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Analysis Prüfungsteil B

Aufgaben
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Aufgabengruppe 1

Die Abbildung zeigt schematisch die Anschlussstelle Altdorf bei Landshut, die die Autobahn A92 mit der Bundesstraße B299 verbindet. Im eingezeichneten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit 20 m, d.h. die Abbildung stellt einen Bereich dar, der in West–Ost–Richtung eine Länge von 400 m hat.
Im Folgenden soll die Breite der Straßen unberücksichtigt bleiben. Bei Verwendung des eingezeichneten Koordinatensystems kann die A92 im betrachteten Bereich modellhaft durch die Gerade mit der Gleichung $y=0,45x$ beschrieben werden, die B299 durch die Gerade mit der Gleichung $y=-0,5x$.
Analysis Prüfungsteil B
Analysis Prüfungsteil B
a) Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels, unter dem sich die A92 und die B299 kreuzen.
(3P)
Fährt man aus München kommend von der A92 auf die B299 ab, so befährt man die südliche Ausfahrt, die im Modell im Punkt P anfängt und im Punkt Q endet. Der Verlauf dieser Ausfahrt soll im Modell durch eine ganzrationale Funktion s dritten Grades beschrieben werden, deren Graph durch die Punkte P und Q verläuft. Das Modell soll dabei in den Punkten P und Q den Forderungen gerecht werden, dass die Ausfahrt ohne Knick aus der A92 herausführt beziehungsweise senkrecht auf die B299 stößt.
b) Stellen Sie ein Gleichungssystem auf, mit dem sich die Koeffizienten des Funktionsterms von s ermitteln lassen. Geben Sie für jede Gleichung an, welche Forderung an den Straßenverlauf damit berücksichtigt wird.
Im Folgenden soll für die Funktion s der Term
$s(x)=0,01156x^3+0,1771x^2+0,5230x-5,416$
verwendet werden.
(6P)
c) Ein Pkw befährt von der A92 kommend die südliche Ausfahrt. Bestimmen Sie im Modell die Koordinaten des Punkts, in dem die Rechtskurve der Ausfahrt in eine Linkskurve übergeht.
(2P)
d) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion s zwischen den Punkten P und Q in die Abbildung ein. Berücksichtigen Sie insbesondere den Wendepunkt des Graphen und seinen Schnittpunkt mit der y–Achse.
(2P)
e) Untersuchen Sie auf der Grundlage des Modells rechnerisch, ob es auf der südlichen Ausfahrt einen Punkt gibt, in dem die Fahrtrichtung parallel zur B299 ist.
(2P)
f) Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells den Inhalt des Flächenstücks in Quadratmetern, das von der A92, der B299 und der südlichen Ausfahrt eingeschlossen wird.
(6P)
Die Lage eines geplanten Mobilfunk–Sendemasts wird im Modell durch den Punkt $T(6\mid-8)$ beschrieben.
g) Begründen Sie, dass der Term $\sqrt{(x-6)^2+(s(x)+8)^2}$ den Abstand des Punkts T von einem Punkt des Graphen von s angibt.
(3P)
h) Einer der Punkte der südlichen Ausfahrt hat vom Mobilfunk–Sendemast den geringsten Abstand. Berechnen Sie diesen Abstand auf der Grundlage des Modells.
(4P)
i) Ist ein Kurvenstück Graph einer in $[a;b]$ mit $a,b\in\mathbb{R}$ definierten Funktion f, so gilt für die Länge d dieses Kurvenstücks
$d=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^2}\displaystyle\mathrm dx$.
Da die B299 unter der A92 hindurchführt, liegt der Endpunkt der südlichen Ausfahrt in der Realität 4,7 Meter tiefer als ihr Anfangspunkt. Bestimmen Sie mithilfe des Modells das mittlere Gefälle der südlichen Ausfahrt in Prozent.
(5P)
j) Die nördliche Ausfahrt soll im Modell durch eine Funktion t beschrieben werden, deren Graph aus dem Graphen der Funktion s durch Spiegelung am Koordinatenursprung hervorgeht, d. h. durch Spiegelung an der x– und an der y–Achse. Bestimmen Sie den Term von t.
(3P)
k) Ein Pkw fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 120$\frac{\text{km}}{\text{h}}$ auf der A92. Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells die Zeit in Sekunden, die der Pkw auf dem abgebildeten Abschnitt der A92 unterwegs ist.
(4P)

(40P)

Aufgabengruppe 2

Aufgabe 1

Gegeben ist die Schar der Funktionen $f_a:x\mapsto\frac{1}{20}\cdot(a-x)\cdot\sqrt{x}$ mit $a\in\mathbb{R}^+$ und maximalen Definitionsbereich $D$. Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.
a) Geben Sie $D$ sowie die Nullstellen von $f_a$ an.
(2P)
b) Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts $H_a$, in dem $G_a$ eine waagrechte Tangente besitzt. Begründen Sie, dass $H_a$ ein Hochpunkt von $G_a$ ist.
(Ergebnis: $H_a(\frac{a}{3}\mid\dfrac{a\sqrt{3a}}{90})$)
(5P)
c) Geben Sie den maximalen Definitionsbereich der Ableitungsfunktion $f'_a$ von $f_a$ an. Geben Sie $\lim\limits_{x\to 0} f'_{a}(x)$ an und beschreiben Sie die Eigenschaft von $G_a$ , die sich aus diesem Ergebnis folgern lässt.
(3P)
d) Bestimmen Sie denjenigen Wert von a, für den $G_a$ die x–Achse unter einem Winkel der Größe $20^\circ$ schneidet.
(4P)

Aufgabe 2

Nun wird die in $\mathbb{R}^{+}_{0}$ definierte Funktion $g:x\mapsto f_{75} (x)$ betrachtet. Dabei ist $f_{75}$ die zu $a=75$ gehörende Funktion der Schar aus Aufgabe 1, d.h. $g(x)=\frac{1}{20}\cdot(75-x)\cdot\sqrt{x}$. Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_g$ von $g$.
Analysis Prüfungsteil B Abbildung 1
Analysis Prüfungsteil B Abbildung 1
Lässt man den Graphen $G_g$ für $0\leq x\leq75$ um die x–Achse rotieren, so entsteht ein rotationssymmetrischer Körper. Bei Verwendung des eingezeichneten Koordinatensystems, in dem eine Längeneinheit 1 cm entspricht, stellt dieser Körper modellhaft den 75 cm langen Rumpf eines Eselspinguins dar.
a) Der in Abbildung 1 gestrichelt dargestellte Graph $G_h$ gehört zur Funktion h, mithilfe derer sich im Modell die Bauchlinie des Eselspinguins beschreiben lässt. Geben Sie einen Term von h an.
Auf der Grundlage des Modells kann das Volumen des Rumpfs des Eselspinguins (in cm$^3$) mithilfe der Formel $V=\pi\cdot\displaystyle\int_{0}^{75}(g(x))^2\mathrm dx$, die Oberfläche (in cm$^2$) mithilfe der Formel \mbox{$O=2\pi\cdot\displaystyle\int_{0}^{75}g(x)\cdot \sqrt{1+(g'(x))^2}\mathrm dx$} bestimmt werden.
(1P)
b) Ermitteln Sie auf der Grundlage des Modells für den Rumpf des Eselspinguins das Verhältnis der Oberfläche zum Volumen und tragen Sie den zugehörigen Punkt in Abbildung 2 ein.
Analysis Prüfungsteil B Abbildung 2
Analysis Prüfungsteil B Abbildung 2
(Teilergebnisse: Oberfläche: $4.285\,\text{cm}^2$, Volumen: $20.709\,\text{cm}^3$)
(5P)
c) Für den Wärmeverlust eines Pinguinkörpers ist das Verhältnis der Oberfläche zum Volumen von großer Bedeutung. Entscheiden Sie mithilfe des in Aufgabe 2b ermittelten Verhältnisses, ob der Körper des Kaiserpinguins im Vergleich zum Körper des Eselspinguins für kältere oder wärmere Regionen geeignet ist. Machen Sie Ihre Entscheidung plausibel.
(2P)
d) Unter allen Körpern mit einem vorgegebenen Volumen hat die Kugel die geringste Oberfläche. Berechnen Sie das Verhältnis der Oberfläche zum Volumen für eine Kugel, die das gleiche Volumen wie der Körper hat, der den Rumpf des Eselspinguins modellhaft darstellt.
(3P)
e) Die an Land oft unbeholfen watschelnden Pinguine sind aufgrund ihrer strömungsgünstigen Körper äußerst energieeffiziente Schwimmer.
Als Maß für den Strömungswiderstand eines umströmten Körpers verwendet man in der Technik den sogenannten $c_w$–Wert. Das Produkt aus dem $c_w$–Wert und der maximalen Querschnittsfläche A eines Körpers (vgl. Abbildung 1) wird als Widerstandsfläche bezeichnet.
Die Widerstandsfläche des Eselspinguins beträgt 15 cm$^2$ . Ermitteln Sie mithilfe des Modells rechnerisch den $c_w$–Wert des Eselspinguins.
(5P)

Aufgabe 3

Um den Luftwiderstand eines Pkw möglichst gering zu halten, soll die Karosserie dieses Pkw eine Form erhalten, die bei Verwendung des in Abbildung 3 eingezeichneten Koordinatensystems teilweise mithilfe des Graphen $G_s$ der in $\mathbb{R}^{+}_{0}$ definierten Funktion $s:x\mapsto\frac{1}{50}\cdot(300-x)\cdot\sqrt{x}$ modellhaft beschrieben werden kann.
Analysis Prüfungsteil B Abbildung 3
Analysis Prüfungsteil B Abbildung 3
Im Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit 1 cm, d. h. der Pkw ist etwa 5 m lang.
a) Beschreiben Sie, wie der Graph der Funktion s aus dem Graphen der Funktion $f_{300}$ hervorgeht. Dabei ist $f_{300}$ die zu $a=300$ gehörende Funktion der Schar aus Aufgabe 1.
(2P)
b) Im Bereich der Windschutzscheibe soll das Modell um die durch den Punkt $A(-30\mid0)$ verlaufende Tangente an den Graphen von s ergänzt werden (vgl. Abbildung 3). Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung dieser Tangente.
(4P)
c) Die Karosseriestrebe, die sich zwischen den Fenstern der vorderen und hinteren Tür befindet, soll im Modell durch eine im Punkt $(83\mid0)$ beginnende Strecke beschrieben werden, die gegenüber der x–Achse unter einem Winkel der Größe $72^\circ$ geneigt ist und im Punkt $B(x_B\mid y_B)$ auf dem Graphen von s endet (vgl. Abbildung 3). Ermitteln Sie die Länge der Karosseriestrebe.
(Teilergebnis:$x_B\approx 96$)
(4P)

(40P)
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Tipps
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Aufgabengruppe 1

a) $\blacktriangleright$ Winkel zwischen Geraden berechnen
Den Winkel zwischen zwei Geraden berechnest du mit folgender Formel:
$\boldsymbol{\phi = \tan^{-1} \left(\left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1\cdot m_2}\right|\right)}$
Wobei $m_1$ und $m_2$ die jeweilige Steigung der 1. bzw. 2. Gerade ist.
Lese die Steigung der gegebenen Geraden ab.
Berechne dann mit der Formel den Winkel.
b) $\blacktriangleright$ Gleichungssystem für Koeffizienten aufstellen
Du sollst die Ausfahrt durch eine Funktion 3. Grades modellieren und das entsprechende Gleichungssystem angeben. Die allgemeine Form einer Funktion 3. Grades und ihrer Ableitung ist:
$\boldsymbol{s(x) = a\cdot x^3 + b\cdot x^2 + c\cdot x + d}$
$\boldsymbol{s'(x) =3\cdot a\cdot x^2 +2\cdot b\cdot x + c}$
(1) Die Funktion soll durch den Punkt $P(-10\mid -4,5)$ verlaufen: $-4,5=s(-10)$
(2) Die Funktion soll durch den Punkt $Q(3,18\mid -1,59)$ verlaufen: $-1,59=s(3,18)$
(3) Im Punkt $P$ soll der Übergang knickfrei sein, also muss dort die Steigung der Funktion $s$ mit der Steigung der Geraden $y=0,45x$ übereinstimmen: $0,45=s'(-10)$
(4) Im Punkt $Q$ soll die Ausfahrt senkrecht auf die B299 treffen, also muss dort die Steigung der Funktion $s$ dem negativen Kehrwert der Steigung der Geraden $y=-0,5x$ entsprechen: $-0,5=s'(3,18)$
c) $\blacktriangleright$ Wendepunkt bestimmen
Der Punkt, indem sich die Krümmung einer Kurve ändert, ist der Wendepunkt. Für Wendepunkte gelten folgende Bedingungen:
  1. Notwendige Bedingung: $s''(x) = 0$
  2. Hinreichende Bedingung: $s'''(x) \ne 0$
Du kannst dir die Funktion in deinem CAS definieren, die 2. Ableitung berechnen und diese ebenfalls als Funktion speichern. Dann löst du die Gleichung $s''(x) = 0$.
Die Krümmung ändert sich von rechtsgekrümmt zu linksgekrümmt, falls $s''(x) < 0$ vor dem Wendepunkt und $s''(x) > 0$ nach dem Wendepunkt.
d) $\blacktriangleright$ Graphen zeichnen
Du sollst den Graphen von $s$ zeichen und dabei den Wendepunkt des Graphen und seinen Schnittpunkt mit der $y$–Achse beachten.
Den Wendepunkt erhältst du aus Aufgabenteil c). Der Schnittpunkt mit der $y$–Achse erhältst du, indem du $x=0$ in die Funktionsgleichung von $s$ einsetzt.
Zeichne den Wendepunkt und den Schnittpunkt als erstes in dein Koordinatensystem ein. Und nutze den Graphs–Befehl um eine Wertetabelle zu erstellen. Zeichne dann den Graphen.
e) $\blacktriangleright$ Überprüfe parallele Fahrtrichtung
Zwei Funktionen sind parallel, wenn sie die gleiche Steigung haben. Das heißt, du sollst überprüfen, ob die Steigung des Graphen von $s$ in einem Punkt die gleiche Steigung hat wie der Graph von $y=-0,5x$.
f) $\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
Du sollst den Inhalt des Flächenstücks in Quadratmetern, das von der A92, der B299 und der südlichen Ausfahrt eingeschlossen wird, berechnen.
Die Fläche wird durch die $y$–Achse in zwei Flächenstücke geteilt:
Das Flächenstück $A_1$ links der $y$–Achse wird dabei von der A92 und der Ausfahrt eingegrenzt.
Das Flächenstück $A_2$ rechts der $y$–Achse wird dabei von der B299 und der Ausfahrt eingegrenzt.
Bestimme jetzt die Integralgrenzen der beiden Flächenstücke:
Das Flächenstück $A_1$ hat als linke Grenze die $x$–Koordinate des Punkts $P$ $x=-10$ und als rechte Grenze die $y$–Achse $x=0$. Das Flächenstück $A_2$ hat als linke Grenze die $y$–Achse $x=0$ und als rechte Grenze die $x$–Koordinate des Punkts $Q$ $x=3,18$.
Die Ausfahrt, die durch $s$ beschrieben wird, verläuft unterhalb der A92 und der B299. Somit erhältst du die Integranden, wenn du die Funktionsgleichung von $s(x)$ von der Funktionsgleichung der jeweiligen Straße abziehst.
Der gesuchte Flächeninhalt lässt sich also mit folgendem Integral berechnen:
$A = A_1 + A_2 = \left|\displaystyle\int_{-10}^{0} 0,45x - s(x) \mathrm dx + \displaystyle\int_{0}^{3,18} -0,5x - s(x) \mathrm dx\right|$
g) $\blacktriangleright$ Abstand zweier Punkte
Du sollst begründen, dass der Term $\sqrt{(x-6)^2+(s(x)+8)^2}$ den Abstand des Punkts $T$ von einem Punkt des Graphen von s angibt. Allgemein wird der Abstand zwischen zwei Punkten $P_1(x_1\mid y_1)$ und $P_2(x_2\mid y_2)$ berechnet durch:
$\boldsymbol{d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}}$
Überlege dir, welche Form die Punkte auf dem Graphen von $s$ haben.
Setze die Koordinaten von Punkt $T$ und $P$ in die oben angegebene Formel ein.
h) $\blacktriangleright$ Minimalen Abstand berechnen
Du sollst den geringsten Abstand zwischen der südlichen Ausfahrt und dem Sendemast berechnen. Den minimalen Abstand kannst du über das Minimum der Abstandsfunktion berechnen.
Für ein Minimum müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
  1. Notwendige Bedingung: $f'(x) = 0$
  2. Hinreichende Bedingung: $f''(x) > 0$
Gehe also folgendermaßen vor:
  1. Berechne die Extremstellen der Abstandsfunktion aus Aufgabenteil g).
  2. Überprüfe ob es sich um ein Minimum handelt.
  3. Berechne den minimalen Abstand.
i) $\blacktriangleright$ Mittlere Gefälle berechnen
Ist ein Kurvenstück Graph einer in $[a;b]$ mit $a,b\in\mathbb{R}$ definierten Funktion f, so gilt für die Länge d dieses Kurvenstücks $d=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^2}\displaystyle\mathrm dx$.
Das Gefälle in Prozent berechnest du mit folgender Formel:
$\text{Gefälle}=\dfrac{\text{Höhe}}{\text{Länge}}\cdot 100$
Die Höhe beträgt 4,7 m. Die Länge ist gerade die Länge der Ausfahrt und diese berechnest du mit oben angegebener Formel. Die Integralgrenzen sind also die $x$–Koordinaten der Schnittpunkte $P$ und $Q$ der Straßen mit der Ausfahrt.
j) $\blacktriangleright$ Funktion am Koordinatenursprung spiegeln
Eine Funktion wird am Koordinatenursprung gespiegelt, indem man in der Originalgleichung alle $x$ durch $-x$ ersetzt und sich bei allen Funktionswerten das Vorzeichen ändert:
$\boldsymbol{t(x) = -s(-x)}$
k) $\blacktriangleright$ Fahrzeit berechnen
Um die Fahrzeit berechnen zu können benötigst du zuerst die Länge der Strecke, also des Kurvenstücks. Diese kannst du mit der Formel aus i) berechnen.
Da eine Längeneinheit im Koordinatensystem 20 m entsprechen, musst du den berechneten Wert noch umrechnen.
Jetzt kannst du die Zeit berechnen:
$t = \dfrac{\text{Weg}}{\text{Geschwindigkeit}}$

Aufgabengruppe 2

Aufgabe 1

a) $\blacktriangleright$ Definitionsbereich angeben
Der Definitionsbereich wird durch die Wurzelfunktion festgelegt, da in der Wurzel nur positive Wert oder Null stehen dürfen.
$\blacktriangleright$ Nullstellen berechnen
Um die Nullstellen von $f_a$ zu berechnen, löst du folgende Gleichung: $f_a(x) = 0$
Da die Funktion $f_a$ aus einem Produkt besteht, kannst du die Nullstellen über den Satz vom Nullprodukt berechnen.
b) $\blacktriangleright$ Waagrechte Tangente
Den Punkt, in dem der Graph $G_a$ von $f_a$ eine waagrechte Tangente hat, ist gerade der Punkt, indem die Ableitungsfunktion den Funktionswert Null annimmt.
Löse die Gleichung $f'_a(x) = 0$.
Um zu zeigen, dass es sich um einen Hochpunkt handelt, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
  • Notwendige Bedingung: $f_a'(x) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $f_a''(x) < 0$
c) $\blacktriangleright$ Maximalen Definitionsbereich bestimmen
Bei der Ableitung handelt es sich um eine gebrochenrationale Funktion. Der Nenner darf also nicht Null sein, beachte außerdem die Wurzelfunktion.
$\blacktriangleright$ Limes bestimmen
Der Limes ist der Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Du bist also daran interessiert, welchem Wert sich die Funktion für $x \to 0$ annähert. Setze dafür sehr kleine Werte in die Funktionsgleichung von $f_a$ ein oder nutze dein CAS.
d) $\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Um denjenigen Wert von a zu bestimmen, für den $G_a$ die $x$–Achse unter einem Winkel der Größe $20^\circ$ schneidet, berechnest du zuerst die Steigung der Tangente an den Graphen von $f_a$ an der Stelle $x_1 = a$, anschließend berechnest du den gesuchten Wert mit der Formel für den Winkel zwischen zwei Geraden.
1. Schritt: Tangentensteigung bestimmen
2. Schritt: Wert für $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Den Winkel zwischen einer Geraden mit Steigungen $m$ und der $x$–Achse berechnest du mit folgender Formel:
$\boldsymbol{\phi = \tan^{-1} (\mid m \mid)}$
Setze die Steigungen der Tangente, sowie den Winkel von $20^{\circ}$ in die Formel ein und löse diese nach $a$ auf.

Aufgabe 2

a) $\blacktriangleright$ Funktionsgleichung angeben
Der Graph $G_h$ gehört zur Funktion h. Dieser Graph entspricht dem an der $x$–Achse gespiegelten Graph $G_g$. Eine Spiegelung an der $x$–Achse erhältst du durch umkehren der Vorzeichen der Funktionswerte, also $\boldsymbol{-g(x)}$.
b) $\blacktriangleright$ Verhältnis der Oberfläche zum Volumen
Berechne zunächst die Oberfläche und das Volumen mithilfe der in der Aufgabenstellung angegebenen Formel. Anschließend kannst du das gesuchte Verhältnis bestimmen.
c) $\blacktriangleright$ Ergebnis vergleichen und interpretieren
Der Kaiserpinguin hat bei größerer Körpergröße ein geringeres Verhältnis von Oberfläche zu Volumen als der Eselspinguin. Überlege dir, was ein größeres Verhältnis von Oberfläche zu Volumen für die Wärmeabgabe bedeutet. Schließe daraus wer für kältere Gebiete geeigneter ist.
d) $\blacktriangleright$ Verhältnis für Kugel berechnen
Die Kugel soll das gleiche Volumen wie der Körper des Eselspinguins haben. Das Volumen einer Kugel berechnet sich mit folgender Formel:
$\boldsymbol{V = \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3}$
1. Schritt: Radius berechnen
Berechne nun den Radius der Kugel mithilfe der Volumenformel.
2. Schritt: Oberfläche berechnen
Jetzt kannst du die Oberfläche der Kugel mit folgender Formel berechnen:
$\boldsymbol{O =4\cdot \pi \cdot r^2}$
3. Schritt: Verhältnis berechnen
e) $\blacktriangleright$ Maß für Strömungswiderstand berechnen
Du sollst den $c_w$–Wert des Eselspinguins berechnen. Die Widerstandsfläche wird berechnet durch:
Widerstandsfläche $= c_w \cdot A$
Um $c_w$ berechnen zu können, berechnest du zuvor den Wert der maximalen Querschnittsfläche $A$, die Widerstandsfläche hast du gegeben.
1. Schritt: Maximalen Querschnittsfläche berechnen
Die maximalen Querschnittsfläche ist ein Kreis mit dem größten Radius, der noch in den Körper des Pinguins passt. Diesen Radius kannst du mithilfe des Maximums des Modells berechnen. Berechne dafür zunächst die $x$–Koordinate des Maximums des Graphen $G_g$ und setze das Ergebnis anschließend in die Funktion von $g$ ein.
2. Schritt: Maß für Strömungswiderstand berechnen
Mit der oben angegebenen Formel kannst du nun den Strömungswiderstand berechnen.

Aufgabe 3

a) $\blacktriangleright$ Funktionsterm herleiten
Du sollst beschreiben, wie der Funktionsterm von $s$ aus dem von $f_{300}$ hervorgeht. Betrachte dazu die beiden Funktionsgleichungen:
$s(x) = \frac{1}{50}\cdot (300-x)\cdot \sqrt{x}$ und $f_{300} (x) = \frac{1}{20} \cdot (300-x) \cdot \sqrt{x}$
Der Term $(300-x) \cdot \sqrt{x}$ stimmt überein. Der Funktionsterm geht somit durch Multiplikation mit einem Faktor aus der Gleichung von $f_{300}$ hervor. Bestimme diesen Faktor.
b) $\blacktriangleright$ Tangente bestimmen
Die Tangente an der Stelle $b$ kannst du mit der Tangentengleichung berechnen:
$\boldsymbol{t_b(x) = s'(b)\cdot (x-b) + s(b)}$
Du kennst die gesuchte Stelle, an der die Tangente berechnet werden soll, nicht. Doch du kennst den Punkt $A$, durch die diese läuft. Setze also den Punkt in die Tangentengleichung ein und löse die Gleichung nach $b$ auf. Das Ergebnis muss positiv sein, damit es im Definitionsbereich von s liegt.
Du hast nun die Stelle der Tangente berechnet und kannst mit der Tangentengleichung die gesuchte Tangente aufstellen.
c) $\blacktriangleright$ Koordinaten von Punkte B bestimmen
Der angegebene Winkel ist also der Winkel zwischen der $x$–Achse und der Geraden.
Den Winkel zwischen einer Geraden mit Steigungen $m$ und der $x$–Achse berechnest du mit folgender Formel:
$\boldsymbol{\phi = \tan^{-1} \left|m\right|}$
Setze den Winkel von $72^{\circ}$ in die Formel ein und löse diese nach der Steigung $m$ der Geraden auf.
Nutze die positive Steigung für die Gerade, da sonst nicht die Strecke zwischen den Fenstern beschrieben wird. Ermittle dann den $y$–Achsenabschnitt mit dem gegebenen Punkt und stelle die Gerade auf.
Der gesuchte Punkt ist gerade der Schnittpunkt der Geraden mit dem Graphen von $s$.
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Aufgabengruppe 1

a) $\blacktriangleright$ Winkel zwischen Geraden berechnen
Den Winkel zwischen zwei Geraden berechnest du mit folgender Formel:
$\boldsymbol{\phi = \tan^{-1} \left(\left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1\cdot m_2}\right|\right)}$
Wobei $m_1$ und $m_2$ die jeweilige Steigung der 1. bzw. 2. Gerade ist.
Für die Geraden der Aufgabenstellung gilt:
$m_1 = 0,45$ und $m_2 = -0,5$
Berechne also mit der Formel den Winkel:
$\begin{array}{rcll} \phi &=&\tan^{-1}\left( \left|\dfrac{0,45 - (-0,5)}{1 + 0,45 \cdot (-0,5)}\right|\right)&\\ &=&\tan^{-1} \left(\left|\dfrac{0,95}{0,775}\right|\right)& \\ &=&50,8\;^{\circ}& \end{array}$
Der Winkel unter dem sich die A92 und die B299 kreuzen beträgt $\boldsymbol{50,8\;^{\circ}}$.
b) $\blacktriangleright$ Gleichungssystem für Koeffizienten aufstellen
Du sollst die Ausfahrt durch eine Funktion 3. Grades modellieren und das entsprechende Gleichungssystem angeben. Die allgemeine Form einer Funktion 3. Grades und ihrer Ableitung ist:
$\boldsymbol{s(x) = a\cdot x^3 + b\cdot x^2 + c\cdot x + d}$
$\boldsymbol{s'(x) =3\cdot a\cdot x^2 +2\cdot b\cdot x + c}$
(1) Die Funktion soll durch den Punkt $P(-10\mid -4,5)$ verlaufen:
$\begin{array}{rcll} -4,5&=&s(-10)&\\ -4,5&=&a\cdot (-10)^3 + b\cdot (-10)^2 + c\cdot (-10) + d&\\ -4,5&=&-1000\cdot a +100\cdot b -10\cdot c + d& \end{array}$
(2) Die Funktion soll durch den Punkt $Q(3,18\mid -1,59)$ verlaufen:
$\begin{array}{rcll} -1,59&=&s(3,18)&\\ -1,59&=&a\cdot (3,18)^3 + b\cdot (3,18)^2 + c\cdot (3,18) + d&\\ -1,59&=&32,157432\cdot a +10,1124\cdot b + 3,18\cdot c + d& \end{array}$
(3) Im Punkt $P$ soll der Übergang knickfrei sein, also muss dort die Steigung der Funktion $s$ mit der Steigung der Geraden $y=0,45x$ übereinstimmen. Die Steigung der Geraden ist $0,45$.
$\begin{array}{rcll} 0,45&=&s'(-10)&\\ 0,45&=&3\cdot a\cdot (-10)^2 +2\cdot b\cdot (-10) + c&\\ 0,45&=&300 \cdot a -20\cdot b + c& \end{array}$
(4) Im Punkt $Q$ soll die Ausfahrt senkrecht auf die B299 treffen, also muss dort die Steigung der Funktion $s$ dem negativen Kerwert der Steigung der Geraden $y=-0,5x$ entsprechen. Die Steigung der Geraden ist $-0,5$.
$\begin{array}{rcll} -\frac{1}{-0,5}&=&s'(3,18)&\\ 2&=&3\cdot a\cdot (3,18)^2 +2\cdot b\cdot (3,18) + c&\\ 2&=&30,3372 \cdot a +6,36\cdot b + c& \end{array}$
Das Gleichungssystem hat also folgende Form:
$\begin{array}{lrcrcrcrcr} (1)&-4,5&=&-1000\cdot a&+&100\cdot b&-&10\cdot c&+&d\\ (2)&-1,59&=&32,157432\cdot a&+&10,1124\cdot b&+& 3,18\cdot c&+&d\\ (3)&0,45&=&300\cdot a&-&20\cdot b&+&c&&\\ (4)&2&=&30,3372\cdot a&+&6,36\cdot b&+&c&& \end{array}$
c) $\blacktriangleright$ Wendepunkt bestimmen
Der Punkt, indem sich die Krümmung einer Kurve ändert, ist der Wendepunkt. Für Wendepunkte gelten folgende Bedingungen:
  1. Notwendige Bedingung: $s''(x) = 0$
  2. Hinreichende Bedingung: $s'''(x) \ne 0$
Du kannst dir die Funktion in deinem CAS definieren, die 2. Ableitung berechnen und diese ebenfalls als Funktion speichern. Dann löst du die Gleichung $s''(x) = 0$.
Die Krümmung ändert sich von rechtsgekrümmt zu linksgekrümmt, falls $s''(x)<0$ vor dem Wendepunkt und $s''(x)>0$ nach dem Wendepunkt.
Den Befehl für die Ableitung lautet: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung
Analysis Prüfungsteil B
Analysis Prüfungsteil B
Für die $x$–Koordinate des Wendepunkts erhältst du $\boldsymbol{x_W = -5,1}$.
Da $s''(-6)=-0,06<0$ und $s''(-4)=0,08>0$ handelt es sich um einen Übergang von einer Rechtskurve zu einer Linkskurve.
Die $y$–Koordinate erhältst du, indem du den $x$–Wert in die Funktionsgleichung von $s$ einsetzt:
$s(-5,1)=-5$
Die Koordinaten des Wendepunkts sind $\boldsymbol{W(-5,1\mid -5)}$.
d) $\blacktriangleright$ Graphen zeichnen
Du sollst den Graphen von $s$ zeichen und dabei den Wendepunkt des Graphen und seinen Schnittpunkt mit der $y$–Achse beachten.
Den Wendepunkt erhältst du aus Aufgabenteil c). Der Schnittpunkt mit der $y$–Achse erhältst du, indem du $x=0$ in die Funktionsgleichung von $s$ einsetzt:
$s(0) = -5,416$
Zeichne den Wendepunkt und den Schnittpunkt als erstes in dein Koordinatensystem ein. Und nutze den Graphs–Befehl um eine Wertetabelle zu erstellen. Zeichne dann den Graphen.
Analysis Prüfungsteil B
Analysis Prüfungsteil B
Analysis Prüfungsteil B
Analysis Prüfungsteil B
e) $\blacktriangleright$ Überprüfe parallele Fahrtrichtung
Zwei Funktionen sind parallel, wenn sie die gleiche Steigung haben. Das heißt, du sollst überprüfen, ob die Steigung des Graphen von $s$ in einem Punkt die gleiche Steigung hat wie der Graph von $y=-0,5x$.
Definiere dir die Funktion $s$ in deinem CAS, berechne die erste Ableitung und speichere diese auch als Funktion. Löse dann folgende Gleichung:
$s'(x) = -0,5$
Die Ableitung erhältst du mit: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung
Analysis Prüfungsteil B
Analysis Prüfungsteil B
Die Gleichung hat keine Lösung. Das heißt es gibt keinen Punkt, indem die Fahrtrichtung parallel zur B299 ist.
f) $\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
Du sollst den Inhalt des Flächenstücks in Quadratmetern, das von der A92, der B299 und der südlichen Ausfahrt eingeschlossen wird, berechnen.
Die Fläche wird durch die $y$–Achse in zwei Flächenstücke geteilt:
Das Flächenstück $A_1$ links der $y$–Achse wird dabei von der A92 und der Ausfahrt eingegrenzt.
Das Flächenstück $A_2$ rechts der $y$–Achse wird dabei von der B299 und der Ausfahrt eingegrenzt.
Bestimme jetzt die Integralgrenzen der beiden Flächenstücke:
Das Flächenstück $A_1$ hat als linke Grenze die $x$–Koordinate des Punkts $P$ $x=-10$ und als rechte Grenze die $y$–Achse $x=0$. Das Flächenstück $A_2$ hat als linke Grenze die $y$–Achse $x=0$ und als rechte Grenze die $x$–Koordinate des Punkts $Q$ $x=3,18$.
Die Ausfahrt, die durch $s$ beschrieben wird, verläuft unterhalb der A92 und der B299. Somit erhältst du die Integranden, wenn du die Funktionsgleichung von $s(x)$ von der Funktionsgleichung der jeweiligen Straße abziehst.
Der gesuchte Flächeninhalt lässt sich also mit folgendem Integral berechnen:
$A = A_1 + A_2 = \left|\displaystyle\int_{-10}^{0} 0,45x - s(x) \mathrm dx + \displaystyle\int_{0}^{3,18} -0,5x - s(x) \mathrm dx\right|$
Das Integral erhältst du mit folgendem Befehl: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral
Analysis Prüfungsteil B
Analysis Prüfungsteil B
Für den Flächeninhalt erhältst du somit:
$A = 27,68 + 9,86 = 37,54$
Da eine Längeneinheit im Koordinatensystem je 20 m entsprechen, musst du den berechneten Flächeninhalt noch mit $20^2$ multiplizieren: $37,54 \cdot 20^2 = 15.016$.
Der Inhalt des Flächenstücks, das von der A92, der B299 und der südlichen Ausfahrt eingeschlossen wird, beträgt $\boldsymbol{15.016\;m}^2$.
g) $\blacktriangleright$ Abstand zweier Punkte
Du sollst begründen, dass der Term $\sqrt{(x-6)^2+(s(x)+8)^2}$ den Abstand des Punkts $T$ von einem Punkt des Graphen von s angibt. Allgemein wird der Abstand zwischen zwei Punkten $P_1(x_1\mid y_1)$ und $P_2(x_2\mid y_2)$ berechnet durch:
$\boldsymbol{d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}}$
Die Punkte auf dem Graphen von $s$ haben die Form $P(x\mid s(x))$.
Setze also die Koordinaten von Punkt $T$ und $P$ in die oben angegebene Formel ein:
$d = \sqrt{(x-6)^2 + (s(x) - (-8))^2} = \sqrt{(x-6)^2 + (s(x) +8)^2}$.
Der Term gibt also den Abstand des Punkts $T$ von einem Punkt auf dem Graphen von $s$ an.
h) $\blacktriangleright$ Minimalen Abstand berechnen
Du sollst den geringsten Abstand zwischen der südlichen Ausfahrt und dem Sendemast berechnen. Den minimalen Abstand kannst du über das Minimum der Abstandsfunktion berechnen.
Für ein Minimum müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
  1. Notwendige Bedingung: $f'(x) = 0$
  2. Hinreichende Bedingung: $f''(x) > 0$
Gehe also folgendermaßen vor:
  1. Berechne die Extremstellen der Abstandsfunktion aus Aufgabenteil g).
  2. Überprüfe ob es sich um ein Minimum handelt.
  3. Berechne den minimalen Abstand.
1. Schritt: Extremstelle berechnen
Definiere dafür die Funktion $s$ und die Abstandsfunktion in deinem CAS. Berechne dann mit folgendem Befehl die Ableitung und löse die Gleichung $d'(x) = 0$.
menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung
Analysis Prüfungsteil B
Analysis Prüfungsteil B
2. Schritt: Überprüfe ob es sich um ein Minimum handelt
Jetzt musst du überprüfen, ob es sich bei der errechneten Extremstelle um ein Minimum handelt. Berechne dafür die 2. Ableitung von $d$ und setze die Extremstelle ein.
Analysis Prüfungsteil B
Analysis Prüfungsteil B
Dieser Wert ist positiv, somit ist die hinreichende Bedingung erfüllt und es handelt sich um ein Minimum.
3. Schritt: Minimalen Abstand berechnen
Du hast im 1. Schritt die $x$–Koordinate des minimalen Abstands errechnet. Setzt du diesen Wert in die Abstandsfunktion ein, erhältst du den minimalen Abstand.
Analysis Prüfungsteil B
Analysis Prüfungsteil B
Da eine Längeneinheit im Koordinatensystem 20\;m entsprechen, musst du den berechneten Wert noch mit 20 multiplizieren: $5,89 \cdot 20 = 117,8$. Der minimale Abstand beträgt $\boldsymbol{117,8 m}$.
i) $\blacktriangleright$ Mittlere Gefälle berechnen
Ist ein Kurvenstück Graph einer in $[a;b]$ mit $a,b\in\mathbb{R}$ definierten Funktion f, so gilt für die Länge d dieses Kurvenstücks $d=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^2}\displaystyle\mathrm dx$.
Das Gefälle in Prozent berechnest du mit folgender Formel:
$\text{Gefälle}=\dfrac{\text{Höhe}}{\text{Länge}}\cdot 100$
Die Höhe beträgt 4,7 m. Die Länge ist gerade die Länge der Ausfahrt und diese berechnest du mit oben angegebener Formel. Die Integralgrenzen sind also die $x$–Koordinaten der Schnittpunkte $P$ und $Q$ der Straßen mit der Ausfahrt.
Das Integral berechnest du mit dem Befehl: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral
Analysis Prüfungsteil B
Analysis Prüfungsteil B
Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 20 m, deshalb musst du den berechneten Wert noch mit 20 multiplizieren: $15,42 \cdot 20 = 308,4\;$m.
Für das mittlere Gefälle gilt dann:
Gefälle $= \frac{4,7}{308,4}\cdot 100 = 1,5$
Das Gefälle der Ausfahrt ist somit $\boldsymbol{1,5\%}$.
j) $\blacktriangleright$ Funktion am Koordinatenursprung spiegeln
Eine Funktion wird am Koordinatenursprung gespiegelt, indem man in der Originalgleichung alle $x$ durch $-x$ ersetzt und sich bei allen Funktionswerten das Vorzeichen ändert:
$\boldsymbol{t(x) = -s(-x)}$
Für den Term von $t$ gilt also:
$\begin{array}{rcll} t(x)&=&-s(-x)&\\ &=&-\left(0,01156\cdot (-x)^3 + 0,1771\cdot (-x)^2 + 0,5230\cdot (-x) - 5,416\right)&\\ &=&-\left(-0,01156x^3 + 0,1771 x^2 - 0,5230\cdot x - 5,416\right)&\\ &=&0,01156x^3 - 0,1771 x^2 + 0,5230\cdot x + 5,416& \end{array}$
k) $\blacktriangleright$ Fahrzeit berechnen
Du sollst die Zeit in Sekunden, die der Pkw auf dem abgebildeten Abschnitt der A92 unterwegs ist, bestimmen.
Um die Fahrzeit berechnen zu können benötigst du zuerst die Länge der Strecke, also des Kurvenstücks. Diese kannst du mit der Formel aus i) berechnen. Die Integralgrenzen kannst du Abbildung entnehmen, diese sind $x_1 = -11$ und $x_2=9$.
Das Integral berechnest du mit dem Befehl: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral
Analysis Prüfungsteil B
Analysis Prüfungsteil B
Da eine Längeneinheit im Koordinatensystem 20 m entsprechen, musst du den berechneten Wert noch mit 20 multiplizieren.
Die Strecke ist also $439\;\text{m}= 0,439\;\text{km}$ lang.
Jetzt kannst du die Zeit berechnen:
$t = \dfrac{0,439\text{km}}{120\frac{\text{km}}{\text{h}}} = 0,03\;\text{h} = 13\; \text{sek}$
Der Pkw ist 13 Sekunden auf dem abgebildeten Abschnitt unterwegs.

Aufgabengruppe 2

Aufgabe 1

a) $\blacktriangleright$ Definitionsbereich angeben
Der Definitionsbereich wird durch die Wurzelfunktion festgelegt, da in der Wurzel nur positive Wert oder Null stehen dürfen. Es gilt also:
$x \geq 0$.
Der maximale Definitionsbereich ist dann gegeben durch
$\boldsymbol{D=\mathbb{R}_{\geq 0} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0\}}$
.
$\blacktriangleright$ Nullstellen berechnen
Um die Nullstellen von $f_a$ zu berechnen, löst du folgende Gleichung: $f_a(x) = 0$
$\begin{array}{rcll} f_a(x)&=&0& \\ \frac{1}{20} \cdot (a-x) \cdot \sqrt{x}&=&0& \end{array}$
Da die Funktion $f_a$ aus einem Produkt besteht, kannst du die Nullstellen über den Satz vom Nullprodukt berechnen:
$\begin{array}{rcll} (a-x)&=&0&\scriptsize{ \mid\; +x}\\ x_1 &=& a & \end{array}$
$\begin{array}{rcll} (a-x)&=&0&\\ x_1 &=& a & \end{array}$
oder
$\begin{array}{rcll} \sqrt{x}&=&0&\scriptsize{ \mid\; ( )^2} \\ x_2&=&0& \end{array}$
$\begin{array}{rcll} \sqrt{x}&=&0&\\ x_2&=&0& \end{array}$
Die Nullstellen sind somit $\boldsymbol{x_1 = a}$ und $\boldsymbol{x_2=0}$.
b) $\blacktriangleright$ Waagrechte Tangente
Den Punkt, in dem der Graph $G_a$ von $f_a$ eine waagrechte Tangente hat, ist gerade der Punkt, indem die Ableitungsfunktion den Funktionswert Null annimmt.
Definiere dir also die Funktion im CAS und löse die Gleichung $f'_a(x) = 0$.
menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung
Analysis Prüfungsteil B
Analysis Prüfungsteil B
Den $y$–Wert des Extrempunktes erhältst du durch Einsetzen in die Funktionsgleichung von $f_a$.
$f_a\left(\frac{a}{3}\right)=\dfrac{a^{\frac{3}{2}}\cdot \sqrt{3}}{90} = \dfrac{a\cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{3}}{90} = \dfrac{a\cdot \sqrt{3a}}{90}$
Die Koordinaten des Punktes sind $\boldsymbol{H_a(\frac{a}{3}\mid \frac{a^{3/2}\sqrt{3}}{90})}$.
Um zu zeigen, dass es sich um einen Hochpunkt handelt, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
  • Notwendige Bedingung: $f_a'(x) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $f_a''(x) < 0$
Die notwendige Bedingung ist erfüllt, das hast du bereits berechnet. Um die hinreichende Bedingung zu überprüfen, setzt du den $x$–Wert des Punktes $H_a$ in die 2. Ableitung ein:
Analysis Prüfungsteil B
Analysis Prüfungsteil B
Da die 2. Ableitung negativ ist für $\frac{a}{3}$, handelt es sich um einen Hochpunkt.
c) $\blacktriangleright$ Maximalen Definitionsbereich bestimmen
Du sollst den maximalen Definitionsbereich der Ableitungsfunktion bestimmen. Die Ableitungsfunktion erhältst du mit folgenden Befehl: menu: $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung
Analysis Prüfungsteil B
Analysis Prüfungsteil B
Die Ableitungsfunktion lautet somit: $f'(x) = \frac{-(3x-a)}{40\sqrt{x}}$
Es handelt sich um eine gebrochenrationale Funktion. Der Nenner darf also nicht Null sein. Überprüfe, für welche Werte das der Fall wäre und schließe diese Werte aus der Definitionsmenge aus:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 40\sqrt{x}&=&0&\scriptsize{ \mid\; :40}\\ \sqrt{x}&=&0&\scriptsize{ \mid\; ( )^2}\\ x&=&0& \end{array}$
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 40\sqrt{x}&=&0&\scriptsize{ \mid\; :40}\\ \sqrt{x}&=&0&\scriptsize{ \mid\; ( )^2}\\ x&=&0& \end{array}$
Da es sich um die Wurzelfunktion handelt, darf $x$ nicht negativ sein.
Es gilt für den maximalen Definitionsbereich der Ableitungsfunktion $f`_a$ somit
$\boldsymbol{D_{f'_a}=\mathbb{R}_{>0} = \{x\in \mathbb{R} \mid x > 0\}}$
.
$\blacktriangleright$ Limes bestimmen
Der Limes ist der Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Du bist also daran interessiert, welchem Wert sich die Funktion für $x \to 0$ annähert. Setze dafür sehr kleine Werte in die Funktionsgleichung von $f_a$ ein:
$\begin{array}{rcll} f_a(0,01)&=&0,005 \cdot (a-0,01)& \\ f_a(0,001)&=&0,001581 \cdot (a-0,001)& \end{array}$
Alternativ
Du kannst auch dein CAS nutzen:
menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 4: Limes
Analysis Prüfungsteil B
Analysis Prüfungsteil B
Der Limes ist somit gegeben durch $\boldsymbol{\lim\limits_{x\to 0}f_a(x) = 0}$. Der Limes ist unabhängig von $a$, das bedeutet, dass alle Funktionen der Schar $f_a$ den gleichen Limes für $x \to 0$ haben. Alle Graphen $G_a$ nähern sich der $x$–Achse für $x \to 0$ an.
d) $\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Um denjenigen Wert von a zu bestimmen, für den $G_a$ die $x$–Achse unter einem Winkel der Größe $20^\circ$ schneidet, berechnest du zuerst die Steigung der Tangente an den Graphen von $f_a$ an der Stelle $x_1 = a$, anschließend berechnest du den gesuchten Wert mit der Formel für den Winkel zwischen zwei Geraden.
1. Schritt: Tangentensteigung bestimmen
Die Steigung der Tangenten in $x_1 = a$ berechnest du mit dem CAS:
menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung
Analysis Prüfungsteil B
Analysis Prüfungsteil B
Die Tangentensteigung ist gegeben durch
$\boldsymbol{m = -\frac{\sqrt{a}}{20}}$
.
2. Wert für $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Den Winkel zwischen einer Geraden mit Steigungen $m$ und der $x$–Achse berechnest du mit folgender Formel:
$\boldsymbol{\phi = \tan^{-1} (\mid m \mid)}$
Setze die Steigungen der Tangente, sowie den Winkel von $20^{\circ}$ in die Formel ein und löse diese nach $a$ auf.
$\begin{array}{rcll} 20^{\circ}&=&\tan^{-1} \left|-\frac{\sqrt{a}}{20}\right|&\scriptsize{ \mid\; \tan()}\\ \tan(20^{\circ})&=&\left|-\frac{\sqrt{a}}{20}\right|&\scriptsize{ \mid\; \cdot 20}\\ 7,28 &=& \sqrt{a} & \scriptsize{ \mid\; ()^2}\\ a &=& 52,99 & \end{array}$
$\begin{array}{rcll} 20^{\circ}&=&\tan^{-1} \left|-\frac{\sqrt{a}}{20}\right|&\\ \tan(20^{\circ})&=&\left|-\frac{\sqrt{a}}{20}\right|&\\ 7,28 &=& \sqrt{a} &\\ a &=& 52,99 & \end{array}$
Der Wert für $a$, für den $G_a$ die $x$–Achse unter einem Winkel der Größe $20^\circ$ schneidet, ist $\boldsymbol{a=52,99}$.

Aufgabe 2

a) $\blacktriangleright$ Funktionsgleichung angeben
Der Graph $G_h$ gehört zur Funktion h. Dieser Graph entspricht dem an der $x$–Achse gespiegelten Graph $G_g$. Eine Spiegelung an der $x$–Achse erhältst du durch umkehren der Vorzeichen der Funktionswerte, also $\boldsymbol{-g(x)}$.
Die Gleichung der Funktion $h$ ist also gegeben durch:
$\boldsymbol{h(x) = -g(x) = -\frac{1}{20} (75-a) \cdot \sqrt{x}}$
.
b) $\blacktriangleright$ Verhältnis der Oberfläche zum Volumen
Berechne zunächst die Oberfläche und das Volumen, dann kannst du das gesuchte Verhältnis bestimmen.
1. Schritt: Oberfläche berechnen
Die Oberfläche kannst du mithilfe der in der Aufgabenstellung angegebenen Formel berechnen:
$O = 2\pi \displaystyle\int_{0}^{75} g(x) \sqrt{1 + (g'(x))^2}\mathrm dx$
menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral
Analysis Prüfungsteil B
Analysis Prüfungsteil B
Die Oberfläche beträgt $\boldsymbol{4.285\,cm^2}$.
2. Schritt: Volumen berechnen
Das Volumen kannst du mithilfe der in der Aufgabenstellung angegebenen Formel berechnen:
$V = \pi \displaystyle\int_{0}^{75} (g'(x))^2\mathrm dx$
menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral
Analysis Prüfungsteil B
Analysis Prüfungsteil B
Das Volumen beträgt $\boldsymbol{20.709\,cm^3}$.
3. Schritt: Verhältnis bestimmen
Berechne nun das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen:
$\dfrac{O}{V} = \dfrac{4.285}{20.709} = 0,207$
Zeichne dieses Verhältnis gegen die Körpergröße von $75\;$cm ein.
Analysis Prüfungsteil B
Analysis Prüfungsteil B
c) $\blacktriangleright$ Ergebnis vergleichen und interpretieren
Der Kaiserpinguin hat bei größerer Körpergröße ein geringeres Verhältnis von Oberfläche zu Volumen als der Eselspinguin. Ein größeres Verhältnis von Oberfläche zu Volumen bedeutet auch eine größere Abgabe von Wärme. Der Kaiserpinguin gibt im Verhältnis zur Körpergröße also weniger Wärme ab als der Eselspinguin. Der Körper des Kaiserpinguins ist somit besser geeignet für kältere Gebiete als der des Eselspinguins.
d) $\blacktriangleright$ Verhältnis für Kugel berechnen
Die Kugel soll das gleiche Volumen wie der Körper des Eselspinguins haben. Das Volumen einer Kugel berechnet sich mit folgender Formel:
$\boldsymbol{V = \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3}$
1. Schritt: Radius berechnen
Berechne nun den Radius der Kugel:
$\begin{array}{rcll} 20709\; \text{m}^3&=&\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3&\scriptsize{ \mid\;:\frac{4}{3} }\\ 15531,75\; \text{m}^3&=&\pi \cdot r^3&\scriptsize{ \mid\;:\pi }\\ 4943,9 \; \text{m}^3&=& r^3&\scriptsize{ \mid\;\sqrt[3]{ } }\\ r &=& 17\;\text{m}& \end{array}$
$\begin{array}{rcll} 20709\; \text{m}^3&=&\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3&\\ 15531,75\; \text{m}^3&=&\pi \cdot r^3&\\ 4943,9 \; \text{m}^3&=& r^3&\\ r &=& 17\;\text{m}& \end{array}$
Der Radius der Kugel beträgt $\boldsymbol{r=17\;\textbf{m}} $.
2. Schritt: Oberfläche berechnen
Jetzt kannst du die Oberfläche der Kugel mit folgender Formel berechnen:
$\boldsymbol{O =4\cdot \pi \cdot r^2}$
Für die Oberfläche der Kugel ergibt sich dann:
$O = 4 \cdot \pi\cdot 17^2 = 3.631,7$
Die Oberfläche beträgt $\boldsymbol{3.632\;\textbf{m}^2}$.
3. Schritt: Verhältnis berechnen
Das gesuchte Verhältnis kann jetzt berechnet werden:
$\dfrac{V}{O} = \dfrac{3.632}{20.709} = 0,18$
Das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen der Kugel beträgt $\boldsymbol{0,18}$.
e) $\blacktriangleright$ Maß für Strömungswiderstand berechnen
Du sollst den $c_w$–Wert des Eselspinguins berechnen. Die Widerstandsfläche wird berechnet durch:
Widerstandsfläche $= c_w \cdot A$
Um $c_w$ berechnen zu können, berechnest du zuvor den Wert der maximalen Querschnittsfläche $A$, die Widerstandsfläche hast du gegeben.
1. Schritt: Maximalen Querschnittsfläche berechnen
Die maximalen Querschnittsfläche ist ein Kreis mit dem größten Radius, der noch in den Körper des Pinguins passt. Diesen Radius kannst du mithilfe des Maximums des Modells berechnen. Berechne dafür zunächst die $x$–Koordinate des Maximums des Graphen $G_g$.
Für ein Maximum müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
  • Notwendige Bedingung: $g'(x)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $g''(x) < 0$
Notwendige Bedingung
menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung
Analysis Prüfungsteil B
Analysis Prüfungsteil B
Hinreichende Bedingung
menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung
Analysis Prüfungsteil B
Analysis Prüfungsteil B
Da $g''(25)=-\frac{3}{200} < 0$ handelt es sich um ein Maximum.
Setzte die $x$–Koordinate des Maximums in die Funktionsgleichungvon $g$ ein, um den Radius zu berechnen:
$g(25) = \frac{1}{20}\cdot (75-25) \cdot \sqrt{25} = \frac{1}{20}\cdot 50 \cdot 5 = 12,5$
Der Radius ist 12,5 cm. Die maximalen Querschnittsfläche ist also der Kreis mit Radius 12,5 m:
$A = \pi \cdot 12,5^2 = 490,9\;\text{cm}^2$
2. Schritt: Maß für Strömungswiderstand berechnen
Mit der oben angegebenen Formel kannst du nun den Strömungswiderstand berechnen:
$\begin{array}{rcll} \text{Widerstandsfläche}&=&c_w \cdot A&\scriptsize{ \mid\; :A}\\ \dfrac{\text{Widerstandsfläche}}{A}&=&c_w&\\ c_w &=& \dfrac{15}{490,9}&\\ c_w &=& 0,03& \end{array}$
$\begin{array}{rcll} \text{Widerstandsfläche}&=&c_w \cdot A&\\ \dfrac{\text{Widerstandsfläche}}{A}&=&c_w&\\ c_w &=& \dfrac{15}{490,9}&\\ c_w &=& 0,03& \end{array}$
Das Maß für den Strömungswiderstand des Eselspinguins beträgt $\boldsymbol{c_w = 0,03}$.

Aufgabe 3

a) $\blacktriangleright$ Funktionsterm herleiten
Du sollst beschreiben, wie der Funktionsterm von $s$ aus dem von $f_{300}$ hervorgeht. Betrachte dazu die beiden Funktionsgleichungen:
$s(x) = \frac{1}{50}\cdot (300-x)\cdot \sqrt{x}$ und $f_{300} (x) = \frac{1}{20} \cdot (300-x) \cdot \sqrt{x}$
Der Term $(300-x) \cdot \sqrt{x}$ stimmt überein. Der Funktionsterm geht somit durch Multiplikation mit einem Faktor aus der Gleichung von $f_{300}$ hervor. Um diesen Faktor zu bestimmen, löse folgende Gleichung:
$\begin{array}{rcll} b\cdot \frac{1}{20}&=&\frac{1}{50}&\scriptsize{ \mid\; \cdot 20}\\ b &=& \frac{20}{50} = \frac{2}{5}& \end{array}$
$\begin{array}{rcll} b\cdot \frac{1}{20}&=&\frac{1}{50}&\\ b &=& \frac{20}{50} = \frac{2}{5}& \end{array}$
Der Graph der Funktion $s$ geht aus dem Graphen der Funktion $f_{300}$ durch Multiplikation mit dem Faktor 0,4 hervor.
b) $\blacktriangleright$ Tangente bestimmen
Die Tangente an der Stelle $b$ kannst du mit der Tangentengleichung berechnen:
$\boldsymbol{t_b(x) = s'(b)\cdot (x-b) + s(b)}$
Du kennst die gesuchte Stelle, an der die Tangente berechnet werden soll, nicht. Doch du kennst den Punkt $A$, durch die diese läuft. Setze also den Punkt in die Tangentengleichung ein und löse die Gleichung nach $b$ auf.
Analysis Prüfungsteil B
Analysis Prüfungsteil B
Da $b \in \mathbb{R}_0^+$ interessiert dich nur das positive Ergebnis.
Du hast nun die Stelle der Tangente berechnet und kannst durch Einsetzen in die Tangentengleichung die gesuchte Tangente aufstellen:
$t_{21,85}(x) = s'(21,85) \cdot (x-21,85) + s(21,85) = 0,5 \cdot (x-21,85) + 26 = 0,5x+15,07$
Die Tangentengleichung lautet $\boldsymbol{t_{21,85}(x) = 0,5x+15,07}$.
c) $\blacktriangleright$ Koordinaten von Punkte B bestimmen
Der angegebene Winkel ist also der Winkel zwischen der $x$–Achse und der Geraden.
Den Winkel zwischen einer Geraden mit Steigungen $m$ und der $x$–Achse berechnest du mit folgender Formel:
$\boldsymbol{\phi = \tan^{-1} \left|m\right|}$
Setze den Winkel von $72^{\circ}$ in die Formel ein und löse diese nach der Steigung $m$ der Geraden auf.
$\begin{array}{rcll} 72^{\circ}&=&\tan^{-1} \left|m\right|&\scriptsize{ \mid\; \tan()}\\ \tan(72^{\circ})&=&\left|m\right|&\\ 3,08 &=& \left|m\right| & \\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} 72^{\circ}&=&\tan^{-1} \left|m\right|&\\ \tan(72^{\circ})&=&\left|m\right|&\\ 3,08 &=& \left|m\right| & \\ \end{array}$
Nutze die positive Steigung für die Gerade, da sonst nicht die Strecke zwischen den Fenstern beschrieben wird. Ermittle dann den $y$–Achsenabschnitt mit dem gegebenen Punkt:
$\begin{array}{rcll} 0&=&3,08 \cdot 83 + b&\\ 0&=&255,64 + b&\scriptsize{ \mid\; -255,64}\\ b&=&-255,64& \end{array}$
$\begin{array}{rcll} 0&=&3,08 \cdot 83 + b&\\ 0=&255,64 + b&\\ b&=&-255,64& \end{array}$
Die Strecke wird also durch die Gerade $y=3,08x-255,64$ beschrieben.
Der gesuchte Punkt ist gerade der Schnittpunkt der Geraden mit dem Graphen von $s$:
$\begin{array}{rcll} 3,08x-255,64&=&s(x)& \\ 3,08x-255,64&=&\frac{1}{50}\cdot (300-x)\cdot \sqrt{x}& \end{array}$
Löse diese Gleichung mit dem CAS.
Analysis Prüfungsteil B
Analysis Prüfungsteil B
Für die $x$–Koordinate des Punktes gilt $\boldsymbol{x_B \approx 96}$.
Die $y$–Koordinate bekommst du durch Einsetzen in die Funktionsgleichung von $s$:
$s(96) = 40$
Der Punkt hat die Koordinaten $\boldsymbol{B(96 \mid 40)}$.
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