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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur (WTR)
Abi 2019
Analysis
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Stochastik
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Geometrie
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Abi 2018
Analysis
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Stochastik
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Analysis
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Stochastik
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Aufgabengruppe I
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Abi 2016
Analysis
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Stochastik
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Geometrie
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Abi 2015
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Abi 2014
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Abi 2013
Analysis Aufgabengrup...
Analysis Aufgabengrup...
Stochastik Aufgabengr...
Stochastik Aufgabengr...
Geometrie Aufgabengru...
Geometrie Aufgabengru...
Abi 2012
Analysis Aufgabengrup...
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Stochastik Aufgabengr...
Stochastik Aufgabengr...
Geometrie Aufgabengru...
Geometrie Aufgabengru...
Musterabi
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Abi 2011
Analysis Aufgabengrup...
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Stochastik Aufgabengr...
Stochastik Aufgabengr...
Geometrie Aufgabengru...
Geometrie Aufgabengru...
LV-Abi 1
Analysis Prüfungsteil...
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Geometrie Prüfungstei...
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Stochastik Prüfungste...
Stochastik Prüfungste...
LV-Abi 2
Analysis Prüfungsteil...
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Stochastik Prüfungste...
Stochastik Prüfungste...
LV-Abi 3
Analysis Prüfungsteil...
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Stochastik Prüfungste...
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Analysis Prüfungsteil A

Aufgaben
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Aufgabengruppe 1

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion $f:x\mapsto \frac{x}{\text{ln}x}$ mit Definitionsmenge $\mathbb{R}^+\setminus\{1\}.$ Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunktes des Graphen von $f$.
(5P)

Aufgabe 2

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=\mathrm{e}^x\cdot \left(2x+x^2\right)$.
a) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f.
(2P)
b) Zeigen Sie, dass die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $F$ mit $F(x)=x^2\cdot \mathrm{e}^x$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Geben Sie eine Gleichung einer weiteren Stammfunktion $G$ von $f$ an, für die $G(1)=2\mathrm{e}$ gilt.
(3P)

Aufgabe 3

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $g_{a,c}:x\mapsto\mathrm{sin}(ax)+c$ mit $a,c\in \mathbb{R}^+_0$.
a) Geben Sie für jede der beiden folgenden Eigenschaften einen möglichen Wert für $a$ und einen möglichen Wert für $c$ so an, dass die zugehörige Funktion $g_{a,c}$ diese Eigenschaft besitzt.
$\alpha)$ Die Funktion $g_{a,c}$ hat die Wertemenge [0;2].
$\beta)$ Die Funktion $g_{a,c}$ hat im Intervall $[0;\pi]$ genau drei Nullstellen.
(3P)
b) Ermitteln Sie in Abhängigkeit von $a$, welche Werte die Ableitung von $g_{a,c}$ annehmen kann.
(2P)

Aufgabe 4

Analysis Prüfungsteil A
Analysis Prüfungsteil A
Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion $f$.
a) Beschreiben Sie für $a\leq x\leq b$ den Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von $f$.
(2P)
b) Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen einer Stammfunktion von $f$ im gesamten dargestellten Bereich.
(3P)

(20P)

Aufgabengruppe 2

Aufgabe 1

Geben Sie jeweils den Term einer in $\mathbb{R}$ definierten periodischen Funktion an, die die angegebene Eigenschaft hat.
a) Der Graph der Funktion $g$ geht aus dem Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $x\mapsto \text{sin}x$ durch Spiegelung an der $y$-Achse hervor.
(1P)
b) Die Funktion $h$ hat den Wertebereich [1;3].
(1P)
c) Die Funktion $k$ besitzt die Periode $\pi$.
(1P)

Aufgabe 2

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=\mathrm{e}^x\cdot\left(2x+x^2\right)$.
a) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion $f$.
(2P)
b) Zeigen Sie, dass die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $F$ mit $F(x)=x^2\cdot \mathrm{e}^x$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Geben Sie eine Gleichung einer weiteren Stammfunktion $G$ von $f$ an, für die $G(1)=2\mathrm{e}$ gilt.
(3P)

Aufgabe 3

Der Graph einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g:x \mapsto g(x)$ besitzt für $-5\leq x\leq 5$ zwei Wendepunkte. Entscheiden Sie, welcher der Graphen Ⅰ, Ⅱ und Ⅲ zur zweiten Ableitungsfunktion $g''$ von $g$ gehört. Begründen Sie Ihre Entscheidung.
Analysis Prüfungsteil A
Analysis Prüfungsteil A
Analysis Prüfungsteil A
Analysis Prüfungsteil A
Analysis Prüfungsteil A
Analysis Prüfungsteil A
(2P)

Aufgabe 4

Analysis Prüfungsteil A
Analysis Prüfungsteil A
In einem Koordinatensystem (vgl. Abbildung 1) werden alle Rechtecke betrachtet, die folgende Bedingungen erfüllen:
  1. Zwei Seiten liegen auf den Koordinatenachsen.
  2. Ein Eckpunkt liegt auf dem Graphen $G_f$ der Funktion $f:x \mapsto -\mathrm{ln} x$ mit $0< x < 1$.
Abbildung 1 zeigt ein solches Rechteck.
Unter den betrachteten Rechtecken gibt es eines mit größtem Flächeninhalt.
Berechnen Sie die Seitenlängen dieses Rechtecks.
(5P)

Aufgabe 5

Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion $f$.
Analysis Prüfungsteil A
Analysis Prüfungsteil A
a) Beschreiben Sie für $a\leq x\leq b$ den Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von $f$.
(2P)
b) Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen einer Stammfunktion von $f$ im gesamten dargestellten Bereich.
(3P)

(20P)
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Tipps
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Aufgabengruppe 1

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Lage und Art des Extrempunktes des Graphen von $\boldsymbol{f}$ bestimmen
Aus der Aufgabenstellung ist dir die Funktionsgleichung von $f$ bekannt. Außerdem weißt du: Der Graph von $f$ besitzt an einer Stelle $x_E$ einen Extrempunkt, falls an dieser Stelle folgende zwei Bedingungen erfüllt sind:
  1. Notwendiges Kriterium: $f'(x_E)=0$
  2. Hinreichendes Kriterium: $f''(x_E)\neq0$
Für die Art des Extrempunkts gilt weiterhin: Falls $f''(x_E)>0$, so liegt bei $x_E$ ein Minimum vor, andernfalls ein Maximum.
Du kannst also so vorgehen:
  1. Bestimme zunächst die ersten beiden Ableitungen von $f$ nach der Quotientenregel
  2. Setze dann $f'(x)=0$, um die potentiellen Extremstellen zu bestimmen
  3. Ermittle anschließend mit $f''$ die Art der Extremstellen
  4. Setzt zuletzt die Extremstellen in den Funktionsterm von $f$ ein und berechne die zugehörigen $y$–Koordinaten

Aufgabe 2

a) $\blacktriangleright$ Nullstellen von $\boldsymbol{f}$ bestimmen
Bestimme die Nullstellen von $f$, indem du den Funktionsterm von $f$ mit Null gleichsetzt. Löse also die Gleichung:
$\begin{array}{rl} f(x)&=0\\ \mathrm e^x\cdot(2x+x^2)&=0 \end{array}$
Beachte dabei, dass der Funktionsterm von $f$ ein Produkt ist und dass mit dem Satz vom Nullprodukt gilt: Ein Produkt ist Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist.
Du kannst also die beiden Faktoren einzeln Null setzen.
b) $\blacktriangleright$ Stammfunktion nachweisen
Die Funktion $F$ ist eine Stammfunktion von $f$, falls gilt:
$F'(x)=f(x)$.
Leite also $F$ nach der Produktregel ab.
$\blacktriangleright$ Gleichung einer weiteren Stammfunktion angeben
Überlege, wie du von $F$ aus schnell auf weitere Stammfunktionen von $f$ kommen kannst: Beim Ableiten der Stammfunktion gehen die absoluten Glieder, also die Glieder ohne $x$, verloren.
Stelle eine allgemeine Form aller Stammfunktionen von $f$ auf, setze den Punkt, durch den der Graph verlaufen soll ein und löse die obige Gleichung nach $C$ auf.

Aufgabe 3

a) $\blacktriangleright$ Mögliche Werte für $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{c}$ angeben
Die Funktion $g_{a,c}$ ist eine Sinusfunktion. Betrachte zunächst den Funktionsterm und überlege, welche Auswirkungen eine Änderung von $a$ und $c$ auf den Graphen der Funktion haben:
  1. beeinflusst die Periode $p$ der Funktion. Genau gesagt gilt die Beziehung: $p=\frac{2\pi}{a}$.
  2. beeinflusst die Verschiebung in $y$–Richtung. Wenn $c$ positiv ist, wird der Graph nach oben, andernfalls nach unten verschoben.
Teil $\boldsymbol{\alpha})$: Wertemenge $\boldsymbol{[0\,;\,2]}$
Die Wertemenge einer Sinusfunktion wird durch ihre Amplitude und die Verschiebung in $\boldsymbol{y}$–Richtung bestimmt.
Überlege dir wie die Wertemenge im „normalen“ Fall aussieht und verschiebe den Graphen dann so, dass er die gewünschte Wertemenge hat.
Teil $\boldsymbol{\beta})$: Drei Nullstellen im Intervall $\boldsymbol{[0\,;\,\pi]}$
Überlege wieder, wie die Situation im "`normalen"' Fall mit $a=1$ und $c=0$ aussieht. Hier hat die Funktion $g_{a,c}$ genau zwei Nullstellen im Intervall $[0\,;\,\pi]$, nämlich bei $x=0$ und $x=\pi$.
Damit die Funktion noch eine dritte Nullstelle annimmt, muss sich die Periode der Funktion ändern. Oben hast du gesehen, dass diese durch den Parameter $a$ beeinflusst wird und zwar mit der Beziehung:
$p=\frac{2\pi}{a}$.
Überlege dir wie die Periode für $a=1;=2;=3$ aussieht und wo die ersten drei Nullstellen der FUnktion liegen.
b) $\blacktriangleright$ Werte der Ableitung in Abhängigkeit von $\boldsymbol{a}$ ermitteln
Überlege zunächst, was die Aufgabenstellung genau fordert:
  • Du hast gesehen, dass $a$ die Periode beeinflusst. Je kleiner die Periode, desto stärker steigt bzw. fällt der Graph von $g_{a,c}$.
  • Leite also $g_{a,c}$ ab und bestimme, welchen größt- und kleinstmöglichen Wert die Ableitung annehmen kann.
  • Der Parameter $c$ fällt beim Ableiten weg.
1. Schritt: Ableitung bestimmen
Verwende beim Ableiten die Kettenregel.
2. Schritt: Kleinst- und größtmöglichen Funtionswert ermitteln
Betrachte die Faktoren im Funktionsterm einzeln und überlege jeweils, ob sie alle beliebigen Werte oder nur bestimmte Werte annehmen können und schließe dann auf die Werte der Ableitung.

Aufgabe 4

a) $\blacktriangleright$ Verlauf des Graphen einer Stammfunktion beschreiben
Mach dir zu Beginn klar, wie eine Funktion mit einer ihrer Stammfunktionen zusammenhängt:
  • Die Extremstellen der Funktion sind die Wendestellen der Stammfunktionen
  • Die Nullstellen der Funktion sind die Extremstellen der Stammfunktionen
  • Dort, wo die Funktion positive Werte annimmt, ist der Graph der Stammfunktionen steigend
  • Dort, wo die Funktion negative Werte annimmt, ist der Graph der Stammfunktionen fallend
Betrachte nun den gegebenen Graphen und untersuche ihn nach den vier oben gegebenen Eigenschaften.
b) $\blacktriangleright$ Graphen einer Stammfunktion im gesamten Bereich skizzieren
Beziehe die im Aufgabenteil a) genannten Zusammenhänge zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion in deine Überlegungen mit ein.
Es ist hilfreich, die wichtigen Stellen zunächst zu markieren, d.h. die Null- und Extremstellen von $f$.
Bei $x_0$ hat der Graph einer Stammfunktion einen Hochpunkt. Bei $x_1$ hat er einen Wendepunkt, da die Stammfunktion an dieser Stelle die größte negative Steigung hat.
Die Frage ist: Wie verhalten sich die Stammfunktionen für $x\to\infty?$ Der Graph von $f$ nähert sich einem festen, negativen Wert an. $f$ beschreibt die Steigung der Stammfunktionen. Diese liegt also langfristig bei einem nahezu gleichbleibenden, negativen Wert.
Daraus kannst du schließen, dass die Graphen der Stammfunktionen für $x\to\infty$ eine fallende, schiefe Asymptote besitzen.

Aufgabengruppe 2

Aufgabe 1

Die allgemeine Form der Sinusfunktion ist gegeben durch:
$\boldsymbol{f(x) = a\cdot \sin(b\cdot x +c) + d}$
Mit:
  • $a$ ist die Amplitude der Funktion.
  • $b$ definiert die Periode $p$ der Funktion. Genauer gesagt gilt die Beziehung: $p=\frac{2\pi}{b}$.
  • $c$ beeinflusst die Phasenverschiebung um $\frac{c}{b}$, also eine Verschiebung in $x$ – Richtung.
  • $d$ ist die Verschiebung in $y$ – Richtung. Wenn $d$ positiv ist, wird der Graph nach oben, andernfalls nach unten verschoben.
a) $\blacktriangleright$ Graph der Funktion spiegeln
Der Graph der Funktion $g$ geht aus dem Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $x\mapsto \text{sin}x$ durch Spiegelung an der $y$-Achse hervor.
Die Spiegelung an der $y$ – Achse erreichst du indem du $\boldsymbol{x}$ durch $\boldsymbol{-x}$ ersetzt.
b) $\blacktriangleright$ Funktionsgleichung bestimmen
Die Funktion $\sin(x)$ hat den Wertebereich $\left[-1;1\right]$. Die Größe der Wertebereiche stimmt überein, also haben die Funktionen die gleiche Amplitude. Du kannst den gewünschten Wertebereich [1;3] somit durch Verschiebung in $y$ – Richtung erreichen. Überlege dir um wie viel jeder Funktionswert verschoben werden muss um im gewünschten Wertebereich zu landen.
c) $\blacktriangleright$ Funktionsgleichung bestimmen
Die Funktion $k$ soll die Periode $\pi$ besitzen. Betrachte die oben angegebene Sinus-Funktion und wie deren Periode definiert ist. Um die Periode zu verändern, veränderst du den Parameter $b$.

Aufgabe 2

a) $\blacktriangleright$ Nullstellen von $\boldsymbol{f}$ bestimmen
Bestimme die Nullstellen von $f$, indem du den Funktionsterm von $f$ mit Null gleichsetzt. Löse also die Gleichung:
$\begin{array}{rll} f(x)&=0\\ \mathrm e^x\cdot(2x+x^2)&=0 \end{array}$
Beachte dabei, dass der Funktionsterm von $f$ ein Produkt ist und dass mit dem Satz vom Nullprodukt gilt: Ein Produkt ist Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist.
Du kannst also die beiden Faktoren einzeln Null setzen.
b) $\blacktriangleright$ Stammfunktion nachweisen
Die Funktion $F$ ist eine Stammfunktion von $f$, falls gilt:
$F'(x)=f(x)$.
Leite also $F$ nach der Produktregel ab.
$\blacktriangleright$ Gleichung einer weiteren Stammfunktion angeben
Überlege, wie du von $F$ aus schnell auf weitere Stammfunktionen von $f$ kommen kannst: Beim Ableiten der Stammfunktion gehen die absoluten Glieder, also die Glieder ohne $x$, verloren.
Stelle eine allgemeine Form aller Stammfunktionen von $f$ auf, setze den Punkt, durch den der Graph verlaufen soll ein und löse die obige Gleichung nach $C$ auf.

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Finde den Graphen der 2. Ableitung
Der Graph einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g:x \mapsto g(x)$ besitzt für $-5\leq x\leq 5$ zwei Wendepunkte. Du sollst entscheiden, welcher der Graphen Ⅰ, Ⅱ und Ⅲ zur zweiten Ableitungsfunktion $g''$ von $g$ gehört. Dafür ist es wichtig zu überlegen, wie sich der Wendepunkt auf die 2. Ableitung auswirkt. Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt lautet $g''(x)=0$.

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$ Seitenlängen des Rechtecks bestimmen
Der Flächeninhalt eines Rechtecks wird berechnet durch $\boldsymbol{A = a\cdot b}$. Für das gesuchte Rechteck sind die Seitenlängen $x$ und $f(x)$, da zwei Seiten auf den Koordinatenachsen liegen und ein Eckpunkt auf dem Graphen $G_f$. Setze diese Werte in die Flächenformel ein.
Um die Seitenlängen des Rechtecks mit dem größten Flächeninhalt zu erhalten, maximierst du die Flächenfunktion. Um das Maximum dieser Funktion berechnen zu können, kannst du folgendermaßen vorgehen:
  • 1. und 2. Ableitung bestimmen
  • Notwendige Bedingung überprüfen: $f'(x)=0$
  • Hinreichende Bedingung für ein Maximum überprüfen: $f''(x)<0$
Der berechnete $x$-Wert entspricht bereits einer Seitenlänge, die zweite Seitenlänge erhältst du über den Funktionswert $f(x)$ zu diesem $x$-Wert.

Aufgabe 5

a) $\blacktriangleright$ Verlauf des Graphen einer Stammfunktion beschreiben
Mach dir zu Beginn klar, wie eine Funktion mit einer ihrer Stammfunktionen zusammenhängt:
  • Die Extremstellen der Funktion sind die Wendestellen der Stammfunktionen
  • Die Nullstellen der Funktion sind die Extremstellen der Stammfunktionen
  • Dort, wo die Funktion positive Werte annimmt, ist der Graph der Stammfunktionen steigend
  • Dort, wo die Funktion negative Werte annimmt, ist der Graph der Stammfunktionen fallend
Betrachte nun den gegebenen Graphen und untersuche ihn nach den vier oben gegebenen Eigenschaften.
b) $\blacktriangleright$ Graphen einer Stammfunktion im gesamten Bereich skizzieren
Beziehe die im Aufgabenteil a) genannten Zusammenhänge zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion in deine Überlegungen mit ein.
Es ist hilfreich, die wichtigen Stellen zunächst zu markieren, d.h. die Null- und Extremstellen von $f$.
Bei $x_0$ hat der Graph einer Stammfunktion einen Hochpunkt. Bei $x_1$ hat er einen Wendepunkt, da die Stammfunktion an dieser Stelle die größte negative Steigung hat.
Die Frage ist: Wie verhalten sich die Stammfunktionen für $x\to\infty?$ Der Graph von $f$ nähert sich einem festen, negativen Wert an. $f$ beschreibt die Steigung der Stammfunktionen. Diese liegt also langfristig bei einem nahezu gleichbleibenden, negativen Wert.
Daraus kannst du schließen, dass die Graphen der Stammfunktionen für $x\to\infty$ eine fallende, schiefe Asymptote besitzen.
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Aufgabengruppe 1

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Lage und Art des Extrempunktes des Graphen von $\boldsymbol{f}$ bestimmen
Aus der Aufgabenstellung ist dir die Funktionsgleichung von $f$ bekannt. Außerdem weißt du: Der Graph von $f$ besitzt an einer Stelle $x_E$ einen Extrempunkt, falls an dieser Stelle folgende zwei Bedingungen erfüllt sind:
  1. Notwendiges Kriterium: $f'(x_E)=0$
  2. Hinreichendes Kriterium: $f''(x_E)\neq0$
Für die Art des Extrempunkts gilt weiterhin: Falls $f''(x_E)>0$, so liegt bei $x_E$ ein Minimum vor, andernfalls ein Maximum.
Du kannst also so vorgehen:
  1. Bestimme zunächst die ersten beiden Ableitungen von $f$ nach der Quotientenregel
  2. Setze dann $f'(x)=0$, um die potentiellen Extremstellen zu bestimmen
  3. Ermittle anschließend mit $f''$ die Art der Extremstellen
  4. Setzt zuletzt die Extremstellen in den Funktionsterm von $f$ ein und berechne die zugehörigen $y$–Koordinaten
1. Schritt: Ableitungen bestimmen
Beachte, dass gilt:
$\ln(x))'=\dfrac{1}{x}$
Nach der Quotientenregel gilt dann:
$\begin{array}{rll} f'(x)&=\dfrac{1\cdot\ln(x)-x\cdot\frac{1}{x}}{(\ln(x))^2}\\ &=\dfrac{\ln(x)-1}{\ln(x)^2} \end{array}$
und
$\begin{array}{rll} f''(x)&=\dfrac{\frac{1}{x}\cdot\ln(x)^2-(\ln(x)-1)\cdot2\cdot\ln(x)\cdot\frac{1}{x}}{\ln(x)^4}&\scriptsize{(\text{Kettenregel})}\\ &=\dfrac{\frac{1}{x}\cdot\ln(x)^2-2\cdot\ln(x)^2\cdot\frac{1}{x}+2\cdot\ln(x)\cdot\frac{1}{x}}{\ln(x)^4}\\ &=\dfrac{-\ln(x)^2\cdot\frac{1}{x}+2\cdot\ln(x)\cdot\frac{1}{x}}{\ln(x)^4}&\scriptsize{\ln(x)\text{ ausklammern}}\\ &=\dfrac{\ln(x)\cdot(-\ln(x)\cdot\frac{1}{x}+2\cdot\frac{1}{x})}{\ln(x)^4}\\ &=\dfrac{-\ln(x)\cdot\frac{1}{x}+2\cdot\frac{1}{x}}{\ln(x)^3}&\scriptsize{\frac{1}{x}\text{ ausklammern}}\\ &=\dfrac{\frac{1}{x}\cdot(-\ln(x)+2)}{\ln(x)^3}\\ &=\dfrac{2-\ln(x)}{x\cdot\ln(x)^3} \end{array}$
$\begin{array}{rl} f''(x)&=\dfrac{\frac{1}{x}\cdot\ln(x)^2-(\ln(x)-1)\cdot2\cdot\ln(x)\cdot\frac{1}{x}}{\ln(x)^4}\\ &=\dfrac{\frac{1}{x}\cdot\ln(x)^2-2\cdot\ln(x)^2\cdot\frac{1}{x}+2\cdot\ln(x)\cdot\frac{1}{x}}{\ln(x)^4}\\ &=\dfrac{-\ln(x)^2\cdot\frac{1}{x}+2\cdot\ln(x)\cdot\frac{1}{x}}{\ln(x)^4}\\ &=\dfrac{\ln(x)\cdot(-\ln(x)\cdot\frac{1}{x}+2\cdot\frac{1}{x})}{\ln(x)^4}\\ &=\dfrac{-\ln(x)\cdot\frac{1}{x}+2\cdot\frac{1}{x}}{\ln(x)^3}\\ &=\dfrac{\frac{1}{x}\cdot(-\ln(x)+2)}{\ln(x)^3}\\ &=\dfrac{2-\ln(x)}{x\cdot\ln(x)^3} \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium
Setze $f'(x)=0$, um die potentiellen Extremstellen zu ermitteln.
$\begin{array}{rll} f'(x)&=0\\ \dfrac{\ln(x)-1}{\ln(x)^2}&=0& \end{array}$
Beachte hier: Ein Bruch wird Null, wenn sein Zähler Null wird. Den Nenner musst du hier nicht weiter beachten, da du für die angegebene Definitionsmenge nicht durch Null teilen kannst.
$\begin{array}{rll} \ln(x)-1&=0&\scriptsize{\mid+1}\\ \ln(x)&=1&\scriptsize{\mathrm e^{(…)}}\\ x&=\mathrm e \end{array}$
$\begin{array}{rl} \ln(x)-1&=0\\ \ln(x)&=1\\ x&=\mathrm e \end{array}$
Damit weißt du: Die Funktion $f$ hat genau eine potentielle Extremstelle bei $x=\mathrm e$.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium
Setze $x=\mathrm e$ ein in die zweite Ableitung von $f$ und untersuche so die Art der Extremstelle:
$\begin{array}{rll} f''(\mathrm e)&=\dfrac{2-\ln(\mathrm e)}{\mathrm e\cdot\ln(\mathrm e)^3}&\scriptsize{\text{Hinweis: }\ln(\mathrm e)=1}\\ &=\dfrac{2-1}{\mathrm e\cdot1}\\ &=\dfrac{1}{\mathrm e} \end{array}$
$\begin{array}{rl} f''(\mathrm e)&=\dfrac{2-\ln(\mathrm e)}{\mathrm e\cdot\ln(\mathrm e)^3}\\ &=\dfrac{2-1}{\mathrm e\cdot1}\\ &=\dfrac{1}{\mathrm e} \end{array}$
Da sowohl 1 als auch $\mathrm e$ positive Zahlen sind, ist der gesamte Ausdruck positiv. Also weißt du:
Wegen $f''(\mathrm e)>0$ besitzt der Graph von $f$ bei $x=\mathrm e$ ein Minimum.
4. Schritt: Zugehörige $y$–Koordinate ermitteln
Berechne $f(\mathrm e)$ und erhalte die zugehörige $y$–Koordinate:
$\begin{array}{r@l} f(\mathrm e)&=\dfrac{\mathrm e}{\ln(\mathrm e)}\\ &=\dfrac{\mathrm e}{1}=\mathrm e \end{array}$
Der Graph von $f$ besitzt einen lokalen Tiefpunkt $T(\mathrm e \mid \mathrm e)$.

Aufgabe 2

a) $\blacktriangleright$ Nullstellen von $\boldsymbol{f}$ bestimmen
Bestimme die Nullstellen von $f$, indem du den Funktionsterm von $f$ mit Null gleichsetzt. Löse also die Gleichung:
$\begin{array}{rl} f(x)&=0\\ \mathrm e^x\cdot(2x+x^2)&=0 \end{array}$
Beachte dabei, dass der Funktionsterm von $f$ ein Produkt ist und dass mit dem Satz vom Nullprodukt gilt: Ein Produkt ist Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist.
Du kannst also die beiden Faktoren einzeln Null setzen.
Betrachte zunächst den ersten Faktor: Der Ausdruck $\mathrm e^x$ wird niemals Null. Du kannst dich also auf die Klammer konzentrieren:
$\begin{array}{rll} 2x+x^2&=0&\scriptsize{x \text{ ausklammern}}\\ x\cdot(2+x)&=0 \end{array}$
$\begin{array}{rl} 2x+x^2&=0\\ x\cdot(2+x)&=0 \end{array}$
Wieder gilt: Ein Produkt ist Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist. Du erhältst so die erste Lösung:
$x_1=0$.
Weiter gilt:
$\begin{array}{rll} 2+x&=0&\scriptsize{\mid-2}\\ x_2&=-2 \end{array}$
$\begin{array}{rl} 2+x&=0\\ x_2&=-2 \end{array}$
Damit kannst du sagen: Die Funktion $f$ hat genau zwei Nullstellen, nämlich $x_1=0$ und $x_2=-2$.
b) $\blacktriangleright$ Stammfunktion nachweisen
Die Funktion $F$ ist eine Stammfunktion von $f$, falls gilt:
$F'(x)=f(x)$.
Leite also $F$ nach der Produktregel ab.
$\begin{array}{rll} F(x)&=x^2\cdot\mathrm e^x\\ F'(x)&=2x\cdot\mathrm e^x+x^2\cdot\mathrm e^x&\scriptsize{\mathrm e^x\text{ ausklammern}}\\ &=\mathrm e^x\cdot(2x+x^2)=f(x) \end{array}$
$\begin{array}{rl} F(x)&=x^2\cdot\mathrm e^x\\ F'(x)&=2x\cdot\mathrm e^x+x^2\cdot\mathrm e^x\\ &=\mathrm e^x\cdot(2x+x^2)=f(x) \end{array}$
Damit hast du gezeigt, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.
$\blacktriangleright$ Gleichung einer weiteren Stammfunktion angeben
Überlege, wie du von $F$ aus schnell auf weitere Stammfunktionen von $f$ kommen kannst: Beim Ableiten der Stammfunktion gehen die absoluten Glieder, also die Glieder ohne $x$, verloren.
Weitere mögliche Stammfunktionen von $f$ sind also beispielsweise:
$\begin{array}{rll} F_1(x)&=x^2\cdot\mathrm e^x+1\\ F_2(x)&=x^2\cdot\mathrm e^x+2 \end{array}$
oder allgemeiner:
$F_C(x)=x^2\cdot\mathrm e^x+C$
Gesucht ist nun eine bestimmte Stammfunktion $G$ mit $G(x)=x^2\cdot\mathrm e^x+C$, für die gilt:
$G(1)=2\mathrm e$.
Nutze also die allgemeine Form aller Stammfunktionen von $f$, indem du den Punkt $(1\mid 2\mathrm e)$ in die Gleichung einsetzt und die obige Gleichung dann nach $C$ auflöst:
$\begin{array}{rll} G(1)&=2\mathrm e\\ 1^2\cdot\mathrm e^1+C&=2\mathrm e\\ \mathrm e+C&=2\mathrm e&\scriptsize{\mid-\mathrm e}\\ C&=\mathrm e \end{array}$
$\begin{array}{rl} G(1)&=2\mathrm e\\ 1^2\cdot\mathrm e^1+C&=2\mathrm e\\ \mathrm e+C&=2\mathrm e\\ C&=\mathrm e \end{array}$
Damit erhältst du die Funktionsgleichung $G(x)=x^2\cdot\mathrm e^x+\mathrm e$.

Aufgabe 3

a) $\blacktriangleright$ Mögliche Werte für $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{c}$ angeben
Die Funktion $g_{a,c}$ ist eine Sinusfunktion. Betrachte zunächst den Funktionsterm und überlege, welche Auswirkungen eine Änderung von $a$ und $c$ auf den Graphen der Funktion hat:
  1. beeinflusst die Periode $p$ der Funktion. Genau gesagt gilt die Beziehung: $p=\frac{2\pi}{a}$.
  2. beeinflusst die Verschiebung in $y$–Richtung. Wenn $c$ positiv ist, wird der Graph nach oben, andernfalls nach unten verschoben.
Teil $\boldsymbol{\alpha})$: Wertemenge $\boldsymbol{[0\,;\,2]}$
Die Wertemenge einer Sinusfunktion wird durch ihre Amplitude und die Verschiebung in $\boldsymbol{y}$–Richtung bestimmt.
Im „normalen“ Fall $a=1$ und $c=0$ ist die Wertemenge genau $[-1\,;\,1]$.
Um die Wertemenge $W=[0\,;\,2]$ zu erhalten, muss also der Graph der Funktion um 1 Längeneinheit in positive $\boldsymbol{y}$–Richtung verschoben werden.
Dies geschieht durch den Parameter $c$ in der Funktionsgleichung von $g_{a,c}$.
Wähle also $c=1$, um die gewünschte Verschiebung des Graphen zu bezwecken. Da $a$ keinen Einfluss auf die Verschiebung in $y$–Richtung hat, kannst du einen beliebigen Wert wählen, beispielsweise $a=1$.
Damit folgt: Für $a=1$ und $c=1$ hat die Funktion $g_{a,c}$ die Wertemenge $[0\,,\,2]$.
Teil $\boldsymbol{\beta})$: Drei Nullstellen im Intervall $\boldsymbol{[0\,;\,\pi]}$
Überlege wieder, wie die Situation im "`normalen"' Fall mit $a=1$ und $c=0$ aussieht. Hier hat die Funktion $g_{a,c}$ genau zwei Nullstellen im Intervall $[0\,;\,\pi]$, nämlich bei $x=0$ und $x=\pi$.
Damit die Funktion noch eine dritte Nullstelle annimmt, muss sich die Periode der Funktion ändern. Oben hast du gesehen, dass diese durch den Parameter $a$ beeinflusst wird und zwar mit der Beziehung:
$p=\frac{2\pi}{a}$.
Überlege dir:
  • Für $a=1$ ist die Periode $2\pi$. Die ersten drei Nullstellen der Funktion liegen bei $x=0$, $x=\pi$ und $x=2\pi$.
  • Für $a=2$ ist die Periode $\pi$. die ersten drei Nullstellen liegen dann bei $x=0$, $x=\frac{\pi}{2}$ und $x=\pi$.
  • Für $a=3$ ist die Periode $\frac{2}{3}\pi$. die ersten drei Nullstellen liegen dann bei $x=0$, $x=\frac{\pi}{3}$ und $x=\frac{2}{3}\pi$, die vierte bereits bei $x=\pi$
Damit die Funktion $g_{a,c}$ im Intervall $[0\,;\,\pi]$ genau drei Nullstellen besitzt, muss also $a=2$ und $c=0$ gelten.
b) $\blacktriangleright$ Werte der Ableitung in Abhängigkeit von $\boldsymbol{a}$ ermitteln
Überlege zunächst, was die Aufgabenstellung genau fordert:
  • Du hast gesehen, dass $a$ die Periode beeinflusst. Je kleiner die Periode, desto stärker steigt bzw. fällt der Graph von $g_{a,c}$.
  • Leite also $g_{a,c}$ ab und bestimme, welchen größt- und kleinstmöglichen Wert die Ableitung annehmen kann.
  • Der Parameter $c$ fällt beim Ableiten weg.
1. Schritt: Ableitung bestimmen
Verwende beim Ableiten die Kettenregel:
$\begin{array}{rl} g_{a,c}(x)&=\sin(ax)+c\\ g_{a,c}'(x)&=\cos(ax)\cdot a \end{array}$
2. Schritt: Kleinst- und größtmöglichen Funtionswert ermitteln
Betrachte die Faktoren im Funktionsterm einzeln und überlege jeweils, ob sie alle beliebigen Werte oder nur bestimmte Werte annehmen können.
  • Der erste Faktor $\cos(ax)$ kann nur Werte zwischen $-1$ und $1$ annehmen, egal welcher Wert für $a$ gewählt wird, da die Amplitude den festen Wert 1 hat.
  • Der zweite Faktor $a$ nimmt immer den Wert $a$ an.
Du weißt also, dass im größtmöglichen Fall der Faktor $\cos(ax)$ den Wert $1$ annimmt und der zweite Faktor den Wert $a$.
Im kleinstmöglichen Fall nimmt der Fator $\cos(ax)$ den Wert $-1$ an, der zweite Faktor weiterhin den Wert $a$.
Insgesamt nimmt die Ableitung also Werte zwischen $1\cdot a$ und $-1\cdot a$ an, kurz:
Die Ableitung kann in Abhängigkeit von $a$ Werte zwischen $a$ und $-a$ annehmen.

Aufgabe 4

a) $\blacktriangleright$ Verlauf des Graphen einer Stammfunktion beschreiben
Mach dir zu Beginn klar, wie eine Funktion mit einer ihrer Stammfunktionen zusammenhängt:
  • Die Extremstellen der Funktion sind die Wendestellen der Stammfunktionen
  • Die Nullstellen der Funktion sind die Extremstellen der Stammfunktionen
  • Dort, wo die Funktion positive Werte annimmt, ist der Graph der Stammfunktionen steigend
  • Dort, wo die Funktion negative Werte annimmt, ist der Graph der Stammfunktionen fallend
Beim Graphen von $f$ erkennst du auf dieser Grundlage verschiedene relevante Punkte bzw. Bereiche. Beachte dabei, dass nur der Bereich $a\leq x\leq b$ relevant ist.
  • Der Graph von $f$ schneidet im Intervall $[a\,;\,b]$ die $x$–Achse an einer Stelle $x_0$
  • Im Intervall $[a\,;\,x_0[$ sind die Funktionswerte von $f$ positiv
  • Im Intervall $]x_0\,;\,b]$ sind die Funktionswerte von $f$ negativ
Daraus kannst du nun schließen:
  • Der Graph einer Stammfunktion besitzt im Intervall $[a\,;\,b]$ an einer Stelle $x_0$ einen Extrempunkt
  • Im Intervall $[a\,;\,x_0[$ steigt der Graph einer Stammfunktion
  • Im Intervall $[a\,;\,x_0[$ fällt der Graph einer Stammfunktion
  • Zusammengefasst heißt das: Im Intervall $[a\,;b]$ besitzt der Graph einer Stammfunktion von $f$ einen Hochpunkt, da ein Vorzeichenwechsel von $+$ nach $-$ vorliegt.
b) $\blacktriangleright$ Graphen einer Stammfunktion im gesamten Bereich skizzieren
Beziehe die im Aufgabenteil a) genannten Zusammenhänge zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion in deine Überlegungen mit ein.
Es ist hilfreich, die wichtigen Stellen zunächst zu markieren, d.h. die Null- und Extremstellen von $f$.
Analysis Prüfungsteil A
Analysis Prüfungsteil A
Bei $x_0$ hat der Graph einer Stammfunktion einen Hochpunkt. Bei $x_1$ hat er einen Wendepunkt, da die Stammfunktion an dieser Stelle die größte negative Steigung hat.
Die Frage ist: Wie verhalten sich die Stammfunktionen für $x\to\infty?$ Der Graph von $f$ nähert sich einem festen, negativen Wert an. $f$ beschreibt die Steigung der Stammfunktionen. Diese liegt also langfristig bei einem nahezu gleichbleibenden, negativen Wert.
Daraus kannst du schließen, dass die Graphen der Stammfunktionen für $x\to\infty$ eine fallende, schiefe Asymptote besitzen:
Analysis Prüfungsteil A
Analysis Prüfungsteil A

Aufgabengruppe 2

Aufgabe 1

Die allgemeine Form der Sinusfunktion ist gegeben durch:
$\boldsymbol{f(x) = a\cdot \sin(b\cdot x +c) + d}$
Mit:
  • $a$ ist die Amplitude der Funktion.
  • $b$ definiert die Periode $p$ der Funktion. Genauer gesagt gilt die Beziehung: $p=\frac{2\pi}{b}$.
  • $c$ beeinflusst die Phasenverschiebung um $\frac{c}{b}$, also eine Verschiebung in $x$ – Richtung.
  • $d$ ist die Verschiebung in $y$ – Richtung. Wenn $d$ positiv ist, wird der Graph nach oben, andernfalls nach unten verschoben.
a) $\blacktriangleright$ Graph der Funktion spiegeln
Der Graph der Funktion $g$ geht aus dem Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $x\mapsto \text{sin}x$ durch Spiegelung an der $y$-Achse hervor.
Die Spiegelung an der $y$ – Achse erreichst du indem du $\boldsymbol{x}$ durch $\boldsymbol{-x}$ ersetzt.
Der Funktionsterm von $g$ lautet also:
$\boldsymbol{g(x) = \sin(-x)}$
b) $\blacktriangleright$ Funktionsgleichung bestimmen
Die Funktion $\sin(x)$ hat den Wertebereich $\left[-1;1\right]$. Die Größe der Wertebereiche stimmt überein, also haben die Funktionen die gleiche Amplitude. Du kannst den gewünschten Wertebereich [1;3] somit durch Verschiebung in $y$ – Richtung erreichen. Wird jeder Funktionswert des Graphen von $h$ um 2 Einheiten nach oben verschoben ergibt sich der gewünschte Wertebereich.
Der Funktionsterm lautet also:
$\boldsymbol{h(x) = \sin(x) + 2}$
c) $\blacktriangleright$ Funktionsgleichung bestimmen
Die Funktion $k$ soll die Periode $\pi$ besitzen. Betrachte die oben angegebene Sinus-Funktion und wie deren Periode definiert ist. Um die Periode zu verändern, veränderst du den Parameter $b$. Es gilt also:
$\begin{array}{rll} p&=\frac{2\cdot \pi}{b}& \scriptsize{p=\pi}\\ \pi&=\frac{2\cdot \pi}{b}& \scriptsize{\mid \cdot b}\\ \pi\cdot b&=2\cdot \pi& \scriptsize{\mid : \pi}\\ b&=2& \end{array}$
$\begin{array}{rll} p&=\frac{2\cdot \pi}{b}\\ \pi&=\frac{2\cdot \pi}{b}\\ \pi\cdot b&=2\cdot \pi\\ b&=2 \end{array}$
Für die Funktion $k$ erhältst du dann folgende Funktionsgleichung:
$\boldsymbol{k(x) = \sin(2x)}$

Aufgabe 2

a) $\blacktriangleright$ Nullstellen von $\boldsymbol{f}$ bestimmen
Bestimme die Nullstellen von $f$, indem du den Funktionsterm von $f$ mit Null gleichsetzt. Löse also die Gleichung:
$\begin{array}{rll} f(x)&=0\\ \mathrm e^x\cdot(2x+x^2)&=0 \end{array}$
Beachte dabei, dass der Funktionsterm von $f$ ein Produkt ist und dass mit dem Satz vom Nullprodukt gilt: Ein Produkt ist Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist.
Du kannst also die beiden Faktoren einzeln Null setzen.
Betrachte zunächst den ersten Faktor: Der Ausdruck $\mathrm e^x$ wird niemals Null. Du kannst dich also auf die Klammer konzentrieren:
$\begin{array}{rll} 2x+x^2&=0&\scriptsize{x \text{ ausklammern}}\\ x\cdot(2+x)&=0 \end{array}$
$\begin{array}{rl} 2x+x^2&=0\\ x\cdot(2+x)&=0 \end{array}$
Wieder gilt: Ein Produkt ist Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist. Du erhältst so die erste Lösung:
$x_1=0$.
Weiter gilt:
$\begin{array}{rll} 2+x&=0&\scriptsize{\mid-2}\\ x_2&=-2 \end{array}$
$\begin{array}{rl} 2+x&=0\\ x_2&=-2 \end{array}$
Damit kannst du sagen: Die Funktion $f$ hat genau zwei Nullstellen, nämlich $x_1=0$ und $x_2=-2$.
b) $\blacktriangleright$ Stammfunktion nachweisen
Die Funktion $F$ ist eine Stammfunktion von $f$, falls gilt:
$F'(x)=f(x)$.
Leite also $F$ nach der Produktregel ab.
$\begin{array}{rll} F(x)&=x^2\cdot\mathrm e^x\\ F'(x)&=2x\cdot\mathrm e^x+x^2\cdot\mathrm e^x&\scriptsize{\mathrm e^x\text{ ausklammern}}\\ &=\mathrm e^x\cdot(2x+x^2)=f(x) \end{array}$
$\begin{array}{rl} F(x)&=x^2\cdot\mathrm e^x\\ F'(x)&=2x\cdot\mathrm e^x+x^2\cdot\mathrm e^x\\ &=\mathrm e^x\cdot(2x+x^2)=f(x) \end{array}$
Damit hast du gezeigt, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.
$\blacktriangleright$ Gleichung einer weiteren Stammfunktion angeben
Überlege, wie du von $F$ aus schnell auf weitere Stammfunktionen von $f$ kommen kannst: Beim Ableiten der Stammfunktion gehen die absoluten Glieder, also die Glieder ohne $x$, verloren.
Weitere mögliche Stammfunktionen von $f$ sind also beispielsweise:
$\begin{array}{rll} F_1(x)&=x^2\cdot\mathrm e^x+1\\ F_2(x)&=x^2\cdot\mathrm e^x+2\\ \end{array}$
oder allgemeiner:
$F_C(x)=x^2\cdot\mathrm e^x+C$
Gesucht ist nun eine bestimmte Stammfunktion $G$ mit $G(x)=x^2\cdot\mathrm e^x+C$, für die gilt:
$G(1)=2\mathrm e$.
Nutze also die allgemeine Form aller Stammfunktionen von $f$, indem du den Punkt $(1\mid 2\mathrm e)$ in die Gleichung einsetzt und die obige Gleichung dann nach $C$ auflöst:
$\begin{array}{rll} G(1)&=2\mathrm e\\ 1^2\cdot\mathrm e^1+C&=2\mathrm e\\ \mathrm e+C&=2\mathrm e&\scriptsize{\mid-\mathrm e}\\ C&=\mathrm e \end{array}$
$\begin{array}{rl} G(1)&=2\mathrm e\\ 1^2\cdot\mathrm e^1+&=2\mathrm e\\ \mathrm e+C&=2\mathrm e\\ C&=\mathrm e \end{array}$
Damit erhältst du die Funktionsgleichung $G(x)=x^2\cdot\mathrm e^x+\mathrm e$.

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Finde den Graphen der 2. Ableitung
Der Graph einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g:x \mapsto g(x)$ besitzt für $-5\leq x\leq 5$ zwei Wendepunkte. Du sollst entscheiden, welcher der Graphen Ⅰ, Ⅱ und Ⅲ zur zweiten Ableitungsfunktion $g''$ von $g$ gehört. Dafür ist es wichtig zu überlegen, wie sich der Wendepunkt auf die 2. Ableitung auswirkt. Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt lautet $g''(x)=0$. Der Graph der Ableitungsfunktion muss also im Bereich $-5\leq x\leq 5$ die $x$ – Achse zweimal schneiden. Das trifft nur auf Graph I zu.
Somit ist Graph Ⅰ der Graph der zweiten Ableitungsfunktion $g''$.

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$ Seitenlängen des Rechtecks bestimmen
Du sollst die Seitenlängen des größten Rechtecks berechnen, das folgende Bedingungen erfüllt:
  • Zwei Seiten liegen auf den Koordinatenachsen.
  • Ein Eckpunkt liegt auf dem Graphen $G_f$ der Funktion $f:x \mapsto -\mathrm{ln}\,x$ mit $0 < x < 1$.
Der Flächeninhalt eines Rechtecks wird berechnet durch $\boldsymbol{A = a\cdot b}$. Für das gesuchte Rechteck sind die Seitenlängen $x$ und $f(x)$, da zwei Seiten auf den Koordinatenachsen liegen und ein Eckpunkt auf dem Graphen $G_f$. Setze diese Werte in die Flächenformel ein:
$A(x) = x \cdot f(x) $$= x \cdot \left(-\ln(x)\right) $$= - x \cdot \ln (x)$
Um die Seitenlängen des Rechtecks mit dem größten Flächeninhalt zu erhalten, maximierst du die Flächenfunktion. Um das Maximum dieser Funktion berechnen zu können, kannst du folgendermaßen vorgehen:
  • 1. und 2. Ableitung bestimmen
  • Notwendige Bedingung überprüfen: $f'(x)=0$
  • Hinreichende Bedingung für ein Maximum überprüfen: $f''(x)<0$
1. Schritt: Ableitungen bestimmen
Berechne die erste Ableitung mithilfe der Kettenregel
$\begin{array}{rll} A(x)&=- x \cdot \ln (x)&\\ A'(x)&=- 1\cdot \ln (x)- x\cdot \frac{1}{x}\\ &= - \ln (x)-1&\\ A''(x)&=- \frac{1}{x}& \end{array}$
2. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Die Extremstellen berechnest du, indem du die 1. Ableitung gleich Null setzt.
$\begin{array}{rll} 0&=A'(x)&\\ 0&=- \ln (x)-1&\scriptsize{ \mid +1} \\ 1&=- \ln (x)&\scriptsize{\mid \cdot (-1)} \\ -1&= \ln (x)&\scriptsize{\text{Umkehrfunktion }\mathrm e^{x} \text{ anwenden}} \\ x&= \mathrm e^{-1}& \end{array}$
$\begin{array}{rll} 0&=A'(x)&\\ 0&=- \ln (x)-1&\\ 1&=- \ln (x)&\\ -1&= \ln (x)&\\ x&= \mathrm e^{-1}& \end{array}$
3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Jetzt musst du überprüfen, ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt. Setze dafür den gerade berechneten Wert in die 2. Ableitung ein:
$\begin{array}{rll} A''(\mathrm e^{-1})&=- \frac{1}{\mathrm e^{-1}}&\\ &=- \mathrm e < 0&\\ \end{array}$
Da die 2. Ableitung kleiner als Null ist, handelt es sich um ein Maximum.
Der berechnete $x$-Wert entspricht bereits einer Seitenlänge, die zweite Seitenlänge erhältst du über den Funktionswert $f(x)$ zu diesem $x$-Wert.
$f(\mathrm e^{-1}) = -\ln(\mathrm e^{-1}) = \ln(\mathrm e) = 1$
Die Seitenlängen sind gegeben durch $\boldsymbol{\mathrm e^{-1}}$ und $\boldsymbol{1}$.

Aufgabe 5

a) $\blacktriangleright$ Verlauf des Graphen einer Stammfunktion beschreiben
Mach dir zu Beginn klar, wie eine Funktion mit einer ihrer Stammfunktionen zusammenhängt:
  • Die Extremstellen der Funktion sind die Wendestellen der Stammfunktionen
  • Die Nullstellen der Funktion sind die Extremstellen der Stammfunktionen
  • Dort, wo die Funktion positive Werte annimmt, ist der Graph der Stammfunktionen steigend
  • Dort, wo die Funktion negative Werte annimmt, ist der Graph der Stammfunktionen fallend
Beim Graphen von $f$ erkennst du auf dieser Grundlage verschiedene relevante Punkte bzw. Bereiche. Beachte dabei, dass nur der Bereich $a\leq x\leq b$ relevant ist.
  • Der Graph von $f$ schneidet im Intervall $[a\,;\,b]$ die $x$ – Achse an einer Stelle $x_0$
  • Im Intervall $[a\,;\,x_0[$ sind die Funktionswerte von $f$ positiv
  • Im Intervall $]x_0\,;\,b]$ sind die Funktionswerte von $f$ negativ
Daraus kannst du nun schließen:
  • Der Graph einer Stammfunktion besitzt im Intervall $[a\,;\,b]$ an einer Stelle $x_0$ einen Extrempunkt.
  • Im Intervall $[a\,;\,x_0[$ steigt der Graph einer Stammfunktion.
  • Im Intervall $[a\,;\,x_0[$ fällt der Graph einer Stammfunktion.
  • Zusammengefasst heißt das: Im Intervall $[a\,;b]$ besitzt der Graph einer Stammfunktion von $f$ einen Hochpunkt, da ein Vorzeichenwechsel von $+$ nach $-$ vorliegt.
b) $\blacktriangleright$ Graphen einer Stammfunktion im gesamten Bereich skizzieren
Beziehe die im Aufgabenteil a) genannten Zusammenhänge zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion in deine Überlegungen mit ein.
Es ist hilfreich, die wichtigen Stellen zunächst zu markieren, d.h. die Null- und Extremstellen von $f$.
Analysis Prüfungsteil A
Analysis Prüfungsteil A
Bei $x_0$ hat der Graph einer Stammfunktion einen Hochpunkt. Bei $x_1$ hat er einen Wendepunkt, da die Stammfunktion an dieser Stelle die größte negative Steigung hat.
Die Frage ist: Wie verhalten sich die Stammfunktionen für $x\to\infty?$ Der Graph von $f$ nähert sich einem festen, negativen Wert an. $f$ beschreibt die Steigung der Stammfunktionen. Diese liegt also langfristig bei einem nahezu gleichbleibenden, negativen Wert.
Daraus kannst du schließen, dass die Graphen der Stammfunktionen für $x\to\infty$ eine fallende, schiefe Asymptote besitzen:
Analysis Prüfungsteil A
Analysis Prüfungsteil A
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