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Wahlteil A2

Aufgaben
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Aufgabe A 2.1

In einem Skigebiet beträgt die Schneehöhe um $10.00$ Uhr an einer Messstelle $150\,\text{cm}$. Die momentane Änderungsrate dieser Schneehöhe wird beschrieben durch die Funktion $s$ mit
$s(t) = 16\mathrm e^{-0,5t} – 14\mathrm e^{-t} –2$ ;   $0 \leq t \leq 12$
($t$ in Stunden nach $10.00$ Uhr, $s(t)$ in Zentimeter pro Stunde).
a)
Bestimme die maximale momentane Änderungsrate der Schneehöhe.
Ermittle den Zeitraum, in dem die momentane Änderungsrate der Schneehöhe größer als $2\,\text{cm}$ pro Stunde ist.
Wie hoch liegt der Schnee um $12.00$ Uhr?
(4P)
#änderungsrate
b)
Zu welchen Uhrzeiten beträgt die Schneehöhe $153\,\text{cm}$?
Bestimme die maximale Schneehöhe.
(3P)
c)
Um $12.30$ Uhr werden nun Schneekanonen in Betrieb genommen. Sie liefern konstant so viel Schnee, dass sich die momentane Änderungsrate der Schneehöhe an der Messstelle um $1\,\text{cm}$ pro Stunde erhöht.
Um wie viele Stunden verlängert sich durch diese Maßnahme der Zeitraum, in dem die Schneehöhe zunimmt?
Wie viele Zentimeter Schnee pro Stunde müssten die Schneekanonen ab $12.30$ Uhr liefern, damit um $18.00$ Uhr die Schneehöhe $160\,\text{cm}$ betragen würde?
(4P)

Aufgabe A 2.2

Für jedes $a > 0$ ist eine Funktion $g_a$ gegeben durch
$g_a(x) = a \cdot \cos(a \cdot x)$ ;   $-\dfrac{\pi}{2a} \leq x \leq \dfrac{\pi}{2a} $.
Der Graph von $g_a$ schneidet die $y$-Achse in einem Punkt. Die Strecke von diesem Punkt zum Ursprung ist die Diagonale einer Raute. Die beiden weiteren Eckpunkte der Raute liegen auf dem Graphen von $g_a$.
a)
Bestimme für $a = 3$ die Längen der beiden Diagonalen dieser Raute.
(2P)
#raute
b)
Bestimme den Wert von $a$, für den die Raute ein Quadrat ist.
(2P)
#quadrat
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Aufgabe A 2.1

a)
$\blacktriangleright$  Extrempunkt bestimmen
Die momentane Änderungsrate einer Schneehöhe wird in Abhängigkeit von der Zeit durch die Funktion
$s(t) = 16 \cdot \mathrm e^{-0,5t} - 14 \cdot \mathrm e^{-t} - 2$
beschrieben.
Die maximale momentane Änderungsrate entspricht dem Maximum dieser Funktion. Dieses musst du bestimmen. Verwende dazu das CAS.
$\blacktriangleright$  Intervall mit nach unten beschränktem Wachstum berechnen
Es ist gefragt, in welchem Zeitraum die momentane Änderungsrate kleiner als $2$ ist. Du hast damit eine fest vorgegebene Grenze, die $s$ nicht unterschreiten darf.
Diese Grenze liegt bei $y(t) = 2$.
Um den gesuchten Zeitraum zu bestimmen, löst du die Gleichung $s(t) = 2$ nach $t$ auf. Dazu verwendest du dein CAS. Du erhältst zwei Lösungen $t_0, t_1$, die Grenzen eines Intervalls $[t_0,t_1]$ darstellen.
Um zu überprüfen, in welchem Bereich $s$ größer als $2$ ist, setzt du einen Wert aus dem Intervall und einen Werte $\leq t_0$ und einen Wert $\geq t_1$ in $s(t)$ ein.
Beachte dabei noch, dass $t$ die Zeit in Stunden nach $10 \, \text{Uhr}$ ist.
Um aus einem $t$-Wert also eine Uhrzeit zu machen, musst du $t$ sinnvoll runden, die Nachkommastellen in Minuten umrechnen.
$\blacktriangleright$  Schneehöhe bestimmen
Du musst die Schneehöhe $S$ zum Zeitpunkt $12 \, \text{Uhr}$ bestimmen. Da $t$ die Zeit in Stunden nach $10 \, \text{Uhr}$ ist, gilt
$10 \, \text{Uhr} \mathrel{\widehat{=}} t = 0$
$12 \, \text{Uhr} \mathrel{\widehat{=}}t = 2$
Die Änderungsrate der Schneehöhe kennst du bereits, denn es gilt $S' = s$. Da $s$ die Ableitung von $S$ ist, verwendest du
$\displaystyle \int_{0}^{2} s(t) \, \mathrm dt = \displaystyle \int_{0}^{2} S'(t) \, \mathrm dt = S(2) - S(0)$
Das berechnest du mit deinem CAS. Damit bestimmst du die Schneemenge, die zu der Anfangshöhe dazukommt. Laut Aufgabenstellung beträgt diese Anfangshöhe $150 \, \text{cm}$.
Die Gesamthöhe erhältst du mit $150 + S(2) - S(0)$. Das kannst du auch direkt in dein CAS eingeben.
#änderungsrate
b)
$\blacktriangleright$  Uhrzeiten bestimmen, zu denen die Schneehöhe $\boldsymbol{153\,\text{cm}}$ beträgt
Du sollst die Zeitpunkte mit einer bestimmten Schneehöhe bestimmen. Stelle dazu eine Funktion auf, die die Schneehöhe zum Zeitpunkt $t$ beschreibt. Den Funktionsterm kannst du dann mit $153$ gleichsetzen, um die gesuchten Zeitpunkte zu bestimmen.
Da $s$ die momentane Änderungsrate beschreibt, benötigst du eine Stammfunktion $S$ von $s$, um die Schneehöhe zum Zeitpunkt $t$ zu beschreiben. Zu Beginn der Beobachtung liegen $150\,\text{cm}$ Schnee. Es muss also $S(0) = 150$ gelten.
$\blacktriangleright$  Maximale Schneehöhe bestimmen
Die maximale Schneehöhe ergibt sich aus dem Maximum der Funktion $S$, die die Schneehöhe zum Zeitpunkt $t$ beschreibt. Dieses kannst du wie in Aufgabenteil a) mit deinem CAS bestimmen.
c)
$\blacktriangleright$  Zusätzliche Schneezunahme mit einer Schneekanone berechnen
Zum Zeitpunkt $12:30 \, \text{Uhr}$ werden nun Schneekanonen eingeschaltet, die den Zeitraum verlängern, in dem der Schnee an der Messstelle zunimmt.
Sie verändern die momentane Änderungsrate der Schneehöhe, indem sie zusätzlich zum natürlich fallenden Schnee künstlichen Schnee fallen lassen. Diese geänderte Zunahmerate kannst du durch eine neue Funktion $F(t) = s(t) + 1$ ausdrücken.
Um die Verlängerung des Zeitraums zu bestimmen, in dem die Schneehöhe zunimmt, musst du die Nullstellen der Funktionen $s$ und $F$ mit deinem CAS bestimmen.
Die Bereiche, in denen $s$ und $F$ positiv sind, kennzeichnen eine Zunahme des Schnees.
$\blacktriangleright$  Geforderten Schneezuwachs bestimmen
Gesucht ist die zusätzliche Wachstrumsrate, die die Schneekanonen noch zusätzlich liefern müssten, damit die Schneehöhe um $18 \, \text{Uhr}$ $160 \, \text{cm}$ beträgt.
Dazu berechnest du die Schneehöhe ohne Schneekanonen um $18 \, \text{Uhr}$, indem du $S(8)$ ausrechnest und bildest die Differenz aus dem geforderten Wert und dem berechneten Wert: $160 \, \text{cm} - S(8)$.
Das ist also die Menge an Schnee, die um $18 \, \text{Uhr}$ zum geforderten Wert fehlt. Diese Menge muss im Zeitraum von $12:30 \, \text{Uhr}$ (Aktivierung der Schneekanonen) bis $18 \, \text{Uhr}$ dazukommen. Um nun die Änderungsrate zu berechnen, teile $160 - S(8)$ durch diese Zeit.
Berechne dazu $\dfrac{160 \, \text{cm} - S(8)}{5.5 \, \text{h}}$.

Aufgabe A 2.2

a)
$\blacktriangleright$ Länge der Diagonalen berechnen
Du sollst die Länge der Diagonalen $d$ und $e$ einer Raute berechnen, die mithilfe der Funktion $g_3$ konstruiert wird. Skizziere das Problem.
Wahlteil A2
Abb. 1: Die Diagonalen $d$ und $e$ schneiden sich gegenseitig in der Mitte. Der Punkt P ist der höchste Punkt der Funktion und liegt bei $(3 \mid 0)$.
Wahlteil A2
Abb. 1: Die Diagonalen $d$ und $e$ schneiden sich gegenseitig in der Mitte. Der Punkt P ist der höchste Punkt der Funktion und liegt bei $(3 \mid 0)$.
Du musst für $a = 3$ die Längen der Diagonalen bestimmen. Setze $3$ in den Term für die Funktionenschar ein. Damit erhältst du die Länge der ersten Diagonale. Nutze die Tatsache, dass sich die Diagonalen einer Raute in der Mitte schneiden, um die Länge der anderen Diagonale zu bestimmen.
b)
$\blacktriangleright$ Parameter berechnen
In diesem Aufgabenteil musst du $a$ so berechnen, dass die Raute ein Quadrat ist. Für ein Quadrat gilt, dass seine beiden Diagonalen gleich lang sind. Es ist hilfreich, sich auch hier eine Skizze zu machen.
Wahlteil A2
Abb. 2: Die Funktion g berührt die Raute genau an den Punkten $(\frac{a}{2} \mid \frac{a}{2})$ und $(-\frac{a}{2} \mid \frac{a}{2})$. Du musst im Folgenden nur mit einem der Punkte rechnen, weil die Punkte an der y - Achse gespiegelt sind und es gilt $\mathrm{\cos(-a)} = \mathrm{\cos(a)}$.
Wahlteil A2
Abb. 2: Die Funktion g berührt die Raute genau an den Punkten $(\frac{a}{2} \mid \frac{a}{2})$ und $(-\frac{a}{2} \mid \frac{a}{2})$. Du musst im Folgenden nur mit einem der Punkte rechnen, weil die Punkte an der y - Achse gespiegelt sind und es gilt $\mathrm{\cos(-a)} = \mathrm{\cos(a)}$.
Wegen der Symmetrie muss hier gelten:
$g_a(\dfrac{a}{2}) = \dfrac{a}{2}$
Dies ist eine Gleichung, die du nach $a$ auflösen musst.
Bildnachweise [nach oben]
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© 2016 – SchulLV.
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Aufgabe A 2.1

a)
$\blacktriangleright$  Extrempunkt bestimmen
Du hast die Funktion $s(t) = 16 \cdot \mathrm e^{-0,5t} - 14 \cdot \mathrm e^{-t} - 2$ gegeben.
Sie wird benutzt, um die Änderungsrate einer Schneehöhe in Abhängigkeit von der Zeit im Intervall $[0,12]$ zu beschreiben. Dabei wird $t$ in Stunden nach $10 \, \text{Uhr}$ gemessen und die Schneehöhe in Zentimetern. Du sollst jetzt die maximale Änderungsrate bestimmen, also das Maximum der Funktion $s$. Dies kannst du mit deinem CAS tun.
Wahlteil A2
Abb. 1: Maximum von $s$
Wahlteil A2
Abb. 1: Maximum von $s$
Du erkennst so, dass die maximale momentane Änderungsrate der Schneehöhe ungefähr $2,6 \, \dfrac{\text{cm}}{\text{h}}$ beträgt.
$\blacktriangleright$ Intervall mit nach unten beschränktem Wachstum berechnen
Gesucht ist der Zeitraum, in dem die Änderungsrate größer als $2$ ist, also das Intervall, in welchem $s(t) > 2$ gilt. Dies ist der Bereich zwischen den Schnittpunkten des Graphen von $s$ mit der konstanten Gerade $y =2$.
Löse dazu die Gleichung $f(x) = 2$ nach $x$ auf.
Wahlteil A2
Abb. 2: $x$ - Koordinaten der Schnittpunkte von $s$ und $y$
Wahlteil A2 Abb. 2: $x$ - Koordinaten der Schnittpunkte von $s$ und $y$
Das Intervall, in dem $s$ größer ist als die Konstante $2$, wird von den Schnittpunkten begrenzt, da der $t$ - Wert des Hochpunkts in diesem Intervall liegt.
Jetzt ist nur noch wichtig, das berechnete Intervall in einen Zeitraum umzurechnen.
$t_1 \approx 0,5 \mathrel{\widehat{=}} 10:30 \, \text{Uhr}$
$t_2 \approx 2 \mathrel{\widehat{=}} 12\, \text{Uhr}$
Also ist die momentane Änderungsrate im Intervall zwischen ca $10: 30 \,\text{Uhr}$ und $12 \, \text{Uhr}$ größer als $2 \, \dfrac{\text{cm}}{\text{h}}$.
$\blacktriangleright$ Schneehöhe bestimmen
Im dritten Aufgabenteil ist gefragt, wie hoch der Schnee um $12 \, \text{Uhr}$ liegt. Dazu benutzt du, dass die Schneehöhe $S$ nach der Zeit abgeleitet gerade die momentane Änderungsrate der Schneehöhe $s$ ist.
$S' = s$
Wenn du $s$ also integrierst, erhältst du die Schneehöhe, die in einem bestimmten Intervall dazugekommen ist. Diese Aufgabe kannst du jetzt mit deinem CAS lösen. Berechne dafür zuerst die Schneemenge, die im Intervall $[0,2]$ dazukommt.
$\displaystyle\int_{0}^{2}s(t) \, \mathrm dt$
Wahlteil A2
Abb. 3: Berechnung des Integrals
Wahlteil A2
Abb. 3: Berechnung des Integrals
Als Ergebnis erhältst du ungefähr $4,11 \, \text{cm}$. Das ist also die Schneemenge, die im Zeitraum zwischen $10 \, \text{Uhr}$ und $12 \, \text{Uhr}$ Uhr zur ursprünglichen Schneehöhe dazugekommen ist.
Die Gesamthöhe berechnest du mit $150 \, \text{cm} + 4,11 \, \text{cm} = 154,11 \, \text{cm}$.
Also liegt der Schnee um $12 \, \text{Uhr}$ ungefähr $154 \text {cm}$ hoch.
#extrempunkt#änderungsrate
b)
$\blacktriangleright$  Uhrzeiten bestimmen, zu denen die Schneehöhe $\boldsymbol{153\,\text{cm}}$ beträgt
Du sollst die Zeitpunkte mit einer bestimmten Schneehöhe bestimmen. Stelle dazu eine Funktion auf, die die Schneehöhe zum Zeitpunkt $t$ beschreibt. Den Funktionsterm kannst du dann mit $153$ gleichsetzen, um die gesuchten Zeitpunkte zu bestimmen.
Da $s$ die momentane Änderungsrate beschreibt, benötigst du eine Stammfunktion $S$ von $s$, um die Schneehöhe zum Zeitpunkt $t$ zu beschreiben. Zu Beginn der Beobachtung liegen $150\,\text{cm}$ Schnee. Es muss also $S(0) = 150$ gelten.
Die allgemeinen Stammfunktionen von $s$ lauten:
$\begin{array}[t]{rll} s(t)&=& 16 \cdot \mathrm e^{-0,5t} - 14 \cdot \mathrm e^{-t} - 2 \\[10pt] S_c(t)&=& 16\cdot \dfrac{1}{-0,5} \cdot \mathrm e^{-0,5t} -14\cdot (-1)\cdot \mathrm e^{-t} -2t + c \\[5pt] &=&-32 \mathrm e^{-0,5t} + 14 \mathrm e^{-t} -2t + c \\[5pt] \end{array}$
$c$ muss nun so gewählt werden, dass $S_c(t) =150$ ist:
$\begin{array}[t]{rll} S_c(0)&=& 150 \\[5pt] -32 \mathrm e^{-0,5\cdot 0} + 14 \mathrm e^{-0} -2\cdot 0 + c&=& 150 \\[5pt] -32 +14 +c&=& 150 \\[5pt] -18 +c&=& 150 &\quad \scriptsize \mid\; +18 \\[5pt] c&=& 168 \end{array}$
Die Funktion $S(t) = -32 \mathrm e^{-0,5t} + 14 \mathrm e^{-t} -2t + 168$ beschreibt also die Schneehöhe zum Zeitpunkt $t$.
Wahlteil A2
Abb. 5: Gleichung lösen
Wahlteil A2
Abb. 5: Gleichung lösen
$\blacktriangleright$  Maximale Schneehöhe bestimmen
Die maximale Schneehöhe ergibt sich aus dem Maximum der Funktion $S$, die die Schneehöhe zum Zeitpunkt $t$ beschreibt. Dieses kannst du wie in Aufgabenteil a) mit deinem CAS bestimmen und erhältst dann folgendes Ergebnis:
$t_{\text{max}}\approx 3,89\,$ und $\,s(t_{\text{max}})\approx 155,93$
Die maximale Schneehöhe beträgt ca. $155,93\,\text{cm}$.
#integral
c)
$\blacktriangleright$ Zusätzliche Schneezunahme mit einer Schneekanone berechnen
Um $12:30 \, \text{Uhr}$ werden zusätzlich Schneekanonen eingeschaltet, die die ursprüngliche Änderungsrate um $1 \, \dfrac{\text{cm}}{\text{h}}$ erhöhen. Das heißt, dass zum Funktionsterm von $s$ eine $1$ addiert wird.
$F(t) = s(t) + 1 = 16 \mathrm e^{-0,5t} -14e^{-t} - 1$
Gefragt ist nun, um wie viele Stunden diese Maßnahme den Zeitraum verlängert, in dem die Schneehöhe zunimmt.
Dazu vergleichst du die geänderte Funktion $F$ mit deiner Ursprungsfunktion $s$. Dort, wo die Funktionen $F$ und $s$ größer als Null sind, nimmt die Schneehöhe zu. Um herauszufinden, wann die Schneehöhe abnimmt, benötigst du die Nullstellen, nach denen die Funktionswerte negativ werden. Du suchst also die Nullstellen der Funktionen $s$ und $F$ mit einem Vorzeichenwechsel von $+$ nach $-$. Wegen der Lage des Hochpunkts von $s$ kommen dazu nur die größten Werte in Frage.
$\blacktriangleright$ Geforderten Schneezuwachs berechnen
Hier ist gefragt, wie viele Zentimeter pro Stunde die Schneekanone ab $12:30 \, \text {Uhr}$ liefern müsste, damit um $18 \, \text {Uhr}$ die Schneehöhe $160 \, \text {cm}$ beträgt. Dazu berechnest du zunächst wie hoch der Schnee ohne Schneekanonen um $18 \, \text {Uhr}$ liegen würde.
$S(8)= 151,42$
Das bedeutet, dass zu der geforderten Höhe $160 \, \text {cm} - 151,42\, \text {cm} = 8,58 \, \text{cm}$ Schnee fehlen. Diese Menge muss von $12:30 \, \text {Uhr}$ bis $18 \, \text {Uhr}$ dazukommen. Also in $8 \,\text {h} - 2,5 \, \text{h} = 5,5 \text{h}$. Folglich kannst du die Änderungsrate mit
$\dfrac{8,58 \, \text{cm}}{5,5 h} = 1,56 \, \dfrac{\text{cm}}{\text{h}}$
Also müssen die Schneekanonen $ 1,56\, \dfrac{\text{cm}}{\text{h}}$ zusätzlich liefern.
#nullstelle

Aufgabe A 2.2

a)
$\blacktriangleright$ Länge der Diagonalen berechnen
Du sollst die Länge der Diagonalen $d$ und $e$ einer Raute berechnen, die mithilfe der Funktion $g_3$ konstruiert wird.
Wahlteil A2
Abb. 7a>: Die Diagonalen $d$ und $e$ schneiden sich gegenseitig in der Mitte. Der Punkt P ist der höchste Punkt der Funktion und liegt bei $(3 \mid 0)$.
Wahlteil A2
Abb. 7: Die Diagonalen $d$ und $e$ schneiden sich gegenseitig in der Mitte. Der Punkt P ist der höchste Punkt der Funktion und liegt bei $(3 \mid 0)$.
Zunächst setzt du $a = 3$ in die Funktionenschar $g_a$ ein und erhältst die Funktion
$g_3(x) = 3 \cdot \mathrm \cos (3 \cdot x) \,\,\,\,\,\,$ für $ \,\,\,\, - \frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{\pi}{6} $
Die y - Koordinate des Schnittpunkts mit der y - Achse erhälst du über den Funktionswert für $x = 0$.
$g_3(0) = 3$
Also ist der erste Diagonalvektor der Vektor, der von $(0 \mid 0)$ auf den Punkt $(0 \mid 3)$ zeigt:
$\vec{d} = \pmatrix{0 \\ 3} $
Die Länge dieses Vektors beträgt $\sqrt{0^2 + 3^2}$ = $3 \, \text{LE}$. Für die andere Diagonale nutzt du die Eigenschaft, dass die Diagonalen einer Raute einander genau in der Hälfte der Strecke schneiden. Das heißt, im Punkt $(0 \mid 1,5)$ schneiden sich die beiden Diagonalen dieser Raute. Du weißt, dass die beiden Eckpunkte des Diagonalvektors $\vec{e}$ auf der Funktion $g_3$ liegen.
Folglich musst du nun die Schnittpunkte der Funktion $y = 1.5$ mit der Funktion $g_3$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} &3 \cdot \mathrm \cos (3 \cdot x)&=& 1,5 &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] & \mathrm \cos(3 \cdot x)&=& 0,5 &\quad \scriptsize \mid\; \mathrm {\arccos()} \\[5pt] & 3 \cdot x&\approx& 1,047 &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] &x&\approx& 0,35 &\quad \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} & x&=& 0,35 &\quad \end{array}$
Wegen $\mathrm{\cos(-a)} = \mathrm{\cos(a)}$ und dem Definitionsbereich der Funktion musst du noch beachten, dass zu dieser Lösung noch der negative Wert dazukommt.
Also sind deine Schnittpunkte $(-0,35 \mid 0)$ und $(0,35\mid 0)$.
Diese beiden Punkte verbindet der zweite Diagonalvektor, also der Vektor
$\pmatrix{0,35 -0.35 \\ 0 - 0}= \vec{e} = \pmatrix{-0,7 \\ 0}$
Er hat die Länge $0,7 \, \text{LE}$.
#raute
b)
$\blacktriangleright$ Parameter berechnen
In diesem Aufgabenteil musst du $a$ so berechnen, dass die Raute ein Quadrat ist. Für ein Quadrat gilt, dass seine beiden Diagonalen gleich lang sind. Es ist hilfreich, sich auch hier eine Skizze zu machen.
Wahlteil A2
Abb. 8: Die Funktion g berührt die Raute genau an den Punkten $(\frac{a}{2} \mid \frac{a}{2})$ und $(-\frac{a}{2} \mid \frac{a}{2})$. Du musst im Folgenden nur mit einem der Punkte rechnen, weil die Punkte an der y - Achse gespiegelt sind und es gilt $\mathrm{\cos(-a)} = \mathrm{\cos(a)}$.
Wahlteil A2
Abb. 8: Die Funktion g berührt die Raute genau an den Punkten $(\frac{a}{2} \mid \frac{a}{2})$ und $(-\frac{a}{2} \mid \frac{a}{2})$. Du musst im Folgenden nur mit einem der Punkte rechnen, weil die Punkte an der y - Achse gespiegelt sind und es gilt $\mathrm{\cos(-a)} = \mathrm{\cos(a)}$.
Du weißt also, dass gelten muss: $g_a(\frac{a}{2}) = \frac{a}{2}$. Beim Auflösen der Gleichung beschränkst du dich nur auf positive Lösungen (die Diagonalen können nur eine positive Länge haben):
$\begin{array}[t]{rll} &a \cdot \mathrm \cos(\frac{a^2}{2})&=& \frac{a}{2}&\quad \scriptsize \mid\; : a \\[5pt] &\mathrm \cos(\frac{a^2}{2}) &=& \frac{1}{2}&\quad \scriptsize \mid\; \mathrm \arccos() \\[5pt] &\frac{a^2}{2} &\approx& 1,047 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \,\,\,\, , \sqrt{()} \\[5pt] &a &\approx& 1,45 &\quad \scriptsize \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &a &\approx& 1,45 &\quad \scriptsize \end{array}$
Also ist die Raute ungefähr für den Wert $a = 1,45$ ein Quadrat.
#quadrat
Bildnachweise [nach oben]
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Aufgabe A 2.1

a)
$\blacktriangleright$  Extrempunkt bestimmen
Du hast die Funktion $s(t) = 16 \cdot \mathrm e^{-0,5t} - 14 \cdot \mathrm e^{-t} - 2$ gegeben.
Sie wird benutzt, um die Änderungsrate einer Schneehöhe in Abhängigkeit von der Zeit im Intervall $[0,12]$ zu beschreiben. Dabei wird $t$ in Stunden nach $10 \, \text{Uhr}$ gemessen und die Schneehöhe in Zentimetern. Du sollst jetzt die maximale Änderungsrate bestimmen, also das Maximum der Funktion $s$. Dies kannst du mit deinem CAS tun.
Wahlteil A2
Abb. 1: Maximum von $s$
Wahlteil A2
Abb. 1: Maximum von $s$
Du erkennst so, dass die maximale momentane Änderungsrate der Schneehöhe ungefähr $2,6 \, \dfrac{\text{cm}}{\text{h}}$ beträgt.
$\blacktriangleright$ Intervall mit nach unten beschränktem Wachstum berechnen
Gesucht ist der Zeitraum, in dem die Änderungsrate größer als $2$ ist, also das Intervall, in welchem $s(t) > 2$ gilt. Dies ist der Bereich zwischen den Schnittpunkten des Graphen von $s$ mit der konstanten Gerade $y =2$.
Löse dazu die Gleichung $f(x) = 2$ nach $x$ auf.
Wahlteil A2
Abb. 2: $x$ - Koordinaten der Schnittpunkte von $s$ und $y$
Wahlteil A2
Abb. 2: $x$ - Koordinaten der Schnittpunkte von $s$ und $y$
Das Intervall, in dem $s$ größer ist als die Konstante $2$, wird von den Schnittpunkten begrenzt, da der $t$ - Wert des Hochpunkts in diesem Intervall liegt.
Jetzt ist nur noch wichtig, das berechnete Intervall in einen Zeitraum umzurechnen.
$t_1 \approx 0,5 \mathrel{\widehat{=}} 10:30 \, \text{Uhr}$
$t_2 \approx 2 \mathrel{\widehat{=}} 12\, \text{Uhr}$
Also ist die momentane Änderungsrate im Intervall zwischen ca $10: 30 \,\text{Uhr}$ und $12 \, \text{Uhr}$ größer als $2 \, \dfrac{\text{cm}}{\text{h}}$.
$\blacktriangleright$ Schneehöhe bestimmen
Im dritten Aufgabenteil ist gefragt, wie hoch der Schnee um $12 \, \text{Uhr}$ liegt. Dazu benutzt du, dass die Schneehöhe $S$ nach der Zeit abgeleitet gerade die momentane Änderungsrate der Schneehöhe $s$ ist.
$S' = s$
Wenn du $s$ also integrierst, erhältst du die Schneehöhe, die in einem bestimmten Intervall dazugekommen ist. Diese Aufgabe kannst du jetzt mit deinem CAS lösen. Berechne dafür zuerst die Schneemenge, die im Intervall $[0,2]$ dazukommt.
$\displaystyle\int_{0}^{2}s(t) \, \mathrm dt$
Wahlteil A2
Abb. 3: Berechnung des Integrals
Wahlteil A2
Abb. 3: Berechnung des Integrals
Als Ergebnis erhältst du ungefähr $4,11 \, \text{cm}$. Das ist also die Schneemenge, die im Zeitraum zwischen $10 \, \text{Uhr}$ und $12 \, \text{Uhr}$ Uhr zur ursprünglichen Schneehöhe dazugekommen ist.
Die Gesamthöhe berechnest du mit $150 \, \text{cm} + 4,11 \, \text{cm} = 154,11 \, \text{cm}$.
Also liegt der Schnee um $12 \, \text{Uhr}$ ungefähr $154 \text {cm}$ hoch.
#änderungsrate#extrempunkt
b)
$\blacktriangleright$  Uhrzeiten bestimmen, zu denen die Schneehöhe $\boldsymbol{153\,\text{cm}}$ beträgt
Du sollst die Zeitpunkte mit einer bestimmten Schneehöhe bestimmen. Stelle dazu eine Funktion auf, die die Schneehöhe zum Zeitpunkt $t$ beschreibt. Den Funktionsterm kannst du dann mit $153$ gleichsetzen, um die gesuchten Zeitpunkte zu bestimmen.
Da $s$ die momentane Änderungsrate beschreibt, benötigst du eine Stammfunktion $S$ von $s$, um die Schneehöhe zum Zeitpunkt $t$ zu beschreiben. Zu Beginn der Beobachtung liegen $150\,\text{cm}$ Schnee. Es muss also $S(0) = 150$ gelten.
Die allgemeinen Stammfunktionen von $s$ lauten:
$\begin{array}[t]{rll} s(t)&=& 16 \cdot \mathrm e^{-0,5t} - 14 \cdot \mathrm e^{-t} - 2 \\[10pt] S_c(t)&=& 16\cdot \dfrac{1}{-0,5} \cdot \mathrm e^{-0,5t} -14\cdot (-1)\cdot \mathrm e^{-t} -2t + c \\[5pt] &=&-32 \mathrm e^{-0,5t} + 14 \mathrm e^{-t} -2t + c \\[5pt] \end{array}$
$c$ muss nun so gewählt werden, dass $S_c(t) =150$ ist:
$\begin{array}[t]{rll} S_c(0)&=& 150 \\[5pt] -32 \mathrm e^{-0,5\cdot 0} + 14 \mathrm e^{-0} -2\cdot 0 + c&=& 150 \\[5pt] -32 +14 +c&=& 150 \\[5pt] -18 +c&=& 150 &\quad \scriptsize \mid\; +18 \\[5pt] c&=& 168 \end{array}$
Die Funktion $S(t) = -32 \mathrm e^{-0,5t} + 14 \mathrm e^{-t} -2t + 168$ beschreibt also die Schneehöhe zum Zeitpunkt $t$.
Wahlteil A2
Abb. 5: Gesuchter Bereich mit $s \geq 153$
Wahlteil A2
Abb. 5: Gesuchter Bereich mit $s \geq 153$
$\blacktriangleright$  Maximale Schneehöhe bestimmen
Die maximale Schneehöhe ergibt sich aus dem Maximum der Funktion $S$, die die Schneehöhe zum Zeitpunkt $t$ beschreibt. Dieses kannst du wie in Aufgabenteil a) mit deinem CAS bestimmen und erhältst dann folgendes Ergebnis:
$t_{\text{max}}\approx 3,89\,$ und $\,s(t_{\text{max}})\approx 155,93$
Die maximale Schneehöhe beträgt ca. $155,93\,\text{cm}$.
#integral
c)
$\blacktriangleright$ Zusätzliche Schneezunahme mit einer Schneekanone berechnen
Um $12:30 \, \text{Uhr}$ werden zusätzlich Schneekanonen eingeschaltet, die die ursprüngliche Änderungsrate um $1 \, \dfrac{\text{cm}}{\text{h}}$ erhöhen. Das heißt, dass zum Funktionsterm von $s$ eine $1$ addiert wird.
$F(t) = s(t) + 1 = 16 \mathrm e^{-0,5t} -14e^{-t} - 1$
Gefragt ist nun, um wie viele Stunden diese Maßnahme den Zeitraum verlängert, in dem die Schneehöhe zunimmt.
Dazu vergleichst du die geänderte Funktion $F$ mit deiner Ursprungsfunktion $s$. Dort, wo die Funktionen $F$ und $s$ größer als Null sind, nimmt die Schneehöhe zu. Um herauszufinden, wann die Schneehöhe abnimmt, benötigst du die Nullstellen, nach denen die Funktionswerte negativ werden. Du suchst also die Nullstellen der Funktionen $s$ und $F$ mit einem Vorzeichenwechsel von $+$ nach $-$. Wegen der Lage des Hochpunkts von $s$ kommen dazu nur die größten Werte in Frage.
Diese Nullstellen ziehst du voneinander ab, also $5,43 - 3,88 = 1,65$. Also verlängert sich der Zeitraum, in dem die Schneehöhe zunimmt, um ca $1,5$ Stunden.
$\blacktriangleright$ Geforderten Schneezuwachs berechnen
Hier ist gefragt, wie viele Zentimeter pro Stunde die Schneekanone ab $12:30 \, \text {Uhr}$ liefern müsste, damit um $18 \, \text {Uhr}$ die Schneehöhe $160 \, \text {cm}$ beträgt. Dazu berechnest du zunächst wie hoch der Schnee ohne Schneekanonen um $18 \, \text {Uhr}$ liegen würde.
$S(8)= 151,42$
Das bedeutet, dass zu der geforderten Höhe $160 \, \text {cm} - 151,42\, \text {cm} = 8,58 \, \text{cm}$ Schnee fehlen. Diese Menge muss von $12:30 \, \text {Uhr}$ bis $18 \, \text {Uhr}$ dazukommen. Also in $8 \,\text {h} - 2,5 \, \text{h} = 5,5 \text{h}$. Folglich kannst du die Änderungsrate mit
$\dfrac{8,58 \, \text{cm}}{5,5 h} = 1,56 \, \dfrac{\text{cm}}{\text{h}}$
Also müssen die Schneekanonen $ 1,56\, \dfrac{\text{cm}}{\text{h}}$ zusätzlich liefern.

Aufgabe A 2.2

a)
$\blacktriangleright$ Länge der Diagonalen berechnen
Du sollst die Länge der Diagonalen $d$ und $e$ einer Raute berechnen, die mithilfe der Funktion $g_3$ konstruiert wird.
Wahlteil A2
Abb. 7: Die Diagonalen $d$ und $e$ schneiden sich gegenseitig in der Mitte. Der Punkt P ist der höchste Punkt der Funktion und liegt bei $(3 \mid 0)$.
Wahlteil A2
Abb. 7: Die Diagonalen $d$ und $e$ schneiden sich gegenseitig in der Mitte. Der Punkt P ist der höchste Punkt der Funktion und liegt bei $(3 \mid 0)$.
Zunächst setzt du $a = 3$ in die Funktionenschar $g_a$ ein und erhältst die Funktion
$g_3(x) = 3 \cdot \mathrm \cos (3 \cdot x) \,\,\,\,\,\,$ für $ \,\,\,\, - \frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{\pi}{6} $
Die y - Koordinate des Schnittpunkts mit der y - Achse erhälst du über den Funktionswert für $x = 0$.
$g_3(0) = 3$
Also ist der erste Diagonalvektor der Vektor, der von $(0 \mid 0)$ auf den Punkt $(0 \mid 3)$ zeigt:
$\vec{d} = \pmatrix{0 \\ 3} $
Die Länge dieses Vektors beträgt $\sqrt{0^2 + 3^2}$ = $3 \, \text{LE}$. Für die andere Diagonale nutzt du die Eigenschaft, dass die Diagonalen einer Raute einander genau in der Hälfte der Strecke schneiden. Das heißt, im Punkt $(0 \mid 1,5)$ schneiden sich die beiden Diagonalen dieser Raute. Du weißt, dass die beiden Eckpunkte des Diagonalvektors $\vec{e}$ auf der Funktion $g_3$ liegen.
Folglich musst du nun die Schnittpunkte der Funktion $y = 1.5$ mit der Funktion $g_3$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} &3 \cdot \mathrm \cos (3 \cdot x)&=& 1,5 &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] & \mathrm \cos(3 \cdot x)&=& 0,5 &\quad \scriptsize \mid\; \mathrm {\arccos()} \\[5pt] & 3 \cdot x&=& 1,35 &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] &x&=& 0,35 &\quad \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} & x&=& 0,35 &\quad \end{array}$
Wegen $\mathrm{\cos(-a)} = \mathrm{\cos(a)}$ und dem Definitionsbereich der Funktion musst du noch beachten, dass zu dieser Lösung noch der negative Wert dazukommt.
Also sind deine Schnittpunkte $(-0,35 \mid 0)$ und $(0,35\mid 0)$.
Diese beiden Punkte verbindet der zweite Diagonalvektor, also der Vektor
$\pmatrix{0,35 -0.35 \\ 0 - 0}= \vec{e} = \pmatrix{-0,7 \\ 0}$
Er hat die Länge $0,7 \, \text{LE}$.
#raute
b)
$\blacktriangleright$ Parameter berechnen
In diesem Aufgabenteil musst du $a$ so berechnen, dass die Raute ein Quadrat ist. Für ein Quadrat gilt, dass seine beiden Diagonalen gleich lang sind. Es ist hilfreich, sich auch hier eine Skizze zu machen.
Wahlteil A2
Abb. 8: Die Funktion g berührt die Raute genau an den Punkten $(\frac{a}{2} \mid \frac{a}{2})$ und $(-\frac{a}{2} \mid \frac{a}{2})$. Du musst im Folgenden nur mit einem der Punkte rechnen, weil die Punkte an der y - Achse gespiegelt sind und es gilt $\mathrm{\cos(-a)} = \mathrm{\cos(a)}$.
Wahlteil A2
Abb. 8: Die Funktion g berührt die Raute genau an den Punkten $(\frac{a}{2} \mid \frac{a}{2})$ und $(-\frac{a}{2} \mid \frac{a}{2})$. Du musst im Folgenden nur mit einem der Punkte rechnen, weil die Punkte an der y - Achse gespiegelt sind und es gilt $\mathrm{\cos(-a)} = \mathrm{\cos(a)}$.
Du weißt also, dass gelten muss: $g_a(\frac{a}{2}) = \frac{a}{2}$. Beim Auflösen der Gleichung beschränkst du dich nur auf positive Lösungen (die Diagonalen können nur eine positive Länge haben):
$\begin{array}[t]{rll} &a \cdot \mathrm \cos(\frac{a^2}{2})&=& \frac{a}{2}&\quad \scriptsize \mid\; : a \\[5pt] &\mathrm \cos(\frac{a^2}{2}) &=& \frac{1}{2}&\quad \scriptsize \mid\; \mathrm \arccos() \\[5pt] &\frac{a^2}{2} &\approx& 1,047 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \,\,\,\, , \sqrt{()} \\[5pt] &a &\approx& 1,45 &\quad \scriptsize \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &a &\approx& 1,45 &\quad \scriptsize \end{array}$
Also ist die Raute ungefähr für den Wert $a = 1,45$ ein Quadrat.
#quadrat
Bildnachweise [nach oben]
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