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Anwendungsorientierte Analysis 2

Aufgaben
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3.1  Ein neu eröffnetes Bowling-Center kalkuliert einen Preis von $20\,$€ pro Bahn und Stunde. Als Eröffnungs- und Kennenlernangebot wird dieser Preis in den ersten fünf Wochen reduziert und nach und nach erhöht. Dabei beobachtet der Betreiber eine unterschiedliche tägliche Auslastung seiner Bahnen, abhängig vom jeweils verlangten Preis, und hält dies in einer Tabelle fest. Eine Verrechnungseinheit ($\text{VE}$) ist dabei die Belegung einer Bahn für eine Stunde.
$1$. Woche$2$. Woche$3$. Woche$4$. Woche$5$. Woche$6$. Woche
Preis pro $\text{VE}$ in €$10$$12$$14$$16$$18$$20$
Tägliche Belegung in $\text{VE}$$98$$95$$85$$74$$70$$58$
3.1.1  Stelle den Zusammenhang zwischen dem Preis und der täglichen Belegung der Bahnen in einem
Diagramm dar und bestimme eine passende Regressionsfunktion.
(4P)
Der Zusammenhang zwischen Preis und täglicher Belegung ist modellhaft gegeben durch die Funktion $f$ mit $f(x)=140-4x$. Dabei ist $x$ der Preis (in €) und $f(x)$ die tägliche Belegung (in $\text{VE}$).
3.1.2  Zeichne diese Gerade in ein Koordinatensystem ein.
(1P)
3.1.3  Wie groß ist der tägliche Erlös (d.h. Gesamteinnahmen) des Bowling-Centers bei einem Preis von $16\,$€
bzw. $20\,$€ pro $\text{VE}$.
Bei welchem Preis würde das Bowling-Center den größten Erlös erzielen?
(5P)
3.1.4  Aufgrund der schwierigen Finanzlage der Gemeinde muss der Betreiber eine Sonderabgabe in Form von $7\,$€ pro $\text{VE}$ an die Gemeinde entrichten.
Wie groß ist sein verbleibender Erlös, wenn er diese Abgabe auf den Preis von $20\,$€ pro $\text{VE}$ aufschlägt bzw. wenn er diesen Preis beibehält?
Bei welchem Preis würde der Betreiber nun den größten Resterlös (nach Abzug der Sonderabgabe) erzielen?
(5P)

(15P)
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Lösungen
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3.1.1
$\blacktriangleright$   Werte der Tabelle in einem Diagramm darstellen
Als erstes sollst du die Werte aus der Tabelle in einem Diagramm darstellen. Wähle dazu ein 2-dimensionales Koordinatensystem. Ein Punkt im Koordinatensystem entspricht dabei immer einem Wertepaar „Preis pro VE in € “ und „Tägliche Belegung in VE “. Auf der $x$-Achse kannst du den „Preis pro VE in € auftragen und die $y$-Achse entspricht der „Tägliche Belegung in VE “. Jetzt kannst du die sechs Punkte in das Koordinatensystem einzeichnen.
Anwendungsorientierte Analysis 2
Anwendungsorientierte Analysis 2
$\blacktriangleright$   Regressionsfunktion bestimmen
In dieser Aufgabe sollst du eine Regressionsfunktion, die den Zusammenhang zwischen Preis und täglicher Belegung der Bahn beschreibt, bestimmen. Diese kannst du mit dem Statistikprogramm deines Taschenrechners bestimmen. Wähle dafür den Ansatz einer linearen Funktion.
Für den Parameter $A$ erhältst du $A=141,3$ und für den Parameter $B$ erhältst du $B=-4,1$.
$f(x)=141,3-4,1x$
Eine passende Regressionsfunktion lautet: $\boldsymbol{f(x)=141,3-4,1x}$.
3.1.2
$\blacktriangleright$   Gerade $\boldsymbol{f}$ skizzieren
Um die Gerade $f(x)=140-4x$ zu skizzieren, kannst du als erstes eine Wertetabelle anlegen. Wähle dazu $x$-Werte, die durch 10 teilbar sind. So kannst du die Gerade am einfachsten in das Koordinatensystem einzeichnen. Für eine Gerade genügen zwei Punkte.
x010
y140100
Überlege dir eine geeignete Skalierung für die Achsen, z.B. $x$-Achse: ein Zentimeter in deinem Heft entspricht $2$ LE und für die $y$-Achse: ein Zentimeter in deinem Heft entspricht $20$ LE.
Anwendungsorientierte Analysis 2
Anwendungsorientierte Analysis 2
3.1.3
$\blacktriangleright$   Täglichen Erlös berechnen
In dieser Aufgabe sollst du den täglichen Erlös des Bowlings-Centers berechnen, wenn die Bahn $16€$ und $20€$ kostet. Die tägliche Belegung der Bahn kannst du mit der Funktion $f$ berechnen und den Erlös erhältst du, wenn du die tägliche Belegung mit dem Preis multiplizierst.
Die Funktionsgleichung zum Berechnen des Erlöses lautet somit: $e(x)=x\cdot f(x)= x\cdot (140-4x)$
$16€\;pro\; VE:$
$e(16)=16\cdot(140-4\cdot 16)=1216$
Der tägliche Erlös des Bowling-Centers bei $16€\;pro\;VE$ beträgt $\boldsymbol{1216€}$.
$20€\;pro\; VE:$
$e(20)=20\cdot(140-4\cdot 20)=1216$
Der tägliche Erlös des Bowling-Centers bei $20€\;pro\;VE$ beträgt $\boldsymbol{1200€}$.
$\blacktriangleright$   Berechne den Preis, bei dem das Bowling-Center den größten Erlös erzielt
Den Preis, bei dem das Bowling-Center den größten Erlös erzielt, kannst du mit Hilfe der Funktion $e$ berechnen. Dazu berechnest du das Maximum der Funktion. Bilde also als erstes die erste und zweite Ableitung der Funktion $e$ um das notwendige und das hinreichende Kriterium für Extremstellen anwenden zu können. Berechne anschließend die Nullstellen der ersten Ableitungsfunktion. Um zu überprüfen, ob an diesen Stellen tatsächlich ein Maximum vorliegt, setze sie noch in die zweite Ableitungsfunktion ein.
1. Schritt: Ableitungen von $e(x)$ bestimmen
$e(x)=x\cdot (140-4x)= -4x^2+140x $
$e'(x)=-8x+140$
$e'(x)=-8$
2. Schritt: Nullstellen von $e'(x)$ berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& -8x+140 &\quad \scriptsize \mid\;-140 \mid\;:(-8) \\[5pt] x&=& 17,5 \end{array}$
3. Schritt: Nullstellen in die zweite Ableitungsfunktion einsetzen
Da $e''(x) =-8$ ist, ist das hinreichende Kriterium für Extremstellen hier erfüllt. An der Stelle $x = 17,5$ besitzt die Funktion $e$ also ein Maximum.
Bei einem Preis von $\boldsymbol{17,50€}$ würde das Bowling-Center den größten Erlös erzielen.
3.1.4
$\blacktriangleright$   Verbleibenden Erlös berechnen
Jetzt sollst du berechnen, wie hoch der Erlös ist, wenn das Bowling-Center pro VE $7€$ an die Stadt abgeben muss.
Wenn $7€$ auf den Preis von $20€$ pro VE aufgeschlagen werden, werden entsprechend dem erhöhten Preis von $27€$ die VE verkauft. Der Erlös pro VE bleibt aber weiterhin $20€$ für das Bowling-Center, da die übrigen $7€$ abgegeben werden müssen. Setze also in den Term für die Berechnung der verkaufen VE den Gesamtpreis ein, und für den Erlös des Centers den Erlös von $20€$ pro VK:
$20\cdot(140-4\cdot 27)= 640$
Der übrige Erlös würde $640€$ betragen.
Wenn der Preis von $20€$ beibehalten werden soll, kannst du wie oben vorgehen, indem du nun in den Term für die Berechnung der verkauften VE den Gesamtpreis von $20€$ einsetzt und diesen mit dem übrigen Erlös pro VE multiplizierst:
$13\cdot(140-4\cdot 20)= 780$
Der übrige Erlös würde $780€$ betragen.
$\blacktriangleright$   Berechne, bei welchem Preis der Betreiber den größten Resterlös erzielen würde
Um zu berechnen, wann der Betreiber den größten Erlös nach Abzug der Sonderabgabe erzielen würde, kannst du zunächst eine Funktion für den Resterlös aufstellen. Dieser berechnet sich in Abhängigkeit vom Gesamtpreis $x$ wie oben. Du multiplizierst die Anzahl verkaufter VE in Abhängigkeit vom Gesamtpreis $x$ mit dem Resterlös $x-7$ pro VE:
$e_2(x) = (x-7) \cdot \left( 140-4\cdot x\right)$
Jetzt musst du wieder das Maximum dieser Funktion berechnen. Bilde dazu wieder die ersten beiden Ableitungen und berechne anschließend die Nullstellen der ersten Ableitung und setze diese in die zweite Ableitung ein.
1. Schritt: Ableitungen von $\boldsymbol{e_2(x)}$ bestimmen
$e_2(x)=(x-7)(140-4x)=-4x^2+168x-980$
$e'_2(x)=-8x+168$
$e''_2(x)=-8$
2. Schritt: Nullstellen berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&-8x+168 &\quad \scriptsize \mid\;-168 \mid\;:(-8) \\[5pt] x&=& 21 \end{array}$
3. Schritt: Nullstellen in die zweite Ableitung einsetzen
Die zweite Ableitung ist $-8$, daher besitzt $e_2$ an der Stelle $x=21$ tatsächlich ein Maximum.
Bei einem Preis von $\boldsymbol{21€}$ pro VE würde der Betreiber noch den größten Resterlös (Erlös nach Abzug der Sonderabgabe) erzielen.
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