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Vektorgeometrie

Aufgaben
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1  Ein rechteckiges Solarmodul hat die Eckpunkte $A$, $B$, $C$ und $D$ mit $A(7\mid9\mid4)$, $B(1\mid3\mid1)$ und
$C(6\mid-7\mid11)$.
1.1  Zeige, dass das Dreieck $ABC$ bei $B$ einen rechten Winkel hat, und bestimme die Koordinaten des
Punktes $D$.
(3P)
1.2  Bestimme eine Gleichung der Solarmodul-Ebene $ABC$ in Koordinatenform.
(3P)
1.3  Bestimme den Abstand des Ursprungs von der Solarmodul-Ebene.
(2P)
1.4  Das Solarmodul ist in seinem Mittelpunkt mit einer Stange befestigt, die orthogonal zur Solarmodul-
Ebene steht. Das Ende der Stange befindet sich auf der Höhe $0$.
Bestimme die Länge der Stange.
(5P)
1.5  Die optimale Energieaufnahme erzielt das Modul, wenn es orthogonal zum einfallenden Sonnenlicht
ausgerichtet ist.
Um wie viel Grad müsste das Modul für eine optimale Energieaufnahme gedreht werden, wenn das Sonnenlicht aus der Richtung $\vec{v}=\begin{pmatrix}5\\-2\\-3\end{pmatrix}$ einfällt?
(2P)

(15P)
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$   Zeigen, dass das Dreieck einen rechten Winkel hat
In dieser Aufgabe hast du die drei Punkte $A(7\mid 9\mid 4)$, $B(1\mid 3\mid 1)$ und $C(6\mid -7\mid 11)$ gegeben und du sollst zeigen, dass das Dreieck $ABC$ im Punkt B einen rechten Winkel hat. Am einfachsten ist es, wenn du dir zuerst eine Skizze machst.
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Um zu überprüfen, ob es sich um einen $90°$ Winkel handelt, kannst du überprüfen, ob das Skalarprodukt zwischen den beiden Vektoren $\vec{AB}$ und $\vec{BC}$ Null ist.
Zwei Vektoren sind orthogonal zueinander, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren $0$ ist. Berechne also zuerst die beiden Verbindungsvektoren und anschließend ihr Skalarprodukt.
$\vec{AB}= \begin{pmatrix}1-7\\3-9\\1-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\-6\\-3\end{pmatrix}$,$\;\;\;\;\;$ $\vec{BC}=\begin{pmatrix}6-1\\-7-3\\11-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-10\\10 \end{pmatrix}$
$\begin{array}[t]{rll} \vec{AB}\circ\vec{BC}&=&\begin{pmatrix}-6\\-6\\-3\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}5\\-10\\10 \end{pmatrix} \\[5pt] &=&(-6)\cdot5+(-6)\cdot(-10)+(-3)\cdot 10=0 \end{array}$
Das Dreieck $ABC$ hat bei $B$ einen rechten Winkel.
$\blacktriangleright$   Koordinaten des Punktes $D$ bestimmen
Jetzt sollst du das Dreieck $ABC$ zu dem Rechteck $ABCD$ ergänzen. Gesucht sind also die Koordinaten des Punktes $D$.
Auch hier kannst du wieder zuerst eine Skizze anfertigen.
Vektorgeometrie
Vektorgeometrie
Die Koordinaten des Punktes $D$ erhälst du, wenn du an den Ortsvektor des Punktes $A$ den Richtungsvektor $\vec{BC}$ addierst.
$\vec{OD}=\vec{OA}+\vec{BC}=\begin{pmatrix}7\\9\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5\\-10\\10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12\\-1\\14 \end{pmatrix} $
Die Punkt $D$ hat die Koordinaten: $\boldsymbol{(12\mid -1\mid 14)}$.
1.2
$\blacktriangleright$   Gleichung der Ebene in Koordinatenform bestimmen
In dieser Aufgabe sollst du eine Gleichung der Solarmodul-Ebene in Koordinatenform aufstellen. Eine solche Ebenengleichung hat im allgemeinen folgende Form:
$E: \quad n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3 = d$
$E: \quad n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3 = d$
Du benötigst also einen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene und kannst dann den Parameter $d$ durch eine Punktprobe bestimmen, indem du die Koordinaten des Normalenvektors und die Koordinaten eines Punkts in die Ebenengleichung einsetzt.
Einen Normalenvektor kannst du mit Hilfe des Kreuzprodukts zweier Verbindungsvektoren der Punkte in der Ebene bestimmen. Wähle beispielsweise $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$.
$\overrightarrow{AB} = \pmatrix{-6\\-6\\-3}$
$\overrightarrow{AC} = \pmatrix{-1\\-16\\7}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} &=& \pmatrix{-6\\-6\\-3}\times\pmatrix{-1\\-16\\7} \\[5pt] &=& \pmatrix{-90\\45\\90}\\[5pt] &=& 45\cdot \pmatrix{-2\\1\\2}\\[5pt] \end{array}$
Da beim Normalenvektor nur die Richtung, nicht aber die Länge, von Bedeutung ist, kannst du sowohl den ursprünglichen Vektor als auch den gekürzten $\overrightarrow{n}=\pmatrix{ -2\\ 1\\2}$ verwenden.
Setze diesen zusammen mit den Koordinaten von beispielsweise $A$ in die allgemeine Ebenengleichung ein:
$\begin{array}[t]{rll} n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3 &=& d \\[5pt] -2x_1+x_2 +2x_3&=& d \\[5pt] -2\cdot 7+9+2\cdot 4&=&d \\[5pt] 3&=&d \end{array}$
Eine Ebenengleichung der Solarmodul-Ebene in Koordinatenform lautet:
$E: \quad -2x_1+x_2 +2x_3 = 3$
1.3
$\blacktriangleright$   Abstand des Ursprungs von der Solarmodul-Ebene berechnen
Den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene kannst du mit der Hesseschen Normalenform berechnen.
HNF: $\dfrac{n_1\cdot x_1+ n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3-c} {\left|\vec{n}\right|}=0$
Die Ebenengleichung in Koordinatenform hast du bereits aufgestellt. Diese kannst du umformen und anschließend die Koordinaten des Ursprungspunkts in die linke Seite der Hesseschen Normalenform einsetzen. Das Ergebnis ist der Abstand des Ursprungs zur Ebene.
Die Ebenengleichung in Koordinatenform lautet: $E: -2x_1+x_2+2x_3=3$.
Jetzt kannst du die Hessesche Normalenform bilden und anschließend den Ursprung $O(0\mid 0\mid 0)$ einsetzen.
$HNF: \dfrac{-2x_1+x_2+2x_3-3}{\sqrt{(-2)^2+1^2+2^2}}=0 $
$\begin{array}[t]{rll} d&=&\left|\dfrac{-2\cdot0+1\cdot0+2\cdot 0-3}{\sqrt{4+1+4}}\right| \\[5pt] &=&\left|\dfrac{-3}{\sqrt9}\right| =\left|\dfrac{-3}{3}\right|=1 \end{array}$
Der Abstand des Ursprungs von der Solarmodul-Ebene beträgt $\boldsymbol{1LE}$.
1.4
$\blacktriangleright$   Länge der Stange berechnen
Das Solarmodul ist im Mittelpunkt mit einer Stange befestigt, die orthogonal zur Solarmodul-Ebene steht. Du sollst in dieser Aufgabe die Länge des Stabs berechnen.
1. Schritt: Mittelpunkt berechnen
Den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten kannst du mit einer Formel berechnen.
$M\left(\dfrac{a_1+b_1}{2}\mid\dfrac{a_2+b_2}{2}\mid \dfrac{a_3+b_3}{2} \right)$
Berechne zum Beispiel den Mittelpunkt zwischen dem Punkt $A$ und dem Punkt $C$.
$M\left(\dfrac{7+6}{2} \mid \dfrac{9+(-7)}{2} \mid \dfrac{4+11}{2} \right)\rightarrow M\left(6,5\mid 1\mid 7,5\right)$
2. Schritt: Hilfsgerade bilden
Als nächstes bildest du eine Gerade, die durch den Mittelpunkt des Solarmoduls geht und orthogonal zu der Solarmodul-Ebene ist. Setze dazu als Stützvektor den Ortsvektor der zum Mitllepunkt zeigt und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene ein.
$g: \vec{x}=\begin{pmatrix}6,5\\1\\7,5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-2\\1\\2 \end{pmatrix}$
3. Schritt:Schnittpunkt mit der Ebene
Als nächstes berechnest du den Schnittpunkt mit der $x_1x_2$-Ebene. Die $x_3$ Koordinate muss somit Null sein und die $x_1$ und die $x_2$ Koordinaten sind gesucht.
$\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6,5\\1\\7,5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-2\\1\\2 \end{pmatrix}$ Du erhälst ein Gleichungsystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannte. Mit Hilfe der dritten Gleichung kannst du $t$ berechnen und anschließend den Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzten um die Werte für $x$ und $y$ zu erhalten.
$\begin{array}[t]{rll} 0&=&7,5+2t &\quad \scriptsize \mid\;-7,5\mid\;.2 \\[5pt] t&=&-3,75 \end{array}$
$x=6,5+(-3,75)\cdot(-2)=14 $
$y=1+(-3,75)\cdot1=-2,75$
$\Rightarrow \begin{pmatrix}14\\-2,75\\0\end{pmatrix}$
Der Schnittpunkt $S$ mit der $x_1x_2$-Ebene hat die Koordinaten $\left(14\mid -2,75\mid 0\right)$.
4. Schritt:Verbindungsvektor $MS$ bilden und den Abstand berechnen
$MS= \begin{pmatrix}14-6,5\\-2,75-1\\0-7,5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7,5\\-3,75\\-7,5\end{pmatrix}$
$|\vec{MS}|=\sqrt{7,5^2+(-3,75)^2+(-7,5)^2}=\sqrt{126,6}=11,25 $
Der Stab ist $\boldsymbol{11,25LE}$ lang.
1.5
$\blacktriangleright$   Berechne, um wie viel Grad das Modul gedreht werden muss
In dieser Aufgabe sollst du berechnen, um wie viel Grad das Modul gedreht werden müsste, damit das Sonnenlicht orthogonal auf das Modul scheint.
Berechne mit der Sinus-Formel die Größe des Winkels zwischen der Ebene und dem Vektor, der das einfallende Sonnenlicht beschreibt.
$\sin\alpha= \dfrac{\left|\vec{a}\circ\vec{b}\right|}{\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|}$
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\dfrac{\left|\begin{pmatrix}5\\-2\\-3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}5\\-2\\-3\end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}\right|}=\dfrac{\left|-10-2-6\right|}{\sqrt{38}\cdot3}= \dfrac{18}{3\sqrt{38}} &\quad \scriptsize \mid\;\sin^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\sin^{-1}\left(\dfrac{18}{3\sqrt{38}}\right)=76,74° \end{array}$
Die Sonnenstrahlen fallen in einem Winkel von ca. $76,74^{\circ}$ auf das Solarmodul. Für eine optimale Energieaufnahme müsste das Solarmodul also um $90^{\circ} - 76,74^{\circ} = \boldsymbol{13,26°}$ gedreht werden.
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