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Aufgabe 1

Aufgaben
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Aufgabe 1

1.1
Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion $4.$ Grades ist symmetrisch zur $y$-Achse. Es hat im Punkt $H(-1 \mid 3)$ eine waagrechte Tangente und schneidet die $y$-Achse bei $-4,5$.
Bestimmen Sie den Funktionsterm.
(6P)
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=-\frac{1}{12}x^4+\frac{3}{2}x²-5, x\in\mathbb{R}$. Ihr Schaubild ist $K_f$.
1.2
Gib die Koordinaten der Extrempunkte von $K_f$ an.
Berechne die exakte Gleichung einer der beiden Wendetangenten.
Zeichne $K_f$ und diese Wendetangente.
(10P)
1.3
$K_f$ und die $x$-Achse begrenzen drei Teilflächen.
Bestimme den Flächeninhalt der größten Teilfläche mit Hilfe einer Stammfunktion.
(4P)
Gegeben ist die Funktion $g$ mit $g(x)=e^x-4, x\in\mathbb{R}$. Ihr Schaubild ist $K_g$.
1.4
Die Gerade $x=u$ schneidet für $-4\leq u\leq-1$ die beiden Schaubilder $K_f$ und $K_g$ in den Punkten $P$ und $Q$.
Für welchen Wert von $u$ ist der Abstand der Punkte $P$ und $Q$ maximal?
Gib den maximalen Abstand an.
(4P)
1.5
Gegeben ist die Funktion $h$ mit $h(x)=a \cdot e^{-x}+b$ mit $a,b,x\in\mathbb{R}$ und $a\neq0$. Gib jeweils Werte für $a$ und $b$ an, so dass …
(1) … die Funktion $h$ monoton steigt.
(2) … das Schaubild von $h$ durch genau zwei Quadranten verläuft.
(3) … die Gerade $y=2$ waagrechte Asymptote des Schaubildes von $h$ ist.
Gibt es Werte für $a$ und $b$, für die alle Bedingungen (1) bis (3) gleichzeitig erfüllt sind?
Gib diese Werte gegebenenfalls an.
(6P)
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Tipps
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Aufgabe 1.1

$\blacktriangleright$   Funktionsterm anhand von Eigenschaften des Schaubildes bestimmen
Deine Aufgabe besteht darin, aus verschiedenen Angaben im Text den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion vierten Grades zu bestimmen. Die allgemeine Form des Terms einer solchen Funktion $f$ ist z. B.
$ f(x) = a \cdot x^4 + b \cdot x^3 + c \cdot x^2 + d \cdot x + e $ $ f(x) = a \cdot x^4 + b \cdot x^3 + c \cdot x^2 + d \cdot x + e $
für jedes $ x \in \mathbb{R} $ und unbekannten reellen Parametern $ a, \; b, \; c, \; d $ und $e.$ Du stellst zunächst alle Bedingungen auf, die du den Angaben aus dem Text entnehmen kannst, um die fünf unbekannten Größen zu ermitteln.
Du weisst Folgendes über das Schaubild der Funktion:
  1. Es ist symmetrisch zur $y$–Achse.
  2. Es hat im Punkt $ H \left( -1 \mid 3 \right) $ eine waagerechte Tangente.
  3. Es schneidet die $y$–Achse bei $-4,5.$
Schaue zunächst in der Formelsammlung nach, was es bedeutet, wenn ein Schaubild symmetrisch zur $y$–Achse ist. Im Funktionsterm können nur Exponenten von $x$ vorkommen, die gerade sind. Deshalb muss $ b = d = 0 $ gelten. Schreibe nun den vereinfachten Funktionsterm auf.
Kontrollergebnis: Der vereinfachte Funktionsterm ist $ f(x) = a \cdot x^4 + c \cdot x^2 + e. $
Versuche, jede weitere Information in eine Gleichung zu übersetzen. Berücksichtige dabei:
Der Punkt $ H \left( -1 \mid 3 \right) $ liegt auf dem Schaubild.
Das Schaubild besitzt an der Stelle eine waagerechte Tangente, d. h. die Steigung ist dort Null.
Das Schaubild schneidet die $y$–Achse bei $-4,5.$ Der zugehörige $x$–Wert ist dort Null.
Schreibe nun die drei Gleichungen mithilfe von $\boldsymbol{f}$ und $\boldsymbol{f'}$ auf.
Kontrollergebnis:
  1. $ \, \boldsymbol{f(-1) = 3} $
  2. $ \boldsymbol{f'(-1) = 0.}$
  3. $ \, \boldsymbol{f(0) = -4,5.}$
Um weitermachen zu können, musst du also die Ableitungsfunktion von $f$ berechnen.
Kontrollergebnis: $ f'(x) = 4 \cdot a \cdot x^3 + 2 \cdot c \cdot x$
Übertrage diese Zuordnungen in ein Gleichungssystem, das aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten besteht, und vereinfache es.
Die vereinfachte Form des linearen Gleichungssystems lässt sich nun schriftlich oder mit dem GTR lösen:
\[ \begin{array}{rcl|crcrcrcrcll} f(-1) &=& 3 & & a &+& c &+& e &=& 3 \\ f'(-1) &=& 0 & & -4 \cdot a &-& 2 c & & &=& 0 \\ f(0) &=& -4,5 & & & & & & e &=& -4,5 \\ \hline \end{array} \]
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
Die Lösungen kannst du mit dem GTR von CASIO durch Eingabe des Gleichungssystems im Menü EQUA–Lineares Gleichungssystem–3 Unbekannte berechnen lassen.
Die Lösungen mithilfe des GTR von TI ermittelst du durch Eingabe des Gleichungssystems als $(3 \times 4)$–Matrix $A$ und Umformung dieser Matrix auf Diagonalgestalt. Der zugehörige Tastaturaufruf ist
MATRIX $\to$ MATH $\to$ B: rref $\to$ MATRIX A $\to$ ENTER $\to$ Eingabe ) $\to$ ENTER. MATRIX $\to$ MATH $\to$ B: rref $\to$ MATRIX A $\to$ ENTER $\to$ Eingabe ) $\to$ ENTER.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Das obige lineare Gleichungssystems lässt sich für die schriftliche Berechnung weiter vereinfachen, weil aus der dritten Gleichung $ e = -4,5 $ in die erste Gleichung eingesetzt werden kann:
\[ \begin{array}{rcrcrcrcll} \text{I} &:& a &+& c &-& 4,5 &=& 3 & \scriptsize\mid\;\text{Rechne: } +4,5 \\ \text{II} &:& -4a &-& 2c & & &=& 0 & \scriptsize\mid\;\text{Rechne: } :2\\ \hline \end{array} \] Du erhältst ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, das du z. B. mit dem Additionsverfahren lösen kannst.

Aufgabe 1.2

$\blacktriangleright$   Extrempunkte von $\boldsymbol{K_f}$ angeben
Die Extrempunkte eines Schaubildes können mit dem GTR oder durch schriftliche Rechnung ermittelt werden: Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Im Graph–Menü des CASIO kannst du den Funktionsterm von $f$ eingeben, dir das Schaubild anzeigen und dir mit
G–SOLV–MAX bzw. G–SOLV–MIN G–SOLV–MAX bzw. G–SOLV–MIN
die Extrempunkte ausgeben lassen.
Im Graph–Menü von TI kannst du den Funktionsterm von $f$ eingeben und anhand des Schaubildes vermuten, wo die Minimalstelle liegen könnte. Mithilfe des CALCULATE–Menüs und durch die Eingabe der Grenzen $-3$ und $3$ für den Suchbereich erhältst du durch die Tastenfolge
CALC $\to$ 3: $\to$ minimum $\to -1 \to 1 \to$ ENTER CALC $\to$ 3: $\to$ minimum $\to -1 \to 1 \to$ ENTER
den Tiefpunkt bzw. durch
CALC $\to$ 4: maximum $\to -4 \to -2 \to$ ENTER CALC $\to$ 4: maximum $\to -4 \to -2 \to$ ENTER
den ersten Hochpunkt.
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
Das Schaubild $K_f$ soll auf Hoch- und Tiefpunkte untersucht werden, d. h. du sollst die Funktion $f$ auf Extremstellen untersuchen. An einer Extremstelle liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_f$ vor und die Ableitungsfunktion $f'$ wechselt das Vorzeichen. Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktion $f$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0) \neq 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt die erste Ableitung der Funktion $f$ und untersuche diese auf Nullstellen. Verwende für die Nullstellenberechnung den Satz vom Nullprodukt: Er besagt, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Gilt dann $\boldsymbol{f''(x_0) < 0,}$ so handelt es sich um einen Hochpunkt, gilt $\boldsymbol{f''(x_0) > 0}$, so liegt ein Tiefpunkt vor.
1. Schritt: Ableitungen der Funktion $\boldsymbol{f}$ bestimmen
Kontrollergebnis: \begin{align*} f(x) &= -\dfrac{1}{12} \cdot x^4 + \dfrac{3}{2} \cdot x^2 - 5 \\[5pt] f'(x) &= -\dfrac{1}{3} \cdot x^3 + 3 \cdot x \\[5pt] f''(x) &= -x^2 + 3 \end{align*}
2. Schritt: 1. (notwendige) Bedingung überprüfen
Für eine mögliche Extremstelle muss die erste Bedingung $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$ erfüllt sein.
Kontrollergebnis:
Die Stellen $\boldsymbol{x_1=0}$ und $\boldsymbol{x_2=-3}$ und $\boldsymbol{x_3=3}$ sind mögliche Extremstellen. Um herauszufinden, ob diese tatsächlich Extremstellen sind und von welcher Art diese sind, kannst du die zweite Bedingung überprüfen:
3. Schritt: 2. (hinreichende) Bedingung überprüfen
Damit eine mögliche Extremstelle tatsächlich Extremstelle ist, sollst du die Ungleichung $\boldsymbol{f''(x_0) \neq 0}$ prüfen. Du setzt also jeweils die ermittelten Stellen $x_1=0$ und $x_2=-3$ sowie $x_3=3$ in den Term der zweiten Ableitung ein und berechnest den Funktionswert. Wenn ein Extrempunkt vorliegt, setzt du die Stelle in den Funktionsterm $f(x)$ ein, um seine $y$–Koordinate zu berechnen.
$\blacktriangleright$   Exakte Gleichungen der Wendetangenten berechnen
Das Schaubild sollst du auf exakte Wendepunkte untersuchen, d. h. du sollst die Funktion $f'$ auf Extremstellen untersuchen, um die exakten Gleichungen der Wendetangenten berechnen zum können.
An einer Extremstelle liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_{f'}$ vor und die Ableitungsfunktion $f''$ wechselt das Vorzeichen.
Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktion $f'$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f'''(x_0) \neq 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt noch zusätzlich die dritte Ableitung der Funktion $f$ und untersuche $f''$ auf Nullstellen. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Wenn sie erfüllt ist, so handelt es sich um einen Wendepunkt. Um seine vollständigen Koordinaten zu ermitteln, berechnest du die $y$–Koordinate durch Einsetzen von $x_0$ in den Funktionsterm und berechnen des Funktionswertes.
1. Schritt: 3. Ableitung der Funktion $\boldsymbol{f}$ bestimmen
Kontrollergebnis: \begin{align*} f'''(x) &= -2 \cdot x \end{align*}
2. Schritt: 1. (notwendige) Bedingung überprüfen
Für eine mögliche Wendestelle muss die notwendige Bedingung $\boldsymbol{f''(x_0)=0}$ erfüllt sein.
Kontrollergebnis: Die Stellen $\boldsymbol{x_1=-\sqrt{3}}$ und $\boldsymbol{x_2=\sqrt{3}}$ sind mögliche Wendestellen. Um herauszufinden, ob diese tatsächlich Wendestellen sind, kannst du die hinreichende Bedingung überprüfen:
3. Schritt: 2. (hinreichende) Bedingung überprüfen
Damit eine mögliche Wendestelle tatsächlich Wendestelle ist, sollst du die Ungleichung $\boldsymbol{f'''(x_0) \neq 0}$ prüfen. Du setzt also jeweils die ermittelten Stellen $x_1=-\sqrt{3}$ und $x_2=\sqrt{3}$ in den Term der dritten Ableitung ein und berechnest den Funktionswert. Wenn ein Wendepunkt vorliegt, setzt du die Stelle in den Funktionsterm $f(x)$ ein, um seine $y$–Koordinate zu berechnen.
4. Schritt: Gleichung der Wendetangente aufstellen
Jetzt kannst du die exakten Gleichungen der Wendetangenten berechnen. Hierfür benötigst du die Formel für die Gleichung der Tangenten in einem Punkt $(x_0 \mid f(x_0)) $ des Schaubildes einer Funktion $f:$
$ t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0).$ $ t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0).$
In dieser Aufgabe ist $x_0 =\pm \sqrt{3},$ d. h. du musst noch die Werte $f'(\pm \sqrt{3})$ berechnen und sie anschließend in die Formel einsetzen. Löse abschließend die Klammern auf, um die Tangentengleichung in der Form $ y = m \cdot x + b $ zu erhalten.
Hinweis: Es ist laut Aufgabenstellung ausreichend, nur eine Gleichung anzugeben und zu zeichnen.
$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_f}$ und Wendetangenten zeichnen
Wenn du ein Schaubild zeichnen willst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte $y=f(x)$ die Funktion $f$ in Abhängigkeit von $x$ annimmt. Für die gegebene Funktion $f$ ist eine Darstellung z. B. im Bereich $ -4,5 \leq x \leq 4,5 $ und $ -8 \leq y \leq 2 $ sinnvoll, weil das Wesentliche des Schaubildes dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit entspricht 1 cm.

Aufgabe 1.3

$\blacktriangleright$   Inhalt der größten Fläche mit Hilfe einer Stammfunktion berechnen, die von $\boldsymbol{K_f}$ und der $\boldsymbol{x}$–Achse eingeschlossen wird
Deine Aufgabe ist es, mithilfe einer Stammfunktion den Flächeninhalt der größten Fläche zu berechnen, die von $\boldsymbol{K_f}$ und der $\boldsymbol{x}$–Achse eingeschlossen wird. Die Integralrechnung hilft dir bei der Berechnung. Dazu musst du in der Integralformel für Flächeninhalte
$ A = -\displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = \left| \, \displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x \, \right| $ $ A = -\displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = \left| \, \displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x \, \right| $
überlegen, wie die Untergrenze $a$ und $b$ zu wählen sind. Beachte das Minuszeichen vor dem Integral, denn die Fläche liegt unterhalb der $x$–Achse, so dass das Integral einen negativen Wert ergeben wird. Alternativ kannst du den Betrag des Integralwertes berechnen.
Der Zeichnung kannst du entnehmen, dass $ a \approx -2 $ ist und $ b \approx 2 $ die Nullstellen von $f$ sind. Sie lassen sich mit dem GTR oder exakt berechnen.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
Zeichne im Graph–Menü das Schaubild, ermittle die Nullstellen von $f$ und anschließend den Flächeninhalt zwischen dem Schaubild und der $x$–Achse in den Grenzen. Rufe im GTR von CASIO das Untermenü mit
G–SOLV–ROOT G–SOLV–ROOT
auf.
Im GTR von TI rufst du nach Eingabe des Funktionsterms das Untermenü mit
CALC $\to$ 2: zero $\to$ ENTER CALC $\to$ 2: zero $\to$ ENTER
auf. Du wirst aufgefordert, z. B. die linke Nullstelle einzugrenzen. Weil sie zwischen $-3$ und $-1$ liegt, kannst du diese Werte für die Begrenzung eingeben.
Kontrollergebnis
$ x_1 \approx -2,1 $ und $ x_2 \approx 2,1 $ sind die Nullstellen.
Um den Flächeninhalt zu berechnen, gib die Tastenfolge
G–SOLV $\to$ F6 $\to \displaystyle \int $ dx $\to$ Eingabe $-2,1$ $\to$ Eingabe 2,1 $\to$ EXE G–SOLV $\to$ F6 $\to \displaystyle \int $ dx $\to$ Eingabe $-2,1$ $\to$ Eingabe 2,1 $\to$ EXE
in den GTR von CASIO ein.
Beim GTR von TI benutzt du die Tastenfolge
CALC $\to 7: \displaystyle \int $ f(x) dx $\to$ ENTER $\to$ Eingabe 0 $\to$ ENTER $\to$ Eingabe 1 $\to$ ENTER CALC $\to 7: \displaystyle \int $ f(x) dx $\to$ ENTER $\to$ Eingabe 0 $\to$ ENTER $\to$ Eingabe 1 $\to$ ENTER
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
Die Nullstellen können exakt mithilfe der Substitution $ z = x^2 $ und der Lösungsformel berechnet werden.
Du sollst den Flächeninhalts $A = -\mathop {\int}\limits_{x_1}^{x_2} f(x) \, \mathrm{d}x$ mithilfe einer Stammfunktion berechnen. Zu ihrer Bestimmung verwendest du die Formel für die Stammfunktion $G$ einer Funktion $g$ mit $g(x) = x^r \, (r \neq-1) $
$ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}. $ $ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}. $
Stelle nun den Term der Stammfunktion $F$ von $f$ auf und setze $x_2$ und $x_1$ in $F(x)$ ein. Verwende dazu den GTR.

Aufgabe 1.4

$\blacktriangleright$   Abstand zwischen den Punkten $\boldsymbol{P}$ und $\boldsymbol{Q}$ zweier Schaubilder maximieren
Deine Aufgabe ist es, den Wert $u$ mit $-4 \leq u \leq -1$ für die längste Strecke zwischen den Punkten $P$ auf $K_f$ und $Q$ auf der Geraden $ x = u $ zu berechnen.
1. Schritt: Streckenlänge herleiten
Um eine Vorstellung von dieser Strecke zu erhalten, fertige dir zunächst eine Skizze des Schaubildes $K_f$ und der Geraden $ x = u $ an und wähle als festen Wert für $u$ z. B. $u=-3.$ Zeichne die Punkte $P$ und $Q$ ein und verbinde die Punkte miteinander. Berechne diese spezielle Streckenlänge.
Aufgabe 1
[Abb. 8]: Skizze mit Strecke $\overline{PQ}$
Aufgabe 1
[Abb. 8]: Skizze mit Strecke $\overline{PQ}$
Wegen $ f(-3) = 1,75 $ und $ g(-3) = \mathrm{e}^{-3} - 4 \approx -3,95 $ sind die Koordinaten der Punkte $Q(-3 \mid 1,75)$ und $P(-3 \mid -3,95)$ und die Streckenlänge ist \[ L = \overline{PQ} = y_P - y_Q \approx 1,75 - (-3,95) = 5,70. \]
2. Schritt: Streckenlänge berechnen
Bestimme die Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$ in Abhängigkeit von $u$ und berechne anschließend die Strecklenlänge in Abhängigkeit von $u.$ Verwende dabei die folgenden Formeln:
Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{PQ} = y_P - y_Q, \; $ wenn $P$ oberhalb von $Q$ liegt Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{PQ} = y_P - y_Q, \; $ wenn $P$ oberhalb von $Q$ liegt
Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{PQ} = y_Q - y_P, \; $ wenn $P$ unterhalb von $Q$ liegt Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{PQ} = y_Q - y_P, \; $ wenn $P$ unterhalb von $Q$ liegt
Beachte dabei, dass für $-4 \leq u \leq -1$ der Punkt $P$ mal oberhalb, mal unterhalb von $Q$ liegen kann. Bestimme also zusätzlich mit dem GTR die Schnittstellen von $K_f$ und der Geraden und stelle dann die zugehörigen Formeln auf.
Kontrollergebnis:
Die Schnittstellen sind $ x_1 \approx -4,15 $ und $ x_2 \approx -0,98. $
Wegen $ -4,15 < -4 $ und $ -1 <-0,98 $ liegt das Schaubild von $f$ im Bereich $-4 \leq u \leq -1$ vollständig oberhalb des Schaubildes von $K_g.$ Um die Stelle $u$ mit der längsten Strecke zu bestimmen, gibt es nur eine Möglichkeit:
Verwendung des GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018
Verwende im RUN–Menü des GTR von CASIO die Maximierungs–Funktion: Sie wird durch die Tastenfolge
OPTN $\to$ CALC $\to$ F6 $\to$ FMax(Funktionsterm,Untergrenze, Obergrenze) OPTN $\to$ CALC $\to$ F6 $\to$ FMax(Funktionsterm,Untergrenze, Obergrenze)
aufrufen kannst.
Verwende beim GTR von TI die entsprechende Maximierungs–Funktion:
MATH 7: fmax(Funktionsterm,Variable,Untergrenze, Obergrenze) MATH 7: fmax(Funktionsterm,Variable,Untergrenze, Obergrenze)
Sie verlangt die Eingabe der zu maxmierenden Funktion in Abhängigkeit von $x$ und die untere Grenze $-4$ sowie die obere Grenze $-1$. Sie berücksichtigt automatisch auch die Vergleichswerte an den Rändern für $u=-4$ und $u=-1$.
Untersuche nun die Funktion $l_1(u)$ im Intervall von $[-4; \; -1]. $

Aufgabe 1.5

$\blacktriangleright$   Parameter einer exponentiellen Funktion angeben, die eine bestimmte Eigenschaft besitzt
Ausgehend von der Funktion $h$ mit $h(x)=a \cdot e^{-x}+b$ mit $a, b, x\in\mathbb{R}$ und $a\neq0$ sollst du jeweils Werte für $a$ und $b$ angeben, so dass …
(1) … die Funktion $h$ monoton steigt.
(2) … das Schaubild von $h$ durch genau zwei Quadranten verläuft.
(3) … die Gerade $y=2$ waagrechte Asymptote des Schaubildes von $h$ ist.
Die Wahl der Parameter passend zu den Eigenschaften fällt dir leichter, wenn du dir ein paar Eigenschaften der natürlichen Exponentialfunktion z. B. mithilfe der Formelsammlung noch mal vor Augen führst:
Aufgabe 1
[Abb. 10]: Schaubild der Exponentialfunktion $e^{-x}$
Aufgabe 1
[Abb. 10]: Schaubild der Exponentialfunktion $e^{-x}$
  1. Das Schaubild der Funktion $e^x$ ist streng monoton monoton steigend und verläuft vollständig oberhalb der $x$–Achse.
  2. Das Schaubild der Funktion $e^{-x}$ ist streng monoton monoton fallend und verläuft vollständig oberhalb der $x$–Achse.
  3. Das Schaubild der Funktion $a \cdot e^{-x}$ wird durch den Parameter $a$ gestreckt oder gestaucht. Bei negativem Wert von $a$ wird es an der $x$–Achse gespiegelt und ist dann streng monoton steigend.
  4. Das Schaubild der Funktion $a \cdot e^{-x}$ wird durch den Parameter $b$ in Richtung der $y$–Achse nach oben ($ b > 0$) bzw. nach unten ($ b < 0$) verschoben.
  5. Die Gerade $y=b$ ist die waagrechte Asymptote des Schaubildes von $h.$
  6. Das Schaubild von $h$ ist streng monoton steigend, wenn $ h'(x) > 0 $ für alle $ x\in\mathbb{R}$ gilt.
Gib nun die passenden Werte für die Parameter an.
$\blacktriangleright$   Parameter einer exponentiellen Funktion ggf. angeben, die alle drei Eigenschaften besitzt
Prüfe anhand der Antworten aus der letzten Teilaufgabe, ob alle drei Eigenschaften des Schaubildes $h$ für geeignete Parameter $ a $ und $ b $ erfüllt sein können.
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Aufgabe 1.1

$\blacktriangleright$   Funktionsterm anhand von Eigenschaften des Schaubildes bestimmen
Deine Aufgabe besteht darin, aus verschiedenen Angaben im Text den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion vierten Grades zu bestimmen. Die allgemeine Form des Terms einer solchen Funktion $f$ ist z. B.
$ f(x) = a \cdot x^4 + b \cdot x^3 + c \cdot x^2 + d \cdot x + e $
für jedes $ x \in \mathbb{R} $ und unbekannten reellen Parametern $ a, \; b, \; c, \; d $ und $e.$ Du stellst zunächst alle Bedingungen auf, die du den Angaben aus dem Text entnehmen kannst, um die fünf unbekannten Größen zu ermitteln.
Du weisst Folgendes über das Schaubild der Funktion:
  1. Es ist symmetrisch zur $y$–Achse.
  2. Es hat im Punkt $ H \left( -1 \mid 3 \right) $ eine waagerechte Tangente.
  3. Es schneidet die $y$–Achse bei $-4,5.$
Schaue zunächst in der Formelsammlung nach, was es bedeutet, wenn ein Schaubild symmetrisch zur $y$–Achse ist. Im Funktionsterm können nur Exponenten von $x$ vorkommen, die gerade sind. Deshalb muss $ b = d = 0 $ gelten. Schreibe nun den vereinfachten Funktionsterm auf.
Kontrollergebnis: Der vereinfachte Funktionsterm ist $ f(x) = a \cdot x^4 + c \cdot x^2 + e. $
Versuche, jede weitere Information in eine Gleichung zu übersetzen. Berücksichtige dabei:
Der Punkt $ H \left( -1 \mid 3 \right) $ liegt auf dem Schaubild.
Das Schaubild besitzt an der Stelle eine waagerechte Tangente, d. h. die Steigung ist dort Null.
Das Schaubild schneidet die $y$–Achse bei $-4,5.$ Der zugehörige $x$–Wert ist dort Null.
Schreibe nun die drei Gleichungen mithilfe von $\boldsymbol{f}$ und $\boldsymbol{f'}$ auf.
Kontrollergebnis:
  1. $ \, \boldsymbol{f(-1) = 3} $
  2. $ \boldsymbol{f'(-1) = 0.}$
  3. $ \, \boldsymbol{f(0) = -4,5.}$
Um weitermachen zu können, musst du also die Ableitungsfunktion von $f$ berechnen.
Kontrollergebnis: $ f'(x) = 4 \cdot a \cdot x^3 + 2 \cdot c \cdot x$
Übertrage diese Zuordnungen in ein Gleichungssystem, das aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten besteht, und vereinfache es.
Gleichungssystem:
\[ \begin{array}{rcl|crcrcrcrcll} f(-1) &=& 3 & & a \cdot (-1)^4 &+& c \cdot (-1)^2 &+& e &=& 3 \\ f'(-1) &=& 0 & & 4 \cdot a \cdot (-1)^3 &+& 2 \cdot c \cdot (-1) & & &=& 0 \\ f(0) &=& -4,5 & & a \cdot 0^4 &+& c \cdot 0^2 &+& e &=& -4,5 \\ \hline \end{array} \]
Die vereinfachte Form des linearen Gleichungssystems lässt sich nun schriftlich oder mit dem GTR lösen:
\[ \begin{array}{rcl|crcrcrcrcll} f(-1) &=& 3 & & a &+& c &+& e &=& 3 \\ f'(-1) &=& 0 & & -4 \cdot a &-& 2 c & & &=& 0 \\ f(0) &=& -4,5 & & & & & & e &=& -4,5 \\ \hline \end{array} \]
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
Die Lösungen kannst du mit dem GTR durch Eingabe des Gleichungssystems als $(4 \times 5)$–Matrix $A$ und Umformung dieser Matrix auf Diagonalgestalt ermitteln. Der zugehörige Tastaturaufruf ist
MATRIX $\to$ MATH $\to$ B: rref $\to$ MATRIX A $\to$ ENTER $\to$ Eingabe ) $\to$ ENTER. MATRIX $\to$ MATH $\to$ B: rref $\to$ MATRIX A $\to$ ENTER $\to$ Eingabe ) $\to$ ENTER.
Aufgabe 1
[Abb. 1]: Eingabe des LGS
Aufgabe 1
[Abb. 1]: Eingabe des LGS
Aufgabe 1
[Abb. 2]: Ergebnis des LGS
Aufgabe 1
[Abb. 2]: Ergebnis des LGS
Die Lösung des Gleichungssystems ist $ a = -\frac{15}{2}, \; c = 15 $ und $ e = -4,5.$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Das obige lineare Gleichungssystems lässt sich für die schriftliche Berechnung weiter vereinfachen, weil aus der dritten Gleichung $ e = -4,5 $ in die erste Gleichung eingesetzt werden kann:
\[ \begin{array}{rcrcrcrcll} \text{I} &:& a &+& c &-& 4,5 &=& 3 & \scriptsize\mid\;\text{Rechne: } +4,5 \\ \text{II} &:& -4a &-& 2c & & &=& 0 & \scriptsize\mid\;\text{Rechne: } :2\\ \hline \end{array} \] Du erhältst ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten: \[ \begin{array}{rcrcrcrcll} \text{IV} &:& a &+& c &=& 7,5 & \scriptsize\mid\;\text{Rechne: } \text{IV}+\text{V}\\ \text{V} &:& -2a &-& c &=& 0 &\\ \hline \end{array} \]
und daraus $ -a = 7,5 $ bzw. $ a = -7,5 $. Durch Einsetzen von $a$ z. B. in die Gleichung I folgt $ -7,5 + c = 7,5 $ und $ c = 15. $
Der Funktionsterm der Funktion $ f $ ist $ f(x) = -7,5 \cdot x^4 + 15 \cdot x^2 - 4,5 = -\frac{15}{2} \cdot x^4 + 15 \cdot x^2 - 4,5 .$

Aufgabe 1.2

$\blacktriangleright$   Extrempunkte von $\boldsymbol{K_f}$ angeben
Die Extrempunkte eines Schaubildes können mit dem GTR oder durch schriftliche Rechnung ermittelt werden: Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Im Graph–Menü kannst du den Funktionsterm von $f$ eingeben und anhand des Schaubildes vermuten, wo die Minimalstelle liegen könnte. Mithilfe des CALCULATE–Menüs und durch die Eingabe der Grenzen $-1$ und $1$ für den Suchbereich erhältst du durch die Tastenfolge
CALC $\to$ 3: $\to$ minimum $\to -1 \to 1 \to$ ENTER CALC $\to$ 3: $\to$ minimum $\to -1 \to 1 \to$ ENTER
den Tiefpunkt bzw. durch
CALC $\to$ 4: maximum $\to -4 \to 4 \to$ ENTER CALC $\to$ 4: maximum $\to -4 \to 4 \to$ ENTER
z. B. den linken Hochpunkt ausgegeben.
Aufgabe 1
[Abb. 3]: Berechnung des linken Hochpunktes
Aufgabe 1
[Abb. 3]: Berechnung des linken Hochpunktes
Aufgabe 1
[Abb. 4]: Berechnung des rechten Hochpunktes
Aufgabe 1
[Abb. 4]: Berechnung des rechten Hochpunktes
Aufgabe 1
[Abb. 5]: Berechnung des Tiefpunktes
Aufgabe 1
[Abb. 5]: Berechnung des Tiefpunktes
Die Koordinaten der Extrempunkte sind $ H_1(-3 \mid 1,75), \, H_2(3 \mid 1,75) $ und $ T(0 \mid 5).$
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
Das Schaubild $K_f$ soll auf Hoch- und Tiefpunkte untersucht werden, d. h. du sollst die Funktion $f$ auf Extremstellen untersuchen. An einer Extremstelle liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_f$ vor und die Ableitungsfunktion $f'$ wechselt das Vorzeichen. Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktion $f$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0) \neq 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt die erste Ableitung der Funktion $f$ und untersuche diese auf Nullstellen. Verwende für die Nullstellenberechnung den Satz vom Nullprodukt: Er besagt, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Gilt dann $\boldsymbol{f''(x_0) < 0,}$ so handelt es sich um einen Hochpunkt, gilt $\boldsymbol{f''(x_0) > 0}$, so liegt ein Tiefpunkt vor.
1. Schritt: Ableitungen der Funktion $\boldsymbol{f}$ bestimmen
\begin{align*} f(x) &= -\dfrac{1}{12} \cdot x^4 + \dfrac{3}{2} \cdot x^2 - 5 \\[5pt] f'(x) &= -\dfrac{1}{12} \cdot 4 \cdot x^3 + \dfrac{3}{2} \cdot 2 \cdot x^1 - 0 \\[5pt] &= -\dfrac{1}{3} \cdot x^3 + 3 \cdot x \\[5pt] f''(x) &= -\dfrac{1}{3} \cdot 3 \cdot x^2 + 3 \cdot 1 \\[5pt] &= -x^2 + 3 \end{align*}
2. Schritt: 1. (notwendige) Bedingung überprüfen
Für eine mögliche Extremstelle muss die erste Bedingung $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$ erfüllt sein.
\begin{array}{rcll} f'(x) &=& 0 \\ -\dfrac{1}{3} \cdot x^3 + 3 \cdot x \ &=& 0 & \mid \; \scriptsize \text{Ausklammern} \\[5pt] x \cdot (-\dfrac{1}{3} \cdot x^2 + 3) &=& 0 & \mid \; \scriptsize \text{Satz vom Nullprodukt} \\[5pt] -\dfrac{1}{3} \cdot x^2 + 3 &=& 0 & \mid \; \scriptsize -3 \\[5pt] -\dfrac{1}{3} \cdot x^2 &=& -3 & \mid \; \scriptsize \cdot \; (-3) \\[5pt] x^2 &=& 9 & \mid \; \scriptsize \sqrt{\;} \\[5pt] x &=& \pm 3 \end{array}
Die Anwendung des Satzes vom Nullprodukt zeigt dir, dass $x_1=0$ (1. Faktor) eine Lösung der Gleichung ist, während das Nullsetzen zweiten Faktors $-\frac{1}{3} \cdot x^2 + 3$ und die folgenden Umformungen auf die zwei weiteren Nullstellen führen.
Die Stellen $\boldsymbol{x_1=0}$ und $\boldsymbol{x_2=-3}$ und $\boldsymbol{x_3=3}$ sind mögliche Extremstellen. Um herauszufinden, ob diese tatsächlich Extremstellen sind und von welcher Art diese sind, kannst du die zweite Bedingung überprüfen:
3. Schritt: 2. (hinreichende) Bedingung überprüfen
Damit eine mögliche Extremstelle tatsächlich Extremstelle ist, sollst du die Ungleichung $\boldsymbol{f''(x_0) \neq 0}$ prüfen. Du setzt also jeweils die ermittelten Stellen $x_1=0$ und $x_2=-3$ sowie $x_3=3$ in den Term der zweiten Ableitung ein und berechnest den Funktionswert. Wenn ein Extrempunkt vorliegt, setzt du die Stelle in den Funktionsterm $f(x)$ ein, um seine $y$–Koordinate zu berechnen.
Wegen $ f''(0) = -0^2 + 3 = 3 > 0 $ liegt in $x_1=0$ eine Minimalstelle vor. Das Einsetzen in den Funktionsterm von $f$ liefert die vollständigen Koordinaten des Tiefpunktes: \[ f(0) = -\dfrac{1}{12} \cdot 0^4 + \dfrac{3}{2} \cdot 0^2 - 5 = -5 \] Der Tiefpunkt hat somit die Koordinaten $ T(0 \mid -5).$
Die Berechnung für die zwei weiteren möglichen Extremstellen ergibt \[ f''(\pm 3) = -(\pm 3)^2 + 3 = -9 + 6 = -3 < 0 \] Also liegen in $x_2=-3$ sowie $x_3=3$ Maximalstellen vor. Wegen \begin{align*} f(\pm 3) &= -\dfrac{1}{12} \cdot (\pm 3)^4 + \dfrac{3}{2} \cdot (\pm 3)^2 - 5 \\[5pt] &= -\dfrac{1}{12} \cdot 81 + \dfrac{3}{2} \cdot 9 - 5 \\[5pt] &= -\dfrac{27}{4} + \dfrac{27}{2} - 5 \\[5pt] &= \dfrac{-27 + 54 - 20}{4} \\[5pt] &= \dfrac{7}{4} \end{align*} haben die Hochpunkte die Koordinaten $ H_1 \left(-3 \mid \dfrac{7}{4} \right) $ und $ H_2 \left(3 \mid \dfrac{7}{4} \right).$
Die Koordinaten aller Extrempunkte sind $ H_1(-3 \mid 1,75), \, H_2(3 \mid 1,75) $ und $ T(0 \mid 5).$
$\blacktriangleright$   Exakte Gleichungen der Wendetangenten berechnen
Das Schaubild sollst du auf exakte Wendepunkte untersuchen, d. h. du sollst die Funktion $f'$ auf Extremstellen untersuchen, um die exakten Gleichungen der Wendetangenten berechnen zum können.
An einer Extremstelle liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_{f'}$ vor und die Ableitungsfunktion $f''$ wechselt das Vorzeichen.
Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktion $f'$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f'''(x_0) \neq 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt noch zusätzlich die dritte Ableitung der Funktion $f$ und untersuche $f''$ auf Nullstellen. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Wenn sie erfüllt ist, so handelt es sich um einen Wendepunkt. Um seine vollständigen Koordinaten zu ermitteln, berechnest du die $y$–Koordinate durch Einsetzen von $x_0$ in den Funktionsterm und berechnen des Funktionswertes.
1. Schritt: 3. Ableitung der Funktion $\boldsymbol{f}$ bestimmen
\begin{align*} f'''(x) &= -2 \cdot x^1 + 0 \\[5pt] &= -2 \cdot x \end{align*}
2. Schritt: 1. (notwendige) Bedingung überprüfen
Für eine mögliche Wendestelle muss die notwendige Bedingung $\boldsymbol{f''(x_0)=0}$ erfüllt sein.
\begin{array}{rcll} f''(x) &=& 0 \\ -x^2 + 3 &=& 0 & \mid \; \scriptsize -3 \\[5pt] -x^2 &=& -3 & \mid \; \scriptsize \cdot \; (-1) \\[5pt] x^2 &=& 3 & \mid \; \scriptsize \sqrt{\;} \\[5pt] x &=& \pm \sqrt{3} \end{array}
Die Stellen $\boldsymbol{x_1=-\sqrt{3}}$ und $\boldsymbol{x_2=\sqrt{3}}$ sind mögliche Wendestellen. Um herauszufinden, ob diese tatsächlich Wendestellen sind, kannst du die hinreichende Bedingung überprüfen:
3. Schritt: 2. (hinreichende) Bedingung überprüfen
Damit eine mögliche Wendestelle tatsächlich Wendestelle ist, sollst du die Ungleichung $\boldsymbol{f'''(x_0) \neq 0}$ prüfen. Du setzt also jeweils die ermittelten Stellen $x_1=-\sqrt{3}$ und $x_2=\sqrt{3}$ in den Term der dritten Ableitung ein und berechnest den Funktionswert. Wenn ein Wendepunkt vorliegt, setzt du die Stelle in den Funktionsterm $f(x)$ ein, um seine $y$–Koordinate zu berechnen.
\begin{align*} f'''(\pm \sqrt{3}) &= 2 \cdot \left( \pm \sqrt{3} \right) \neq 0 \\[5pt] f(\sqrt{3}) &= -\dfrac{1}{12} \cdot \left( \sqrt{3} \right)^4 + \dfrac{3}{2} \cdot \left( \sqrt{3} \right)^2 - 5 \\[5pt] &= -\dfrac{1}{12} \cdot 9 + \dfrac{3}{2} \cdot 3 - 5 \\[5pt] &= -\dfrac{3}{4} + \frac{9}{2} - 5 \\[5pt] &= \dfrac{-3 + 18 - 20}{4} \\[5pt] &= -\frac{5}{4} \end{align*} Die exakten Koordinaten der Wendepunkte von $K_f$ sind $ W_1 \left( -\sqrt{3} \mid -\frac{5}{4} \right) $ und $ W_2 \left( \sqrt{3} \mid -\frac{5}{4} \right) $ bzw. $ W_1 ( -\sqrt{3} \mid -1,25) $ und $ W_2 ( \sqrt{3} \mid -1,25). $
4. Schritt: Gleichung der Wendetangente aufstellen
Jetzt kannst du die exakten Gleichungen der Wendetangenten berechnen. Hierfür benötigst du die Formel für die Gleichung der Tangenten in einem Punkt $(x_0 \mid f(x_0)) $ des Schaubildes einer Funktion $f:$
$ t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0). $ $ t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0). $
In dieser Aufgabe ist $x_0 =\pm \sqrt{3},$ d. h. du musst noch die Werte $f'(\pm \sqrt{3})$ berechnen und sie anschließend in die Formel einsetzen. Löse abschließend die Klammern auf, um die Tangentengleichung in der Form $ y = m \cdot x + b $ zu erhalten. \begin{align*} f'(-\sqrt{3}) &= -\dfrac{1}{3} \cdot (-\sqrt{3})^3 + 3 \cdot (-\sqrt{3}) \\[5pt] &= -\dfrac{1}{3} \cdot (-\sqrt{3})^2 \cdot (-\sqrt{3}) - 3 \cdot \sqrt{3} \\[5pt] &= -\dfrac{1}{3} \cdot 3 \cdot (-\sqrt{3}) - 3 \cdot \sqrt{3} \\[5pt] &= \sqrt{3} - 3 \cdot \sqrt{3} \\[5pt] &= - 2 \cdot \sqrt{3} \\[5pt] f'(\sqrt{3}) &= -\dfrac{1}{3} \cdot (\sqrt{3})^3 + 3 \cdot \sqrt{3} \\[5pt] &= -\dfrac{1}{3} \cdot (\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} \\[5pt] &= -\dfrac{1}{3} \cdot 3 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} \\[5pt] &= -\sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} \\[5pt] &= 2 \cdot \sqrt{3} \end{align*} Die Wendetangenten besitzen die Gleichungen: \begin{align*} t_1(x) &= f'(-\sqrt{3}) \cdot (x - (-\sqrt{3})) + f(-\sqrt{3}) \\[5pt] &= - 2 \sqrt{3} \cdot (x + \sqrt{3}) - 1,25 \\[5pt] &= - 2 \sqrt{3} \cdot x - 2 \cdot (\sqrt{3})^2 - 1,25 \\[5pt] &= - 2 \sqrt{3} \cdot x - 2 \cdot 3 - 1,25 \\[5pt] &= - 2 \sqrt{3} \cdot x - 6 - 1,25 \\[5pt] &= - 2 \sqrt{3} \cdot x - 7,25 \\[5pt] t_1(x) &= f'(\sqrt{3}) \cdot (x - \sqrt{3}) + f(\sqrt{3}) \\[5pt] &= 2 \sqrt{3} \cdot (x - \sqrt{3}) - 1,25 \\[5pt] &= 2 \sqrt{3} \cdot x - 2 \cdot (\sqrt{3})^2 - 1,25 \\[5pt] &= 2 \sqrt{3} \cdot x - 2 \cdot 3 - 1,25 \\[5pt] &= 2 \sqrt{3} \cdot x - 6 - 1,25 \\[5pt] &= 2 \sqrt{3} \cdot x - 7,25 \end{align*} Die Gleichung der Wendetangente $t_1$ an $K_f$ im Punkt $ W_1 ( -\sqrt{3} \mid -1,25) $ ist
$ t_1: y = -2\sqrt{3} \cdot x - \dfrac{25}{4} = -2\sqrt{3} \cdot x - 7,25$.
Die Gleichung der Wendetangente $t_2$ an $K_f$ im Punkt $ W_2 ( \sqrt{3} \mid -1,25) $ ist
$ t_2: y = 2\sqrt{3} \cdot x - \dfrac{25}{4} = 2\sqrt{3} \cdot x - 7,25$.
Hinweis: Es ist laut Augfgabenstellung ausreichend, nur eine Gleichung anzugeben und zu zeichnen.
$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_f}$ und Wendetangenten zeichnen
Wenn du ein Schaubild zeichnen willst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte $y=f(x)$ die Funktion $f$ in Abhängigkeit von $x$ annimmt. Für die gegebene Funktion $f$ ist eine Darstellung z. B. im Bereich $ -4,5 \leq x \leq 4,5 $ und $ -8 \leq y \leq 2 $ sinnvoll, weil das Wesentliche des Schaubildes dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit entspricht 1 cm.
Aufgabe 1
[Abb. 6]: Schaubild der Funktion $f$ mit Wendetangenten
Aufgabe 1
[Abb. 6]: Schaubild der Funktion $f$ mit Wendetangenten

Aufgabe 1.3

$\blacktriangleright$   Inhalt der größten Fläche mit Hilfe einer Stammfunktion berechnen, die von $\boldsymbol{K_f}$ und der $\boldsymbol{x}$–Achse eingeschlossen wird
Deine Aufgabe ist es, mithilfe einer Stammfunktion den Flächeninhalt der größten Fläche zu berechnen, die von $\boldsymbol{K_f}$ und der $\boldsymbol{x}$–Achse eingeschlossen wird. Die Integralrechnung hilft dir bei der Berechnung. Dazu musst du in der Integralformel für Flächeninhalte
$ A = -\displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = \left| \, \displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x \, \right| $
überlegen, wie die Untergrenze $a$ und $b$ zu wählen sind. Beachte das Minuszeichen vor dem Integral, denn die Fläche liegt unterhalb der $x$–Achse, so dass das Integral einen negativen Wert ergeben wird. Alternativ kannst du den Betrag des Integralwertes berechnen.
Der Zeichnung kannst du entnehmen, dass $ a \approx -2 $ ist und $ b \approx 2 $ die Nullstellen von $f$ sind. Sie lassen sich mit dem GTR oder exakt berechnen.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
Zeichne im Graph–Menü das Schaubild, ermittle die Nullstellen von $f$ und anschließend den Flächeninhalt zwischen dem Schaubild und der $x$–Achse in den Grenzen. Im GTR rufst du nach Eingabe des Funktionsterms das Untermenü mit
CALC $\to$ 2: zero $\to$ ENTER
CALC $\to$ 2: zero $\to$ ENTER
auf. Du wirst aufgefordert, z. B. die linke Nullstelle einzugrenzen. Weil sie zwischen $-3$ und $-1$ liegt, kannst du diese Werte für die Begrenzung eingeben.
Aufgabe 1
[Abb. 7]: Nullstelle der Funktion als Untergrenze
Aufgabe 1
[Abb. 7]: Nullstelle der Funktion als Untergrenze
Aufgabe 1
[Abb. 8]: Nullstelle der Funktion als Obergrenze
Aufgabe 1
[Abb. 8]: Nullstelle der Funktion als Obergrenze
$ x_1 \approx -2,1 $ und $ x_2 \approx 2,1 $ sind die Nullstellen.
Um den Flächeninhalt zu berechnen, gib im GTR die Tastenfolge
CALC $\to 7: \displaystyle \int $ f(x) dx $\to$ ENTER $\to$ Eingabe $-2,1$ $\to$ ENTER $\to$ Eingabe $2,1$ $\to$ ENTER CALC $\to 7: \displaystyle \int $ f(x) dx $\to$ ENTER $\to$ Eingabe $-2,1$ $\to$ ENTER $\to$ Eingabe $2,1$ $\to$ ENTER
ein.
Aufgabe 1
[Abb. 9]: Berechnung des Flächeninhalts
Aufgabe 1
[Abb. 9]: Berechnung des Flächeninhalts
Ergebnis: $ A = -\mathop {\int}\limits_{-2,1}^{2,1} f(x) \, \mathrm{d}x \approx -(-13,1) = 13,1. $
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
Die Nullstellen können exakt mithilfe der Substitution und der Lösungsformel berechnet werden: \begin{align*} f(x) &= 0 \\[5pt] -\dfrac{1}{12} \cdot x^4 + \dfrac{3}{2} \cdot x^2 - 5 &= 0 & \mid \cdot (-12) \\[5pt] x^4 - 18 \cdot x^2 + 60 &= 0 & \mid z = x^2 \\[5pt] z^2 - 18 \cdot z + 60 &= 0 & \\[5pt] z_{1,2} &= \dfrac{-(-18) \pm \sqrt{(-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2 \cdot 1} \\[5pt] &= \dfrac{18 \pm \sqrt{324 - 240}}{2} \\[5pt] &= \dfrac{18 \pm \sqrt{84}}{2} \\[5pt] &= \dfrac{18 \pm \sqrt{4 \cdot 21}}{2} \\[5pt] &= \dfrac{18 \pm \sqrt{4} \cdot \sqrt{21}}{2} \\[5pt] &= \dfrac{18 \pm 2 \cdot \sqrt{21}}{2} \\[5pt] &= \dfrac{18}{2} \pm \dfrac{2 \cdot \sqrt{21}}{2} \\[5pt] &= 9 \pm \sqrt{21} & \mid x^2 = z \\[5pt] x^2 &= 9 \pm \sqrt{21} & \mid \, \sqrt{} \\[5pt] x_{1,2} &= \sqrt{9 \pm \sqrt{21}} \\[5pt] x_{3,4} &= -\sqrt{9 \pm \sqrt{21}} \end{align*} Wegen der Begrenzung der Fläche kommend nur die Nullstellen $ x_1 = -\sqrt{9 - \sqrt{21}} \approx -2,101766948 $ und $ x_2 = \sqrt{9 - \sqrt{21}} \approx 2,101766948 $ in Frage.
Du sollst den Flächeninhalts $A = -\mathop {\int}\limits_{x_1}^{x_2} f(x) \, \mathrm{d}x$ mithilfe einer Stammfunktion berechnen. Zu ihrer Bestimmung verwendest du die Formel für die Stammfunktion $G$ einer Funktion $g$ mit $g(x) = x^r \, (r \neq-1) $
$ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}. $ $ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}. $
Stelle nun den Term der Stammfunktion $F$ von $f$ auf und setze $x_2$ und $x_1$ in $F(x)$ ein. Verwende dazu den GTR. \begin{align*} f(x) & = -\dfrac{1}{12} \cdot x^4 + \dfrac{3}{2} \cdot x^2 - 5 \\ F(x) & = -\dfrac{1}{12} \cdot \dfrac{1}{5} \cdot x^5 + \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot x^3 - 5 \cdot x \\ &= -\dfrac{1}{60} \cdot x^5 + \dfrac{1}{2} \cdot x^3 - 5 \cdot x \\[5pt] F(x_2) &\approx -6,550188513 \\ F(x_1) &\approx 6,550188513 \\ F(x_2) - F(x_1) &\approx -13,10037703 \\ \end{align*} Somit ergibt sich für den Flächeninhalt: \[ A = -\mathop {\int}\limits_{x_1}^{x_2} f(x) \, \mathrm{d}x = -(F(x_2) - F(x_1)) \approx -(-13,10037703) = 13,10037703. \] Der Inhalt $A$ der größten Fläche, die von $\boldsymbol{K_f}$ und der $\boldsymbol{x}$–Achse eingeschlossen wird, beträgt $ A \approx 13,10 $ Flächeneinheiten.

Aufgabe 1.4

$\blacktriangleright$   Abstand zwischen den Punkten $\boldsymbol{P}$ und $\boldsymbol{Q}$ zweier Schaubilder maximieren
Deine Aufgabe ist es, den Wert $u$ mit $-4 \leq u \leq -1$ für die längste Strecke zwischen den Punkten $P$ auf $K_f$ und $Q$ auf der Geraden $ x = u $ zu berechnen.
1. Schritt: Streckenlänge herleiten
Um eine Vorstellung von dieser Strecke zu erhalten, fertige dir zunächst eine Skizze des Schaubildes $K_f$ und der Geraden $ x = u $ an und wähle als festen Wert für $u$ z. B. $u=-3.$ Zeichne die Punkte $P$ und $Q$ ein und verbinde die Punkte miteinander. Berechne diese spezielle Streckenlänge.
Aufgabe 1
[Abb. 10]: Skizze mit Strecke $\overline{PQ}$
Aufgabe 1
[Abb. 10]: Skizze mit Strecke $\overline{PQ}$
Wegen $ f(-3) = 1,75 $ und $ g(-3) = \mathrm{e}^{-3} - 4 \approx -3,95 $ sind die Koordinaten der Punkte $Q(-3 \mid 1,75)$ und $P(-3 \mid -3,95)$ und die Streckenlänge ist \[ L = \overline{PQ} = y_P - y_Q \approx 1,75 - (-3,95) = 5,70. \]
2. Schritt: Streckenlänge berechnen
Bestimme die Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$ in Abhängigkeit von $u$ und berechne anschließend die Strecklenlänge in Abhängigkeit von $u.$ Verwende dabei die folgenden Formeln:
Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{PQ} = y_P - y_Q, \; $ wenn $P$ oberhalb von $Q$ liegt Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{PQ} = y_P - y_Q, \; $ wenn $P$ oberhalb von $Q$ liegt
Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{PQ} = y_Q - y_P, \; $ wenn $P$ unterhalb von $Q$ liegt Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{PQ} = y_Q - y_P, \; $ wenn $P$ unterhalb von $Q$ liegt
Beachte dabei, dass für $-4 \leq u \leq -1$ der Punkt $P$ mal oberhalb, mal unterhalb von $Q$ liegen kann. Bestimme also zusätzlich mit dem GTR die Schnittstellen von $K_f$ und der Geraden und stelle dann die zugehörigen Formeln auf.
Kontrollergebnis: Die Schnittstellen sind $ x_1 \approx -4,15 $ und $ x_2 \approx -0,98. $
Wegen $ -4,15 < -4 $ und $ -1 <-0,98 $ liegt das Schaubild von $f$ im Bereich $-4 \leq u \leq -1$ vollständig oberhalb des Schaubildes von $K_g.$
Die Streckenlängen in Abhängigkeit von $u$ sind \begin{align*} l(u) &= \overline{PQ(u)} \\[5pt] &= y_P - y_Q \\[5pt] &= f(u) - g(u) \\[5pt] &= -\dfrac{1}{12} \cdot u^4 + \dfrac{3}{2} \cdot u^2 - 5 - (e^{u} - 4) \\[5pt] &= -\dfrac{1}{12} \cdot u^4 + \dfrac{3}{2} \cdot u^2 - 5 - e^{u} + 4 \\[5pt] &= -\dfrac{1}{12} \cdot u^4 + \dfrac{3}{2} \cdot u^2 - 1 - e^{u} \end{align*}
Um die Stelle $u$ mit der längsten Strecke zu bestimmen, gibt es nur eine Möglichkeit:
Verwendung des GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018
Verwende die Maximierungs–Funktion:
MATH 7: fmax(Funktionsterm,Variable,Untergrenze, Obergrenze) MATH 7: fmax(Funktionsterm,Variable,Untergrenze, Obergrenze)
Sie verlangt die Eingabe der zu maxmierenden Funktion $l$ in Abhängigkeit von $x$ und die untere Grenze sowie die obere Grenze. Sie berücksichtigt automatisch auch die Vergleichswerte an den Rändern eines Intervalls.
Untersuche nun die Funktion $l(u)$ im Intervall von $[-4; \; -1]. $
Aufruf der Funktion und Eingaben im Run–Menü:
Aufgabe 1
[Abb. 11]: Aufruf der Maximum–Funktion
Aufgabe 1
[Abb. 11]: Aufruf der Maximum–Funktion
Auswertung der Funktion:
Aufgabe 1
[Abb. 12]: Auswertung
Aufgabe 1
[Abb. 12]: Auswertung
Der Wert von $u$ mit $-4 \leq u \leq -1, $ für den die Länge der Strecke $PQ$ maximal wird, ist $ u_{max} \approx -3,0082. $
$\blacktriangleright$   Maximalen Abstand angeben
Der maximale Abstand der Punkte $P$ und $Q$ ist $ l(-3) \approx 5,7004 $ LE.

Aufgabe 1.5

$\blacktriangleright$   Parameter einer exponentiellen Funktion angeben, die eine bestimmte Eigenschaft besitzt
Ausgehend von der Funktion $h$ mit $h(x)=a \cdot e^{-x}+b$ mit $a, b, x\in\mathbb{R}$ und $a\neq0$ sollst du jeweils Werte für $a$ und $b$ angeben, so dass …
(1) … die Funktion $h$ monoton steigt.
(2) … das Schaubild von $h$ durch genau zwei Quadranten verläuft.
(3) … die Gerade $y=2$ waagrechte Asymptote des Schaubildes von $h$ ist.
Die Wahl der Parameter passend zu den Eigenschaften fällt dir leichter, wenn du dir ein paar Eigenschaften der natürlichen Exponentialfunktion z. B. mithilfe der Formelsammlung noch mal vor Augen führst:
Aufgabe 1
[Abb. 13]: Schaubild der Exponentialfunktion $e^{-x}$
Aufgabe 1
[Abb. 13]: Schaubild der Exponentialfunktion $e^{-x}$
  1. Das Schaubild der Funktion $e^x$ ist streng monoton monoton steigend und verläuft vollständig oberhalb der $x$–Achse.
  2. Das Schaubild der Funktion $e^{-x}$ ist streng monoton monoton fallend und verläuft vollständig oberhalb der $x$–Achse.
  3. Das Schaubild der Funktion $a \cdot e^{-x}$ wird durch den Parameter $a$ gestreckt oder gestaucht. Bei negativem Wert von $a$ wird es an der $x$–Achse gespiegelt und ist dann streng monoton steigend.
  4. Das Schaubild der Funktion $a \cdot e^{-x}$ wird durch den Parameter $b$ in Richtung der $y$–Achse nach oben ($ b > 0$) bzw. nach unten ($ b < 0$) verschoben.
  5. Die Gerade $y=b$ ist die waagrechte Asymptote des Schaubildes von $h.$
  6. Das Schaubild von $h$ ist streng monoton steigend, wenn $ h'(x) > 0 $ für alle $ x\in\mathbb{R}$ gilt.
Gib nun die passenden Werte für die Parameter an.
(1) Es ist $ h'(x) = a \cdot (-1) \cdot e^{-x} + 0 = -a \cdot \underbrace{e^{-x}}_{> 0} > 0, $ wenn $ -a > 0 $ und somit $ a < 0 $ ist. Der Parameter darf beliebig sein. Diese Wahl der Parameter folgt auch aus den Eigenschaften 3. und 4.
(2) Für $ a > 0 $ und $ b \geq 0 $ verläuft das Schaubild $h$ im I. und II. Quadranten. Für $ a < 0 $ und $ b \leq 0 $ verläuft das Schaubild $h$ im III. und IV. Quadranten. Für $ b = -a $ gilt $ h(0) = a \cdot e^{0} + b = a \cdot 1 + b = a + b = 0. $ Das Schaubild von $h$ verläuft dann durch den Ursprung und durch den I. und III. Quadranten.
(3) Für $ b = 2 $ ist die Gerade $y=2$ waagrechte Asymptote des Schaubildes von $h$ ist.
$\blacktriangleright$   Parameter einer exponentiellen Funktion ggf. angeben, die alle drei Eigenschaften besitzt
Prüfe anhand der Antworten aus der letzten Teilaufgabe, ob alle drei Eigenschaften des Schaubildes $h$ für geeignete Parameter $ a $ und $ b $ erfüllt sein können.
Wegen (3) muss $ b = 2 $ sein. Gemäß (1) und (2) muss das Schaubild von $h$ dann durch den Urprung des Koordinatensystems und durch den I. und III. Quadranten verlaufen. Das ist für $ b = -a $ der Fall. Folglich muss $ a = -2 $ sein. Dann ist auch (1) erfüllt.
Für $ b = 2 $ und $ a = -2 $ sind alle drei Eigenschaften erfüllt.
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Aufgabe 1.1

$\blacktriangleright$   Funktionsterm anhand von Eigenschaften des Schaubildes bestimmen
Deine Aufgabe besteht darin, aus verschiedenen Angaben im Text den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion vierten Grades zu bestimmen. Die allgemeine Form des Terms einer solchen Funktion $f$ ist z. B.
$ f(x) = a \cdot x^4 + b \cdot x^3 + c \cdot x^2 + d \cdot x + e $
für jedes $ x \in \mathbb{R} $ und unbekannten reellen Parametern $ a, \; b, \; c, \; d $ und $e.$ Du stellst zunächst alle Bedingungen auf, die du den Angaben aus dem Text entnehmen kannst, um die fünf unbekannten Größen zu ermitteln.
Du weisst Folgendes über das Schaubild der Funktion:
  1. Es ist symmetrisch zur $y$–Achse.
  2. Es hat im Punkt $ H \left( -1 \mid 3 \right) $ eine waagerechte Tangente.
  3. Es schneidet die $y$–Achse bei $-4,5.$
Schaue zunächst in der Formelsammlung nach, was es bedeutet, wenn ein Schaubild symmetrisch zur $y$–Achse ist. Im Funktionsterm können nur Exponenten von $x$ vorkommen, die gerade sind. Deshalb muss $ b = d = 0 $ gelten. Schreibe nun den vereinfachten Funktionsterm auf.
Kontrollergebnis: Der vereinfachte Funktionsterm ist $ f(x) = a \cdot x^4 + c \cdot x^2 + e. $
Versuche, jede weitere Information in eine Gleichung zu übersetzen. Berücksichtige dabei:
Der Punkt $ H \left( -1 \mid 3 \right) $ liegt auf dem Schaubild.
Das Schaubild besitzt an der Stelle eine waagerechte Tangente, d. h. die Steigung ist dort Null.
Das Schaubild schneidet die $y$–Achse bei $-4,5.$ Der zugehörige $x$–Wert ist dort Null.
Schreibe nun die drei Gleichungen mithilfe von $\boldsymbol{f}$ und $\boldsymbol{f'}$ auf.
Kontrollergebnis:
  1. $ \, \boldsymbol{f(-1) = 3} $
  2. $ \boldsymbol{f'(-1) = 0.}$
  3. $ \, \boldsymbol{f(0) = -4,5.}$
Um weitermachen zu können, musst du also die Ableitungsfunktion von $f$ berechnen.
Kontrollergebnis: $ f'(x) = 4 \cdot a \cdot x^3 + 2 \cdot c \cdot x$
Übertrage diese Zuordnungen in ein Gleichungssystem, das aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten besteht, und vereinfache es.
Gleichungssystem:
\[ \begin{array}{rcl|crcrcrcrcll} f(-1) &=& 3 & & a \cdot (-1)^4 &+& c \cdot (-1)^2 &+& e &=& 3 \\ f'(-1) &=& 0 & & 4 \cdot a \cdot (-1)^3 &+& 2 \cdot c \cdot (-1) & & &=& 0 \\ f(0) &=& -4,5 & & a \cdot 0^4 &+& c \cdot 0^2 &+& e &=& -4,5 \\ \hline \end{array} \]
Die vereinfachte Form des linearen Gleichungssystems lässt sich nun schriftlich oder mit dem GTR lösen:
\[ \begin{array}{rcl|crcrcrcrcll} f(-1) &=& 3 & & a &+& c &+& e &=& 3 \\ f'(-1) &=& 0 & & -4 \cdot a &-& 2 c & & &=& 0 \\ f(0) &=& -4,5 & & & & & & e &=& -4,5 \\ \hline \end{array} \]
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
Die Lösungen kannst du mit dem GTR durch Eingabe des Gleichungssystems im Menü EQUA–Lineares Gleichungssystem–3 Unbekannte berechnen lassen.
Aufgabe 1
[Abb. 1]: Eingabe des LGS
Aufgabe 1
[Abb. 1]: Eingabe des LGS
Aufgabe 1
[Abb. 2]: Ergebnis des LGS
Aufgabe 1
[Abb. 2]: Ergebnis des LGS
Die Lösung des Gleichungssystems ist $ a = -\frac{15}{2}, \; c = 15 $ und $ e = -4,5.$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Das obige lineare Gleichungssystems lässt sich für die schriftliche Berechnung weiter vereinfachen, weil aus der dritten Gleichung $ e = -4,5 $ in die erste Gleichung eingesetzt werden kann:
\[ \begin{array}{rcrcrcrcll} \text{I} &:& a &+& c &-& 4,5 &=& 3 & \scriptsize\mid\;\text{Rechne: } +4,5 \\ \text{II} &:& -4a &-& 2c & & &=& 0 & \scriptsize\mid\;\text{Rechne: } :2\\ \hline \end{array} \] Du erhältst ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten: \[ \begin{array}{rcrcrcrcll} \text{IV} &:& a &+& c &=& 7,5 & \scriptsize\mid\;\text{Rechne: } \text{IV}+\text{V}\\ \text{V} &:& -2a &-& c &=& 0 &\\ \hline \end{array} \]
und daraus $ -a = 7,5 $ bzw. $ a = -7,5 $. Durch Einsetzen von $a$ z. B. in die Gleichung I folgt $ -7,5 + c = 7,5 $ und $ c = 15. $
Der Funktionsterm der Funktion $ f $ ist $ f(x) = -7,5 \cdot x^4 + 15 \cdot x^2 - 4,5 = -\frac{15}{2} \cdot x^4 + 15 \cdot x^2 - 4,5 .$

Aufgabe 1.2

$\blacktriangleright$   Extrempunkte von $\boldsymbol{K_f}$ angeben
Die Extrempunkte eines Schaubildes können mit dem GTR oder durch schriftliche Rechnung ermittelt werden: Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Im Graph–Menü kannst du den Funktionsterm von $f$ eingeben, dir das Schaubild anzeigen und dir mit
G–SOLV–MAX bzw. G–SOLV–MIN G–SOLV–MAX bzw. G–SOLV–MIN
die Extrempunkte ausgeben lassen.
Aufgabe 1
[Abb. 3]: Berechnung des linken Hochpunktes
Aufgabe 1
[Abb. 3]: Berechnung des linken Hochpunktes
Aufgabe 1
[Abb. 4]: Berechnung des rechten Hochpunktes
Aufgabe 1
[Abb. 4]: Berechnung des rechten Hochpunktes
Aufgabe 1
[Abb. 5]: Berechnung des Tiefpunktes
Aufgabe 1
[Abb. 5]: Berechnung des Tiefpunktes
Die Koordinaten der Extrempunkte sind $ H_1(-3 \mid 1,75), \, H_2(3 \mid 1,75) $ und $ T(0 \mid 5).$
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
Das Schaubild $K_f$ soll auf Hoch- und Tiefpunkte untersucht werden, d. h. du sollst die Funktion $f$ auf Extremstellen untersuchen. An einer Extremstelle liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_f$ vor und die Ableitungsfunktion $f'$ wechselt das Vorzeichen. Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktion $f$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0) \neq 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt die erste Ableitung der Funktion $f$ und untersuche diese auf Nullstellen. Verwende für die Nullstellenberechnung den Satz vom Nullprodukt: Er besagt, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Gilt dann $\boldsymbol{f''(x_0) < 0,}$ so handelt es sich um einen Hochpunkt, gilt $\boldsymbol{f''(x_0) > 0}$, so liegt ein Tiefpunkt vor.
1. Schritt: Ableitungen der Funktion $\boldsymbol{f}$ bestimmen
\begin{align*} f(x) &= -\dfrac{1}{12} \cdot x^4 + \dfrac{3}{2} \cdot x^2 - 5 \\[5pt] f'(x) &= -\dfrac{1}{12} \cdot 4 \cdot x^3 + \dfrac{3}{2} \cdot 2 \cdot x^1 - 0 \\[5pt] &= -\dfrac{1}{3} \cdot x^3 + 3 \cdot x \\[5pt] f''(x) &= -\dfrac{1}{3} \cdot 3 \cdot x^2 + 3 \cdot 1 \\[5pt] &= -x^2 + 3 \end{align*}
2. Schritt: 1. (notwendige) Bedingung überprüfen
Für eine mögliche Extremstelle muss die erste Bedingung $\boldsymbol{f'(x_0)=0}$ erfüllt sein.
\begin{array}{rcll} f'(x) &=& 0 \\ -\dfrac{1}{3} \cdot x^3 + 3 \cdot x \ &=& 0 & \mid \; \scriptsize \text{Ausklammern} \\[5pt] x \cdot (-\dfrac{1}{3} \cdot x^2 + 3) &=& 0 & \mid \; \scriptsize \text{Satz vom Nullprodukt} \\[5pt] -\dfrac{1}{3} \cdot x^2 + 3 &=& 0 & \mid \; \scriptsize -3 \\[5pt] -\dfrac{1}{3} \cdot x^2 &=& -3 & \mid \; \scriptsize \cdot \; (-3) \\[5pt] x^2 &=& 9 & \mid \; \scriptsize \sqrt{\;} \\[5pt] x &=& \pm 3 \end{array}
Die Anwendung des Satzes vom Nullprodukt zeigt dir, dass $x_1=0$ (1. Faktor) eine Lösung der Gleichung ist, während das Nullsetzen zweiten Faktors $-\frac{1}{3} \cdot x^2 + 3$ und die folgenden Umformungen auf die zwei weiteren Nullstellen führen.
Die Stellen $\boldsymbol{x_1=0}$ und $\boldsymbol{x_2=-3}$ und $\boldsymbol{x_3=3}$ sind mögliche Extremstellen. Um herauszufinden, ob diese tatsächlich Extremstellen sind und von welcher Art diese sind, kannst du die zweite Bedingung überprüfen:
3. Schritt: 2. (hinreichende) Bedingung überprüfen
Damit eine mögliche Extremstelle tatsächlich Extremstelle ist, sollst du die Ungleichung $\boldsymbol{f''(x_0) \neq 0}$ prüfen. Du setzt also jeweils die ermittelten Stellen $x_1=0$ und $x_2=-3$ sowie $x_3=3$ in den Term der zweiten Ableitung ein und berechnest den Funktionswert. Wenn ein Extrempunkt vorliegt, setzt du die Stelle in den Funktionsterm $f(x)$ ein, um seine $y$–Koordinate zu berechnen.
Wegen $ f''(0) = -0^2 + 3 = 3 > 0 $ liegt in $x_1=0$ eine Minimalstelle vor. Das Einsetzen in den Funktionsterm von $f$ liefert die vollständigen Koordinaten des Tiefpunktes: \[ f(0) = -\dfrac{1}{12} \cdot 0^4 + \dfrac{3}{2} \cdot 0^2 - 5 = -5 \] Der Tiefpunkt hat somit die Koordinaten $ T(0 \mid -5).$
Die Berechnung für die zwei weiteren möglichen Extremstellen ergibt \[ f''(\pm 3) = -(\pm 3)^2 + 3 = -9 + 6 = -3 < 0 \] Also liegen in $x_2=-3$ sowie $x_3=3$ Maximalstellen vor. Wegen \begin{align*} f(\pm 3) &= -\dfrac{1}{12} \cdot (\pm 3)^4 + \dfrac{3}{2} \cdot (\pm 3)^2 - 5 \\[5pt] &= -\dfrac{1}{12} \cdot 81 + \dfrac{3}{2} \cdot 9 - 5 \\[5pt] &= -\dfrac{27}{4} + \dfrac{27}{2} - 5 \\[5pt] &= \dfrac{-27 + 54 - 20}{4} \\[5pt] &= \dfrac{7}{4} \end{align*} haben die Hochpunkte die Koordinaten $ H_1 \left(-3 \mid \dfrac{7}{4} \right) $ und $ H_2 \left(3 \mid \dfrac{7}{4} \right).$
Die Koordinaten aller Extrempunkte sind $ H_1(-3 \mid 1,75), \, H_2(3 \mid 1,75) $ und $ T(0 \mid 5).$
$\blacktriangleright$   Exakte Gleichungen der Wendetangenten berechnen
Das Schaubild sollst du auf exakte Wendepunkte untersuchen, d. h. du sollst die Funktion $f'$ auf Extremstellen untersuchen, um die exakten Gleichungen der Wendetangenten berechnen zum können.
An einer Extremstelle liegt eine waagerechte Tangente des Schaubildes $K_{f'}$ vor und die Ableitungsfunktion $f''$ wechselt das Vorzeichen.
Für eine Extremstelle $x_0$ der Funktion $f'$ reicht es aus, folgende Kriterien zu prüfen:
  • 1. (notwendige) Bedingung: $\boldsymbol{f''(x_0)=0}$
  • 2. (hinreichende) Bedingung: $\boldsymbol{f'''(x_0) \neq 0}$
Bestimme also in einem ersten Schritt noch zusätzlich die dritte Ableitung der Funktion $f$ und untersuche $f''$ auf Nullstellen. Überprüfe anschließend diese möglichen Extremstellen auf die zweite Bedingung. Wenn sie erfüllt ist, so handelt es sich um einen Wendepunkt. Um seine vollständigen Koordinaten zu ermitteln, berechnest du die $y$–Koordinate durch Einsetzen von $x_0$ in den Funktionsterm und berechnen des Funktionswertes.
1. Schritt: 3. Ableitung der Funktion $\boldsymbol{f}$ bestimmen
\begin{align*} f'''(x) &= -2 \cdot x^1 + 0 \\[5pt] &= -2 \cdot x \end{align*}
2. Schritt: 1. (notwendige) Bedingung überprüfen
Für eine mögliche Wendestelle muss die notwendige Bedingung $\boldsymbol{f''(x_0)=0}$ erfüllt sein.
\begin{array}{rcll} f''(x) &=& 0 \\ -x^2 + 3 &=& 0 & \mid \; \scriptsize -3 \\[5pt] -x^2 &=& -3 & \mid \; \scriptsize \cdot \; (-1) \\[5pt] x^2 &=& 3 & \mid \; \scriptsize \sqrt{\;} \\[5pt] x &=& \pm \sqrt{3} \end{array}
Die Stellen $\boldsymbol{x_1=-\sqrt{3}}$ und $\boldsymbol{x_2=\sqrt{3}}$ sind mögliche Wendestellen. Um herauszufinden, ob diese tatsächlich Wendestellen sind, kannst du die hinreichende Bedingung überprüfen:
3. Schritt: 2. (hinreichende) Bedingung überprüfen
Damit eine mögliche Wendestelle tatsächlich Wendestelle ist, sollst du die Ungleichung $\boldsymbol{f'''(x_0) \neq 0}$ prüfen. Du setzt also jeweils die ermittelten Stellen $x_1=-\sqrt{3}$ und $x_2=\sqrt{3}$ in den Term der dritten Ableitung ein und berechnest den Funktionswert. Wenn ein Wendepunkt vorliegt, setzt du die Stelle in den Funktionsterm $f(x)$ ein, um seine $y$–Koordinate zu berechnen.
\begin{align*} f'''(\pm \sqrt{3}) &= 2 \cdot \left( \pm \sqrt{3} \right) \neq 0 \\[5pt] f(\sqrt{3}) &= -\dfrac{1}{12} \cdot \left( \sqrt{3} \right)^4 + \dfrac{3}{2} \cdot \left( \sqrt{3} \right)^2 - 5 \\[5pt] &= -\dfrac{1}{12} \cdot 9 + \dfrac{3}{2} \cdot 3 - 5 \\[5pt] &= -\dfrac{3}{4} + \frac{9}{2} - 5 \\[5pt] &= \dfrac{-3 + 18 - 20}{4} \\[5pt] &= -\frac{5}{4} \end{align*} Die exakten Koordinaten der Wendepunkte von $K_f$ sind $ W_1 \left( -\sqrt{3} \mid -\frac{5}{4} \right) $ und $ W_2 \left( \sqrt{3} \mid -\frac{5}{4} \right) $ bzw. $ W_1 ( -\sqrt{3} \mid -1,25) $ und $ W_2 ( \sqrt{3} \mid -1,25). $
4. Schritt: Gleichung der Wendetangente aufstellen
Jetzt kannst du die exakten Gleichungen der Wendetangenten berechnen. Hierfür benötigst du die Formel für die Gleichung der Tangenten in einem Punkt $(x_0 \mid f(x_0)) $ des Schaubildes einer Funktion $f:$
$ t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0). $ $ t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0). $
In dieser Aufgabe ist $x_0 =\pm \sqrt{3},$ d. h. du musst noch die Werte $f'(\pm \sqrt{3})$ berechnen und sie anschließend in die Formel einsetzen. Löse abschließend die Klammern auf, um die Tangentengleichung in der Form $ y = m \cdot x + b $ zu erhalten. \begin{align*} f'(-\sqrt{3}) &= -\dfrac{1}{3} \cdot (-\sqrt{3})^3 + 3 \cdot (-\sqrt{3}) \\[5pt] &= -\dfrac{1}{3} \cdot (-\sqrt{3})^2 \cdot (-\sqrt{3}) - 3 \cdot \sqrt{3} \\[5pt] &= -\dfrac{1}{3} \cdot 3 \cdot (-\sqrt{3}) - 3 \cdot \sqrt{3} \\[5pt] &= \sqrt{3} - 3 \cdot \sqrt{3} \\[5pt] &= - 2 \cdot \sqrt{3} \\[5pt] f'(\sqrt{3}) &= -\dfrac{1}{3} \cdot (\sqrt{3})^3 + 3 \cdot \sqrt{3} \\[5pt] &= -\dfrac{1}{3} \cdot (\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} \\[5pt] &= -\dfrac{1}{3} \cdot 3 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} \\[5pt] &= -\sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} \\[5pt] &= 2 \cdot \sqrt{3} \end{align*} Die Wendetangenten besitzen die Gleichungen: \begin{align*} t_1(x) &= f'(-\sqrt{3}) \cdot (x - (-\sqrt{3})) + f(-\sqrt{3}) \\[5pt] &= - 2 \sqrt{3} \cdot (x + \sqrt{3}) - 1,25 \\[5pt] &= - 2 \sqrt{3} \cdot x - 2 \cdot (\sqrt{3})^2 - 1,25 \\[5pt] &= - 2 \sqrt{3} \cdot x - 2 \cdot 3 - 1,25 \\[5pt] &= - 2 \sqrt{3} \cdot x - 6 - 1,25 \\[5pt] &= - 2 \sqrt{3} \cdot x - 7,25 \\[5pt] t_1(x) &= f'(\sqrt{3}) \cdot (x - \sqrt{3}) + f(\sqrt{3}) \\[5pt] &= 2 \sqrt{3} \cdot (x - \sqrt{3}) - 1,25 \\[5pt] &= 2 \sqrt{3} \cdot x - 2 \cdot (\sqrt{3})^2 - 1,25 \\[5pt] &= 2 \sqrt{3} \cdot x - 2 \cdot 3 - 1,25 \\[5pt] &= 2 \sqrt{3} \cdot x - 6 - 1,25 \\[5pt] &= 2 \sqrt{3} \cdot x - 7,25 \end{align*} Die Gleichung der Wendetangente $t_1$ an $K_f$ im Punkt $ W_1 ( -\sqrt{3} \mid -1,25) $ ist
$ t_1: y = -2\sqrt{3} \cdot x - \dfrac{25}{4} = -2\sqrt{3} \cdot x - 7,25$.
Die Gleichung der Wendetangente $t_2$ an $K_f$ im Punkt $ W_2 ( \sqrt{3} \mid -1,25) $ ist
$ t_2: y = 2\sqrt{3} \cdot x - \dfrac{25}{4} = 2\sqrt{3} \cdot x - 7,25$.
Hinweis: Es ist laut Augfgabenstellung ausreichend, nur eine Gleichung anzugeben und zu zeichnen.
$\blacktriangleright$   $\boldsymbol{K_f}$ und Wendetangenten zeichnen
Wenn du ein Schaubild zeichnen willst, kannst du durch den Aufruf einer Wertetabelle im Taschenrechner herausfinden, welche Funktionswerte $y=f(x)$ die Funktion $f$ in Abhängigkeit von $x$ annimmt. Für die gegebene Funktion $f$ ist eine Darstellung z. B. im Bereich $ -4,5 \leq x \leq 4,5 $ und $ -8 \leq y \leq 2 $ sinnvoll, weil das Wesentliche des Schaubildes dadurch deutlich wird. Eine Längeneinheit entspricht 1 cm.
Aufgabe 1
[Abb. 6]: Schaubild der Funktion $f$ mit Wendetangenten
Aufgabe 1
[Abb. 6]: Schaubild der Funktion $f$ mit Wendetangenten

Aufgabe 1.3

$\blacktriangleright$   Inhalt der größten Fläche mit Hilfe einer Stammfunktion berechnen, die von $\boldsymbol{K_f}$ und der $\boldsymbol{x}$–Achse eingeschlossen wird
Deine Aufgabe ist es, mithilfe einer Stammfunktion den Flächeninhalt der größten Fläche zu berechnen, die von $\boldsymbol{K_f}$ und der $\boldsymbol{x}$–Achse eingeschlossen wird. Die Integralrechnung hilft dir bei der Berechnung. Dazu musst du in der Integralformel für Flächeninhalte
$ A = -\displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = \left| \, \displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x \, \right| $ $ A = -\displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = \left| \, \displaystyle \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x \, \right| $
überlegen, wie die Untergrenze $a$ und $b$ zu wählen sind. Beachte das Minuszeichen vor dem Integral, denn die Fläche liegt unterhalb der $x$–Achse, so dass das Integral einen negativen Wert ergeben wird. Alternativ kannst du den Betrag des Integralwertes berechnen.
Der Zeichnung kannst du entnehmen, dass $ a \approx -2 $ ist und $ b \approx 2 $ die Nullstellen von $f$ sind. Sie lassen sich mit dem GTR oder exakt berechnen.
1. Möglichkeit: Lösung mit dem GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018.
Zeichne im Graph–Menü das Schaubild, ermittle die Nullstellen von $f$ und anschließend den Flächeninhalt zwischen dem Schaubild und der $x$–Achse in den Grenzen. Rufe das Untermenü mit
G–SOLV–ROOT G–SOLV–ROOT
auf.
Aufgabe 1
[Abb. 7]: Nullstelle der Funktion als Untergrenze
Aufgabe 1
[Abb. 7]: Nullstelle der Funktion als Untergrenze
Aufgabe 1
[Abb. 8]: Nullstelle der Funktion als Obergrenze
Aufgabe 1
[Abb. 8]: Nullstelle der Funktion als Obergrenze
$ x_1 \approx -2,1 $ und $ x_2 \approx 2,1 $ sind die Nullstellen.
Um den Flächeninhalt zu berechnen, gib die Tastenfolge
G–SOLV $\to$ F6 $\to \displaystyle \int $ dx $\to$ Eingabe $-2,1$ $\to$ Eingabe 2,1 $\to$ EXE G–SOLV $\to$ F6 $\to \displaystyle \int $ dx $\to$ Eingabe $-2,1$ $\to$ Eingabe 2,1 $\to$ EXE
Aufgabe 1
[Abb. 9]: Berechnung des Flächeninhalts
Aufgabe 1
[Abb. 9]: Berechnung des Flächeninhalts
ein.
Ergebnis: $ A = -\mathop {\int}\limits_{-2,1}^{2,1} f(x) \, \mathrm{d}x \approx -(-13,1) = 13,1. $
2. Möglichkeit: Lösung durch schriftliche Rechnung
Die Nullstellen können exakt mithilfe der Substitution und der Lösungsformel berechnet werden: \begin{align*} f(x) &= 0 \\[5pt] -\dfrac{1}{12} \cdot x^4 + \dfrac{3}{2} \cdot x^2 - 5 &= 0 & \mid \cdot (-12) \\[5pt] x^4 - 18 \cdot x^2 + 60 &= 0 & \mid z = x^2 \\[5pt] z^2 - 18 \cdot z + 60 &= 0 & \\[5pt] z_{1,2} &= \dfrac{-(-18) \pm \sqrt{(-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2 \cdot 1} \\[5pt] &= \dfrac{18 \pm \sqrt{324 - 240}}{2} \\[5pt] &= \dfrac{18 \pm \sqrt{84}}{2} \\[5pt] &= \dfrac{18 \pm \sqrt{4 \cdot 21}}{2} \\[5pt] &= \dfrac{18 \pm \sqrt{4} \cdot \sqrt{21}}{2} \\[5pt] &= \dfrac{18 \pm 2 \cdot \sqrt{21}}{2} \\[5pt] &= \dfrac{18}{2} \pm \dfrac{2 \cdot \sqrt{21}}{2} \\[5pt] &= 9 \pm \sqrt{21} & \mid x^2 = z \\[5pt] x^2 &= 9 \pm \sqrt{21} & \mid \, \sqrt{} \\[5pt] x_{1,2} &= \sqrt{9 \pm \sqrt{21}} \\[5pt] x_{3,4} &= -\sqrt{9 \pm \sqrt{21}} \end{align*} Wegen der Begrenzung der Fläche kommend nur die Nullstellen $ x_1 = -\sqrt{9 - \sqrt{21}} \approx -2,101766948 $ und $ x_2 = \sqrt{9 - \sqrt{21}} \approx 2,101766948 $ in Frage.
Du sollst den Flächeninhalts $A = -\mathop {\int}\limits_{x_1}^{x_2} f(x) \, \mathrm{d}x$ mithilfe einer Stammfunktion berechnen. Zu ihrer Bestimmung verwendest du die Formel für die Stammfunktion $G$ einer Funktion $g$ mit $g(x) = x^r \, (r \neq-1) $
$ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}. $ $ G(x) = \dfrac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}. $
Stelle nun den Term der Stammfunktion $F$ von $f$ auf und setze $x_2$ und $x_1$ in $F(x)$ ein. Verwende dazu den GTR. \begin{align*} f(x) & = -\dfrac{1}{12} \cdot x^4 + \dfrac{3}{2} \cdot x^2 - 5 \\ F(x) & = -\dfrac{1}{12} \cdot \dfrac{1}{5} \cdot x^5 + \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot x^3 - 5 \cdot x \\ &= -\dfrac{1}{60} \cdot x^5 + \dfrac{1}{2} \cdot x^3 - 5 \cdot x \\[5pt] F(x_2) &\approx -6,550188513 \\ F(x_1) &\approx 6,550188513 \\ F(x_2) - F(x_1) &\approx -13,10037703 \\ \end{align*} Somit ergibt sich für den Flächeninhalt: \[ A = -\mathop {\int}\limits_{x_1}^{x_2} f(x) \, \mathrm{d}x = -(F(x_2) - F(x_1)) \approx -(-13,10037703) = 13,10037703. \] Der Inhalt $A$ der größten Fläche, die von $\boldsymbol{K_f}$ und der $\boldsymbol{x}$–Achse eingeschlossen wird, beträgt $ A \approx 13,10 $ Flächeneinheiten.

Aufgabe 1.4

$\blacktriangleright$   Abstand zwischen den Punkten $\boldsymbol{P}$ und $\boldsymbol{Q}$ zweier Schaubilder maximieren
Deine Aufgabe ist es, den Wert $u$ mit $-4 \leq u \leq -1$ für die längste Strecke zwischen den Punkten $P$ auf $K_f$ und $Q$ auf der Geraden $ x = u $ zu berechnen.
1. Schritt: Streckenlänge herleiten
Um eine Vorstellung von dieser Strecke zu erhalten, fertige dir zunächst eine Skizze des Schaubildes $K_f$ und der Geraden $ x = u $ an und wähle als festen Wert für $u$ z. B. $u=-3.$ Zeichne die Punkte $P$ und $Q$ ein und verbinde die Punkte miteinander. Berechne diese spezielle Streckenlänge.
Aufgabe 1
[Abb. 10]: Skizze mit Strecke $\overline{PQ}$
Aufgabe 1
[Abb. 10]: Skizze mit Strecke $\overline{PQ}$
Wegen $ f(-3) = 1,75 $ und $ g(-3) = \mathrm{e}^{-3} - 4 \approx -3,95 $ sind die Koordinaten der Punkte $Q(-3 \mid 1,75)$ und $P(-3 \mid -3,95)$ und die Streckenlänge ist \[ L = \overline{PQ} = y_P - y_Q \approx 1,75 - (-3,95) = 5,70. \]
2. Schritt: Streckenlänge berechnen
Bestimme die Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$ in Abhängigkeit von $u$ und berechne anschließend die Strecklenlänge in Abhängigkeit von $u.$ Verwende dabei die folgenden Formeln:
Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{PQ} = y_P - y_Q, \; $ wenn $P$ oberhalb von $Q$ liegt Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{PQ} = y_P - y_Q, \; $ wenn $P$ oberhalb von $Q$ liegt
Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{PQ} = y_Q - y_P, \; $ wenn $P$ unterhalb von $Q$ liegt Streckenlänge parallel zur $y$–Achse: $ \overline{PQ} = y_Q - y_P, \; $ wenn $P$ unterhalb von $Q$ liegt
Beachte dabei, dass für $-4 \leq u \leq -1$ der Punkt $P$ mal oberhalb, mal unterhalb von $Q$ liegen kann. Bestimme also zusätzlich mit dem GTR die Schnittstellen von $K_f$ und der Geraden und stelle dann die zugehörigen Formeln auf.
Kontrollergebnis: Die Schnittstellen sind $ x_1 \approx -4,15 $ und $ x_2 \approx -0,98. $
Wegen $ -4,15 < -4 $ und $ -1 <-0,98 $ liegt das Schaubild von $f$ im Bereich $-4 \leq u \leq -1$ vollständig oberhalb des Schaubildes von $K_g.$
Die Streckenlängen in Abhängigkeit von $u$ sind \begin{align*} l(u) &= \overline{PQ(u)} \\[5pt] &= y_P - y_Q \\[5pt] &= f(u) - g(u) \\[5pt] &= -\dfrac{1}{12} \cdot u^4 + \dfrac{3}{2} \cdot u^2 - 5 - (e^{u} - 4) \\[5pt] &= -\dfrac{1}{12} \cdot u^4 + \dfrac{3}{2} \cdot u^2 - 5 - e^{u} + 4 \\[5pt] &= -\dfrac{1}{12} \cdot u^4 + \dfrac{3}{2} \cdot u^2 - 1 - e^{u} \end{align*}
Um die Stelle $u$ mit der längsten Strecke zu bestimmen, gibt es nur eine Möglichkeit:
Verwendung des GTR
Lösung mit dem GTR entfällt ab 2018
Verwende im RUN–Menü die Maximierungs–Funktion: Sie wird durch die Tastenfolge
OPTN $\to$ CALC $\to$ F6 $\to$ FMax(Funktionsterm,Untergrenze, Obergrenze) OPTN $\to$ CALC $\to$ F6 $\to$ FMax(Funktionsterm,Untergrenze, Obergrenze)
aufrufen kannst. Sie verlangt die Eingabe der zu maxmierenden Funktion $l$ in Abhängigkeit von $x$ und die untere Grenze sowie die obere Grenze. Sie berücksichtigt automatisch auch die Vergleichswerte an den Rändern eines Intervalls.
Untersuche nun die Funktion $l(u)$ im Intervall von $[-4; \; -1]. $
Aufruf der Funktion und Eingaben im Run–Menü:
Aufgabe 1
[Abb. 11]: Aufruf der Maximum–Funktion
Aufgabe 1
[Abb. 11]: Aufruf der Maximum–Funktion
Auswertung der Funktion:
Aufgabe 1
[Abb. 12]: Auswertung
Aufgabe 1
[Abb. 12]: Auswertung
Der Wert von $u$ mit $-4 \leq u \leq -1, $ für den die Länge der Strecke $PQ$ maximal wird, ist $ u_{max} \approx -3,0082. $
$\blacktriangleright$   Maximalen Abstand angeben
Der maximale Abstand der Punkte $P$ und $Q$ ist $ l(-3) \approx 5,7004 $ LE.

Aufgabe 1.5

$\blacktriangleright$   Parameter einer exponentiellen Funktion angeben, die eine bestimmte Eigenschaft besitzt
Ausgehend von der Funktion $h$ mit $h(x)=a \cdot e^{-x}+b$ mit $a, b, x\in\mathbb{R}$ und $a\neq0$ sollst du jeweils Werte für $a$ und $b$ angeben, so dass …
(1) … die Funktion $h$ monoton steigt.
(2) … das Schaubild von $h$ durch genau zwei Quadranten verläuft.
(3) … die Gerade $y=2$ waagrechte Asymptote des Schaubildes von $h$ ist.
Die Wahl der Parameter passend zu den Eigenschaften fällt dir leichter, wenn du dir ein paar Eigenschaften der natürlichen Exponentialfunktion z. B. mithilfe der Formelsammlung noch mal vor Augen führst:
Aufgabe 1
[Abb. 13]: Schaubild der Exponentialfunktion $e^{-x}$
Aufgabe 1
[Abb. 13]: Schaubild der Exponentialfunktion $e^{-x}$
  1. Das Schaubild der Funktion $e^x$ ist streng monoton monoton steigend und verläuft vollständig oberhalb der $x$–Achse.
  2. Das Schaubild der Funktion $e^{-x}$ ist streng monoton monoton fallend und verläuft vollständig oberhalb der $x$–Achse.
  3. Das Schaubild der Funktion $a \cdot e^{-x}$ wird durch den Parameter $a$ gestreckt oder gestaucht. Bei negativem Wert von $a$ wird es an der $x$–Achse gespiegelt und ist dann streng monoton steigend.
  4. Das Schaubild der Funktion $a \cdot e^{-x}$ wird durch den Parameter $b$ in Richtung der $y$–Achse nach oben ($ b > 0$) bzw. nach unten ($ b < 0$) verschoben.
  5. Die Gerade $y=b$ ist die waagrechte Asymptote des Schaubildes von $h.$
  6. Das Schaubild von $h$ ist streng monoton steigend, wenn $ h'(x) > 0 $ für alle $ x\in\mathbb{R}$ gilt.
Gib nun die passenden Werte für die Parameter an.
(1) Es ist $ h'(x) = a \cdot (-1) \cdot e^{-x} + 0 = -a \cdot \underbrace{e^{-x}}_{> 0} > 0, $ wenn $ -a > 0 $ und somit $ a < 0 $ ist. Der Parameter darf beliebig sein. Diese Wahl der Parameter folgt auch aus den Eigenschaften 3. und 4.
(2) Für $ a > 0 $ und $ b \geq 0 $ verläuft das Schaubild $h$ im I. und II. Quadranten. Für $ a < 0 $ und $ b \leq 0 $ verläuft das Schaubild $h$ im III. und IV. Quadranten. Für $ b = -a $ gilt $ h(0) = a \cdot e^{0} + b = a \cdot 1 + b = a + b = 0. $ Das Schaubild von $h$ verläuft dann durch den Ursprung und durch den I. und III. Quadranten.
(3) Für $ b = 2 $ ist die Gerade $y=2$ waagrechte Asymptote des Schaubildes von $h$ ist.
$\blacktriangleright$   Parameter einer exponentiellen Funktion ggf. angeben, die alle drei Eigenschaften besitzt
Prüfe anhand der Antworten aus der letzten Teilaufgabe, ob alle drei Eigenschaften des Schaubildes $h$ für geeignete Parameter $ a $ und $ b $ erfüllt sein können.
Wegen (3) muss $ b = 2 $ sein. Gemäß (1) und (2) muss das Schaubild von $h$ dann durch den Urprung des Koordinatensystems und durch den I. und III. Quadranten verlaufen. Das ist für $ b = -a $ der Fall. Folglich muss $ a = -2 $ sein. Dann ist auch (1) erfüllt.
Für $ b = 2 $ und $ a = -2 $ sind alle drei Eigenschaften erfüllt.
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