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Aufgabe 2

Aufgaben
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Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=-\mathrm{e}^{-0,5x}-x+1$; $x\in\mathbb{R}$. Ihr Schaubild ist $K_f$.
2.1
Zeichne $K_f$.
Berechne die exakten Koordinaten des Hochpunktes von $K_f$.
Untersuche das Krümmungsverhalten von $K_f$.
Gib die Koordinaten der Schnittpunkte von $K_f$ mit der $x$-Achse an und begründe, dass es genau zwei Schnittpunkte sind.
(11P)
2.2
Zeige, dass $K_f$ und die Gerade mit der Gleichung $y = -x+1$ keine gemeinsamen Punkte besitzen.
(3P)
2.3
Die Gerade mit der Gleichung $x=u$ mit $-5\leq u\leq1$ schneidet $K_f$ im Punkt $P$ und die Gerade mit der Gleichung $y=x-1$ im Punkt $Q$.
Für welchen Wert von $u$ ist die Länge der Strecke $PQ$ maximal? Gib die maximale Streckenlänge an.
(4P)
2.4
Vervollständige die folgenden Aussagen:
a)
Eine einfache Nullstelle einer Funktion ist eine _______________ ihrer Stammfunktion.
(1P)
b)
Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat ___ Wendestelle(n), denn ihre zweite
$\hspace{0.6cm}$Ableitungsfunktion ist vom Grad _______ .
(2P)
c)
Eine Funktion $h$ mit $h(x)=2\cos(3x)+5$; $(x\in\mathbb{R})$ hat den Wertebereich _______________
$\hspace{0.6cm}$und eine ____________________ von $\dfrac{2}{3}\pi$.
(3P)
d)
Ein möglicher Funktionsterm einer Funktion mit den einfachen Nullstellen $x_1=-3$, $x_2=0$
$\hspace{0.6cm}$und $x_3=2$ lautet ________________________________.
(2P)
e)
Das Schaubild der trigonometrischen Funktion mit der Funktionsgleichung ________________
$\hspace{0.6cm}$hat in $W(0\mid2)$ einen Wendepunkt und in $H(2\mid4)$ den ersten Hochpunkt mit positivem $x$-Wert.
(4P)

(30P)
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Aufgabe 2.1

$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_f}$ zeichnen:
Wenn du ein Schaubild zeichnen willst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte $y=f(x)$ die Funktion $f$ in Abhängigkeit von $x$ annimmt. Für die gegebene Funktion $f$ ist eine Darstellung z. B. im Bereich $ -5 \leq x \leq 5 $ und $ -5 \leq y \leq 1 $ sinnvoll, weil das Wesentliche des Schaubildes dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit entspricht 1 cm.
$\blacktriangleright$   Koordinaten des Hochpunktes exakt berechnen
Aus der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass es nur einen Hochpunkt gibt und du ihn schriftlich bestimmen sollst. Eine Lösung mit dem GTR ist also nicht zulässig.
An einer Hochstelle liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_f$ vor und die Ableitungsfunktion $f'$ wechselt das Vorzeichen. Für eine Hochstelle $x_0$ der Funktion $f$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0) < 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt die erste Ableitung der Funktion $f$ und untersuche diese auf Nullstellen. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Gilt dann $\boldsymbol{f''(x_0) < 0,}$ so handelt es sich um einen Hochpunkt.
1. Schritt: Ableitungen der Funktion $\boldsymbol{f}$ bestimmen
2. Schritt: 1. (notwendige) Bedingung überprüfen
Für eine mögliche Hochstelle (Extremstelle) muss die erste Bedingung $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$ erfüllt sein.
Die Stellen $\boldsymbol{x_1=-2 \cdot \ln(2)}$ ist eine mögliche Hochstelle. Um herauszufinden, ob diese tatsächlich eine Hochstelle ist, kannst du die zweite Bedingung überprüfen:
3. Schritt: 2. (hinreichende) Bedingung überprüfen
Damit eine mögliche Hochstelle tatsächlich Hochstelle ist, sollst du die Ungleichung $\boldsymbol{f''(x_0) < 0}$ prüfen. Du setzt also die ermittelte Stellen $x_1=-2 \cdot \ln(2)$ in den Term der zweiten Ableitung ein, berechnest den Funktionswert und wertest sein Vorzeichen aus.
Wenn ein Hochpunkt vorliegt, setzt du die Stelle in den Funktionsterm $f(x)$ ein, um seine $y$–Koordinate zu berechnen.
$\blacktriangleright$   Krümmungsverhalten von $\boldsymbol{K_f}$ untersuchen
Deine Aufgabe ist, das Krümmungsverhalten des Schaubildes zu untersuchen. Das Vorzeichen der zweiten Ableitungsfunktion gibt Auskunft darüber,welches Krümmungsverhalten vorliegt:
  • $K_f$ ist rechtsgekrümmt: $\boldsymbol{f''(x_0) < 0}$
  • $K_f$ ist linksgekrümmt: $\boldsymbol{f''(x_0) > 0}$
Die zweite Ableitungsfunktion hast du schon berechnet. Untersuche ihr Vorzeichen in Abhängigkeit von $x.$
$\blacktriangleright$   Schnittpunkte mit der $\boldsymbol{x}$–Achse berechnen
Diese Teilaufgabe verlangt von dir, die Schnittpunkte mit der $\boldsymbol{x}$–Achse berechnen. In diesem Fall ist die Verwendung des GTR notwendig, weil du die Methoden für eine schriftliche Berechnung im Unterricht nicht kennengelernt hast.
Wenn du einen GTR von TI besitzt, rufst du nach Eingabe des Funktionsterms das Untermenü mit
CALC $\to$ 2: zero $\to$ ENTER
auf. Du wirst aufgefordert, z. B. die linke Nullstelle einzugrenzen. Weil sie zwischen $-3$ und $-2$ liegt, kannst du diese Werte für die Begrenzung eingeben.
$\blacktriangleright$   Begründen, dass es genau zwei Schnittpunkte von $\boldsymbol{K_f}$ mit der $\boldsymbol{x}$–Achse gibt
Nach der vorherigen Berechnung gibt es mindestens zwei Schnittpunkte. Überlege dir anhand der Zeichnung, welche Eigenschaft das Schaubild haben müsste, wenn es einen weiteren Schnittpunkt mit der $x$–Achse geben würde.

Aufgabe 2.2

$\blacktriangleright$   Nachweisen, dass $\boldsymbol{K_f}$ und die Gerade $\boldsymbol{y = - x + 1}$ keine gemeinsamen Punkte besitzen
Dir soll der Nachweis gelingen, dass das Schaubild $K_f$ und die Gerade sich nicht schneiden. Schnittpunkte von zwei Funktionen werden durch Gleichsetzen der Funktionsterme und – wenn möglich – durch Auflösen der Gleichung nach $x$ ermittelt. Setze also die Funktionsterme gleich und versuche, nach Umformungen der Terme eine falsche Aussage zu erhalten.

Aufgabe 2.3

$\blacktriangleright$   Wert von $\boldsymbol{u}$ mit $\boldsymbol{-5 \leq u \leq 1}$ bestimmen, für den die Länge der Strecke $\boldsymbol{PQ}$ maximal wird
Deine Aufgabe ist es, den Wert $u$ mit $-5 \leq u \leq 1$ für die längste Strecke zwischen den Punkten $P$ auf $K_f$ und $Q$ auf der Geraden zu berechnen.
1. Schritt: Streckenlänge herleiten
Um eine Vorstellung von dieser Strecke zu erhalten, fertige dir zunächst eine Skizze des Schaubildes $K_f$ und der Geraden an und wähle als festen Wert für $u$ z. B. $u=-2.$ Zeichne die Punkte $P$ und $Q$ ein und verbinde die Punkte miteinander. Berechne diese spezielle Streckenlänge.
Aufgabe 2
Abb. 1: Skizze mit Strecke $\overline{PQ}$
Aufgabe 2
Abb. 1: Skizze mit Strecke $\overline{PQ}$
Wegen
$ f(-2) = -\mathrm{e}^{-0,5 \cdot (-2)} - (-2) + 1 = -\mathrm{e}^{1} + 3 = -\mathrm{e} + 3 $
$ f(-2) = -\mathrm{e} + 3 $
sind die Koordinaten der Punkte $P(-2 \mid -\mathrm{e} + 3 )$ und $Q(2 \mid -3)$ und die Streckenlänge ist
\[ L = \overline{PQ} = -\mathrm{e} + 3 - (-3) = -\mathrm{e} + 3 + 3 = -\mathrm{e}^{1} + 6 \approx 3,28 . \]
$ L = -\mathrm{e}^{1} + 6 \approx 3,28$
Bestimme nun die Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$ in Abhängigkeit von $u$ und berechne anschließend die Strecklenlänge in Abhängigkeit von $u.$ Verwende dabei die folgenden Formeln:
Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{PQ} = y_P - y_Q, \; $ wenn $P$ oberhalb von $Q$ liegt
Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{PQ} = y_Q - y_P, \; $ wenn $P$ unterhalb von $Q$ liegt
Beachte dabei, dass für $-5 \leq u \leq 1$ der Punkt $P$ mal oberhalb, mal unterhalb von $Q$ liegen kann. Bestimme also zusätzlich mit dem GTR die Schnittstellen von $K_f$ und der Geraden und stelle dann die zugehörigen Formeln auf.
Kontrollergebnis: Die Schnittstellen sind $ x_1 \approx -4,95 $ und $ x_2 \approx 0,63. $
Die Streckenlängen in Abhängigkeit von $u$ sind
\[ l_1(u) = \overline{PQ(u)} = y_P - y_Q = f(u) - (u - 1) = -e^{-0,5 \cdot u} - u + 1 - u + 1 = -e^{-0,5 \cdot u} - 2u + 2, \]
$ l_1(u) = -e^{-0,5 \cdot u} - 2u + 2 $
wenn $P$ oberhalb von $Q$ liegt, und
\[ l_2(u) = \overline{PQ(u)} = y_Q - y_P = u - 1 - f(u) = u - 1 -( -e^{-0,5 \cdot u} - u + 1) = 2u - 2 + e^{-0,5 \cdot u}, \]
$ l_2(u) = 2u - 2 + e^{-0,5 \cdot u} $
wenn $Q$ oberhalb von $P$ liegt.
2. Schritt: Streckenlänge berechnen
Um die Stelle $u$ mit der längsten Strecke zu bestimmen, gibt es zwei Möglichkeiten:
1. Möglichkeit: Verwendung des GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018
Beim GTR von TI lautet die Tastenfolge
MATH $\to$ 7: fMax $\to$ ENTER $\to$ fMax(Funktionsterm, Variable, Untergrenze, Obergrenze).
Den Wert erhälst du beim GTR von TI mit der Tastenfolge
CALC $\to$ 1: value $\to$ ENTER.
Untersuche nun die Funktion $l_1(u)$ im Intervall von $[-4,95; 0,64] $ und die Funktion $l_2(u) $ in den Intervallen von $[-5; -4,95] $ und $[0,64; 1]. $ Notiere dir jeweils die Ergebnisse und bestimme durch den Vergleich der Werte das $u,$ für den sich die längste Strecke ergibt.
Ergebnisvergleich: Fülle die Tabelle aus.
IntervallWert von $u_{max}$Wert von $\overline{PQ(u_{max})}$
[-5;-4,95]
[-4,95;0,64]
[0,64;1]
Vergleichsergebnis: $ u_{max} \approx -2,77 $ und $ PQ(u_{max}) \approx 3,55 $
Der Wert von $u$ mit $-5 \leq u \leq 1, $ für den die Länge der Strecke $PQ$ maximal wird, ist ca. $ u_{max} \approx -2,77 $ LE.
2. Möglichkeit: Schriftliche Berechnung
Die Streckenlängen in Abhängigkeit von $u$ sind
\[ l_1(u) = \overline{PQ(u)} = y_P - y_Q = f(u) - (u - 1) = -e^{-0,5 \cdot u} - u + 1 - u + 1 = -e^{-0,5 \cdot u} - 2u + 2 \]
$ l_1(u) = -e^{-0,5 \cdot u} - 2u + 2 $
wenn $P$ oberhalb von $Q$ liegt.
\[ l_2(u) = \overline{PQ(u)} = y_Q - y_P = u - 1 - f(u) = u - 1 -( -e^{-0,5 \cdot u} - u + 1) = 2u - 2 + e^{-0,5 \cdot u} \]
$ l_2(u) = 2u - 2 + e^{-0,5 \cdot u} $
wenn $Q$ oberhalb von $P$ liegt.
Untersuche diese Funktionen auf Hochpunkte und vergleiche die erhaltenen Funktionswerte mit den Funktionswerte an den Rändern des Intervalls $[-5; 1]$. Die Bedingungen für Hochpunkte hast du schon in Teilaufgabe 2.1 kennengelernt.
$\blacktriangleright$   Maximale Streckenlänge $\boldsymbol{PQ}$ angeben
Du sollst hier nur den Wert für die längste Strecke angeben.
Die maximale Streckenlänge beträgt $ \overline{PQ(u_{max})} \approx 3,55 $ LE.

Aufgabe 2.4

$\blacktriangleright$   Aussagen vervollständigen
Bei allen Teilaufgaben wird eine Begründung von dir nicht verlangt.
a)
Eine einfache Nullstelle einer Funktion $f$ ist gegeben. Du sollst nun diese Stelle hinsichtlich ihrer Stammfunktion $F$ näher charakterisieren. $F$ ist Stammfunktion von $f,$ wenn
$ F'(x) = f(x) $ $ F'(x) = f(x) $
Bei einer einfachen Nullstelle $x_0$ einer Funktion $f$ gilt $ f(x_0) = 0 $ und $f$ besitzt dort einen Vorzeichenwechsel. Folgere nun daraus, welche Eigenschaft die Ableitung $F'$ haben muss. Die Nullstelle und das Steigungsverhalten des Schaubildes von $F$ sagen dir dann, was dies für die Stammfunktion $F$ bedeutet.
b)
Du sollst eine Funktion dritten Grades auf die Anzahl der Wendestellen untersuchen, d. h. du sollst die Funktion $f'$ auf Extremstellen untersuchen. Für den zugehörigen Funktionsterm verwendest du z. B. die Formel
$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $ $ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $
An einer Extremstelle liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_{f'}$ vor und die Ableitungsfunktion $f''$ wechselt das Vorzeichen. Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktion $f'$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f'''(x_0) \neq 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt die ersten drei Ableitungsfunktionen der Funktion $f$ und untersuche $f''$ auf Nullstellen. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Wenn sie erfüllt ist, so handelt es sich um eine Wendestelle.
c)
Wenn du den Wertebereich der Funktion $h$ bestimmen sollst, solltest du wissen, das die Funktion $ \cos (x) $ den Wertebereich $ [-1; 1]$ besitzt. Berechne nun den kleinsten und größten Wert, den die Funktion $h$ annehmen kann.
Der Faktor $3$ vor der Variablen $x$ beeinflusst die Periodenlänge von $ \cos (x), $ d. h. $ cos(3x) $ hat die Periodenlänge $ P = \frac{2\pi}{3} = \frac{2}{3}\pi. $
d)
Deine Aufgabe ist es, einen möglichen Funktionsterm mit drei gegeben einfachen Nullstellen anzugeben. Eine einfache Nullstelle ist eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel. Überlege dir, wie du z. B. die Gleichung $ (x - 1) \cdot (x + 4) = 0 $ mit dem Satz von Nullprodukt lösen würdest, und gehe für die Lösung dieser Teilaufgabe umgekehrt vor.
e)
Du sollst eine trigonometrische Funktion $g$ bestimmen, deren Schaubild in $ W(0 \mid 2) $ ein Wendepunkt und $ H(2 \mid 4) $ der ersten Hochpunkt besitzt. Weil der Wendepunkt auf der $y$–Achse liegt, kann es sich also nur um eine Sinusfunktion handeln, die verändert wurde. Gehe also von der Formel
$ g(x) = a \cdot \sin(b \cdot x) + c$ $ g(x) = a \cdot \sin(b \cdot x) + c$
us. Überlege Dir, dass der erste Tiefpunkt des Schaubildes $K_g$ mit negativem $x$–Wert die Koordinaten $ T(-2 \mid 0) $ haben muss. Die fehlenden Größen $a, \; b $ und $c$ kannst du wie in Teilaufgabe 2.1 bestimmen.
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Aufgabe 2.1

$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_f}$ zeichnen
Wenn du ein Schaubild zeichnen willst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte $y=f(x)$ die Funktion $f$ in Abhängigkeit von $x$ annimmt. Für die gegebene Funktion $f$ ist eine Darstellung z. B. im Bereich $ -5 \leq x \leq 5 $ und $ -5 \leq y \leq 1 $ sinnvoll, weil das Wesentliche des Schaubildes dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit entspricht 1 cm.
Aufgabe 2
Abb. 1: Schaubild der Funktion $f$
Aufgabe 2
Abb. 1: Schaubild der Funktion $f$
$\blacktriangleright$   Koordinaten des Hochpunktes exakt berechnen
Aus der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass es nur einen Hochpunkt gibt und du ihn schriftlich bestimmen sollst. Eine Lösung mit dem GTR ist also nicht zulässig.
An einer Hochstelle liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_f$ vor und die Ableitungsfunktion $f'$ wechselt das Vorzeichen. Für eine Hochstelle $x_0$ der Funktion $f$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0) < 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt die erste Ableitung der Funktion $f$ und untersuche diese auf Nullstellen. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Gilt dann $\boldsymbol{f''(x_0) < 0,}$ so handelt es sich um einen Hochpunkt.
1. Schritt: Ableitungen der Funktion $\boldsymbol{f}$ bestimmen
\begin{array}{rcl} f(x) &=& -\mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} - x + 1 \\[5pt] f'(x) &=& -(-0,5) \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} - 1 + 0 \\[5pt] &=& 0,5 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} - 1 \\[5pt] f''(x) &=& 0,5 \cdot (-0,5) \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \\[5pt] &=& -0,25 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \end{array}
2. Schritt: 1. (notwendige) Bedingung überprüfen
Für eine mögliche Hochstelle (Extremstelle) muss die erste Bedingung $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$ erfüllt sein.
\begin{array}{rclcl} f'(x) &=& 0 \\ 0,5 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} - 1 &=& 0 & & \scriptsize \mid \; +1\\[5pt] 0,5 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} &=& 1 & & \scriptsize \mid \; : 0,5\\[5pt] e^{-0,5 \cdot x} &=& 2 & & \scriptsize \mid \; \ln( ) \\[5pt] -0,5 \cdot x &=& \ln(2) & & \scriptsize \mid \; : (-0,5) \\[5pt] x &=& -2 \cdot \ln(2) \end{array}
\begin{array}{rclcl} f'(x) &=& 0 \\
x &=& -2 \cdot \ln(2) \end{array}
Die Stellen $\boldsymbol{x_1=-2 \cdot \ln(2)}$ ist eine mögliche Hochstelle. Um herauszufinden, ob diese tatsächlich eine Hochstelle ist, kannst du die zweite Bedingung überprüfen:
3. Schritt: 2. (hinreichende) Bedingung überprüfen
Damit eine mögliche Hochstelle tatsächlich Hochstelle ist, sollst du die Ungleichung $\boldsymbol{f''(x_0) < 0}$ prüfen. Du setzt also die ermittelte Stellen $x_1=-2 \cdot \ln(2)$ in den Term der zweiten Ableitung ein und berechnest den Funktionswert.
Wenn ein Hochpunkt vorliegt, setzt du die Stelle in den Funktionsterm $f(x)$ ein, um seine $y$–Koordinate zu berechnen.
Wegen
\[ f''(0) = -0,25 \cdot e^{-0,5 \cdot -2 \cdot \ln(2)} = -0,25 \cdot e^{\ln(2)} = -0,25 \cdot 2 = -0,5 < 0 \]
$ f''(0) = -0,5 < 0 $
liegt in $x_1=-2 \cdot \ln(2)$ eine Hochstelle vor. Das Einsetzen in den Funktionsterm von $f$ liefert die vollständigen Koordinaten des Hochpunktes:
\begin{array}{rcl} f(-2 \cdot \ln(2)) &=& -\mathrm{e}^{-0,5 \cdot (-2 \cdot \ln(2) )} - (-2 \cdot \ln(2) ) + 1 \\[5pt] &=& -\mathrm{e}^{\ln(2)} + 2 \cdot \ln(2) + 1 \\[5pt] &=& -2 + 2 \cdot \ln(2) + 1 \\ &=& 2 \cdot \ln(2) - 1 \end{array}
\begin{array}{rcl} f(-2 \cdot \ln(2)) &=& 2 \cdot \ln(2) - 1 \end{array}
Die Koordinaten des Hochpunktes sind $ HP(-2 \cdot \ln(2) \mid 2 \cdot \ln(2) -1). $
$\blacktriangleright$   Krümmungsverhalten von $\boldsymbol{K_f}$ untersuchen
Deine Aufgabe ist, das Krümmungsverhalten des Schaubildes zu untersuchen. Das Vorzeichen der zweiten Ableitungsfunktion gibt Auskunft darüber,welches Krümmungsverhalten vorliegt:
  • $K_f$ ist rechtsgekrümmt: $\boldsymbol{f''(x_0) < 0}$
  • $K_f$ ist linksgekrümmt: $\boldsymbol{f''(x_0) > 0}$
Die zweite Ableitungsfunktion hast du schon berechnet. Untersuche ihr Vorzeichen in Abhängigkeit von $x.$ \[ f''(x) = \underbrace{-0,25}_{< 0} \cdot \underbrace{e^{-0,5 \cdot x}}_{> 0} < 0 \] Das Schaubild ist folglich stets rechtsgekrümmt.
$\blacktriangleright$   Schnittpunkte mit der $\boldsymbol{x}$–Achse berechnen
Diese Teilaufgabe verlangt von dir, die Schnittpunkte mit der $\boldsymbol{x}$–Achse berechnen. In diesem Fall ist die Verwendung des GTR notwendig, weil du die Methoden für eine schriftliche Berechnung im Unterricht nicht kennengelernt hast.
Im GTR rufst du nach Eingabe des Funktionsterms das Untermenü mit
CALC $\to$ 2: zero $\to$ ENTER CALC $\to$ 2: zero $\to$ ENTER
auf. Du wirst aufgefordert, z. B. die linke Nullstelle einzugrenzen. Weil sie zwischen $-3$ und $-2$ liegt, kannst du diese Werte für die Begrenzung eingeben.
Aufgabe 2
Abb. 3: 2. Nullstelle der Funktion
Aufgabe 2
Abb. 3: 2. Nullstelle der Funktion
$ x_1 \approx -2,51 $ und $ x_2 \approx 0 $ sind die Nullstellen.
Die Koordinaten der Schnittpunkte $K_f$ mit der $x$–Achse sind $ S_1(-2,51 \mid 0) $ und $ S_2(0 \mid 0).$
$\blacktriangleright$   Begründen, dass es genau zwei Schnittpunkte von $\boldsymbol{K_f}$ mit der $\boldsymbol{x}$–Achse gibt
Nach der vorherigen Berechnung gibt es mindestens zwei Schnittpunkte. Überlege dir anhand der Zeichnung, welche Eigenschaft das Schaubild haben müsste, wenn es einen weiteren Schnittpunkt mit der $x$–Achse geben würde.
Es gibt höchstens zwei Schnittpunkte, weil das Schaubild $K_f$ überall rechtsgekrümmt ist. Wenn es einen weiteren Schnittpunkt geben würde, müsste $K_f$ die Krümmung an einer Stelle $ x_0$ links von $x_1$ oder rechts von $x_2$ von rechtsgekrümmt nach linksgekrümmt ändern. $K_f$ müsste folglich in $x_0$ eine Wendestelle haben und dort $ f''(x_0) = 0 $ sein. Wegen $ f''(x) < 0 $ für alle $ x \in \mathbb{R} $ ist dies aber nicht möglich.
$K_f$ besitzt mindestens und höchstens zwei Schnittpunkte mit der $x$–Achse, d. h. genau zwei Schnittpunkte mit der $x$–Achse.

Aufgabe 2.2

$\blacktriangleright$   Nachweisen, dass $\boldsymbol{K_f}$ und die Gerade $\boldsymbol{y = - x + 1}$ keine gemeinsamen Punkte besitzen
Dir soll der Nachweis gelingen, dass das Schaubild $K_f$ und die Gerade sich nicht schneiden. Schnittpunkte von zwei Funktionen werden durch Gleichsetzen der Funktionsterme und -- wenn möglich -- durch Auflösen der Gleichung nach $x$ ermittelt. Setze also die Funktionsterme gleich und versuche, nach Umformungen der Terme eine falsche Aussage zu erhalten.
\begin{array}{rclcl} f(x) &=& -x + 1 \\ -\mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} - x + 1 &=& -x + 1 & & \scriptsize \mid \; -x \\ -\mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} - x + 1 &=& 1 & & \scriptsize \mid \; -1 \\[5pt] \underbrace{-\mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}}_{< 0} &=& 0 & & \scriptsize \mid \; \text{Widerspruch!} \end{array}
\begin{array}{rclcl} f(x) &=& -x + 1 \\ \end{array}
$K_f$ und die Gerade $ y = - x + 1 $ besitzen keine gemeinsamen Punkte.

Aufgabe 2.3

$\blacktriangleright$   Wert von $\boldsymbol{u}$ mit $\boldsymbol{-5 \leq u \leq 1}$ bestimmen, für den die Länge der Strecke $\boldsymbol{PQ}$ maximal wird
Deine Aufgabe ist es, den Wert $u$ mit $-5 \leq u \leq 1$ für die längste Strecke zwischen den Punkten $P$ auf $K_f$ und $Q$ auf der Geraden zu berechnen.
1. Schritt: Streckenlänge herleiten
Um eine Vorstellung von dieser Strecke zu erhalten, fertige dir zunächst eine Skizze des Schaubildes $K_f$ und der Geraden an und wähle als festen Wert für $u$ z. B. $u=-2.$ Zeichne die Punkte $P$ und $Q$ ein und verbinde die Punkte miteinander. Berechne diese spezielle Streckenlänge.
Aufgabe 2
Abb. 4: Skizze mit Strecke $\overline{PQ}$
Aufgabe 2
Abb. 4: Skizze mit Strecke $\overline{PQ}$
Wegen
$ f(-2) = -\mathrm{e}^{-0,5 \cdot (-2)} - (-2) + 1 = -\mathrm{e}^{1} + 3 = -\mathrm{e} + 3 $
$ f(-2) = -\mathrm{e} + 3 $
sind die Koordinaten der Punkte $P(-2 \mid -\mathrm{e} + 3 )$ und $Q(2 \mid -3)$ und die Streckenlänge ist
\[ L = \overline{PQ} = -\mathrm{e} + 3 - (-3) = -\mathrm{e} + 3 + 3 = -\mathrm{e}^{1} + 6 \approx 3,28 . \]
$ L = \overline{PQ} = -\mathrm{e}^{1} + 6 \approx 3,28 $
2. Schritt: Streckenlänge berechnen
Bestimme die Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$ in Abhängigkeit von $u$ und berechne anschließend die Strecklenlänge in Abhängigkeit von $u.$ Verwende dabei die folgenden Formeln:
Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{PQ} = y_P - y_Q, \; $ wenn $P$ oberhalb von $Q$ liegt Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{PQ} = y_P - y_Q, \; $ wenn $P$ oberhalb von $Q$ liegt
Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{PQ} = y_Q - y_P, \; $ wenn $P$ unterhalb von $Q$ liegt Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{PQ} = y_Q - y_P, \; $ wenn $P$ unterhalb von $Q$ liegt
Beachte dabei, dass für $-5 \leq u \leq 1$ der Punkt $P$ mal oberhalb, mal unterhalb von $Q$ liegen kann. Bestimme also zusätzlich mit dem GTR die Schnittstellen von $K_f$ und der Geraden und stelle dann die zugehörigen Formeln auf. Kontrollergebnis: Die Schnittstellen sind $ x_1 \approx -4,95 $ und $ x_2 \approx 0,63. $
Die Streckenlängen in Abhängigkeit von $u$ sind
\[ l_1(u) = \overline{PQ(u)} = y_P - y_Q = f(u) - (u - 1) = -e^{-0,5 \cdot u} - u + 1 - u + 1 = -e^{-0,5 \cdot u} - 2u + 2, \]
$ l_1(u) = -e^{-0,5 \cdot u} - 2u + 2 $
wenn $P$ oberhalb von $Q$ liegt, und
\[ l_2(u) = \overline{PQ(u)} = y_Q - y_P = u - 1 - f(u) = u - 1 -( -e^{-0,5 \cdot u} - u + 1) = 2u - 2 + e^{-0,5 \cdot u}, \]
$ l_2(u) = 2u - 2 + e^{-0,5 \cdot u} $
wenn $Q$ oberhalb von $P$ liegt.
Um die Stelle $u$ mit der längsten Strecke zu bestimmen, gibt es zwei Möglichkeiten:
1. Möglichkeit: Verwendung des GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018
Mit dem GTR kannst du dir die maximale Stelle durch den Aufruf von
MATH $\to$ 7: fMax $\to$ ENTER $\to$ fMax (Funktionsterm, Variable, Untergrenze, Obergrenze). MATH $\to$ 7: fMax $\to$ ENTER $\to$ fMax (Funktionsterm, Variable, Untergrenze, Obergrenze).
ausgeben lassen. Die zugehörige maximale Streckenlänge erhälst du mit dem GTR mit der Tastenfolge
CALC $\to$ 1: value $\to$ ENTER. CALC $\to$ 1: value $\to$ ENTER.
aufrufen kannst. Sie verlangt die Eingabe der zu maxmierenden Funktion $l$ in Abhängigkeit von $x$ und die untere Grenze sowie die obere Grenze. Sie berücksichtigt automatisch auch die Vergleichswerte an den Rändern eines Intervalls.
Untersuche nun die Funktion $l_1(u)$ im Intervall von $[-4,95; 0,64] $ und die Funktion $l_2(u) $ in den Intervallen von $[-5; -4,95] $ und $[0,64; 1]. $ Notiere dir jeweils die Ergebnisse und bestimme durch den Vergleich der Werte das $u,$ für den sich die längste Strecke ergibt.
Aufruf der Funktion und Eingaben im Run–Menü:
Aufgabe 2
Abb. 5: Aufruf der Maximum–Funktion
Aufgabe 2
Abb. 5: Aufruf der Maximum–Funktion
Auswertung der Funktion:
Aufgabe 2
Abb. 6: Auswertung
Aufgabe 2
Abb. 6: Auswertung
Ergebnisvergleich:
IntervallWert von $u_{max}$Wert von $\overline{PQ(u_{max})}$
[-5,-4,95]$\approx$ -5$\approx$ 0,18
[-4,95,0,64]$\approx$ -2,77$\approx$ 3,55
[0,64,1]$\approx$ 1$\approx$ 0,61
Vergleichsergebnis: $ u_{max} \approx -2,77 $ und $ \overline{PQ(u_{max})} \approx 3,55 $
Der Wert von $u$ mit $-5 \leq u \leq 1, $ für den die Länge der Strecke $PQ$ maximal wird, ist ca. $ u_{max} \approx -2,77 $ LE.
2. Möglichkeit: Schriftliche Berechnung
Die Streckenlängen in Abhängigkeit von $u$ sind
\[ l_1(u) = \overline{PQ(u)} = y_P - y_Q = f(u) - (u - 1) = -e^{-0,5 \cdot u} - u + 1 - u + 1 = -e^{-0,5 \cdot u} - 2u + 2 \]
$ l_1(u) = -e^{-0,5 \cdot u} - 2u + 2$
wenn $P$ oberhalb von $Q$ liegt.
\[ l_2(u) = \overline{PQ(u)} = y_Q - y_P = u - 1 - f(u) = u - 1 -( -e^{-0,5 \cdot u} - u + 1) = u - 1 + e^{-0,5 \cdot u} + u - 1 = 2u - 2 + e^{-0,5 \cdot u} \]
$ l_2(u) = 2u - 2 + e^{-0,5 \cdot u} $
wenn $Q$ oberhalb von $P$ liegt.
Untersuche diese Funktionen auf Hochpunkte und vergleiche die erhaltenen Funktionswerte mit den Funktionswerte an den Rändern des Intervalls $[-5; 1]$. Die Bedingungen für Hochpunkte hast du schon in Teilaufgabe 2.1 kennengelernt.
Untersuchung von $l_1:$ \begin{array}{rcl} l_1(u) &=& -\mathrm{e}^{-0,5 \cdot u} - 2u + 2 \\[5pt] l'_1(u) &=& -(-0,5) \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u} - 2 \cdot 1 + 0 \\[5pt] &=& 0,5 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u} - 2 \\[5pt] l''_1(u) &=& 0,5 \cdot (-0,5) \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u} - 0 \\[5pt] &=& -0,25 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u} < 0 \end{array} Jede Nullstelle $u$ von $l'_1$ mit $ l''_1(u) < 0 $ ist eine Hochstelle von $l_1:$
\begin{array}{rclcl} l'_1(u) &= 0 \\ 0,5 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u} - 2 &=& 0 & & \scriptsize \mid \; +2 \\[5pt] 0,5 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u} &=& 2 & & \scriptsize \mid \; :0,5 \\[5pt] \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u} &=& 4 & & \scriptsize \mid \; \ln() \\[5pt] -0,5 \cdot u &=& \ln (4) & & \scriptsize \mid \; :(-0,5) \\[5pt] u &=& -2 \cdot \ln (4) \\[5pt] &\approx& -2,77 \end{array}
\begin{array}{rclcl} l'_1(u) &\approx& -2,77 \end{array}
Untersuchung von $l_2:$ \begin{array}{rcl} l_2(u) &=& 2u - 2 + \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u} \\[5pt] l'_2(u) &=& 2 - 0,5 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u} \\[5pt] l''_1(u) &=& 0,25 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u} > 0 \end{array} Jede Nullstelle $u$ von $l'_2$ mit $ l''_2(u) > 0 $ ist eine Tiefstelle von $l_2.$
Um die Stelle mit maximaler Streckenlänge zu berechnen, reicht es also aus, die Funktionswerte für Randwerte $u=-5$ und $u=1$ zu berechnen und mit dem Funktionswert $ l_1(-2 \cdot \ln (4)) $ zu vergleichen:
\begin{array}{rcl} l_2(-5) &=& 2 \cdot (-5) - 2 + \mathrm{e}^{-0,5 \cdot (-5)} \\[5pt] &=& -12 + \mathrm{e}^{2,5} \\[5pt] &\approx& 0,18 \\ l_1(-2 \cdot \ln (4)) &=& -\mathrm{e}^{-0,5 \cdot (-2 \cdot \ln (4))} - 2 \cdot (-2 \cdot \ln (4)) + 2 \\[5pt] &=& -\mathrm{e}^{\ln (4)} + 4 \cdot \ln (4) + 2 \\[5pt] &=& -4 + 4 \cdot \ln (4) + 2 \\[5pt] &=& 4 \cdot \ln (4) - 2 \\[5pt] &\approx & 3,55 \\[5pt] l_2(1) &=& 2 \cdot 1 - 2 + \mathrm{e}^{-0,5 \cdot 1} \\[5pt] &=& \mathrm{e}^{-0,5} \\[5pt] &\approx& 0,61 \end{array}
\begin{array}{rcl} l_2(-5) &\approx& 0,18 \\ l_1(-2 \cdot \ln (4)) &\approx & 3,55 \\[5pt] l_2(1) &\approx& 0,61 \end{array}
Ergebnis: $u_{max} \approx -2,77, \; \overline{PQ(u_{max})} \approx 3,55 $
$\blacktriangleright$   Maximale Streckenlänge $\boldsymbol{PQ}$ angeben
Du sollst hier nur den Wert für die längste Strecke angeben.
Die maximale Streckenlänge beträgt $ \overline{PQ(u_{max})} \approx 3,55 $ LE.

Aufgabe 2.4

$\blacktriangleright$   Aussagen vervollständigen
Bei allen Teilaufgaben wird eine Begründung von dir nicht verlangt.
a)
Eine einfache Nullstelle einer Funktion $f$ ist gegeben. Du sollst nun diese Stelle hinsichtlich ihrer Stammfunktion $F$ näher charakterisieren. $F$ ist Stammfunktion von $f,$ wenn
$ F'(x) = f(x) $ $ F'(x) = f(x) $
Bei einer einfachen Nullstelle $x_0$ einer Funktion $f$ gilt $ f(x_0) = 0 $ und $f$ besitzt dort einen Vorzeichenwechsel. Folgere nun daraus, welche Eigenschaft die Ableitung $F'$ haben muss. Die Nullstelle und das Steigungsverhalten des Schaubildes von $F$ sagen dir dann, was dies für die Stammfunktion $F$ bedeutet.
Wegen $ F'(x_0) = f(x_0) = 0 $ hat auch die Ableitungsfunktion $F'$ einer Stammfunktion $F$ von $f$ eine (einfache) Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Daraus lässt sich für das Steigungsverhalten des Schaubildes $K_F$ folgern, das es zunächst steigend und anschließend ist oder umgekehrt. Diese Bedingung ist hinreichend für eine Extremstelle von $F.$
Eine einfache Nullstelle einer Funktion ist eine Extremstelle ihrer Stammfunktion.
b)
Du sollst eine Funktion dritten Grades auf die Anzahl der Wendestellen untersuchen, d. h. du sollst die Funktion $f'$ auf Extremstellen untersuchen. Für den zugehörigen Funktionsterm verwendest du z. B. die Formel
$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $ $ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $
An einer Extremstelle liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_{f'}$ vor und die Ableitungsfunktion $f''$ wechselt das Vorzeichen. Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktion $f'$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f'''(x_0) \neq 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt noch zusätzlich die dritte Ableitung der Funktion $f$ und untersuche $f''$ auf Nullstellen. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Wenn sie erfüllt ist, so handelt es sich um eine Wendestelle.
Für beliebige ganzrationale Funktion $f$ dritten Grades gilt \begin{align*} f(x) &= ax^3 + bx^2 + cx + d \\ f'(x) &= 3ax^2 + 2bx + c \\ f''(x) &= 6ax + 2b \\ f'''(x) &= 6a \end{align*} wobei $ a, \; b $ und $c$ reelle Zahlen sind und $ a \ne 0. $ Deshalb ist $f''$ eine ganzrationale Funktion vom Grad $1$ mit genau einer Nullstelle $ x = -\frac{b}{2a}. $ Wegen $ f'''(x) = 6a \ne 0 $ ist $ x = -\frac{b}{2a} $ die einzige Wendestelle von $f.$
Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat eine Wendestelle(n), denn ihre ihre Ableitungsfunktion ist vom Grad 1.
c)
Wenn du den Wertebereich der Funktion $h$ bestimmen sollst, solltest du wissen, das die Funktion $ \cos (x) $ den Wertebereich $ [-1; 1] besitzt. $ Der Faktor $3$ vor der Variablen $x$ beeinflusst die Periodenlänge von $ \cos (x), $ d. h. $ cos(3x) $ hat die Periodenlänge $ P = \frac{2\pi}{3} = \frac{2}{3}\pi. $ Das ursprüngliche Schaubild wird also in $x$--Richtung gestaucht, ihr Wertebereich dadurch aber nicht beeinflusst. Der kleinste Funktionswert der Funktion $h$ ist $ 2 \cdot (-1) + 5 = -2 + 5 = 3 $ und ihr größter Funktionswert $ 2 \cdot 1 + 5 = 2 + 5 = 7. $
Alternative Begründung:
Das Schaubild der Funktion $ h(x) $ entsteht aus der dem Schaubild der Funktion $ \cos(x), $ indem das Schaubild von $ \cos(x) $
  1. mit dem Faktor $3$ in $x$–Richtung gestaucht wird; der Wertebereich bleibt $ [-1; 1] $ und die neue Periodenlänge ist $ P = \frac{2\pi}{3} = \frac{2}{3}\pi; $
  2. mit dem Faktor $2$ in $y$–Richtung gestreckt wird; neuer Wertebereich ist $ [-2; 2]; $
  3. abschließend in $y$–Richtung um $5$ Einheiten nach oben verschoben; der Wertebereich von $h$ ist $ [-2+5; 2+5] = [-3;7]. $
Eine Funktion $h$ mit
$ h(x) = 2\cos (3x) + 5 $ hat den Wertebereich $[-3;7]$ und eine Periodenlänge von $\frac{2}{3}\pi.$
d)
Deine Aufgabe ist es, einen möglichen Funktionsterm mit drei gegeben einfachen Nullstellen anzugeben. Eine einfache Nullstelle ist eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel. Überlege dir, wie du z. B. die Gleichung $ (x - 1) \cdot (x + 4) = 0 $ mit dem Satz von Nullprodukt lösen würdest, und gehe für die Lösung dieser Teilaufgabe umgekehrt vor.
Aus den Nullstellen $ x_1 = -3, \; x_2 = 0 $ und $ x_3 = 2 $ ergibt sich $ x_1 + 3 = 0, \; x_2 = 0 $ und $ x_3 - 2 = 0. $ Durch Multiplizieren aller Terme entsteht ein Funktionsterm mit drei Nullstellen.
Ein möglicher Funktionsterm einer Funktion mit den einfachen Nullstellen $ x_1 = -3, \; x_2 = 0 $ und $ x_3 = 2 $ lautet $ f(x) = x(x+3)(x-2).$
e)
Du sollst eine trigonometrische Funktion $g$ bestimmen, deren Schaubild in $ W(0 \mid 2) $ ein Wendepunkt und $ H(2 \mid 4) $ der ersten Hochpunkt besitzt. Weil der Wendepunkt auf der $Y$–Achse liegt, kann es sich also nur um eine Sinusfunktion handeln, die verändert wurde. Gehe also von der Formel
$ g(x) = a \cdot \sin(b \cdot x) + c$ $ g(x) = a \cdot \sin(b \cdot x) + c$
aus. Überlege Dir, dass der erste Tiefpunkt des Schaubildes $K_g$ mit negativem $x$–Wert die Koordinaten $ T(-2|0) $ haben muss. Die fehlenden Größen $a, \; b $ und $c$ kannst du wie in Teilaufgabe 2.1 bestimmen.
Wenn $ W(0 \mid 2) $ ein Wendepunkt und $ H(2 \mid 4) $ der ersten Hochpunkt des Schaubildes der gesuchten Funktion $g$ sein soll, ist $ T(-2|0) $ der erste Tiefpunkt des Schaubildes $K_g$ mit negativem $x$–Wert.
Wegen $ y_H - y_W = 4 - 2 $ hat die Amplitude $a$ von $g$ den Wert $ a = 2.$ Die halbe Periodenlänge von $g$ ist $ \frac{P}{2} = x_H - x_T = 2 - (-2) = 4, $ d. h. die Vorzahl $b$ vor der Variablen $x$ ist $ b = \frac{2\pi}{P} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}. $ Die Verschiebung in positive $y$–Richtung beträgt $ c = \frac{y_H - y_T}{2} = \frac{4 - 0}{2} = 2. $
Die gesuchte Funktion ist folglich $ g(x) = 2\sin (\frac{\pi}{4} x) + 2. $
Das Schaubild einer trigonometrischen Funktion mit der Funktionsgleichung $g(x) = 2\sin (\frac{\pi}{4} x) + 2$ hat in $ W(0 \mid 2) $ einen Wendepunkt und in $ H(2 \mid 4) $ den ersten Hochpunkt mit positivem $x$–Wert.
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Aufgabe 2.1

$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_f}$ zeichnen:
Wenn du ein Schaubild zeichnen willst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte $y=f(x)$ die Funktion $f$ in Abhängigkeit von $x$ annimmt. Für die gegebene Funktion $f$ ist eine Darstellung z. B. im Bereich $ -5 \leq x \leq 5 $ und $ -5 \leq y \leq 1 $ sinnvoll, weil das Wesentliche des Schaubildes dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit entspricht 1 cm.
Aufgabe 2
Abb. 1: Schaubild der Funktion $f$
Aufgabe 2
Abb. 1: Schaubild der Funktion $f$
$\blacktriangleright$   Koordinaten des Hochpunktes exakt berechnen
Aus der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass es nur einen Hochpunkt gibt und du ihn schriftlich bestimmen sollst. Eine Lösung mit dem GTR ist also nicht zulässig.
An einer Hochstelle liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_f$ vor und die Ableitungsfunktion $f'$ wechselt das Vorzeichen. Für eine Hochstelle $x_0$ der Funktion $f$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0) < 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt die erste Ableitung der Funktion $f$ und untersuche diese auf Nullstellen. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Gilt dann $\boldsymbol{f''(x_0) < 0,}$ so handelt es sich um einen Hochpunkt.
1. Schritt: Ableitungen der Funktion $\boldsymbol{f}$ bestimmen
\begin{array}{rcl} f(x) &=& -\mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} - x + 1 \\[5pt] f'(x) &=& -(-0,5) \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} - 1 + 0 \\[5pt] &=& 0,5 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} - 1 \\[5pt] f''(x) &=& 0,5 \cdot (-0,5) \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \\[5pt] &=& -0,25 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \end{array}
2. Schritt: 1. (notwendige) Bedingung überprüfen
Für eine mögliche Hochstelle (Extremstelle) muss die erste Bedingung $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$ erfüllt sein.
\begin{array}{rclcl} f'(x) &=& 0 \\ 0,5 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} - 1 &=& 0 & & \scriptsize \mid \; +1\\[5pt] 0,5 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} &=& 1 & & \scriptsize \mid \; : 0,5\\[5pt] e^{-0,5 \cdot x} &=& 2 & & \scriptsize \mid \; \ln( ) \\[5pt] -0,5 \cdot x &=& \ln(2) & & \scriptsize \mid \; : (-0,5) \\[5pt] x &=& -2 \cdot \ln(2) \end{array}
\begin{array}{rclcl} f'(x) &=& 0 \\ x &=& -2 \cdot \ln(2) \end{array}
Die Stellen $\boldsymbol{x_1=-2 \cdot \ln(2)}$ ist eine mögliche Hochstelle. Um herauszufinden, ob diese tatsächlich eine Hochstelle ist, kannst du die zweite Bedingung überprüfen:
3. Schritt: 2. (hinreichende) Bedingung überprüfen
Damit eine mögliche Hochstelle tatsächlich Hochstelle ist, sollst du die Ungleichung $\boldsymbol{f''(x_0) < 0}$ prüfen. Du setzt also die ermittelte Stellen $x_1=-2 \cdot \ln(2)$ in den Term der zweiten Ableitung ein, berechnest den Funktionswert und wertest das Vorzeichen aus.
Wenn ein Hochpunkt vorliegt, setzt du die Stelle in den Funktionsterm $f(x)$ ein, um seine $y$–Koordinate zu berechnen.
Wegen
\[ f''(0) = -0,25 \cdot e^{-0,5 \cdot -2 \cdot \ln(2)} = -0,25 \cdot e^{\ln(2)} = -0,25 \cdot 2 = -0,5 < 0 \]
$ f''(0) = -0,25 \cdot 2 = -0,5 < 0 $
liegt in $x_1=-2 \cdot \ln(2)$ eine Hochstelle vor. Das Einsetzen in den Funktionsterm von $f$ liefert die vollständigen Koordinaten des Hochpunktes:
\begin{array}{rcl} f(-2 \cdot \ln(2)) &=& -\mathrm{e}^{-0,5 \cdot (-2 \cdot \ln(2) )} - (-2 \cdot \ln(2) ) + 1 \\[5pt] &=& -\mathrm{e}^{\ln(2)} + 2 \cdot \ln(2) + 1 \\[5pt] &=& -2 + 2 \cdot \ln(2) + 1 \\ &=& 2 \cdot \ln(2) - 1 \end{array}
\begin{array}{rcl} f(-2 \cdot \ln(2)) = 2 \cdot \ln(2) - 1 \end{array}
Die Koordinaten des Hochpunktes sind $ HP(-2 \cdot \ln(2) \mid 2 \cdot \ln(2) -1). $
$\blacktriangleright$   Krümmungsverhalten von $\boldsymbol{K_f}$ untersuchen
Deine Aufgabe ist, das Krümmungsverhalten des Schaubildes zu untersuchen. Das Vorzeichen der zweiten Ableitungsfunktion gibt Auskunft darüber,welches Krümmungsverhalten vorliegt:
  • $K_f$ ist rechtsgekrümmt: $\boldsymbol{f''(x_0) < 0}$
  • $K_f$ ist linksgekrümmt: $\boldsymbol{f''(x_0) > 0}$
Die zweite Ableitungsfunktion hast du schon berechnet. Untersuche ihr Vorzeichen in Abhängigkeit von $x.$ \[ f''(x) = \underbrace{-0,25}_{< 0} \cdot \underbrace{e^{-0,5 \cdot x}}_{> 0} < 0 \] Das Schaubild ist folglich stets rechtsgekrümmt.
$\blacktriangleright$   Schnittpunkte mit der $\boldsymbol{x}$–Achse berechnen
Diese Teilaufgabe verlangt von dir, die Schnittpunkte mit der $\boldsymbol{x}$–Achse berechnen. In diesem Fall ist die Verwendung des GTR notwendig, weil du die Methoden für eine schriftliche Berechnung im Unterricht nicht kennengelernt hast.
Gib im GRAPH–Menü deines GTR den Funktionsterm ein: Y1: $ -e^{-0,5 \cdot x} - x + 1 $ und rufe das Untermenü mit
G–SOLV–-ROOT G–SOLV–-ROOT
auf.
Aufgabe 2
Abb. 3: 2. Nullstelle der Funktion
Aufgabe 2
Abb. 3: 2. Nullstelle der Funktion
$ x_1 \approx -2,51 $ und $ x_2 \approx 0 $ sind die Nullstellen.
Die Koordinaten der Schnittpunkte $K_f$ mit der $x$–Achse sind $ S_1(-2,51 \mid 0) $ und $ S_2(0 \mid 0).$
$\blacktriangleright$   Begründen, dass es genau zwei Schnittpunkte von $\boldsymbol{K_f}$ mit der $\boldsymbol{x}$–Achse gibt
Nach der vorherigen Berechnung gibt es mindestens zwei Schnittpunkte. Überlege dir anhand der Zeichnung, welche Eigenschaft das Schaubild haben müsste, wenn es einen weiteren Schnittpunkt mit der $x$–Achse geben würde.
Es gibt höchstens zwei Schnittpunkte, weil das Schaubild $K_f$ überall rechtsgekrümmt ist. Wenn es einen weiteren Schnittpunkt geben würde, müsste $K_f$ die Krümmung an einer Stelle $ x_0$ links von $x_1$ oder rechts von $x_2$ von rechtsgekrümmt nach linksgekrümmt ändern. $K_f$ müsste folglich in $x_0$ eine Wendestelle haben und dort $ f''(x_0) = 0 $ sein. Wegen $ f''(x) < 0 $ für alle $ x \in \mathbb{R} $ ist dies aber nicht möglich.
$K_f$ besitzt mindestens und höchstens zwei Schnittpunkte mit der $x$–Achse, d. h. genau zwei Schnittpunkte mit der $x$–Achse.

Aufgabe 2.2

$\blacktriangleright$   Nachweisen, dass $\boldsymbol{K_f}$ und die Gerade $\boldsymbol{y = - x + 1}$ keine gemeinsamen Punkte besitzen
Dir soll der Nachweis gelingen, dass das Schaubild $K_f$ und die Gerade sich nicht schneiden. Schnittpunkte von zwei Funktionen werden durch Gleichsetzen der Funktionsterme und -- wenn möglich -- durch Auflösen der Gleichung nach $x$ ermittelt. Setze also die Funktionsterme gleich und versuche, nach Umformungen der Terme eine falsche Aussage zu erhalten.
\begin{array}{rclcl} f(x) &=& -x + 1 \\ -\mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} - x + 1 &=& -x + 1 & & \scriptsize \mid \; -x \\ -\mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} - x + 1 &=& 1 & & \scriptsize \mid \; -1 \\[5pt] \underbrace{-\mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}}_{< 0} &=& 0 & & \scriptsize \mid \; \text{Widerspruch!} \end{array}
\begin{array}{rclcl} f(x) &=& -x + 1 \\ \end{array}
$K_f$ und die Gerade $ y = - x + 1 $ besitzen keine gemeinsamen Punkte.

Aufgabe 2.3

$\blacktriangleright$   Wert von $\boldsymbol{u}$ mit $\boldsymbol{-5 \leq u \leq 1}$ bestimmen, für den die Länge der Strecke $\boldsymbol{PQ}$ maximal wird
Deine Aufgabe ist es, den Wert $u$ mit $-5 \leq u \leq 1$ für die längste Strecke zwischen den Punkten $P$ auf $K_f$ und $Q$ auf der Geraden zu berechnen.
1. Schritt: Streckenlänge herleiten
Um eine Vorstellung von dieser Strecke zu erhalten, fertige dir zunächst eine Skizze des Schaubildes $K_f$ und der Geraden an und wähle als festen Wert für $u$ z. B. $u=-2.$ Zeichne die Punkte $P$ und $Q$ ein und verbinde die Punkte miteinander. Berechne diese spezielle Streckenlänge.
Aufgabe 2
Abb. 4: Skizze mit Strecke $\overline{PQ}$
Aufgabe 2
Abb. 4: Skizze mit Strecke $\overline{PQ}$
Wegen
$ f(-2) = -\mathrm{e}^{-0,5 \cdot (-2)} - (-2) + 1 = -\mathrm{e}^{1} + 3 = -\mathrm{e} + 3 $
$ f(-2) = -\mathrm{e} + 3 $
sind die Koordinaten der Punkte $P(-2 \mid -\mathrm{e} + 3 )$ und $Q(2 \mid -3)$ und die Streckenlänge ist
\[ L = \overline{PQ} = -\mathrm{e} + 3 - (-3) = -\mathrm{e} + 3 + 3 = -\mathrm{e}^{1} + 6 \approx 3,28 . \]
$ L = -\mathrm{e}^{1} + 6 \approx 3,28 $
2. Schritt: Streckenlänge berechnen
Bestimme die Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$ in Abhängigkeit von $u$ und berechne anschließend die Strecklenlänge in Abhängigkeit von $u.$ Verwende dabei die folgenden Formeln:
Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{PQ} = y_P - y_Q, \; $ wenn $P$ oberhalb von $Q$ liegt Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{PQ} = y_P - y_Q, \; $ wenn $P$ oberhalb von $Q$ liegt
Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{PQ} = y_Q - y_P, \; $ wenn $P$ unterhalb von $Q$ liegt Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{PQ} = y_Q - y_P, \; $ wenn $P$ unterhalb von $Q$ liegt
Beachte dabei, dass für $-5 \leq u \leq 1$ der Punkt $P$ mal oberhalb, mal unterhalb von $Q$ liegen kann. Bestimme also zusätzlich mit dem GTR die Schnittstellen von $K_f$ und der Geraden und stelle dann die zugehörigen Formeln auf.
Kontrollergebnis: Die Schnittstellen sind $ x_1 \approx -4,95 $ und $ x_2 \approx 0,63. $
Die Streckenlängen in Abhängigkeit von $u$ sind
\[ l_1(u) = \overline{PQ(u)} = y_P - y_Q = f(u) - (u - 1) = -e^{-0,5 \cdot u} - u + 1 - u + 1 = -e^{-0,5 \cdot u} - 2u + 2, \]
$ l_1(u) = -e^{-0,5 \cdot u} - 2u + 2$
wenn $P$ oberhalb von $Q$ liegt, und
\[ l_2(u) = \overline{PQ(u)} = y_Q - y_P = u - 1 - f(u) = u - 1 -( -e^{-0,5 \cdot u} - u + 1) = 2u - 2 + e^{-0,5 \cdot u}, \]
$ l_2(u) = 2u - 2 + e^{-0,5 \cdot u} $
wenn $Q$ oberhalb von $P$ liegt.
Um die Stelle $u$ mit der längsten Strecke zu bestimmen, gibt es zwei Möglichkeiten:
1. Möglichkeit: Verwendung des GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018
Verwende im RUN–Menü die Maximierungs–Funktion: Sie wird durch die Tastenfolge
OPTN $\to$ CALC $\to$ F6 $\to$ FMax (Funktionsterm, Untergrenze, Obergrenze) OPTN $\to$ CALC $\to$ F6 $\to$ FMax (Funktionsterm, Untergrenze, Obergrenze)
aufrufen kannst. Sie verlangt die Eingabe der zu maxmierenden Funktion $l$ in Abhängigkeit von $x$ und die untere Grenze sowie die obere Grenze. Sie berücksichtigt automatisch auch die Vergleichswerte an den Rändern eines Intervalls.
Untersuche nun die Funktion $l_1(u)$ im Intervall von $[-4,95; 0,64] $ und die Funktion $l_2(u) $ in den Intervallen von $[-5; -4,95] $ und $[0,64; 1]. $ Notiere dir jeweils die Ergebnisse und bestimme durch den Vergleich der Werte das $u,$ für den sich die längste Strecke ergibt.
Aufruf der Funktion und Eingaben im Run–Menü:
Aufgabe 2
Abb. 5: Aufruf der Maximum–Funktion
Aufgabe 2
Abb. 5: Aufruf der Maximum–Funktion
Auswertung der Funktion:
Aufgabe 2
Abb. 6: Auswertung
Aufgabe 2
Abb. 6: Auswertung
Ergebnisvergleich:
IntervallWert von $u_{max}$Wert von $\overline{PQ(u_{max})}$
[-5;-4,95]$\approx$ -5$\approx$ 0,18
[-4,95;0,64]$\approx$ -2,77$\approx$ 3,55
[0,64;1]$\approx$ 1$\approx$ 0,61
Vergleichsergebnis: $ u_{max} \approx -2,77 $ und $ \overline{PQ(u_{max})} \approx 3,55 $
Der Wert von $u$ mit $-5 \leq u \leq 1, $ für den die Länge der Strecke $PQ$ maximal wird, ist ca. $ u_{max} \approx -2,77 $ LE.
2. Möglichkeit: Schriftliche Berechnung
Die Streckenlängen in Abhängigkeit von $u$ sind
\[ l_1(u) = \overline{PQ(u)} = y_P - y_Q = f(u) - (u - 1) = -e^{-0,5 \cdot u} - u + 1 - u + 1 = -e^{-0,5 \cdot u} - 2u + 2 \]
$ l_1(u) = -e^{-0,5 \cdot u} - 2u + 2 $
wenn $P$ oberhalb von $Q$ liegt.
\[ l_2(u) = \overline{PQ(u)} = y_Q - y_P = u - 1 - f(u) = u - 1 -( -e^{-0,5 \cdot u} - u + 1) = 2u - 2 + e^{-0,5 \cdot u} \]
$ l_2(u) = 2u - 2 + e^{-0,5 \cdot u} $
wenn $Q$ oberhalb von $P$ liegt.
Untersuche diese Funktionen auf Hochpunkte und vergleiche die erhaltenen Funktionswerte mit den Funktionswerte an den Rändern des Intervalls $[-5; 1]$. Die Bedingungen für Hochpunkte hast du schon in Teilaufgabe 2.1 kennengelernt.
Untersuchung von $l_1:$ \begin{array}{rcl} l_1(u) &=& -\mathrm{e}^{-0,5 \cdot u} - 2u + 2 \\[5pt] l'_1(u) &=& -(-0,5) \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u} - 2 \cdot 1 + 0 \\[5pt] &=& 0,5 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u} - 2 \\[5pt] l''_1(u) &=& 0,5 \cdot (-0,5) \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u} - 0 \\[5pt] &=& -0,25 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u} < 0 \end{array} Jede Nullstelle $u$ von $l'_1$ mit $ l''_1(u) < 0 $ ist eine Hochstelle von $l_1:$
\begin{array}{rclcl} l'_1(u) &= 0 \\ 0,5 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u} - 2 &=& 0 & & \scriptsize \mid \; +2 \\[5pt] 0,5 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u} &=& 2 & & \scriptsize \mid \; :0,5 \\[5pt] \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u} &=& 4 & & \scriptsize \mid \; \ln() \\[5pt] -0,5 \cdot u &=& \ln (4) & & \scriptsize \mid \; :(-0,5) \\[5pt] u &=& -2 \cdot \ln (4) \\[5pt] &\approx& -2,77 \end{array} Untersuchung von $l_2:$ \begin{array}{rcl} l_2(u) &=& 2u - 2 + \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u} \\[5pt] l'_2(u) &=& 2 - 0,5 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u} \\[5pt] l''_1(u) &=& 0,25 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u} > 0 \end{array}
\begin{array}{rclcl} l'_1(u) \approx& -2,77 \end{array} Untersuchung von $l_2:$ \begin{array}{rcl} l_2(u) &=& 2u - 2 + \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u} \\[5pt] l'_2(u) &=& 2 - 0,5 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u} \\[5pt] l''_1(u) &=& 0,25 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u} > 0 \end{array}
Jede Nullstelle $u$ von $l'_2$ mit $ l''_2(u) > 0 $ ist eine Tiefstelle von $l_2.$
Um die Stelle mit maximaler Streckenlänge zu berechnen, reicht es also aus, die Funktionswerte für Randwerte $u=-5$ und $u=1$ zu berechnen und mit dem Funktionswert $ l_1(-2 \cdot \ln (4)) $ zu vergleichen:
\begin{array}{rcl} l_2(-5) &=& 2 \cdot (-5) - 2 + \mathrm{e}^{-0,5 \cdot (-5)} \\[5pt] &=& -12 + \mathrm{e}^{2,5} \\[5pt] &\approx& 0,18 \\ l_1(-2 \cdot \ln (4)) &=& -\mathrm{e}^{-0,5 \cdot (-2 \cdot \ln (4))} - 2 \cdot (-2 \cdot \ln (4)) + 2 \\[5pt] &=& -\mathrm{e}^{\ln (4)} + 4 \cdot \ln (4) + 2 \\[5pt] &=& -4 + 4 \cdot \ln (4) + 2 \\[5pt] &=& 4 \cdot \ln (4) - 2 \\[5pt] &\approx & 3,55 \\[5pt] l_2(1) &=& 2 \cdot 1 - 2 + \mathrm{e}^{-0,5 \cdot 1} \\[5pt] &=& \mathrm{e}^{-0,5} \\[5pt] &\approx& 0,61 \end{array}
\begin{array}{rcl} l_2(-5) \approx& 0,18 \\ l_1(-2 \cdot \ln (4)) \approx & 3,55 \\[5pt] l_2(1) \approx& 0,61 \end{array}
Ergebnis: $u_{max} \approx -2,77, \; \overline{PQ(u_{max})} \approx 3,55 $
$\blacktriangleright$   Maximale Streckenlänge $\boldsymbol{PQ}$ angeben
Du sollst hier nur den Wert für die längste Strecke angeben.
Die maximale Streckenlänge beträgt $ \overline{PQ(u_{max})} \approx 3,55 $ LE.

Aufgabe 2.4

$\blacktriangleright$   Aussagen vervollständigen
Bei allen Teilaufgaben wird eine Begründung von dir nicht verlangt.
a)
Eine einfache Nullstelle einer Funktion $f$ ist gegeben. Du sollst nun diese Stelle hinsichtlich ihrer Stammfunktion $F$ näher charakterisieren. $F$ ist Stammfunktion von $f,$ wenn
$ F'(x) = f(x) $ $ F'(x) = f(x) $
Bei einer einfachen Nullstelle $x_0$ einer Funktion $f$ gilt $ f(x_0) = 0 $ und $f$ besitzt dort einen Vorzeichenwechsel. Folgere nun daraus, welche Eigenschaft die Ableitung $F'$ haben muss. Die Nullstelle und das Steigungsverhalten des Schaubildes von $F$ sagen dir dann, was dies für die Stammfunktion $F$ bedeutet.
Wegen $ F'(x_0) = f(x_0) = 0 $ hat auch die Ableitungsfunktion $F'$ einer Stammfunktion $F$ von $f$ eine (einfache) Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Daraus lässt sich für das Steigungsverhalten des Schaubildes $K_F$ folgern, das es zunächst steigend und anschließend ist oder umgekehrt. Diese Bedingung ist hinreichend für eine Extremstelle von $F.$
Eine einfache Nullstelle einer Funktion ist eine Extremstelle ihrer Stammfunktion.
b)
Du sollst eine Funktion dritten Grades auf die Anzahl der Wendestellen untersuchen, d. h. du sollst die Funktion $f'$ auf Extremstellen untersuchen. Für den zugehörigen Funktionsterm verwendest du z. B. die Formel
$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $ $ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $
An einer Extremstelle liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_{f'}$ vor und die Ableitungsfunktion $f''$ wechselt das Vorzeichen. Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktion $f'$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f'''(x_0) \neq 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt noch zusätzlich die dritte Ableitung der Funktion $f$ und untersuche $f''$ auf Nullstellen. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Wenn sie erfüllt ist, so handelt es sich um eine Wendestelle.
Für beliebige ganzrationale Funktion $f$ dritten Grades gilt \begin{align*} f(x) &= ax^3 + bx^2 + cx + d \\ f'(x) &= 3ax^2 + 2bx + c \\ f''(x) &= 6ax + 2b \\ f'''(x) &= 6a \end{align*} wobei $ a, \; b $ und $c$ reelle Zahlen sind und $ a \ne 0. $ Deshalb ist $f''$ eine ganzrationale Funktion vom Grad $1$ mit genau einer Nullstelle $ x = -\frac{b}{2a}. $ Wegen $ f'''(x) = 6a \ne 0 $ ist $ x = -\frac{b}{2a} $ die einzige Wendestelle von $f.$
Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat eine Wendestelle(n), denn ihre ihre Ableitungsfunktion ist vom Grad 1.
c)
Wenn du den Wertebereich der Funktion $h$ bestimmen sollst, solltest du wissen, das die Funktion $ \cos (x) $ den Wertebereich $ [-1; 1] $ besitzt. Der Faktor $3$ vor der Variablen $x$ beeinflusst die Periodenlänge von $ \cos (x), $ d. h. $ cos(3x) $ hat die Periodenlänge $ P = \frac{2\pi}{3} = \frac{2}{3}\pi. $ Das ursprüngliche Schaubild wird also in $x$--Richtung gestaucht, ihr Wertebereich dadurch aber nicht beeinflusst. Der kleinste Funktionswert der Funktion $h$ ist $ 2 \cdot (-1) + 5 = -2 + 5 = 3 $ und ihr größter Funktionswert $ 2 \cdot 1 + 5 = 2 + 5 = 7. $
Alternative Begründung:
Das Schaubild der Funktion $ h(x) $ entsteht aus der dem Schaubild der Funktion $ \cos(x), $ indem das Schaubild von $ \cos(x) $
  1. mit dem Faktor $3$ in $x$–Richtung gestaucht wird; der Wertebereich bleibt $ [-1; 1] $ und die neue Periodenlänge ist $ P = \frac{2\pi}{3} = \frac{2}{3}\pi; $
  2. mit dem Faktor $2$ in $y$–Richtung gestreckt wird; neuer Wertebereich ist $ [-2; 2]; $
  3. abschließend in $y$–Richtung um $5$ Einheiten nach oben verschoben; der Wertebereich von $h$ ist $ [-2+5; 2+5] = [-3;7]. $
Eine Funktion $h$ mit
$ h(x) = 2\cos (3x) + 5 $ hat den Wertebereich $[-3;7]$ und eine Periodenlänge von $\frac{2}{3}\pi.$
d)
Deine Aufgabe ist es, einen möglichen Funktionsterm mit drei gegeben einfachen Nullstellen anzugeben. Eine einfache Nullstelle ist eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel. Überlege dir, wie du z. B. die Gleichung $ (x - 1) \cdot (x + 4) = 0 $ mit dem Satz von Nullprodukt lösen würdest, und gehe für die Lösung dieser Teilaufgabe umgekehrt vor.
Aus den Nullstellen $ x_1 = -3, \; x_2 = 0 $ und $ x_3 = 2 $ ergibt sich $ x_1 + 3 = 0, \; x_2 = 0 $ und $ x_3 - 2 = 0. $ Durch Multiplizieren aller Terme entsteht ein Funktionsterm mit drei Nullstellen.
Ein möglicher Funktionsterm einer Funktion mit den einfachen Nullstellen $ x_1 = -3, \; x_2 = 0 $ und $ x_3 = 2 $ lautet $ f(x) = x(x+3)(x-2).$
e)
Du sollst eine trigonometrische Funktion $g$ bestimmen, deren Schaubild in $ W(0 \mid 2) $ ein Wendepunkt und $ H(2 \mid 4) $ der ersten Hochpunkt besitzt. Weil der Wendepunkt auf der $Y$–Achse liegt, kann es sich also nur um eine Sinusfunktion handeln, die verändert wurde. Gehe also von der Formel
$ g(x) = a \cdot \sin(b \cdot x) + c$ $ g(x) = a \cdot \sin(b \cdot x) + c$
aus. Überlege Dir, dass der erste Tiefpunkt des Schaubildes $K_g$ mit negativem $x$–Wert die Koordinaten $ T(-2|0) $ haben muss. Die fehlenden Größen $a, \; b $ und $c$ kannst du wie in Teilaufgabe 2.1 bestimmen.
Wenn $ W(0 \mid 2) $ ein Wendepunkt und $ H(2 \mid 4) $ der ersten Hochpunkt des Schaubildes der gesuchten Funktion $g$ sein soll, ist $ T(-2|0) $ der erste Tiefpunkt des Schaubildes $K_g$ mit negativem $x$–Wert.
Wegen $ y_H - y_W = 4 - 2 $ hat die Amplitude $a$ von $g$ den Wert $ a = 2.$ Die halbe Periodenlänge von $g$ ist $ \frac{P}{2} = x_H - x_T = 2 - (-2) = 4, $ d. h. die Vorzahl $b$ vor der Variablen $x$ ist $ b = \frac{2\pi}{P} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}. $ Die Verschiebung in positive $y$–Richtung beträgt $ c = \frac{y_H - y_T}{2} = \frac{4 - 0}{2} = 2. $
Die gesuchte Funktion ist folglich $ g(x) = 2\sin (\frac{\pi}{4} x) + 2. $
Das Schaubild einer trigonometrischen Funktion mit der Funktionsgleichung $g(x) = 2\sin (\frac{\pi}{4} x) + 2$ hat in $ W(0 \mid 2) $ einen Wendepunkt und in $ H(2 \mid 4) $ den ersten Hochpunkt mit positivem $x$–Wert.
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