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Aufgabe 7

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Aufgabe 7

Die Firma Schraubfix stellt Schrauben her. Die Gesamtkosten $K$ werden durch eine Funktion $3.$ Grades dargestellt. Dabei entspricht $x$ der Produktionsmenge in Mengeneinheiten (ME) und $K(x)$ den Gesamtkosten in Geldeinheiten (GE).
7.1
Bei einer Produktion von $9$ ME enstehen Gesamtkosten in Höhe von $406$ GE. Die Grenzkosten haben ein Minimum bei $3$ ME mit $7$ GE pro ME. Die variablen Stückkosten bei $4$ ME betragen $14$ GE pro ME.
Bestimmen Sie die Gesamtkostenfunktion $K^*$.
(6P)
Die Firma rechnet nach Umstrukturierungen mit der Gesamtkostenfunktion $K$ mit $K(x)=x^3-9x^2+36x+120$ und der Erlösfunktion $E$ mit $E(x)=54x$.
Die Kapazitätsgrenze beträgt $10$ ME.
7.2
Berechnen Sie die Nutzenschwelle, Nutzengrenze, den maximalen Gewinn und die langfristige Preisuntergrenze.
(8P)
7.3
Auf welchen Wert kann der Verkaufspreis sinken, wenn das Gewinnmaximum bei $6$ ME liegen soll?
(3P)
7.4
Aufgrund von Rationalisierungsmaßnamen können die Fixkosten um $50$% reduziert werden, allerdings beträgt der Verkaufspreis nun $27$ GE pro ME.
Überprüfen Sie, ob die Firma in dieser Situation einen positiven Gewinn erzielen kann.
(3P)
Die Länge der Schrauben wird als normalverteilt angenommen; Kontrollmessungen ergaben eine durchschnittliche Länge von $\mu=50mm$ und eine Standardabweichung von $\delta=5mm$. Als Spitzenware gelten Schrauben, welche maximal $2$% vom Durchschnitt abweichen. Als Ausschussware gelten Produkte, welche mehr als $10$% vom Durchschnitt abweichen.
7.5
Wie viel Prozent Ausschuss wird produziert?
(3P)
7.6
Ein Profifachhändler möchte nur die Spitzenware der Schraubenproduktion vermarkten.
Welche Schraubenmenge sollte produziert werden, wenn er $15.000$ Stück der Spitzenware benötigt?
(4P)
7.7
Das Unternehmen möchte die längesten Schrauben aussortieren.
Welche Länge muss eine Schraube mindestens haben, damit maximal $5$% der Schrauben aussortiert werden?
(3P)
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