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Aufgabe 5

Aufgaben
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Aufgabe 5

5.1
Löse die folgende Matrizengleichung nach $X$ auf und treffen Sie eine Aussage über das Format der Matrix $A$. Die Matrix $E$ ist eine Einheitsmatrix.
$E - X \cdot A = B^2 - X$
(4P)
5.2
Gegeben sind die Matrizen $C$ und $D$ mit $C$=$\begin{pmatrix}a&0\\b&2\end{pmatrix}$ und $D$ =$\begin{pmatrix}9&0\\3&4\end{pmatrix}$, $a,b \in\mathbb{Z}$.
Bestimme die Werte von $a$ und $b$ so, dass gilt: $C^2 = D$
Prüfe, ob es Werte für $a$ und $b$ gibt, so dass gilt: $C \cdot D = D \cdot C$.
(8P)
5.3
Welche Aussagen kannst du allgemein über die Anzahl von Lösungen von Linearen Gleichungssystemen machen?
Gib jeweils ein entsprechendes lineares Gleichungssystem an.
(7P)
Die Firma NU&DEL stellt aus Weizen, Grieß, Wasser und Salz vier verschiedene Nudelteige $N_1$, $N_2$, $N_3$ und $N_4$ her. Diese werden zu den Nudelsorten $S_1$, $S_2$ und $S_3$ weiterverarbeitet.
Folgende Tabellen zeigen den Materialbedarf in Mengeneinheiten (ME):
$S_1$$S_2$$S_3$
Weizen$121$$190$$271$
Grieß$25$$35$$50$
Wasser$32$$45$$63$
Salz$41$$62$$87$
5.4
Für eine Bestellung werden $70$ ME $S_1$, $90$ ME $S_"$ und $100$ ME $S_3$ produziert.
Welche Mengen an $N_1$, $N_2$, $N_3$ und $N_4$ werden dazu benötigt?
(5P)
5.5
Vor dem Betriebsurlaub befinden sich im Lager noch $280.600$ ME Weizen, $52.000$ ME Grieß, $91.000$ ME Salz und beliebig viel Wasser.
Wie viel ME der Nudelsorten können hergestellt werden, wenn alle Lagerbestände aufgebraucht werden sollen?
Wie viel ME Wasser werden dazu benötigt?
(6P)
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Tipps
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Aufgabe 5 entfällt ab 2018.
Schriftliche Lösungen von Gleichungssystemen sind jedoch Bestandteil der Prüfungen ab 2018.

Aufgabe 5.1

$\blacktriangleright$   Auflösen der Matrizengleichung nach $ \boldsymbol{X} $
Du sollst die Matrizengleichung nach der Matrix $\boldsymbol{X}$ auflösen. Dabei kannst du ähnlich wie bei der Lösung einer linearen Gleichung in der Algebra vorgehen und das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) für beliebige Matrizen $\boldsymbol{M}$ und $\boldsymbol{N}$ anwenden: $\boldsymbol{M}$ + $\boldsymbol{N}$ = $\boldsymbol{N}$ + $\boldsymbol{M}. $
Wie in der Algebra gilt auch $\boldsymbol{M}$ - $\boldsymbol{M}$ = $\boldsymbol{O}$ und $\boldsymbol{M}$ + $\boldsymbol{O}$ = $\boldsymbol{M}$ für die Nullmatrix $\boldsymbol{O}$ sowie $\boldsymbol{M}$ = $\boldsymbol{E}$ $\cdot$ $\boldsymbol{M}.$ Beachte beim Ausklammern von $\boldsymbol{X}$ jedoch, dass die Multiplikation von Matrizen nicht kommutativ (vertauschbar) ist.
$\blacktriangleright$   Aussage über das Format der Matrix $ \boldsymbol{A} $
Um die inverse Matrix bilden zu können, muss die Matrix $ \boldsymbol{A} $ dasselbe Format besitzen wie die Einheitsmatrix $ \boldsymbol{E}. $

Aufgabe 5.2

$\blacktriangleright$   Werte $ \boldsymbol{a}, \, \boldsymbol{b} \in \mathbb{Z} $ so berechnen, dass $ \boldsymbol{C^2 = D} $ gilt
Du sollst ganze Zahlen $ a $ und $b$ so berechnen, dass für die Matrizen $\boldsymbol{C}$ und $\boldsymbol{D}$ die Gleichung $ \boldsymbol{C^2 = D} $ gilt. Bestimme also $C^2$ und berücksichtige, dass zwei Matrizen gleich sind, wenn sie in allen Komponenten übereinstimmen.
Durch den Vergleich der Komponenten erhältst du zwei Gleichungen, die du leicht lösen kannst. Beachte aber, dass nur ganzzahlige Lösungen erlaubt sind.
Kontrollergebnis: \begin{array}{rclcccrclccrcl} \boldsymbol{C} &=& \begin{pmatrix} a & 0 \cr b & 2 \end{pmatrix} \\[5pt] \boldsymbol{C^2} &=& \begin{pmatrix} a^2 & 0 \cr b \cdot a + 2 \cdot b & 4 \end{pmatrix} \\[5pt] \boldsymbol{D} &=& \begin{pmatrix} 9 & 0 \cr 3 & 4 \end{pmatrix} \\ \end{array}
$\blacktriangleright$   Prüfen, ob es Werte $ \boldsymbol{a}, \, \boldsymbol{b} \in \mathbb{Z} $ gibt mit $ \boldsymbol{C \cdot D = D \cdot C} $
Berechne das Produkt $ \boldsymbol{C \cdot D} $ und $ \boldsymbol{D \cdot C} $ getrennt und setze die Ergebnisse gleich. Durch Vergleich der Komponenten erhältst du Bedingungen um zu prüfen, ob und unter welchen Bedingungen es ganzzahlige Lösungen geben kann.

Aufgabe 5.3

$\blacktriangleright$   Allgemeine Aussagen über die Anzahl der Lösungen von Linearen Gleichungssystemen machen
Verwende ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit zwei Gleichungen und zwei Variablen $ x $ und $ y. $ Experimentiere mit unterschiedlichen Gleichungen und bestimme jeweils die Lösungsmenge des LGS. Du solltest drei Möglichkeiten finden.
Alternativ könntest du die Gleichungen jeweils nach $y$ auflösen und die Lösung eines LGS als die Bestimmung der Schnittpunkte von zwei linearen Funktionen betrachten, die in der zweidimensionalen Ebene durch zwei Geraden dargestellt werden. In der Ebene können zwei Geraden parallel zueinander sein oder sich in einem Punkt oder mehreren Punkten schneiden.
$\blacktriangleright$   Entsprechende lineare Gleichungssysteme angeben
Gib einfache LGS mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten an.

Aufgabe 5.4

$\blacktriangleright$   Menge an Nudelteigen für eine Bestellung berechnen
Deine Aufgabe ist es, den Bedarf an Nudelteigen (Zwischenprodukten) zu bestimmen, die für die Bestellung von $ 70 \, \text{ME} $ der Nudelsorte $ S_1, $ $ 90 \, \text{ME} $ der Nudelsorte $ S_2 $ und $ 100 \, \text{ME} $ der Nudelsorte $ S_3 $ benötigt wird.
Nimm dazu die Formelsammlung zum Wahlgebiet ,,Wirtschaftliche Anwendungen" zur Hand. Du kannst mit ihrer Hilfe feststellen, dass es sich bei dem Produktionsprozess der Firma um einen Prozess mit linearer Verflechtung handelt:
  • Aus fünf Rohstoffen (Weizen, Grieß, Wasser, Salz) werden vier Zwischenprodukte (Nudelteige) produziert, aus denen vier Endprodukte (Nudelsorten) erzeugt werden.
  • Die Tabelle links in der Aufgabenstellung stellt als $(4,4)$–Matrix $\boldsymbol{A}$ den Bedarf an Rohstoffen (Weizen, Grieß, Wasser, Salz) für die Zwischenprodukte (Nudelteige) dar.
  • Das Produkt der Matrizen $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ beschreibt den Bedarf an Rohstoffen (Weizen, Grieß, Wasser, Salz) für die Endprodukte (Nudelsorten) und ist die $(4,3)$–Matrix $\boldsymbol{C}$ rechts in der Aufgabenstellung.
  • Die $(4,3)$–Matrix $\boldsymbol{B}$ beschreibt den Bedarf an Zwischenprodukten (Nudelteigen) für die Endprodukte (Nudelsorten).
  • Der $(3,1)$–Produktionsvektor $\boldsymbol{\overrightarrow{p}}$ beschreibt die Bestellmengen der Nudelsorten.
  • Das Produkt der Matrix $\boldsymbol{B}$ mit dem Produktionsvektor $\boldsymbol{\overrightarrow{p}}$ berechnet schließlich den gesuchten Bedarf an Zwischenprodukten (Nudelteigen) für die Bestellung und ist der Vektor $\boldsymbol{\overrightarrow{z}}.$
Die Formelsammlung benutzt bestimmte Bezeichnungen für die Matrizen, Vektoren und Kosten. Diese Bezeichnungen werden für die Lösungen der Teilaufgaben verwendet.
Stelle nun die Matrizengleichung $\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = \boldsymbol{C} $ nach $ \boldsymbol{B} $ um. Beachte dabei, dass für das Auflösen die Multiplikation mit der invesen Matrix $ \boldsymbol{A^{-1}} $ erfolgen muss.
Berechne anschließend das Matrizenprodukt
$ B = A^{-1} \cdot C $ $ B = A^{-1} \cdot C $
und den Zwischenproduktvektor $\boldsymbol{\overrightarrow{z}}$ mithilfe von
$ \overrightarrow{z} = B \cdot \overrightarrow{p}. $ $ \overrightarrow{z} = B \cdot \overrightarrow{p}. $
Auch eine durchgehende Berechnung ist möglich mithilfe von
$ \overrightarrow{z} = A^{-1} \cdot C \cdot \overrightarrow{p}. $ $ \overrightarrow{z} = A^{-1} \cdot C \cdot \overrightarrow{p}. $
Eine schriftliche Berechnung ist nicht erforderlich, weil die Bildung der inversen Matrix sehr aufwendig ist und auch nicht verlangt wird. Benutze den GTR.
Kontrollergebnis: \begin{array}{rclcccrclccrcl} \boldsymbol{B} &=& \begin{pmatrix} 4 & 5 & 7 \cr 1 & 2 & 3 \cr 4 & 6 & 8 \cr 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} \end{array} Das Zwischenergebnis kannst du auch in Form einer Tabelle aufschreiben. Anhand der Matrix $\boldsymbol{B}$ oder Tabelle lässt sich der Bedarf an Zwischenprodukten (Nudelteigen) für die Endprodukte (Nudelsorten) ablesen: \begin{array}{r|ccc} & S_1 & S_2 & S_3 \\ \hline N_1 & 4 & 5 & 7 \\ N_2 & 1 & 2 & 3 \\ N_3 & 4 & 6 & 8 \\ N_4 & 3 & 6 & 9 \\ \end{array} Die Berechnung der Mengen an Zwischenprodukten (Nudelteigen) für die Endprodukte (Nudelsorten) kann wieder wie oben mit dem GTR erfolgen oder auch schriftlich ausgeführt werden.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Jedes Matrizenprodukt $ \boldsymbol{C}_{(m,n)} = \boldsymbol{B}_{(m,l)} \cdot \boldsymbol{\overrightarrow{p}}_{(l,n)} $ berechnet sich mithilfe der Formel
$ c_{ik} = \displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n} b_{ij} \cdot p_{jk}. $ $ c_{ik} = \displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n} b_{ij} \cdot p_{jk}. $

Aufgabe 5.5

$\blacktriangleright$   Produktionsmengen berechnen, wenn alle Lagerbestände an Rohstoffen (Weizen, Grieß, Salz) verbraucht werden
Du sollst berechnen, wie viele Produktionsmengen $ p_1, p_2 $ und $ p_3 $ jeder Nudelsorte erstellt werden können, wenn $ 280.600 \, \text{ME} $ Weizen, $ 52.000 \, \text{ME} $ Grieß, $ 91.000 \, \text{ME} $ Salz und beliebig viel Wasser noch vorhanden sind. Alle Lagerbestände an Weizen, Grieß und Salz sollen aufgebraucht werden. Für den Bedarf an Wasser führst du eine eigene Variable, z. B. $r_3,$ ein.
In der Gleichung
$ C \cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{r} $ $ C \cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{r} $
ist also der Produktionsvektor $\boldsymbol{\overrightarrow{p}}$ gesucht, wobei der Rohstoffvektor wegen der Variable $r_3$ nicht vollständig bekannt ist. Es gilt also, die folgende Gleichung zu lösen:
\begin{array}{rcl} \begin{pmatrix} 121 & 190 & 271 \cr 25 & 35 & 50 \cr 32 & 45 & 63 \cr 41 & 62 & 87 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_1 \cr p_2 \cr p_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 280.600 \cr 52.000 \cr r_3 \cr 91.000 \end{pmatrix} \end{array}
Du kannst die Lösung z. B. bestimmen, indem du die benötigte Wassermenge $r_3$ ignorierst und die einfachere Gleichung
\begin{array}{rcl} \begin{pmatrix} 121 & 190 & 271 \cr 25 & 35 & 50 \cr 41 & 62 & 87 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_1 \cr p_2 \cr p_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 280.600 \cr 52.000 \cr 91.000 \end{pmatrix} \end{array} löst.
Alternativ könntest du aber auch die Gleichung \begin{array}{rcl} \begin{pmatrix} 121 & 190 & 271 & 0 \cr 25 & 35 & 50 & 0 \cr 32 & 45 & 63 & -1 \cr 41 & 62 & 87 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_1 \cr p_2 \cr p_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 280.600 \cr 52.000 \cr 0 \cr 91.000 \end{pmatrix} \end{array}
lösen. Der Vorteil besteht für dich darin, dass du aus dem Ergebnis die Antwort auf die nächste Teilaufgabe erhältst.
Berechne nun im GTR von CASIO mithilfe des EQUA–Menüs das Ergebnis.
Beim GTR von TI berechnest du das Ergebnis mithilfe des rref–Befehls für Matrizen.
$\blacktriangleright$   Die dazu benötigten ME Wasser berechnen
Schließlich ist es deine Aufgabe, aus den ermittelten Produktionsmengen die ME an Wasser zu bestimmen, die benötigt wird. Verwende dazu die dritte Zeile der Gleichung $ \boldsymbol{C} \cdot \boldsymbol{\overrightarrow{p}} = \boldsymbol{\overrightarrow{r}} $ oder übernehme das Ergebnis aus der vorherigen Teilaufgabe.
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Lösungen TI
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Aufgabe 5 entfällt ab 2018.
Schriftliche Lösungen von Gleichungssystemen sind jedoch Bestandteil der Prüfungen ab 2018.

Aufgabe 5.1

$\blacktriangleright$   Auflösen der Matrizengleichung nach $ \boldsymbol{X} $
Du sollst die Matrizengleichung nach der Matrix $\boldsymbol{X}$ auflösen. Dabei kannst du ähnlich wie bei der Lösung einer linearen Gleichung in der Algebra vorgehen und das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) für beliebige Matrizen $\boldsymbol{M}$ und $\boldsymbol{N}$ anwenden: $\boldsymbol{M}$ + $\boldsymbol{N}$ = $\boldsymbol{N}$ + $\boldsymbol{M}. $
Wie in der Algebra gilt auch $\boldsymbol{M}$ - $\boldsymbol{M}$ = $\boldsymbol{O}$ und $\boldsymbol{M}$ + $\boldsymbol{O}$ = $\boldsymbol{M}$ für die Nullmatrix $\boldsymbol{O}$ sowie $\boldsymbol{M}$ = $\boldsymbol{E}$ $\cdot$ $\boldsymbol{M}.$ Beachte beim Ausklammern von $\boldsymbol{X}$ jedoch, dass die Multiplikation von Matrizen nicht kommutativ (vertauschbar) ist. \begin{array}{rcll} \boldsymbol{E} - \boldsymbol{X \cdot A} &=& \boldsymbol{B^2} - \boldsymbol{X} & \scriptsize\mid\; - \boldsymbol{E} \\[5pt] - \boldsymbol{E} + \boldsymbol{E} - \boldsymbol{X \cdot A} &=& - \boldsymbol{E} + \boldsymbol{B^2} - \boldsymbol{X} \\[5pt] -\boldsymbol{O} - \boldsymbol{X \cdot A} &=& \boldsymbol{B^2} - \boldsymbol{E} - \boldsymbol{X} \\[5pt] -\boldsymbol{X \cdot A} &=& \boldsymbol{B^2} - \boldsymbol{E} - \boldsymbol{X} & \scriptsize\mid\; + \boldsymbol{X} \\[5pt] -\boldsymbol{X \cdot A} + \boldsymbol{X} &=& \boldsymbol{B^2} - \boldsymbol{E} -\boldsymbol{X} + \boldsymbol{X} \\[5pt] \boldsymbol{X} -\boldsymbol{X \cdot A} &=& \boldsymbol{B^2} - \boldsymbol{E} - \boldsymbol{O} \\[5pt] \boldsymbol{X} \cdot \left( \boldsymbol{E} -\boldsymbol{A} \right) &=& \boldsymbol{B^2} - \boldsymbol{E} & \scriptsize\mid\; \cdot \; (\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A})^{-1} \; \text{von rechts} \\[5pt] \boldsymbol{X} &=& \left( \boldsymbol{B^2} - \boldsymbol{E} \right) \cdot \left( \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A} \right)^{-1} \end{array}
$\blacktriangleright$   Aussage über das Format der Matrix $ \boldsymbol{A} $
Um die inverse Matrix bilden zu können, muss die Matrix $ \boldsymbol{A} $ dasselbe Format besitzen wie die Einheitsmatrix $ \boldsymbol{E}. $

Aufgabe 5.2

$\blacktriangleright$   Werte $ \boldsymbol{a}, \, \boldsymbol{b} \in \mathbb{Z} $ so berechnen, dass $ \boldsymbol{C^2 = D} $ gilt
Du sollst ganze Zahlen $ a $ und $b$ so berechnen, dass für die Matrizen $\boldsymbol{C}$ und $\boldsymbol{D}$ die Gleichung $ \boldsymbol{C^2 = D} $ gilt. Bestimme also $C^2$ und berücksichtige, dass zwei Matrizen gleich sind, wenn sie in allen Komponenten übereinstimmen.
Durch den Vergleich der Komponenten erhältst du zwei Gleichungen, die du leicht lösen kannst. Beachte aber, dass nur ganzzahlige Lösungen erlaubt sind. \begin{array}{rclcccrclccrcl} \boldsymbol{C} &=& \begin{pmatrix} a & 0 \cr b & 2 \end{pmatrix} \\[5pt] \boldsymbol{C^2} &=& \begin{pmatrix} a & 0 \cr b & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & 0 \cr b & 2 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} a \cdot a + 0 \cdot b & a \cdot 0 + 0 \cdot 2 \cr b \cdot a + 2 \cdot b & b \cdot 0 + 2 \cdot 2 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} a^2 & 0 \cr b \cdot a + 2 \cdot b & 4 \end{pmatrix} \\[5pt] \boldsymbol{D} &=& \begin{pmatrix} 9 & 0 \cr 3 & 4 \end{pmatrix} \\ \end{array} Die zweite Spalte der Matrix $ \boldsymbol{C^2} $ ist identisch mit der zweiten Spalte der Matrix $ \boldsymbol{D}. $
Der Vergleich der Komponenten in der ersten Zeile und ersten Spalte ergibt $ a^2 = 9 $ bzw. $ a = \pm 3. $
Der Vergleich der Komponenten in der zweiten Zeile und ersten Spalte ergibt $ b \cdot a + 2 \cdot b = 3. $
Für $ a = 3 $ lautet die zweite Gleichung $ b \cdot 3 + 2 \cdot b = 3 $ oder $ 5 \cdot b = 3. $ Wegen $ b = \frac{3}{5} \notin \mathbb{Z} $ existiert in diesem Falle keine ganzzahlige Lösung.
Für $ a = -3 $ lautet die zweite Gleichung $ b \cdot (-3) + 2 \cdot b = 3 $ oder $ -b = 3. $ Wegen $ b = -3 \in \mathbb{Z} $ existiert in diesem Falle eine ganzzahlige Lösung.
Für $ a = b = -3 $ existieren die einzigen ganzzahligen Lösungen der Gleichung $ C^2 = D.$
$\blacktriangleright$   Prüfen, ob es Werte $ \boldsymbol{a}, \, \boldsymbol{b} \in \mathbb{Z} $ gibt mit $ \boldsymbol{C \cdot D = D \cdot C} $
Berechne das Produkt $ \boldsymbol{C \cdot D} $ und $ \boldsymbol{D \cdot C} $ getrennt und setze die Ergebnisse gleich. Durch Vergleich der Komponenten erhältst du Bedingungen um zu prüfen, ob und unter welchen Bedingungen es ganzzahlige Lösungen geben kann. \begin{array}{rclcccrclccrcl} \boldsymbol{C} \cdot \boldsymbol{D} &=& \begin{pmatrix} a \cdot 9 + 0 \cdot 3 & a \cdot 0 + 0 \cdot 4 \cr b \cdot 9 + 2 \cdot 3 & b \cdot 0 + 2 \cdot 4 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} a \cdot 9 & 0 \cr b \cdot 9 + 6 & 8 \end{pmatrix} \\[5pt] \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{C} &=& \begin{pmatrix} 9 \cdot a + 0 \cdot b & 9 \cdot 0 + 0 \cdot 4 \cr 3 \cdot a + 4 \cdot b & 3 \cdot 0 + 2 \cdot 4 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 9 \cdot a & 0 \cr 3 \cdot a + 4 \cdot b & 8 \end{pmatrix} \\ \end{array} Die zweite Spalte der Matrix $ \boldsymbol{C \cdot D} $ ist identisch mit der zweiten Spalte der Matrix $ \boldsymbol{D \cdot C}. $
Der Vergleich der Komponenten in der ersten Zeile und ersten Spalte zeigt $ 9 \cdot a = 9 \cdot a. $ Der Wert $a$ kann also jede beliebige ganze Zahl sein.
Der Vergleich der Komponenten in der zweiten Zeile und ersten Spalte ergibt die Gleichung \begin{eqnarray*} 9 \cdot b + 6 &=& 3 \cdot a + 4 \cdot b \\ 5 \cdot b + 6 &=& 3 \cdot a \\ \frac{5}{3} \cdot b + 2 &=& a \\ \end{eqnarray*} $ a $ ist genau dann eine ganzzahlige Zahl, wenn die ganze Zahl $b$ durch 3 teilbar ist, z. B. $ b = 0 $ und $ a = 2 $ oder $ b = 3 $ und $ a = 7. $
Es gibt unendlich viele Lösungen der Gleichung $ \boldsymbol{C \cdot D = D \cdot C}. $ Die ganze Zahl $b$ muss durch $3$ teilbar sein und die ganze Zahl $a$ ist durch $ a = \frac{5}{3} \cdot b + 2 $ festgelegt.

Aufgabe 5.3

$\blacktriangleright$   Allgemeine Aussagen über die Anzahl der Lösungen von Linearen Gleichungssystemen machen
Verwende ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit zwei Gleichungen und zwei Variablen $ x $ und $ y. $ Experimentiere mit unterschiedlichen Gleichungen und bestimme jeweils die Lösungsmenge des LGS. Du solltest drei Möglichkeiten finden.
Alternativ könntest du die Gleichungen jeweils nach $y$ auflösen und die Lösung eines LGS als die Bestimmung der Schnittpunkte von zwei linearen Funktionen betrachten, die in der zweidimensionalen Ebene durch zwei Geraden dargestellt werden. In der Ebene können zwei Geraden parallel zueinander sein oder sich in einem Punkt oder mehreren Punkten schneiden.
Ein LGS kann keine Lösung haben, genau eine Lösung besitzen oder unendlich viele Lösungen haben.
$\blacktriangleright$   Entsprechende lineare Gleichungssysteme angeben
LGS ohne Lösung: $ x + y = 0 $ und $ x + y = 1 $ (zwei zueinander parallele Geraden)
LGS mit genau einer Lösung: $ x + y = 1 $ und $ y = 1 $ (zwei sich schneidende Geraden)
LGS mit unendlich vielen Lösungen: $ x + y = 0 $ und $ 2x + 2y = 0 $ (zwei identische Geraden)

Aufgabe 5.4

$\blacktriangleright$   Menge an Nudelteigen für eine Bestellung berechnen
Deine Aufgabe ist es, den Bedarf an Nudelteigen (Zwischenprodukten) zu bestimmen, die für die Bestellung von $ 70 \, \text{ME} $ der Nudelsorte $ S_1, $ $ 90 \, \text{ME} $ der Nudelsorte $ S_2 $ und $ 100 \, \text{ME} $ der Nudelsorte $ S_3 $ benötigt wird.
Nimm dazu die Formelsammlung zum Wahlgebiet ,,Wirtschaftliche Anwendungen" zur Hand. Du kannst mit ihrer Hilfe feststellen, dass es sich bei dem Produktionsprozess der Firma um einen Prozess mit linearer Verflechtung handelt:
  • Aus fünf Rohstoffen (Weizen, Grieß, Wasser, Salz) werden vier Zwischenprodukte (Nudelteige) produziert, aus denen vier Endprodukte (Nudelsorten) erzeugt werden.
  • Die Tabelle links in der Aufgabenstellung stellt als $(4,4)$–Matrix $\boldsymbol{A}$ den Bedarf an Rohstoffen (Weizen, Grieß, Wasser, Salz) für die Zwischenprodukte (Nudelteige) dar.
  • Das Produkt der Matrizen $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ beschreibt den Bedarf an Rohstoffen (Weizen, Grieß, Wasser, Salz) für die Endprodukte (Nudelsorten) und ist die $(4,3)$–Matrix $\boldsymbol{C}$ rechts in der Aufgabenstellung.
  • Die $(4,3)$–Matrix $\boldsymbol{B}$ beschreibt den Bedarf an Zwischenprodukten (Nudelteigen) für die Endprodukte (Nudelsorten).
  • Der $(3,1)$–Produktionsvektor $\boldsymbol{\overrightarrow{p}}$ beschreibt die Bestellmengen der Nudelsorten.
  • Das Produkt der Matrix $\boldsymbol{B}$ mit dem Produktionsvektor $\boldsymbol{\overrightarrow{p}}$ berechnet schließlich den gesuchten Bedarf an Zwischenprodukten (Nudelteigen) für die Bestellung und ist der Vektor $\boldsymbol{\overrightarrow{z}}.$
Die Formelsammlung benutzt bestimmte Bezeichnungen für die Matrizen, Vektoren und Kosten. Diese Bezeichnungen werden für die Lösungen der Teilaufgaben verwendet.
Stelle nun die Matrizengleichung $\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = \boldsymbol{C} $ nach $ \boldsymbol{B} $ um. Beachte dabei, dass für das Auflösen die Multiplikation mit der invesen Matrix $ \boldsymbol{A^{-1}} $ erfolgen muss.
Berechne anschließend das Matrizenprodukt
$ B = A^{-1}\cdot C $ $ B = A^{-1}\cdot C $
und den Zwischenproduktvektor $\boldsymbol{\overrightarrow{z}}$ mithilfe von
$ \overrightarrow{z} = B \cdot \overrightarrow{p}. $ $ \overrightarrow{z} = B \cdot \overrightarrow{p}. $
Auch eine durchgehende Berechnung ist möglich mithilfe von
$ \overrightarrow{z} = A^{-1} \cdot C \cdot \overrightarrow{p}. $ $ \overrightarrow{z} = A^{-1} \cdot C \cdot \overrightarrow{p}. $
Eine schriftliche Berechnung ist nicht erforderlich, weil die Bildung der inversen Matrix sehr aufwendig ist und auch nicht verlangt wird. Benutze den GTR. Das Kontrollergebnis ist angegeben.
\begin{array}{rclcccrclccrcl} \boldsymbol{A} &=& \begin{pmatrix} 12 & 20 & 8 & 7 \cr 5 & 2 & 0 & 1 \cr 5 & 1 & 2 & 1 \cr 4 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix} \\ \boldsymbol{C} &=& \begin{pmatrix} 121 & 190 & 271 \cr 25 & 35 & 50 \cr 32 & 45 & 63 \cr 41 & 62 & 87 \end{pmatrix} \\ \boldsymbol{\overrightarrow{p}} &=& \begin{pmatrix} 70 \cr 90 \cr 100 \end{pmatrix} \\ \end{array} $\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Im GTR von TI kannst du die Matrizen $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{C}$ abspeichern, indem du die Taste MATRIX betätigst. Für jede Matrix muss du die Anzahl der Zeilen $m$ und die Anzahl Spalten $n$ angeben.
Aufgabe 5
[Abb. 1]: Auswahl der Matrix
Aufgabe 5
[Abb. 1]: Auswahl der Matrix
Aufgabe 5
[Abb. 2]: Festlegung der Zeilen- und Spaltenzahl für Matrix $\boldsymbol{A}$
Aufgabe 5
[Abb. 2]: Festlegung der Zeilen- und Spaltenzahl für Matrix $\boldsymbol{A}$
Durch Ausführung der Taste EDIT gelangst du in die Eingabemaske für die jeweilige Matrix. Gib dort die Zahlen ein, wie sie in der Matrix aufgeführt sind.
Aufgabe 5
[Abb. 3]: Eingabe der Matrix $\boldsymbol{A}$
Aufgabe 5
[Abb. 3]: Eingabe der Matrix $\boldsymbol{A}$
Aufgabe 5
[Abb. 4]: Eingabe der Matrix $\boldsymbol{C}$
Aufgabe 5
[Abb. 4]: Eingabe der Matrix $\boldsymbol{C}$
Das Ergebnis der Multiplikation $ \boldsymbol{A^{-1} \cdot \boldsymbol{C}} $ rufst du mit folgender Tastenkombination im Rechen–Menü auf: Das Ergebnis der Multiplikation $ \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} $ rufst du mit folgender Tastenkombination auf:
MATRIX $\to$ Auswahl A $\to$ ^(-1) $\to$ $\times$ $\to$ MATRIX $\to$ Auswahl C $\to$ ENTER MATRIX $\to$ Auswahl A $\to$ ^(-1) $\to$ $\times$ $\to$ MATRIX $\to$ Auswahl C $\to$ ENTER
Aufgabe 5
[Abb. 5]: Produkt der Matrizen $\boldsymbol{A^{-1}}$ und $\boldsymbol{C}$
Aufgabe 5
[Abb. 5]: Produkt der Matrizen $\boldsymbol{A^{-1}}$ und $\boldsymbol{C}$
Aufgabe 5
[Abb. 6]: Ergebnis Matrix $\boldsymbol{B}$
Aufgabe 5
[Abb. 6]: Ergebnis Matrix $\boldsymbol{B}$
Speichere das Ergebnis als $ \boldsymbol{B}_{(4,3)} $ Matrix ab, um es in weiteren Teilaufgaben verwenden zu können.
Kontrollergebnis: \begin{array}{rclcccrclccrcl} \boldsymbol{B} &=& \begin{pmatrix} 4 & 5 & 7 \cr 1 & 2 & 3 \cr 4 & 6 & 8 \cr 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} \end{array} Das Zwischenergebnis kannst du auch in Form einer Tabelle aufschreiben. Anhand der Matrix $\boldsymbol{B}$ oder Tabelle lässt sich der Bedarf an Zwischenprodukten (Nudelteigen) für die Endprodukte (Nudelsorten) ablesen: \begin{array}{r|ccc} & S_1 & S_2 & S_3 \\ \hline N_1 & 4 & 5 & 7 \\ N_2 & 1 & 2 & 3 \\ N_3 & 4 & 6 & 8 \\ N_4 & 3 & 6 & 9 \\ \end{array} Die Berechnung der Mengen an Zwischenprodukten (Nudelteigen) für die Endprodukte (Nudelsorten) kann wieder wie oben mit dem GTR erfolgen oder auch schriftlich ausgeführt werden.
Hier zunächst die Berechnung mit dem GTR:
Aufgabe 5
[Abb. 7]: Eingabe der Matrix $\boldsymbol{P}$ als Matrix $\boldsymbol{D}$
Aufgabe 5
[Abb. 7]: Eingabe der Matrix $\boldsymbol{P}$ als Matrix $\boldsymbol{D}$
Aufgabe 5
[Abb. 8]: Berechnung von $\boldsymbol{z}$
Aufgabe 5
[Abb. 8]: Berechnung von $\boldsymbol{z}$
Aufgabe 5
[Abb. 9]: Ergebnis von $\boldsymbol{z}$
Aufgabe 5
[Abb. 9]: Ergebnis von $\boldsymbol{z}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Jedes Matrizenprodukt $ \boldsymbol{C}_{(m,n)} = \boldsymbol{B}_{(m,l)} \cdot \boldsymbol{\overrightarrow{p}}_{(l,n)} $ berechnet sich mithilfe der Formel
$ c_{ik} = \displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n} b_{ij} \cdot p_{jk}. $ $ c_{ik} = \displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n} b_{ij} \cdot p_{jk}. $
\begin{array}{rcl} \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{\overrightarrow{p}} &=& \begin{pmatrix} 4 & 5 & 7 \cr 1 & 2 & 3 \cr 4 & 6 & 8 \cr 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 70 \cr 90 \cr 100 \end{pmatrix} \\ \\ &=& \begin{pmatrix} 4 \cdot 70 + 5 \cdot 90 + 7 \cdot 100 \cr 1 \cdot 70 + 2 \cdot 90 + 3 \cdot 100 \cr 4 \cdot 70 + 6 \cdot 90 + 8 \cdot 100 \cr 3 \cdot 70 + 6 \cdot 90 + 9 \cdot 100 \end{pmatrix} \\ \\ &=& \begin{pmatrix} 280 + 450 + 700 \cr 70 + 180 + 300 \cr 280 + 540 + 800 \cr 210 + 540 + 900 \end{pmatrix} \\ \\ &=& \begin{pmatrix} 1.430 \cr 550 \cr 1.620 \cr 1.650 \end{pmatrix} \\ \\ &=& \boldsymbol{\overrightarrow{z}} \end{array} Es werden für die Bestellung der Nudelsorten $ 1.430 \, \text{ME} $ von Nudelteig $ N_1, $ $ 550 \, \text{ME} $ von Nudelteig $ N_2, $ $ 1.620 \, \text{ME} $ von Nudelteig $ N_3 $ und $ 1.650 \, \text{ME} $ von $ N_4 $ benötigt.

Aufgabe 5.5

$\blacktriangleright$   Produktionsmengen berechnen, wenn alle Lagerbestände an Rohstoffen (Weizen, Grieß, Salz) verbraucht werden
Du sollst berechnen, wie viele Produktionsmengen $ p_1, p_2 $ und $ p_3 $ jeder Nudelsorte erstellt werden können, wenn $ 280.600 \, \text{ME} $ Weizen, $ 52.000 \, \text{ME} $ Grieß, $ 91.000 \, \text{ME} $ Salz und beliebig viel Wasser noch vorhanden sind. Alle Lagerbestände an Weizen, Grieß und Salz sollen aufgebraucht werden. Für den Bedarf an Wasser führst du eine eigene Variable, z. B. $r_3,$ ein.
In der Gleichung
$ C \cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{r} $ $ C \cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{r} $
ist also der Produktionsvektor $\boldsymbol{\overrightarrow{p}}$ gesucht, wobei der Rohstoffvektor wegen der Variable $r_3$ nicht vollständig bekannt ist. Es gilt also, die folgende Gleichung zu lösen:
\begin{array}{rcl} \begin{pmatrix} 121 & 190 & 271 \cr 25 & 35 & 50 \cr 32 & 45 & 63 \cr 41 & 62 & 87 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_1 \cr p_2 \cr p_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 280.600 \cr 52.000 \cr r_3 \cr 91.000 \end{pmatrix} \end{array}
Du kannst die Lösung z. B. bestimmen, indem du die benötigte Wassermenge $r_3$ ignorierst und die einfachere Gleichung
\begin{array}{rcl} \begin{pmatrix} 121 & 190 & 271 \cr 25 & 35 & 50 \cr 41 & 62 & 87 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_1 \cr p_2 \cr p_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 280.600 \cr 52.000 \cr 91.000 \end{pmatrix} \end{array} löst.
Alternativ könntest du aber auch die Gleichung \begin{array}{rcl} \begin{pmatrix} 121 & 190 & 271 & 0 \cr 25 & 35 & 50 & 0 \cr 32 & 45 & 63 & -1 \cr 41 & 62 & 87 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_1 \cr p_2 \cr p_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 280.600 \cr 52.000 \cr 0 \cr 91.000 \end{pmatrix} \end{array}
lösen. Der Vorteil besteht für dich darin, dass du aus dem Ergebnis die Antwort auf die nächste Teilaufgabe erhältst.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Berechne nun im GTR das Ergebnis, indem du das LGS z. B. als Matrix $A$ eingibst und es auf Diagonalgestalt bringst. Diese Umformung erfolgt mit dem zugehörige Tastaturaufruf:
MATRIX $\to$ MATH $\to$ D: rref $\to$ MATRIX D $\to$ ENTER $\to$ Eingabe ) $\to$ ENTER MATRIX $\to$ MATH $\to$ D: rref $\to$ MATRIX D $\to$ ENTER $\to$ Eingabe ) $\to$ ENTER
Aufgabe 5
[Abb. 10]: Eingabe des LGS
Aufgabe 5
[Abb. 10]: Eingabe des LGS
Aufgabe 5
[Abb. 11]: Ergebnis des LGS
Aufgabe 5
[Abb. 11]: Ergebnis des LGS
Die Lösung des Gleichungssystems ist $ p_1 = 100, \; p_2 = 700, \; p_3 = 20 $ und $ r_3 = 66 200.$
Es können $ 100 \, \text{ME} $ von der Nudelsorte $S_1,$ $ 700 \, \text{ME} $ von der Nudelsorte $ S_2 $ und $ 500 \, \text{ME} $ von der Nudelsorte $ S_3 $ hergestellt werden.
$\blacktriangleright$   Die dazu benötigten ME Wasser berechnen
Schließlich ist es deine Aufgabe, aus den ermittelten Produktionsmengen die ME an Wasser zu bestimmen, die benötigt wird. Verwende dazu die dritte Zeile der Gleichung $ \boldsymbol{C} \cdot \boldsymbol{\overrightarrow{p}} = \boldsymbol{\overrightarrow{r}} $ oder übernehme das Ergebnis aus der vorherigen Teilaufgabe. \[ 32 \cdot 100 + 45 \cdot 700 + 63 \cdot 500 = 3.200 + 31.500 + 31.500 = 66.200 \] Es werden $ 66.200 \, \text{ME} $ Wasser für die Herstellung von $100 \, \text{ME} $ der Nudelsorte $S_1,$ $ 700 \, \text{ME} $ der Nudelsorte $ S_2 $ und $ 500 \, \text{ME} $ der Nudelsorte $ S_3 $ verbraucht.
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Aufgabe 5 entfällt ab 2018.
Schriftliche Lösungen von Gleichungssystemen sind jedoch Bestandteil der Prüfungen ab 2018.

Aufgabe 5.1

$\blacktriangleright$   Auflösen der Matrizengleichung nach $ \boldsymbol{X} $
Du sollst die Matrizengleichung nach der Matrix $\boldsymbol{X}$ auflösen. Dabei kannst du ähnlich wie bei der Lösung einer linearen Gleichung in der Algebra vorgehen und das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) für beliebige Matrizen $\boldsymbol{M}$ und $\boldsymbol{N}$ anwenden: $\boldsymbol{M}$ + $\boldsymbol{N}$ = $\boldsymbol{N}$ + $\boldsymbol{M}. $
Wie in der Algebra gilt auch $\boldsymbol{M}$ - $\boldsymbol{M}$ = $\boldsymbol{O}$ und $\boldsymbol{M}$ + $\boldsymbol{O}$ = $\boldsymbol{M}$ für die Nullmatrix $\boldsymbol{O}$ sowie $\boldsymbol{M}$ = $\boldsymbol{E}$ $\cdot$ $\boldsymbol{M}.$ Beachte beim Ausklammern von $\boldsymbol{X}$ jedoch, dass die Multiplikation von Matrizen nicht kommutativ (vertauschbar) ist. \begin{array}{rcll} \boldsymbol{E} - \boldsymbol{X \cdot A} &=& \boldsymbol{B^2} - \boldsymbol{X} & \scriptsize\mid\; - \boldsymbol{E} \\[5pt] - \boldsymbol{E} + \boldsymbol{E} - \boldsymbol{X \cdot A} &=& - \boldsymbol{E} + \boldsymbol{B^2} - \boldsymbol{X} \\[5pt] -\boldsymbol{O} - \boldsymbol{X \cdot A} &=& \boldsymbol{B^2} - \boldsymbol{E} - \boldsymbol{X} \\[5pt] -\boldsymbol{X \cdot A} &=& \boldsymbol{B^2} - \boldsymbol{E} - \boldsymbol{X} & \scriptsize\mid\; + \boldsymbol{X} \\[5pt] -\boldsymbol{X \cdot A} + \boldsymbol{X} &=& \boldsymbol{B^2} - \boldsymbol{E} -\boldsymbol{X} + \boldsymbol{X} \\[5pt] \boldsymbol{X} -\boldsymbol{X \cdot A} &=& \boldsymbol{B^2} - \boldsymbol{E} - \boldsymbol{O} \\[5pt] \boldsymbol{X} \cdot \left( \boldsymbol{E} -\boldsymbol{A} \right) &=& \boldsymbol{B^2} - \boldsymbol{E} & \scriptsize\mid\; \cdot \; (\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A})^{-1} \; \text{von rechts} \\[5pt] \boldsymbol{X} &=& \left( \boldsymbol{B^2} - \boldsymbol{E} \right) \cdot \left( \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A} \right)^{-1} \end{array}
$\blacktriangleright$   Aussage über das Format der Matrix $ \boldsymbol{A} $
Um die inverse Matrix bilden zu können, muss die Matrix $ \boldsymbol{A} $ dasselbe Format besitzen wie die Einheitsmatrix $ \boldsymbol{E}. $

Aufgabe 5.2

$\blacktriangleright$   Werte $ \boldsymbol{a}, \, \boldsymbol{b} \in \mathbb{Z} $ so berechnen, dass $ \boldsymbol{C^2 = D} $ gilt
Du sollst ganze Zahlen $ a $ und $b$ so berechnen, dass für die Matrizen $\boldsymbol{C}$ und $\boldsymbol{D}$ die Gleichung $ \boldsymbol{C^2 = D} $ gilt. Bestimme also $C^2$ und berücksichtige, dass zwei Matrizen gleich sind, wenn sie in allen Komponenten übereinstimmen.
Durch den Vergleich der Komponenten erhältst du zwei Gleichungen, die du leicht lösen kannst. Beachte aber, dass nur ganzzahlige Lösungen erlaubt sind. \begin{array}{rclcccrclccrcl} \boldsymbol{C} &=& \begin{pmatrix} a & 0 \cr b & 2 \end{pmatrix} \\[5pt] \boldsymbol{C^2} &=& \begin{pmatrix} a & 0 \cr b & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & 0 \cr b & 2 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} a \cdot a + 0 \cdot b & a \cdot 0 + 0 \cdot 2 \cr b \cdot a + 2 \cdot b & b \cdot 0 + 2 \cdot 2 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} a^2 & 0 \cr b \cdot a + 2 \cdot b & 4 \end{pmatrix} \\[5pt] \boldsymbol{D} &=& \begin{pmatrix} 9 & 0 \cr 3 & 4 \end{pmatrix} \\ \end{array} Die zweite Spalte der Matrix $ \boldsymbol{C^2} $ ist identisch mit der zweiten Spalte der Matrix $ \boldsymbol{D}. $
Der Vergleich der Komponenten in der ersten Zeile und ersten Spalte ergibt $ a^2 = 9 $ bzw. $ a = \pm 3. $
Der Vergleich der Komponenten in der zweiten Zeile und ersten Spalte ergibt $ b \cdot a + 2 \cdot b = 3. $
Für $ a = 3 $ lautet die zweite Gleichung $ b \cdot 3 + 2 \cdot b = 3 $ oder $ 5 \cdot b = 3. $ Wegen $ b = \frac{3}{5} \notin \mathbb{Z} $ existiert in diesem Falle keine ganzzahlige Lösung.
Für $ a = -3 $ lautet die zweite Gleichung $ b \cdot (-3) + 2 \cdot b = 3 $ oder $ -b = 3. $ Wegen $ b = -3 \in \mathbb{Z} $ existiert in diesem Falle eine ganzzahlige Lösung.
Für $ a = b = -3 $ existieren die einzigen ganzzahligen Lösungen der Gleichung $ C^2 = D.$
$\blacktriangleright$   Prüfen, ob es Werte $ \boldsymbol{a}, \, \boldsymbol{b} \in \mathbb{Z} $ gibt mit $ \boldsymbol{C \cdot D = D \cdot C} $
Berechne das Produkt $ \boldsymbol{C \cdot D} $ und $ \boldsymbol{D \cdot C} $ getrennt und setze die Ergebnisse gleich. Durch Vergleich der Komponenten erhältst du Bedingungen um zu prüfen, ob und unter welchen Bedingungen es ganzzahlige Lösungen geben kann. \begin{array}{rclcccrclccrcl} \boldsymbol{C} \cdot \boldsymbol{D} &=& \begin{pmatrix} a \cdot 9 + 0 \cdot 3 & a \cdot 0 + 0 \cdot 4 \cr b \cdot 9 + 2 \cdot 3 & b \cdot 0 + 2 \cdot 4 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} a \cdot 9 & 0 \cr b \cdot 9 + 6 & 8 \end{pmatrix} \\[5pt] \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{C} &=& \begin{pmatrix} 9 \cdot a + 0 \cdot b & 9 \cdot 0 + 0 \cdot 4 \cr 3 \cdot a + 4 \cdot b & 3 \cdot 0 + 2 \cdot 4 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 9 \cdot a & 0 \cr 3 \cdot a + 4 \cdot b & 8 \end{pmatrix} \\ \end{array} Die zweite Spalte der Matrix $ \boldsymbol{C \cdot D} $ ist identisch mit der zweiten Spalte der Matrix $ \boldsymbol{D \cdot C}. $
Der Vergleich der Komponenten in der ersten Zeile und ersten Spalte zeigt $ 9 \cdot a = 9 \cdot a. $ Der Wert $a$ kann also jede beliebige ganze Zahl sein.
Der Vergleich der Komponenten in der zweiten Zeile und ersten Spalte ergibt die Gleichung \begin{eqnarray*} 9 \cdot b + 6 &=& 3 \cdot a + 4 \cdot b \\ 5 \cdot b + 6 &=& 3 \cdot a \\ \frac{5}{3} \cdot b + 2 &=& a \\ \end{eqnarray*} $ a $ ist genau dann eine ganzzahlige Zahl, wenn die ganze Zahl $b$ durch 3 teilbar ist, z. B. $ b = 0 $ und $ a = 2 $ oder $ b = 3 $ und $ a = 7. $
Es gibt unendlich viele Lösungen der Gleichung $ \boldsymbol{C \cdot D = D \cdot C}. $ Die ganze Zahl $b$ muss durch $3$ teilbar sein und die ganze Zahl $a$ ist durch $ a = \frac{5}{3} \cdot b + 2 $ festgelegt.

Aufgabe 5.3

$\blacktriangleright$   Allgemeine Aussagen über die Anzahl der Lösungen von Linearen Gleichungssystemen machen
Verwende ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit zwei Gleichungen und zwei Variablen $ x $ und $ y. $ Experimentiere mit unterschiedlichen Gleichungen und bestimme jeweils die Lösungsmenge des LGS. Du solltest drei Möglichkeiten finden.
Alternativ könntest du die Gleichungen jeweils nach $y$ auflösen und die Lösung eines LGS als die Bestimmung der Schnittpunkte von zwei linearen Funktionen betrachten, die in der zweidimensionalen Ebene durch zwei Geraden dargestellt werden. In der Ebene können zwei Geraden parallel zueinander sein oder sich in einem Punkt oder mehreren Punkten schneiden.
Ein LGS kann keine Lösung haben, genau eine Lösung besitzen oder unendlich viele Lösungen haben.
$\blacktriangleright$   Entsprechende lineare Gleichungssysteme angeben
LGS ohne Lösung: $ x + y = 0 $ und $ x + y = 1 $ (zwei zueinander parallele Geraden)
LGS mit genau einer Lösung: $ x + y = 1 $ und $ y = 1 $ (zwei sich schneidende Geraden)
LGS mit unendlich vielen Lösungen: $ x + y = 0 $ und $ 2x + 2y = 0 $ (zwei identische Geraden)

Aufgabe 5.4

$\blacktriangleright$   Menge an Nudelteigen für eine Bestellung berechnen
Deine Aufgabe ist es, den Bedarf an Nudelteigen (Zwischenprodukten) zu bestimmen, die für die Bestellung von $ 70 \, \text{ME} $ der Nudelsorte $ S_1, $ $ 90 \, \text{ME} $ der Nudelsorte $ S_2 $ und $ 100 \, \text{ME} $ der Nudelsorte $ S_3 $ benötigt wird.
Nimm dazu die Formelsammlung zum Wahlgebiet ,,Wirtschaftliche Anwendungen" zur Hand. Du kannst mit ihrer Hilfe feststellen, dass es sich bei dem Produktionsprozess der Firma um einen Prozess mit linearer Verflechtung handelt:
  • Aus fünf Rohstoffen (Weizen, Grieß, Wasser, Salz) werden vier Zwischenprodukte (Nudelteige) produziert, aus denen vier Endprodukte (Nudelsorten) erzeugt werden.
  • Die Tabelle links in der Aufgabenstellung stellt als $(4,4)$–Matrix $\boldsymbol{A}$ den Bedarf an Rohstoffen (Weizen, Grieß, Wasser, Salz) für die Zwischenprodukte (Nudelteige) dar.
  • Das Produkt der Matrizen $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ beschreibt den Bedarf an Rohstoffen (Weizen, Grieß, Wasser, Salz) für die Endprodukte (Nudelsorten) und ist die $(4,3)$–Matrix $\boldsymbol{C}$ rechts in der Aufgabenstellung.
  • Die $(4,3)$–Matrix $\boldsymbol{B}$ beschreibt den Bedarf an Zwischenprodukten (Nudelteigen) für die Endprodukte (Nudelsorten).
  • Der $(3,1)$–Produktionsvektor $\boldsymbol{\overrightarrow{p}}$ beschreibt die Bestellmengen der Nudelsorten.
  • Das Produkt der Matrix $\boldsymbol{B}$ mit dem Produktionsvektor $\boldsymbol{\overrightarrow{p}}$ berechnet schließlich den gesuchten Bedarf an Zwischenprodukten (Nudelteigen) für die Bestellung und ist der Vektor $\boldsymbol{\overrightarrow{z}}.$
Die Formelsammlung benutzt bestimmte Bezeichnungen für die Matrizen, Vektoren und Kosten. Diese Bezeichnungen werden für die Lösungen der Teilaufgaben verwendet.
Stelle nun die Matrizengleichung $\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = \boldsymbol{C} $ nach $ \boldsymbol{B} $ um. Beachte dabei, dass für das Auflösen die Multiplikation mit der invesen Matrix $ \boldsymbol{A^{-1}} $ erfolgen muss.
Berechne anschließend das Matrizenprodukt
$ B = A^{-1}\cdot C $ $ B = A^{-1}\cdot C $
und den Zwischenproduktvektor $\boldsymbol{\overrightarrow{z}}$ mithilfe von
$ \overrightarrow{z} = B \cdot \overrightarrow{p}. $ $ \overrightarrow{z} = B \cdot \overrightarrow{p}. $
Auch eine durchgehende Berechnung ist möglich mithilfe von
$ \overrightarrow{z} = A^{-1} \cdot C \cdot \overrightarrow{p}. $ $ \overrightarrow{z} = A^{-1} \cdot C \cdot \overrightarrow{p}. $
Eine schriftliche Berechnung ist nicht erforderlich, weil die Bildung der inversen Matrix sehr aufwendig ist und auch nicht verlangt wird. Benutze den GTR. Das Kontrollergebnis ist angegeben.
\begin{array}{rclcccrclccrcl} \boldsymbol{A} &=& \begin{pmatrix} 12 & 20 & 8 & 7 \cr 5 & 2 & 0 & 1 \cr 5 & 1 & 2 & 1 \cr 4 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix} \\ \boldsymbol{C} &=& \begin{pmatrix} 121 & 190 & 271 \cr 25 & 35 & 50 \cr 32 & 45 & 63 \cr 41 & 62 & 87 \end{pmatrix} \\ \boldsymbol{\overrightarrow{p}} &=& \begin{pmatrix} 70 \cr 90 \cr 100 \end{pmatrix} \\ \end{array} $\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Im RUN–Menü des GTR kannst du die Matrizen $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{C}$ abspeichern, indem du die Taste MAT betätigst. Für jede Matrix muss du die Anzahl der Zeilen $m$ und die Anzahl Spalten $n$ angeben.
Aufgabe 5
[Abb. 1]: Auswahl der Matrix
Aufgabe 5
[Abb. 1]: Auswahl der Matrix
Aufgabe 5
[Abb. 2]: Festlegung der Zeilen- und Spaltenzahl für Matrix $\boldsymbol{A}$
Aufgabe 5
[Abb. 2]: Festlegung der Zeilen- und Spaltenzahl für Matrix $\boldsymbol{A}$
Durch Ausführung der Taste EXE gelangst du in die Eingabemaske für die jeweilige Matrix. Gib dort die Zahlen ein, wie sie in der Matrix aufgeführt sind.
Aufgabe 5
[Abb. 3]: Eingabe der Matrix $\boldsymbol{A}$
Aufgabe 5
[Abb. 3]: Eingabe der Matrix $\boldsymbol{A}$
Aufgabe 5
[Abb. 4]: Eingabe der Matrix $\boldsymbol{C}$
Aufgabe 5
[Abb. 4]: Eingabe der Matrix $\boldsymbol{C}$
Das Ergebnis der Multiplikation $ \boldsymbol{A^{-1} \cdot \boldsymbol{C}} $ rufst du mit folgender Tastenkombination im RUN–Menü auf:
OPTN $\to$ MAT $\to$ MAT $\to$ Eingabe ALPHA A $\to$ ^{-1} $\to$ $\times$ $\to$ Eingabe ALPHA C $\to$ EXE OPTN $\to$ MAT $\to$ MAT $\to$ Eingabe ALPHA A $\to$ ^{-1} $\to$ $\times$ $\to$ Eingabe ALPHA C $\to$ EXE
Aufgabe 5
[Abb. 5]: Produkt der Matrizen $\boldsymbol{A^{-1}}$ und $\boldsymbol{C}$
Aufgabe 5
[Abb. 5]: Produkt der Matrizen $\boldsymbol{A^{-1}}$ und $\boldsymbol{C}$
Aufgabe 5
[Abb. 6]: Ergebnis Matrix $\boldsymbol{B}$
Aufgabe 5
[Abb. 6]: Ergebnis Matrix $\boldsymbol{B}$
Speichere das Ergebnis als $ \boldsymbol{B}_{(4,3)} $ Matrix ab, um es in weiteren Teilaufgaben verwenden zu können.
Kontrollergebnis: \begin{array}{rclcccrclccrcl} \boldsymbol{B} &=& \begin{pmatrix} 4 & 5 & 7 \cr 1 & 2 & 3 \cr 4 & 6 & 8 \cr 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} \end{array} Das Zwischenergebnis kannst du auch in Form einer Tabelle aufschreiben. Anhand der Matrix $\boldsymbol{B}$ oder Tabelle lässt sich der Bedarf an Zwischenprodukten (Nudelteigen) für die Endprodukte (Nudelsorten) ablesen: \begin{array}{r|ccc} & S_1 & S_2 & S_3 \\ \hline N_1 & 4 & 5 & 7 \\ N_2 & 1 & 2 & 3 \\ N_3 & 4 & 6 & 8 \\ N_4 & 3 & 6 & 9 \\ \end{array} Die Berechnung der Mengen an Zwischenprodukten (Nudelteigen) für die Endprodukte (Nudelsorten) kann wieder wie oben mit dem GTR erfolgen oder auch schriftlich ausgeführt werden.
Hier zunächst die Berechnung mit dem GTR:
Aufgabe 5
[Abb. 7]: Eingabe der Matrix $\boldsymbol{P}$
Aufgabe 5
[Abb. 7]: Eingabe der Matrix $\boldsymbol{P}$
Aufgabe 5
[Abb. 8]: Berechnung von $\boldsymbol{z}$
Aufgabe 5
[Abb. 8]: Berechnung von $\boldsymbol{z}$
Aufgabe 5
[Abb. 9]: Ergebnis von $\boldsymbol{z}$
Aufgabe 5
[Abb. 9]: Ergebnis von $\boldsymbol{z}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Schriftliche Lösung
Jedes Matrizenprodukt $ \boldsymbol{C}_{(m,n)} = \boldsymbol{B}_{(m,l)} \cdot \boldsymbol{\overrightarrow{p}}_{(l,n)} $ berechnet sich mithilfe der Formel
$ c_{ik} = \displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n} b_{ij} \cdot p_{jk}. $ $ c_{ik} = \displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n} b_{ij} \cdot p_{jk}. $
\begin{array}{rcl} \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{\overrightarrow{p}} &=& \begin{pmatrix} 4 & 5 & 7 \cr 1 & 2 & 3 \cr 4 & 6 & 8 \cr 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 70 \cr 90 \cr 100 \end{pmatrix} \\ \\ &=& \begin{pmatrix} 4 \cdot 70 + 5 \cdot 90 + 7 \cdot 100 \cr 1 \cdot 70 + 2 \cdot 90 + 3 \cdot 100 \cr 4 \cdot 70 + 6 \cdot 90 + 8 \cdot 100 \cr 3 \cdot 70 + 6 \cdot 90 + 9 \cdot 100 \end{pmatrix} \\ \\ &=& \begin{pmatrix} 280 + 450 + 700 \cr 70 + 180 + 300 \cr 280 + 540 + 800 \cr 210 + 540 + 900 \end{pmatrix} \\ \\ &=& \begin{pmatrix} 1.430 \cr 550 \cr 1.620 \cr 1.650 \end{pmatrix} \\ \\ &=& \boldsymbol{\overrightarrow{z}} \end{array} Es werden für die Bestellung der Nudelsorten $ 1.430 \, \text{ME} $ von Nudelteig $ N_1, $ $ 550 \, \text{ME} $ von Nudelteig $ N_2, $ $ 1.620 \, \text{ME} $ von Nudelteig $ N_3 $ und $ 1.650 \, \text{ME} $ von $ N_4 $ benötigt.

Aufgabe 5.5

$\blacktriangleright$   Produktionsmengen berechnen, wenn alle Lagerbestände an Rohstoffen (Weizen, Grieß, Salz) verbraucht werden
Du sollst berechnen, wie viele Produktionsmengen $ p_1, p_2 $ und $ p_3 $ jeder Nudelsorte erstellt werden können, wenn $ 280.600 \, \text{ME} $ Weizen, $ 52.000 \, \text{ME} $ Grieß, $ 91.000 \, \text{ME} $ Salz und beliebig viel Wasser noch vorhanden sind. Alle Lagerbestände an Weizen, Grieß und Salz sollen aufgebraucht werden. Für den Bedarf an Wasser führst du eine eigene Variable, z. B. $r_3,$ ein.
In der Gleichung
$ C \cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{r} $ $ C \cdot \overrightarrow{p} = \overrightarrow{r} $
ist also der Produktionsvektor $\boldsymbol{\overrightarrow{p}}$ gesucht, wobei der Rohstoffvektor wegen der Variable $r_3$ nicht vollständig bekannt ist. Es gilt also, die folgende Gleichung zu lösen:
\begin{array}{rcl} \begin{pmatrix} 121 & 190 & 271 \cr 25 & 35 & 50 \cr 32 & 45 & 63 \cr 41 & 62 & 87 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_1 \cr p_2 \cr p_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 280.600 \cr 52.000 \cr r_3 \cr 91.000 \end{pmatrix} \end{array}
Du kannst die Lösung z. B. bestimmen, indem du die benötigte Wassermenge $r_3$ ignorierst und die einfachere Gleichung
\begin{array}{rcl} \begin{pmatrix} 121 & 190 & 271 \cr 25 & 35 & 50 \cr 41 & 62 & 87 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_1 \cr p_2 \cr p_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 280.600 \cr 52.000 \cr 91.000 \end{pmatrix} \end{array} löst.
Alternativ könntest du aber auch die Gleichung \begin{array}{rcl} \begin{pmatrix} 121 & 190 & 271 & 0 \cr 25 & 35 & 50 & 0 \cr 32 & 45 & 63 & -1 \cr 41 & 62 & 87 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_1 \cr p_2 \cr p_3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 280.600 \cr 52.000 \cr 0 \cr 91.000 \end{pmatrix} \end{array}
lösen. Der Vorteil besteht für dich darin, dass du aus dem Ergebnis die Antwort auf die nächste Teilaufgabe erhältst.
Berechne nun im GTR mithilfe des EQUA–Befehls das Ergebnis.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Aufgabe 5
[Abb. 10]: Eingabe des LGS
Aufgabe 5
[Abb. 10]: Eingabe des LGS
Aufgabe 5
[Abb. 11]: Ergebnis des LGS
Aufgabe 5
[Abb. 11]: Ergebnis des LGS
Die Lösung des Gleichungssystems ist $ p_1 = 100, \; p_2 = 700, \; p_3 = 20 $ und $ r_3 = 66 200.$
Es können $ 100 \, \text{ME} $ von der Nudelsorte $S_1,$ $ 700 \, \text{ME} $ von der Nudelsorte $ S_2 $ und $ 500 \, \text{ME} $ von der Nudelsorte $ S_3 $ hergestellt werden.
$\blacktriangleright$   Die dazu benötigten ME Wasser berechnen
Schließlich ist es deine Aufgabe, aus den ermittelten Produktionsmengen die ME an Wasser zu bestimmen, die benötigt wird. Verwende dazu die dritte Zeile der Gleichung $ \boldsymbol{C} \cdot \boldsymbol{\overrightarrow{p}} = \boldsymbol{\overrightarrow{r}} $ oder übernehme das Ergebnis aus der vorherigen Teilaufgabe. \[ 32 \cdot 100 + 45 \cdot 700 + 63 \cdot 500 = 3.200 + 31.500 + 31.500 = 66.200 \] Es werden $ 66.200 \, \text{ME} $ Wasser für die Herstellung von $100 \, \text{ME} $ der Nudelsorte $S_1,$ $ 700 \, \text{ME} $ der Nudelsorte $ S_2 $ und $ 500 \, \text{ME} $ der Nudelsorte $ S_3 $ verbraucht.
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