage der Geraden $\boldsymbol{g}$ im Koordinatensystem
Die Gerade $g: \vec{x}= r\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$ kannst du auch schreiben als $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$
Der Stützvektor der Gerade ist der Ortsvektor des Ursprungs. Die Gerade $g$ verläuft also durch den Ursprung.
3.2.2
$\blacktriangleright$   Zeigen, dass die Gerade $g$ und die Ebene $E$ parallel sind
Die Gerade $g$ und die Ebene $E$ sind genau dann parallel, wenn der Richtungsvektor der Gerade $g$ und der Normalenvektor der Ebene $\vec{n}$ orthogonal zueinander sind. Zwei Vektoren sind orthogonal zueinander, wenn das Skalarprodukt null ist. Einen Normalenvektor von $E$ kannst du direkt aus der Ebenengleichung ablesen:
$\overrightarrow{n} = \pmatrix{1\\-2\\3}$
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}°\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}&=&1\cdot (-1)+(-2)\cdot1 + 3\cdot1 &= 0 \end{array}$
Da das Skalarprodukt der beiden Vektoren null ist, sind die Ebene $E$ und die Gerade $g$ parallel.
3.2.3
$\blacktriangleright$   Geradengleichung von $\boldsymbol{h}$ aufstellen
In dieser Aufgabe sollst du eine Gleichung der Gerade $h$ angeben, die vollständig in der Ebene $E$ liegt und parallel zu der Geraden $g$ ist.
Dazu benötigst du einen Stützvektor und einen Richtungsvektor. Damit die Gerade parallel zu $g$ verläuft, wähle den Richtungsvektor von $g$ als Richtungsvektor für $h$. Damit die Gerade auch in der Ebene $E$ liegt, wähle als Stützvektor den Ortsvektor eines beliebigen Punkts in $E$.
Die Koordinaten eines Punkts in $E$ kannst du berechnen, indem du beispielsweise $x_1$ und $x_2$ beliebig wählst, in die Ebenengleichung einsetzt und nach $x_3$ auflöst:
Wähle beispielsweise $x_1=1$ und $x_2=2$:
$\begin{array}[t]{rll} x_1-2x_2+3x_3&=& 6&\quad \scriptsize \mid\; x_1 =1,\, x_2 =2\\[5pt] 1-2\cdot 2 +3x_3&=& 6&\quad \scriptsize \mid\; +3\\[5pt] 3x_3&=&9 &\quad \scriptsize \mid\;_ :3\\[5pt] x_3&=& 3 \end{array}$
Die Koordinaten eines Punkts in $E$ lauten zum Beisüiel $P(1\mid 2\mid 3)$. Setze diesen zusammen mit dem Richtungsvektor der Geraden $g$ in die allgemeine Geradengleichung ein:
$h: \quad \pmatrix{1\\2\\3}+ t \cdot \pmatrix{-1\\1\\1}$
Eine zu $g$ parallele Gerade, die in $E$ liegt, kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:
$h: \quad \pmatrix{1\\2\\3}+ t \cdot \pmatrix{-1\\1\\1}$
3.1
$\blacktriangleright$   Entscheiden, ob die Aussage richtig, falsch oder nicht entscheidbar ist
In dieser Aufgabe sollst du mit Hilfe des Koordinatensystems entscheiden, ob die Aussagen über die drei Geraden $g_1$, $g_2$ und $g_3$ richtig, falsch oder nicht entscheidbar sind.
a)
Die beiden Geraden haben zwar in der Abbildung in jedem Punkt den gleichen Abstand, allerdings wird hier ein dreidimensionales Koordinatensystem zweidimensional abgebildet. Dadurch, dass eine Dimension nicht abgebildet werden kann, kann es sein, dass sich die Richtungsvektoren der Geraden zwar ähneln aber nicht linear abhängig sind und die Geraden damit windschief sind.
Auf den folgenden Abbildungen siehst du zwei Geraden aus verschiedenen Perspektiven:
Auf Bild 1 sieht es so aus, als wären sie parallel. Wird die Perspektive nur ein wenig gedreht, wie in Bild 2, kannst du sehen, dass sie eigentlich windschief sind.
Vektorgeometrie
Abb. 2: Windschiefe Geraden
Vektorgeometrie
Abb. 2: Windschiefe Geraden
Alternativ, kannst du auch zwei Geradengleichungen betrachten, die $g_1$ und $g_2$ beschreiben könnten. Die folgenden zwei Geradengleichungen können zu $g_1$ und $g_2$ gehören:
$g_1: \quad \pmatrix{1\\0\\0} + t \cdot \pmatrix{5\\0\\6}\quad $ $g_2: \quad \pmatrix{0\\1\\1}+ s\cdot \pmatrix{0\\2,5\\3,5}$
Die Richtungsvektoren dieser Geraden sind nicht linear abhängig und somit die Geraden nicht parallel.
Diese Aussage ist also nicht entscheidbar.
b)
Die beiden Geraden $g_1$ und $g_3$ sind nicht parallel. Diese Aussage ist somit richtig.
c)
Die beiden Geraden $g_2$ und $g_3$ scheinen sich zwar in der Abbildung zu schneiden, allerdings könnten sie auch versetzt hintereinander liegen, sodass sie windschief sind. In diesem Fall würden sie sich nicht schneiden. Diese Aussage ist also nicht entscheidbar.
d)
Wie in Aufgabenteil a) spielt auch hier die Perspektive eine Rolle. In der Abbildung sieht es so aus, als wäre $g_3$ parallel zur $x_2$-Achse und damit auch zur $x_1$-$x_2$-Ebene. Sie kann aber auch windschief zur $x_2$-Achse liegen und kann somit die Ebene schneiden. Diese Aussage ist also nicht entscheidbar.
e)
In Aufgabenteil a) ist dargestellt, dass zwei Geraden, die zwar parallel erscheinen, auch windschief zueinander liegen können. Dies kann auch bei $g_3$ und der $x_2$-Achse der Fall sein. Allerdings können sich die beiden Geraden nicht schneiden, da es eine Ansicht gibt, in der die Geraden auf dem Bild immer den gleichen Abstand voneinander haben. Wenn sie parallel erscheinen, können sie höchstens windschief sein, sich aber nicht schneiden. Diese Aussage ist daher falsch.
f)
Dadurch, dass in der Abbildung ein dreidimensionaler Sachverhalt dargestellt wird, kannst du nicht sagen, wo im Raum die Gerade $g_1$ genau liegt. Sie könnte die $x_1$-$x_2$-Ebene im positiven Bereich aber auch im negativen schneiden. Diese Aussage ist daher nicht entscheidbar.
3.2
3.2.1
$\blacktriangleright$   Lage der Geraden $\boldsymbol{g}$ im Koordinatensystem
Die Gerade $g: \vec{x}= r\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$ kannst du auch schreiben als $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$
Der Stützvektor der Gerade ist der Ortsvektor des Ursprungs. Die Gerade $g$ verläuft also durch den Ursprung.
3.2.2
$\blacktriangleright$   Zeigen, dass die Gerade $g$ und die Ebene $E$ parallel sind
Die Gerade $g$ und die Ebene $E$ sind genau dann parallel, wenn der Richtungsvektor der Gerade $g$ und der Normalenvektor der Ebene $\vec{n}$ orthogonal zueinander sind. Zwei Vektoren sind orthogonal zueinander, wenn das Skalarprodukt null ist. Einen Normalenvektor von $E$ kannst du direkt aus der Ebenengleichung ablesen:
$\overrightarrow{n} = \pmatrix{1\\-2\\3}$
$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}°\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}&=&1\cdot (-1)+(-2)\cdot1 + 3\cdot1 &= 0 \end{array}$
Da das Skalarprodukt der beiden Vektoren null ist, sind die Ebene $E$ und die Gerade $g$ parallel.
3.2.3
$\blacktriangleright$   Geradengleichung von $\boldsymbol{h}$ aufstellen
In dieser Aufgabe sollst du eine Gleichung der Gerade $h$ angeben, die vollständig in der Ebene $E$ liegt und parallel zu der Geraden $g$ ist.
Dazu benötigst du einen Stützvektor und einen Richtungsvektor. Damit die Gerade parallel zu $g$ verläuft, wähle den Richtungsvektor von $g$ als Richtungsvektor für $h$. Damit die Gerade auch in der Ebene $E$ liegt, wähle als Stützvektor den Ortsvektor eines beliebigen Punkts in $E$.
Die Koordinaten eines Punkts in $E$ kannst du berechnen, indem du beispielsweise $x_1$ und $x_2$ beliebig wählst, in die Ebenengleichung einsetzt und nach $x_3$ auflöst:
Wähle beispielsweise $x_1=1$ und $x_2=2$:
$\begin{array}[t]{rll} x_1-2x_2+3x_3&=& 6&\quad \scriptsize \mid\; x_1 =1,\, x_2 =2\\[5pt] 1-2\cdot 2 +3x_3&=& 6&\quad \scriptsize \mid\; +3\\[5pt] 3x_3&=&9 &\quad \scriptsize \mid\;_ :3\\[5pt] x_3&=& 3 \end{array}$
Die Koordinaten eines Punkts in $E$ lauten zum Beisüiel $P(1\mid 2\mid 3)$. Setze diesen zusammen mit dem Richtungsvektor der Geraden $g$ in die allgemeine Geradengleichung ein:
$h: \quad \pmatrix{1\\2\\3}+ t \cdot \pmatrix{-1\\1\\1}$
Eine zu $g$ parallele Gerade, die in $E$ liegt, kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:
$h: \quad \pmatrix{1\\2\\3}+ t \cdot \pmatrix{-1\\1\\1}$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App