Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Gymnasium (G9)
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur (GTR)
Abitur (CAS)
Abitur (GTR)
Prüfung
wechseln
Abitur (GTR)
Abitur (CAS)
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur (GTR)
Abi 2018
Pflichtteil
Wahlteil A
Wahlteil A1
Wahlteil A2
Wahlteil B
Wahlteil B1
Wahlteil B2
Wahlteil C
Wahlteil C1
Wahlteil C2
Abi 2017
Pflichtteil
Wahlteil A
Wahlteil A1
Wahlteil A2
Wahlteil B
Wahlteil B1
Wahlteil B2
Wahlteil C
Wahlteil C1
Wahlteil C2
Abi 2016
Pflichtteil
Wahlteil A1
Wahlteil A2
Wahlteil B1
Wahlteil B2
Abi 2015
Pflichtteil
Wahlteil A1
Wahlteil A2
Wahlteil B1
Wahlteil B2
Abi 2014
Pflichtteil
Wahlteil A1
Wahlteil A2
Wahlteil B1
Wahlteil B2
Abi 2013
Pflichtteil
Wahlteil A1
Wahlteil A2
Wahlteil B1
Wahlteil B2
Abi 2012
Pflichtteil
Wahlteil I.1
Wahlteil I.2
Wahlteil I.3
Wahlteil II.1
Wahlteil II.2
Abi 2011
Pflichtteil
Wahlteil I.1
Wahlteil I.2
Wahlteil I.3
Wahlteil II.1
Wahlteil II.2
Abi 2010
Pflichtteil
Wahlteil I.1
Wahlteil I.2
Wahlteil I.3
Wahlteil II.1
Wahlteil II.2
Abi 2009
Pflichtteil
Wahlteil I.1
Wahlteil I.2
Wahlteil I.3
Wahlteil II.1
Wahlteil II.2
Abi 2008
Pflichtteil
Wahlteil I.1
Wahlteil I.2
Wahlteil I.3
Wahlteil II.1
Wahlteil II.2
Abi 2007
Pflichtteil
Wahlteil I.1
Wahlteil I.2
Wahlteil I.3
Wahlteil II.1
Wahlteil II.2
Abi 2006
Pflichtteil
Wahlteil I.1
Wahlteil I.2
Wahlteil I.3
Wahlteil II.1
Wahlteil II.2
Abi 2005
Pflichtteil
Wahlteil I.1
Wahlteil I.2
Wahlteil I.3
Wahlteil II.1
Wahlteil II.2
Abi 2004
Pflichtteil
Wahlteil I.1
Wahlteil I.2
Wahlteil I.3
Wahlteil II.1
Wahlteil II.2
LV-Abi 1
Pflichtteil
Wahlteil A1
Wahlteil A2
Wahlteil B1
Wahlteil B2
LV-Abi 2
Pflichtteil
Wahlteil A1
Wahlteil A2
Wahlteil B1
Wahlteil B2

Wahlteil A2

Aufgaben
Download als Dokument:PDFWord

Aufgabe A 2.1

Die Anzahl ankommender Fahrzeuge vor einem Grenzübergang soll modelliert werden. Dabei wird die momentane Ankunftsrate beschrieben durch die Funktion $f$ mit
$f(t)=\dfrac{1.300.000\cdot t}{t^{4}+30.000}$$\,\,$$0\leq t\leq30$
($t$ in Stunden nach Beobachtungsbeginn; $f(t)$ in Fahrzeuge pro Stunde).
Anfangs befinden sich keine Fahrzeuge vor dem Grenzübergang.
a) Skizzieren Sie den Graphen von $f$.
Wann ist die momentane Ankunftsrate maximal?
Bestimmen Sie die Anzahl der Fahrzeuge, die in den ersten 6 Stunden ankommen.
(4P)
b) Am Grenzübergang werden die Fahrzeuge möglichst schnell abgefertigt, jedoch ist die momentane Abfertigungsrate durch 110 Fahrzeuge pro Stunde begrenzt.
Wann beginnen sich die Fahrzeuge vor dem Grenzübergang zu stauen?
Wie viele Fahrzeuge stauen sich maximal vor dem Grenzübergang?
Welches Ergebnis erhielte man, wenn die momentane Abfertigungsrate 12 Stunden nach Beobachtungsbeginn auf konstant 220 Fahrzeuge pro Stunde erhöht würde?
(6P)

Aufgabe A 2.2

Für jedes $a>0$ ist eine Funktion $f_a$ gegeben durch
$f_{a}(x)=a\cdot\cos(x)-a^{2}$$\,  \,$ $-\pi < x < \pi $.
Der Graph von $f_a$ ist $G_a$.
a) $G_a$ besitzt einen Extrempunkt.
Bestimmen Sie dessen Koordinaten.
(2P)
b) Durch welche Punkte der $y$-Achse verläuft kein Graph $G_a$?
(3P)
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Tipps
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 2.1

a) $\blacktriangleright$ Graphen von $\boldsymbol{f}$ skizzieren
Die Funktion $f$ beschreibt die momentane Ankunftsrate ankommender Fahrzeuge an einem Grenzübergang. Ihr Funktionsterm ist gegeben durch:
$f(t)=\dfrac{1.300.000\cdot t}{t^{4}+30.000}$
Dabei sind $t$ die Stunden nach Beobachtungsbeginn und $f(t)$ die Fahrzeuge pro Stunde. Laut Aufgabentext befinden sich zu Beginn keine Fahrzeuge vor dem Grenzübergang.
Deine Aufgabe ist es, den Graphen der Funktion $f$ im Intervall $\left[ 0;30 \right]$ zu skizzieren. Dabei kannst du folgendermaßen vorgehen:
  • Betrachte das Schaubild in deinem GTR, indem du den Graph-Modus auswählst.
  • Lasse dir die zugehörige Wertetabelle der Funktion einblenden. Diese findest du im Graph-Modus unter TABLE :
$\blacktriangleright$ Maximale momentane Ankunftsrate bestimmen
Die Funktion $f$ beschreibt die momentane Ankunftsrate von Fahrzeugen pro Stunde. Um die maximale momentane Ankunftsrate zu ermitteln, kannst du zunächst das Maximum der Funktion $f$ bestimmen. Prüfe, ob es Randextrema gibt.
Die Koordinaten des Hochpunktes kannst du mit dem GTR bestimmen. Der Funktionswert des Hochpunktes entspricht gerade der gesuchten maximalen Ankunftsrate.
$\blacktriangleright$ Anzahl der Fahrzeuge bestimmen, die in den ersten 6 Stunden ankommen
Beschreibt die Funktion $f$ die momentane Ankunftsrate, so entspricht ihre Stammfunktion $F$ der Anzahl der ankommenden Fahrzeuge. Bestimme die Anzahl der Fahrzeuge, die in den ersten 6 Stunden am Grenzübergang ankommen. Diese Anzahl erhältst du über folgenden Zusammenhang:
$\int_{0}^{6} f(t) \mathrm{d}t=\displaystyle\int_{0}^{6} \dfrac{1.300.000\cdot t}{t^{4}+30.000}\mathrm{d}t$
Laut Aufgabentext befinden sich zu Beginn keine Fahrzeuge vor dem Grenzübergang. Daher ist die Konstante, die sich bei der Integration ergibt, gleich Null.
b) $\blacktriangleright$ Zeitpunkt bestimmen, an dem sich erstmals Fahrzeuge stauen
Pro Stunde können am Grenzübergang $110$ Fahrzeuge abgefertigt werden. Aus dem Aufgabenteil zuvor weißt du jedoch, dass die maximale momentane Ankunftsrate 325 Fahrzeuge pro Stunde beträgt. Das heißt, dass zu einem gewissen Zeitpunkt mehr Fahrzeuge am Grenzübergang ankommen als abgefertigt werden können.
Deine Aufgabe ist es, diesen Zeitpunkt $t_0$ zu bestimmen. Dabei kannst du wie folgt vorgehen:
  • Der Zeitpunkt entspricht der Stelle von $f(t)$, an der $f(t)$ erstmals den Funktionswert 110 erreicht. Setze also den Term der Funktion $f$ mit 110 gleich.
  • Löse nach $t$ auf, um den gesuchten Zeitpunkt zu erhalten.
Diese Aufgabe kannst du mittels GTR graphisch lösen. Gib dazu den Term der Funktion $f$ und der Geraden $y=110$ im Graph-Modus an und bestimme ihre Schnittstelle. Denn diese entspricht gerade dem gesuchten Zeitpunkt, an dem $f(t)$ den Funktionswert 110 erreicht.
$\blacktriangleright$ Anzahl der Fahrzeuge ermitteln, die sich vor dem Übergang stauen
In der Abbildung unten siehst du den skizzierten Graphen der Funktion $f$ und der Geraden $y=110$. Zuvor hast du ermittelt, dass sich erstmalig zum Zeitpunkt $t_0=2,54$ Fahrzeuge vor dem Übergang stauen. Die Anzahl $A$ der Fahrzeuge, die sich maximal vor dem Übergang anstauen, entspricht der rot markierten Fläche:
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Diese Fläche entspricht weiterhin gerade der folgenden Differenz:
$\int_{t_0}^{t_1} f(t)-110\; \mathrm{d}t$
Dabei sind $t_0$ und $t_1$ die Schnittstellen der Funktion $f$ und der Gerdaden $y=110$, die du zuvor bestimmt hast mit:
  • $t_0=2,54$
  • $t_1=21,86$
Für die maximale Anzahl an anstauenden Fahrzeugen wird das Integral $\left[t_0;t_1\right]$ gewählt, da ab dem Zeitpunkt $t_1$ wieder weniger Fahrzeuge ankommen, als abgefertigt werden können. Das heißt, die Anzahl $A$ nimmt ab.
$\blacktriangleright$ Anzahl bei einer Abfertigungsrate von 220 Fahrzeugen pro Stunde
12 Stunden nach Beobachtungsbeginn soll die momentane Abfertigungsate auf $\boldsymbol{220}$ Fahrzeuge pro Stunde erhöht werden. In den Stunden davor soll die momentane Abfertigungsrate weiterhin 110 Fahrzeuge pro Stunde betragen.
Berechne unter diesen Voraussetzungen die Anzahl der sich anstauenden Fahrzeuge. Die gesuchte Anzahl $A$ entspricht hier der rot markierten Fläche.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Diese Fläche entspricht weiterhin gerade der folgenden Differenz:
$\int_{t_0}^{12} f(t)-110\; \mathrm{d}t + \displaystyle\int_{12}^{t_2} f(t)-220\; \mathrm{d}t$
Dabei ist $t_0$ die Schnittstelle der Funktion $f$ und der Geraden $y=110$, die du zuvor bestimmt hast mit: $t_0=2,54$.
Dahingegen ist $t_2$ die Schnittstelle der Funktion $f$ und der Geraden $z=220$. Um die gesuchte Anzahl zu ermitteln, kannst du also wie folgt vorgehen:
  • Bestimme die Schnittstelle $t_2$ der Funktion $f$ und der Geraden $z=220$.
  • Berechne das Integral $\displaystyle\int_{t_0}^{12} f(t)-110\; \mathrm{d}t + \displaystyle\int_{12}^{t_2} f(t)-220\; \mathrm{d}t $

Aufgabe 2.2

a) $\blacktriangleright$ Koordinaten des Extrempunktes angeben
Die Funktionenschar $f_a$ mit $0 < a$ und dem Definitionsbereich $ \mathbb{D}=\{ x \in \mathbb{R} : -\pi < x < \pi \}$ ist durch folgenden Term definiert:
$f_{a}(x)=a \cdot \cos(x) - a^{2}$
In der Aufgabenstellung wird angegeben, dass der Graph der Funktionenschar $G_a$ einen Extrempunkt besitzt. Deine Aufgabe ist es, dessen Koordinaten anzugeben. Beachte, dass diese Koordinaten vom Parameter $a$ abhängig sein können, da es sich hierbei um eine Funktionenschar handelt.
Um die Koordinaten angeben zu können, musst du zunächst die notwendige und hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen.
Für eine Extremstelle $x_E$ einer Funktion $f_a$ müssen folgende Kriterien erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $f_a'(x_E)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $f_a''(x_E) \neq 0$
Ermittle anhand diesen Bedingungen die Extremstelle der Funktionenschar $f_a$. Hast du diese bestimmt, so kannst du die bestimmte Stelle in den Funktionsterm von $f_a$ einsetzen und erhältst so den zugehörigen Funktionswert an dieser Extremstelle.
b) $\blacktriangleright$ Punkte auf der $\boldsymbol{y}$-Achse angeben
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Im Schaubild kannst du erkennen, dass die Graphen der Funktionen $f_1$, $f_2$ und $f_{0,5}$ der Funktionenschar $f_a$ jeweils einen Punkt auf der $y$-Achse schneiden. Gib die Punkte an, durch welche kein Graph der Funktionenschar $f_a$ verläuft.
Dabei kannst du folgende Eigenschaften verwenden:
  • Laut Aufgabentext muss $0 < a$ gelten.
  • Der Extrempunkt besitzt die Koordinaten $E(0 \mid a - a^{2} )$ und stellt damit den Schnittpunkt mit der $y$-Achse dar.
Betrachte die Hilfsfunktion $h$ mit dem Term $h(a)=a-a^2$ und der Bedingung $\boldsymbol{0 < a}$.
Diese Hilfsfunktion gibt die $y$-Koordinate des Schnittpunktes $E(0 \mid a - a^{2} )$ mit der $y$-Achse in Abhängigkeit von $a$ an. Bestimme ihre Extrema, um die Punkte auf der $y$-Achse zu bestimmen, die kein Graph schneidet.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen TI
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 2.1

a) $\blacktriangleright$ Graphen von $\boldsymbol{f}$ skizzieren
Die Funktion $f$ beschreibt die momentane Ankunftsrate ankommender Fahrzeuge an einem Grenzübergang. Ihr Funktionsterm ist gegeben durch:
$f(t)=\dfrac{1.300.000\cdot t}{t^{4}+30.000}$
Dabei sind $t$ die Stunden nach Beobachtungsbeginn und $f(t)$ die Fahrzeuge pro Stunde. Laut Aufgabentext befinden sich zu Beginn keine Fahrzeuge vor dem Grenzübergang.
Deine Aufgabe ist es, den Graphen der Funktion $f$ im Intervall $\left[ 0;30 \right]$ zu skizzieren. Dabei kannst du folgendermaßen vorgehen:
  • Betrachte das Schaubild in deinem GTR, indem du den Graph-Modus auswählst.
  • Lasse dir die zugehörige Wertetabelle der Funktion einblenden. Diese findest du im Graph-Modus unter TABLE :
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Das Schaubild $K$ sollte dann folgendermaßen aussehen:
Wahlteil A2
Wahlteil A2
$\blacktriangleright$ Maximale momentane Ankunftsrate bestimmen
Die Funktion $f$ beschreibt die momentane Ankunftsrate von Fahrzeugen pro Stunde. Um die maximale momentane Ankunftsrate zu ermitteln, kannst du zunächst das Maximum der Funktion $f$ mit dem GTR bestimmen. Prüfe, ob es Randextrema gibt.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Die Koordinaten des Hochpunktes kannst du mit deinem GTR berechnen. Lasse dir dazu zunächst den Graphen der Funktion für $0\leq t\leq30$ zeichnen. Das Maximum kannst du dir mit folgendem Befehl berechnen lassen:
2ND $\to$ CALC $\to$ 4: maximum
Anhand des Graphen siehst du, dass die Funktion kein weiteres Maximum an den Intervallgrenzen hat. Du kannst jedoch zusätzlich die Funktionswerte an den Stellen $t=0$ und $t=30$ mit dem GTR berechnen. Sind diese kleiner als der Funktionswert des Hochpunktes, so hat die Funktion $f$ keine Maxima an den Intervallgrenzen.
Die Koordinaten des Hochpunktes $H$ lauten $H(10 \mid 325 )$. Die maximale momentane Ankunftsrate beträgt demnach 325 Fahrzeuge pro Stunde.
$\blacktriangleright$ Anzahl der Fahrzeuge bestimmen, die in den ersten 6 Stunden ankommen
Beschreibt die Funktion $f$ die momentane Ankunftsrate, so entspricht ihre Stammfunktion $F$ der Anzahl der ankommenden Fahrzeuge. Bestimme die Anzahl der Fahrzeuge, die in den ersten 6 Stunden am Grenzübergang ankommen. Diese Anzahl erhältst du über folgenden Zusammenhang:
$\int_{0}^{6} f(t) \mathrm{d}t=\displaystyle\int_{0}^{6} \dfrac{1.300.000\cdot t}{t^{4}+30.000}\mathrm{d}t$
Laut Aufgabentext befinden sich zu Beginn keine Fahrzeuge vor dem Grenzübergang. Daher ist die Konstante, die sich bei der Integration ergibt, gleich Null.
Das Integral über das Intervall $\left[0;6\right]$ kannst du mit Hilfe des GTR bestimmen.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Den entsprechenden Befehl findest du unter
MATH $ \to$ 9:fnInt()
Gib die Integrationsgrenzen und den Integranden an. Diesen erhältst du über die folgende Befehlsfolge:
VARS $ \to$ $\blacktriangleright$ Y-VARS $ \to$ 1: Function
Wähle in diesem Menü dann die entsprechende Funktion $Y_i$ aus, unter welcher du den Term von $f(t)$ abgespeichert hast.
Der GTR liefert dir, dass ungefähr 769 Fahrzeuge in den ersten 6 Stunde am Grenzübergang ankommen.
b) $\blacktriangleright$ Zeitpunkt bestimmen, an dem sich erstmals Fahrzeuge stauen
Pro Stunde können am Grenzübergang $110$ Fahrzeuge abgefertigt werden. Aus dem Aufgabenteil zuvor weißt du jedoch, dass die maximale momentane Ankunftsrate 325 Fahrzeuge pro Stunde beträgt. Das heißt, dass zu einem gewissen Zeitpunkt mehr Fahrzeuge am Grenzübergang ankommen als abgefertigt werden können.
Deine Aufgabe ist es, diesen Zeitpunkt $t_0$ zu bestimmen. Dabei kannst du wie folgt vorgehen:
  • Der Zeitpunkt entspricht der Stelle von $f(t)$, an der $f(t)$ erstmals den Funktionswert 110 erreicht. Setze also den Term der Funktion $f$ mit 110 gleich.
  • Löse nach $t$ auf, um den gesuchten Zeitpunkt zu erhalten.
Diese Aufgabe kannst du mittels GTR graphisch lösen. Gib dazu den Term der Funktion $f$ und der Geraden $y=110$ im Graph-Modus an und bestimme ihre Schnittstelle. Denn diese entspricht gerade dem gesuchten Zeitpunkt, an dem $f(t)$ den Funktionswert 110 erreicht.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Um Schnittstellen von Graphen zu bestimmen, kannst du im Graph-Modus folgenden Befehl auswählen:
menu $ \to$ CALC $ \to$ 5: intersect
Bestätigen mit Enter liefert dir zwei verschiedene Resultate:
  • $t_0=2,54$
  • $t_1=21,86$
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Anhand des Graphen der Funktion $f$ kannst du erkennen, dass an $t_0=2,54$ erstmalig die Anzahl von 110 pro Stunde ankommenden Fahrzeugen überschritten wird. Das liefert dir, dass der gesuchte Zeitpunkt $t_0=2,54$ ist.
Nach 2,54 Stunden beginnen sich Fahrzeuge vor dem Grenzübergang zu stauen.
$\blacktriangleright$ Anzahl der Fahrzeuge ermitteln, die sich vor dem Übergang stauen
In der Abbildung unten siehst du den skizzierten Graphen der Funktion $f$ und der Geraden $y=110$. Zuvor hast du ermittelt, dass sich erstmalig zum Zeitpunkt $t_0=2,54$ Fahrzeuge vor dem Übergang stauen. Die Anzahl $A$ der Fahrzeuge, die sich maximal vor dem Übergang anstauen, entspricht der rot markierten Fläche:
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Diese Fläche entspricht weiterhin gerade der folgenden Differenz:
$\int_{t_0}^{t_1} f(t)-110\; \mathrm{d}t$
Dabei sind $t_0$ und $t_1$ die Schnittstellen der Funktion $f$ und der Gerdaden $y=110$, die du zuvor bestimmt hast mit:
  • $t_0=2,54$
  • $t_1=21,86$
Für die maximale Anzahl an anstauenden Fahrzeugen wird das Integral $\left[t_0;t_1\right]$ gewählt, da ab dem Zeitpunkt $t_1$ wieder weniger Fahrzeuge ankommen, als abgefertigt werden können. Das heißt, die Anzahl $A$ nimmt ab.
Berechne also die Anzahl der sich anstauenden Fahrzeuge, indem du oben angeführtes Integral berechnest.
Das Integral über das Intervall $\left[t_0;t_1\right]$ kannst du mit Hilfe des GTR bestimmen.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Den entsprechenden Befehl findest du unter
MATH $ \to$ 9:fnInt()
Gib die Integrationsgrenzen und den Integranden an. Diesen erhältst du über die folgende Befehlsfolge:
VARS $ \to$ $\blacktriangleright$ Y-VARS $ \to$ 1: Function
Wähle in diesem Menü dann die entsprechende Funktion $Y_i$ aus, unter welcher du den Term von $f(t)$ abgespeichert hast.
Der GTR liefert dir, dass sich maximal 2.325 Fahrzeuge am Grenzübergang anstauen.
$\blacktriangleright$ Anzahl bei einer Abfertigungsrate von 220 Fahrzeugen pro Stunde
12 Stunden nach Beobachtungsbeginn soll die momentane Abfertigungsate auf $\boldsymbol{220}$ Fahrzeuge pro Stunde erhöht werden. In den Stunden davor soll die momentane Abfertigungsrate weiterhin 110 Fahrzeuge pro Stunde betragen.
Berechne unter diesen Voraussetzungen die Anzahl der sich anstauenden Fahrzeuge. Die gesuchte Anzahl $A$ entspricht hier der rot markierten Fläche.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Diese Fläche entspricht weiterhin gerade der folgenden Differenz:
$\int_{t_0}^{12} f(t)-110\; \mathrm{d}t + \displaystyle\int_{12}^{t_2} f(t)-220\; \mathrm{d}t$
Dabei ist $t_0$ die Schnittstelle der Funktion $f$ und der Geraden $y=110$, die du zuvor bestimmt hast mit: $t_0=2,54$.
Dahingegen ist $t_2$ die Schnittstelle der Funktion $f$ und der Geraden $z=220$. Um die gesuchte Anzahl zu ermitteln, kannst du also wie folgt vorgehen:
  • Bestimme die Schnittstelle $t_2$ der Funktion $f$ und der Geraden $z=220$.
  • Berechne das Integral $\displaystyle\int_{t_0}^{12} f(t)-110\; \mathrm{d}t + \displaystyle\int_{12}^{t_2} f(t)-220\; \mathrm{d}t $
1. Schritt: Schnittstelle $\boldsymbol{t_2}$ bestimmen
Das kannst du mittels GTR graphisch lösen. Gib dazu den Term der Funktion $f$ und der Geraden $z=220$ im Graph-Modus an und bestimme ihre Schnittstelle. Denn diese entspricht gerade dem gesuchten Zeitpunkt, an dem $f(t)$ den Funktionswert 220 erreicht.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Um Schnittstellen von Graphen zu bestimmen, kannst du im Graph-Modus folgenden Befehl auswählen:
menu $ \to$ CALC $ \to$ 5: intersect
Bestätigen mit Enter liefert dir zwei verschiedene Resultate:
  • $t_2=15,9$
  • $t_3=5,2$
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Anhand des Graphen der Funktion $f$ kannst du erkennen, dass an $t_3=5,2$ erstmalig die Anzahl von 220 pro Stunde ankommenden Fahrzeugen überschritten wird. Da aber erst nach 12 Stunden auf 220 erhöht werden soll, kannst du dieses Resultat vernachlässigen. Das liefert dir, dass der gesuchte Zeitpunkt $t_2=15,9$ ist.
2. Schritt: Anzahl der sich anstauenden Fahrzeuge berechnen
Berechne also die Anzahl der sich anstauenden Fahrzeuge, indem du oben angeführtes Integral berechnest. Das Integral
$\int_{t_0}^{12} f(t)-110\; \mathrm{d}t + \displaystyle\int_{12}^{t_2} f(t)-220\; \mathrm{d}t$
kannst du mit Hilfe des GTR bestimmen.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Den entsprechenden Befehl findest du unter
MATH $ \to$ 9:fnInt()
Gib die Integrationsgrenzen und den Integranden an. Diesen erhältst du über die folgende Befehlsfolge:
VARS $ \to$ $\blacktriangleright$ Y-VARS $ \to$ 1: Function
Wähle in diesem Menü dann die entsprechende Funktion $Y_i$ aus, unter welcher du den Term von $f(t)$ abgespeichert hast.
Der GTR liefert dir, dass sich durch die Erhöhung ab der 12. Stunde auf 220 Fahrzeuge pro Stunde maximal $1.422,56+179,79 \approx 1.602$ Fahrzeuge am Grenzübergang anstauen.

Aufgabe 2.2

a) $\blacktriangleright$ Koordinaten des Extrempunktes angeben
Die Funktionenschar $f_a$ mit $0 < a$ und dem Definitionsbereich $ \mathbb{D}=\{ x \in \mathbb{R} : -\pi < x < \pi \}$ ist durch folgenden Term definiert:
$f_{a}(x)=a \cdot \cos(x) - a^{2}$
In der Aufgabenstellung wird angegeben, dass der Graph der Funktionenschar $G_a$ einen Extrempunkt besitzt. Deine Aufgabe ist es, dessen Koordinaten anzugeben. Beachte, dass diese Koordinaten vom Parameter $a$ abhängig sein können, da es sich hierbei um eine Funktionenschar handelt.
Um die Koordinaten angeben zu können, musst du zunächst die notwendige und hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen.
Für eine Extremstelle $x_E$ einer Funktion $f_a$ müssen folgende Kriterien erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $f_a'(x_E)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $f_a''(x_E) \neq 0$
Ermittle anhand diesen Bedingungen die Extremstelle der Funktionenschar $f_a$. Hast du diese bestimmt, so kannst du die bestimmte Stelle in den Funktionsterm von $f_a$ einsetzen und erhältst so den zugehörigen Funktionswert an dieser Extremstelle.
1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Um die notwendige Bedingung einer Extremstelle der Funktion $f_a$ zu überprüfen, benötigst du die erste Ableitungsfunktion der Funktion $f_a$.
$\begin{array}{rll} f_a(x)&=&a \cdot \cos(x) - a^{2}&\scriptsize \\ f_a'(x)&=&- a \cdot \sin(x)&\scriptsize \\ \end{array}$
Für die notwendige Bedingung einer Extremstelle muss $f_a'(x_E)=0$ gelten. Setze den Funktionsterm der ersten Ableitung $f_a'$ gleich Null und ermittle alle potentielle Werte, für die diese Gleichung erfüllt wird:
$\begin{array}{rll} 0&=&- a \cdot \sin(x)&\scriptsize \mid\; :(-a)\\ 0&=&\sin(x)&\scriptsize \\ \end{array}$
Im ersten Schritt dürfen wir durch $-a$ dividieren, da $a>0$ Voraussetzung ist.
Weiterhin weißt du, dass die Sinusfunktion für $x_E \in \{…-2 \cdot \pi;0;2 \cdot \pi; 4 \cdot \pi, …\}$ den Wert Null annimmt. Da die Funktionenschar $f_a$ aber nur im Bereich $\boldsymbol{-\pi < x < \pi}$ definiert ist, kommt nur $x_E=0$ als Nullstelle in Frage.
Damit hast du eine potentielle Extremstelle an $x_E=0$ ermittelt und kannst für diese Stelle nun das hinreichende Kriterium überprüfen.
2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Damit eine Extremstelle vorliegt, muss weiterhin die hinreichende Bedingung $f_a''(x_E=0)\neq 0$ erfüllt werden. Das heißt, du benötigst zunächst die zweite Ableitung der Funktion $f$. Diese erhältst du, indem du den Term von $f_a'$ erneut ableitest:
$\begin{array}{rll} f_a'(x)&=&- a \cdot \sin(x)&\scriptsize
f_a''(x)&=&- a \cdot \cos(x)&\scriptsize
\end{array}$
Überprüfe nun, ob $f_a''(x_E=0)\neq 0$ erfüllt wird:
$\begin{array}{rll} f_a''(x_E=0)&=& - a \cdot \cos(0)&\scriptsize \\ &=& - a \cdot 1&\scriptsize \\ &=& -a \neq 0&\scriptsize \\ \end{array}$
Das liefert dir, dass ebenfalls die hinreichende Bedingung erfüllt ist, da $0 < a$ gilt. Das heißt, an $x_E=0 $ liegt eine Extremstelle vor. Wegen $f_a''(x_E=0)<0$ kannst du festhalten, dass es sich hierbei um einen Hochpunkt handelt.
3. Schritt: Koordinaten des Hochpunktes angeben
Aus den Berechnungen zuvor weißt du, dass sich an der Stelle $x_E=0$ ein Hochpunkt befindet. Damit hast du die $x$-Koordinate des Hochpunktes ermittelt. Die $y$-Koordinate erhältst du, indem du $x_E=0$ in den Funktionsterm von $f_a$ einsetzt und berechnest:
$\begin{array}{rll} f(x_E=0)&=&a \cdot \cos(0) - a^{2}&\scriptsize \\ &=& a \cdot 1 - a^{2}&\scriptsize \\ &=& a - a^{2} &\scriptsize \\ \end{array}$
Die Koordinaten des Extrempunktes $E$ lauten $E(0 \mid a - a^{2} )$.
b) $\blacktriangleright$ Punkte auf der $\boldsymbol{y}$-Achse angeben
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Im Schaubild kannst du erkennen, dass die Graphen der Funktionen $f_1$, $f_2$ und $f_{0,5}$ der Funktionenschar $f_a$ jeweils einen Punkt auf der $y$-Achse schneiden. Gib die Punkte an, durch welche kein Graph der Funktionenschar $f_a$ verläuft.
Dabei kannst du folgende Eigenschaften verwenden:
  • Laut Aufgabentext muss $0 < a$ gelten.
  • Der Extrempunkt besitzt die Koordinaten $E(0 \mid a - a^{2} )$ und stellt damit den Schnittpunkt mit der $y$-Achse dar.
Betrachte die Hilfsfunktion $h$ mit dem Term $h(a)=a-a^2$ und der Bedingung $\boldsymbol{0 < a}$.

Diese Hilfsfunktion gibt die $y$-Koordinate des Schnittpunktes $E(0 \mid a - a^{2} )$ mit der $y$-Achse in Abhängigkeit von $a$ an.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Lässt du die Hilfsfunktion in deinem GTR zeichnen, so kannst du erkennen, dass die Funktion $h$ nach unten nicht beschränkt ist.
Ihr Maximum kannst du ermitteln, indem du
menu $ \to$ CALC $ \to$ 4: Maximum
auswählst.
Der GTR liefert dir, dass sich das Maximum an $a=0,5$ mit $h(a)=0,25$ befindet. Das heißt, der Extrempunkt bzw. Schnittpunkt mit der $y$-Achse kann maximal die $y$-Koordinate $0,25$ besitzen.
Du kannst also festhalten, dass der Graph der Funktionenschar $f_a$ die Punkte $P(0 \mid y)$ auf der $y$-Achse nicht berührt, für die $0,25 < y$ gilt.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen Casio
Download als Dokument:PDF

Aufgabe 2.1

a) $\blacktriangleright$ Graphen von $\boldsymbol{f}$ skizzieren
Die Funktion $f$ beschreibt die momentane Ankunftsrate ankommender Fahrzeuge an einem Grenzübergang. Ihr Funktionsterm ist gegeben durch:
$f(t)=\dfrac{1.300.000\cdot t}{t^{4}+30.000}$
Dabei sind $t$ die Stunden nach Beobachtungsbeginn und $f(t)$ die Fahrzeuge pro Stunde. Laut Aufgabentext befinden sich zu Beginn keine Fahrzeuge vor dem Grenzübergang.
Deine Aufgabe ist es, den Graphen der Funktion $f$ im Intervall $\left[ 0;30 \right]$ zu skizzieren. Dabei kannst du folgendermaßen vorgehen:
  • Betrachte das Schaubild in deinem GTR, indem du den Graph-Modus auswählst.
  • Lasse dir die zugehörige Wertetabelle der Funktion einblenden. Diese findest du im Graph-Modus unter TABLE :
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Das Schaubild $K$ sollte dann folgendermaßen aussehen:
Wahlteil A2
Wahlteil A2
$\blacktriangleright$ Maximale momentane Ankunftsrate bestimmen
Die Funktion $f$ beschreibt die momentane Ankunftsrate von Fahrzeugen pro Stunde. Um die maximale momentane Ankunftsrate zu ermitteln, kannst du zunächst das Maximum der Funktion $f$ bestimmen. Prüfe, ob es Randextrema gibt.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Die Koordinaten des Hochpunktes kannst du mit deinem GTR berechnen. Lasse dir dazu zunächst den Graphen der Funktion für $0\leq t\leq30$ zeichnen. Das Maximum kannst du dir mit folgendem Befehl berechnen lassen:
menu $ \to$ F5: G-Solve $ \to$ F2: MAX
Anhand des Graphen siehst du, dass die Funktion kein weiteres Maximum an den Intervallgrenzen hat. Du kannst jedoch zusätzlich die Funktionswerte an den Stellen $t=0$ und $t=30$ mit dem GTR berechnen. Sind diese kleiner als der Funktionswert des Hochpunktes, so hat die Funktion $f$ keine Maxima an den Intervallgrenzen.
Die Koordinaten des Hochpunktes $H$ lauten $H(10 \mid 325 )$. Die maximale momentane Ankunftsrate beträgt demnach 325 Fahrzeuge pro Stunde.
$\blacktriangleright$ Anzahl der Fahrzeuge bestimmen, die in den ersten 6 Stunden ankommen
Beschreibt die Funktion $f$ die momentane Ankunftsrate, so entspricht ihre Stammfunktion $F$ der Anzahl der ankommenden Fahrzeuge. Bestimme die Anzahl der Fahrzeuge, die in den ersten 6 Stunden am Grenzübergang ankommen. Diese Anzahl erhältst du über folgenden Zusammenhang:
$\int_{0}^{6} f(t) \mathrm{d}t=\displaystyle\int_{0}^{6} \dfrac{1.300.000\cdot t}{t^{4}+30.000}\mathrm{d}t$
Laut Aufgabentext befinden sich zu Beginn keine Fahrzeuge vor dem Grenzübergang. Daher ist die Konstante, die sich bei der Integration ergibt, gleich Null.
Das Integral über das Intervall $\left[0;6\right]$ kannst du mit Hilfe des GTR bestimmen.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Den entsprechenden Befehl findest du unter
F2: G-Solve $ \to$ F6: $\blacktriangleright$ $ \to $ F3: $ \int_{}^{}$ dx
Der GTR liefert dir, dass ungefähr 769 Fahrzeuge in den ersten 6 Stunde am Grenzübergang ankommen.
b) $\blacktriangleright$ Zeitpunkt bestimmen, an dem sich erstmals Fahrzeuge stauen
Pro Stunde können am Grenzübergang $110$ Fahrzeuge abgefertigt werden. Aus dem Aufgabenteil zuvor weißt du jedoch, dass die maximale momentane Ankunftsrate 325 Fahrzeuge pro Stunde beträgt. Das heißt, dass zu einem gewissen Zeitpunkt mehr Fahrzeuge am Grenzübergang ankommen als abgefertigt werden können.
Deine Aufgabe ist es, diesen Zeitpunkt $t_0$ zu bestimmen. Dabei kannst du wie folgt vorgehen:
  • Der Zeitpunkt entspricht der Stelle von $f(t)$, an der $f(t)$ erstmals den Funktionswert 110 erreicht. Setze also den Term der Funktion $f$ mit 110 gleich.
  • Löse nach $t$ auf, um den gesuchten Zeitpunkt zu erhalten.
Diese Aufgabe kannst du mittels GTR graphisch lösen. Gib dazu den Term der Funktion $f$ und der Geraden $y=110$ im Graph-Modus an und bestimme ihre Schnittstelle. Denn diese entspricht gerade dem gesuchten Zeitpunkt, an dem $f(t)$ den Funktionswert 110 erreicht.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Um Schnittstellen von Graphen zu bestimmen, kannst du im Graph-Modus folgenden Befehl auswählen:
menu $ \to$ F5: G-Solve $ \to$ F5: ISCT
Bestätigen mit EXE liefert dir zwei verschiedene Resultate:
  • $t_0=2,54$
  • $t_1=21,86$
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Anhand des Graphen der Funktion $f$ kannst du erkennen, dass an $t_0=2,54$ erstmalig die Anzahl von 110 pro Stunde ankommenden Fahrzeugen überschritten wird. Das liefert dir, dass der gesuchte Zeitpunkt $t_0=2,54$ ist.
Nach 2,54 Stunden beginnen sich Fahrzeuge vor dem Grenzübergang zu stauen.
$\blacktriangleright$ Anzahl der Fahrzeuge ermitteln, die sich vor dem Übergang stauen
In der Abbildung unten siehst du den skizzierten Graphen der Funktion $f$ und der Geraden $y=110$. Zuvor hast du ermittelt, dass sich erstmalig zum Zeitpunkt $t_0=2,54$ Fahrzeuge vor dem Übergang stauen. Die Anzahl $A$ der Fahrzeuge, die sich maximal vor dem Übergang anstauen, entspricht der rot markierten Fläche:
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Diese Fläche entspricht weiterhin gerade der folgenden Differenz:
$\int_{t_0}^{t_1} f(t)-110\; \mathrm{d}t$
Dabei sind $t_0$ und $t_1$ die Schnittstellen der Funktion $f$ und der Gerdaden $y=110$, die du zuvor bestimmt hast mit:
  • $t_0=2,54$
  • $t_1=21,86$
Für die maximale Anzahl an anstauenden Fahrzeugen wird das Integral $\left[t_0;t_1\right]$ gewählt, da ab dem Zeitpunkt $t_1$ wieder weniger Fahrzeuge ankommen, als abgefertigt werden können. Das heißt, die Anzahl $A$ nimmt ab.
Berechne also die Anzahl der sich anstauenden Fahrzeuge, indem du oben angeführtes Integral berechnest.
Das Integral über das Intervall $\left[t_0;t_1\right]$ kannst du mit Hilfe des GTR bestimmen.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Den entsprechenden Befehl findest du unter
F2: G-Solve $ \to$ F6: $\blacktriangleright$ $\to$ F3: $ \int_{}^{}$ dx
Gib die Integrationsgrenzen und den Integranden an.
Der GTR liefert dir, dass sich maximal 2.325 Fahrzeuge am Grenzübergang anstauen.
$\blacktriangleright$ Anzahl bei einer Abfertigungsrate von 220 Fahrzeugen pro Stunde
12 Stunden nach Beobachtungsbeginn soll die momentane Abfertigungsate auf $\boldsymbol{220}$ Fahrzeuge pro Stunde erhöht werden. In den Stunden davor soll die momentane Abfertigungsrate weiterhin 110 Fahrzeuge pro Stunde betragen.
Berechne unter diesen Voraussetzungen die Anzahl der sich anstauenden Fahrzeuge. Die gesuchte Anzahl $A$ entspricht hier der rot markierten Fläche.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Diese Fläche entspricht weiterhin gerade der folgenden Differenz:
$\int_{t_0}^{12} f(t)-110\; \mathrm{d}t + \displaystyle\int_{12}^{t_2} f(t)-220\; \mathrm{d}t$
Dabei ist $t_0$ die Schnittstelle der Funktion $f$ und der Geraden $y=110$, die du zuvor bestimmt hast mit: $t_0=2,54$.
Dahingegen ist $t_2$ die Schnittstelle der Funktion $f$ und der Geraden $z=220$. Um die gesuchte Anzahl zu ermitteln, kannst du also wie folgt vorgehen:
  • Bestimme die Schnittstelle $t_2$ der Funktion $f$ und der Geraden $z=220$.
  • Berechne das Integral $\displaystyle\int_{t_0}^{12} f(t)-110\; \mathrm{d}t + \displaystyle\int_{12}^{t_2} f(t)-220\; \mathrm{d}t $
1. Schritt: Schnittstelle $\boldsymbol{t_2}$ bestimmen
Das kannst du mittels GTR graphisch lösen. Gib dazu den Term der Funktion $f$ und der Geraden $z=220$ im Graph-Modus an und bestimme ihre Schnittstelle. Denn diese entspricht gerade dem gesuchten Zeitpunkt, an dem $f(t)$ den Funktionswert 220 erreicht.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Um Schnittstellen von Graphen zu bestimmen, kannst du im Graph-Modus folgenden Befehl auswählen:
menu $ \to$ F5: G-Solve $ \to$ F5: ISCT
Bestätigen mit Enter liefert dir zwei verschiedene Resultate:
  • $t_2=15,9$
  • $t_3=5,2$
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Anhand des Graphen der Funktion $f$ kannst du erkennen, dass an $t_3=5,2$ erstmalig die Anzahl von 220 pro Stunde ankommenden Fahrzeugen überschritten wird. Da aber erst nach 12 Stunden auf 220 erhöht werden soll, kannst du dieses Resultat vernachlässigen. Das liefert dir, dass der gesuchte Zeitpunkt $t_2=15,9$ ist.
2. Schritt: Anzahl der sich anstauenden Fahrzeuge berechnen
Berechne also die Anzahl der sich anstauenden Fahrzeuge, indem du oben angeführtes Integral berechnest. Das Integral
$\int_{t_0}^{12} f(t)-110\; \mathrm{d}t + \displaystyle\int_{12}^{t_2} f(t)-220\; \mathrm{d}t$
kannst du mit Hilfe des GTR bestimmen.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Den entsprechenden Befehl findest du unter
MATH $ \to$ F6: $\blacktriangleright$ $\to$ F1: $\int_{}^{}$ dx
Gib die Integrationsgrenzen und den Integranden an. Diesen erhältst du über die folgende Befehlsfolge:
VARS $ \to$ $\blacktriangleright$ F4: GRPH $ \to$ F1: Y
Wähle in diesem Menü dann die entsprechende Funktion $Y_i$ aus, unter welcher du den Term von $f(t)$ abgespeichert hast.
Der GTR liefert dir, dass sich durch die Erhöhung ab der 12. Stunde auf 220 Fahrzeuge pro Stunde maximal $1.422,56+179,79 \approx 1.602$ Fahrzeuge am Grenzübergang anstauen.

Aufgabe 2.2

a) $\blacktriangleright$ Koordinaten des Extrempunktes angeben
Die Funktionenschar $f_a$ mit $0 < a$ und dem Definitionsbereich $ \mathbb{D}=\{ x \in \mathbb{R} : -\pi < x < \pi \}$ ist durch folgenden Term definiert:
$f_{a}(x)=a \cdot \cos(x) - a^{2}$
In der Aufgabenstellung wird angegeben, dass der Graph der Funktionenschar $G_a$ einen Extrempunkt besitzt. Deine Aufgabe ist es, dessen Koordinaten anzugeben. Beachte, dass diese Koordinaten vom Parameter $a$ abhängig sein können, da es sich hierbei um eine Funktionenschar handelt.
Um die Koordinaten angeben zu können, musst du zunächst die notwendige und hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen.
Für eine Extremstelle $x_E$ einer Funktion $f_a$ müssen folgende Kriterien erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $f_a'(x_E)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $f_a''(x_E) \neq 0$
Ermittle anhand diesen Bedingungen die Extremstelle der Funktionenschar $f_a$. Hast du diese bestimmt, so kannst du die bestimmte Stelle in den Funktionsterm von $f_a$ einsetzen und erhältst so den zugehörigen Funktionswert an dieser Extremstelle.
1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Um die notwendige Bedingung einer Extremstelle der Funktion $f_a$ zu überprüfen, benötigst du die erste Ableitungsfunktion der Funktion $f_a$.
$\begin{array}{rll} f_a(x)&=&a \cdot \cos(x) - a^{2}&\scriptsize \\ f_a'(x)&=&- a \cdot \sin(x)&\scriptsize \\ \end{array}$
Für die notwendige Bedingung einer Extremstelle muss $f_a'(x_E)=0$ gelten. Setze den Funktionsterm der ersten Ableitung $f_a'$ gleich Null und ermittle alle potentielle Werte, für die diese Gleichung erfüllt wird:
$\begin{array}{rll} 0&=&- a \cdot \sin(x)&\scriptsize \mid\; :(-a)\\ 0&=&\sin(x)&\scriptsize \\ \end{array}$
Im ersten Schritt dürfen wir durch $-a$ dividieren, da $a>0$ Voraussetzung ist.
Weiterhin weißt du, dass die Sinusfunktion für $x_E \in \{…-2 \cdot \pi;0;2 \cdot \pi; 4 \cdot \pi, …\}$ den Wert Null annimmt. Da die Funktionenschar $f_a$ aber nur im Bereich $\boldsymbol{-\pi < x < \pi}$ definiert ist, kommt nur $x_E=0$ als Nullstelle in Frage.
Damit hast du eine potentielle Extremstelle an $x_E=0$ ermittelt und kannst für diese Stelle nun das hinreichende Kriterium überprüfen.
2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Damit eine Extremstelle vorliegt, muss weiterhin die hinreichende Bedingung $f_a''(x_E=0)\neq 0$ erfüllt werden. Das heißt, du benötigst zunächst die zweite Ableitung der Funktion $f$. Diese erhältst du, indem du den Term von $f_a'$ erneut ableitest:
$\begin{array}{rll} f_a'(x)&=&- a \cdot \sin(x)&\scriptsize
f_a''(x)&=&- a \cdot \cos(x)&\scriptsize
\end{array}$
Überprüfe nun, ob $f_a''(x_E=0)\neq 0$ erfüllt wird:
$\begin{array}{rll} f_a''(x_E=0)&=& - a \cdot \cos(0)&\scriptsize \\ &=& - a \cdot 1&\scriptsize \\ &=& -a \neq 0&\scriptsize \\ \end{array}$
Das liefert dir, dass ebenfalls die hinreichende Bedingung erfüllt ist, da $0 < a$ gilt. Das heißt, an $x_E=0 $ liegt eine Extremstelle vor. Wegen $f_a''(x_E=0)<0$ kannst du festhalten, dass es sich hierbei um einen Hochpunkt handelt.
3. Schritt: Koordinaten des Hochpunktes angeben
Aus den Berechnungen zuvor weißt du, dass sich an der Stelle $x_E=0$ ein Hochpunkt befindet. Damit hast du die $x$-Koordinate des Hochpunktes ermittelt. Die $y$-Koordinate erhältst du, indem du $x_E=0$ in den Funktionsterm von $f_a$ einsetzt und berechnest:
$\begin{array}{rll} f(x_E=0)&=&a \cdot \cos(0) - a^{2}&\scriptsize \\ &=& a \cdot 1 - a^{2}&\scriptsize \\ &=& a - a^{2} &\scriptsize \\ \end{array}$
Die Koordinaten des Extrempunktes $E$ lauten $E(0 \mid a - a^{2} )$.
b) $\blacktriangleright$ Punkte auf der $\boldsymbol{y}$-Achse angeben
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Im Schaubild kannst du erkennen, dass die Graphen der Funktionen $f_1$, $f_2$ und $f_{0,5}$ der Funktionenschar $f_a$ jeweils einen Punkt auf der $y$-Achse schneiden. Gib die Punkte an, durch welche kein Graph der Funktionenschar $f_a$ verläuft.
Dabei kannst du folgende Eigenschaften verwenden:
  • Laut Aufgabentext muss $0 < a$ gelten.
  • Der Extrempunkt besitzt die Koordinaten $E(0 \mid a - a^{2} )$ und stellt damit den Schnittpunkt mit der $y$-Achse dar.
Betrachte die Hilfsfunktion $h$ mit dem Term $h(a)=a-a^2$ und der Bedingung $\boldsymbol{0 < a}$.

Diese Hilfsfunktion gibt die $y$-Koordinate des Schnittpunktes $E(0 \mid a - a^{2} )$ mit der $y$-Achse in Abhängigkeit von $a$ an.
Wahlteil A2
Wahlteil A2
Lässt du die Hilfsfunktion in deinem GTR zeichnen, so kannst du erkennen, dass die Funktion $h$ nach unten nicht beschränkt ist.
Ihr Maximum kannst du ermitteln, indem du
menu $ \to$ F5: G-Solve $ \to$ F2: MAX
auswählst.
Der GTR liefert dir, dass sich das Maximum an $a=0,5$ mit $h(a)=0,25$ befindet. Das heißt, der Extrempunkt bzw. Schnittpunkt mit der $y$-Achse kann maximal die $y$-Koordinate $0,25$ besitzen.
Du kannst also festhalten, dass der Graph der Funktionenschar $f_a$ die Punkte $P(0 \mid y)$ auf der $y$-Achse nicht berührt, für die $0,25 < y$ gilt.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App