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Aufgabe 1

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Aufgabe 1

1.1
Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion $4.$ Grades ist symmetrisch zur $y$-Achse. Es hat im Punkt $H(-1 \mid 3)$ eine waagrechte Tangente und schneidet die $y$-Achse bei $-4,5$.
Bestimmen Sie den Funktionsterm.
(6P)
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=-\frac{1}{12}x^4+\frac{3}{2}x²-5, x\in\mathbb{R}$. Ihr Schaubild ist $K_f$.
1.2
Gib die Koordinaten der Extrempunkte von $K_f$ an.
Berechne die exakte Gleichung einer der beiden Wendetangenten.
Zeichne $K_f$ und diese Wendetangente.
(10P)
1.3
$K_f$ und die $x$-Achse begrenzen drei Teilflächen.
Bestimme den Flächeninhalt der größten Teilfläche mit Hilfe einer Stammfunktion.
(4P)
Gegeben ist die Funktion $g$ mit $g(x)=e^x-4, x\in\mathbb{R}$. Ihr Schaubild ist $K_g$.
1.4
Die Gerade $x=u$ schneidet für $-4\leq u\leq-1$ die beiden Schaubilder $K_f$ und $K_g$ in den Punkten $P$ und $Q$.
Für welchen Wert von $u$ ist der Abstand der Punkte $P$ und $Q$ maximal?
Gib den maximalen Abstand an.
(4P)
1.5
Gegeben ist die Funktion $h$ mit $h(x)=a \cdot e^{-x}+b$ mit $a,b,x\in\mathbb{R}$ und $a\neq0$. Gib jeweils Werte für $a$ und $b$ an, so dass …
(1) … die Funktion $h$ monoton steigt.
(2) … das Schaubild von $h$ durch genau zwei Quadranten verläuft.
(3) … die Gerade $y=2$ waagrechte Asymptote des Schaubildes von $h$ ist.
Gibt es Werte für $a$ und $b$, für die alle Bedingungen (1) bis (3) gleichzeitig erfüllt sind?
Gib diese Werte gegebenenfalls an.
(6P)
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