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Aufgabe 4

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Aufgabe 4

4.1
Zeichne den Papierflieger in ein räumliches Koordinatensystem ein ($x_2$- und $x_3$-Achse mit $1\,\text{LE}=1\,\text{cm}$ und $x_1$-Achse mit dem Schrägwinkel $45°$ und $1\,\text{LE}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\,\text{cm}$).
(4P)
4.2
Der Flieger bewegt sich entlang der Geraden $g$ durch $A$ und $B$.
Bestimme eine Gleichung dieser Geraden.
Ermittle den Spurpunkt von $g$ in der $x_1$-$x_2$-Ebene.
Die Gerade $h$ verläuft durch die Punkte $C$ und $D$.
Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes von $g$ und $h$.
Zeige, dass sich die Geraden $g$ und $h$ rechtwinklig schneiden.
(10P)
4.3
Bestimme im Dreieck $DBA$ den Winkel $\beta$ in $B$.
Berechne den Flächeninhalt dieser Flügelfläche $DBA$.
(5P)
4.4
Die Fliegerspitze $B$ bewegt sich nun entlang der Geraden mit der Gleichung:
$\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\7\\4\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}0\\6\\3\end{pmatrix}$, $r\in\mathbb{R}$.
In der Nähe befindet sich auf einer Anhöhe eine Pyramide mit der Spitze $S(4\mid19\mid t)$.
Welchen Wert müsste $t$ haben, so dass der Papierflieger mit seiner Spitze $B$ die Pyramide in $S$ trifft?
Berechne unter Verwendung der ursprünglichen Koordinaten von $B$ den Abstand von $B$ zu $S$.
(4P)
4.5
Die Grundfläche dieser quadratischen Pyramide hat die Eckpunkte $P(-2\mid15\mid2)$, $Q(8\mid13\mid2)$,
$R(10\mid23\mid2)$ und $T$.
Bestimme die Koordinaten des Punktes $T$.
Welche Höhe müsste die Pyramide haben, damit ihr Volumen $416\,\text{VE}$ beträgt?
Bestimme die Koordinaten einer möglichen Spitze.
(7P)

(30P)
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