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Aufgabe 4

Aufgaben
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Aufgabe 4

4.1
Zeichne den Papierflieger in ein räumliches Koordinatensystem ein ($x_2$- und $x_3$-Achse mit $1\,\text{LE}=1\,\text{cm}$ und $x_1$-Achse mit dem Schrägwinkel $45°$ und $1\,\text{LE}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\,\text{cm}$).
(4P)
4.2
Der Flieger bewegt sich entlang der Geraden $g$ durch $A$ und $B$.
Bestimme eine Gleichung dieser Geraden.
Ermittle den Spurpunkt von $g$ in der $x_1$-$x_2$-Ebene.
Die Gerade $h$ verläuft durch die Punkte $C$ und $D$.
Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes von $g$ und $h$.
Zeige, dass sich die Geraden $g$ und $h$ rechtwinklig schneiden.
(10P)
4.3
Bestimme im Dreieck $DBA$ den Winkel $\beta$ in $B$.
Berechne den Flächeninhalt dieser Flügelfläche $DBA$.
(5P)
4.4
Die Fliegerspitze $B$ bewegt sich nun entlang der Geraden mit der Gleichung:
$\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\7\\4\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}0\\6\\3\end{pmatrix}$, $r\in\mathbb{R}$.
In der Nähe befindet sich auf einer Anhöhe eine Pyramide mit der Spitze $S(4\mid19\mid t)$.
Welchen Wert müsste $t$ haben, so dass der Papierflieger mit seiner Spitze $B$ die Pyramide in $S$ trifft?
Berechne unter Verwendung der ursprünglichen Koordinaten von $B$ den Abstand von $B$ zu $S$.
(4P)
4.5
Die Grundfläche dieser quadratischen Pyramide hat die Eckpunkte $P(-2\mid15\mid2)$, $Q(8\mid13\mid2)$,
$R(10\mid23\mid2)$ und $T$.
Bestimme die Koordinaten des Punktes $T$.
Welche Höhe müsste die Pyramide haben, damit ihr Volumen $416\,\text{VE}$ beträgt?
Bestimme die Koordinaten einer möglichen Spitze.
(7P)

(30P)
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Tipps
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Aufgabe 4 entfällt ab 2018.

Aufgabe 4.1

$\blacktriangleright$   Zeichnen des Papierfliegers
Wenn du den Papierflieger zeichnest, beachte bei der Zeichnung des kartesischen Koordinatensystems die unterschiedliche Vorgaben für die Längeneinheit der Koordinatenachsen. Die Längeneinheit 1 LE = $\frac{1}{2}\sqrt{2} $ für die $x_1$–Achse ergibt sich als Länge der Diagonale eines Rechenkästchens.
Zeichne die Punkte in das Koordinatensystem ein und verbinde sie wie auf dem Aufgabenblatt angezeigt.

Aufgabe 4.2

$\blacktriangleright$   Aufstellung der Gleichung der Geraden $\boldsymbol{g}$ durch die Punkte $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$
Zwei Punkte im Raum legen eine Gerade fest. Ihre Gleichung erhälst du, indem du dich für einen Stützvektor entscheidest und dann den zugehörgen Richtungsvektor berechnest. Als Stützvektor kannst du z. B. $ \overrightarrow{OA} $ und als Richtungsvektor $ \overrightarrow{AB} $ wählen. Den Vektor $ \overrightarrow{AB} $ berechnets du nach der ,,Spitze-Minus-Fußregel":
$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \cr b_2 - a_2 \cr b_3 - a_3 \end{pmatrix} $ $ \overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} $=$ \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \cr b_2 - a_2 \cr b_3 - a_3 \end{pmatrix} $
Eine Gleichung der Geraden $g$ ist dann $ g: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{OA} + r \cdot \overrightarrow{AB}, \; r \in \mathbb{R}. $
$\blacktriangleright$   Berechnung des Spurpunktes von $\boldsymbol{g}$ in der $\boldsymbol{x_1x_2}–$Ebene
Ein Spurpunkt einer Geraden mit einer Ebene ist der Schnittpunkt der Geraden mit ihr. Du sollst den Schnittpunkt von $g$ in der Koordinatenebene $x_1x_2$–Koordinatenebene berechnen.
Die Bedingung, dass $g$ einen Punkt mit der $x_1x_2$–Ebene gemeinsam hat, ist $ x_3 = 0. $ Du kannst daraus den Skalar $ r $ und mit seiner Hilfe durch Einsetzen in die Geradengleichung den Spurpunkt berechnen.
$\blacktriangleright$   Aufstellung der Gleichung der Geraden $\boldsymbol{h}$ durch die Punkte $\boldsymbol{C}$ und $\boldsymbol{D}$
Du kannst bei der Aufstellung der Geradengleichung $h$ genauso vorgehen wie bei der Bestimmung der Geradengleichung von $g$. Als Stützvektor kannst du z. B. $ \overrightarrow{OC} $ und als Richtungsvektor $ \overrightarrow{CD} $ wählen. Die Gleichung der Geraden $h$ ist dann $ h: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{OC} + s \cdot \overrightarrow{CD}, \; s \in \mathbb{R}. $ Beachte, dass unterschiedliche Geraden auch unterschiedliche Skalare haben müssen.
$\blacktriangleright$   Berechnung der Koordinaten des Schnittpunktes von $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$
Um den Schnittpunkt der beiden Geraden zu bestimmen, setzt du die Gleichungen der Geraden gleich. Dann erhältst du ein System von drei Gleichungen, aus denen du die Skalare $r$ und $s$ bestimmen kannst. Setze eine von diesen Skalaren in die betreffende Gleichung ein, und du erhältst den gemeinsamen Punkt von $g$ und $h.$
$\blacktriangleright$   Nachweis, dass sich $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$ rechtwinklig schneiden
Deine Aufgabe ist es nachzuweisen, dass sich die Geraden $g$ und $h$ in einem rechten Winkel schneiden. Zwei Geraden schneiden sich rechtwinklig, wenn das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren Null ergibt.
Das Skalarprodukt von zwei Vektoren $ \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} $ und $ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} $ berechnest du mithilfe der Formel
$ \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 $ $ \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}$ = $\begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix}$ = $a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 $

Aufgabe 4.3

$\beta$ ist der Winkel im Dreieck $DBA$ in $B.$
$\blacktriangleright$   Berechnung von $\boldsymbol{\beta}$
Der Winkel $\beta$ hat den Scheitel bei $B,$ d. h. du benötigst für die Berechnung die Vektoren $ \overrightarrow{BA} $ und $ \overrightarrow{BD} $ sowie die Längen (Beträge) dieser Vektoren. Der Betrag oder die Länge eines Vektores $ \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} $ ist bestimmt durch
$ \mid \overrightarrow{a} \mid = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} $ $ \mid \overrightarrow{a} \mid = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} $
$ \beta $ berechnest du dann mithilfe der Formel
$ \cos \beta = \dfrac{\overrightarrow{BA} \circ \overrightarrow{BD}}{\mid \overrightarrow{BA} \mid \cdot \mid \overrightarrow{BD} \mid}. $ $ \cos \beta = \dfrac{\overrightarrow{BA} \circ \overrightarrow{BD}}{\mid \overrightarrow{BA} \mid \cdot \mid \overrightarrow{BD} \mid}. $
Die Formel für das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist oben angegeben.
Kontrollergebnis: $ \cos \beta \approx 0,9128709292. $
Denke vor der Berechnung des Winkels daran, dass du deinen GTR auf das Winkelmaß Degree umgestellt hast.
Im GTR con CASIO rufst du die Einstellungen mit SHIFT–Menü und änderst gegebenenfalls die Einstellung Angle durch Drücken der Taste Deg.
[Abb. 1]: Einstellung des GTR auf Gradmaß
[Abb. 1]: Einstellung des GTR auf Gradmaß
Im GTR von TI änderst du die Einstellung mit Auswahl von DEGREE.
[Abb. 2]: Einstellung des GTR auf Gradmaß
[Abb. 2]: Einstellung des GTR auf Gradmaß
Anschließend berechnest du den Winkel im Berechnungsmenü mit deinem GTR (CASIO oder TI) mit
$ \beta = \cos^{-1} (0,9128709292) $ $ \beta = \cos^{-1} (0,9128709292) $
und Betätigung der Ausführungstaste.
$\blacktriangleright$   Berechnung des Flächeninhaltes des Dreiecks $\boldsymbol{DBA}$
Es gibt verschiedene Formeln für die Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks. Eine dieser Formeln verwendet zwei Seitenlängen $a$ und $b$ des Dreiecks und den eingeschlossenen Winkel:
$ A = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \sphericalangle(a,b). $ $ A = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \sphericalangle(a,b). $
Wende diese Formel auf die schon berechneten Größen an.

Aufgabe 4.4

Die Fliegerspitze $B$ bewegt sich entlang der Geraden $ l: \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 4 \cr 7 \cr 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \cr 6 \cr 3 \end{pmatrix}, \; r \in \mathbb{R}. $ Der Punkt $ S(4 \mid 19 \mid t) $ ist die Spitze einer Pyramide.
$\blacktriangleright$   Berechnung von $t,$ so dass die Spitze $\boldsymbol{B}$ des Papierfliegers die Pyramide in $\boldsymbol{S}$ trifft
Wenn die Spitze des Papierfliegers die Pyramide im Punkt $S$ trifft, muss $S$ auf der Bewegungsgeraden $l$ liegen. Du machst also die Punktprobe, indem Du zugehörigen Vektoren von $S$ und $l$ gleichsetzt, und löst das Gleichungssystem. So kannst du zuerst $r$ und anschließend $ t $ bestimmen.
$\blacktriangleright$   Berechnung des ursprünglichen Abstandes der von $\boldsymbol{B}$ und $\boldsymbol{S}$
Der Abstand zweier Punkte ist durch die Länge (den Betrag) des zugehörigen Verbindungsvektors gegeben. Die Formel für den Betrag eines Vektors wurde schon in Teilaufgabe 4.3 angegeben.

Aufgabe 4.5

$ \, P(-2 \mid 15 \mid 2)$, $\, Q(8 \mid 13 \mid 2)$, $\, R(10 \mid 23 \mid 2) $ und $T$ sind die Eckpunkte der Grundfläche dieser quadratischen Pyramide
$\blacktriangleright$   Bestimmung der Koordinaten von $\boldsymbol{T}$
Du sollst den vierten Eckpunkt des Quadrates $ PQRT $ bestimmen. Zeichne zunächst eine Skizze und trage die Vektoren $ \overrightarrow{PQ}, \, \overrightarrow{QR}, \, \overrightarrow{TR} $ und $ \overrightarrow{PT} $ ein.
[Abb. 3]: Skizze eines Quadrates
[Abb. 3]: Skizze eines Quadrates
Die Pfeile sind alle nicht nur gleich lang, sondern zwei Paare von Vektoren sind zueinander parallel und gleich orientiert: Es muss folglich $ \overrightarrow{TR} = \overrightarrow{PQ} $ bzw. $ \overrightarrow{PT} = \overrightarrow{QR} $ gelten. Nutze eine dieser Bedingungen durch Berechnung der Vektoren, um die Koordinaten von $T$ zu bestimmen.
$\blacktriangleright$   Berechnung der Pyramidenhöhe bei einem Volumen von 416 VE
Zu einem gegebenem Volumen der Pyramide von $416 $ VE sollst du ihre Höhe berechnen. Dazu benötigst du die Formeln für die Berechnung des Volumens einer Pyramide
$ V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h$ $ V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h$
und die Berechnung des Flächeninhaltes $G$ der quadratischen Grundfläche mit Seitenlänge $a$
$ G = a^2.$ $ G = a^2.$
Berechne zuerst den Flächeninhalt des Quadrats und setze das Ergebnis in die Volumenformel ein, um die Höhe der Pyramide zu bestimmen. Den Vektor $ \overrightarrow{QR} $ hast du in der letzten Teilaufgabe schon berechnet.
$\blacktriangleright$   Bestimmung der Koordinaten einer möglichen Spitze
Um eine mögliche Spitze $ S^* $ zu bestimmen, gehst du am besten vom einfachsten Fall aus, dass die Pyramide gerade ist. Denn dann liegt die Spitze $ S^* $ senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt $M$ der quadratischen Grundfläche $ PQRT. $
Für die Berechnung der Koordinaten von $M$ benötigst du die Formel für den Mittelpunkt einer Strecke mit den Endpunkten $ A(a_1 \mid a_2 \mid a_3) $ und $ B(b_1 \mid b_2 \mid b_3) $
$ M(m_1 \mid m_2 \mid m_3) = \left( \dfrac{a_1 + b_1}{2} \mid \dfrac{a_2 + b_2}{2} \mid \dfrac{a_3 + b_3}{2} \right) $ $ M(m_1 \mid m_2 \mid m_3)$ = $\left( \dfrac{a_1 + b_1}{2} \mid \dfrac{a_2 + b_2}{2} \mid \dfrac{a_3 + b_3}{2} \right) $
oder in Vektorschreibweise
$ \overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \right). $ $ \overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \right). $
Nach der Berechnung von $M$ muss du nur noch ihre dritte Koordinate mithilfe der Höhe $ h = 12 $ LE anpassen, um $S^*$ zu erhalten.
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Aufgabe 4 entfällt ab 2018.

Aufgabe 4.1

$\blacktriangleright$   Zeichnen des Papierfliegers
Wenn du den Papierflieger zeichnest, beachte bei der Zeichnung des kartesischen Koordinatensystems die unterschiedliche Vorgaben für die Längeneinheit der Koordinatenachsen. Die Längeneinheit 1 LE = $\frac{1}{2}\sqrt{2} $ für die $x_1$–Achse ergibt sich als Länge der Diagonale eines Rechenkästchens.
Zeichne die Punkte in das Koordinatensystem ein und verbinde sie wie auf dem Aufgabenblatt angezeigt.
[Abb. 1]: Papierflieger im kartesischen Koordinatensystem
[Abb. 1]: Papierflieger im kartesischen Koordinatensystem

Aufgabe 4.2

$\blacktriangleright$   Aufstellung der Gleichung der Geraden $\boldsymbol{g}$ durch die Punkte $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$
Zwei Punkte im Raum legen eine Gerade fest. Ihre Gleichung erhälst du, indem du dich für einen Stützvektor entscheidest und dann den zugehörgen Richtungsvektor berechnest. Als Stützvektor kannst du z. B. $ \overrightarrow{OA} $ und als Richtungsvektor $ \overrightarrow{AB} $ wählen. Den Vektor $ \overrightarrow{AB} $ berechnets du nach der ,,Spitze-Minus-Fußregel":
$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \cr b_2 - a_2 \cr b_3 - a_3 \end{pmatrix} $ $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ =$ \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix}$ =$ \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \cr b_2 - a_2 \cr b_3 - a_3 \end{pmatrix} $
Eine Gleichung der Geraden $g$ ist dann $ g: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{OA} + r \cdot \overrightarrow{AB}, \; r \in \mathbb{R}. $ \begin{array}{rcl} \overrightarrow{OA} &=& \begin{pmatrix} 4 \cr 5 \cr 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \cr 5 \cr 3 \end{pmatrix} \\[5pt] \overrightarrow{AB} &=& \begin{pmatrix} 4 \cr 9 \cr 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \cr 5 \cr 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 4 \cr 9 - 5 \cr 5 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cr 4 \cr 2 \end{pmatrix}\\[5pt] g: \overrightarrow{x} &=& \begin{pmatrix} 4 \cr 5 \cr 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \cr 4 \cr 2 \end{pmatrix}, \quad r \in \mathbb{R}. \end{array} Eine Gleichung der Geraden $g$ durch die Punkte $A$ und $B$ ist $ g: \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 4 \cr 5 \cr 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \cr 4 \cr 2 \end{pmatrix}, \; r \in \mathbb{R}.$
$\blacktriangleright$   Berechnung des Spurpunktes von $\boldsymbol{g}$ in der $\boldsymbol{x_1x_2}–$Ebene
Ein Spurpunkt einer Geraden mit einer Ebene ist der Schnittpunkt der Geraden mit ihr. Du sollst den Schnittpunkt von $g$ in der Koordinatenebene $x_1x_2$–Koordinatenebene berechnen.
Die Bedingung, dass $g$ einen Punkt mit der $x_1x_2$–Ebene gemeinsam hat, ist $ x_3 = 0. $ Du kannst daraus den Skalar $ r $ und mit seiner Hilfe durch Einsetzen in die Geradengleichung den Spurpunkt berechnen.
Die dritte Zeile der Geradengleichung führt auf die Gleichung $ 0 = 3 + 2 \cdot r $ bzw. $ r = -1,5. $ Der Spurpunkt $ S_{12} $ hat somit die Koordinaten $ (4 - 1,5 \cdot 0 \mid 5 - 1,5 \cdot 4 \mid 3 - 1,5 \cdot 2) $ bzw. $ S_{12}(4 \mid -1 \mid 0). $
Der Spurpunkt von $g$ mit der in der $x_1x_2–$Ebene ist $ S_{12}(4 \mid -1 \mid 0). $
$\blacktriangleright$   Aufstellung der Gleichung der Geraden $\boldsymbol{h}$ durch die Punkte $\boldsymbol{C}$ und $\boldsymbol{D}$
Du kannst bei der Aufstellung der Geradengleichung $h$ genauso vorgehen wie bei der Bestimmung der Geradengleichung von $g$. Als Stützvektor kannst du z. B. $ \overrightarrow{OC} $ und als Richtungsvektor $ \overrightarrow{CD} $ wählen. Die Gleichung der Geraden $h$ ist dann $ h: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{OC} + s \cdot \overrightarrow{CD}, \; s \in \mathbb{R}. $ Beachte, dass unterschiedliche Geraden auch unterschiedliche Skalare haben müssen. \begin{array}{rcl} h: \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OC} + s \cdot \overrightarrow{CD}, \quad s \in \mathbb{R}. \\[5pt] \overrightarrow{OC} &=& \begin{pmatrix} 1 \cr 3 \cr 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cr 3 \cr 2 \end{pmatrix} \\[5pt] \overrightarrow{CD} &=& \begin{pmatrix} 7 \cr 3 \cr 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \cr 3 \cr 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 - 1 \cr 3 - 3 \cr 2 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix}\\[5pt] h: \overrightarrow{x} &=& \begin{pmatrix} 1 \cr 3 \cr 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 6 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix}, \quad s \in \mathbb{R}. \end{array} Eine Gleichung der Geraden $h$ durch die Punkte $C$ und $D$ ist $ h: \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 1 \cr 3 \cr 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 6 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix}, \; s \in \mathbb{R}. $
$\blacktriangleright$   Berechnung der Koordinaten des Schnittpunktes von $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$
Um den Schnittpunkt der beiden Geraden zu bestimmen, setzt du die Gleichungen der Geraden gleich. Dann erhältst du ein System von drei Gleichungen, aus denen du die Skalare $r$ und $s$ bestimmen kannst. Setze eine von diesen Skalaren in die betreffende Gleichung ein, und du erhältst den gemeinsamen Punkt von $g$ und $h.$ \begin{array}{rcl} g &=& h \\[5pt] \begin{pmatrix} 4 \cr 5 \cr 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \cr 4 \cr 2 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 1 \cr 3 \cr 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 6 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix} \\[5pt] 4 + r \cdot 0 &=& 1 + s \cdot 6 \\ 5 + r \cdot 4 &=& 3 + s \cdot 0 \\ 3 + r \cdot 2 &=& 2 + s \cdot 0 \\[5pt] 4 &=& 1 + 6s \\ 5 + 4r &=& 3 \\ 3 + 2r &=& 2 \\[5pt] 3 &=& 6s \\ 4r &=& -2 \\ 2r &=& -1 \\[5pt] 0,5 &=& s \\ r &=& -0,5 \\ r &=& -0,5 \end{array} $ s = 0,5 $ in $h$ eingesetzt ergibt $ P(1 + 0,5 \cdot 6 \mid 3 + 0,5 \cdot 0 \mid 2 + 0,5 \cdot 0) $ bzw. $ P(4 \mid 3 \mid 2). $
Die Koordinaten des Schnittpunktes von $g$ und $h$ sind $ P(4 \mid 3 \mid 2). $
$\blacktriangleright$   Nachweis, dass sich $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$ rechtwinklig schneiden
Deine Aufgabe ist es nachzuweisen, dass sich die Geraden $g$ und $h$ in einem rechten Winkel schneiden. Zwei Geraden schneiden sich rechtwinklig, wenn das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren Null ergibt.
Das Skalarprodukt von zwei Vektoren $ \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} $ und $ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} $ berechnest du mithilfe der Formel
$ \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 $ $ \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}$ = $\begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix}$ = $a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 $
Für das Skalarprodukt der Richtungsvektoren der Geraden $g$ und $h$ ergibt sich $\begin{pmatrix} 0 \cr 4 \cr 2 \end{pmatrix}$ $\circ \begin{pmatrix} 6 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix}$ = $0 \cdot 6 + 4 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0 + 0 + 0 = 0. $ Folglich beträgt der Schnittwinkel der Geraden $g$ und $h $ genau $90^\circ.$

Aufgabe 4.3

$\beta$ ist der Winkel im Dreieck $DBA$ in $B.$
$\blacktriangleright$   Berechnung von $\boldsymbol{\beta}$
Der Winkel $\beta$ hat den Scheitel bei $B,$ d. h. du benötigst für die Berechnung die Vektoren $ \overrightarrow{BA} $ und $ \overrightarrow{BD} $ sowie die Längen (Beträge) dieser Vektoren. Der Betrag oder die Länge eines Vektores $ \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} $ ist bestimmt durch
$ \mid \overrightarrow{a} \mid = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} $ $ \mid \overrightarrow{a} \mid = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} $
$ \beta $ berechnest du dann mithilfe der Formel
$ \cos \beta = \dfrac{\overrightarrow{BA} \circ \overrightarrow{BD}}{\mid \overrightarrow{BA} \mid \cdot \mid \overrightarrow{BD} \mid}. $ $ \cos \beta = \dfrac{\overrightarrow{BA} \circ \overrightarrow{BD}}{\mid \overrightarrow{BA} \mid \cdot \mid \overrightarrow{BD} \mid}. $
Die Formel für das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist oben angegeben.
\begin{array}{rcl} \overrightarrow{BA} &=& - \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 0 \cr -4 \cr -2 \end{pmatrix} \\[5pt] \mid \overrightarrow{BA} \mid &=& \sqrt{0^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{0 + 16 + 4} = \sqrt{20} \\[5pt] \overrightarrow{BD} &=& \begin{pmatrix} 7 \cr 3 \cr 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \cr 9 \cr 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 - 4 \cr 3 - 9 \cr 2 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cr -6 \cr -3 \end{pmatrix} \\[5pt] \mid \overrightarrow{BD} \mid &=& \sqrt{3^2 + (-6)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} \\[5pt] & \\ \cos \beta &=& \dfrac{\begin{pmatrix} 0 \cr -4 \cr -2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 3 \cr -6 \cr -3 \end{pmatrix}}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{54}} \\[5pt] &=& \dfrac{0 \cdot 3 + (-4) \cdot (-6) + (-2) \cdot (-3)}{\sqrt{20 \cdot 54}} \\[5pt] &=& \dfrac{0 + 24 + 6}{\sqrt{1080}} \\[5pt] &=& \dfrac{30}{\sqrt{1080}} \\[5pt] &\approx& 0,9128709292 \end{array}
\begin{array}{rcl}\cos \beta &\approx& 0,9128709292\end{array}
Denke vor der Berechnung des Winkels daran, dass du deinen GTR auf das Winkelmaß Degree umgestellt hast. Im GTR von TI änderst rufst du MODE auf und änderst gegebenenfalls die Einstellung durch Auswahl von DEGREE:
[Abb. 2]: Einstellung des GTR auf Gradmaß
[Abb. 2]: Einstellung des GTR auf Gradmaß
Anschließend berechnest du den Winkel im Berechnungsmenü mit deinem GTR (CASIO oder TI) mit
$ \beta = \cos^{-1} (0,9128709292) $ $ \beta = \cos^{-1} (0,9128709292) $
und Betätigung der Ausführungstaste.
Der Winkel $\beta$ beträgt $ \beta \approx \cos^{-1} (0,9128709292) \approx 24,1^\circ.$
$\blacktriangleright$   Berechnung des Flächeninhaltes des Dreiecks $\boldsymbol{DBA}$
Es gibt verschiedene Formeln für die Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks. Eine dieser Formeln verwendet zwei Seitenlängen $a$ und $b$ des Dreiecks und den eingeschlossenen Winkel:
$ A = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \sphericalangle(a,b). $ $ A = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \sphericalangle(a,b). $
Wende diese Formel auf die schon berechneten Größen an. \begin{array}{rcl} A &=& \dfrac{1}{2} \cdot \mid \overrightarrow{BA} \mid \cdot \mid \overrightarrow{BD} \mid \cdot \sin \beta \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{20} \cdot \sqrt{54} \cdot \sin 24,1^\circ \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{20 \cdot 54} \cdot \sin 24,1^\circ \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{1080} \cdot \sin 24,1^\circ \\[5pt] &\approx 6,71 \end{array} Der Flächeninhalt des Dreieck $DBA$ beträgt etwa $ 6,71 \; \text{cm}^2.$

Aufgabe 4.4

Die Fliegerspitze $B$ bewegt sich entlang der Geraden $ l: \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 4 \cr 7 \cr 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \cr 6 \cr 3 \end{pmatrix}, \; r \in \mathbb{R}. $ Der Punkt $ S(4 \mid 19 \mid t) $ ist die Spitze einer Pyramide.
$\blacktriangleright$   Berechnung von $t,$ so dass die Spitze $\boldsymbol{B}$ des Papierfliegers die Pyramide in $\boldsymbol{S}$ trifft
Wenn die Spitze des Papierfliegers die Pyramide im Punkt $S$ trifft, muss $S$ auf der Bewegungsgeraden $l$ liegen. Du machst also die Punktprobe, indem Du zugehörigen Vektoren von $S$ und $l$ gleichsetzt, und löst das Gleichungssystem. So kannst du zuerst $r$ und anschließend $ t $ bestimmen. \begin{array}{rcl} \overrightarrow{S} &=& \overrightarrow{x} \\[5pt] \begin{pmatrix} 4 \cr 19 \cr t \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 4 \cr 7 \cr 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \cr 6 \cr 3 \end{pmatrix} \\[5pt] 4 &=& 4 + r \cdot 0 \\ 19 &=& 7 + r \cdot 6 \\ t &=& 4 + r \cdot3 \\[5pt] 4 &=& 4 \\ 19 &=& 7 + 6r \\ t &=& 4 + 3r \\[5pt] 4 &=& 4 \\ 12 &=& 6r \\ t &=& 4 + 3r \\[5pt] 4 &=& 4 \\ 2 &=& r \\ t &=& 4 + 3 \cdot 2 \\ t &=& 10 \end{array} Der Papierflieger trifft mit seiner Spitze $B$ die Pyramidespitze, wenn $S$ die Koordinaten $ S(4 \mid 19 \mid 10) $ besitzt.
$\blacktriangleright$   Berechnung des ursprünglichen Abstandes der von $\boldsymbol{B}$ und $\boldsymbol{S}$
Der Abstand zweier Punkte ist durch die Länge (den Betrag) des zugehörigen Verbindungsvektors gegeben. Die Formel für den Betrag eines Vektors wurde schon in Teilaufgabe 4.3 angegeben. \begin{array}{rcl} \overrightarrow{BS} &=& \begin{pmatrix} 4 \cr 19 \cr 10 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \cr 9 \cr 5 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 4 - 4 \cr 19 - 9 \cr 10 - 5 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 0 \cr 10 \cr 5 \end{pmatrix} \end{array} $\mid \overrightarrow{BS} \mid$ = $\sqrt{0^2 + 10^2 + 5^2}$ = $\sqrt{0 + 100 + 25}$ = $\sqrt{125} \approx 11,18$ Der Abstand von $B$ zu $S$ beträgt etwa $ 11,18 $ cm.

Aufgabe 4.5

$ \, P(-2 \mid 15 \mid 2)$, $\, Q(8 \mid 13 \mid 2)$, $\, R(10 \mid 23 \mid 2) $ und $T$ sind die Eckpunkte der Grundfläche dieser quadratischen Pyramide
$\blacktriangleright$   Bestimmung der Koordinaten von $\boldsymbol{T}$
Du sollst den vierten Eckpunkt des Quadrates $ PQRT $ bestimmen. Zeichne zunächst eine Skizze und trage die Vektoren $ \overrightarrow{PQ}, \, \overrightarrow{QR}, \, \overrightarrow{TR} $ und $ \overrightarrow{PT} $ ein.
[Abb. 3]: Skizze eines Quadrates
[Abb. 3]: Skizze eines Quadrates
Die Pfeile sind alle nicht nur gleich lang, sondern zwei Paare von Vektoren sind zueinander parallel und gleich orientiert: Es muss folglich $ \overrightarrow{TR} = \overrightarrow{PQ} $ bzw. $ \overrightarrow{PT} = \overrightarrow{QR} $ gelten. Nutze eine dieser Bedingungen durch Berechnung der Vektoren, um die Koordinaten von $T$ zu bestimmen.
Z. B. ergibt sich aus der zweiten Gleichung
\begin{array}{rcll} \overrightarrow{PT} &= \overrightarrow{QR} \\[5pt] \begin{pmatrix} t_1 \cr t_2 \cr t_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \cr 15 \cr 2 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 10 \cr 23 \cr 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 \cr 13 \cr 2 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} t_1 \cr t_2 \cr t_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \cr 15 \cr 2 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 10 - 8 \cr 23 - 13 \cr 2 - 2 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} t_1 \cr t_2 \cr t_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \cr 15 \cr 2 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 2 \cr 10 \cr 0 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} t_1 \cr t_2 \cr t_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 2 \cr 10 \cr 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \cr 15 \cr 2 \end{pmatrix} & \scriptsize \mid \; + \begin{pmatrix} -2 \cr 15 \cr 2 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} t_1 \cr t_2 \cr t_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 2 - 2 \cr 10 + 15 \cr 0 + 2 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} t_1 \cr t_2 \cr t_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 0 \cr 25 \cr 2 \end{pmatrix} \end{array}
\begin{array}{rcll} \overrightarrow{PT} &= \overrightarrow{QR} \\[5pt]\begin{pmatrix} t_1 \cr t_2 \cr t_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 0 \cr 25 \cr 2 \end{pmatrix}\end{array}
Der vierte Eckpunkt des Quadrates $ PQRT $ besitzt die Koordinaten $ T(0 \mid 25 \mid 2). $
$\blacktriangleright$   Berechnung der Pyramidenhöhe bei einem Volumen von 416 VE
Zu einem gegebenem Volumen der Pyramide von $416 $ VE sollst du ihre Höhe berechnen. Dazu benötigst du die Formeln für die Berechnung des Volumens einer Pyramide
$ V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h$ $ V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h$
und die Berechnung des Flächeninhaltes $G$ der quadratischen Grundfläche mit Seitenlänge $a$
$ G = a^2.$ $ G = a^2.$
Berechne zuerst den Flächeninhalt des Quadrats und setze das Ergebnis in die Volumenformel ein, um die Höhe der Pyramide zu bestimmen. Den Vektor $ \overrightarrow{QR} $ hast du in der letzten Teilaufgabe schon berechnet. $ \left| \overrightarrow{QR} \right| $=$ \sqrt{2^2 + 10^2 + 0^2} $=$ \sqrt{4 + 100 + 0} = \sqrt{104} $ \[ G = \left( \sqrt{104} \right)^2 = 104 \] Das Quadrat besitzt die Seitenlänge $ a = \mid \overrightarrow{PQ} \mid = \mid \overrightarrow{QR} \mid = \mid \overrightarrow{TR} \mid = \mid \overrightarrow{PT} \mid = \sqrt{140} $ und die Grundfläche $ G = 104 $ FE. \begin{array}{rclc} V &=& \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \\[5pt] 416 &=& \dfrac{1}{3} \cdot 104 \cdot h \\[5pt] 1248 &=& 104 \cdot h & \scriptsize \mid \; : 104 \\[5pt] 12 &=& h \end{array}
Die Höhe der Pyramide mit einem Volumen von $416$ VE besitzt eine Höhe von $12 $ LE.
$\blacktriangleright$   Bestimmung der Koordinaten einer möglichen Spitze
Um eine mögliche Spitze $ S^* $ zu bestimmen, gehst du am besten vom einfachsten Fall aus, dass die Pyramide gerade ist. Denn dann liegt die Spitze $ S^* $ senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt $M$ der quadratischen Grundfläche $ PQRT. $ Für die Berechnung der Koordinaten von $M$ benötigst du die Formel für den Mittelpunkt einer Strecke mit den Endpunkten $ A(a_1 \mid a_2 \mid a_3) $ und $ B(b_1 \mid b_2 \mid b_3) $
$ M(m_1 \mid m_2 \mid m_3) = \left( \dfrac{a_1 + b_1}{2} \mid \dfrac{a_2 + b_2}{2} \mid \dfrac{a_3 + b_3}{2} \right) $ $ M(m_1 \mid m_2 \mid m_3)$ = $\left( \dfrac{a_1 + b_1}{2} \mid \dfrac{a_2 + b_2}{2} \mid \dfrac{a_3 + b_3}{2} \right) $
oder in Vektorschreibweise
$ \overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \right). $ $ \overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \right). $
Nach der Berechnung von $M$ muss du nur noch ihre dritte Koordinate mithilfe der Höhe $ h = 12 $ LE anpassen, um $S^*$ zu erhalten. \begin{array}{rcl} \overrightarrow{OM} &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left( \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OR} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left( \begin{pmatrix} -2 \cr 15 \cr 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 10 \cr 23 \cr 2 \end{pmatrix} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -2 + 10 \cr 15 + 23 \cr 2 + 2 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 8 \cr 38 \cr 4 \end{pmatrix} \\[5pt] %&=& \begin{pmatrix} dfrac{1}{2} \cdot 8 \cr dfrac{1}{2} \cdot 23 \cr dfrac{1}{2} \cdot 4 \end{pmatrix}\\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 4 \cr 19 \cr 2 \end{pmatrix} \end{array} Der Mittelpunkt der quadratischen Grundfläche besitzt die Koordinaten $ M(4 \mid 19 \mid 2) $ und folglich $ S^* $ die Koordinaten $ S^*(4 \mid 19 \mid 2 + 12) = S^*(4 \mid 19 \mid 14). $
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Aufgabe 4 entfällt ab 2018.

Aufgabe 4.1

$\blacktriangleright$   Zeichnen des Papierfliegers
Wenn du den Papierflieger zeichnest, beachte bei der Zeichnung des kartesischen Koordinatensystems die unterschiedliche Vorgaben für die Längeneinheit der Koordinatenachsen. Die Längeneinheit 1 LE = $\frac{1}{2}\sqrt{2} $ für die $x_1$–Achse ergibt sich als Länge der Diagonale eines Rechenkästchens.
Zeichne die Punkte in das Koordinatensystem ein und verbinde sie wie auf dem Aufgabenblatt angezeigt.
[Abb. 1]: Papierflieger im kartesischen Koordinatensystem
[Abb. 1]: Papierflieger im kartesischen Koordinatensystem

Aufgabe 4.2

$\blacktriangleright$   Aufstellung der Gleichung der Geraden $\boldsymbol{g}$ durch die Punkte $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$
Zwei Punkte im Raum legen eine Gerade fest. Ihre Gleichung erhälst du, indem du dich für einen Stützvektor entscheidest und dann den zugehörgen Richtungsvektor berechnest. Als Stützvektor kannst du z. B. $ \overrightarrow{OA} $ und als Richtungsvektor $ \overrightarrow{AB} $ wählen. Den Vektor $ \overrightarrow{AB} $ berechnets du nach der ,,Spitze-Minus-Fußregel":
$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \cr b_2 - a_2 \cr b_3 - a_3 \end{pmatrix} $ $ \overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ = $\begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix}$ =$ \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \cr b_2 - a_2 \cr b_3 - a_3 \end{pmatrix} $
Eine Gleichung der Geraden $g$ ist dann $ g: \overrightarrow{x} $= $\overrightarrow{OA} + r \cdot \overrightarrow{AB}, \; r \in \mathbb{R}. $ \begin{array}{rcl} \overrightarrow{OA} &=& \begin{pmatrix} 4 \cr 5 \cr 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \cr 5 \cr 3 \end{pmatrix} \\[5pt] \overrightarrow{AB} &=& \begin{pmatrix} 4 \cr 9 \cr 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \cr 5 \cr 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 4 \cr 9 - 5 \cr 5 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cr 4 \cr 2 \end{pmatrix}\\[5pt] g: \overrightarrow{x} &=& \begin{pmatrix} 4 \cr 5 \cr 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \cr 4 \cr 2 \end{pmatrix}, \quad r \in \mathbb{R}. \end{array} Eine Gleichung der Geraden $g$ durch die Punkte $A$ und $B$ ist $ g: \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 4 \cr 5 \cr 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \cr 4 \cr 2 \end{pmatrix}, \; r \in \mathbb{R}.$
$\blacktriangleright$   Berechnung des Spurpunktes von $\boldsymbol{g}$ in der $\boldsymbol{x_1x_2}–$Ebene
Ein Spurpunkt einer Geraden mit einer Ebene ist der Schnittpunkt der Geraden mit ihr. Du sollst den Schnittpunkt von $g$ in der Koordinatenebene $x_1x_2$–Koordinatenebene berechnen.
Die Bedingung, dass $g$ einen Punkt mit der $x_1x_2$–Ebene gemeinsam hat, ist $ x_3 = 0. $ Du kannst daraus den Skalar $ r $ und mit seiner Hilfe durch Einsetzen in die Geradengleichung den Spurpunkt berechnen.
Die dritte Zeile der Geradengleichung führt auf die Gleichung $ 0 = 3 + 2 \cdot r $ bzw. $ r = -1,5. $ Der Spurpunkt $ S_{12} $ hat somit die Koordinaten $ (4 - 1,5 \cdot 0 \mid 5 - 1,5 \cdot 4 \mid 3 - 1,5 \cdot 2) $ bzw. $ S_{12}(4 \mid -1 \mid 0). $
Der Spurpunkt von $g$ mit der in der $x_1x_2–$Ebene ist $ S_{12}(4 \mid -1 \mid 0). $
$\blacktriangleright$   Aufstellung der Gleichung der Geraden $\boldsymbol{h}$ durch die Punkte $\boldsymbol{C}$ und $\boldsymbol{D}$
Du kannst bei der Aufstellung der Geradengleichung $h$ genauso vorgehen wie bei der Bestimmung der Geradengleichung von $g$. Als Stützvektor kannst du z. B. $ \overrightarrow{OC} $ und als Richtungsvektor $ \overrightarrow{CD} $ wählen. Die Gleichung der Geraden $h$ ist dann $ h: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{OC} + s \cdot \overrightarrow{CD}, \; s \in \mathbb{R}. $ Beachte, dass unterschiedliche Geraden auch unterschiedliche Skalare haben müssen. \begin{array}{rcl} h: \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OC} + s \cdot \overrightarrow{CD}, \quad s \in \mathbb{R}. \\[5pt] \overrightarrow{OC} &=& \begin{pmatrix} 1 \cr 3 \cr 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cr 3 \cr 2 \end{pmatrix} \\[5pt] \overrightarrow{CD} &=& \begin{pmatrix} 7 \cr 3 \cr 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \cr 3 \cr 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 - 1 \cr 3 - 3 \cr 2 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix}\\[5pt] h: \overrightarrow{x} &=& \begin{pmatrix} 1 \cr 3 \cr 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 6 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix}, \quad s \in \mathbb{R}. \end{array} Eine Gleichung der Geraden $h$ durch die Punkte $C$ und $D$ ist $ h: \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 1 \cr 3 \cr 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 6 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix}, \; s \in \mathbb{R}. $
$\blacktriangleright$   Berechnung der Koordinaten des Schnittpunktes von $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$
Um den Schnittpunkt der beiden Geraden zu bestimmen, setzt du die Gleichungen der Geraden gleich. Dann erhältst du ein System von drei Gleichungen, aus denen du die Skalare $r$ und $s$ bestimmen kannst. Setze eine von diesen Skalaren in die betreffende Gleichung ein, und du erhältst den gemeinsamen Punkt von $g$ und $h.$ \begin{array}{rcl} g &=& h \\[5pt] \begin{pmatrix} 4 \cr 5 \cr 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \cr 4 \cr 2 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 1 \cr 3 \cr 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 6 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix} \\[5pt] 4 + r \cdot 0 &=& 1 + s \cdot 6 \\ 5 + r \cdot 4 &=& 3 + s \cdot 0 \\ 3 + r \cdot 2 &=& 2 + s \cdot 0 \\[5pt] 4 &=& 1 + 6s \\ 5 + 4r &=& 3 \\ 3 + 2r &=& 2 \\[5pt] 3 &=& 6s \\ 4r &=& -2 \\ 2r &=& -1 \\[5pt] 0,5 &=& s \\ r &=& -0,5 \\ r &=& -0,5 \end{array} $ s = 0,5 $ in $h$ eingesetzt ergibt $ P(1 + 0,5 \cdot 6 \mid 3 + 0,5 \cdot 0 \mid 2 + 0,5 \cdot 0) $ bzw. $ P(4 \mid 3 \mid 2). $
Die Koordinaten des Schnittpunktes von $g$ und $h$ sind $ P(4 \mid 3 \mid 2). $
$\blacktriangleright$   Nachweis, dass sich $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$ rechtwinklig schneiden
Deine Aufgabe ist es nachzuweisen, dass sich die Geraden $g$ und $h$ in einem rechten Winkel schneiden. Zwei Geraden schneiden sich rechtwinklig, wenn das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren Null ergibt.
Das Skalarprodukt von zwei Vektoren $ \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} $ und $ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} $ berechnest du mithilfe der Formel
$ \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 $ $ \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}$ =$ \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_1 \cr b_2 \cr b_3 \end{pmatrix} $=$ a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 $
Für das Skalarprodukt der Richtungsvektoren der Geraden $g$ und $h$ ergibt sich $\begin{pmatrix} 0 \cr 4 \cr 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 6 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix} $=$ 0 \cdot 6 + 4 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0 + 0 + 0$ =$ 0. $ Folglich beträgt der Schnittwinkel der Geraden $g$ und $h $ genau $90^\circ.$

Aufgabe 4.3

$\beta$ ist der Winkel im Dreieck $DBA$ in $B.$
$\blacktriangleright$   Berechnung von $\boldsymbol{\beta}$
Der Winkel $\beta$ hat den Scheitel bei $B,$ d. h. du benötigst für die Berechnung die Vektoren $ \overrightarrow{BA} $ und $ \overrightarrow{BD} $ sowie die Längen (Beträge) dieser Vektoren. Der Betrag oder die Länge eines Vektores $ \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} a_1 \cr a_2 \cr a_3 \end{pmatrix} $ ist bestimmt durch
$ \mid \overrightarrow{a} \mid = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} $ $ \mid \overrightarrow{a} \mid = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} $
$ \beta $ berechnest du dann mithilfe der Formel
$ \cos \beta = \dfrac{\overrightarrow{BA} \circ \overrightarrow{BD}}{\mid \overrightarrow{BA} \mid \cdot \mid \overrightarrow{BD} \mid}. $ $ \cos \beta$ =$ \dfrac{\overrightarrow{BA} \circ \overrightarrow{BD}}{\mid \overrightarrow{BA} \mid \cdot \mid \overrightarrow{BD} \mid}. $
Die Formel für das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist oben angegeben.
\begin{array}{rcl} \overrightarrow{BA} &=& - \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 0 \cr -4 \cr -2 \end{pmatrix} \\[5pt] \mid \overrightarrow{BA} \mid &=& \sqrt{0^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{0 + 16 + 4} = \sqrt{20} \\[5pt] \overrightarrow{BD} &=& \begin{pmatrix} 7 \cr 3 \cr 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \cr 9 \cr 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 - 4 \cr 3 - 9 \cr 2 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cr -6 \cr -3 \end{pmatrix} \\[5pt] \mid \overrightarrow{BD} \mid &=& \sqrt{3^2 + (-6)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} \\[5pt] & \\ \cos \beta &=& \dfrac{\begin{pmatrix} 0 \cr -4 \cr -2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 3 \cr -6 \cr -3 \end{pmatrix}}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{54}} \\[5pt] &=& \dfrac{0 \cdot 3 + (-4) \cdot (-6) + (-2) \cdot (-3)}{\sqrt{20 \cdot 54}} \\[5pt] &=& \dfrac{0 + 24 + 6}{\sqrt{1080}} \\[5pt] &=& \dfrac{30}{\sqrt{1080}} \\[5pt] &\approx& 0,9128709292 \end{array}
\begin{array}{rcl}\cos \beta &\approx& 0,9128709292\end{array}
Denke vor der Berechnung des Winkels daran, dass du deinen GTR auf das Winkelmaß Degree umgestellt hast.
Im GTR con CASIO rufst du die Einstellungen mit SHIFT–Menü und änderst gegebenenfalls die Einstellung Angle durch Drücken der Taste Deg.
[Abb. 2]: Einstellung des GTR auf Gradmaß
[Abb. 2]: Einstellung des GTR auf Gradmaß
Anschließend berechnest du den Winkel im Berechnungsmenü mit deinem GTR (CASIO oder TI) mit
$ \beta = \cos^{-1} (0,9128709292) $ $ \beta$ =$ \cos^{-1} (0,9128709292) $
und Betätigung der Ausführungstaste.
Der Winkel $\beta$ beträgt $ \beta \approx \cos^{-1} (0,9128709292) \approx 24,1^\circ.$
$\blacktriangleright$   Berechnung des Flächeninhaltes des Dreiecks $\boldsymbol{DBA}$
Es gibt verschiedene Formeln für die Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks. Eine dieser Formeln verwendet zwei Seitenlängen $a$ und $b$ des Dreiecks und den eingeschlossenen Winkel:
$ A = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \sphericalangle(a,b). $ $ A $=$ \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \sphericalangle(a,b). $
Wende diese Formel auf die schon berechneten Größen an. \begin{array}{rcl} A &=& \dfrac{1}{2} \cdot \mid \overrightarrow{BA} \mid \cdot \mid \overrightarrow{BD} \mid \cdot \sin \beta \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{20} \cdot \sqrt{54} \cdot \sin 24,1^\circ \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{20 \cdot 54} \cdot \sin 24,1^\circ \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{1080} \cdot \sin 24,1^\circ \\[5pt] &\approx 6,71 \end{array} Der Flächeninhalt des Dreieck $DBA$ beträgt etwa $ 6,71 \; \text{cm}^2.$

Aufgabe 4.4

Die Fliegerspitze $B$ bewegt sich entlang der Geraden $ l: \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix} 4 \cr 7 \cr 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \cr 6 \cr 3 \end{pmatrix}, \; r \in \mathbb{R}. $ Der Punkt $ S(4 \mid 19 \mid t) $ ist die Spitze einer Pyramide.
$\blacktriangleright$   Berechnung von $t,$ so dass die Spitze $\boldsymbol{B}$ des Papierfliegers die Pyramide in $\boldsymbol{S}$ trifft
Wenn die Spitze des Papierfliegers die Pyramide im Punkt $S$ trifft, muss $S$ auf der Bewegungsgeraden $l$ liegen. Du machst also die Punktprobe, indem Du zugehörigen Vektoren von $S$ und $l$ gleichsetzt, und löst das Gleichungssystem. So kannst du zuerst $r$ und anschließend $ t $ bestimmen. \begin{array}{rcl} \overrightarrow{S} &=& \overrightarrow{x} \\[5pt] \begin{pmatrix} 4 \cr 19 \cr t \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 4 \cr 7 \cr 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \cr 6 \cr 3 \end{pmatrix} \\[5pt] 4 &=& 4 + r \cdot 0 \\ 19 &=& 7 + r \cdot 6 \\ t &=& 4 + r \cdot3 \\[5pt] 4 &=& 4 \\ 19 &=& 7 + 6r \\ t &=& 4 + 3r \\[5pt] 4 &=& 4 \\ 12 &=& 6r \\ t &=& 4 + 3r \\[5pt] 4 &=& 4 \\ 2 &=& r \\ t &=& 4 + 3 \cdot 2 \\ t &=& 10 \end{array} Der Papierflieger trifft mit seiner Spitze $B$ die Pyramidespitze, wenn $S$ die Koordinaten $ S(4 \mid 19 \mid 10) $ besitzt.
$\blacktriangleright$   Berechnung des ursprünglichen Abstandes der von $\boldsymbol{B}$ und $\boldsymbol{S}$
Der Abstand zweier Punkte ist durch die Länge (den Betrag) des zugehörigen Verbindungsvektors gegeben. Die Formel für den Betrag eines Vektors wurde schon in Teilaufgabe 4.3 angegeben. \begin{array}{rcl} \overrightarrow{BS} &=& \begin{pmatrix} 4 \cr 19 \cr 10 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \cr 9 \cr 5 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 4 - 4 \cr 19 - 9 \cr 10 - 5 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 0 \cr 10 \cr 5 \end{pmatrix} \end{array} $ \mid \overrightarrow{BS} \mid$ =$ \sqrt{0^2 + 10^2 + 5^2} $=$ \sqrt{0 + 100 + 25} = \sqrt{125} \approx 11,18 $ Der Abstand von $B$ zu $S$ beträgt etwa $ 11,18 $ cm.

Aufgabe 4.5

$ \, P(-2 \mid 15 \mid 2)$,$ \, Q(8 \mid 13 \mid 2)$,$ \, R(10 \mid 23 \mid 2) $ und $T$ sind die Eckpunkte der Grundfläche dieser quadratischen Pyramide
$\blacktriangleright$   Bestimmung der Koordinaten von $\boldsymbol{T}$
Du sollst den vierten Eckpunkt des Quadrates $ PQRT $ bestimmen. Zeichne zunächst eine Skizze und trage die Vektoren $ \overrightarrow{PQ}, \, \overrightarrow{QR}, \, \overrightarrow{TR} $ und $ \overrightarrow{PT} $ ein.
[Abb. 3]: Skizze eines Quadrates
[Abb. 3]: Skizze eines Quadrates
Die Pfeile sind alle nicht nur gleich lang, sondern zwei Paare von Vektoren sind zueinander parallel und gleich orientiert: Es muss folglich $ \overrightarrow{TR} = \overrightarrow{PQ} $ bzw. $ \overrightarrow{PT} = \overrightarrow{QR} $ gelten. Nutze eine dieser Bedingungen durch Berechnung der Vektoren, um die Koordinaten von $T$ zu bestimmen.
Z. B. ergibt sich aus der zweiten Gleichung
\begin{array}{rcll} \overrightarrow{PT} &= \overrightarrow{QR} \\[5pt] \begin{pmatrix} t_1 \cr t_2 \cr t_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \cr 15 \cr 2 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 10 \cr 23 \cr 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 \cr 13 \cr 2 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} t_1 \cr t_2 \cr t_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \cr 15 \cr 2 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 10 - 8 \cr 23 - 13 \cr 2 - 2 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} t_1 \cr t_2 \cr t_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \cr 15 \cr 2 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 2 \cr 10 \cr 0 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} t_1 \cr t_2 \cr t_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 2 \cr 10 \cr 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \cr 15 \cr 2 \end{pmatrix} & \scriptsize \mid \; + \begin{pmatrix} -2 \cr 15 \cr 2 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} t_1 \cr t_2 \cr t_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 2 - 2 \cr 10 + 15 \cr 0 + 2 \end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix} t_1 \cr t_2 \cr t_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 0 \cr 25 \cr 2 \end{pmatrix} \end{array}
\begin{array}{rcll}\overrightarrow{PT} &= \overrightarrow{QR} \\[5pt]\end{array}
Der vierte Eckpunkt des Quadrates $ PQRT $ besitzt die Koordinaten $ T(0 \mid 25 \mid 2). $
$\blacktriangleright$   Berechnung der Pyramidenhöhe bei einem Volumen von 416 VE
Zu einem gegebenem Volumen der Pyramide von $416 $ VE sollst du ihre Höhe berechnen. Dazu benötigst du die Formeln für die Berechnung des Volumens einer Pyramide
$ V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h$ $ V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h$
und die Berechnung des Flächeninhaltes $G$ der quadratischen Grundfläche mit Seitenlänge $a$
$ G = a^2.$ $ G = a^2.$
Berechne zuerst den Flächeninhalt des Quadrats und setze das Ergebnis in die Volumenformel ein, um die Höhe der Pyramide zu bestimmen. Den Vektor $ \overrightarrow{QR} $ hast du in der letzten Teilaufgabe schon berechnet.
\[ \left| \overrightarrow{QR} \right| = \sqrt{2^2 + 10^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 100 + 0} = \sqrt{104} \] \[ G = \left( \sqrt{104} \right)^2 = 104 \]
$G = \left( \sqrt{104} \right)^2 = 104 $
Das Quadrat besitzt die Seitenlänge $ a = \mid \overrightarrow{PQ} \mid = \mid \overrightarrow{QR} \mid = \mid \overrightarrow{TR} \mid = \mid \overrightarrow{PT} \mid = \sqrt{140} $ und die Grundfläche $ G = 104 $ FE. \begin{array}{rclc} V &=& \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \\[5pt] 416 &=& \dfrac{1}{3} \cdot 104 \cdot h \\[5pt] 1248 &=& 104 \cdot h & \scriptsize \mid \; : 104 \\[5pt] 12 &=& h \end{array}
Die Höhe der Pyramide mit einem Volumen von $416$ VE besitzt eine Höhe von $12 $ LE.
$\blacktriangleright$   Bestimmung der Koordinaten einer möglichen Spitze
Um eine mögliche Spitze $ S^* $ zu bestimmen, gehst du am besten vom einfachsten Fall aus, dass die Pyramide gerade ist. Denn dann liegt die Spitze $ S^* $ senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt $M$ der quadratischen Grundfläche $ PQRT. $ Für die Berechnung der Koordinaten von $M$ benötigst du die Formel für den Mittelpunkt einer Strecke mit den Endpunkten $ A(a_1 \mid a_2 \mid a_3) $ und $ B(b_1 \mid b_2 \mid b_3) $
$ M(m_1 \mid m_2 \mid m_3) = \left( \dfrac{a_1 + b_1}{2} \mid \dfrac{a_2 + b_2}{2} \mid \dfrac{a_3 + b_3}{2} \right) $ $ M(m_1 \mid m_2 \mid m_3) $= $\left( \dfrac{a_1 + b_1}{2} \mid \dfrac{a_2 + b_2}{2} \mid \dfrac{a_3 + b_3}{2} \right) $
oder in Vektorschreibweise
$ \overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \right). $ $ \overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2} \cdot \left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \right). $
Nach der Berechnung von $M$ muss du nur noch ihre dritte Koordinate mithilfe der Höhe $ h = 12 $ LE anpassen, um $S^*$ zu erhalten. \begin{array}{rcl} \overrightarrow{OM} &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left( \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OR} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left( \begin{pmatrix} -2 \cr 15 \cr 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 10 \cr 23 \cr 2 \end{pmatrix} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -2 + 10 \cr 15 + 23 \cr 2 + 2 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 8 \cr 38 \cr 4 \end{pmatrix} \\[5pt] %&=& \begin{pmatrix} dfrac{1}{2} \cdot 8 \cr dfrac{1}{2} \cdot 23 \cr dfrac{1}{2} \cdot 4 \end{pmatrix}\\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 4 \cr 19 \cr 2 \end{pmatrix} \end{array} Der Mittelpunkt der quadratischen Grundfläche besitzt die Koordinaten $ M(4 \mid 19 \mid 2) $ und folglich $ S^* $ die Koordinaten $ S^*(4 \mid 19 \mid 2 + 12) = S^*(4 \mid 19 \mid 14). $
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