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Wahlteil A1

Aufgaben
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Aufgabe A 1.1

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=10x\cdot \mathrm e^{-0,5x}$.
Ihr Graph ist $K$.
a) $K$ besitzt einen Extrempunkt und einen Wendepunkt.
Geben Sie deren Koordinaten an.
Geben Sie eine Gleichung der Asymptote von $K$ an.
Skizzieren Sie $K$.
(4P)
b) Für jedes $u>0$ sind $O(0\mid0)$, $P(u\mid0)$ und $Q(u\mid f(u))$ die Eckpunkte eines Dreiecks.
Bestimmen Sie einen Wert für $u$ so, dass dieses Dreieck den Flächeninhalt 8 hat.
Für welchen Wert von $u$ ist das Dreieck $OPQ$ gleichschenklig?
(4P)
c) Auf der $x$-Achse gibt es Intervalle der Länge 3, auf denen die Funktion $f$ den Mittelwert 2,2 besitzt.
Bestimmen Sie die Grenzen eines solchen Intervalls.
(3P)

Aufgabe A 1.2

Gegeben ist für jedes $t>0$ eine Funktion $f_t$ durch $f_{t}(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}-t^{2}x+t$.
Bestimmen Sie $t$ so, dass Tiefpunkt und Wendepunkt des Graphen von $f_t$ den Abstand 13 voneinander haben.
(4P)
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Aufgabe 1.1

a) $\blacktriangleright$ Koordinate des Extrempunktes $E$ angeben
Gegeben ist der Funktionsterm einer Funktion $f$ mit:
$f(x)= 10 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}$
$K$ ist ihr Schaubild. Deine Aufgabe ist es, die Koordinaten des Extrempunktes $E$ zu bestimmen.
Um die Koordinaten angeben zu können, musst du zunächst die notwendige und hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen.
Für eine Extremstelle $x_E$ einer Funktion $f$ müssen folgende Kriterien erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $f'(x_E)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $f''(x_E) \neq 0$
Ermittle anhand diesen Bedingungen die Extremstelle der Funktion $f$. Hast du diese bestimmt, so kannst du die bestimmte Stelle in den Funktionsterm von $f$ einsetzen und erhältst so den zugehörigen Funktionswert an dieser Extremstelle.
$\blacktriangleright$ Koordinate des Wendepunktes $W$ angeben
Laut Aufgabenstellung besitzt das Schaubild $K$ einen Wendepunkt. Um dessen Koordinaten angeben zu können, musst du zunächst die Wendestelle $x_W$ der Funktion $f$ bestimmen. Für diese Wendestelle müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
  • Notwendige Bedingung: $f''(x_W)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $f'''(x_W)\neq 0$
Hast du anschließend $x_W$ bestimmt, so kannst du die Wendestelle in den Term der Funktion $f$ einsetzen und so die $y$-Koordinate des Wendepunktes bestimmen.
$\blacktriangleright$ Gleichung der Asymptote von $K$ angeben
Betrachte das Schaubild der Funktion $f$ in deinem CAS.
Deine Aufgabe ist es, die Gleichung der Asymptote von $K$ anzugeben.
Anhand des Schaubildes kannst du bereits vermuten, dass es sich um eine waagrechte Asymptote handelt.
Um die Gleichung der Asymptote zu bestimmen, kannst du die Funktion $f$ für $x \to + \infty $ und für $x \to - \infty $ untersuchen.
$\blacktriangleright$ Skizzieren des Schaubildes $K$
Weiterhin verlangt die Aufgabenstellung, das Schaubild $K$ zu skizzieren. Dabei kannst du folgende Angaben verwenden:
  • Betrachte das Schaubild im CAS, indem du den Graph-Modus auswählst.
  • Verwende, dass sich der Hochpunkt an $E(2 \mid 7,3576 )$ und der Wendepunkt an $ W(4 \mid 5,413 )$ befindet.
  • Für $x \to + \infty $ konvergiert die Funktion gegen 0, für $x \to - \infty $ strebt sie gegen $- \infty$.
Zusätzlich kannst du dir noch die zugehörige Wertetabelle der Funktion einblenden lassen. Diese findest du im Graph-Modus unter TABLE:
b) $ \blacktriangleright $ Wert für $u$ bestimmen, sodass der Flächeninhalt 8 FE beträgt
Gegeben sind die Punkte $O(0 \mid 0)$, $P( u \mid 0)$ und $ Q(u \mid f(u))$. Sie stellen die Eckpunkte eines Dreiecks dar.
Deine Aufgabe ist es, einen Wert für $u$ so zu bestimmen, dass der Flächeninhalt des Dreieck 8 FE beträgt.
Wahlteil A1
Wahlteil A1
Der Flächeninhalt $A_D$ eines Dreiecks berechnet sich allgemein über folgenden Zusammenhang:
$A_{D}=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
Dabei stellt $g$ die Länge der Grundseite und $h$ die Länge der Höhe dar.
Um einen passenden Wert für $u$ zu ermitteln, kannst du wie folgt vorgehen:
  • Stelle die Flächenfunktion in Abhängigkeit vom Parameter $u$ auf.
  • Setze den resultierenden Term mit 8 gleich und löse nach $u$ auf, um den gesuchten Wert zu erhalten.
Den zweiten Schritt kannst du mit Hilfe des CAS durchführen.
$ \blacktriangleright $ Wert für $u$ bestimmen, sodass das Dreieck gleichschenklig ist
Wahlteil A1
Wahlteil A1
Damit das Dreieck gleichschenklig ist, muss einer der folgenden Fälle eintreten:
  • $a=b$ oder
  • $a=c$ oder
  • $b=c$.
Gib dazu zunächst die Länge der Seiten $a$, $b$ und $c$ in Abhängigkeit von $u$ an und setze diese gleich, um so einen passenden Parameterwert für $u$ zu ermitteln.
c) $ \blacktriangleright $ Grenzen des Intervalls bestimme, sodass der Mittelwert 2,2 beträgt
Bestimme ein Intervall der Länge 3, sodass die Funktion $f$ mit dem gegebenen Funktionsterm $f(x)= 10 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}$ den Mittelwert 2,2 besitzt.
Den Mittelwert $m$ einer Funktion $f$ auf einem Intervall $\left[a;b\right]$ kannst du mit Hilfe der folgenden Formel bestimmen:
$m= \dfrac{1}{b-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x$
Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, kannst du diese Angaben verwenden:
  • Der Mittelwert beträgt laut Aufgabentext $m=2,2$.
  • Die Länge des Intervalls soll 3 betragen, das heißt, es muss $b-a=3$ bzw. $b=a+3$ gelten.
Setze alle bekannten Informationen in die oben angeführte Formel ein und bestimme so das gesuchte Intervall.

Aufgabe 1.2

$ \blacktriangleright $ Parameter $t$ bestimmen
Gegeben ist der Funktionsterm einer Funktion $f_t$ mit:
$f_{t}(x)=\dfrac{1}{3} \cdot x^{3}-t^{2}\cdot x +t$
Deine Aufgabe ist es, den Parameter $t$ so zu bestimmen, dass der Tiefpunkt und der Wendepunkt des Graphen von $f_t$ einen Abstand von 13 LE besitzen.
Dabei kannst du wie folgt vorgehen:
  • Bestimme die Koordinaten des Tiefpunktes in Abhängigkeit von $t$.
  • Bestimme die Koordinaten des Wendepunktes in Abhängigkeit von $t$.
  • Berechne den Abstand $d$ der Punkte.
  • Bestimme $t$ so, dass der Abstand gerade 13 LE beträgt.
Um die Koordinaten des Tiefpunktes angeben zu können, musst du zunächst die notwendige und hinreichende Bedingung für Minimalstellen überprüfen.
Für eine Minimalstelle $x_M$ einer Funktion $f$ müssen folgende Kriterien erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $f'(x_M)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $f''(x_M) > 0$
Ermittle anhand diesen Bedingungen die Minimalstelle der Funktion $f_t$. Hast du diese bestimmt, so kannst du die bestimmte Stelle in den Funktionsterm von $f_t$ einsetzen und erhältst so den zugehörigen Funktionswert an der Minimalstelle.
Um die Koordinaten des Wendepunktes angeben zu können, musst du zunächst die notwendige und hinreichende Bedingung für Wendestellen überprüfen.
Für eine Wendestelle $x_W$ einer Funktion $f$ müssen folgende Kriterien erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $f''(x_W)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $f'''(x_W) \neq 0$
Ermittle anhand diesen Bedingungen die Wendestelle der Funktion $f_t$. Hast du diese bestimmt, so kannst du die bestimmte Stelle in den Funktionsterm von $f_t$ einsetzen und erhältst so den zugehörigen Funktionswert an der Wendestelle.
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Lösungen TI
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Aufgabe 1.1

a) $\blacktriangleright$ Koordinate des Extrempunktes $E$ angeben
Gegeben ist der Funktionsterm einer Funktion $f$ mit:
$f(x)= 10 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}$
$K$ ist ihr Schaubild. Deine Aufgabe ist es, die Koordinaten des Extrempunktes $E$ zu bestimmen.
Um die Koordinaten angeben zu können, musst du zunächst die notwendige und hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen.
Für eine Extremstelle $x_E$ einer Funktion $f$ müssen folgende Kriterien erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $f'(x_E)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $f''(x_E) \neq 0$
Ermittle anhand diesen Bedingungen die Extremstelle der Funktion $f$. Hast du diese bestimmt, so kannst du die bestimmte Stelle in den Funktionsterm von $f$ einsetzen und erhältst so den zugehörigen Funktionswert an dieser Extremstelle.
1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Um die notwendige Bedingung einer Extremstelle der Funktion $f$ zu überprüfen, benötigst du die erste Ableitungsfunktion der Funktion $f$.
Diese erhältst du, indem du die Produktregel anwendest:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} f(x)=&10 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}& \\ f'(x)=&10 \cdot 1 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} + 10 \cdot x \cdot (-0,5) \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}& \\ =&10 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} -5 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}& \\ =& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}\cdot (10 - 5 \cdot x)& \\ \end{array}$
Für die notwendige Bedingung einer Extremstelle muss $f'(x_E)=0$ gelten. Setze also den Funktionsterm der ersten Ableitung $f'$ gleich Null und ermittle alle potentielle Werte, für die diese Gleichung erfüllt wird:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 0=&\mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}\cdot (10 - 5 \cdot x)& \\ \end{array}$
An dieser Stelle kannst du den Satz vom Nullprodukt anwenden. Da der Term $\mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}$ für keinen Wert für $x$ gleich Null werden kann, kannst du diesen vernachlässigen.
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 0=& 10 - 5 \cdot x& \mid\;-10\\ -10=& - 5 \cdot x& \mid\; \cdot (-1)\\ 10=& 5 \cdot x& \mid\; :5\\ 2=& x&\\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 0=& 10 - 5 \cdot x& \\ -10=& - 5 \cdot x& \\ 10=& 5 \cdot x& \\ 2=& x&\\ \end{array}$
Damit hast du eine potentielle Extremstelle an $x_E=2$ ermittelt und kannst für diese Stelle nun das hinreichende Kriterium überprüfen.
Wahlteil A1
Wahlteil A1
Alternativ bietet es sich auch an, die potentielle Extremstelle mit dem CAS zu bestimmen:
Den Term der ersten Ableitungsfunktion $f'$
kannst du wie folgt bestimmen:
menu $ \to $ 4: Analysis $ \to $ 1: Ableitung
Den Befehl zum Bestimmen der Nullstelle findest du weiterhin unter:
menu $ \to $ 3: Algebra $ \to $ 1: Löse
Das CAS liefert dir eine potentielle Extremstelle an $x_E=2$.
2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Damit eine Extremstelle vorliegt, muss weiterhin die hinreichende Bedingung $f''(x_E=2)\neq 0$ erfüllt werden. Das heißt, du benötigst zunächst die zweite Ableitung der Funktion $f$. Diese erhältst du, indem du den Term von $f'$ erneut mit Hilfe der Produktregel ableitest:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} f'(x)=& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}\cdot (10 - 5 \cdot x)& \\ f''(x)=& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}\cdot (-0,5) \cdot (10 - 5 \cdot x) + \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}\cdot (- 5)& \\ =& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \cdot (-5 + 2,5 \cdot x) + \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}\cdot (- 5)& \\ =& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \cdot (-5 + 2,5 \cdot x - 5)& \\ =& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \cdot (2,5 \cdot x - 10)& \\ \end{array}$
Überprüfe nun, ob $f''(x_E=2)\neq 0$ erfüllt wird:
$\begin{array}{r@{\;\;}l@{\hspace{1cm}}l} f''(x_E=2)=& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot 2} \cdot (2,5 \cdot 2 - 10)& \\ =& \mathrm{e}^{-1} \cdot (5 - 10)& \\ =& \mathrm{e}^{-1} \cdot (-5)& \\ \approx& -1,8394 \neq 0& \\ \end{array}$
Das liefert dir, dass ebenfalls die hinreichende Bedingung erfüllt ist und damit, dass an $x_E=2$ eine Extremstelle vorliegt. Wegen $f''(x_E=2)<0$ kannst du festhalten, dass es sich hierbei um einen Hochpunkt handelt.
3. Schritt: Koordinaten des Hochpunktes angeben
Aus den Berechnungen zuvor weißt du, dass sich an der Stelle $x_E=2$ ein Hochpunkt befindet. Damit hast du die $x$-Koordinate des Hochpunktes ermittelt. Die $y$-Koordinate erhältst du, indem du $x_E=2$ in den Funktionsterm von $f$ einsetzt und berechnest:
$\begin{array}{r@{\;\;}l@{\hspace{1cm}}l} f(x_E=2)=&10 \cdot 2 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot 2}& \\ =& 20 \cdot \mathrm{e}^{-1}& \\ =& \frac{20}{\mathrm{e}} & \\ \approx & 7,3576 & \\ \end{array}$
Wahlteil A1
Wahlteil A1
Alternativ kannst du den Funktionswert an der Stelle $x_E=2$ auch mit Hilfe des CAS bestimmen.
Gib dazu $f(x_E=2)$ im CAS ein und bestätige mit Enter.
Die Koordinaten des Extrempunktes $E$ lauten $E(2 \mid 7,3576 )$.
$\blacktriangleright$ Koordinate des Wendepunktes $W$ angeben
Laut Aufgabenstellung besitzt das Schaubild $K$ einen Wendepunkt. Um dessen Koordinaten angeben zu können, musst du zunächst die Wendestelle $x_W$ der Funktion $f$ bestimmen. Für diese Wendestelle müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
  • Notwendige Bedingung: $f''(x_W)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $f'''(x_W)\neq 0$
Hast du anschließend $x_W$ bestimmt, so kannst du die Wendestelle in den Term der Funktion $f$ einsetzen und so die $y$-Koordinate des Wendepunktes bestimmen.
1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Um die notwendige Bedingung einer Wendestelle der Funktion $f$ zu überprüfen, benötigst du die zweite Ableitungsfunktion der Funktion $f$. Diese hast du zuvor mit Hilfe der Produktregel bestimmt:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} f''(x)=& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \cdot (2,5 \cdot x - 10)& \\ \end{array}$
Für die hinreichende Bedingung muss $f''(x_W)=0$ gelten:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 0=& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \cdot (2,5 \cdot x - 10)& \\ \end{array}$
An dieser Stelle kannst du den Satz vom Nullprodukt anwenden. Da der Term $\mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}$ für keinen Wert für $x$ gleich Null werden kann, kannst du diesen vernachlässigen.
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 0=& 2,5 \cdot x - 10& \mid\; +10\\ 10=& 2,5 \cdot x & \mid\; :2,5\\ 4=& x & \\ \end{array}$
Damit hast du eine potentielle Wendestelle an $x_W=4$ ermittelt.
Wahlteil A1
Wahlteil A1
Alternativ bietet es sich auch an, die potentielle Wendestelle mit dem CAS zu bestimmen:
Den Term der zweiten Ableitungsfunktion kannst du bestimmen, indem du den Term von $f'$ ein weiteres Mal ableitest. Wähle dazu
menu $ \to $ 4: Analysis $ \to $ 1: Ableitung
aus. Anschließend findest du den Befehl zum Bestimmen der Nullstelle unter:
menu $ \to $ 3: Algebra $ \to $ 1: Löse
Das CAS liefert dir eine potentielle Wendestelle an $x_W=4$.
2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Damit eine Wendestelle vorliegt, muss weiterhin die hinreichende Bedingung $f'''(x_W)\neq 0$ erfüllt werden. Das heißt, du benötigst zunächst die dritte Ableitung der Funktion $f$. Diese erhältst du, indem du den Term von $f''$ erneut mit Hilfe der Produktregel ableitest:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} f''(x)=& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \cdot (2,5 \cdot x - 10)& \\ f'''(x)=& -0,5 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \cdot (2,5 \cdot x - 10) + \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \cdot 2,5 & \\ =& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \cdot (- 1,25 \cdot x + 5) + \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \cdot 2,5 & \\ =& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \cdot (- 1,25 \cdot x + 5 + 2,5 ) & \\ =& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \cdot (- 1,25 \cdot x + 7,5 ) & \\ \end{array}$
Überprüfe nun, ob $f'''(x_W=4)\neq 0$ erfüllt wird:
$\begin{array}{r@{\;\;}l@{\hspace{1cm}}l} f'''(x_W=4)=& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot 4} \cdot (- 1,25 \cdot 4 + 7,5 ) & \\ =& \mathrm{e}^{-2} \cdot (-5 + 7,5 ) & \\ =& \mathrm{e}^{-2} \cdot 2,5 & \\ \approx& 0,338 \neq 0 & \\ \end{array}$
Das liefert dir, dass ebenfalls die hinreichende Bedingung erfüllt ist und damit, dass an $x_W=4$ eine Wendestelle liegt.
3. Schritt: Koordinaten des Wendepunktes angeben
Aus den Berechnungen zuvor weißt du, dass sich an der Stelle $x_W=4$ ein Wendepunkt befindet. Damit hast du die $x$-Koordinate des Wendepunktes ermittelt. Die $y$-Koordinate erhältst du, indem du $x_W=4$ in den Funktionsterm von $f$ einsetzt und berechnest:
$\begin{array}{r@{\;\;}l@{\hspace{1cm}}l} f(x_W=4)=&10 \cdot 4 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot 4}& \\ =& 40 \cdot \mathrm{e}^{-2}& \\ =& \frac{40}{\mathrm{e}^2} & \\ \approx& 5,413 & \\ \end{array}$
Wahlteil A1
Wahlteil A1
Alternativ kannst du den Funktionswert an der Stelle $x_W=4$ auch mit Hilfe des CAS bestimmen.
Gib dazu $f(x_W=4)$ im CAS ein un bestätige mit Enter.
Die Koordinaten des des Wendepunktes $W$ lauten $W(4 \mid 5,413 )$.
$\blacktriangleright$ Gleichung der Asymptote von $K$ angeben
Wahlteil A1
Wahlteil A1
Betrachte das Schaubild der Funktion $f$ in deinem CAS.
Deine Aufgabe ist es, die Gleichung der Asymptote von $K$ anzugeben.
Anhand des Schaubildes (Abbildung links) kannst du bereits vermuten, dass es sich um eine waagrechte Asymptote handelt.
Um die Gleichung der Asymptote zu bestimmen, kannst du die Funktion $f$ für $x \to + \infty $ und für $x \to - \infty $ untersuchen.
Untersuchen für $x \to + \infty$:
Der Funktionsterm von $f$ ist gegeben durch $f(x)= 10 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}$.
Betrachtest du $x \to + \infty $, so kannst du festhalten, dass gilt:
$10 \cdot x \to + \infty \text{ und } \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}= \dfrac{1}{\mathrm{e}^{0,5 \cdot x}}\to 0$
Da der $\mathrm{e}$-Term den dominanten Term darstellt, konvergiert die Funktion $f$ für $x \to + \infty $ gegen 0.
Die Gleichung der Asymptote lautet also $y=0$.
Untersuchen für $x \to - \infty$:
Betrachtest du noch $x \to - \infty $, so kannst du festhalten, dass gilt:
$10 \cdot x \to - \infty \text{ und } \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}= \dfrac{1}{\mathrm{e}^{0,5 \cdot x}}\to + \infty$
Da auch hier der $\mathrm{e}$-Term den dominanten Term darstellt, der Term aber wegen des Teils $10\cdot x$ für $x< 0$ immer ein negatives Vorzeichen besitzt, strebt die Funktion $f$ für $x \to - \infty $ gegen $- \infty$. Damit liegt keine weitere Asymptote vor.
$\blacktriangleright$ Skizzieren des Schaubildes $K$
Weiterhin verlangt die Aufgabenstellung, das Schaubild $K$ zu skizzieren. Dabei kannst du folgende Angaben verwenden:
  • Betrachte das Schaubild im CAS, indem du den Graph-Modus auswählst.
  • Verwende, dass sich der Hochpunkt an $E(2 \mid 7,3576 )$ und der Wendepunkt an $ W(4 \mid 5,413 )$ befindet.
  • Für $x \to + \infty $ konvergiert die Funktion gegen 0, für $x \to - \infty $ strebt sie gegen $- \infty$.
Zusätzlich kannst du dir noch die zugehörige Wertetabelle der Funktion einblenden lassen. Diese findest du im Graph-Modus unter TABLE:
Wahlteil A1
Wahlteil A1
Das Schaubild $K$ sollte dann folgendermaßen aussehen:
Wahlteil A1
Wahlteil A1
b) $ \blacktriangleright $ Wert für $u$ bestimmen, sodass der Flächeninhalt 8 FE beträgt
Gegeben sind die Punkte $O(0 \mid 0)$, $P( u \mid 0)$ und $ Q(u \mid f(u))$. Sie stellen die Eckpunkte eines Dreiecks dar.
Deine Aufgabe ist es, einen Wert für $u$ so zu bestimmen, dass der Flächeninhalt des Dreieck 8 FE beträgt.
Wahlteil A1
Wahlteil A1
Der Flächeninhalt $A_D$ eines Dreiecks berechnet sich allgemein über folgenden Zusammenhang:
$A_{D}=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
Dabei stellt $g$ die Länge der Grundseite und $h$ die Länge der Höhe dar.
Um einen passenden Wert für $u$ zu ermitteln, kannst du wie folgt vorgehen:
  • Stelle die Flächenfunktion in Abhängigkeit vom Parameter $u$ auf.
  • Setze den resultierenden Term mit 8 gleich und löse nach $u$ auf, um den gesuchten Wert zu erhalten.
Den zweiten Schritt kannst du mit Hilfe des CAS durchführen.
1. Schritt: Flächenfunktion aufstellen
Anhand der Abbildung kannst du erkennen, dass die Grundseite dem Wert $u$ und die Höhe dem Funktionswert $f(u)$ entspricht. Dadurch erhältst du folgende von $u$ abhängige Flächenfunktion $A(u)$:
$A(u)=\frac{1}{2} \cdot u \cdot f(u)$
Setze den Funktionsterm von $f$ ein, um den vollständigen Term er Flächenfunktion $A(u)$ zu erhalten:
$A(u)=\frac{1}{2} \cdot u \cdot 10 \cdot u \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u}=5 \cdot u^2 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u}$
2. Schritt: Wert für Parameter $u$ ermitteln
Um einen passenden Wert für $u$ zu erhalten, sodass der Flächeninhalt 8 FE beträgt, kannst du den aufgestellten Term der Flächenfunktion mit 8 gleichsetzen und nach $u$ auflösen. Gehe dabei wie folgt vor:
  • Gib den Funktionsterm $A(u)$ im CAS ein.
  • Verwende den solve-Befehl und gib an, dass nach $u$ aufgelöst werden soll.
Wahlteil A1
Wahlteil A1
Das CAS liefert dir drei verschiedene Werte für $u$, sodass der Flächeninhalt 8 FE beträgt.
Da aber laut Aufgabenstellung $u>0$ gelten soll, kannst du das Resultat $u_0 \approx -0,988$ vernachlässigen.
Damit hast du zwei passende Werte für $u$ ermittelt mit
  • $u_1 \approx 2,183$,
  • $u_2 \approx 6,621$.
$ \blacktriangleright $ Wert für $u$ bestimmen, sodass das Dreieck gleichschenklig ist
Wahlteil A1
Wahlteil A1
Damit das Dreieck gleichschenklig ist, muss einer der folgenden Fälle eintreten:
  • $a=b$ oder
  • $a=c$ oder
  • $b=c$.
Gib dazu zunächst die Länge der Seiten $a$, $b$ und $c$ in Abhängigkeit von $u$ an und setze diese gleich, um so einen passenden Parameterwert für $u$ zu ermitteln.
1. Schritt: Länge der Seiten in Abhängigkeit von $u$ angeben
  • Die Seitenlänge $a$ entspricht dem Abstand vom Ursprung $O(0 \mid 0)$ zum Punkt $P(u\mid 0)$. Dieser Abstand ist gerade gleich $u$.
  • Die Seitenlänge $b$ stellt den Abstand zwischen den Punkten $P(u\mid0)$ und $Q(u\mid f(u))$ dar. Da diese die gleiche $x$-Koordinate haben, besitzen sie einen Abstand von
    $f(u)=10 \cdot u \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u}$.
  • $c$ berechnet sich mit Hilfe des Satzes von Pythagoras:
    $c=\sqrt{a^2 +b^2}=\sqrt{u^2 + f(u)^2}=\sqrt{u^2+ 10 \cdot u \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u}}$.
2. Schritt: Seitenlängen gleichsetzen, um $u$ zu bestimmen
Wahlteil A1
Wahlteil A1
Damit das Dreieck gleichschenklig ist, können die oben drei genannten Fälle
  • $a=b$ oder
  • $a=c$ oder
  • $b=c$
eintreten. Das kannst du mit Hilfe des CAS überprüfen.
In der Abbildung rechts werden alle drei Fälle nacheinander überprüft. Dabei kannst du folgendes Resultat festhalten:
$\blacktriangleright$ Für den 1. Fall: $a=c$ muss $u=\sqrt{u^2 + f(u)^2}$ gelten.
Das CAS liefert dir, dass diese Gleichung nur für $u=0$ erfüllt wird. Da aber für $u=0$ kein Dreieck zustande kommt, kannst du diesen Wert vernachlässigen. Geometrisch interpretiert heißt das, dass die Seiten $a$ und $c$ in dieser Konstruktion niemals gleich lang werden.
$\blacktriangleright$ Für den 2. Fall: $b=c$ muss $f(u)=\sqrt{u^2 + f(u)^2}$ gelten.
Das CAS liefert auch hier, dass diese Gleichung nur für $u=0$ erfüllt wird. Da aber für $u=0$ kein Dreieck zustande kommt, kannst du diesen Wert ebenfalls vernachlässigen.
$\blacktriangleright$ Für den 3. Fall: $a=c$ muss $u=f(u)$ gelten.
Das CAS liefert dir den gesuchten Parameterwert für $u$ mit $u=4,605$.
Das heißt, für $u=4,605$ ist das Dreieck gleichschenklig.
c) $ \blacktriangleright $ Grenzen des Intervalls bestimme, sodass der Mittelwert 2,2 beträgt
Bestimme ein Intervall der Länge 3, sodass die Funktion $f$ mit dem gegebenen Funktionsterm $f(x)= 10 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}$ den Mittelwert 2,2 besitzt.
Den Mittelwert $m$ einer Funktion $f$ auf einem Intervall $\left[a;b\right]$ kannst du mit Hilfe der folgenden Formel bestimmen:
$m= \dfrac{1}{b-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x$
Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, kannst du diese Angaben verwenden:
  • Der Mittelwert beträgt laut Aufgabentext $m=2,2$.
  • Die Länge des Intervalls soll 3 betragen, das heißt, es muss $b-a=3$ bzw. $b=a+3$ gelten.
Setze alle bekannten Informationen in die oben angeführte Formel ein und bestimme so das gesuchte Intervall.
Einsetzen aller Angaben liefert dir:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 2,2=&\dfrac{1}{3} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b} 10 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \; \mathrm{d}x& \mid\; \cdot 3\\ 6,6=&\displaystyle\int_{a}^{a+3} 10 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \; \mathrm{d}x& \\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 2,2=&\dfrac{1}{3} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b} 10 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \; \mathrm{d}x& \\ 6,6=&\displaystyle\int_{a}^{a+3} 10 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \; \mathrm{d}x& \\ \end{array}$
Wahlteil A1
Wahlteil A1
Diese Gleichung kannst du mit Hilfe des CAS lösen.
Das Integral erhältst du wie folgt:
menu $ \to $ 4: Analysis $ \to $ 3: Integral
Das CAS liefert dir Schnittstellen an
$x_1=-0,862$ und $x_2=5,497$.
Das heißt, für das Intervall $[a;b]$ mit
  • $a_1=-0,862$, $b_1=3+(-0,862)=2,138$
  • $a_2=5,497$, $b_2=3+5,497=8,497$
beträgt der Mittelwert der Funktion 2,2.

Aufgabe 1.2

$ \blacktriangleright $ Parameter $t$ bestimmen
Gegeben ist der Funktionsterm einer Funktion $f_t$ mit:
$f_{t}(x)=\dfrac{1}{3} \cdot x^{3}-t^{2}\cdot x +t$
Deine Aufgabe ist es, den Parameter $t$ so zu bestimmen, dass der Tiefpunkt und der Wendepunkt des Graphen von $f_t$ einen Abstand von 13 LE besitzen.
Dabei kannst du wie folgt vorgehen:
  • Bestimme die Koordinaten des Tiefpunktes in Abhängigkeit von $t$.
  • Bestimme die Koordinaten des Wendepunktes in Abhängigkeit von $t$.
  • Berechne den Abstand $d$ der Punkte.
  • Bestimme $t$ so, dass der Abstand gerade 13 LE beträgt.
Um die Koordinaten des Tiefpunktes angeben zu können, musst du zunächst die notwendige und hinreichende Bedingung für Minimalstellen überprüfen.
Für eine Minimalstelle $x_M$ einer Funktion $f$ müssen folgende Kriterien erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $f'(x_M)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $f''(x_M) > 0$
Ermittle anhand diesen Bedingungen die Minimalstelle der Funktion $f_t$. Hast du diese bestimmt, so kannst du die bestimmte Stelle in den Funktionsterm von $f_t$ einsetzen und erhältst so den zugehörigen Funktionswert an der Minimalstelle.
Um die Koordinaten des Wendepunktes angeben zu können, musst du zunächst die notwendige und hinreichende Bedingung für Wendestellen überprüfen.
Für eine Wendestelle $x_W$ einer Funktion $f$ müssen folgende Kriterien erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $f''(x_W)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $f'''(x_W) \neq 0$
Ermittle anhand diesen Bedingungen die Wendestelle der Funktion $f_t$. Hast du diese bestimmt, so kannst du die bestimmte Stelle in den Funktionsterm von $f_t$ einsetzen und erhältst so den zugehörigen Funktionswert an der Wendestelle.
1. Schritt: Tiefpunkt bestimmen (Notwendige Bedingung)
Wahlteil A1
Wahlteil A1
Um die notwendige Bedingung einer Minimalstelle der Funktion $f_t$ zu überprüfen, benötigst du die erste Ableitungsfunktion der Funktion $f_t$. Diese erhältst du, indem du
menu $ \to $ 4: Analysis $ \to $ 1: Ableitung
auswählst.
Für die notwendige Bedingung einer Minimalstelle muss $f'_t(x_M)=0$ gelten.
Setze den Funktionsterm der ersten Ableitung $f'_t$ gleich Null und ermittle alle potentielle Werte, für die diese Gleichung erfüllt wird.
Mittels solve-Befehl kannst du dann die notwendige Bedingung überprüfen.
Das CAS liefert dir zwei potentielle Minimalstellen an $x_{M1}=t$ und $x_{M2}=-t$. Du kannst für diese Stellen nun das hinreichende Kriterium überprüfen.
2. Schritt: Tiefpunkt bestimmen (Hinreichende Bedingung)
Wahlteil A1
Wahlteil A1
Damit eine Minimalstelle vorliegt, muss weiterhin die hinreichende Bedingung $f''(x_M)> 0$ erfüllt werden.
Das heißt, du benötigst zunächst die zweite Ableitung der Funktion $f_t$.
Diese erhältst du, indem du den Term von $f'_t$ erneut ableitest.
Das CAS liefer dir, dass der Term der zweiten Ableitungsfunktion
$f''_t(x)=2 \cdot x$
lautet.
Überprüfe nun, ob $f''(x_M=t)> 0$ erfüllt wird:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} f''_t(x_{M1}= t)=& 2 \cdot x& \\ =& 2 \cdot t > 0& \\ \end{array}$
Da in der Aufgabenstellung $t>0$ vorausgesetzt wird, ist die zweite Ableitungsfunktion an $x_{M1}=t$ echt größer Null.
Überprüfe weiterhin, ob $f''(x_M=-t)> 0$ erfüllt wird:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} f''_t(x_{M2}= -t)=& 2 \cdot x& \\ =& 2 \cdot - t < 0& \\ \end{array}$
Da in der Aufgabenstellung $t>0$ vorausgesetzt wird, ist die zweite Ableitungsfunktion an $x_{M2}=-t$ echt kleiner Null.
Das liefert dir, dass die hinreichende Bedingung nur für $x_{M1}=t$ erfüllt wird und damit, dass an $x_{M1}=t$ eine Minimalstellen vorliegt.
3. Schritt: Koordinaten des Tiefpunktes angeben

Wahlteil A1
Wahlteil A1
Aus den Berechnungen zuvor weißt du, dass sich an der Stelle $x_{M1}=t$ ein Tiefpunkt befindet. Damit hast du die $x$-Koordinate des Tiefpunktes ermittelt.
Die $y$-Koordinate erhältst du, indem du $x_M1= t$ in den Funktionsterm von $f_t$ einsetzt und berechnest.
Das liefert dir, dass der Tiefpunkt die Koordinaten $T\left( t \mid -\frac{2}{3} \cdot t^{3} +t\right)$ besitzt.
4. Schritt: Wendepunkt bestimmen (Notwendige Bedingung)
Für die notwendige Bedingung einer Wendestelle muss $f''_t(x_W)=0$ gelten. Setze folglich den Funktionsterm der ersten Ableitung $f''_t$ gleich Null und ermittle alle potentielle Werte, für die diese Gleichung erfüllt wird.
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 0=& 2 \cdot x& \mid\; :2\\ 0=& x& \\ \end{array}$
Damit hast du eine potentielle Wendestellen an $x_{W}=0$ ermittelt und kannst für diese Stelle nun das hinreichende Kriterium überprüfen.
5. Schritt: Wendepunkt bestimmen (Hinreichende Bedingung)
Wahlteil A1
Wahlteil A1
Für die notwendige Bedingung einer Wendestelle muss $f'''_t(x_W=0)\neq 0$ gelten.
Die dritte Ableitung der Funktion $f_t$ kannst du mit Hilfe des CAS bestimmen.
Den dazu notwendigen Befehl findest du unter
menu $ \to $ 4: Analysis $ \to $ 1: Ableiten
Der Term der dritten Ableitung von $f_t$ ist gegeben durch: $f'''_t(x)=2$
Das heißt, $f'''_t$ hat an jeder Stelle konstant den Funktionswert 2. Die hinreichende Bedingung wird für die Wendestelle folglich erfüllt.
6. Schritt: Koordinaten des Wendepunktes bestimmen
Wahlteil A1
Wahlteil A1
Die Koordinaten des Wendepunktes erhältst du, indem du $x_W=0$ in den Funktionsterm von $f_t$ einsetzt.
Die Koordinaten lauten also $W(0 \mid t)$.
7. Schritt: Abstand der Punkte bestimmen
Den Abstand $d$ zweier Punkte $A(a_1 \mid a_2) $ und $B(b_1 \mid b_2) $ kannst du über folgenden Zusammenhang bestimmen:
$d= \sqrt{(a_1-b_1)^2 +(a_2-b_2)^2}$
Einsetzen der Koordinaten der Punkte $T\left( t \mid -\frac{2}{3} \cdot t^{3}+t \right)$ und $W\left(0 \mid t \right)$ liefert dir den Abstand mit:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} d=&\sqrt{(t-0)^2 +\left(-\frac{2}{3} \cdot t^{3}+t-t\right)^2}& \\ d=&\sqrt{t^2 +\left(-\frac{2}{3} \cdot t^{3}\right)^2}& \\ \end{array}$
Der Abstand $d$ der Punkte $T$ und $W$ beträgt also $\sqrt{t^2 +\left(-\frac{2}{3} \cdot t^{3}\right)^2}$.
8. Schritt: Parameterwert für $t$ bestimmen
Wahlteil A1
Wahlteil A1
Damit die beiden Punkte einen Abstand von 13 LE haben, muss
$13=d=\sqrt{t^2 +\left(-\frac{2}{3} \cdot t^{3}\right)^2}$
gelten. Löse diese Gleichung nach $t$ auf, um den gesuchten Parameterwert zu erhalten.
Diese Gleichung kannst du mit Hilfe des solve-Befehls im CAS lösen.
Das CAS liefert dir zwei Resultate:
  • $t_1\approx 2,67$
  • $t_2\approx -2,67$
Da laut Aufgabenstellung aber $0$ < $t$ gelten soll, ist $t_1$ das gesuchte Ergebnis.
Es muss $t=2,67$ gelten, damit der Abstand der beiden Punkte 13 beträgt.
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Aufgabe 1.1

a) $\blacktriangleright$ Koordinate des Extrempunktes $E$ angeben
Gegeben ist der Funktionsterm einer Funktion $f$ mit:
$f(x)= 10 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}$
$K$ ist ihr Schaubild. Deine Aufgabe ist es, die Koordinaten des Extrempunktes $E$ zu bestimmen.
Um die Koordinaten angeben zu können, musst du zunächst die notwendige und hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen.
Für eine Extremstelle $x_E$ einer Funktion $f$ müssen folgende Kriterien erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $f'(x_E)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $f''(x_E) \neq 0$
Ermittle anhand diesen Bedingungen die Extremstelle der Funktion $f$. Hast du diese bestimmt, so kannst du die bestimmte Stelle in den Funktionsterm von $f$ einsetzen und erhältst so den zugehörigen Funktionswert an dieser Extremstelle.
1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Um die notwendige Bedingung einer Extremstelle der Funktion $f$ zu überprüfen, benötigst du die erste Ableitungsfunktion der Funktion $f$.
Diese erhältst du, indem du die Produktregel anwendest:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} f(x)=&10 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}& \\ f'(x)=&10 \cdot 1 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} + 10 \cdot x \cdot (-0,5) \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}& \\ =&10 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} -5 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}& \\ =& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}\cdot (10 - 5 \cdot x)& \\ \end{array}$
Für die notwendige Bedingung einer Extremstelle muss $f'(x_E)=0$ gelten. Setze also den Funktionsterm der ersten Ableitung $f'$ gleich Null und ermittle alle potentielle Werte, für die diese Gleichung erfüllt wird:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 0=&\mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}\cdot (10 - 5 \cdot x)& \\ \end{array}$
An dieser Stelle kannst du den Satz vom Nullprodukt anwenden. Da der Term $\mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}$ für keinen Wert für $x$ gleich Null werden kann, kannst du diesen vernachlässigen.
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 0=& 10 - 5 \cdot x& \mid\;-10\\ -10=& - 5 \cdot x& \mid\; \cdot (-1)\\ 10=& 5 \cdot x& \mid\; :5\\ 2=& x&\\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 0=& 10 - 5 \cdot x& \\ -10=& - 5 \cdot x& \\ 10=& 5 \cdot x& \\ 2=& x&\\ \end{array}$
Damit hast du eine potentielle Extremstelle an $x_E=2$ ermittelt und kannst für diese Stelle nun das hinreichende Kriterium überprüfen.
Wahlteil A1
Wahlteil A1
Alternativ bietet es sich auch an, die potentielle Extremstelle mit dem CAS zu bestimmen:
Den Term der ersten Ableitungsfunktion $f'$
kannst du wie folgt bestimmen:
Interactive $ \to $ Calculation $ \to $ diff
Den Befehl zum Bestimmen der Nullstelle findest du weiterhin unter:
Interactive $ \to $ Advanced $ \to $ solve
Das CAS liefert dir eine potentielle Extremstelle an $x_E=2$.
Überprüfe für diese potentielle Extremstelle $x_E$ das hinreichende Kriterium.
2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Damit eine Extremstelle vorliegt, muss weiterhin die hinreichende Bedingung $f''(x_E=2)\neq 0$ erfüllt werden. Das heißt, du benötigst zunächst die zweite Ableitung der Funktion $f$. Diese erhältst du, indem du den Term von $f'$ erneut mit Hilfe der Produktregel ableitest:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} f'(x)=& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}\cdot (10 - 5 \cdot x)& \\ f''(x)=& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}\cdot (-0,5) \cdot (10 - 5 \cdot x) + \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}\cdot (- 5)& \\ =& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \cdot (-5 + 2,5 \cdot x) + \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}\cdot (- 5)& \\ =& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \cdot (-5 + 2,5 \cdot x - 5)& \\ =& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \cdot (2,5 \cdot x - 10)& \\ \end{array}$
Überprüfe nun, ob $f''(x_E=2)\neq 0$ erfüllt wird:
$\begin{array}{r@{\;\;}l@{\hspace{1cm}}l} f''(x_E=2)=& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot 2} \cdot (2,5 \cdot 2 - 10)& \\ =& \mathrm{e}^{-1} \cdot (5 - 10)& \\ =& \mathrm{e}^{-1} \cdot (-5)& \\ \approx& -1,8394 \neq 0& \\ \end{array}$
Das liefert dir, dass ebenfalls die hinreichende Bedingung erfüllt ist und damit, dass an $x_E=2$ eine Extremstelle vorliegt. Wegen $f''(x_E=2)<0$ kannst du festhalten, dass es sich hierbei um einen Hochpunkt handelt.
3. Schritt: Koordinaten des Hochpunktes angeben
Aus den Berechnungen zuvor weißt du, dass sich an der Stelle $x_E=2$ ein Hochpunkt befindet. Damit hast du die $x$-Koordinate des Hochpunktes ermittelt.
Die $y$-Koordinate erhältst du, indem du $x_E=2$ in den Funktionsterm von $f$ einsetzt und berechnest:
Wahlteil A1
Wahlteil A1
$\begin{array}{r@{\;\;}l@{\hspace{1cm}}l} f(x_E=2)=&10 \cdot 2 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot 2}& \\ =& 20 \cdot \mathrm{e}^{-1}& \\ =& \frac{20}{\mathrm{e}} & \\ \approx & 7,3576 & \\ \end{array}$
Alternativ kannst du den Funktionswert an der Stelle $x_E=2$ auch mit Hilfe des CAS bestimmen.
Gib dazu $f(x_E=2)$ im CAS ein und bestätige mit Enter.
Die Koordinaten des Extrempunktes $E$ lauten $E(2 \mid 7,3576 )$.
$\blacktriangleright$ Koordinate des Wendepunktes $W$ angeben
Laut Aufgabenstellung besitzt das Schaubild $K$ einen Wendepunkt. Um dessen Koordinaten angeben zu können, musst du zunächst die Wendestelle $x_W$ der Funktion $f$ bestimmen. Für diese Wendestelle müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
  • Notwendige Bedingung: $f''(x_W)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $f'''(x_W)\neq 0$
Hast du anschließend $x_W$ bestimmt, so kannst du die Wendestelle in den Term der Funktion $f$ einsetzen und so die $y$-Koordinate des Wendepunktes bestimmen.
1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Um die notwendige Bedingung einer Wendestelle der Funktion $f$ zu überprüfen, benötigst du die zweite Ableitungsfunktion der Funktion $f$. Diese hast du zuvor mit Hilfe der Produktregel bestimmt:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} f''(x)=& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \cdot (2,5 \cdot x - 10)& \\ \end{array}$
Für die hinreichende Bedingung muss $f''(x_W)=0$ gelten:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 0=& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \cdot (2,5 \cdot x - 10)& \\ \end{array}$
An dieser Stelle kannst du den Satz vom Nullprodukt anwenden. Da der Term $\mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}$ für keinen Wert für $x$ gleich Null werden kann, kannst du diesen vernachlässigen.
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 0=& 2,5 \cdot x - 10& \mid\; +10\\ 10=& 2,5 \cdot x & \mid\; :2,5\\ 4=& x & \\ \end{array}$
Damit hast du eine potentielle Wendestelle an $x_W=4$ ermittelt.
Wahlteil A1
Wahlteil A1
Alternativ bietet es sich auch an, die potentielle Wendestelle mit dem CAS zu bestimmen:
Den Term der zweiten Ableitungsfunktion kannst du bestimmen, indem du den Term von $f'$ ein weiteres Mal ableitest. Wähle dazu
Interactive $ \to $ Calculation $ \to $ diff
aus. Anschließend findest du den Befehl zum Bestimmen der Nullstelle unter:
Interactive $ \to $ Advanced $ \to $ solve
Das CAS liefert dir eine potentielle Wendestelle an $x_W=4$.
Überprüfe für diese schließlich noch die hinreichende Bedingung.
2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Damit eine Wendestelle vorliegt, muss weiterhin die hinreichende Bedingung $f'''(x_W)\neq 0$ erfüllt werden. Das heißt, du benötigst zunächst die dritte Ableitung der Funktion $f$. Diese erhältst du, indem du den Term von $f''$ erneut mit Hilfe der Produktregel ableitest:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} f''(x)=& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \cdot (2,5 \cdot x - 10)& \\ f'''(x)=& -0,5 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \cdot (2,5 \cdot x - 10) + \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \cdot 2,5 & \\ =& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \cdot (- 1,25 \cdot x + 5) + \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \cdot 2,5 & \\ =& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \cdot (- 1,25 \cdot x + 5 + 2,5 ) & \\ =& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \cdot (- 1,25 \cdot x + 7,5 ) & \\ \end{array}$
Überprüfe nun, ob $f'''(x_W=4)\neq 0$ erfüllt wird:
$\begin{array}{r@{\;\;}l@{\hspace{1cm}}l} f'''(x_W=4)=& \mathrm{e}^{-0,5 \cdot 4} \cdot (- 1,25 \cdot 4 + 7,5 ) & \\ =& \mathrm{e}^{-2} \cdot (-5 + 7,5 ) & \\ =& \mathrm{e}^{-2} \cdot 2,5 & \\ \approx& 0,338 \neq 0 & \\ \end{array}$
Das liefert dir, dass ebenfalls die hinreichende Bedingung erfüllt ist und damit, dass an $x_W=4$ eine Wendestelle liegt.
3. Schritt: Koordinaten des Wendepunktes angeben
Aus den Berechnungen zuvor weißt du, dass sich an der Stelle $x_W=4$ ein Wendepunkt befindet. Damit hast du die $x$-Koordinate des Wendepunktes ermittelt. Die $y$-Koordinate erhältst du, indem du $x_W=4$ in den Funktionsterm von $f$ einsetzt und berechnest:
$\begin{array}{r@{\;\;}l@{\hspace{1cm}}l} f(x_W=4)=&10 \cdot 4 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot 4}& \\ =& 40 \cdot \mathrm{e}^{-2}& \\ =& \frac{40}{\mathrm{e}^2} & \\ \approx& 5,413 & \\ \end{array}$
Wahlteil A1
Wahlteil A1
Alternativ kannst du den Funktionswert an der Stelle $x_W=4$ auch mit Hilfe des CAS bestimmen.
Gib dazu $f(x_W=4)$ im CAS ein un bestätige mit Enter.
Die Koordinaten des des Wendepunktes $W$ lauten $W(4 \mid 5,413 )$.
$\blacktriangleright$ Gleichung der Asymptote von $K$ angeben
Wahlteil A1
Wahlteil A1
Betrachte das Schaubild der Funktion $f$ in deinem CAS.
Deine Aufgabe ist es, die Gleichung der Asymptote von $K$ anzugeben.
Anhand des Schaubildes (Abbildung links) kannst du bereits vermuten, dass es sich um eine waagrechte Asymptote handelt.
Um die Gleichung der Asymptote zu bestimmen, kannst du die Funktion $f$ für $x \to + \infty $ und für $x \to - \infty $ untersuchen.
Untersuchen für $x \to + \infty$:
Der Funktionsterm von $f$ ist gegeben durch $f(x)= 10 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}$.
Betrachtest du $x \to + \infty $, so kannst du festhalten, dass gilt:
$10 \cdot x \to + \infty \text{ und } \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}= \dfrac{1}{\mathrm{e}^{0,5 \cdot x}}\to 0$
Da der $\mathrm{e}$-Term den dominanten Term darstellt, konvergiert die Funktion $f$ für $x \to + \infty $ gegen 0.
Die Gleichung der Asymptote lautet also $y=0$.
Untersuchen für $x \to - \infty$:
Betrachtest du noch $x \to - \infty $, so kannst du festhalten, dass gilt:
$10 \cdot x \to - \infty \text{ und } \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}= \dfrac{1}{\mathrm{e}^{0,5 \cdot x}}\to + \infty$
Da auch hier der $\mathrm{e}$-Term den dominanten Term darstellt, der Term aber wegen des Teils $10\cdot x$ für $x< 0$ immer ein negatives Vorzeichen besitzt, strebt die Funktion $f$ für $x \to - \infty $ gegen $- \infty$. Damit liegt keine weitere Asymptote vor.
$\blacktriangleright$ Skizzieren des Schaubildes $K$
Weiterhin verlangt die Aufgabenstellung, das Schaubild $K$ zu skizzieren. Dabei kannst du folgende Angaben verwenden:
  • Betrachte das Schaubild im CAS, indem du den Graph-Modus auswählst.
  • Verwende, dass sich der Hochpunkt an $E(2 \mid 7,3576 )$ und der Wendepunkt an $ W(4 \mid 5,413 )$ befindet.
  • Für $x \to + \infty $ konvergiert die Funktion gegen 0, für $x \to - \infty $ strebt sie gegen $- \infty$.
Zusätzlich kannst du dir noch die zugehörige Wertetabelle der Funktion einblenden lassen. Diese findest du im Graph-Modus unter TABLE:
Wahlteil A1
Wahlteil A1
Das Schaubild $K$ sollte dann folgendermaßen aussehen:
Wahlteil A1
Wahlteil A1
b) $ \blacktriangleright $ Wert für $u$ bestimmen, sodass der Flächeninhalt 8 FE beträgt
Gegeben sind die Punkte $O(0 \mid 0)$, $P( u \mid 0)$ und $ Q(u \mid f(u))$. Sie stellen die Eckpunkte eines Dreiecks dar.
Deine Aufgabe ist es, einen Wert für $u$ so zu bestimmen, dass der Flächeninhalt des Dreieck 8 FE beträgt.
Wahlteil A1
Wahlteil A1
Der Flächeninhalt $A_D$ eines Dreiecks berechnet sich allgemein über folgenden Zusammenhang:
$A_{D}=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
Dabei stellt $g$ die Länge der Grundseite und $h$ die Länge der Höhe dar.
Um einen passenden Wert für $u$ zu ermitteln, kannst du wie folgt vorgehen:
  • Stelle die Flächenfunktion in Abhängigkeit vom Parameter $u$ auf.
  • Setze den resultierenden Term mit 8 gleich und löse nach $u$ auf, um den gesuchten Wert zu erhalten.
Den zweiten Schritt kannst du mit Hilfe des CAS durchführen.
1. Schritt: Flächenfunktion aufstellen
Anhand der Abbildung kannst du erkennen, dass die Grundseite dem Wert $u$ und die Höhe dem Funktionswert $f(u)$ entspricht. Dadurch erhältst du folgende von $u$ abhängige Flächenfunktion $A(u)$:
$A(u)=\frac{1}{2} \cdot u \cdot f(u)$
Setze den Funktionsterm von $f$ ein, um den vollständigen Term er Flächenfunktion $A(u)$ zu erhalten:
$A(u)=\frac{1}{2} \cdot u \cdot 10 \cdot u \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u}=5 \cdot u^2 \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u}$
2. Schritt: Wert für Parameter $u$ ermitteln
Um einen passenden Wert für $u$ zu erhalten, sodass der Flächeninhalt 8 FE beträgt, kannst du den aufgestellten Term der Flächenfunktion mit 8 gleichsetzen und nach $u$ auflösen. Gehe dabei wie folgt vor:
  • Gib den Funktionsterm $A(u)$ im CAS ein.
  • Verwende den solve-Befehl und gib an, dass nach $u$ aufgelöst werden soll.
Wahlteil A1
Wahlteil A1
Das CAS liefert dir drei verschiedene Werte für $u$, sodass der Flächeninhalt 8 FE beträgt.
Da aber laut Aufgabenstellung $u>0$ gelten soll, kannst du das Resultat $u_0 \approx -0,988$ vernachlässigen.
Damit hast du zwei passende Werte für $u$ ermittelt mit
  • $u_1 \approx 2,183$,
  • $u_2 \approx 6,621$.
$ \blacktriangleright $ Wert für $u$ bestimmen, sodass das Dreieck gleichschenklig ist
Wahlteil A1
Wahlteil A1
Damit das Dreieck gleichschenklig ist, muss einer der folgenden Fälle eintreten:
  • $a=b$ oder
  • $a=c$ oder
  • $b=c$.
Gib dazu zunächst die Länge der Seiten $a$, $b$ und $c$ in Abhängigkeit von $u$ an und setze diese gleich, um so einen passenden Parameterwert für $u$ zu ermitteln.
1. Schritt: Länge der Seiten in Abhängigkeit von $u$ angeben
  • Die Seitenlänge $a$ entspricht dem Abstand vom Ursprung $O(0 \mid 0)$ zum Punkt $P(u\mid 0)$. Dieser Abstand ist gerade gleich $u$.
  • Die Seitenlänge $b$ stellt den Abstand zwischen den Punkten $P(u\mid0)$ und $Q(u\mid f(u))$ dar. Da diese die gleiche $x$-Koordinate haben, besitzen sie einen Abstand von
    $f(u)=10 \cdot u \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u}$.
  • $c$ berechnet sich mit Hilfe des Satzes von Pythagoras:
    $c=\sqrt{a^2 +b^2}=\sqrt{u^2 + f(u)^2}=\sqrt{u^2+ 10 \cdot u \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot u}}$.
2. Schritt: Seitenlängen gleichsetzen, um $u$ zu bestimmen
Wahlteil A1
Wahlteil A1
Damit das Dreieck gleichschenklig ist, können die oben drei genannten Fälle
  • $a=b$ oder
  • $a=c$ oder
  • $b=c$
eintreten. Das kannst du mit Hilfe des CAS überprüfen.
In der Abbildung rechts werden alle drei Fälle nacheinander überprüft. Dabei kannst du folgendes Resultat festhalten:
$\blacktriangleright$ Für den 1. Fall: $a=c$ muss $u=\sqrt{u^2 + f(u)^2}$ gelten.
Das CAS liefert dir, dass diese Gleichung nur für $u=0$ erfüllt wird. Da aber für $u=0$ kein Dreieck zustande kommt, kannst du diesen Wert vernachlässigen. Geometrisch interpretiert heißt das, dass die Seiten $a$ und $c$ in dieser Konstruktion niemals gleich lang werden.
$\blacktriangleright$ Für den 2. Fall: $b=c$ muss $f(u)=\sqrt{u^2 + f(u)^2}$ gelten.
Das CAS liefert auch hier, dass diese Gleichung nur für $u=0$ erfüllt wird. Da aber für $u=0$ kein Dreieck zustande kommt, kannst du diesen Wert ebenfalls vernachlässigen.
$\blacktriangleright$ Für den 3. Fall: $a=c$ muss $u=f(u)$ gelten.
Das CAS liefert dir den gesuchten Parameterwert für $u$ mit $u=4,605$.
Das heißt, für $u=4,605$ ist das Dreieck gleichschenklig.
c) $ \blacktriangleright $ Grenzen des Intervalls bestimme, sodass der Mittelwert 2,2 beträgt
Bestimme ein Intervall der Länge 3, sodass die Funktion $f$ mit dem gegebenen Funktionsterm $f(x)= 10 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x}$ den Mittelwert 2,2 besitzt.
Den Mittelwert $m$ einer Funktion $f$ auf einem Intervall $\left[a;b\right]$ kannst du mit Hilfe der folgenden Formel bestimmen:
$m= \dfrac{1}{b-a} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x$
Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, kannst du diese Angaben verwenden:
  • Der Mittelwert beträgt laut Aufgabentext $m=2,2$.
  • Die Länge des Intervalls soll 3 betragen, das heißt, es muss $b-a=3$ bzw. $b=a+3$ gelten.
Setze alle bekannten Informationen in die oben angeführte Formel ein und bestimme so das gesuchte Intervall.
Einsetzen aller Angaben liefert dir:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 2,2=&\dfrac{1}{3} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b} 10 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \; \mathrm{d}x& \mid\; \cdot 3\\ 6,6=&\displaystyle\int_{a}^{a+3} 10 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \; \mathrm{d}x& \\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 2,2=&\dfrac{1}{3} \cdot \displaystyle\int_{a}^{b} 10 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \; \mathrm{d}x& \\ 6,6=&\displaystyle\int_{a}^{a+3} 10 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0,5 \cdot x} \; \mathrm{d}x& \\ \end{array}$
Wahlteil A1
Wahlteil A1
Diese Gleichung kannst du mit Hilfe des CAS lösen.
Das Integral erhältst du wie folgt:
Interactive $ \to $ Calculation $ \to $ $\displaystyle\int_{}^{}$
Das CAS liefert dir Schnittstellen an
$x_1=-0,862$ und $x_2=5,497$.
Das heißt, für das Intervall $[a;b]$ mit
  • $a_1=-0,862$, $b_1=3+(-0,862)=2,138$
  • $a_2=5,497$, $b_2=3+5,497=8,497$
beträgt der Mittelwert der Funktion 2,2.

Aufgabe 1.2

$ \blacktriangleright $ Parameter $t$ bestimmen
Gegeben ist der Funktionsterm einer Funktion $f_t$ mit:
$f_{t}(x)=\dfrac{1}{3} \cdot x^{3}-t^{2}\cdot x +t$
Deine Aufgabe ist es, den Parameter $t$ so zu bestimmen, dass der Tiefpunkt und der Wendepunkt des Graphen von $f_t$ einen Abstand von 13 LE besitzen.
Dabei kannst du wie folgt vorgehen:
  • Bestimme die Koordinaten des Tiefpunktes in Abhängigkeit von $t$.
  • Bestimme die Koordinaten des Wendepunktes in Abhängigkeit von $t$.
  • Berechne den Abstand $d$ der Punkte.
  • Bestimme $t$ so, dass der Abstand gerade 13 LE beträgt.
Um die Koordinaten des Tiefpunktes angeben zu können, musst du zunächst die notwendige und hinreichende Bedingung für Minimalstellen überprüfen.
Für eine Minimalstelle $x_M$ einer Funktion $f$ müssen folgende Kriterien erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $f'(x_M)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $f''(x_M) > 0$
Ermittle anhand diesen Bedingungen die Minimalstelle der Funktion $f_t$. Hast du diese bestimmt, so kannst du die bestimmte Stelle in den Funktionsterm von $f_t$ einsetzen und erhältst so den zugehörigen Funktionswert an der Minimalstelle.
Um die Koordinaten des Wendepunktes angeben zu können, musst du zunächst die notwendige und hinreichende Bedingung für Wendestellen überprüfen.
Für eine Wendestelle $x_W$ einer Funktion $f$ müssen folgende Kriterien erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $f''(x_W)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $f'''(x_W) \neq 0$
Ermittle anhand diesen Bedingungen die Wendestelle der Funktion $f_t$. Hast du diese bestimmt, so kannst du die bestimmte Stelle in den Funktionsterm von $f_t$ einsetzen und erhältst so den zugehörigen Funktionswert an der Wendestelle.
1. Schritt: Tiefpunkt bestimmen (Notwendige Bedingung)
Wahlteil A1
Wahlteil A1
Um die notwendige Bedingung einer Minimalstelle der Funktion $f_t$ zu überprüfen, benötigst du die erste Ableitungsfunktion der Funktion $f_t$. Diese erhältst du, indem du
Interactive $ \to $ Calculation $ \to $ diff
auswählst.
Für die notwendige Bedingung einer Minimalstelle muss $f'_t(x_M)=0$ gelten.
Setze den Funktionsterm der ersten Ableitung $f'_t$ gleich Null und ermittle alle potentielle Werte, für die diese Gleichung erfüllt wird.
Mittels solve-Befehl kannst du dann die notwendige Bedingung überprüfen.
Das CAS liefert dir zwei potentielle Minimalstellen an $x_{M1}=t$ und $x_{M2}=-t$. Du kannst für diese Stellen nun das hinreichende Kriterium überprüfen.
2. Schritt: Tiefpunkt bestimmen (Hinreichende Bedingung)
Wahlteil A1
Wahlteil A1
Damit eine Minimalstelle vorliegt, muss weiterhin die hinreichende Bedingung $f''(x_M)> 0$ erfüllt werden.
Das heißt, du benötigst zunächst die zweite Ableitung der Funktion $f_t$.
Diese erhältst du, indem du den Term von $f'_t$ erneut ableitest.
Das CAS liefer dir, dass der Term der zweiten Ableitungsfunktion
$f''_t(x)=2 \cdot x$
lautet.
Überprüfe nun, ob $f''(x_M=t)> 0$ erfüllt wird:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} f''_t(x_{M1}=t) =& 2 \cdot x& \\ =& 2 \cdot t > 0& \\ \end{array}$
Da in der Aufgabenstellung $t>0$ vorausgesetzt wird, ist die zweite Ableitungsfunktion an $x_{M1}=t$ echt größer Null.
Überprüfe weiterhin, ob $f''(x_M=-t)> 0$ erfüllt wird:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} f''_t(x_{M2}= -t)=& 2 \cdot x& \\ =& 2 \cdot - t < 0& \\ \end{array}$
Da in der Aufgabenstellung $t>0$ vorausgesetzt wird, ist die zweite Ableitungsfunktion an $x_{M2}=-t$ echt kleiner Null.
Das liefert dir, dass die hinreichende Bedingung nur für $x_{M1}=t$ erfüllt wird und damit, dass an $x_{M1}=t$ eine Minimalstellen vorliegt.
3. Schritt: Koordinaten des Tiefpunktes angeben

Wahlteil A1
Wahlteil A1
Aus den Berechnungen zuvor weißt du, dass sich an der Stelle $x_{M1}=t$ ein Tiefpunkt befindet. Damit hast du die $x$-Koordinate des Tiefpunktes ermittelt.
Die $y$-Koordinate erhältst du, indem du $x_M1= t$ in den Funktionsterm von $f_t$ einsetzt und berechnest.
Das liefert dir, dass der Tiefpunkt die Koordinaten $T\left( t \mid -\frac{2}{3} \cdot t^{3} +t\right)$ besitzt.
4. Schritt: Wendepunkt bestimmen (Notwendige Bedingung)
Für die notwendige Bedingung einer Wendestelle muss $f''_t(x_W)=0$ gelten. Setze folglich den Funktionsterm der ersten Ableitung $f''_t$ gleich Null und ermittle alle potentielle Werte, für die diese Gleichung erfüllt wird.
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 0=& 2 \cdot x& \mid\; :2\\ 0=& x& \\ \end{array}$
Damit hast du eine potentielle Wendestellen an $x_{W}=0$ ermittelt und kannst für diese Stelle nun das hinreichende Kriterium überprüfen.
5. Schritt: Wendepunkt bestimmen (Hinreichende Bedingung)
Wahlteil A1
Wahlteil A1
Für die notwendige Bedingung einer Wendestelle muss $f'''_t(x_W=0)\neq 0$ gelten.
Die dritte Ableitung der Funktion $f_t$ kannst du mit Hilfe des CAS bestimmen.
Den dazu notwendigen Befehl findest du unter
Interactive $ \to $ Calculation $ \to $ diff
Der Term der dritten Ableitung von $f_t$ ist gegeben durch: $f'''_t(x)=2$
Das heißt, $f'''_t$ hat an jeder Stelle konstant den Funktionswert 2. Die hinreichende Bedingung wird für die Wendestelle folglich erfüllt.
6. Schritt: Koordinaten des Wendepunktes bestimmen
Wahlteil A1
Wahlteil A1
Die Koordinaten des Wendepunktes erhältst du, indem du $x_W=0$ in den Funktionsterm von $f_t$ einsetzt.
Die Koordinaten lauten also $W(0 \mid t)$.
7. Schritt: Abstand der Punkte bestimmen
Den Abstand $d$ zweier Punkte $A(a_1 \mid a_2) $ und $B(b_1 \mid b_2) $ kannst du über folgenden Zusammenhang bestimmen:
$d= \sqrt{(a_1-b_1)^2 +(a_2-b_2)^2}$
Einsetzen der Koordinaten der Punkte $T\left( t \mid -\frac{2}{3} \cdot t^{3}+t \right)$ und $W\left(0 \mid t \right)$ liefert dir den Abstand mit:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} d=&\sqrt{(t-0)^2 +\left(-\frac{2}{3} \cdot t^{3}+t-t\right)^2}& \\ d=&\sqrt{t^2 +\left(-\frac{2}{3} \cdot t^{3}\right)^2}& \\ \end{array}$
Der Abstand $d$ der Punkte $T$ und $W$ beträgt also $\sqrt{t^2 +\left(-\frac{2}{3} \cdot t^{3}\right)^2}$.
8. Schritt: Parameterwert für $t$ bestimmen
Wahlteil A1
Wahlteil A1
Damit die beiden Punkte einen Abstand von 13 LE haben, muss
$13=d=\sqrt{t^2 +\left(-\frac{2}{3} \cdot t^{3}\right)^2}$
gelten. Löse diese Gleichung nach $t$ auf, um den gesuchten Parameterwert zu erhalten.
Diese Gleichung kannst du mit Hilfe des solve-Befehls im CAS lösen.
Das CAS liefert dir zwei Resultate:
  • $t_1\approx 2,67$
  • $t_2\approx -2,67$
Da laut Aufgabenstellung aber $0$ < $t$ gelten soll, ist $t_1$ das gesuchte Ergebnis.
Es muss $t=2,67$ gelten, damit der Abstand der beiden Punkte 13 beträgt.
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