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Stochastik 2

Aufgaben
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2  Von einem Medikament ist aufgrund langjähriger Beobachtung von Patienten bekannt, dass als
Nebenwirkung zum einen Magenbeschwerden, zum anderen Bluthochdruck auftreten. Bei $95\,\%$ der Patienten zeigen sich keine Nebenwirkungen, $4\,\%$ klagen über Magenbeschwerden, $3\,\%$ über Bluthochdruck.
2.1  Bei wie viel Prozent der Patienten treten beide Nebenwirkungen sogar gleichzeitig auf?
(3P)
2.2  Treten die beiden Nebenwirkungen unabhängig voneinander auf?
(2P)
2.3  Ein Arzt verschreibt das Medikament in einer Woche $5$ seiner Patienten. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass bei mindestens einem der Patienten eine Nebenwirkung auftritt?
(2P)
2.4  Das Medikament kostet $32$,-€. Beim Auftreten von Magenbeschwerden muss der Patient zusätzlich
Magentabletten für $25$,-€ einnehmen, beim Auftreten von Bluthochdruck zusätzlich einen Blutdrucksenker für $44$,-€.
Wie stark belastet ein Verschreiben des Medikaments durchschnittlich die Krankenkassen?
(4P)
2.5  Ein Arzt verschreibt das Medikament im Laufe eines Jahres $240$ Patienten.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
  • genau $10$ Patienten über Magenbeschwerden klagen;
  • höchstens $12$ Patienten Bluthochdruck bekommen;
  • sich bei $220$ bis $235$ Patienten keinerlei Nebenwirkungen zeigen.
(4P)

(15P)
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Lösungen
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2.1
$\blacktriangleright$   Wie viel Prozent haben beide Nebenwirkungen
In der Aufgabe hast du gegeben, dass $95\%$ der Patienten keine Nebenwirkungen haben. $5\%$ der Patienten müssen daher Nebenwirkungen haben. $4\%$ der Patienten haben Magenbeschwerden und $3\%$ haben Bluthochdruck.
Gesucht ist hier die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge. Bezeichne mit $A$ das Ereignis, dass Magenbeschwerden auftreten und mit $B$, dass Bluthochdruck auftritt. Dann ist die Wahrscheinlichkeit für $P(A \cap B)$ gesucht. Du kannst folgende Formel nutzen:
$P(A\cap B) + P(A\cup B) = P(A) + P(B)$
$P(A\cap B) + P(A\cup B) = P(A) + P(B)$
Du kennst bereits $P(A)= 4\,\%$ und $P(B)= 3\,\%$. Die Wahrscheinlichkeit $P(A \cup B)$, dass mindestens eine der Nebenwirkungen auftritt, kannst du über das Gegenereignis berechnen:
$P(A\cup B) = 1- 95\,\% = 5\,\%$
Setze nun in die Formel ein:
$\begin{array}[t]{rll} P(A\cap B)+ 5\,\%&=& 4\,\% + 3\,\%&\quad \scriptsize \mid\; -5\,\% \\[5pt] P(A\cap B)&=&2\,\% \\[5pt] \end{array}$
Bei $\boldsymbol{2\%}$ der Patienten treten beide Nebenwirkungen auf.
2.2
$\blacktriangleright$   Prüfen, ob beide Nebenwirkungen unabhängig voneinander auftreten
In dieser Aufgabe sollst du prüfen, ob die beiden Nebenwirkungen unabhängig voneinander autreten.
Das Ereigis $A$ steht für Magenbeschwerden und das Ereignis $B$ für Bluthochdruck.
Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn folgende Gleichung erfüllt ist:
$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$
In dieser Aufgabe ist $P(A)=0,04$ und $P(B)=0,03$. $P(A \cap B)$ hast du in der Aufgabe zuvor berechnet und ist $0,02$.
Setze die Wahrscheinlichkeiten in die Gleichung ein:
$P(A\cap B)=0,02\neq 0,04\cdot 0,03 =P(A)\cdot P(B)$
Da die Gleichung nicht gilt sind die beiden Ereignisse $A$ und $B$ nicht unabhängig das heißt, dass die Nebenwirkungen Bluthochdruck und Magenbeschwerden abhängig voneinander auftreten.
2.3
$\blacktriangleright$   Wahrscheinlichkeit berechnen
Die Anzahl der Patienten, die Nebenwirkungen haben oder nicht, ist binomialverteilt da es genau zwei Ausgänge gibt. Entweder der Patient hat Nebenwirkungen oder er hat keine. Die Wahrscheinlichkeit, dass von 5 Patienten mindestens einer Nebenwirkungen hat kannst du somit mit der Formel der Binomialverteilung berechnen.
$P(X= k)=\binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
Gesucht ist also $P(X\geq 1)$. Bevor du die Werte in die Formel einsetzen kannst, musst du das Gegenereignis bilden.
$P(X\geq 1)=1-P(X=0)$
Setze jetzt in die Formel für $k=0$, für $n=5$ und für $p=0,05$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq 1)&=&1-P(X=0) \\[5pt] &=&1-\binom{5}{0}\cdot 0,05^0\cdot (1-0,05)^5 \\[5pt] &=&1-\binom{5}{0}\cdot 0,05^0 \cdot 0,95^5 \\[5pt] &=&1-0,774\\[5pt] &=&0,226 \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{22,6\%}$ hat mindestens einer von 5 Patienten Nebenwirkungen.
2.4
$\blacktriangleright$   Durchschnittliche Belastung der Krankenkasse
In dieser Aufgabe sollst du die durchschnittliche Belastung der Krankenkasse berechnen, wenn das Medikament $32€$, die Magentablette $25€$ und der Blutdrucksenker $44€$ kostet.
Dazu musst du die durchschnittlichen Kosten pro Patient für die zusätzlichen Medikamente bei den Nebenwirkungen berechnen.
Die Nebenwirkung Magenbeschwerden tritt bei $4\,\%$ der Patienten auf, in diesem Fall muss die Krankenkasse $25€$ zahlen, Bluthochdruck tritt bei $3\,\%$ auf und kostet die Krankenkasse $44€$. Die zusätzlichen Kosten durch die Nebenwirkungen ergeben sich daher pro Patient wie folgt:
$25\cdot 0,04 + 44\cdot 0,03= 2,32$
Addiere nun die Kosten für das Medikament hinzu, die in jedem Fall gezahlt werden müssen:
$ 32€+2,32€=34,32€$
Das Verschreiben des Medikaments belastet im Durchschnitt die Krankenkasse mit $\boldsymbol{34,32€}$ pro Patient.
2.5
$\blacktriangleright$   Wahrscheinlichkeit für $\boldsymbol{10}$ Patienten mit Magenbeschwerden berechnen
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass von $240$ Patienten, die das Medikament nehmen genau 10 Patienten über Magenschmerzen klagen.
Die Zufallsvariable $X$, die die Anzahl der Patienten mit Magenbeschwerden beschreibt, ist binomialverteilt. Du kannst somit für $n=240$ für $k=10$ und für $p=0,04$ in die Formel einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} P(X=10)&=&\binom{240}{10}\cdot 0,04^{10}\cdot (1-0,04)^{240-10}\\[5pt] &=&\binom{240}{10}\cdot 0,04^{10}\cdot 0,96^{230}\\[5pt] &=&0,127 \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{12,7\%}$ klagen genau 10 von 240 Patienten über Magenschmerzen.
$\blacktriangleright$   Wahrscheinlichkeit für höchstens $\boldsymbol{12}$ Patienten mit Bluthochdruck berechnen
Jetzt sollst du berechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass höchstens 12 Patienten, die das Medikament vom Arzt verschrieben bekommen, Bluthochdruck haben. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable $Y\leq12$ ist kannst du mit der Formel der kumulierten Binomialverteilung berechnen.
$P(X\leq k)=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{k}\binom{n}{i}\cdot p^i\cdot (1-p)^{n-i} $
Setze in die Formel für $k=12$, für $n=240$ und für $p=0,03$ ein. Die Summe kannst du mit deinem Taschenrechner berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} &=&\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{12}\binom{240}{i}\cdot 0,03^i \cdot (1-0,03)^{240-i} \\[5pt] &=&\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{12}\binom{240}{i}\cdot 0,03^i \cdot 0,97^{240-i} \\[5pt] &\approx&0,97 \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkiet von ca. $\boldsymbol{97\%}$ bekommen höchstens 12 Patienten Bluthochdruck.
$\blacktriangleright$   Wahrscheinlichkeit berechnen
Hier sollst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass bei $220$ bis $235$ Patienten keinerlei Nebenwirkungen auftreten.
Diese Wahrscheinlichkeit kannst du mit der Näherung von De Moivre-Laplace berechnen.
$P(k_1\leq X\leq k_2)=\Phi\left(\dfrac{k_2+0,5-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\dfrac{k_1-0,5-\mu}{\sigma}\right)$
$P(k_1\leq X\leq k_2)$$=\Phi\left(\dfrac{k_2+0,5-\mu}{\sigma}\right)$$-\Phi\left(\dfrac{k_1-0,5-\mu}{\sigma}\right)$
1. Schritt: Erwartungswert $\mu$ berechnen
$\mu=n\cdot p$
Setze für $n=240$ und für $p=0,95$ ein.
$\mu= 240\cdot 0,95=228$
2. Schritt: Standardabweichung $\sigma$ berechnen
$\sigma= \sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}$
Setze auch hier für $n$ und $p$ die gleichen Werte wie bei der Berechnung des Erwartungswertes ein.
$\sigma= \sqrt{240\cdot0,95\cdot (1-0,95)}=3,38 $
3. Schritt: $\sigma$ und $\mu$ in die Formel einsetzen
Die Werte für $\Phi$ kannst du aus der Tabelle ablesen.
$\begin{array}[t]{rll} P(220\leq Z\leq 235)&\approx&\Phi\left(\dfrac{235+0,5-228}{3,38}\right)-\Phi\left(\dfrac{220-0,5-228}{3,38}\right) \\[5pt] &=&\Phi(2,22)-\Phi(-2,51) \\[5pt] &=&\Phi(2,22)-(1-\Phi(2,51)) \\[5pt] &\approx&0,9868-(1-0,9940)= 0,981 \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich bei 220 bis 235 Patienten keine Nebenwirkungen zeigen beträgt $\boldsymbol{98,1\%}$
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