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Aufgabe 2

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Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=-\mathrm{e}^{-0,5x}-x+1$; $x\in\mathbb{R}$. Ihr Schaubild ist $K_f$.
2.1
Zeichne $K_f$.
Berechne die exakten Koordinaten des Hochpunktes von $K_f$.
Untersuche das Krümmungsverhalten von $K_f$.
Gib die Koordinaten der Schnittpunkte von $K_f$ mit der $x$-Achse an und begründe, dass es genau zwei Schnittpunkte sind.
(11P)
2.2
Zeige, dass $K_f$ und die Gerade mit der Gleichung $y = -x+1$ keine gemeinsamen Punkte besitzen.
(3P)
2.3
Die Gerade mit der Gleichung $x=u$ mit $-5\leq u\leq1$ schneidet $K_f$ im Punkt $P$ und die Gerade mit der Gleichung $y=x-1$ im Punkt $Q$.
Für welchen Wert von $u$ ist die Länge der Strecke $PQ$ maximal? Gib die maximale Streckenlänge an.
(4P)
2.4
Vervollständige die folgenden Aussagen:
a)
Eine einfache Nullstelle einer Funktion ist eine _______________ ihrer Stammfunktion.
(1P)
b)
Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat ___ Wendestelle(n), denn ihre zweite
$\hspace{0.6cm}$Ableitungsfunktion ist vom Grad _______ .
(2P)
c)
Eine Funktion $h$ mit $h(x)=2\cos(3x)+5$; $(x\in\mathbb{R})$ hat den Wertebereich _______________
$\hspace{0.6cm}$und eine ____________________ von $\dfrac{2}{3}\pi$.
(3P)
d)
Ein möglicher Funktionsterm einer Funktion mit den einfachen Nullstellen $x_1=-3$, $x_2=0$
$\hspace{0.6cm}$und $x_3=2$ lautet ________________________________.
(2P)
e)
Das Schaubild der trigonometrischen Funktion mit der Funktionsgleichung ________________
$\hspace{0.6cm}$hat in $W(0\mid2)$ einen Wendepunkt und in $H(2\mid4)$ den ersten Hochpunkt mit positivem $x$-Wert.
(4P)

(30P)
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