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Aufgabe 7

Aufgaben
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Aufgabe 7

Die Firma Schraubfix stellt Schrauben her. Die Gesamtkosten $K$ werden durch eine Funktion $3.$ Grades dargestellt. Dabei entspricht $x$ der Produktionsmenge in Mengeneinheiten (ME) und $K(x)$ den Gesamtkosten in Geldeinheiten (GE).
7.1
Bei einer Produktion von $9$ ME enstehen Gesamtkosten in Höhe von $406$ GE. Die Grenzkosten haben ein Minimum bei $3$ ME mit $7$ GE pro ME. Die variablen Stückkosten bei $4$ ME betragen $14$ GE pro ME.
Bestimmen Sie die Gesamtkostenfunktion $K^*$.
(6P)
Die Firma rechnet nach Umstrukturierungen mit der Gesamtkostenfunktion $K$ mit $K(x)=x^3-9x^2+36x+120$ und der Erlösfunktion $E$ mit $E(x)=54x$.
Die Kapazitätsgrenze beträgt $10$ ME.
7.2
Berechnen Sie die Nutzenschwelle, Nutzengrenze, den maximalen Gewinn und die langfristige Preisuntergrenze.
(8P)
7.3
Auf welchen Wert kann der Verkaufspreis sinken, wenn das Gewinnmaximum bei $6$ ME liegen soll?
(3P)
7.4
Aufgrund von Rationalisierungsmaßnamen können die Fixkosten um $50$% reduziert werden, allerdings beträgt der Verkaufspreis nun $27$ GE pro ME.
Überprüfen Sie, ob die Firma in dieser Situation einen positiven Gewinn erzielen kann.
(3P)
Die Länge der Schrauben wird als normalverteilt angenommen; Kontrollmessungen ergaben eine durchschnittliche Länge von $\mu=50mm$ und eine Standardabweichung von $\delta=5mm$. Als Spitzenware gelten Schrauben, welche maximal $2$% vom Durchschnitt abweichen. Als Ausschussware gelten Produkte, welche mehr als $10$% vom Durchschnitt abweichen.
7.5
Wie viel Prozent Ausschuss wird produziert?
(3P)
7.6
Ein Profifachhändler möchte nur die Spitzenware der Schraubenproduktion vermarkten.
Welche Schraubenmenge sollte produziert werden, wenn er $15.000$ Stück der Spitzenware benötigt?
(4P)
7.7
Das Unternehmen möchte die längesten Schrauben aussortieren.
Welche Länge muss eine Schraube mindestens haben, damit maximal $5$% der Schrauben aussortiert werden?
(3P)
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Aufgabe 6 entfällt ab 2018.
Hinweis: Alle Berechnungen können mit einem GTR von CASIO durchgeführt werden; eine schriftliche Lösung ist überwiegend jedoch nicht möglich. Eine Unterscheidung zwischen einer Lösung mit einem GTR und einer schriftlichen Lösung entfällt aus diesem Grund.
Nimm die Formelsammlung zum Wahlgebiet ,,Mathematik in der Praxis" zur Hand, um die im Aufgabentext vorkommenden Fachbegriffe der Kostentheorie den mathematischen Fachbegriffen zuordnen zu können.

Aufgabe 7.1

$\blacktriangleright$   Gesamtkostenfunktion $ \boldsymbol{K(x)} $ bestimmen
Zusätzlich besteht deine Aufgabe darin, die Gesamtkostenfunktion $ K^* $ anhand der im Aufgabentext gegebenen Bedingungen zu bestimmen. Verwende stets in den Lösungen die vorgegebenen Bezeichnungen – der Stern $^*$ kann zur Vereinfachung weggelassen werden – für
  1. die Produktionsmenge $x$ in Mengeneinheiten $ \text{(ME)} $
  2. die Gesamtkosten $K(x) \, \left( = K^*(x) \right) $ in Geldeinheiten $ \text{(GE)} $
Du kannst dem Text folgende Aussagen entnehmen:
  1. $ K $ ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades.
  2. Bei einer Produktionsmenge von $ 5 \; \text{ME}$ entstehen Gesamtkosten von $ 406 \; \text{GE}. $
  3. Die Grenzkosten haben bei $ 3 \; \text{ME} $ ein Minimum mit $ 7 \; \text{GE/ME.} $
  4. Die variablen Stückkosten bei $ 4 \; \text{ME} $ betragen $ 14 \; \text{GE.} $
Jede dieser Aussagen solltest du mithilfe der Formelsammlung den kostentheoretischen und mathematischen Begriffen zuzuordnen.
Kontrolle der Zuordnungen:
  1. Der Funktionsterm einer ganzrationale Funktion dritten Grades ist z. B. mit unbekannten reellen Parametern $ a, \; b, \; c $ und $d$ als $ K(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d $ darstellbar.
  2. Die Grenzkosten sind $ K'(x) = 3 \cdot a \cdot x^2 + 2 \cdot b \cdot x + c, $ und es gilt $ K'(3) = 7 \; \text{GE/ME.} $
  3. Die Grenzkosten haben bei $ 3 \; \text{ME} $ ein Minimum, und es gilt $ K''(3) = 0 \; \text{GE/ME.}$
  4. Die variablen Stückkosten sind $ k_v(x) = \dfrac{K_v (x)}{x} = a \cdot x^2 + b \cdot x + c $ und es gilt $ k_v(4) = 14 \; \text{GE.} $
Übertrage diese Zuordnungen in ein Gleichungssystem, das aus vier Gleichungen mit vier Unbekannten besteht, und löse es mit deinem GTR, wobei $ K''(x) = 6 \cdot a \cdot x^2 + 2 \cdot b $ gilt.

Aufgabe 7.2

$\blacktriangleright$   Nutzenschwelle und Nutzengrenze berechnen
Die Nutzenschwelle ist diejenige Produktionsmenge, für die Erlös und Kosten erstmalig übereinstimmen, der Gewinn somit Null ist. An dieser Nullstelle der Gewinnfunktion $ G(x) = E(x) - K(x) $ wechselt $G$ das Vorzeichen von ,,$-$'' nach ,,$+$''.
Die Nutzengrenze ist diejenige Produktionsmenge, für die Erlös und Kosten letztmalig übereinstimmen, der Gewinn somit Null ist. An dieser Nullstelle der Gewinnfunktion $ G(x) = E(x) - K(x) $ wechselt $G$ das Vorzeichen von ,,$+$'' nach ,,$-$''.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe das Untermenü G–SOLV ISCT beim GTR von CASIO bzw. CALC 5 : intersect beim GTR von TI auf, um die Schnittstellen der Funktionen $E$ und $K$ zu berechnen. Alternativ kannst du das Untermenü G–SOLV ROOT beim GTR von CASIO bzw. CALC 2 : zero beim GTR von TI anwenden, um die Nullstellen der Funktion $G$ zu ermitteln.
$\blacktriangleright$   Gewinnmaximale Produktionsmenge und maximalen Gewinn berechnen
Deine Aufgabe ist es, den maximalen Gewinn und diejenige Produktionsmenge zu ermitteln, bei welcher der Gewinn maximal wird. Die Gewinnfunktion ist festgelegt durch die Gleichung
$ G(x) = E(x) - K(x) $ $ G(x) = E(x) - K(x) $
und in dieser Aufgabe eine ganzrationale Funktion dritten Grades, weil $K$ eine Funktion drittes Grades und $E$ eine Funktion ersten Grades ist. Die Differenzfunktion besitzt genau einen Hochpunkt. Bestimme diesen Hochpunkt mit deinem GTR.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe das Untermenü G–SOLV MAX beim CASIO bzw. CALC 4 : maximum beim TI auf, um die Maximalstelle $ x_{max} $ und das Maximum $ G(x_{max}) $ der Funktion $G$ zu berechnen.
$\blacktriangleright$   Betriebsoptimum und langfristige Preisuntergrenze berechnen
Der Formelsammlung hilft dir dabei, wie du das Betriebsoptimum berechnen kannst. Dazu gilt es, die Stückkostenfunktion aufzustellen. Sie ist bestimmt durch die Gleichung
$ k(x) = \dfrac{K(x)}{x}. $ $ k(x) = \dfrac{K(x)}{x}. $
Stelle den Funktionsterm auf.
Das Betriebsoptimum $ x_{opt} $ ist die Minimalstelle der Stückkostenfunktion $k.$ Die langfristige Preisuntergrenze ist als der Funktionswert $ k(x_{opt}) $ festgelegt. Bestimme den Tiefpunkt dieser Funktion mit deinem GTR.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe das Untermenü G–GSOLV MIN beim CASIO bzw. CALC 3 : minimum beim TI auf, um die Minimalstelle $ x_{opt} $ und das Minimum $ k(x_{opt}) $ der Funktion $k$ zu ermitteln.

Aufgabe 7.3

$\blacktriangleright$   Wert des Verkaufspreises bestimmen, wenn der maximale Gewinn bei $\boldsymbol{6}$ ME liegen soll
Wenn der maximale Gewinn bei $6$ ME liegt, ist es deine Aufgabe, den zugehörigen Verkaufspreis zu berechnen. In Teilaufgabe 7.2 hast du die Gewinnfunktion $ G(x) $ kennengelernt, die für einen Preis von $54$ GE pro ME gilt. Stelle die Gewinnfunktion mithilfe des Parameters $p$ für den Preis je verkaufter Mengeneinheit auf.
Wenn der Gewinn maximal werden soll, besitzt das Schaubild einen Hochpunkt und somit eine waagerechte Tangente an der gewinnmaximalen Stelle $ x_{max} = 6 $ ME. Die Steigung an dieser Stelle muss also Null sein. Nutze folglich die Gleichung $ G'(6) = 0 $ aus, um $p$ zu bestimmen.

Aufgabe 7.4

$\blacktriangleright$   Prüfen, ob die Firma einen positiven Gewinn macht, wenn die Fixkosten um $ \boldsymbol{50 \; \%} $ sinken und der Verkaufspreis $\boldsymbol{27}$ GE/ME beträgt
Deine Aufgabe ist es festzustellen, ob die Firma eine positiven Gewinn erzielen kann, wenn die Fixkosten um $ 50 \; \% $ sinken und der Verkaufspreis $ 27 $ GE pro ME beträgt.
Du kannst die Aufgabe auf zwei verschiedene Arten lösen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg über die neue Gewinnfunktion
In Teilaufgabe 7.2 hast du die Gewinnfunktion bei fixen Kosten von $120$ GE und einem Verkaufspreis von $ 54 $ GE pro ME aufgestellt. Stelle die neue Gewinnfunktion auf, wenn sich die fixen Kosten halbieren und der Verkaufspreis auf $ 27 $ GE pro ME sinkt, und berechne das neue Gewinnmaximum. Treffe anhand des neuen Gewinnmaximums deine Aussage.
$ 50 \; \% $ von $ 120 $ GE sind $ 0,50 \cdot 120 = 60 $ GE. Die Lösungen kannst du wieder mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe das Untermenü G–SOLV MAX beim CASIO bzw. CALC 4 : maximum beim TI auf, um die Maximalstelle $ x_{max} $ und das Maximum $ G(x_{max}) $ der Funktion $G$ zu berechnen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg über die neue Stückkostenfunktion:
In Teilaufgabe 7.2 hast du die langfristige Preisuntergrenze bei fixen Kosten von $120$ GE berechnet. Stelle die Stückkostenfunktion auf, wenn sich die fixen Kosten halbieren, und berechne die neue langfristige Preisuntergrenze. Vergleiche den neuen Wert mit dem Verkaufspreis von $ 27 $ GE pro ME und treffe deine Aussage.
$ 50 \; \% $ von $ 120 $ GE sind $ 0,50 \cdot 120 = 60 $ GE. Die neue Stückkostenfunktion ist \[ k(x) = x^2 - 9x + 36 + \dfrac{120}{x}. \]
Das Minimum dieser Funktion kannst du wieder mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe das Untermenü G–SOLV MIN beim CASIO bzw. CALC 3 : minimum beim TI auf, um die Minimalstelle $ x_{opt} $ und das Minimum $ k(x_{opt}) $ der Funktion $k$ zu ermitteln.

Aufgabe 7.5

$\blacktriangleright$   Ausschussquote in Prozent berechnen
Deine Aufgabe besteht darin, die Ausschussquote zu ermitteln, wenn die Länge einer Schraube außerhalb des zulässigen Bereichs liegt, der durch die Abweichung von $ 10 \; \% $ von $ 50 $ mm bestimmt ist.
Bestimme zunächst den zulässigen Bereich.
$ 10 \; \% $ von $ 50 $ mm sind $ 0,10 \cdot 5 = 5 $ mm. Der Toleranzbereich in mm ist somit das Intervall $ [45; \;50].$
Der Ausschuss ist hier festgelegt durch eine normalverteilte Zufallsgröße $\boldsymbol{X}$, welche die Länge einer Schraube angibt. Dem Aufgabentext kannst du den Mittelwert $ \mu = 50 \, \text{mm} $ und die Standardabweichung $ \sigma = 5 \, \text{mm} $ der Normalverteilung entnehmen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit (Ausschussquote) \[ P( X \notin [45; \; 55]) = 1 - P( X \in [45; \; 55]). \] Aus den Daten für die Normalverteilung kannst du die Wahrscheinlichkeit $ P( X \in [45; \; 55]) $ mithilfe deines GTR ermitteln.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen kannst du mit dem GTR von CASIO im Run–Menü berechnen. Nach Aufruf des Menüs gibst du die Tastaturfolge
OPTN $\to$ STAT $\to$ DIST $\to$ NORM $\to$ Ncd (Untergrenze,Obergenze,$ \boldsymbol{\sigma, \mu} $) $\to$ EXE OPTN $\to$ STAT $\to$ DIST $\to$ NORM $\to$ Ncd (Untergrenze,Obergenze,$ \boldsymbol{\sigma, \mu} $) $\to$ EXE
ein. Die Lösungen kannst du mit dem GTR von TI durch Aufruf der Tastaturfolge
DISTR $\to$ 1 : normalcdf( $\to$ ENTER DISTR $\to$ 1 : normalcdf( $\to$ ENTER
berechnen. Du änderst die Untergrenze, die Obergrenze, den Mittelwert und die Standardabweichung und steuerst Paste an.
Mit dem Ergebnis berechnest du schließlich die gesuchte Ausschussquote. Das Ergebnis wandelst du in eine Prozentangabe um. Die Ausschussquote für die Schraubenproduktion beträgt etwa $ 31,7 \, \%. $

Aufgabe 7.6

$\blacktriangleright$   Produktionsmenge für $\boldsymbol{15 000}$ ME Spitzenware bestimmen
Deine Aufgabe besteht darin zu ermitteln, wie wie viele Schrauben produziert werden müssen, damit $ 15 000 $ ME Spitzenware entsteht. Zur Spitzenware gehören Schrauben der Länge innerhalb des zulässigen Bereichs, der durch die Abweichung von $ 2 \; \% $ von $ 50 $ mm bestimmt ist.
Bestimme zunächst den zulässigen Bereich.
$ 2 \; \% $ von $ 50 $ mm sind $ 0,02 \cdot 5 $ mm $ = 1 $ mm. Der Toleranzbereich in mm ist somit das Intervall $ [49; \;51].$
Die Spitzenware ist hier wieder festgelegt durch eine normalverteilte Zufallsgröße $\boldsymbol{X}$, welche die Länge einer Schraube angibt. Dem Aufgabentext kannst du den Mittelwert $ \mu = 50 \, \text{mm} $ und die Standardabweichung $ \sigma = 5 \, \text{mm} $ der Normalverteilung entnehmen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit $ P( X \in [49; \; 51]). $ Aus den Daten für die Normalverteilung kannst du die Wahrscheinlichkeit $ P( X \in [49; \; 51]) $ mithilfe deines GTR wie in Teilaufgabe 7.5 ermitteln.
Berechne mithilfe des Dreisatzes oder der Prozentrechnung, wie viele Schrauben insgesamt produziert werden müssen, damit $ 15 000 $ ME Schrauben der Spitzenqaulität entstehen.

Aufgabe 7.7

$\blacktriangleright$   Mindestlänge der Schrauben bestimmen, um maximal $ \boldsymbol{ 5 \%}$ Ausschussquote zu haben
Du sollst abschließend die Mindestlänge der Schrauben $ x $ in mm so bestimmen, so dass alle Schrauben, die länger als $ x $ sind und somit aussortiert werden, nur mit einer Wahrscheinlichkeit von maximal $ 5 \, \% $ vorkommen.
Formuliere das Gegenereignis.
Der Anteil der Schrauben, die höchstens $ x $ mm lang sind, beträgt höchstens $ 95 \, \% $
Formuliere die Wahrscheinlichkeit im Rahmen der gegebenen Normalverteilung mithilfe der Zufallsgröße $X$ und berechne mit dem GTR und der inversen Normalverteilung die gesuchte Länge $x.$
Es gilt, $x$ maximal so zu bestimmen, so dass \[ P( X \leq x) \leq 0,95 \] erfüllt ist. Die Lösungen kannst du mit dem GTR von CASIO im Run–Menü berechnen. Nach Aufruf des Menüs gibst du die Tastaturfolge
OPTN $\to$ STAT $\to$ DIST $\to$ NORM $\to$ InvN (Wahrscheinlichkeit, $ \boldsymbol{\sigma, \mu} $) $\to$ EXE OPTN $\to$ STAT $\to$ DIST $\to$ NORM $\to$ InvN (Wahrscheinlichkeit, $ \boldsymbol{\sigma, \mu} $) $\to$ EXE
ein.
Beim GTR von TI gibst du die Tastaturfolge
DISTR $\to$ 3: invNorm (Wahrscheinlichkeit, $ \boldsymbol{\sigma, \mu} $, Left) $\to$ ENTER DISTR $\to$ 3: invNorm (Wahrscheinlichkeit, $ \boldsymbol{\sigma, \mu} $, Left) $\to$ ENTER
ein.
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Aufgabe 6 entfällt ab 2018.
Hinweis: Alle Berechnungen können mit einem GTR von TI durchgeführt werden; eine schriftliche Lösung ist überwiegend jedoch nicht möglich. Eine Unterscheidung zwischen einer Lösung mit einem GTR und einer schriftlichen Lösung entfällt aus diesem Grund.
Nimm die Formelsammlung zum Wahlgebiet ,,Mathematik in der Praxis" zur Hand, um die im Aufgabentext vorkommenden Fachbegriffe der Kostentheorie den mathematischen Fachbegriffen zuordnen zu können.

Aufgabe 7.1

$\blacktriangleright$   Gesamtkostenfunktion $ \boldsymbol{K(x)} $ bestimmen
Zusätzlich besteht deine Aufgabe darin, die Gesamtkostenfunktion $ K^* $ anhand der im Aufgabentext gegebenen Bedingungen zu bestimmen. Verwende stets in den Lösungen die vorgegebenen Bezeichnungen – der Stern $^*$ kann zur Vereinfachung weggelassen werden – für
  1. die Produktionsmenge $x$ in Mengeneinheiten $ \text{(ME)} $
  2. die Gesamtkosten $K(x) \, \left( = K^*(x) \right) $ in Geldeinheiten $ \text{(GE)} $
Du kannst dem Text folgende Aussagen entnehmen:
  1. $ K $ ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades.
  2. Bei einer Produktionsmenge von $ 5 \; \text{ME}$ entstehen Gesamtkosten von $ 406 \; \text{GE}. $
  3. Die Grenzkosten haben bei $ 3 \; \text{ME} $ ein Minimum mit $ 7 \; \text{GE/ME.} $
  4. Die variablen Stückkosten bei $ 4 \; \text{ME} $ betragen $ 14 \; \text{GE.} $
Jede dieser Aussagen solltest du mithilfe der Formelsammlung den kostentheoretischen und mathematischen Begriffen zuzuordnen.
Kontrolle der Zuordnungen:
  1. Der Funktionsterm einer ganzrationale Funktion dritten Grades ist z. B. mit unbekannten reellen Parametern $ a, \; b, \; c $ und $d$ als $ K(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d $ darstellbar.
  2. Die Grenzkosten sind $ K'(x) = 3 \cdot a \cdot x^2 + 2 \cdot b \cdot x + c, $ und es gilt $ K'(3) = 7 \; \text{GE/ME.} $
  3. Die Grenzkosten haben bei $ 3 \; \text{ME} $ ein Minimum, und es gilt $ K''(3) = 0 \; \text{GE/ME.}$
  4. Die variablen Stückkosten sind $ k_v(x) = \dfrac{K_v (x)}{x} = a \cdot x^2 + b \cdot x + c $ und es gilt $ k_v(4) = 14 \; \text{GE.} $
Übertrage diese Zuordnungen in ein Gleichungssystem, das aus vier Gleichungen mit vier Unbekannten besteht, und löse es mit deinem GTR, wobei $ K''(x) = 6 \cdot a \cdot x^2 + 2 \cdot b $ gilt.
Gleichungssystem:
\[ \begin{array}{rcl|crcrcrcrcll} K(9) &=& 406 & & a \cdot 9^3 &+& b \cdot 9^2 &+& c \cdot 9 &+& d &=& 406 &\ \scriptsize\mid\;\text{Vereinfache} \\ K'(3) &=& 7 & & a \cdot 3^3 &+& b \cdot 3^2 &+& c \cdot 3 &+& d &=& 7 &\ \scriptsize\mid\;\text{Vereinfache} \\ K''(3) &=& 0 & & 6 \cdot a \cdot 3 &+& 2 \cdot b & & & & &=& 0 &\ \scriptsize\mid\;\text{Vereinfache} \\ k_v(4) &=& 14 & & a \cdot 4^2 &+& b \cdot 4 &+& c & & &=& 12 &\ \scriptsize\mid\;\text{Vereinfache} \\ \hline \end{array} \]
\[ \begin{array}{rcl|crcrcrcrcll} K(9) &=& 406 & & … \\ K'(3) &=& 7 & & …\\ K''(3) &=& 0 & & … \\ k_v(4) &=& 14 & & … \\ \hline \end{array} \]
Die vereinfachte Form des linearen Gleichungssystems lässt sich nun mit dem GTR lösen:
\[ \begin{array}{rcl|crcrcrcrcll} K(9) &=& 406 & & 729 \cdot a &+& 81 \cdot b &+& 9 \cdot c &+& 1 \cdot d &=& 406 \\ K'(3) &=& 7 & & 27 \cdot a &+& 6 \cdot b &+& 1 \cdot c &+& 0 \cdot d &=& 7 \\ K''(3) &=& 0 & & 18 \cdot a &+& 2 \cdot b &+& 0 \cdot c &+& 0 \cdot d &=& 0 \\ k_v(4) &=& 14 & & 16 \cdot a &+& 4 \cdot b &+& 1 \cdot c &+& 0 \cdot d &=& 14 \\ \hline \end{array} \]
\[ \begin{array}{rcl|crcrcrcrcll} K(5) &=& 110 & & … \\ K(0) &=& 10 & & … \\ k_v(4) &=& 12 & & … \\ K'(4) &=& 36 & & … \\ \hline \end{array} \]
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Durch Eingabe des Gleichungssystems als Matrix $A$ und Umformung dieser Matrix auf Diagonalgestalt lässt sich die Lösung ermitteln. Der zugehörige Tastaturaufruf ist z. B.
MATRIX $\to$ MATH $\to$ A: rref $\to$ MATRIX A $\to$ ENTER $\to$ Eingabe ) $\to$ ENTER MATRIX $\to$ MATH $\to$ A: rref $\to$ MATRIX A $\to$ ENTER $\to$ Eingabe ) $\to$ ENTER
Gib die Zahlen des Gleichungssystem mit Vorzeichen ein.
Aufgabe 7
[Abb. 2]: Ergebnis des LGS
Aufgabe 7
[Abb. 2]: Ergebnis des LGS
Die Lösung des Gleichungssystems ist $ a = 1, \; b = -9, \; c= 34 $ und $ d = 100.$
Die Gesamtkostenfunktion $ K^*$ ist $ K^*(x) = x^3 - 9 \cdot x^2 + 34 \cdot x + 100 $ in Geldeinheiten $ \text{(GE)}. $

Aufgabe 7.2

$\blacktriangleright$   Nutzenschwelle und Nutzengrenze berechnen
Die Nutzenschwelle ist diejenige Produktionsmenge, für die Erlös und Kosten erstmalig übereinstimmen, der Gewinn somit Null ist. An dieser Nullstelle der Gewinnfunktion $ G(x) = E(x) - K(x) $ wechselt $G$ das Vorzeichen von ,,$-$'' nach ,,$+$''.
Die Nutzengrenze ist diejenige Produktionsmenge, für die Erlös und Kosten letztmalig übereinstimmen, der Gewinn somit Null ist. An dieser Nullstelle der Gewinnfunktion $ G(x) = E(x) - K(x) $ wechselt $G$ das Vorzeichen von ,,$+$'' nach ,,$-$''.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe das Untermenü CALC $\to$ 5: intersect auf, um die Schnittstellen der Funktionen $E$ und $K$ zu berechnen. Alternativ kannst du das Untermenü CALC $\to$ 2: zero anwenden, um die Nullstellen der Funktion $G$ zu ermitteln.
Aufgabe 7
[Abb. 4]: Ergebnis für die Nutzengrenze
Aufgabe 7
[Abb. 4]: Ergebnis für die Nutzengrenze
Die Nutzenschwelle ist $ x_{NS} = 3,27 \; \text{ME} $ und die Nutzengrenze liegt bei etwa $ x_{NG} \approx 9,57 \; \text{ME}. $
$\blacktriangleright$   Gewinnmaximale Produktionsmenge und maximalen Gewinn berechnen
Deine Aufgabe ist es, den maximalen Gewinn und diejenige Produktionsmenge zu ermitteln, bei welcher der Gewinn maximal wird. Die Gewinnfunktion ist festgelegt durch die Gleichung
$ G(x) = E(x) - K(x) $ $ G(x) = E(x) - K(x) $
und in dieser Aufgabe eine ganzrationale Funktion dritten Grades, weil $K$ eine Funktion drittes Grades und $E$ eine Funktion ersten Grades ist. Die Differenzfunktion besitzt genau einen Hochpunkt. Bestimme diesen Hochpunkt mit deinem GTR.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe das Untermenü CALC $\to$ 4: maximum auf, um die Maximalstelle $ x_{max} $ und das Maximum $ G(x_{max}) $ der Funktion $G$ zu berechnen.
Aufgabe 7
[Abb. 5]: Hochpunkt der Funktion $G$
Aufgabe 7
[Abb. 5]: Hochpunkt der Funktion $G$
Die gewinnmaximale Produktionsmenge ist etwa $ x_{max} \approx 6,87 \; \text{ME} $ und der maximale Gewinn liegt bei etwa $ G(x_{max}) \approx 104,19 \; \text{GE}. $
$\blacktriangleright$   Betriebsoptimum und langfristige Preisuntergrenze berechnen
Der Formelsammlung hilft dir dabei, wie du das Betriebsoptimum berechnen kannst. Dazu gilt es, die Stückkostenfunktion aufzustellen. Sie ist bestimmt durch die Gleichung
$ k(x) = \dfrac{K(x)}{x}. $ $ k(x) = \dfrac{K(x)}{x}. $
Stelle den Funktionsterm auf.
\[ \begin{array}[t]{rcll} k(x) &=& \dfrac{K(x)}{x} & \\[5pt] &=& \dfrac{x^3 - 9 \cdot x^2 + 36 \cdot x + 120}{x} \\[5pt] &=& \dfrac{x^3}{x} - \dfrac{9 \cdot x^2}{x} + \dfrac{36 \cdot x}{x} + \dfrac{120}{x} \\[5pt] &=& x^2 - 9 \cdot x + 36 + \dfrac{120}{x} \\ \end{array} \]
\[ \begin{array}[t]{rcll} k(x) &=& \dfrac{K(x)}{x} & \\[5pt] \end{array} \]
Das Betriebsoptimum $ x_{opt} $ ist die Minimalstelle der Stückkostenfunktion $k.$ Die langfristige Preisuntergrenze ist als der Funktionswert $ k(x_{opt}) $ festgelegt. Bestimme den Tiefpunkt dieser Funktion mit deinem GTR.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe das Untermenü CALC $\to$ 5: minimum auf, um die Minimalstelle $ x_{opt} $ und das Minimum $ k(x_{opt}) $ der Funktion $k$ zu ermitteln.
Aufgabe 7
[Abb. 6]: Tiefpunkt der Funktion $k$
Aufgabe 7
[Abb. 6]: Tiefpunkt der Funktion $k$
Das Betriebsoptimum ist etwa $ x_{opt} \approx 6,11 \; \text{ME} $ und die langfristige Preisuntergrenze liegt bei etwa $ k(x_{opt}) \approx 37,98 \; \text{GE}. $

Aufgabe 7.3

$\blacktriangleright$   Wert des Verkaufspreises bestimmen, wenn der maximale Gewinn bei $\boldsymbol{6}$ ME liegen soll
Wenn der maximale Gewinn bei $6$ ME liegt, ist es deine Aufgabe, den zugehörigen Verkaufspreis zu berechnen. In Teilaufgabe 7.2 hast du die Gewinnfunktion $ G(x) $ kennengelernt, die für einen Preis von $54$ GE pro ME gilt. Stelle die Gewinnfunktion mithilfe des Parameters $p$ für den Preis je verkaufter Mengeneinheit auf.
Wenn der Gewinn maximal werden soll, besitzt das Schaubild einen Hochpunkt und somit eine waagerechte Tangente an der gewinnmaximalen Stelle $ x_{max} = 6 $ ME. Die Steigung an dieser Stelle muss also Null sein. Nutze folglich die Gleichung $ G'(6) = 0 $ aus, um $p$ zu bestimmen. \begin{array}[t]{rcll} G(x) &=& E(x) - K(x) & \\[5pt] &=& p \cdot x - (x^3 - 9 \cdot x^2 + 36 \cdot x + 120) \\[5pt] G'(x) &=& E'(x) - K'(x) & \\[5pt] &=& p \cdot 1 - (3 \cdot x^2 - 9 \cdot 2 \cdot x^1 + 36 \cdot 1 + 0) \\[5pt] &=& p - (3 \cdot x^2 - 18 \cdot x + 36) \\[5pt] G'(6) &=& p - (3 \cdot 6^2 - 18 \cdot 6 + 36) & \\[5pt] &=& p - (3 \cdot 36 - 108 + 36) & \\[5pt] &=& p - (108 - 108 + 36) & \\[5pt] &=& p - 36 & \\ \end{array} Die Bedingung $ G'(6) = 0 $ führt auf die Gleichung $ p - 36 = 0 $ und die Lösung $ p = 36. $
Der Wert des Verkaufspreises beträgt $ p = 36 $ GE pro ME, wenn der maximale Gewinn bei $\boldsymbol{6}$ ME liegen soll.

Aufgabe 7.4

$\blacktriangleright$   Prüfen, ob die Firma einen positiven Gewinn macht, wenn die Fixkosten um $ \boldsymbol{50 \; \%} $ sinken und der Verkaufspreis $\boldsymbol{27}$ GE/ME beträgt
Deine Aufgabe ist es festzustellen, ob die Firma eine positiven Gewinn erzielen kann, wenn die Fixkosten um $ 50 \; \% $ sinken und der Verkaufspreis $ 27 $ GE pro ME beträgt.
Du kannst die Aufgabe auf zwei verschiedene Arten lösen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg über die neue Gewinnfunktion
In Teilaufgabe 7.2 hast du die Gewinnfunktion bei fixen Kosten von $120$ GE und einem Verkaufspreis von $ 54 $ GE pro ME aufgestellt. Stelle die neue Gewinnfunktion auf, wenn sich die fixen Kosten halbieren und der Verkaufspreis auf $ 27 $ GE pro ME sinkt, und berechne das neue Gewinnmaximum. Treffe anhand des neuen Gewinnmaximums deine Aussage.
$ 50 \; \% $ von $ 120 $ GE sind $ 0,50 \cdot 120 = 60 $ GE. Die Lösungen kannst du wieder mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe das Untermenü CALC $\to$ 4: maximum auf, um die Maximalstelle $ x_{max} $ und das Maximum $ G(x_{max}) $ der Funktion $G$ zu berechnen.
Aufgabe 7
[Abb. 7]: Hochpunkt der neuen Funktion $G$
Aufgabe 7
[Abb. 7]: Hochpunkt der neuen Funktion $G$
Die gewinnmaximale Produktionsmenge ist etwa $ x_{max} \approx 5,45 \; \text{ME} $ und der maximale Gewinn liegt bei etwa $ G(x_{max}) \approx -3,61 \; \text{GE}. $
Das Gewinnmaximum ist negativ.
Die Firma kann in dieser Situation keinen Gewinn machen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg über die neue Stückkostenfunktion:
In Teilaufgabe 7.2 hast du die langfristige Preisuntergrenze bei fixen Kosten von $120$ GE berechnet. Stelle die Stückkostenfunktion auf, wenn sich die fixen Kosten halbieren, und berechne die neue langfristige Preisuntergrenze. Vergleiche den neuen Wert mit dem Verkaufspreis von $ 27 $ GE pro ME und treffe deine Aussage.
$ 50 \; \% $ von $ 120 $ GE sind $ 0,50 \cdot 120 = 60 $ GE. Die neue Stückkostenfunktion ist \[ k(x) = x^2 - 9x + 36 + \dfrac{120}{x}. \]
Das Minimum dieser Funktion kannst du wieder mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe das Untermenü CALC $\to$ 5: minimum auf, um die Minimalstelle $ x_{opt} $ und das Minimum $ k(x_{opt}) $ der Funktion $k$ zu ermitteln.
Aufgabe 7
[Abb. 8]: Tiefpunkt der neuen Funktion $k$
Aufgabe 7
[Abb. 8]: Tiefpunkt der neuen Funktion $k$
Das neue Betriebsoptimum ist etwa $ x_{opt} \approx 5,49 \; \text{ME} $ und die neue langfristige Preisuntergrenze beträgt etwa $ k(x_{opt}) \approx 27,66 \; \text{GE}. $ Der Verkauspreis von $ 27 $ GE pro ME liegt unterhalb der neuen langfristigen Preisuntergrenze.
Die Firma kann in dieser Situation keinen Gewinn machen.

Aufgabe 7.5

$\blacktriangleright$   Ausschussquote in Prozent berechnen
Deine Aufgabe besteht darin, die Ausschussquote zu ermitteln, wenn die Länge einer Schraube außerhalb des zulässigen Bereichs liegt, der durch die Abweichung von $ 10 \; \% $ von $ 50 $ mm bestimmt ist.
Bestimme zunächst den zulässigen Bereich.
$ 10 \; \% $ von $ 50 $ mm sind $ 0,10 \cdot 5 = 5 $ mm. Der Toleranzbereich in mm ist somit das Intervall $ [45; \;50].$
Der Ausschuss ist hier festgelegt durch eine normalverteilte Zufallsgröße $\boldsymbol{X}$, welche die Länge einer Schraube angibt. Dem Aufgabentext kannst du den Mittelwert $ \mu = 50 \, \text{mm} $ und die Standardabweichung $ \sigma = 5 \, \text{mm} $ der Normalverteilung entnehmen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit (Ausschussquote) \[ P( X \notin [45; \; 55]) = 1 - P( X \in [45; \; 55]). \] Aus den Daten für die Normalverteilung kannst du die Wahrscheinlichkeit $ P( X \in [45; \; 55]) $ mithilfe deines GTR ermitteln.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen kannst du mit dem GTR durch Aufruf der Tastaturfolge
DISTR $\to$ 1 : normalcdf( $\to$ ENTER DISTR $\to$ 1 : normalcdf( $\to$ ENTER
berechnen. Du gibst die Untergrenze, die Obergrenze, den Mittelwert und die Standardabweichung und steuerst Paste an. Mit dem Ergebnis berechnest du schließlich die gesuchte Ausschussquote.
Aufgabe 7
[Abb. 9]: Ergebnis $ P( X \in [45; \; 55]) $
Aufgabe 7
[Abb. 9]: Ergebnis $ P( X \in [45; \; 55]) $
Das Ergebnis wandelst du in eine Prozentangabe um. Die Ausschussquote beträgt näherungsweise \[ P( X \notin [45; \; 55]) = 1 - P( X \in [45; \; 55] \approx 1 - 0,6826894921 = 0,3173105079 = 31,7 \, \%. \]
Die Ausschussquote für die Schraubenproduktion beträgt etwa $ 31,7 \, \%. $

Aufgabe 7.6

$\blacktriangleright$   Produktionsmenge für $\boldsymbol{15 000}$ ME Spitzenware bestimmen
Deine Aufgabe besteht darin zu ermitteln, wie wie viele Schrauben produziert werden müssen, damit $ 15 000 $ ME Spitzenware entsteht. Zur Spitzenware gehören Schrauben der Länge innerhalb des zulässigen Bereichs, der durch die Abweichung von $ 2 \; \% $ von $ 50 $ mm bestimmt ist.
Bestimme zunächst den zulässigen Bereich.
$ 2 \; \% $ von $ 50 $ mm sind $ 0,02 \cdot 5 $ mm $ = 1 $ mm. Der Toleranzbereich in mm ist somit das Intervall $ [49; \;51].$
Die Spitzenware ist hier wieder festgelegt durch eine normalverteilte Zufallsgröße $\boldsymbol{X}$, welche die Länge einer Schraube angibt. Dem Aufgabentext kannst du den Mittelwert $ \mu = 50 \, \text{mm} $ und die Standardabweichung $ \sigma = 5 \, \text{mm} $ der Normalverteilung entnehmen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit $ P( X \in [49; \; 51]). $ Aus den Daten für die Normalverteilung kannst du die Wahrscheinlichkeit $ P( X \in [49; \; 51]) $ mithilfe deines GTR wie in Teilaufgabe 7.5 ermitteln.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Aufgabe 7
[Abb. 10]: Ergebnis $ P( X \in [49; \; 51]) $
Aufgabe 7
[Abb. 10]: Ergebnis $ P( X \in [49; \; 51]) $
\[ P( X \in [49; \; 51]) \approx 0,1585194189 = 15,85194189 \, \%. \]
Innerhalb der Schraubenproduktion besitzen etwa $ 15,85194189 \, \% $ der Schrauben Spitzenqualität.
Berechne mithilfe des Dreisatzes oder der Prozentrechnung, wie viele Schrauben insgesamt produziert werden müssen, damit $ 15 000 $ ME Schrauben der Spitzenqaulität entstehen.
$ n $ sei die gesuchte Anzahl. \[ n \cdot 0,1585194189 = 15 000 \quad \quad \quad n = 15 000 : 0,1585194189 = 94 625,63075 \approx 94 626 \]
Es müssen etwa 94 626 Schrauben produziert werden, damit $ 15 000 $ Schrauben mit Spitzenqualität entstehen.

Aufgabe 7.7

$\blacktriangleright$   Mindestlänge der Schrauben bestimmen, um maximal $ \boldsymbol{ 5 \%}$ Ausschussquote zu haben
Du sollst abschließend die Mindestlänge der Schrauben $ x $ in mm so bestimmen, so dass alle Schrauben, die länger als $ x $ sind und somit aussortiert werden, nur mit einer Wahrscheinlichkeit von maximal $ 5 \, \% $ vorkommen.
Formuliere das Gegenereignis.
Der Anteil der Schrauben, die höchstens $ x $ mm lang sind, beträgt höchstens $ 95 \, \% $
Formuliere die Wahrscheinlichkeit im Rahmen der gegebenen Normalverteilung mithilfe der Zufallsgröße $X$ und berechne mit dem GTR und der inversen Normalverteilung die gesuchte Länge $x.$
Es gilt, $x$ maximal so zu bestimmen, so dass \[ P( X \leq x) \leq 0,95 \] erfüllt ist. Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Run–Menü berechnen. Nach Aufruf des Menüs gibst du die Tastaturfolge
DISTR $\to$ 3: invNorm (Wahrscheinlichkeit, $ \boldsymbol{\sigma, \mu} $, Left) $\to$ ENTER DISTR $\to$ 3: invNorm (Wahrscheinlichkeit, $ \boldsymbol{\sigma, \mu} $, Left) $\to$ ENTER
ein.
Aufgabe 7
[Abb. 11]: Ergebnis für $x$ mit $ P( X \leq x) \leq 0,95 $
Aufgabe 7
[Abb. 11]: Ergebnis für $x$ mit $ P( X \leq x) \leq 0,95 $
Die Schrauben mit einer Länge von mindestens 58,22 mm sollten aussortiert werden.
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Aufgabe 6 entfällt ab 2018.
Hinweis: Alle Berechnungen können mit einem GTR von CASIO durchgeführt werden; eine schriftliche Lösung ist überwiegend jedoch nicht möglich. Eine Unterscheidung zwischen einer Lösung mit einem GTR und einer schriftlichen Lösung entfällt aus diesem Grund.
Nimm die Formelsammlung zum Wahlgebiet ,,Mathematik in der Praxis" zur Hand, um die im Aufgabentext vorkommenden Fachbegriffe der Kostentheorie den mathematischen Fachbegriffen zuordnen zu können.

Aufgabe 7.1

$\blacktriangleright$   Gesamtkostenfunktion $ \boldsymbol{K(x)} $ bestimmen
Zusätzlich besteht deine Aufgabe darin, die Gesamtkostenfunktion $ K^* $ anhand der im Aufgabentext gegebenen Bedingungen zu bestimmen. Verwende stets in den Lösungen die vorgegebenen Bezeichnungen – der Stern $^*$ kann zur Vereinfachung weggelassen werden – für
  1. die Produktionsmenge $x$ in Mengeneinheiten $ \text{(ME)} $
  2. die Gesamtkosten $K(x) \, \left( = K^*(x) \right) $ in Geldeinheiten $ \text{(GE)} $
Du kannst dem Text folgende Aussagen entnehmen:
  1. $ K $ ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades.
  2. Bei einer Produktionsmenge von $ 5 \; \text{ME}$ entstehen Gesamtkosten von $ 406 \; \text{GE}. $
  3. Die Grenzkosten haben bei $ 3 \; \text{ME} $ ein Minimum mit $ 7 \; \text{GE/ME.} $
  4. Die variablen Stückkosten bei $ 4 \; \text{ME} $ betragen $ 14 \; \text{GE.} $
Jede dieser Aussagen solltest du mithilfe der Formelsammlung den kostentheoretischen und mathematischen Begriffen zuzuordnen.
Kontrolle der Zuordnungen:
  1. Der Funktionsterm einer ganzrationale Funktion dritten Grades ist z. B. mit unbekannten reellen Parametern $ a, \; b, \; c $ und $d$ als $ K(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d $ darstellbar.
  2. Die Grenzkosten sind $ K'(x) = 3 \cdot a \cdot x^2 + 2 \cdot b \cdot x + c, $ und es gilt $ K'(3) = 7 \; \text{GE/ME.} $
  3. Die Grenzkosten haben bei $ 3 \; \text{ME} $ ein Minimum, und es gilt $ K''(3) = 0 \; \text{GE/ME.}$
  4. Die variablen Stückkosten sind $ k_v(x) = \dfrac{K_v (x)}{x} = a \cdot x^2 + b \cdot x + c $ und es gilt $ k_v(4) = 14 \; \text{GE.} $
Übertrage diese Zuordnungen in ein Gleichungssystem, das aus vier Gleichungen mit vier Unbekannten besteht, und löse es mit deinem GTR, wobei $ K''(x) = 6 \cdot a \cdot x^2 + 2 \cdot b $ gilt.
Gleichungssystem:
\[ \begin{array}{rcl|crcrcrcrcll} K(9) &=& 406 & & a \cdot 9^3 &+& b \cdot 9^2 &+& c \cdot 9 &+& d &=& 406 &\ \scriptsize\mid\;\text{Vereinfache} \\ K'(3) &=& 7 & & a \cdot 3^3 &+& b \cdot 3^2 &+& c \cdot 3 &+& d &=& 7 &\ \scriptsize\mid\;\text{Vereinfache} \\ K''(3) &=& 0 & & 6 \cdot a \cdot 3 &+& 2 \cdot b & & & & &=& 0 &\ \scriptsize\mid\;\text{Vereinfache} \\ k_v(4) &=& 14 & & a \cdot 4^2 &+& b \cdot 4 &+& c & & &=& 12 &\ \scriptsize\mid\;\text{Vereinfache} \\ \hline \end{array} \]
\[ \begin{array}{rcl|crcrcrcrcll} K(9) &=& 406 & & … \\ K'(3) &=& 7 & & …\\ K''(3) &=& 0 & & … \\ k_v(4) &=& 14 & & … \\ \hline \end{array} \]
Die vereinfachte Form des linearen Gleichungssystems lässt sich nun mit dem GTR lösen:
\[ \begin{array}{rcl|crcrcrcrcll} K(9) &=& 406 & & 729 \cdot a &+& 81 \cdot b &+& 9 \cdot c &+& 1 \cdot d &=& 406 \\ K'(3) &=& 7 & & 27 \cdot a &+& 6 \cdot b &+& 1 \cdot c &+& 0 \cdot d &=& 7 \\ K''(3) &=& 0 & & 18 \cdot a &+& 2 \cdot b &+& 0 \cdot c &+& 0 \cdot d &=& 0 \\ k_v(4) &=& 14 & & 16 \cdot a &+& 4 \cdot b &+& 1 \cdot c &+& 0 \cdot d &=& 14 \\ \hline \end{array} \]
\[ \begin{array}{rcl|crcrcrcrcll} K(5) &=& 110 & & … \\ K(0) &=& 10 & & … \\ k_v(4) &=& 12 & & … \\ K'(4) &=& 36 & & … \\ \hline \end{array} \]
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Aufgabe 7
[Abb. 2]: Ergebnis des LGS
Aufgabe 7
[Abb. 2]: Ergebnis des LGS
Die Lösung des Gleichungssystems ist $ a = 1, \; b = -9, \; c= 34 $ und $ d = 100.$
Die Gesamtkostenfunktion $ K^*$ ist $ K^*(x) = x^3 - 9 \cdot x^2 + 34 \cdot x + 100 $ in Geldeinheiten $ \text{(GE)}. $

Aufgabe 7.2

$\blacktriangleright$   Nutzenschwelle und Nutzengrenze berechnen
Die Nutzenschwelle ist diejenige Produktionsmenge, für die Erlös und Kosten erstmalig übereinstimmen, der Gewinn somit Null ist. An dieser Nullstelle der Gewinnfunktion $ G(x) = E(x) - K(x) $ wechselt $G$ das Vorzeichen von ,,$-$'' nach ,,$+$''.
Die Nutzengrenze ist diejenige Produktionsmenge, für die Erlös und Kosten letztmalig übereinstimmen, der Gewinn somit Null ist. An dieser Nullstelle der Gewinnfunktion $ G(x) = E(x) - K(x) $ wechselt $G$ das Vorzeichen von ,,$+$'' nach ,,$-$''.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe das Untermenü G–SOLV ISCT auf, um die Schnittstellen der Funktionen $E$ und $K$ zu berechnen. Alternativ kannst du das Untermenü G–SOLV ROOT anwenden, um die Nullstellen der Funktion $G$ zu ermitteln.
Aufgabe 7
[Abb. 4]: Ergebnis für die Nutzengrenze
Aufgabe 7
[Abb. 4]: Ergebnis für die Nutzengrenze
Die Nutzenschwelle ist $ x_{NS} = 3,27 \; \text{ME} $ und die Nutzengrenze liegt bei etwa $ x_{NG} \approx 9,57 \; \text{ME}. $
$\blacktriangleright$   Gewinnmaximale Produktionsmenge und maximalen Gewinn berechnen
Deine Aufgabe ist es, den maximalen Gewinn und diejenige Produktionsmenge zu ermitteln, bei welcher der Gewinn maximal wird. Die Gewinnfunktion ist festgelegt durch die Gleichung
$ G(x) = E(x) - K(x) $ $ G(x) = E(x) - K(x) $
und in dieser Aufgabe eine ganzrationale Funktion dritten Grades, weil $K$ eine Funktion drittes Grades und $E$ eine Funktion ersten Grades ist. Die Differenzfunktion besitzt genau einen Hochpunkt. Bestimme diesen Hochpunkt mit deinem GTR.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe das Untermenü G–SOLV MAX auf, um die Maximalstelle $ x_{max} $ und das Maximum $ G(x_{max}) $ der Funktion $G$ zu berechnen.
Aufgabe 7
[Abb. 5]: Hochpunkt der Funktion $G$
Aufgabe 7
[Abb. 5]: Hochpunkt der Funktion $G$
Die gewinnmaximale Produktionsmenge ist etwa $ x_{max} \approx 6,87 \; \text{ME} $ und der maximale Gewinn liegt bei etwa $ G(x_{max}) \approx 104,19 \; \text{GE}. $
$\blacktriangleright$   Betriebsoptimum und langfristige Preisuntergrenze berechnen
Der Formelsammlung hilft dir dabei, wie du das Betriebsoptimum berechnen kannst. Dazu gilt es, die Stückkostenfunktion aufzustellen. Sie ist bestimmt durch die Gleichung
$ k(x) = \dfrac{K(x)}{x}. $ $ k(x) = \dfrac{K(x)}{x}. $
Stelle den Funktionsterm auf.
\[ \begin{array}[t]{rcll} k(x) &=& \dfrac{K(x)}{x} & \\[5pt] &=& \dfrac{x^3 - 9 \cdot x^2 + 36 \cdot x + 120}{x} \\[5pt] &=& \dfrac{x^3}{x} - \dfrac{9 \cdot x^2}{x} + \dfrac{36 \cdot x}{x} + \dfrac{120}{x} \\[5pt] &=& x^2 - 9 \cdot x + 36 + \dfrac{120}{x} \\ \end{array} \]
\[ \begin{array}[t]{rcll} k(x) &=& \dfrac{K(x)}{x} & \\[5pt] \end{array} \]
Das Betriebsoptimum $ x_{opt} $ ist die Minimalstelle der Stückkostenfunktion $k.$ Die langfristige Preisuntergrenze ist als der Funktionswert $ k(x_{opt}) $ festgelegt. Bestimme den Tiefpunkt dieser Funktion mit deinem GTR.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe das Untermenü G–SOLV MIN auf, um die Minimalstelle $ x_{opt} $ und das Minimum $ k(x_{opt}) $ der Funktion $k$ zu ermitteln.
Aufgabe 7
[Abb. 6]: Tiefpunkt der Funktion $k$
Aufgabe 7
[Abb. 6]: Tiefpunkt der Funktion $k$
Das Betriebsoptimum ist etwa $ x_{opt} \approx 6,11 \; \text{ME} $ und die langfristige Preisuntergrenze liegt bei etwa $ k(x_{opt}) \approx 37,98 \; \text{GE}. $

Aufgabe 7.3

$\blacktriangleright$   Wert des Verkaufspreises bestimmen, wenn der maximale Gewinn bei $\boldsymbol{6}$ ME liegen soll
Wenn der maximale Gewinn bei $6$ ME liegt, ist es deine Aufgabe, den zugehörigen Verkaufspreis zu berechnen. In Teilaufgabe 7.2 hast du die Gewinnfunktion $ G(x) $ kennengelernt, die für einen Preis von $54$ GE pro ME gilt. Stelle die Gewinnfunktion mithilfe des Parameters $p$ für den Preis je verkaufter Mengeneinheit auf.
Wenn der Gewinn maximal werden soll, besitzt das Schaubild einen Hochpunkt und somit eine waagerechte Tangente an der gewinnmaximalen Stelle $ x_{max} = 6 $ ME. Die Steigung an dieser Stelle muss also Null sein. Nutze folglich die Gleichung $ G'(6) = 0 $ aus, um $p$ zu bestimmen. \begin{array}[t]{rcll} G(x) &=& E(x) - K(x) & \\[5pt] &=& p \cdot x - (x^3 - 9 \cdot x^2 + 36 \cdot x + 120) \\[5pt] G'(x) &=& E'(x) - K'(x) & \\[5pt] &=& p \cdot 1 - (3 \cdot x^2 - 9 \cdot 2 \cdot x^1 + 36 \cdot 1 + 0) \\[5pt] &=& p - (3 \cdot x^2 - 18 \cdot x + 36) \\[5pt] G'(6) &=& p - (3 \cdot 6^2 - 18 \cdot 6 + 36) & \\[5pt] &=& p - (3 \cdot 36 - 108 + 36) & \\[5pt] &=& p - (108 - 108 + 36) & \\[5pt] &=& p - 36 & \\ \end{array} Die Bedingung $ G'(6) = 0 $ führt auf die Gleichung $ p - 36 = 0 $ und die Lösung $ p = 36. $
Der Wert des Verkaufspreises beträgt $ p = 36 $ GE pro ME, wenn der maximale Gewinn bei $\boldsymbol{6}$ ME liegen soll.

Aufgabe 7.4

$\blacktriangleright$   Prüfen, ob die Firma einen positiven Gewinn macht, wenn die Fixkosten um $ \boldsymbol{50 \; \%} $ sinken und der Verkaufspreis $\boldsymbol{27}$ GE/ME beträgt
Deine Aufgabe ist es festzustellen, ob die Firma eine positiven Gewinn erzielen kann, wenn die Fixkosten um $ 50 \; \% $ sinken und der Verkaufspreis $ 27 $ GE pro ME beträgt.
Du kannst die Aufgabe auf zwei verschiedene Arten lösen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg über die neue Gewinnfunktion
In Teilaufgabe 7.2 hast du die Gewinnfunktion bei fixen Kosten von $120$ GE und einem Verkaufspreis von $ 54 $ GE pro ME aufgestellt. Stelle die neue Gewinnfunktion auf, wenn sich die fixen Kosten halbieren und der Verkaufspreis auf $ 27 $ GE pro ME sinkt, und berechne das neue Gewinnmaximum. Treffe anhand des neuen Gewinnmaximums deine Aussage.
$ 50 \; \% $ von $ 120 $ GE sind $ 0,50 \cdot 120 = 60 $ GE. Die Lösungen kannst du wieder mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe das Untermenü G–SOLV MAX auf, um die Maximalstelle $ x_{max} $ und das Maximum $ G(x_{max}) $ der Funktion $G$ zu berechnen.
Aufgabe 7
[Abb. 7]: Hochpunkt der neuen Funktion $G$
Aufgabe 7
[Abb. 7]: Hochpunkt der neuen Funktion $G$
Die gewinnmaximale Produktionsmenge ist etwa $ x_{max} \approx 5,45 \; \text{ME} $ und der maximale Gewinn liegt bei etwa $ G(x_{max}) \approx -3,61 \; \text{GE}. $
Das Gewinnmaximum ist negativ.
Die Firma kann in dieser Situation keinen Gewinn machen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg über die neue Stückkostenfunktion:
In Teilaufgabe 7.2 hast du die langfristige Preisuntergrenze bei fixen Kosten von $120$ GE berechnet. Stelle die Stückkostenfunktion auf, wenn sich die fixen Kosten halbieren, und berechne die neue langfristige Preisuntergrenze. Vergleiche den neuen Wert mit dem Verkaufspreis von $ 27 $ GE pro ME und treffe deine Aussage.
$ 50 \; \% $ von $ 120 $ GE sind $ 0,50 \cdot 120 = 60 $ GE. Die neue Stückkostenfunktion ist \[ k(x) = x^2 - 9x + 36 + \dfrac{120}{x}. \]
Das Minimum dieser Funktion kannst du wieder mit dem GTR im Graph–Menü berechnen. Rufe das Untermenü G–SOLV MIN auf, um die Minimalstelle $ x_{opt} $ und das Minimum $ k(x_{opt}) $ der Funktion $k$ zu ermitteln.
Aufgabe 7
[Abb. 8]: Tiefpunkt der neuen Funktion $k$
Aufgabe 7
[Abb. 8]: Tiefpunkt der neuen Funktion $k$
Das neue Betriebsoptimum ist etwa $ x_{opt} \approx 5,49 \; \text{ME} $ und die neue langfristige Preisuntergrenze beträgt etwa $ k(x_{opt}) \approx 27,66 \; \text{GE}. $ Der Verkauspreis von $ 27 $ GE pro ME liegt unterhalb der neuen langfristigen Preisuntergrenze.
Die Firma kann in dieser Situation keinen Gewinn machen.

Aufgabe 7.5

$\blacktriangleright$   Ausschussquote in Prozent berechnen
Deine Aufgabe besteht darin, die Ausschussquote zu ermitteln, wenn die Länge einer Schraube außerhalb des zulässigen Bereichs liegt, der durch die Abweichung von $ 10 \; \% $ von $ 50 $ mm bestimmt ist.
Bestimme zunächst den zulässigen Bereich.
$ 10 \; \% $ von $ 50 $ mm sind $ 0,10 \cdot 5 = 5 $ mm. Der Toleranzbereich in mm ist somit das Intervall $ [45; \;50].$
Der Ausschuss ist hier festgelegt durch eine normalverteilte Zufallsgröße $\boldsymbol{X}$, welche die Länge einer Schraube angibt. Dem Aufgabentext kannst du den Mittelwert $ \mu = 50 \, \text{mm} $ und die Standardabweichung $ \sigma = 5 \, \text{mm} $ der Normalverteilung entnehmen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit (Ausschussquote) \[ P( X \notin [45; \; 55]) = 1 - P( X \in [45; \; 55]). \] Aus den Daten für die Normalverteilung kannst du die Wahrscheinlichkeit $ P( X \in [45; \; 55]) $ mithilfe deines GTR ermitteln.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Run–Menü berechnen. Nach Aufruf des Menüs gibst du die Tastaturfolge
OPTN $\to$ STAT $\to$ DIST $\to$ NORM $\to$ Ncd (Untergrenze,Obergenze,$ \boldsymbol{\sigma, \mu} $) $\to$ EXE OPTN $\to$ STAT $\to$ DIST $\to$ NORM $\to$ Ncd (Untergrenze,Obergenze,$ \boldsymbol{\sigma, \mu} $) $\to$ EXE
ein. Mit dem Ergebnis berechnest du schließlich die gesuchte Ausschussquote.
Aufgabe 7
[Abb. 9]: Ergebnis $ P( X \in [45; \; 55]) $
Aufgabe 7
[Abb. 9]: Ergebnis $ P( X \in [45; \; 55]) $
Das Ergebnis wandelst du in eine Prozentangabe um. Die Ausschussquote beträgt näherungsweise \[ P( X \notin [45; \; 55]) = 1 - P( X \in [45; \; 55] \approx 1 - 0,6826894921 = 0,3173105079 = 31,7 \, \%. \]
Die Ausschussquote für die Schraubenproduktion beträgt etwa $ 31,7 \, \%. $

Aufgabe 7.6

$\blacktriangleright$   Produktionsmenge für $\boldsymbol{15 000}$ ME Spitzenware bestimmen
Deine Aufgabe besteht darin zu ermitteln, wie wie viele Schrauben produziert werden müssen, damit $ 15 000 $ ME Spitzenware entsteht. Zur Spitzenware gehören Schrauben der Länge innerhalb des zulässigen Bereichs, der durch die Abweichung von $ 2 \; \% $ von $ 50 $ mm bestimmt ist.
Bestimme zunächst den zulässigen Bereich.
$ 2 \; \% $ von $ 50 $ mm sind $ 0,02 \cdot 5 $ mm $ = 1 $ mm. Der Toleranzbereich in mm ist somit das Intervall $ [49; \;51].$
Die Spitzenware ist hier wieder festgelegt durch eine normalverteilte Zufallsgröße $\boldsymbol{X}$, welche die Länge einer Schraube angibt. Dem Aufgabentext kannst du den Mittelwert $ \mu = 50 \, \text{mm} $ und die Standardabweichung $ \sigma = 5 \, \text{mm} $ der Normalverteilung entnehmen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit $ P( X \in [49; \; 51]). $ Aus den Daten für die Normalverteilung kannst du die Wahrscheinlichkeit $ P( X \in [49; \; 51]) $ mithilfe deines GTR wie in Teilaufgabe 7.5 ermitteln.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösung mit dem GTR
Aufgabe 7
[Abb. 10]: Ergebnis $ P( X \in [49; \; 51]) $
Aufgabe 7
[Abb. 10]: Ergebnis $ P( X \in [49; \; 51]) $
\[ P( X \in [49; \; 51]) \approx 0,1585194189 = 15,85194189 \, \%. \]
Innerhalb der Schraubenproduktion besitzen etwa $ 15,85194189 \, \% $ der Schrauben Spitzenqualität.
Berechne mithilfe des Dreisatzes oder der Prozentrechnung, wie viele Schrauben insgesamt produziert werden müssen, damit $ 15 000 $ ME Schrauben der Spitzenqaulität entstehen.
$ n $ sei die gesuchte Anzahl. \[ n \cdot 0,1585194189 = 15 000 \quad \quad \quad n = 15 000 : 0,1585194189 = 94 625,63075 \approx 94 626 \]
Es müssen etwa 94 626 Schrauben produziert werden, damit $ 15 000 $ Schrauben mit Spitzenqualität entstehen.

Aufgabe 7.7

$\blacktriangleright$   Mindestlänge der Schrauben bestimmen, um maximal $ \boldsymbol{ 5 \%}$ Ausschussquote zu haben
Du sollst abschließend die Mindestlänge der Schrauben $ x $ in mm so bestimmen, so dass alle Schrauben, die länger als $ x $ sind und somit aussortiert werden, nur mit einer Wahrscheinlichkeit von maximal $ 5 \, \% $ vorkommen.
Formuliere das Gegenereignis.
Der Anteil der Schrauben, die höchstens $ x $ mm lang sind, beträgt höchstens $ 95 \, \% $
Formuliere die Wahrscheinlichkeit im Rahmen der gegebenen Normalverteilung mithilfe der Zufallsgröße $X$ und berechne mit dem GTR und der inversen Normalverteilung die gesuchte Länge $x.$
Es gilt, $x$ maximal so zu bestimmen, so dass \[ P( X \leq x) \leq 0,95 \] erfüllt ist. Die Lösungen kannst du mit dem GTR im Run–Menü berechnen. Nach Aufruf des Menüs gibst du die Tastaturfolge
OPTN $\to$ STAT $\to$ DIST $\to$ NORM $\to$ InvN (Wahrscheinlichkeit, $ \boldsymbol{\sigma, \mu} $) $\to$ EXE OPTN $\to$ STAT $\to$ DIST $\to$ NORM $\to$ InvN (Wahrscheinlichkeit, $ \boldsymbol{\sigma, \mu} $) $\to$ EXE
ein.
Aufgabe 7
[Abb. 11]: Ergebnis für $x$ mit $ P( X \leq x) \leq 0,95 $
Aufgabe 7
[Abb. 11]: Ergebnis für $x$ mit $ P( X \leq x) \leq 0,95 $
Die Schrauben mit einer Länge von mindestens 58,22 mm sollten aussortiert werden.
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