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Wahlteil B1

Aufgaben
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Aufgabe B 1.1

a)
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Nutzfläche liegt.
Berechne den Neigungswinkel der Nutzfläche gegen den Erdboden.
Ermittle den Inhalt der Nutzfläche.
(4P)
b)
Aus Sicherheitsgründen muss die senkrecht zum Erdboden verlaufende Rückwand zwischen der Nutzfläche und der Dachfläche mindestens $2,5\,\text{m}$ hoch sein.
Überprüfe, ob diese Bedingung erfüllt ist.
Zur Installation von Lautsprechern wird eine $5,2\,\text{m}$ lange, senkrecht zum Erdboden verlaufende Stütze montiert. Ihre Enden werden an der Kante $BC$ und am Dach der Tribüne fixiert.
Berechne die Koordinaten des Punktes auf der Kante $BC$, in dem das untere Ende der Stütze fixiert wird.
(4P)
#ebenengleichung

Aufgabe B 1.2

Bei einem Spiel wird ein idealer Würfel verwendet, dessen Netz in der Abbildung dargestellt ist.
a)
Der Würfel wird $2$-mal geworfen.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme der beiden Würfe $3$ beträgt.
Nun wird der Würfel $12$-mal geworfen.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er mindestens $4$-mal die Augenzahl $2$ zeigt.
Die Beschriftung des Würfels soll so geändert werden, dass man bei $12$-maligem Werfen des Würfels mit mindestens $99$ $\%$ Wahrscheinlichkeit mindestens $4$-mal die Augenzahl $3$ erhält.
Auf wie vielen Seiten des Würfels muss dann die Augenzahl $3$ mindestens stehen?
(4P)
b)
Ein Spieler hat die Vermutung, dass der ursprüngliche Würfel zu oft die Augenzahl $3$ zeigt. Die Nullhypothese
$H_0$: „Die Wahrscheinlichkeit für die Augenzahl $3$ beträgt höchstens $\frac{1}{6}$.“
soll durch eine Stichprobe mit $100$ Würfen auf einem Signifikanzniveau von $1$ $\%$ getestet werden.
Formuliere die zugehörige Entscheidungsregel in Worten.
(3P)
#hypothesentest#wahrscheinlichkeit
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Aufgabe 1.1

a)
$\blacktriangleright$ Bestimmen einer Koordinatengleichung für Ebene
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die Punkte $ABC$ die rechteckige Nutzfläche einer Tribüne darstellen sollen. Du sollst nun eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ aufstellen, in der dieses Rechteck liegt.
Eine Ebenengleichung in Koordinatenform sieht im Allgemeinen folgendermaßen aus:
$E: n_1\cdot x_1 +n_2\cdot x_2 +n_3\cdot x_3 = a$
Dabei ist $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}$ ein Normalenvektor zur Ebene $E$, also ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Ein solcher Normalenvektor ergibt sich aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren, die in der Ebene liegen. Der Parameter $a$ kann über eine Punktprobe bestimmt werden.
Gehe also wie folgt vor:
  1. Berechne einen Normalenvektor von $E$ mit Hilfe des Kreuzprodukts zweier Verbindungsvektoren der Punkte $A$, $B$, $C$, $D$
  2. Führe eine Punktprobe durch um $a$ zu bestimmen
  3. Stelle die Ebenengleichung auf
$\blacktriangleright$ Bestimmen des Winkels zwischen Nutzfläche und Erdboden
Da das Rechteck, das die Nutzfläche der Tribüne darstellt in der Ebene $E$ liegt und die Lage des Erdboden durch die $x_1x_2$-Ebene beschrieben wird, ist hier der Schnittwinkel $\alpha$ dieser beiden Ebenen gesucht. Einen Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen berechnet man allgemein über den Schnittwinkel der zugehörigen Normalenvektoren $\overrightarrow{n}$ und $\overrightarrow{m}$.
$\blacktriangleright$ Bestimme den Inhalt der Nutzfläche
Der Inhalt der Nutzfläche ist ein Rechteck, deshalb berechnet sich der Flächeninhalt nach der Formel:
$A_N= a \cdot b$
$A_N= a \cdot b$
Also musst du, um den Flächeninhalt zu bestimmen, die Länge der beiden Seiten kennen. Die Länge der Seiten kannst du nun mit den Koordinaten der gegebenen Punkte bestimmen. Die Seite $a$ kannst du als Verbindung der Punkte $A(15\mid 0 \mid 0)$ und $B(15\mid 20 \mid 0)$ beschreiben und die zweite Seite $b$ als Verbindung zwischen $B$ und $C(0\mid 20 \mid 6)$.
b)
$\blacktriangleright$ Überprüfe, ob die Rückwand zwischen der Nutzfläche und der Dachfläche mind. $\boldsymbol{2,5}$ m hoch ist.
Fertige dir für diesen Aufgabenteil zunächst eine Skizze an. Die Länge der Rückwand zwischen der Nutzfläche der Tribüne und der Dachfläche ist in der Skizze mit $d$ bezeichnet. Der Punkt an dem die Dachfläche an der Rückwand anliegt wird mit $F$ bezeichnet.
Damit ergibt sich folgende Skizze:
Abb. 1: Seitenansicht der Tribüne
Abb. 1: Seitenansicht der Tribüne
Um nun die Länge der Rückwand zwischen $C$ und $F$ zu berechnen, brauchst du die $x_3$-Koordinaten des Punktes $F$ und des Punktes $C$. Die $x_3$-Koordinate des Punktes $C$ ist bereits in der Aufgabenstellung gegeben. Über den Punkt $F$ weißt du, dass er in der Ebene $E: x_1-3x_3=-27$ liegt. Außerdem liegt der Punkt $F$ bei $x_2=0$. Somit können wir den Wert für $x_2$ in die Ebenengleichung einsetzen und die gesuchte $x_3$-Koordinate berechnen.
$\blacktriangleright$  Koordinaten des unter Punktes an dem die Lautsprecherstütze fixiert ist
In dieser Aufgabe wird eine Lautsprecherstütze senkrecht zum Boden auf die Kante $BC$ montiert. Die Lautsprecherstütze ist $5,2$ m lang. Nun sollst du die Koordinaten des Punktes bestimmen an dem die Lautsprecherstütze auf der Kante $BC$ fixiert wird. Da der Punkt auf der $BC$ Kante liegt, kannst du anhand der Zeichnung ablesen, dass $x_2=20$ sein muss, da die $x_2$ Koordinate auf der gesamten Kante konstant ist. Um die $x_1$- und $x_3$-Koordinate zu bestimmen fertige zuerst eine Skizze an.
Die Skizze könnte wiefolgt aussehen:
Abb. 2: Seitenansicht mit Lautsprecherstütze
Abb. 1: Seitenansicht mit Lautsprecherstütze

Aufgabe 1.2

a)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme bei zwei Würfen $\boldsymbol{3}$ beträgt
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass insgesamt 2 Mal mit dem Würfel geworfen wird. Du sollst nun die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass die Augensumme der beiden Würfe $3$ beträgt. Zuerst solltest du nun anhand der Abbildung die Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Augenzahlen bestimmen. Die Wahrscheinlichkeiten sind in der nachfolgenden Tabelle eingetragen.
$X$$1$$2$$3$
$P(X)$$\dfrac{3}{6}$$\dfrac{2}{6}$$\dfrac{1}{6}$
Die Augensumme der beiden Würfe kann nur für die zwei nachfolgenden Fälle $3$ betragen:
1. Fall: Du würfelst beim ersten Wurf eine $1$ und beim zweiten Wurf eine $2$
2. Fall: Du würfelst beim ersten Wurf eine $2$ und beim zweiten Wurf eine $1$
Nun kannst du die Wahrscheinlichkeiten für den jeweiligen Fall bestimmen und die Wahrscheinlichkeiten anschließend addieren. Da sich die Wahrscheinlichkeiten bei mehrmaligem Würfeln nicht verändern sind die Wahrscheinlichkeiten für die beiden Fälle identisch. Die Wahrscheinlichkeit einer der beiden Fälle berechnet sich indem du die Wahrscheinlichkeit eine $1$ zu würfeln mit der Wahrscheinlichkeit eine $2$ zu würfeln multiplizierst.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit, dass mind 4-mal die Augenzahl $\boldsymbol{2}$ erscheint
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass insgesamt 12-mal der Würfel geworfen wird. Der Würfel verändert sich hierbei nicht, weswegen sich auch die Wahrscheinlichkeiten nicht ändern. Der Würfel besitzt die Augenzahlen $1$, $2$ und $3$ mit oben angegebenen Wahrscheinlichkeiten. Deine Aufgabe ist es nun, die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass bei 12-mal würfeln mindestens 4 Mal die Augenzahl $2$ geworfen wird.
Willst du hier diese Wahrscheinlichkeit bestimmen, so betrachtest du zunächst die Zufallsvariable $X$. Zufallsvariable $X$ beschreibt die geworfene Augenzahl. Da bei diesem Zufallsversuch nur die Höhe der Augenzahl relevant ist und sich die Wahrscheinlichkeiten nicht ändern, ist die Zufallsvariable $X$ binomialverteilt. Da insgesamt $12$ Mal gewürfelt wird, ist $n = 12$.
Die Wahrscheinlichkeit $p$ kannst du aus der obigen Tabelle ablesen. Da hier die Wahrscheinlichkeit dafür gesucht wird, dass mindestens 4 Mal die Augenzahl $2$ gewürfelt wird, muss für die Zufallsvariable $X$ hier folgendes gelten:
$P(X \geq 4)$.
Diese Wahrscheinlichkeit kannst du mit deinem GTR berechnen. Dazu musst du den binomCdf-Befehl verwenden. Da dieser aber nur Ausdrücke wie $P(X \leq k)$ berechnen kann, musst du hier zunächst wie folgt das Gegenereignis zu $P(X \geq 4)$ bilden:
  • $P(X \geq 4) = 1 - P(X \leq 3)$
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit eine $3$ zu würfeln
In dieser Teilaufgabe sollst du bestimmen, wie viele Seiten mindestens mit einer $3$ beschriftet sein müssen, damit man bei 12-mal würfeln mit mindestens $99\%$ Wahrscheinlichkeit mindestens 4-mal die Augenzahl $3$ würfelt. Da der Würfel $6$ Seiten besitzt hast du die Möglichkeit, dass der Würfel mit $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ oder $6$ Seiten mit der Augenzahl $3$ beschriftet ist. Je nach Anzahl der beschrifteten Seiten verändert sich also die Wahrscheinlichkeit, die Augenzahl $3$ zu würfeln. Um nun die passende Wahrscheinlichkeit und damit auch die Anzahl der beschrifteten Seiten herauszufinden, musst du für die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten das Ergebnis überprüfen. Da hierbei wieder $12$ Mal gewürfelt wird ist $n = 12$.
b)
$\blacktriangleright$ Entscheidungsregel formulieren
Du sollst hier eine Entscheidungsregel formulieren, das heißt eine Regel dafür formulieren, ob die Behauptung des Spielers, dass der Würfel aus der oberen Aufgabe zu oft die Augenzahl $3$ zeigt. Dabei ist die Nullhypothese vorgegeben. Für die Nullhypothese gilt:
$H_0:p \leq \dfrac{1}{6}$
Es wird also ein rechtsseitiger Hypothesentest auf dem gegebenen Signifikanzniveau $\alpha = 0,01$ durchgeführt.
Wir betrachten hier die Zufallsvariable $X$, die die Höhe der Augenzahl beschreibt. Diese ist binomialverteilt mit den gegen Parameter $n =100$ und $p = \dfrac{1}{6}$. Da ein linksseitiger Hypothesentest durchgeführt wird, wird die Nullhypothese nur für kleine Werte abgelehnt.
Der Ablehnungsbereich hat daher die Form
$\overline{K} = [k,n]$.
Du musst nun also die Grenze $k$ des Ablehnungsbereichs bestimmen, um sagen zu können, für welche Werte die Nullhypothese verworfen werden kann. Hierfür musst du das Signifikanzniveau nutzen. Dies gibt die Irrtumswahrscheinlichkeit an, also genau die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Nullhypothese gilt und die Stichprobe trotzdem einen Wert aus dem Ablehnungsbereich liefert. Es ist also das kleinste $k$ gesucht, welches gerade noch folgende Ungleichung erfüllt:
$P(X\geq k) \leq 0,01 \Leftrightarrow P(X\leq k-1) \leq 0,99$
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Aufgabe 1.1

a)
$\blacktriangleright$ Bestimmen einer Koordinatengleichung für Ebene
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die Punkte $ABC$ die rechteckige Nutzfläche einer Tribüne darstellen sollen. Du sollst nun eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ aufstellen, in der dieses Rechteck liegt.
Eine Ebenengleichung in Koordinatenform sieht im Allgemeinen folgendermaßen aus:
$E: n_1\cdot x_1 +n_2\cdot x_2 +n_3\cdot x_3 = a$
Dabei ist $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}$ ein Normalenvektor zur Ebene $E$, also ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Ein solcher Normalenvektor ergibt sich aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren, die in der Ebene liegen. Der Parameter $a$ kann über eine Punktprobe bestimmt werden.
Gehe also wie folgt vor:
  1. Berechne einen Normalenvektor von $E$ mit Hilfe des Kreuzprodukts zweier Verbindungsvektoren der Punkte $A$, $B$, $C$, $D$
  2. Führe eine Punktprobe durch um $a$ zu bestimmen
  3. Stelle die Ebenengleichung auf
1. Schritt: Bestimmen des Normalenvektors
Zwei Vektoren, die in $E$ liegen erhältst du zum Beispiel mit den Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$:
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OA} =\begin{pmatrix}0\\20\\0\end{pmatrix} $
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC}- \overrightarrow{OA} =\begin{pmatrix}-15\\20\\6\end{pmatrix} $
Berechne nun $\overrightarrow{n}$ mit Hilfe des Kreuzprodukts:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=&\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0\\20\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-15\\20\\6\end{pmatrix} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}120\\0\\300\end{pmatrix} \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Punktprobe
Nun lautet die bisherige Ebenengleichung $E: 120\cdot x_1 + 0\cdot x_2 +300\cdot x_3 = a$
Setze dort nun die Koordinaten eines Punktes der Ebene ein und berechne so $a$. Wähle dazu beispielsweise $C(0\mid 20 \mid 6)$:
$a = 120 \cdot 0 + 0\cdot 20 + 300\cdot 6 = 1800$
3. Schritt: Ebenengleichung aufstellen
Die Ebenengleichung in Koordinatenform lautet nun :
$E: 120\cdot x_1 +300\cdot x_3 = 1800$
$\blacktriangleright$ Bestimmen des Winkels zwischen Nutzfläche und Erdboden
Da das Rechteck, das die Nutzfläche der Tribüne darstellt in der Ebene $E$ liegt und die Lage des Erdboden durch die $x_1x_2$-Ebene beschrieben wird, ist hier der Schnittwinkel $\alpha$ dieser beiden Ebenen gesucht. Einen Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen berechnet man allgemein über den Schnittwinkel der zugehörigen Normalenvektoren $\overrightarrow{n}$ und $\overrightarrow{m}$.
Einen Normalenvektor von $E$ hast du bereits im vorherigen Aufgabenteil berechnet mit $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}120\\0\\300\end{pmatrix}$. Ein Normalenvektor der $x_1x_2$-Ebene ist $\overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$. Damit ergibt sich nun der Schnittwinkel wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\left| \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{m}\right|}{\left|\overrightarrow{n} \right| \cdot \left|\overrightarrow{m} \right|} \quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{\left| \begin{pmatrix}120\\0\\300\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}120\\0\\300\end{pmatrix} \right| \cdot \left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \right|} \quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{300}{\sqrt{120^2+0^2+300^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} \quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{300}{323,11\cdot 1}\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,9285\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \alpha&=&\cos^{-1}(0,9285)\\[5pt] &\approx&21,8\,^{\circ}\\[5pt] \end{array}$
$ \cos(\alpha) = \dfrac{\left| \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{m}\right|}{\left|\overrightarrow{n} \right| \cdot \left|\overrightarrow{m} \right|} $
Der Winkel zwischen der Nutzfläche der Tribüne und dem Erdboden beträgt ca. $21,8\,^{\circ}$.
$\blacktriangleright$ Bestimme den Inhalt der Nutzfläche
Der Inhalt der Nutzfläche ist ein Rechteck, deshalb berechnet sich der Flächeninhalt nach der Formel:
$A_N= a \cdot b$
$A_N= a \cdot b$
Also musst du, um den Flächeninhalt zu bestimmen, die Länge der beiden Seiten kennen. Die Länge der Seiten kannst du nun mit den Koordinaten der gegebenen Punkte bestimmen. Die Seite $a$ kannst du als Verbindung der Punkte $A(15\mid 0 \mid 0)$ und $B(15\mid 20 \mid 0)$ beschreiben und die zweite Seite $b$ als Verbindung zwischen $B$ und $C(0\mid 20 \mid 6)$.
1. Berechnen der Länge von $a$
Die Seite $a$ ist die Verbindung zwischen den Punkten $A(15\mid 0 \mid 0)$ und $B(15\mid 20 \mid 0)$. Hierbei musst du dir die Koordinaten der Punkte genauer anschauen.
Dabei fällt auf, dass die $x_1$- und $x_3$-Koordinaten der Punkte identisch sind. Deshalb unterscheiden sich die Punkte nur in ihrer $x_2$-Koordinate. Somit ist der Abstand zwischen den beiden Punkten die Differenz der $x_2$-Koordinate vom Punkt $B$ und der $x_2$-Koordinate vom Punkt $A$. Für $a$ gilt:
$a=20 \text{ m}-0\text{ m}=20 \text{ m}$
2. Berechnen der Länge von $b$
Die Seite $b$ ist die Verbindung zwischen den Punkten $B(15\mid 20 \mid 0)$ und $C(0\mid 20 \mid 6)$. Hierbei musst du dir erneut die Koordinaten der Punkte genauer anschauen.
Dabei fällt auf, dass die $x_2$-Koordinaten der Punkte identisch ist. Deshalb unterscheiden sich die Punkte nur in ihrer $x_2$- und $x_3$-Koordinate. Somit kannst du den Abstand zwischen den beiden Punkten mit Hilfe des Satz des Pythagoras berechnen. Der Abstand der Punkte auf der $x_1$-Achse beträgt $15$ m und der Abstand auf der $x_3$-Achse beträgt $6$ m. Somit gilt für $b$:
$\begin{array}[t]{rll} b&=&\sqrt{(15\text{ m})^2+(6\text{ m})^2} \\[5pt] &=&\sqrt{225 \text{ m}^2+36\text{ m}^2}\\[5pt] &\approx&16,16 \text{ m}\\[5pt] \end{array}$
3. Berechnen des Inhalts der Nutzfläche $A_N$
$\begin{array}[t]{rll} A_N&=&a\cdot b \\[5pt] &=&20\text{ m} \cdot 16,16\text{ m}\\[5pt] &\approx&323\text{ m}^2\\[5pt] \end{array}$
Der Inhalt der Nutzfläche beträgt ungefähr $323 \text{ m}^2$.
b)
$\blacktriangleright$ Überprüfe, ob die Rückwand zwischen der Nutzfläche und der Dachfläche mind. $\boldsymbol{2,5}$ m hoch ist.
Fertige dir für diesen Aufgabenteil zunächst eine Skizze an. Die Länge der Rückwand zwischen der Nutzfläche der Tribüne und der Dachfläche ist in der Skizze mit $d$ bezeichnet. Der Punkt an dem die Dachfläche an der Rückwand anliegt wird mit $F$ bezeichnet.
Damit ergibt sich folgende Skizze:
Abb. 1: Seitenansicht der Tribüne
Abb. 1: Seitenansicht der Tribüne
Um nun die Länge der Rückwand zwischen $C$ und $F$ zu berechnen, brauchst du die $x_3$-Koordinaten des Punktes $F$ und des Punktes $C$. Die $x_3$-Koordinate des Punktes $C$ ist bereits in der Aufgabenstellung gegeben. Über den Punkt $F$ weißt du, dass er in der Ebene $E: x_1-3x_3=-27$ liegt. Außerdem liegt der Punkt $F$ bei $x_2=0$. Somit können wir den Wert für $x_2$ in die Ebenengleichung einsetzen und die gesuchte $x_3$-Koordinate berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} x_1-3x_3 &=&-27 \\[5pt] 0-3x_3&=&-27 &\quad \mid :(-3)\\[5pt] x_3&=&9 \\[5pt] \end{array}$
Die Länge $d$ kann man berechnen, indem man die $x_3$-Koordinate des Punktes $C$ von der $x_3$-Koordinate des Punktes $F$ subtrahiert.
$d=9-6=3$
Da die Koordinatenangaben in Meter angegeben sind, beträgt die Länge der Rückwand zwischen der Nutzfläche der Tribüne und der Dachfläche $3$ Meter. Somit ist die erforderliche Bedingung erfüllt.
$\blacktriangleright$  Koordinaten des unter Punktes an dem die Lautsprecherstütze fixiert ist
In dieser Aufgabe wird eine Lautsprecherstütze senkrecht zum Boden auf die Kante $BC$ montiert. Die Lautsprecherstütze ist $5,2$ m lang. Nun sollst du die Koordinaten des Punktes bestimmen an dem die Lautsprecherstütze auf der Kante $BC$ fixiert wird. Da der Punkt auf der $BC$ Kante liegt, kannst du anhand der Zeichnung ablesen, dass $x_2=20$ sein muss, da die $x_2$ Koordinate auf der gesamten Kante konstant ist. Um die $x_1$- und $x_3$-Koordinate zu bestimmen fertige zuerst eine Skizze an.
Abb. 2: Seitenansicht mit Lautsprecherstütze
Abb. 1: Seitenansicht mit Lautsprecherstütze
Die Dachfläche ist durch die Ebenengleichung $E: x_1-3x_3=-27$ beschrieben. Möchte man also die Höhe des Daches $h_D$ in Abhängigkeit der $x_1$-Koordinate angeben, so kannst du die Ebenengleichung nach $x_3$ umformen, da die $x_3$-Koordinate des Daches auch exakt der Höhe entspricht.
$\begin{array}[t]{rll} x_1-3x_3 &=&-27 &\quad \mid -x_1\\[5pt] -3x_3&=&-27-x_1 &\quad \mid :(-3)\\[5pt] x_3&=&\dfrac{1}{3} \cdot x_1 +9 \\[5pt] h_D&=&\dfrac{1}{3} \cdot x_1 +9 \\[5pt] \end{array}$
Nun kannst du auch die Höhe der Nutzfläche $h_T$ der Tribüne als Gerade in Abhängigkeit der $x_1$ Koordinate angeben. Diese kannst du durch ein Steigungsdreieck bestimmen. Für die Höhe $h_T$ gilt:
$h_T=-\dfrac{6}{15} \cdot x_1 +6$
Die Länge der Lautsprecherstütze $s$ berechnet sich, indem du die Höhe der Tribüne $h_T$ von der Höhe des Daches $h_D$ subtrahierst.
$\begin{array}[t]{rll} s&=&h_D-h_T \\[5pt] s&=&\dfrac{1}{3} \cdot x_1 +9 +\dfrac{6}{15} \cdot x_1 -6\\[5pt] s&=&\dfrac{11}{15} \cdot x_1 +3 &\quad \mid -3&\quad \mid \cdot \dfrac{15}{11}\\[5pt] x_1&=&\dfrac{15}{11} \cdot (s -3) &\quad \mid s=5,2\\[5pt] x_1&=&\dfrac{15}{11} \cdot (5,2 -3) \\[5pt] x_1&=&3 \\[5pt] \end{array}$
$ s=h_D-h_T $
Somit beträgt die $x_1$-Koordinate bei der die Lautsrecherstütze fixiert wird $3$. Jetzt musst du noch die $x_3$-Koordinate bestimmen bei der die Lautsprecherstütze fixiert ist. Dafür muss du die $x_1$-Koordinate in die Geradengleichung einsetzen, um die Höhe der Tribüne zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} h_T&=&-\dfrac{6}{15} \cdot x_1 +6\\[5pt] h_T&=&-\dfrac{6}{15} \cdot 3 +6\\[5pt] h_T&=&4,8 \\[5pt] \end{array}$
Somit lautet der untere Punkt an dem die Lautsprecherstütze fixiert wird $(3\mid20\mid4,8)$.
#ebenengleichung#schnittwinkel#vektoren

Aufgabe 1.2

a)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme bei zwei Würfen $\boldsymbol{3}$ beträgt
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass insgesamt 2 Mal mit dem Würfel geworfen wird. Du sollst nun die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass die Augensumme der beiden Würfe $3$ beträgt. Zuerst solltest du nun anhand der Abbildung die Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Augenzahlen bestimmen. Die Wahrscheinlichkeiten sind in der nachfolgenden Tabelle eingetragen.
$X$$1$$2$$3$
$P(X)$$\dfrac{3}{6}$$\dfrac{2}{6}$$\dfrac{1}{6}$
Die Augensumme der beiden Würfe kann nur für die zwei nachfolgenden Fälle $3$ betragen:
1. Fall: Du würfelst beim ersten Wurf eine $1$ und beim zweiten Wurf eine $2$
2. Fall: Du würfelst beim ersten Wurf eine $2$ und beim zweiten Wurf eine $1$
Nun kannst du die Wahrscheinlichkeiten für den jeweiligen Fall bestimmen und die Wahrscheinlichkeiten anschließend addieren. Da sich die Wahrscheinlichkeiten bei mehrmaligem Würfeln nicht verändern sind die Wahrscheinlichkeiten für die beiden Fälle identisch. Die Wahrscheinlichkeit einer der beiden Fälle berechnet sich indem du die Wahrscheinlichkeit eine $1$ zu würfeln mit der Wahrscheinlichkeit eine $2$ zu würfeln multiplizierst.
Somit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme $3$ beträgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{Augensumme ist }3) &=&2 \cdot P(X=1) \cdot P(X=2)\\[5pt] &=&2\cdot \dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{2}{6} \\[5pt] &=&\dfrac{2}{6}\\[5pt] \end{array}$
$P(\text{Augensumme ist }3) =\dfrac{2}{6} $
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit, dass mind 4-mal die Augenzahl $\boldsymbol{2}$ erscheint
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass insgesamt 12-mal der Würfel geworfen wird. Der Würfel verändert sich hierbei nicht, weswegen sich auch die Wahrscheinlichkeiten nicht ändern. Der Würfel besitzt die Augenzahlen $1$, $2$ und $3$ mit oben angegebenen Wahrscheinlichkeiten. Deine Aufgabe ist es nun, die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass bei 12-mal würfeln mindestens 4-mal die Augenzahl $2$ geworfen wird.
Willst du hier diese Wahrscheinlichkeit bestimmen, so betrachtest du zunächst die Zufallsvariable $X$. Zufallsvariable $X$ beschreibt die geworfene Augenzahl. Da bei diesem Zufallsversuch nur die Höhe der Augenzahl relevant ist und sich die Wahrscheinlichkeiten nicht ändern, ist die Zufallsvariable $X$ binomialverteilt. Da insgesamt $12$ Mal gewürfelt wird, ist $n = 12$.
Die Wahrscheinlichkeit $p$ kannst du aus der obigen Tabelle ablesen. Da hier die Wahrscheinlichkeit dafür gesucht wird, dass mindestens 4 Mal die Augenzahl $2$ gewürfelt wird, muss für die Zufallsvariable $X$ hier folgendes gelten:
$P(X \geq 4)$.
Diese Wahrscheinlichkeit kannst du mit deinem CAS berechnen. Dazu musst du den binomCdf-Befehl verwenden. Da dieser aber nur Ausdrücke wie $P(X \leq k)$ berechnen kann, musst du hier zunächst wie folgt das Gegenereignis zu $P(X \geq 4)$ bilden:
  • $P(X \geq 4) = 1 - P(X \leq 3)$
Die Wahrscheinlichkeit die Augenzahl $2$ zu würfeln beträgt:
  • $p = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} = 0,33$.
Nun weißt du, dass $n = 12$, $p = \dfrac{1}{3}$ gilt. Wende den binomCdf-Befehl wie in den Schaubildern unten an, um hier die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Greife dazu aber zunächst über
Menü $\rightarrow$ 6: Statistik $\rightarrow$ 5: Verteilungen $\rightarrow$ E: Binomial Cdf
Menü $\rightarrow$ 6: Statistik $\rightarrow$ 5: Verteilungen $\rightarrow$ E: Binomial Cdf
auf diesen zu.
Abb. 4: Ergebnis
Abb. 4: Ergebnis
Die Wahrscheinlichkeit, mindestens 4-mal die Augenzahl $2$ zu würfeln beträgt also etwa 60,7 %.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit eine $\boldsymbol{3}$ zu würfeln
In dieser Teilaufgabe sollst du bestimmen, wie viele Seiten mindestens mit einer $3$ beschriftet sein müssen, damit man bei 12-mal würfeln mit mindestens $99\%$ Wahrscheinlichkeit mindestens 4-mal die Augenzahl $3$ würfelt. Da der Würfel $6$ Seiten besitzt hast du die Möglichkeit, dass der Würfel mit $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ oder $6$ Seiten mit der Augenzahl $3$ beschriftet ist. Je nach Anzahl der beschrifteten Seiten verändert sich also die Wahrscheinlichkeit, die Augenzahl $3$ zu würfeln. Um nun die passende Wahrscheinlichkeit und damit auch die Anzahl der beschrifteten Seiten herauszufinden, musst du für die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten das Ergebnis überprüfen. Da hierbei wieder $12$ Mal gewürfelt wird ist $n = 12$.
Für das Gegenereignis kannst du nun die Wahrscheinlichkeit wie oben aufstellen:
$P(X \geq 4) = 1 - P(X \leq 3)$
Nun sollst du $P(X \geq 4)$ in Abhängigkeit von $p$ angeben. Dazu gehe zunächst in den Modus $y=$. Dort trägst du nun den unten angegebenen Ausdruck mit den Werten bei
2nd $\to$ DISTR $\to$ B:binomcdf(
2nd $\to$ DISTR $\to$ B:binomcdf(
an.
Abb. 6: Eingetragene Daten
Abb. 6: Eingetragene Daten
Nun kannst du mit 2nd $\to$ table in den Tabellenmodus wechseln. Dort angekommen kannst du mit 2nd $\to$ tbl set die Einstellungen auf folgende Werte ändern. Wenn du nun erneut in den Tabellenmodus wechselst, kannst du $P(X \geq 4) = 1 - P(X \leq 3)$ als $Y_1$ ablesen und die zugehörige Wahrscheinlichkeit $p$ als $X$.
Abb. 8: Tabelle
Abb. 8: Tabelle
Nun kannst du an der Tabelle ablesen, dass bei $X=0,6667$ $Y=0,9961$ ist. Das bedeutet, dass bei einer Wahrscheinlichkeit von $p=\dfrac{4}{6}$ $P(X \geq 4) = 0,9961$ ist. Somit müssen mindestens $4$ Seiten mit der Augenzahl $3$ beschriftet werden.
b)
$\blacktriangleright$ Entscheidungsregel formulieren
Du sollst hier eine Entscheidungsregel formulieren, das heißt eine Regel dafür formulieren, ob die Behauptung des Spielers, dass der Würfel aus der oberen Aufgabe zu oft die Augenzahl $3$ zeigt. Dabei ist die Nullhypothese vorgegeben. Für die Nullhypothese gilt:
$H_0:p \leq \dfrac{1}{6}$
Es wird also ein rechtsseitiger Hypothesentest auf dem gegebenen Signifikanzniveau $\alpha = 0,01$ durchgeführt.
Wir betrachten hier die Zufallsvariable $X$, die die Höhe der Augenzahl beschreibt. Diese ist binomialverteilt mit den gegeben Parameter $n =100$ und $p = \dfrac{1}{6}$. Da ein linksseitiger Hypothesentest durchgeführt wird, wird die Nullhypothese nur für kleine Werte abgelehnt.
Der Ablehnungsbereich hat daher die Form
$\overline{K} = [k,n]$.
Du musst nun also die Grenze $k$ des Ablehnungsbereichs bestimmen, um sagen zu können, für welche Werte die Nullhypothese verworfen werden kann. Hierfür musst du das Signifikanzniveau nutzen. Dies gibt die Irrtumswahrscheinlichkeit an, also genau die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Nullhypothese gilt und die Stichprobe trotzdem einen Wert aus dem Ablehnungsbereich liefert. Es ist also das kleinste $k$ gesucht, welches gerade noch folgende Ungleichung erfüllt:
$P(X\geq k) \leq 0,01 \Leftrightarrow P(X\leq k-1) \leq 0,99$
Zum Lösen kannst du den BinomCdf-Befehl deines GTR verwenden. Gib die Funktion $f(x)= P(X\leq x)$ im $Y=$-Menü des GTR über den BinomCdf-Befehl ein. Diesen findest du unter
2ND $\rightarrow$ VARS(DISTR) $\rightarrow$ B: BinomCdf
In die Klammern musst du dann die Parameter eingeben: $n= 100$, $p = \dfrac{1}{6}$ und $k =x-1$. Anschließend kannst du dir mit dem folgenden Befehl die Wertetabelle anzeigen lassen.
2ND $\rightarrow$ GRAPH(TABLE)
Wähle dann aus dieser Tabelle das größte $x$, sodass $y$ gerade noch kleiner oder gleich $0,99$ ist. Du findest folgende Werte: $P(X\leq 26)\approx 0,9881$ und $P(X\leq 27) \approx 0,9938$
Abb. 9: Tabelle
Abb. 9: Tabelle
Damit ist das gesuchte $k = 26$ und die Entscheidungsregel lässt sich wie folgt formulieren:
Wird höchstens $26$-mal die Augenzahl $3$ gewürfelt, so wird die Nullhypothese angenommen und die Behauptung des Spielers auf dem Signifikanznieveau $\alpha = 0,01$ ist nicht zutreffend. Wird aber mehr als $26$-mal die Augenzahl $3$ gewürfelt, so wird die Nullhypothese verworfen und die Behauptung des Spielers auf dem Signifikanzniveau $\alpha = 0,01$ stimmt.
#wahrscheinlichkeit#hypothesentest
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Aufgabe 1.1

a)
$\blacktriangleright$ Bestimmen einer Koordinatengleichung für Ebene
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die Punkte $ABC$ die rechteckige Nutzfläche einer Tribüne darstellen sollen. Du sollst nun eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ aufstellen, in der dieses Rechteck liegt.
Eine Ebenengleichung in Koordinatenform sieht im Allgemeinen folgendermaßen aus:
$E: n_1\cdot x_1 +n_2\cdot x_2 +n_3\cdot x_3 = a$
Dabei ist $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}$ ein Normalenvektor zur Ebene $E$, also ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Ein solcher Normalenvektor ergibt sich aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren, die in der Ebene liegen. Der Parameter $a$ kann über eine Punktprobe bestimmt werden.
Gehe also wie folgt vor:
  1. Berechne einen Normalenvektor von $E$ mit Hilfe des Kreuzprodukts zweier Verbindungsvektoren der Punkte $A$, $B$, $C$, $D$
  2. Führe eine Punktprobe durch um $a$ zu bestimmen
  3. Stelle die Ebenengleichung auf
1. Schritt: Bestimmen des Normalenvektors
Zwei Vektoren, die in $E$ liegen erhältst du zum Beispiel mit den Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$:
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OA} =\begin{pmatrix}0\\20\\0\end{pmatrix} $
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC}- \overrightarrow{OA} =\begin{pmatrix}-15\\20\\6\end{pmatrix} $
Berechne nun $\overrightarrow{n}$ mit Hilfe des Kreuzprodukts:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=&\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0\\20\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-15\\20\\6\end{pmatrix} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}120\\0\\300\end{pmatrix} \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Punktprobe
Nun lautet die bisherige Ebenengleichung $E: 120\cdot x_1 + 0\cdot x_2 +300\cdot x_3 = a$
Setze dort nun die Koordinaten eines Punktes der Ebene ein und berechne so $a$. Wähle dazu beispielsweise $C(0\mid 20 \mid 6)$:
$a = 120 \cdot 0 + 0\cdot 20 + 300\cdot 6 = 1800$
3. Schritt: Ebenengleichung aufstellen
Die Ebenengleichung in Koordinatenform lautet nun :
$E: 120\cdot x_1 +300\cdot x_3 = 1800$
$\blacktriangleright$ Bestimmen des Winkels zwischen Nutzfläche und Erdboden
Da das Rechteck, das die Nutzfläche der Tribüne darstellt in der Ebene $E$ liegt und die Lage des Erdboden durch die $x_1x_2$-Ebene beschrieben wird, ist hier der Schnittwinkel $\alpha$ dieser beiden Ebenen gesucht. Einen Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen berechnet man allgemein über den Schnittwinkel der zugehörigen Normalenvektoren $\overrightarrow{n}$ und $\overrightarrow{m}$.
Einen Normalenvektor von $E$ hast du bereits im vorherigen Aufgabenteil berechnet mit $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}120\\0\\300\end{pmatrix}$. Ein Normalenvektor der $x_1x_2$-Ebene ist $\overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$. Damit ergibt sich nun der Schnittwinkel wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\left| \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{m}\right|}{\left|\overrightarrow{n} \right| \cdot \left|\overrightarrow{m} \right|} \quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{\left| \begin{pmatrix}120\\0\\300\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}120\\0\\300\end{pmatrix} \right| \cdot \left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \right|} \quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{300}{\sqrt{120^2+0^2+300^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} \quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{300}{323,11\cdot 1}\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,9285\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \alpha&=&\cos^{-1}(0,9285)\\[5pt] &\approx&21,8\,^{\circ}\\[5pt] \end{array}$
$ \cos(\alpha) = \dfrac{\left| \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{m}\right|}{\left|\overrightarrow{n} \right| \cdot \left|\overrightarrow{m} \right|} $
Der Winkel zwischen der Nutzfläche der Tribüne und dem Erdboden beträgt ca. $21,8\,^{\circ}$.
$\blacktriangleright$ Bestimme den Inhalt der Nutzfläche
Der Inhalt der Nutzfläche ist ein Rechteck, deshalb berechnet sich der Flächeninhalt nach der Formel:
$A_N= a \cdot b$
$A_N= a \cdot b$
Also musst du, um den Flächeninhalt zu bestimmen, die Länge der beiden Seiten kennen. Die Länge der Seiten kannst du nun mit den Koordinaten der gegebenen Punkte bestimmen. Die Seite $a$ kannst du als Verbindung der Punkte $A(15\mid 0 \mid 0)$ und $B(15\mid 20 \mid 0)$ beschreiben und die zweite Seite $b$ als Verbindung zwischen $B$ und $C(0\mid 20 \mid 6)$.
1. Berechnen der Länge von $a$
Die Seite $a$ ist die Verbindung zwischen den Punkten $A(15\mid 0 \mid 0)$ und $B(15\mid 20 \mid 0)$. Hierbei musst du dir die Koordinaten der Punkte genauer anschauen.
Dabei fällt auf, dass die $x_1$- und $x_3$-Koordinaten der Punkte identisch sind. Deshalb unterscheiden sich die Punkte nur in ihrer $x_2$-Koordinate. Somit ist der Abstand zwischen den beiden Punkten die Differenz der $x_2$-Koordinate vom Punkt $B$ und der $x_2$-Koordinate vom Punkt $A$. Für $a$ gilt:
$a=20 \text{ m}-0\text{ m}=20 \text{ m}$
2. Berechnen der Länge von $b$
Die Seite $b$ ist die Verbindung zwischen den Punkten $B(15\mid 20 \mid 0)$ und $C(0\mid 20 \mid 6)$. Hierbei musst du dir erneut die Koordinaten der Punkte genauer anschauen.
Dabei fällt auf, dass die $x_2$-Koordinaten der Punkte identisch ist. Deshalb unterscheiden sich die Punkte nur in ihrer $x_2$- und $x_3$-Koordinate. Somit kannst du den Abstand zwischen den beiden Punkten mit Hilfe des Satz des Pythagoras berechnen. Der Abstand der Punkte auf der $x_1$-Achse beträgt $15$ m und der Abstand auf der $x_3$-Achse beträgt $6$ m. Somit gilt für $b$:
$\begin{array}[t]{rll} b&=&\sqrt{(15\text{ m})^2+(6\text{ m})^2} \\[5pt] &=&\sqrt{225 \text{ m}^2+36\text{ m}^2}\\[5pt] &\approx&16,16 \text{ m}\\[5pt] \end{array}$
3. Berechnen des Inhalts der Nutzfläche $A_N$
$\begin{array}[t]{rll} A_N&=&a\cdot b \\[5pt] &=&20\text{ m} \cdot 16,16\text{ m}\\[5pt] &\approx&323\text{ m}^2\\[5pt] \end{array}$
Der Inhalt der Nutzfläche beträgt ungefähr $323 \text{ m}^2$.
b)
$\blacktriangleright$ Überprüfe, ob die Rückwand zwischen der Nutzfläche und der Dachfläche mind. $\boldsymbol{2,5}$ m hoch ist.
Fertige dir für diesen Aufgabenteil zunächst eine Skizze an. Die Länge der Rückwand zwischen der Nutzfläche der Tribüne und der Dachfläche ist in der Skizze mit $d$ bezeichnet. Der Punkt an dem die Dachfläche an der Rückwand anliegt wird mit $F$ bezeichnet.
Damit ergibt sich folgende Skizze:
Abb. 1: Seitenansicht der Tribüne
Abb. 1: Seitenansicht der Tribüne
Um nun die Länge der Rückwand zwischen $C$ und $F$ zu berechnen, brauchst du die $x_3$-Koordinaten des Punktes $F$ und des Punktes $C$. Die $x_3$-Koordinate des Punktes $C$ ist bereits in der Aufgabenstellung gegeben. Über den Punkt $F$ weißt du, dass er in der Ebene $E: x_1-3x_3=-27$ liegt. Außerdem liegt der Punkt $F$ bei $x_2=0$. Somit können wir den Wert für $x_2$ in die Ebenengleichung einsetzen und die gesuchte $x_3$-Koordinate berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} x_1-3x_3 &=&-27 \\[5pt] 0-3x_3&=&-27 &\quad \mid :(-3)\\[5pt] x_3&=&9 \\[5pt] \end{array}$
Die Länge $d$ kann man berechnen, indem man die $x_3$-Koordinate des Punktes $C$ von der $x_3$-Koordinate des Punktes $F$ subtrahiert.
$d=9-6=3$
Da die Koordinatenangaben in Meter angegeben sind, beträgt die Länge der Rückwand zwischen der Nutzfläche der Tribüne und der Dachfläche $3$ Meter. Somit ist die erforderliche Bedingung erfüllt.
$\blacktriangleright$  Koordinaten des unter Punktes an dem die Lautsprecherstütze fixiert ist
In dieser Aufgabe wird eine Lautsprecherstütze senkrecht zum Boden auf die Kante $BC$ montiert. Die Lautsprecherstütze ist $5,2$ m lang. Nun sollst du die Koordinaten des Punktes bestimmen an dem die Lautsprecherstütze auf der Kante $BC$ fixiert wird. Da der Punkt auf der $BC$ Kante liegt, kannst du anhand der Zeichnung ablesen, dass $x_2=20$ sein muss, da die $x_2$ Koordinate auf der gesamten Kante konstant ist. Um die $x_1$- und $x_3$-Koordinate zu bestimmen fertige zuerst eine Skizze an.
Abb. 2: Seitenansicht mit Lautsprecherstütze
Abb. 1: Seitenansicht mit Lautsprecherstütze
Die Dachfläche ist durch die Ebenengleichung $E: x_1-3x_3=-27$ beschrieben. Möchte man also die Höhe des Daches $h_D$ in Abhängigkeit der $x_1$-Koordinate angeben, so kannst du die Ebenengleichung nach $x_3$ umformen, da die $x_3$-Koordinate des Daches auch exakt der Höhe entspricht.
$\begin{array}[t]{rll} x_1-3x_3 &=&-27 &\quad \mid -x_1\\[5pt] -3x_3&=&-27-x_1 &\quad \mid :(-3)\\[5pt] x_3&=&\dfrac{1}{3} \cdot x_1 +9 \\[5pt] h_D&=&\dfrac{1}{3} \cdot x_1 +9 \\[5pt] \end{array}$
Nun kannst du auch die Höhe der Nutzfläche $h_T$ der Tribüne als Gerade in Abhängigkeit der $x_1$ Koordinate angeben. Diese kannst du durch ein Steigungsdreieck bestimmen. Für die Höhe $h_T$ gilt:
$h_T=-\dfrac{6}{15} \cdot x_1 +6$
Die Länge der Lautsprecherstütze $s$ berechnet sich, indem du die Höhe der Tribüne $h_T$ von der Höhe des Daches $h_D$ subtrahierst.
$\begin{array}[t]{rll} s&=&h_D-h_T \\[5pt] s&=&\dfrac{1}{3} \cdot x_1 +9 +\dfrac{6}{15} \cdot x_1 -6\\[5pt] s&=&\dfrac{11}{15} \cdot x_1 +3 &\quad \mid -3&\quad \mid \cdot \dfrac{15}{11}\\[5pt] x_1&=&\dfrac{15}{11} \cdot (s -3) &\quad \mid s=5,2\\[5pt] x_1&=&\dfrac{15}{11} \cdot (5,2 -3) \\[5pt] x_1&=&3 \\[5pt] \end{array}$
$ s=h_D-h_T $
Somit beträgt die $x_1$-Koordinate bei der die Lautsrecherstütze fixiert wird $3$. Jetzt musst du noch die $x_3$-Koordinate bestimmen bei der die Lautsprecherstütze fixiert ist. Dafür muss du die $x_1$-Koordinate in die Geradengleichung einsetzen, um die Höhe der Tribüne zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} h_T&=&-\dfrac{6}{15} \cdot x_1 +6\\[5pt] h_T&=&-\dfrac{6}{15} \cdot 3 +6\\[5pt] h_T&=&4,8 \\[5pt] \end{array}$
Somit lautet der untere Punkt an dem die Lautsprecherstütze fixiert wird $(3\mid20\mid4,8)$.
#ebenengleichung#schnittwinkel#vektoren

Aufgabe 1.2

a)
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme bei zwei Würfen $\boldsymbol{3}$ beträgt
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass insgesamt 2 Mal mit dem Würfel geworfen wird. Du sollst nun die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass die Augensumme der beiden Würfe $3$ beträgt. Zuerst solltest du nun anhand der Abbildung die Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Augenzahlen bestimmen. Die Wahrscheinlichkeiten sind in der nachfolgenden Tabelle eingetragen.
$X$$1$$2$$3$
$P(X)$$\dfrac{3}{6}$$\dfrac{2}{6}$$\dfrac{1}{6}$
Die Augensumme der beiden Würfe kann nur für die zwei nachfolgenden Fälle $3$ betragen:
1. Fall: Du würfelst beim ersten Wurf eine $1$ und beim zweiten Wurf eine $2$
2. Fall: Du würfelst beim ersten Wurf eine $2$ und beim zweiten Wurf eine $1$
Nun kannst du die Wahrscheinlichkeiten für den jeweiligen Fall bestimmen und die Wahrscheinlichkeiten anschließend addieren. Da sich die Wahrscheinlichkeiten bei mehrmaligem Würfeln nicht verändern sind die Wahrscheinlichkeiten für die beiden Fälle identisch. Die Wahrscheinlichkeit einer der beiden Fälle berechnet sich indem du die Wahrscheinlichkeit eine $1$ zu würfeln mit der Wahrscheinlichkeit eine $2$ zu würfeln multiplizierst.
Somit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme $3$ beträgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{Augensumme ist }3) &=&2 \cdot P(X=1) \cdot P(X=2)\\[5pt] &=&2\cdot \dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{2}{6} \\[5pt] &=&\dfrac{2}{6}\\[5pt] \end{array}$
$P(\text{Augensumme ist }3) =\dfrac{2}{6} $
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit, dass mind 4-mal die Augenzahl $\boldsymbol{2}$ erscheint
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass insgesamt 12-mal der Würfel geworfen wird. Der Würfel verändert sich hierbei nicht, weswegen sich auch die Wahrscheinlichkeiten nicht ändern. Der Würfel besitzt die Augenzahlen $1$, $2$ und $3$ mit oben angegebenen Wahrscheinlichkeiten. Deine Aufgabe ist es nun, die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass bei 12-mal würfeln mindestens 4-mal die Augenzahl $2$ geworfen wird.
Willst du hier diese Wahrscheinlichkeit bestimmen, so betrachtest du zunächst die Zufallsvariable $X$. Zufallsvariable $X$ beschreibt die geworfene Augenzahl. Da bei diesem Zufallsversuch nur die Höhe der Augenzahl relevant ist und sich die Wahrscheinlichkeiten nicht ändern, ist die Zufallsvariable $X$ binomialverteilt. Da insgesamt $12$ Mal gewürfelt wird, ist $n = 12$.
Die Wahrscheinlichkeit $p$ kannst du aus der obigen Tabelle ablesen. Da hier die Wahrscheinlichkeit dafür gesucht wird, dass mindestens 4 Mal die Augenzahl $2$ gewürfelt wird, muss für die Zufallsvariable $X$ hier folgendes gelten:
$P(X \geq 4)$.
Diese Wahrscheinlichkeit kannst du mit deinem CAS berechnen. Dazu musst du den binomCdf-Befehl verwenden. Da dieser aber nur Ausdrücke wie $P(X \leq k)$ berechnen kann, musst du hier zunächst wie folgt das Gegenereignis zu $P(X \geq 4)$ bilden:
  • $P(X \geq 4) = 1 - P(X \leq 3)$
Die Wahrscheinlichkeit die Augenzahl $2$ zu würfeln beträgt:
  • $p = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} = 0,33$.
Nun weißt du, dass $n = 12$, $p = \dfrac{1}{3}$ gilt. Wende den binomCdf-Befehl wie in den Schaubildern unten an, um hier die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Greife dazu aber zunächst über
2nd $\to$ DISTR $\to$ B:binomcdf(
2nd $\to$ DISTR $\to$ B:binomcdf(
auf diesen zu.
Abb. 4: Ergebnis
Abb. 4: Ergebnis
Die Wahrscheinlichkeit, mindestens 4-mal die Augenzahl $2$ zu würfeln beträgt also etwa 60,7 %.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit eine $\boldsymbol{3}$ zu würfeln
In dieser Teilaufgabe sollst du bestimmen, wie viele Seiten mindestens mit einer $3$ beschriftet sein müssen, damit man bei 12-mal würfeln mit mindestens $99\%$ Wahrscheinlichkeit mindestens 4-mal die Augenzahl $3$ würfelt. Da der Würfel $6$ Seiten besitzt hast du die Möglichkeit, dass der Würfel mit $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ oder $6$ Seiten mit der Augenzahl $3$ beschriftet ist. Je nach Anzahl der beschrifteten Seiten verändert sich also die Wahrscheinlichkeit, die Augenzahl $3$ zu würfeln. Um nun die passende Wahrscheinlichkeit und damit auch die Anzahl der beschrifteten Seiten herauszufinden, musst du für die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten das Ergebnis überprüfen. Da hierbei wieder $12$ Mal gewürfelt wird ist $n = 12$.
Für das Gegenereignis kannst du nun die Wahrscheinlichkeit wie oben aufstellen:
$P(X \geq 4) = 1 - P(X \leq 3)$
Nun sollst du $P(X \geq 4)$ in Abhängigkeit von $p$ angeben und den Wert für $p$ finden bei dem die Wahrscheinlichkeit größer als $99\%$ ist. Dies kannst du durch Systematisches Probieren mit Hilfe des BinomCdf-Befehl deines CAS bestimmen. Diesen findest du unter
Menü $\rightarrow$ 6: Statistik $\rightarrow$ 5: Verteilungen $\rightarrow$ E: Binomial Cdf.
Menü $\rightarrow$ 6: Statistik $\rightarrow$ 5: Verteilungen $\rightarrow$ E: Binomial Cdf.
Abb. 5: Ergebnisse
Abb. 5: Ergebnisse
Nun kannst du an den Werten ablesen, dass bei $X=0,6667$ $Y=0,9961$ ist. Das bedeutet, dass bei einer Wahrscheinlichkeit von $p=\dfrac{4}{6}$ $P(X \geq 4) = 0,9961$ ist. Somit müssen mindestens $4$ Seiten mit der Augenzahl $3$ beschriftet werden.
b)
$\blacktriangleright$ Entscheidungsregel formulieren
Du sollst hier eine Entscheidungsregel formulieren, das heißt eine Regel dafür formulieren, ob die Behauptung des Spielers, dass der Würfel aus der oberen Aufgabe zu oft die Augenzahl $3$ zeigt. Dabei ist die Nullhypothese vorgegeben. Für die Nullhypothese gilt:
$H_0:p \leq \dfrac{1}{6}$
Es wird also ein rechtsseitiger Hypothesentest auf dem gegebenen Signifikanzniveau $\alpha = 0,01$ durchgeführt.
Wir betrachten hier die Zufallsvariable $X$, die die Höhe der Augenzahl beschreibt. Diese ist binomialverteilt mit den gegeben Parameter $n =100$ und $p = \dfrac{1}{6}$. Da ein linksseitiger Hypothesentest durchgeführt wird, wird die Nullhypothese nur für kleine Werte abgelehnt.
Der Ablehnungsbereich hat daher die Form
$\overline{K} = [k,n]$.
Du musst nun also die Grenze $k$ des Ablehnungsbereichs bestimmen, um sagen zu können, für welche Werte die Nullhypothese verworfen werden kann. Hierfür musst du das Signifikanzniveau nutzen. Dies gibt die Irrtumswahrscheinlichkeit an, also genau die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Nullhypothese gilt und die Stichprobe trotzdem einen Wert aus dem Ablehnungsbereich liefert. Es ist also das kleinste $k$ gesucht, welches gerade noch folgende Ungleichung erfüllt:
$P(X\geq k) \leq 0,01 \Leftrightarrow P(X\leq k-1) \leq 0,99$
Zum Lösen kannst du den BinomCdf-Befehl deines CAS verwenden. Diesen findest du unter
Menü $\rightarrow$ 6: Statistik $\rightarrow$ 5: Verteilungen $\rightarrow$ E: Binomial Cdf.
Menü $\rightarrow$ 6: Statistik $\rightarrow$ 5: Verteilungen $\rightarrow$ E: Binomial Cdf.
Nun kannst du durch Systematisches Probieren mit Hilfe des BinomCdf-Befehl deines CAS bestimmen für welches $k$, die Wahrscheinlichkeit gerade noch kleiner oder gleich $0,99$ ist. Die Werte für die Parameter des BinomCdf-Befehls lauten: $n= 100$ und $p = \dfrac{1}{6}$.
Du findest hierbei folgende Werte: $P(X\leq 26-1)\approx 0,9881$ und $P(X\leq 27-1) \approx 0,9938$
Abb. 6: Ergebnisse
Abb. 6: Ergebnisse
Damit ist das gesuchte $k = 26$ und die Entscheidungsregel lässt sich wie folgt formulieren:
Wird höchstens $26$-mal die Augenzahl $3$ gewürfelt, so wird die Nullhypothese angenommen und die Behauptung des Spielers auf dem Signifikanznieveau $\alpha = 0,01$ ist nicht zutreffend. Wird aber mehr als $26$-mal die Augenzahl $3$ gewürfelt, so wird die Nullhypothese verworfen und die Behauptung des Spielers auf dem Signifikanzniveau $\alpha = 0,01$ stimmt.
#hypothesentest#wahrscheinlichkeit
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