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Analysis Prüfungsteil B

Aufgaben
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Aufgabengruppe 1

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion $f:x\mapsto 2-\sqrt{12-2x}$ mit maximaler Definitionsmenge $D_f=]-\infty;6]$. Der Graph von $f$ wird mit $G_f$ bezeichnet.
a) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von $G_ƒ$ mit den Koordinatenachsen. Bestimmen Sie das Verhalten von $f$ für $x \to -\infty$ und geben Sie $ƒ(6)$ an.
(5P)
b) Bestimmen Sie den Term der Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ und geben Sie die maximale Definitionsmenge von $f'$ an.
Bestimmen Sie $\lim\limits_{x\to6}f'(x)$ und beschreiben Sie, welche Eigenschaft von $G_f$ aus diesem Ergebnis folgt.
(zur Kontrolle: $f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{12-2x}}$)
(5P)
c) Geben Sie das Monotonieverhalten von $G_f$ und die Wertemenge von $f$ an.
(2P)
d) Geben Sie $f(-2)$ an und zeichnen Sie $G_f$ unter der Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein.
(Platzbedarf im Hinblick auf die folgenden Aufgaben: $-3\leq y\leq 7$)
(3P)
e) Die Funktion $f$ ist in $D_f$ umkehrbar. Geben Sie die Definitionsmenge der Umkehrfunktion $f^{-1}$ von $f$ an und zeigen Sie, dass $f^{-1}(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+2x+4$ gilt.
(4P)
Der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h:x\mapsto -\dfrac{1}{2}x^2+2x+4$ ist die Parabel $G_h$.
Der Graph der in Aufgabe 1e betrachteten Umkehrfunktion $f^{-1}$ ist ein Teil dieser Parabel.

Aufgabe 2

a) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von $G_h$ mit der durch die Gleichung $y=x$ gegebenen Winkelhalbierenden $w$ des Ⅰ. und Ⅲ. Quadranten.
(Teilergebnis: $x$–Koordinaten der Schnittpunkte: $-2$ und $4$)
(3P)
b) Zeichnen Sie die Parabel $G_h$ – unter Berücksichtigung des Scheitels – im Bereich $-2\leq x\leq 4$ in Ihre Zeichnung aus Aufgabe 1d ein. Spiegelt man diesen Teil von $G_h$ an der Winkelhalbierenden $w$, so entsteht eine herzförmige Figur; ergänzen Sie Ihre Zeichnung dementsprechend.
(4P)

Aufgabe 3

Analysis Prüfungsteil B Abb. 1: Quelle: wikimedia.org – BotMultichillT
Analysis Prüfungsteil B Abb. 1: Quelle: wikimedia.org – BotMultichillT
Durch die in Aufgabe 2 entstandene herzförmige Figur soll das abgebildete Blatt modellhaft beschrieben werden. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem aus Aufgabe 1d soll dabei 1 cm in der Wirklichkeit entsprechen.
a) Berechnen Sie den Inhalt des von $G_h$ und der Winkelhalbierenden $w$ eingeschlossenen Flächenstücks. Bestimmen Sie unter Verwendung dieses Werts den Flächeninhalt des Blatts auf der Grundlage des Modells.
(5P)
b) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an $G_h$ im Punkt $(-2\mid h(-2))$.
Berechnen Sie den Wert, den das Modell für die Größe des Winkels liefert, den die Blattränder an der Blattspitze einschließen.
(6P)
c) Der Verlauf des oberen Blattrands wird in der Nähe der Blattspitze durch das bisher verwendete Modell nicht genau genug dargestellt. Daher soll der obere Blattrand im Modell für $-2\leq x \leq 0$ nicht mehr durch $G_h$, sondern durch den Graphen $G_k$ einer in $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktion $k$ dritten Grades beschrieben werden. Für die Funktion $k$ werden die folgenden Bedingungen gewählt. ($k'$ und $h'$ sind die Ableitungsfunktionen von $k$ bzw. $h$):
$\quad k(0)=h(0)$
$\quad k'(0)=h'(0)$
$\quad k(-2)=h(-2)$
$\quad k'(-2)=1,5$
Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass die Wahl der Bedingungen Ⅰ, Ⅱ und Ⅲ sinnvoll ist. Machen Sie plausibel, dass die Bedingung Ⅳ dazu führt, dass die Form des Blatts in der Nähe der Blattspitze im Vergleich zum ursprünglichen Modell genauer dargestellt wird.
(3P)

(40P)

Aufgabengruppe 2

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{20x}{x^2-25}$ und maximalem Definitionsbereich $D_f$.
Die Abbildung zeigt einen Teil des Graphen $G_f$ von $f$.
Analysis Prüfungsteil B
Analysis Prüfungsteil B

Aufgabe 1

a) Zeigen Sie, dass $D_f=\mathbb{R}\setminus \{-5;5\}$ gilt und dass $G_f$ symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Geben Sie die Nullstelle von $f$ sowie die Gleichungen der drei Asymptoten von $G_f$ an.
(5P)
b) Weisen Sie nach, dass die Steigung von $G_f$ in jedem Punkt des Graphen negativ ist. Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter den $G_f$ die $x$-Achse schneidet.
(4P)
c) Skizzieren Sie in der Abbildung den darin fehlenden Teil von $G_f$ unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse.
(3P)
d) Die Funktion $f^*:x\mapsto f(x)$ mit Definitionsbereich $]5;+\infty[$ unterscheidet sich von der Funktion $f$ nur hinsichtlich des Definitionsbereichs. Begründen Sie, dass die Funktion $f$ nicht umkehrbar ist, die Funktion $f^*$ dagegen schon. Zeichnen Sie den Graphen der Umkehrfunktion von $f^*$ in die Abbildung ein.
(4P)
e) Der Graph von $f$, die $x$-Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen $x=10$ und $x=s$ mit $s>10$ schließen ein Flächenstück mit dem Inhalt $A(s)$ ein. Bestimmen Sie $A(s)$.
(Ergebnis: $A(s)=10\cdot \text{ln}\dfrac{s^2-25}{75}$)
(5P)
f) Ermitteln Sie $s$ so, dass das Flächenstück aus Aufgabe 1e den Inhalt 100 besitzt.
(3P)
g) Bestimmen Sie das Verhalten von $A(s)$ für $s\rightarrow +\infty$.
(2P)

Aufgabe 2

Ein Motorboot fährt mit konstanter Motorleistung auf einem Fluss eine Strecke der Länge 10 km zuerst flussabwärts und unmittelbar anschließend flussaufwärts zum Ausgangspunkt zurück. Mit der Eigengeschwindigkeit des Motorboots wird der Betrag der Geschwindigkeit bezeichnet, mit der sich das Boot bei dieser Motorleistung auf einem stehenden Gewässer bewegen würde.
Im Folgenden soll modellhaft davon ausgegangen werden, dass die Eigengeschwindigkeit des Boots während der Fahrt konstant ist und das Wasser im Fluss mit der konstanten Geschwindigkeit $5\frac{\text{km}}{\text{h}}$ fließt. Die für das Wendemanöver erforderliche Zeit wird vernachlässigt.
Die Gesamtfahrtzeit in Stunden, die das Boot für Hinfahrt und Rückfahrt insgesamt benötigt, wird im Modell für $x>5$ durch den Term $t(x)=\dfrac{10}{x+5}+\dfrac{10}{x-5}$ angegeben. Dabei ist $x$ die Eigengeschwindigkeit des Boots in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$.
a) Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells für eine Fahrt mit einer Eigengeschwindigkeit von $10\frac{\text{km}}{\text{h}}$ und für eine Fahrt mit einer Eigengeschwindigkeit von $20\frac{\text{km}}{\text{h}}$ jeweils die Gesamtfahrtzeit in Minuten.
(2P)
b) Begründen Sie, dass der erste Summand des Terms $t(x)$ die für die Hinfahrt, der zweite Summand die für die Rückfahrt erforderliche Zeit in Stunden angibt.
(3P)
c) Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass $t(x)$ für $0 < x < 5$ nicht als Gesamtfahrtzeit interpretiert werden kann.
(2P)
d) Zeigen Sie, dass die Terme $f(x)$ und $t(x)$ äquivalent sind.
(2P)
e) Beschreiben Sie, wie man mithilfe der Abbildung für eine Fahrt mit einer Gesamtfahrtzeit zwischen zwei und vierzehn Stunden die zugehörige Eigengeschwindigkeit des Boots näherungsweise ermitteln kann. Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Eigengeschwindigkeit des Boots für eine Fahrt mit einer Gesamtfahrtzeit von vier Stunden.
(5P)

(40P)
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Aufgabengruppe 1

Aufgabe 1

a) $\blacktriangleright$ Schnittpunkte von $\boldsymbol{f}$ mit der $x$–Achse bestimmen
Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von $f$ mit der $x$–Achse, die $y$–Koordinate ist also 0. Die $x$-Koordinate bestimmst du, indem du den Funktionsterm von $f$ gleich Null setzt. Löse also die Gleichung:
$\begin{array}{rl} f(x)&=0\\ 2-\sqrt{12-2x}&=0 \end{array}$
Beachte dabei, dass der Funktionsterm von $f$ eine Wurzel enthält. Löse also durch Quadrieren.
$\blacktriangleright$ Schnittpunkte von $\boldsymbol{f}$ mit der $y$–Achse bestimmen
Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von $f$ mit der $y$–Achse, die $x$–Koordinate ist also 0. Die $y$-Koordinate bestimmst du, indem du $x=0$ in den Funktionsterm von $f$ einsetzt.
$\blacktriangleright$ Verhalten von $\boldsymbol{f}$ für $\boldsymbol{x \to -\infty}$ bestimmen
Überlege, was geschieht, wenn du sehr große negative Zahlen für $x$ in $f(x)$ einsetzt. Betrachte zunächst die Wurzel und schließe dann auf den Limes von $f$ für $ x \to \infty$.
$\blacktriangleright$ Funktionswert bestimmen
Du sollst den Funktionswert an der Stelle $x=6$ bestimmen. Setze dafür $x=6$ in den Funktionsterm von $f$ ein.
b) $\blacktriangleright$ Term der Ableitungsfunktion $\boldsymbol{f'}$ bestimmen
Beachte, dass du eine Wurzel als Potenz schreiben kannst:
$\sqrt x=x^{\frac{1}{2}}$
Schreibe den Funktionsterm von $f$ also erst um und bestimme dann die erste Ableitung nach der Kettenregel.
$\blacktriangleright$ Maximale Definitionsmenge von $\boldsymbol{f'}$ angeben
Die Definitionsmenge umfasst alle reellen Zahlen, die für $x$ in den Funktionsterm von $f'$ eingesetzt werden dürfen. Beachte bei $f'$, dass es sich hier:
  • um eine Wurzelfunktion handelt und
  • um eine gebrochenrationale Funktion handelt
Zum einen muss $x$ also immer so gewählt sein, dass der Ausdruck unter der Wurzel („Radikand“) größer oder gleich Null ist. Zum anderen darf der Nenner des Bruchs nicht Null sein.
Da die Wurzel alleine im Nenner steht, gilt also: Erlaubt sind alle Werte von $x$ für die der Radikand positiv ist.
$\blacktriangleright$ Grenzwert bestimmen
Überlege, was geschieht, wenn du Zahlen für $x$ in $f'(x)$ einsetzt und dich dabei immer weiter der Zahl 6 annäherst und bestimme dieses Verhalten rechnerisch.
$\blacktriangleright$ Eigenschaften von $\boldsymbol{G_f}$ beschreiben
Ausgehend von deiner Entdeckung sollst du nun die Eigenschaften des Graphen von $f$ (Achtung, nicht von $f'$) beschreiben.
Da $f'$ die Ableitung von $f$ ist, beschreibt $f'$ die Steigung von $f$ und schließe daraus was mit der Steigung passiert.
c) $\blacktriangleright$ Monotonieverhalten untersuchen
Du sollst das Monotonieverhalten von $G_f$ angeben. Betrachte dafür die Ableitung der Funktion $f$, da diese angibt, ob der Graph der Funktion fällt oder steigt. Der Graph $G_f$ ändert sein Monotonieverhalten wenn die Ableitung der Funktion eine einfache Nullstelle hat. Außerdem gilt:
  • $\boldsymbol{f'(x) > 0:}$ $\boldsymbol{f}$ ist streng monoton steigend
  • $\boldsymbol{f'(x) < 0:}$ $\boldsymbol{f}$ ist streng monoton fallend
  • $\boldsymbol{f'(x) \geq 0:}$ $\boldsymbol{f}$ ist monoton steigend
  • $\boldsymbol{f'(x) \leq 0:}$ $\boldsymbol{f}$ ist monoton fallend
Überprüfe also die Nullstellen der Ableitung und in welchem Bereich sie positive bzw. negative Werte annimmt.
$\blacktriangleright$ Wertemenge bestimmen
Nun sollst du die Wertemenge von $f$ angeben. Der Wertebereich hängt vom Wert der Wurzel ab. Betrachte also den größten bzw. kleinsten Wert, den die Wurzel annehmen kann.
d) $\blacktriangleright$ Funktionswert angeben
Du sollst $f(-2)$ angeben. Du setzt also $x=-2$ in den Funktionsterm von $f$ ein.
$\blacktriangleright$ Zeichne den Graphen
Zeichne den Graph $G_f$ unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein.
e) $\blacktriangleright$ Definitionsmenge der Umkehrfunktion
Die Definitionsmenge der Umkehrfunktion $f^{-1}$ entspricht gerade dem Wertebereich der Funktion $f$.
$\blacktriangleright$ Beweis Umkehrfunktion
Du sollst zeigen, dass $f^{-1}(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+2x+4$ die Umkehrfunktion von $f$ ist. Zeige dafür, dass die beiden Identitäten $\boldsymbol{f\left(f^{-1}\right)(x)=x}$ und $\boldsymbol{f^{-1}\left(f(x)\right)=x}$ erfüllt sind.

Aufgabe 2

a) $\blacktriangleright$ Schnittpunkte berechnen
Du sollst die Koordinaten der Schnittpunkte von $G_h$ mit der Winkelhalbierenden $y=x$ berechnen.
Setze die beiden Funktionsgleichungen dafür gleich und bringe diese in die Form $=0$.
Du hast nun eine quadratische Gleichung vorliegen, löse diese entweder mit der $\boldsymbol{abc}$–Formel oder der $\boldsymbol{pq}$–Formel.
Die $y$–Koordinate der Schnittpunkte entspricht der jeweiligen $x$–Koordinate, da die Schnittpunkte auf der Winkelhalbierenden $y=x$ liegen.
b) $\blacktriangleright$ Parabel zeichnen und spiegeln
Du sollst die Parabel unter Berücksichtigung des Scheitels zeichnen. Bestimme also zunächst den Scheitelpunkt der Parabel, indem du die Gleichung in Scheitelpunktform bringst.
Die Scheitelpunktform sieht folgendermaßen aus:
$f(x) = a\cdot (x-d)^2+e$
Der Scheitelpunkt hat dann folgende Form $S(d\mid e)$.
Zeichne also die berechneten Schnittpunkte aus Aufgabenteil a) und den Scheitelpunkt ein, um den Graph zeichnen zu können.
Spiegelt man diesen Teil von $G_h$ an der Winkelhalbierenden $w$, so entsteht eine herzförmige Figur. Spiegel zuerst den Scheitelpunkt an der Winkelhalbierenden $w$ und zeichne dann den gespiegelten Graphen ein.

Aufgabe 3

a) $\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
Berechne den Inhalt der von $G_h$ und der Winkelhalbierenden $w$ eingeschlossenen Fläche.
Die $x$–Koordinaten der Schnittpunkte von $G_h$ und der Winkelhalbierenden sind $x_1=-2$ und $x_2=4$, das sind also deine Integralgrenzen.
Der Graph der Funktion $h$ verläuft oberhalb der Winkelhalbierenden im Bereich $-2 \leq x\leq 4$, du musst also die Fläche unterhalb der Winkelhalbierenden von der Fläche unterhalb des Graphen von $h$ abziehen. Dein Integrand lautet also $h(x)-w(x)$.
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Blatts
Nun sollst du unter Verwendung des berechneten Werts den Flächeninhalt des Blatts auf der Grundlage des Modells berechnen. Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen $G_h$ und $w$ ist genau die Hälfte des Flächeninhalts des Blatts (es wurde ja gerade der Teil der Funktion an der Winkelhalbierenden gespiegelt). Multipliziere also den Flächeninhalt mit 2.
b) $\blacktriangleright$ Tangentengleichung bestimmen
Die Tangente an $G_h$ im Punkt $(-2\mid h(-2))$ kannst du mit folgender Tangentengleichung für die Stelle $a$ bestimmen:
$t(x) = f'(a)\cdot (x-a) +f(a)$
  • $a$ ist die Stelle, an der die Tangente berechnet werden soll.
  • $f'(a)$ ist die Ableitung an der Stelle $a$.
  • $f(a)$ ist der Funktionswert von $f$ an der Stelle $a$.
Für die Tangente an $G_h$ benötigst du also: $h(-2)$ und $h'(-2)$.
$\blacktriangleright$ Winkel berechnen
Du sollst die Größe des Winkels berechnen, den die Blattränder an der Blattspitze einschließen. Dafür musst du zunächst die beiden Tangenten, die ihren Schnittpunkt in der Blattspitze $x=-2$ haben, bestimmen. Die eine Tangente hast du gerade berechnet. Das Blatt ist symmetrisch zur 1. Winkelhalbierenden, deshalb kannst du die Tangente $t_h$ an der Winkelhalbierenden spiegeln und du erhältst die zweite Tangente. Bilde also die Umkehrfunktion der Tangente $t_h$.
Den Winkel zwischen zwei Geraden berechnest du mit folgender Formel:
$\phi = \tan^{-1}\left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1\cdot m_2}\right|$
Wobei $m_1, m_2$ die Steigungen der Geraden sind. Berechne mit dieser Formel den gesuchten Winkel.
c)
Du sollst nun begründen, warum die ersten drei Bedingungen sinnvoll sind.
Überlege dir was ein gleicher Funktionswert und die gleiche Steigung bedeuten, außerdem überlege dir welcher Teil des Blatts sich an der Stelle -2 befindet.
Die Bedingung Ⅳ betrifft die Steigung im Bereich der Blattspitze. Überlege dir wie sich die Form des Blatts dadurch verändert und warum das dann ein besseres Modell ist.

Aufgabengruppe 2

Aufgabe 1

a) $\blacktriangleright$ Definitionsbereich bestimmen
Die Definitionsmenge umfasst alle reellen Zahlen, die für $x$ in den Funktionsterm von $f(x)$ eingesetzt werden dürfen. Beachte, dass es sich hier um eine gebrochenrationale Funktion handelt. $x$ muss also immer so gewählt sein, dass der Nenner des Bruchs ungleich Null ist.
Berechne also die Zahlen, für die der Nenner Null ist.
$\blacktriangleright$ Symmetrie zum Koordinatenursprung überprüfen
Der Graph einer Funktion ist symmetrisch zum Koordinatenursprung, falls gilt:
$\boldsymbol{f(-x) = -f(x)}$
$\blacktriangleright$ Nullstellen bestimmen
Die Nullstellen bestimmst du, indem du den Funktionsterm von $f(x)$ gleich Null setzt.
$\blacktriangleright$ Asymptoten bestimmen
Der Graph einer Funktion kann sowohl senkrechte, als auch waagrechte Asymptoten besitzen.
Die senkrechten Asymptoten sind die Nullstellen des Nenners. Der Graph einer Funktion hat die $\boldsymbol{x}$–Achse als waagrechte Asymptote, falls
Zählergrad < Nennergrad
gilt.
b) $\blacktriangleright$ Negative Steigung
Du sollst nachweisen, dass die Steigung von $G_f$ in jedem Punkt des Graphen negativ ist. Berechne dafür zunächst die Ableitung der Funktion $f$ mit der Quotientenregel.
Betrachte den Nenner und den Zähler der Ableitung einzeln.
$\blacktriangleright$ Winkel berechnen
Du sollst die Größe des Winkels, unter dem $G_f$ die $x$– Achse schneidet, berechnen. Den Winkel zwischen einer Geraden und der $\boldsymbol{x}$–Achse berechnest du mit folgender Formel:
$\boldsymbol{\phi = \tan^{-1}\left|m\right|}$
Wobei $m$ die Steigung der Geraden ist.
Die Gerade ist die Tangente an den Graphen $G_f$ im Punkt $x=0$. Für die Berechnung des Winkels benötigst du die Steigung der Tangente, diese erhältst du mithilfe der Ableitungsfunktion $f'$ an der Stelle $x=0$.
c) $\blacktriangleright$ Skizze ergänzen
Du sollst den Graphen der Funktion im Bereich $-14 \leq x \leq 5$ in das Koordinatensystem einzeichnen.
Zeichne zuerst die berechneten Asymptoten in das Koordinatensystem ein. Markiere dir dann die Nullstelle. Beachte beim Einzeichnen die Symmetrie des Graphen der Funktion. Beachte außerdem, dass der Graph der Funktion die Asymptoten nicht berührt.
d) $\blacktriangleright$ Umkehrfunktion
Du sollst begründen, warum die Funktion $f$ nicht umkehrbar ist.
Eine Funktion ist nicht umkehrbar, falls es für mindestens ein $x \in \mathbb{D}$ mehrere Lösungen zu $f(x)=t$ gibt.
Suche also nach Werten für $x$, die den gleichen Funktionswert liefern, betrachte dazu deine Zeichnung aus Aufgabenteil c).
Betrachte die Zeichnung aus dem vorherigen Aufgabenteil und überlege dir warum $f^*$ umkehrbar ist.
$\blacktriangleright$ Umkehrfunktion zeichnen
Der Graph einer Umkehrfunktion entsteht durch Spiegelung des Graphen der ursprünglichen Funktion an der Gerade zu $y=x$. Spiegle also den Graphen von $f^*$ an der ersten Winkelhalbierenden. Du erhältst in etwa folgende Abbildung.
e) $\blacktriangleright$ Integral berechnen
Du sollst also mithilfe des Integrals den Wert von $A(s)$ bestimmen. Deine Integralgrenzen sind gegeben durch $x=10$ und $x=s$ mit $s>10$.
Dafür benötigst du eine Stammfunktion $F$ von $f$. Betrachte dafür die Verkettung einer Logarithmusfunktion und einer ganzrationalen Funktion $b\cdot x^n+c$:
$h(x) = a(\ln (b\cdot x^n +c))$
Leite diese Funktion mit der Kettenregel ab.
Schreibe dir die Funktion $f$ um. Versuche den Term in die Form der gerade berechneten Ableitung zu erhalten.
Jetzt kannst du die Parameter $a, b$ und $c$ ablesen und diese Werte in den Funktionsterm von $h$ einsetzen, um die Stammfunktion von $f$ zu erhalten:
Jetzt kannst du den gesuchten Inhalt berechnen.
f) $\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{s}$ bestimmen
Das Flächenstück aus Aufgabenteil e) soll den Inhalt 100 besitzen. Es soll also gelten:
$A(s) = 10\cdot \text{ln}\dfrac{s^2-25}{75} = 100$
Stelle diese Gleichung nach $s$ um.
g) $\blacktriangleright$ Verhalten für $\boldsymbol{s\rightarrow +\infty}$ untersuchen
Du sollst das Verhalten von $A(s)$ für $s\rightarrow +\infty$ untersuchen. Betrachte dafür zunächst den Teil, der in der Logarithmusfunktion steht.
$\dfrac{s^2-25}{75}=\dfrac{1}{75}s^2 - \dfrac{1}{3}$
Setze hier große Werte für $s$ ein und betrachte die Funktionswerte. Schließe daraus auf das Verhalten für $s\rightarrow +\infty$.
Der Logarithmus steigt streng monoton, das bedeutet, dass für größer werdende $x$ Werte auch die Funktionswerte größer werden. Den Teil in der Logarithmusfunktion hast du bereits betrachtet, betrachte nun den Logarithmus und setze Werte ein. Schließe daraus auf das Verhalten für $s\rightarrow +\infty$.
Betrachte jetzt $A(s)$.

Aufgabe 2

a) $\blacktriangleright$ Gesamtfahrzeit bestimmen
Um die gesuchten Gesamtfahrzeiten zu bestimmen, setze die gegebenen Eigengeschwindigkeiten in den Funktionsterm von $t$ ein.
b) $\blacktriangleright$ Begründung des Terms
Die Nenner der Terme geben die Geschwindigkeit in km/h an und die Zähler die Strecke von 10 km.
Der erste Summand des Terms $t(x)$ beschreibt die Zeit die für 10 km benötigt wird, wenn sich die Geschwindigkeit aus der Eigengeschwindigkeit plus 5 $\frac{\textbf{km}}{\textbf{h}}$ ergibt. Die Fließgeschwindigkeit des Flusses beträgt 5 $\frac{\text{km}}{\text{h}}$.
Der zweite Summand des Terms $t(x)$ beschreibt die Zeit die für 10 km benötigt wird, wenn sich die Geschwindigkeit aus der Eigengeschwindigkeit minus 5 $\frac{\textbf{km}}{\textbf{h}}$ ergibt. Die Fließgeschwindigkeit des Flusses beträgt 5 $\frac{\text{km}}{\text{h}}$.
Überlege dir welche Geschwindigkeit sich für flussauf- bzw. abwärts ergibt und dementsprechend welcher Term zur Hin- bzw. Rückfahrt gehört.
c) $\blacktriangleright$ Begründung für Gesamtfahrzeit
Du sollst im Sachzusammenhang begründen, dass $t(x)$ für $0<x<5$ nicht als Gesamtfahrtzeit interpretiert werden kann. Betrachte dafür die Geschwindigkeit für die Rückfahrt, also den Nenner des zweiten Terms.
d) $\blacktriangleright$ Zeige Äquivalenz
Um die Äquivalenz zu zeigen, bringe die Terme von $t(x)$ auf den gleichen Nenner und forme den Term um, bis er dem Term von $f(x)$ gleicht.
e) $\blacktriangleright$ Eigengeschwindigkeit näherungsweise ermitteln
Die Gesamtfahrtzeit soll zwischen zwei und vierzehn Stunden liegen, es gilt also $2 \leq t \leq 14$. Zeichne also die Gleichung $y = t$ als waagrechte Gerade in dein Koordinatensystem ein und lese die $x$ – Koordinate des Schnittpunkts ab. Überlege dir, was der zugehörigen Eigengeschwindigkeit des Boots entspricht.
$\blacktriangleright$ Eigengeschwindigkeit für eine Fahrt von vier Stunden
Die Eigengeschwindigkeit des Boots für eine Fahrt mit einer Gesamtfahrtzeit von vier Stunden berechnest du, indem du die Gleichung $\boldsymbol{4 = f(x) = t(x)}$ löst.
Das entsprechende Nullstellenproblem löst du mit der pq-Formel oder der abc-Formel.
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Aufgabengruppe 1

Aufgabe 1

a) $\blacktriangleright$ Schnittpunkte von $\boldsymbol{f}$ mit der $x$–Achse bestimmen
Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von $f$ mit der $x$–Achse, die $y$–Koordinate ist also 0. Die $x$-Koordinate bestimmst du, indem du den Funktionsterm von $f$ gleich Null setzt. Löse also die Gleichung:
$\begin{array}{rl} f(x)&=0\\ 2-\sqrt{12-2x}&=0 \end{array}$
Beachte dabei, dass der Funktionsterm von $f$ eine Wurzel enthält. Löse also durch Quadrieren.
$\begin{array}{rll} 2-\sqrt{12-2x}&=0&\scriptsize{\mid +\sqrt{12-2x}}\\ 2&=\sqrt{12-2x}&\scriptsize{\mid ( )^2}\\ 4&=12-2x&\scriptsize{\mid -12}\\ -8&=-2x&\scriptsize{\mid :(-2)}\\ x&=4 \end{array}$
$\begin{array}{rl} 2-\sqrt{12-2x}&=0\\ 2&=\sqrt{12-2x}\\ 4&=12-2x\\ -8&=-2x\\ x&=4 \end{array}$
Damit kannst du sagen: Die Funktion $f$ hat genau einen Schnittpunkt mit der $x$–Achse, nämlich $(4 \mid 0)$.
$\blacktriangleright$ Schnittpunkte von $\boldsymbol{f}$ mit der $y$–Achse bestimmen
Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von $f$ mit der $y$–Achse, die $x$–Koordinate ist also 0. Die $y$-Koordinate bestimmst du, indem du $x=0$ in den Funktionsterm von $f$ einsetzt. Löse also die Gleichung:
$\begin{array}{rl} f(0)&=y\\ 2-\sqrt{12-2\cdot 0}&=y\\ 2-\sqrt{12}&=y\\ y&= -1,464 \end{array}$
Damit kannst du sagen: Die Funktion $f$ hat genau einen Schnittpunkt mit der $y$–Achse, nämlich $(0 \mid -1,464)$.
$\blacktriangleright$ Verhalten von $\boldsymbol{f}$ für $\boldsymbol{x \to -\infty}$ bestimmen
Überlege, was geschieht, wenn du sehr große negative Zahlen für $x$ in $f(x)$ einsetzt:
  • $f(-1000)=2-\sqrt{12-2\cdot (-1000)}$$=2-\sqrt{12+2000}$$\approx -42,855$
  • $f(-10000)=2-\sqrt{12-2\cdot (-10000)}$$=2-\sqrt{12+20000}$$\approx -139,463$
Je weiter du dich an $-\infty$ annäherst, desto größer negativer werden die Funktionswerte. Dieses Verhalten lässt sich auch rechnerisch bestimmen:
$\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty} 2-\sqrt{12-2x}$
Für Werte, die sich $-\infty$ annähern, geht die Wurzel gegen $\infty$. Hier ergeben sich also sehr große positive Zahlen.
Da diese sehr große positive Zahl von 2 abgezogen wird, erhältst du eine sehr große negative Zahl.
Damit kannst du sagen:
Für $x\to -\infty$ geht $f(x)\to -\infty$ oder auch $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$.
$\blacktriangleright$ Funktionswert bestimmen
Du sollst den Funktionswert an der Stelle $x=6$ bestimmen. Setze dafür $x=6$ in den Funktionsterm von $f$ ein:
$\begin{array}{rl} f(6)&=2-\sqrt{12-2\cdot 6}\\ &=2-\sqrt{12-12}\\ &=2-\sqrt{0}\\ &= 2 \end{array}$
Der Funktionswert an der Stelle $x=6$ beträgt $f(6)=2$.
b) $\blacktriangleright$ Term der Ableitungsfunktion $\boldsymbol{f'}$ bestimmen
Beachte, dass du eine Wurzel als Potenz schreiben kannst:
$\sqrt x=x^{\frac{1}{2}}$
Schreibe den Funktionsterm von $f$ also erst um und bestimme dann die erste Ableitung nach der Kettenregel.
$\begin{array}{rl} f(x)&=2-(12-2x)^{\frac{1}{2}}\\ f'(x)&=-\dfrac{1}{2}\cdot\left(12-2x\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot(-2)\\ &=(12-2x)^{-\frac{1}{2}}\\ &=\dfrac{1}{(12-2x)^{\frac{1}{2}}}\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{12-2x}} \end{array}$
$\blacktriangleright$ Maximale Definitionsmenge von $\boldsymbol{f'}$ angeben
Die Definitionsmenge umfasst alle reellen Zahlen, die für $x$ in den Funktionsterm von $f'$ eingesetzt werden dürfen. Beachte bei $f'$, dass es sich hier:
  • um eine Wurzelfunktion handelt und
  • um eine gebrochenrationale Funktion handelt
Zum einen muss $x$ also immer so gewählt sein, dass der Ausdruck unter der Wurzel („Radikand“) größer oder gleich Null ist. Zum anderen darf der Nenner des Bruchs nicht Null sein.
Da die Wurzel alleine im Nenner steht, gilt also: Erlaubt sind alle Werte von $x$ für die der Radikand positiv ist.
Setze deshalb $12-2x>0$ und löse nach $x$ auf:
$\begin{array}{rll} 12-2x>&0&\scriptsize{\mid +2x}\\ 12>&2x&\scriptsize{\mid :2}\\ 6>&x\\ x <&6 \end{array}$
$\begin{array}{rl} 12-2x>&0x\\ 12>&2x\\ 6>&x\\ x < &6 \end{array}$
Der Definitionsbereich von $f'$ umfasst alle Werte, die echt kleiner als 6 sind. In Formeln:
$D=[-\infty\,;\,6[$.
$\blacktriangleright$ Grenzwert bestimmen
Überlege, was geschieht, wenn du Zahlen für $x$ in $f'(x)$ einsetzt und dich dabei immer weiter der Zahl 6 annäherst:
  • $f'(5,9)=\dfrac{1}{\sqrt{12-2\cdot5,9}}$$=\dfrac{1}{\sqrt{0,2}}\approx2,24$
  • $f'(5,99)=\dfrac{1}{\sqrt{12-2\cdot5,99}}$$=\dfrac{1}{\sqrt{0,02}}\approx7,07$
  • $f'(5,999)=\dfrac{1}{\sqrt{12-2\cdot5,999}}$$=\dfrac{1}{\sqrt{0,002}}\approx22,36$
Je näher du dich der 6 annäherst, desto größer werden die Funktionswerte. Dieses Verhalten lässt sich auch rechnerisch bestimmen:
$\lim\limits_{x\to6}f'(x)=\lim\limits_{x\to6}\dfrac{1}{\sqrt{12-2x}}$
Für Werte, die sich 6 annähern, geht der Radikand wegen $12-2\cdot6=0$ gegen Null. Hier ergeben sich also sehr kleine positive Zahlen im Nenner.
Die 1 geteilt durch eine kleine positive Zahl ergibt eine sehr große positive Zahl.
Damit kannst du sagen:
Für $x\to6$ geht $f'(x)\to\infty$ oder auch $\lim\limits_{x\to6}f'(x)=\infty$.
$\blacktriangleright$ Eigenschaften von $\boldsymbol{G_f}$ beschreiben
Ausgehend von deiner Entdeckung sollst du nun die Eigenschaften des Graphen von $f$ (Achtung, nicht von $f'$) beschreiben.
Da $f'$ die Ableitung von $f$ ist, beschreibt $f'$ die Steigung von $f$. Die Steigung nähert sich für $x\to6$ gegen Unendlich an.
Also muss der Graph $G_f$ für $x\to6$ immer steiler ansteigen und für $x\to6$ einen Steigungswinkel von fast 90° erreichen.
c) $\blacktriangleright$ Monotonieverhalten untersuchen
Du sollst das Monotonieverhalten von $G_f$ angeben. Betrachte dafür die Ableitung der Funktion $f$, da diese angibt, ob der Graph der Funktion fällt oder steigt. Der Graph $G_f$ ändert sein Monotonieverhalten wenn die Ableitung der Funktion eine einfache Nullstelle hat. Außerdem gilt:
  • $\boldsymbol{f'(x) > 0:}$ $\boldsymbol{f}$ ist streng monoton steigend
  • $\boldsymbol{f'(x) < 0:}$ $\boldsymbol{f}$ ist streng monoton fallend
  • $\boldsymbol{f'(x) \geq 0:}$ $\boldsymbol{f}$ ist monoton steigend
  • $\boldsymbol{f'(x) \leq 0:}$ $\boldsymbol{f}$ ist monoton fallend
Untersuche die Funktion $f$ auf Nullstellen, du erhältst dann die Stellen für die der Graph $G_f$ sein Monotonieverhalten ändert. Für die Funktion $f$ gilt:
$\begin{array}{rll} 0 &=f'(x)&\\ 0&=\dfrac{1}{\sqrt{12-2x}}&\scriptsize{\mid \cdot \sqrt{12-2x}}\\ 0&=1& \scriptsize{\text{Widerspruch!}} \end{array}$
$\begin{array}{rl} 0 &=f'(x)\\ 0&=\dfrac{1}{\sqrt{12-2x}}\\ 0&=1 \scriptsize{\text{ Widerspruch!}} \end{array}$
Da die Wurzel immer positiv ist gilt für $f'$:
$f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{12-2x}} > 0$
Da die Ableitung strikt positiv ist, ist der Graph $G_f$ streng monoton steigend.
$\blacktriangleright$ Wertemenge bestimmen
Nun sollst du die Wertemenge von $f$ angeben. Der Wertebereich hängt vom Wert der Wurzel ab. Betrachte also den größten bzw. kleinsten Wert, den die Wurzel annehmen kann.
Der kleinste Wert der Wurzel ist 0. für diesen Wert ist dann der Funktionswert der Funktion $f$ am größten, da die Wurzel subtrahiert wird. Die Obergrenze des Wertebereichs ist somit 2.
Der größte Wert der Wurzel ist $\infty$, da die Wurzel streng monoton steigt. Für $f$ ist somit die Untergrenze des Wertebereichs $-\infty$.
Der Wertebereich ist gegeben durch $\boldsymbol{]-\infty;2]}$.
d) $\blacktriangleright$ Funktionswert angeben
Du sollst $f(-2)$ angeben. Du setzt also $x=-2$ in den Funktionsterm von $f$ ein.
$f(-2) = 2-\sqrt{12-2\cdot (-2)}$ $= 2-\sqrt{12+4} $$=2-\sqrt{16} = 2-4 = -2$
$\blacktriangleright$ Zeichne den Graphen
Zeichne den Graph $G_f$ unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein.
Analysis Prüfungsteil B
Analysis Prüfungsteil B
e) $\blacktriangleright$ Definitionsmenge der Umkehrfunktion
Die Definitionsmenge der Umkehrfunktion $f^{-1}$ entspricht gerade dem Wertebereich der Funktion $f$.
Die Definitionsmenge der Umkehrfunktion ist gegeben durch $\boldsymbol{]-\infty;2]}$.
$\blacktriangleright$ Beweis Umkehrfunktion
Du sollst zeigen, dass $f^{-1}(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+2x+4$ die Umkehrfunktion von $f$ ist. Zeige dafür, dass die beiden Identitäten $\boldsymbol{f\left(f^{-1}\right)(x)=x}$ und $\boldsymbol{f^{-1}\left(f(x)\right)=x}$ erfüllt sind.
$\begin{array}{rll} f(f^{-1}(x))=&f(-\frac{1}{2}x^2 + 2x+4)&\\ =&2-\sqrt{12+x^2 - 4x-8}&\\ =&2-\sqrt{4+x^2 -4x}&\scriptsize{\text{2. Binomische Formel}}\\ =&2-\sqrt{(2-x)^2}&\\ =&2-(2-x)&\\ =&2-2+x&\\ =&x& \end{array}$
$\begin{array}{rl} f(f^{-1}(x))=&f(-\frac{1}{2}x^2 + 2x+4)\\ =&2-\sqrt{12+x^2 - 4x-8}\\ =&2-\sqrt{4+x^2 -4x}\\ =&2-\sqrt{(2-x)^2}\\ =&2-(2-x)\\ =&2-2+x\\ =&x \end{array}$
$\begin{array}{rll} f^{-1}(f(x))=&f^{-1}(2-\sqrt{12-2x})&\\ =&-\frac{1}{2}(2-\sqrt{12-2x})^2 \\ &+ 2\cdot (2-\sqrt{12-2x})+4&\\ =&-\frac{1}{2}(4-4\sqrt{12-2x}+12-2x) \\ &+ 4 -2\sqrt{12-2x}+4&\\ =&-2+2\sqrt{12-2x}-6\\ &+x + 4 -2\sqrt{12-2x}+4&\\ =&x& \end{array}$
Die beiden Bedingungen sind erfüllt, deshalb ist $f^{-1}$ die Umkehrfunktion von $f$.

Aufgabe 2

a) $\blacktriangleright$ Schnittpunkte berechnen
Du sollst die Koordinaten der Schnittpunkte von $G_h$ mit der Winkelhalbierenden $y=x$ berechnen.
Setze die beiden Funktionsgleichungen dafür gleich und bringe diese in die Form $=0$:
$\begin{array}{rll} w(x)&=h(x)&\\ x&=-\frac{1}{2}x^2 + 2x+4& \scriptsize{\mid -x}\\ 0&=-\frac{1}{2}x^2 + x+4& \end{array}$
$\begin{array}{rl} w(x)&=h(x)\\ x&=-\frac{1}{2}x^2 + 2x+4\\ 0&=-\frac{1}{2}x^2 + x+4 \end{array}$
Du hast nun eine quadratische Gleichung vorliegen, löse diese entweder mit der $\boldsymbol{abc}$–Formel oder der $\boldsymbol{pq}$–Formel. Du kannst aus der Gleichung oben ablesen $a=-0.5,\ b=1\ \text{und } c=4$.
$\begin{array}{rll} x_{1,2}&=\dfrac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}}& \\ &=\dfrac{{ - 1 \pm \sqrt {1^2 - 4\cdot (-0.5) \cdot 4} }}{{2\cdot (-0.5)}}& \\ &=\dfrac{{ - 1 \pm \sqrt {1 +8} }}{{-1}}& \\ &=\dfrac{{ - 1 \pm \sqrt {9} }}{{-1}}& \\ &=\dfrac{{ - 1 \pm 3 }}{{-1}}& \\ x_1&=\dfrac{{ - 1 + 3 }}{{-1}} = -2& \\ x_2&=\dfrac{{ - 1 - 3 }}{{-1}} = 4& \end{array}$
Alternativ
Für die $pq$-Formel musst du die quadratische Gleichung noch mit -2 multiplizieren.
$\begin{array}{rll} 0&=-\frac{1}{2}x^2 + x+4& \scriptsize{\mid \cdot(-2)}\\ 0&=x^2 -2 x-8 \end{array}$
$\begin{array}{rl} 0&=-\frac{1}{2}x^2 + x+4\\ 0&=x^2 -2 x-8 \end{array}$
Jetzt kannst du aus der Gleichung ablesen $p=-2$ und $q=-8$.
$\begin{array}{rll} x_{1,2}&=-\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}& \\ &=-\dfrac{-2}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-2}{2}\right)^2-(-8)}& \\ &=1 \pm \sqrt{1+8}& \\ &=1 \pm \sqrt{9}& \\ &=1 \pm 3& \\ x_1&=1-3=-2\\ x_2&=1+3=4 \end{array}$
Die $x$–Koordinaten der Schnittpunkte sind gegeben durch $x_1 = -2$ und $x_2 = 4$.
Die $y$–Koordinate der Schnittpunkte entspricht der jeweiligen $x$–Koordinate, da die Schnittpunkte auf der Winkelhalbierenden $y=x$ liegen.
Die Schnittpunkte von $G_h$ mit der Winkelhalbierenden $y=x$ sind gegeben durch $S_1(-2\mid -2)$ (liegt im III. Quadranten) und $S_2(4\mid 4)$ (liegt im I. Quadranten).
b) $\blacktriangleright$ Parabel zeichnen und spiegeln
Du sollst die Parabel unter Berücksichtigung des Scheitels zeichnen. Bestimme also zunächst den Scheitelpunkt der Parabel, indem du die Gleichung in Scheitelpunktform bringst.
Die Scheitelpunktform sieht folgendermaßen aus:
$f(x) = a\cdot (x-d)^2+e$
Der Scheitelpunkt hat dann folgende Form $S(d\mid e)$.
$\begin{array}{rll} f(x)&=-\dfrac{1}{2}x^2+2x+4&\scriptsize{ -\frac{1}{2} \text{ ausklammern} }\\ &=-\dfrac{1}{2}\left(x^2-4x-8\right)& \scriptsize{\text{quadratische Ergänzung} } \\ &=-\dfrac{1}{2}\left(x^2-4x+4-4-8\right)& \\ &=-\dfrac{1}{2}\left(x^2-4x+4-12\right)& \\ &=-\dfrac{1}{2}\left((x-2)^2-12\right)& \\ &=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2+6& \end{array}$
$\begin{array}{rl} f(x)&=-\dfrac{1}{2}x^2+2x+4 \\ &=-\dfrac{1}{2}\left(x^2-4x-8\right) \\ &=-\dfrac{1}{2}\left(x^2-4x+4-4-8\right) \\ &=-\dfrac{1}{2}\left(x^2-4x+4-12\right) \\ &=-\dfrac{1}{2}\left((x-2)^2-12\right) \\ &=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2+6 \end{array}$
Der Scheitelpunkt des Graphen lautet somit $S(2\mid 6)$.
Zeichne also die berechneten Schnittpunkte aus Aufgabenteil a) und den Scheitelpunkt ein, um den Graph zeichnen zu können.
Spiegelt man diesen Teil von $G_h$ an der Winkelhalbierenden $w$, so entsteht eine herzförmige Figur. Spiegel zuerst den Scheitelpunkt an der Winkelhalbierenden $w$ und zeichne dann den gespiegelten Graphen ein.
Analysis Prüfungsteil B
Analysis Prüfungsteil B

Aufgabe 3

a) $\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen
Berechne den Inhalt der von $G_h$ und der Winkelhalbierenden $w$ eingeschlossenen Fläche.
Die $x$–Koordinaten der Schnittpunkte von $G_h$ und der Winkelhalbierenden sind $x_1=-2$ und $x_2=4$, das sind also deine Integralgrenzen.
Der Graph der Funktion $h$ verläuft oberhalb der Winkelhalbierenden im Bereich $-2 \leq x\leq 4$, du musst also die Fläche unterhalb der Winkelhalbierenden von der Fläche unterhalb des Graphen von $h$ abziehen. Dein Integrand lautet also $h(x)-w(x)$.
$\begin{array}{rll} A_{G_h,w}&=\displaystyle\int_{-2}^{4}(h(x)-w(x))\mathrm dx&\\ &=\displaystyle\int_{-2}^{4}\left(-\frac{1}{2}x^2 + 2x +4-x\right)\mathrm dx&\\ &=\displaystyle\int_{-2}^{4}\left(-\frac{1}{2}x^2 + x +4\right)\mathrm dx&\\ &=\left[-\frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2}x^2 +4x\right]^4_{-2}&\\ &=-\frac{1}{6}\cdot 4^3 + \frac{1}{2}\cdot4^2 +4\cdot4-\left(-\frac{1}{6}(-2)^3 + \frac{1}{2}\cdot(-2)^2 +4\cdot(-2)\right)&\\ &=-\frac{32}{3}+ 8 +16-\frac{4}{3} - 2 +8&\\ &=-12+ 8 +16 +6&\\ &=18& \end{array}$
$\begin{array}{rll} A_{G_h,w}=&\displaystyle\int_{-2}^{4}(h(x)-w(x))\mathrm dx&\\ =&\displaystyle\int_{-2}^{4}\left(-\frac{1}{2}x^2 + 2x +4-x\right)\mathrm dx&\\ =&\displaystyle\int_{-2}^{4}\left(-\frac{1}{2}x^2 + x +4\right)\mathrm dx&\\ =&\left[-\frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2}x^2 +4x\right]^4_{-2}&\\ =&-\frac{1}{6}\cdot 4^3 + \frac{1}{2}\cdot4^2 +4\cdot4\\ &-\left(-\frac{1}{6}(-2)^3 + \frac{1}{2}\cdot(-2)^2\\ &+4\cdot(-2)\right)&\\ =&-\frac{32}{3}+ 8 +16-\frac{4}{3} - 2 +8&\\ =&-12+ 8 +16 +6&\\ =&18& \end{array}$
Der Inhalt der von $G_h$ und der Winkelhalbierenden $w$ eingeschlossenen Fläche beträgt 18 FE.
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Blatts
Nun sollst du unter Verwendung des berechneten Werts den Flächeninhalt des Blatts auf der Grundlage des Modells berechnen. Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen $G_h$ und $w$ ist genau die Hälfte des Flächeninhalts des Blatts (es wurde ja gerade der Teil der Funktion an der Winkelhalbierenden gespiegelt). Multipliziere also den Flächeninhalt mit 2:
$A_{\text{Blatt}} = 2\cdot A_{G_h,w} = 2\cdot 18 = 36$
Der Flächeninhalt des Blatts beträgt $36 \text{ cm}^2$.
b) $\blacktriangleright$ Tangentengleichung bestimmen
Die Tangente an $G_h$ im Punkt $(-2\mid h(-2))$ kannst du mit folgender Tangentengleichung für die Stelle $a$ bestimmen:
$t(x) = f'(a)\cdot (x-a) +f(a)$
  • $a$ ist die Stelle, an der die Tangente berechnet werden soll.
  • $f'(a)$ ist die Ableitung an der Stelle $a$.
  • $f(a)$ ist der Funktionswert von $f$ an der Stelle $a$.
Für die Tangente an $G_h$ benötigst du also:
  • $h(-2) = -\frac{1}{2} \cdot 4 + 2\cdot (-2) +4$$ = -2$
  • $h'(x) = -x + 2$
  • $h'(-2) = 4$
Jetzt kannst du die Tangente $t_h$ an der Stelle $-2$ berechnen:
$\begin{array}{rl} t_h(x)&=h'(-2)\cdot (x-(-2)) +h(-2)\\ &=4\cdot (x+2) -2\\ &=4\cdot x + 6 \end{array}$
Die Tangentengleichung lautet $t_h(x) = 4\cdot x +6$.
$\blacktriangleright$ Winkel berechnen
Du sollst die Größe des Winkels berechnen, den die Blattränder an der Blattspitze einschließen. Dafür musst du zunächst die beiden Tangenten, die ihren Schnittpunkt in der Blattspitze $x=-2$ haben, bestimmen. Die eine Tangente hast du gerade berechnet. Das Blatt ist symmetrisch zur 1. Winkelhalbierenden, deshalb kannst du die Tangente $t_h$ an der Winkelhalbierenden spiegeln und du erhältst die zweite Tangente. Bilde also die Umkehrfunktion der Tangente $t_h$.
$\begin{array}{rll} y&=4\cdot x + 6&\scriptsize{\mid -6}\\ y-6&=4\cdot x& \scriptsize{\mid :4}\\ x&=\frac{1}{4}\cdot y-\frac{3}{2}& \end{array}$
$\begin{array}{rl} y&=4\cdot x + 6\\ y-6&=4\cdot x\\ x&=\frac{1}{4}\cdot y-\frac{3}{2} \end{array}$
Die Umkehrfunktion ist gegeben durch $t_h^{-1}(x) = \frac{1}{4}\cdot x-\frac{3}{2}$.
Den Winkel zwischen zwei Geraden berechnest du mit folgender Formel:
$\phi = \tan^{-1}\left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1\cdot m_2}\right|$
Wobei $m_1, m_2$ die Steigungen der Geraden sind. Berechne mit dieser Formel den gesuchten Winkel:
$\begin{array}{rl} \phi&=\tan^{-1}\left|\dfrac{4-0,25}{1+4\cdot 0,25}\right| \\ &=\tan^{-1}\left|\dfrac{3,75}{2}\right|\\ &=\tan^{-1}\mid 1,875 \mid\\ &=61,9 ^{\circ} \end{array}$
Der Winkel, den die Blattränder an der Blattspitze einschließen, ist $61,9 ^{\circ}$ groß.
c) Du hast die folgenden Bedingungen für die neue Funktion, die die Blattspitze beschreiben soll:
$\quad k(0)=h(0)$
$\quad k'(0)=h'(0)$
$\quad k(-2)=h(-2)$
$\quad k'(-2)=1,5$
Du sollst nun begründen, warum die ersten drei Bedingungen sinnvoll sind.
Die ersten beiden Bedingungen sorgen dafür, dass der Übergang zum bisherigen Modell sprungfrei (Bedingung Ⅰ) und knickfrei (Bedingung Ⅱ, gleiche Steigung) verläuft. Die Funktion ist in diesem Punkt also stetig differenzierbar. Die Bedingung Ⅲ sorgt dafür, dass die Blattspitze im gleichen Punkt bleibt wie im vorherigen Modell.
Die Bedingung Ⅳ führt dazu, dass die Steigung im Bereich der Blattspitze flacher ist als im vorherigen Modell. Im vorherigen Modell betrug die entsprechende Steigung $h'(-2)=4$, jetzt nur noch $k'(-2)=1,5$. Das beschreibt die Form des Blatts in der Nähe der Blattspitze genauer, da das Blatt dann spitzer zusammenläuft.

Aufgabengruppe 2

Aufgabe 1

a) $\blacktriangleright$ Definitionsbereich bestimmen
Die Definitionsmenge umfasst alle reellen Zahlen, die für $x$ in den Funktionsterm von $f(x)$ eingesetzt werden dürfen. Beachte, dass es sich hier um eine gebrochenrationale Funktion handelt. $x$ muss also immer so gewählt sein, dass der Nenner des Bruchs ungleich Null ist.
Berechne also die Zahlen, für die der Nenner Null ist:
$\begin{array}{rll} 0&=x^2-25&\scriptsize{\mid +25}\\ 25&=x^2&\scriptsize{\mid \sqrt{ }}\\ x_{1,2}&=\pm 5& \end{array}$
$\begin{array}{rl} 0&=x^2-25\\ 25&=x^2\\ x_{1,2}&=\pm 5& \end{array}$
Der Definitionsbereich ist also gegeben durch $\boldsymbol{D_f=\mathbb{R}\setminus \{-5;5\}}$.
$\blacktriangleright$ Symmetrie zum Koordinatenursprung überprüfen
Der Graph einer Funktion ist symmetrisch zum Koordinatenursprung, falls gilt:
$\boldsymbol{f(-x) = -f(x)}$
Überprüfe das für die gegebene Funktion $f$, indem du $-x$ in $f(x)$ einsetzt und wie folgt berechnest:
$f(-x) = \dfrac{20\cdot(-x)}{(-x)^2 - 25} $$= -\dfrac{20\cdot x}{x^2 - 25} $$= -f(x)$
Die Funktion erfüllt die Bedingung, sie ist somit symmetrisch zum Koordinatenursprung.
$\blacktriangleright$ Nullstellen bestimmen
Die Nullstellen bestimmst du, indem du den Funktionsterm von $f(x)$ gleich Null setzt:
$\begin{array}{rll} 0&=\dfrac{20\cdot x}{x^2 - 25}&\scriptsize{\mid \cdot (x^2 - 25)}\\ 0 &= 20 \cdot x& \scriptsize{\mid :20 }\\ x_0&=0& \end{array}$
$\begin{array}{rl} 0&=\dfrac{20\cdot x}{x^2 - 25}\\ 0 &= 20 \cdot x\\ x_0&=0 \end{array}$
Die Nullstelle des Graphen $G_f$ von $f$ ist $\boldsymbol{x_0 = 0}$.
$\blacktriangleright$ Asymptoten bestimmen
Der Graph einer Funktion kann sowohl senkrechte, als auch waagrechte Asymptoten besitzen.
Die senkrechten Asymptoten sind die Nullstellen des Nenners. Diese hast du bereits in Teil a) berechnet.
$x_{1} = 5$ und $x_2 = -5$
Die senkrechten Asymptoten sind $\boldsymbol{x=-5}$ und $\boldsymbol{x=5}$.
Der Graph einer Funktion hat die $\boldsymbol{x}$–Achse als waagrechte Asymptote, falls
Zählergrad < Nennergrad
gilt.
Für die Funktion $f$ gilt:
  • Nennergrad $= 2$
  • Zählergrad $= 1$
Die $\boldsymbol{x}$–Achse ist also die waagrechte Asymptote des Graphen $G_f$.
b) $\blacktriangleright$ Negative Steigung
Du sollst nachweisen, dass die Steigung von $G_f$ in jedem Punkt des Graphen negativ ist. Berechne dafür zunächst die Ableitung der Funktion $f$ mit der Quotientenregel.
Dabei gilt $u(x) = 20x, v(x)= x^2-25$ mit $u'(x) = 20, v'(x) =2x$.
$\begin{array}{rl} f'(x)&=\dfrac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2} \\ &=\dfrac{20 \cdot (x^2-25) - 20x \cdot 2x}{(x^2-25)^2} \\ &=\dfrac{20 x^2-500 - 40x^2}{(x^2-25)^2} \\ &=-\dfrac{20 x^2+500}{(x^2-25)^2} \\ &=-\dfrac{20\cdot (x^2+25)}{(x^2-25)^2} \end{array}$
Betrachte nun den Nenner und den Zähler der Ableitung einzeln.
  • $20\cdot (x^2+25) > 0$, da die eingesetzte Zahl quadriert wird.
  • $(x^2-25)^2 >0$, da es sich um eine Quadratzahl handelt.
Sowohl der Nenner, als auch der Zähler sind für alle Zahlen des Definitionsbereichs positiv. Da der Bruch negiert wird, ist die Steigung von $G_f$ in jedem Punkt negativ.
$\blacktriangleright$ Winkel berechnen
Du sollst die Größe des Winkels, unter dem $G_f$ die $x$– Achse schneidet, berechnen. Den Winkel zwischen einer Geraden und der $\boldsymbol{x}$–Achse berechnest du mit folgender Formel:
$\boldsymbol{\phi = \tan^{-1}\left|m\right|}$
Wobei $m$ die Steigung der Geraden ist.
Die Gerade ist die Tangente an den Graphen $G_f$ im Punkt $x=0$. Für die Berechnung des Winkels benötigst du die Steigung der Tangente, diese erhältst du mithilfe der Ableitungsfunktion $f'$ an der Stelle $x=0$.
$f'(0) = -0,8$
Berechne mit der oben angegebenen Formel den gesuchten Winkel:
$\begin{array}{rll} \phi&=\tan^{-1}\mid -0,8 \mid&\\ &=38,7 ^{\circ}& \end{array}$
Der Winkel, unter dem $G_f$ die $x$– Achse schneidet, ist $\boldsymbol{38,7 ^{\circ}}$ groß.
c) $\blacktriangleright$ Skizze ergänzen
Du sollst den Graphen der Funktion im Bereich $-14 \leq x \leq 5$ in das Koordinatensystem einzeichnen.
Zeichne zuerst die berechneten Asymptoten in das Koordinatensystem ein. Markiere dir dann die Nullstelle. Beachte beim Einzeichnen die Symmetrie des Graphen der Funktion. Beachte außerdem, dass der Graph der Funktion die Asymptoten nicht berührt.
Analysis Prüfungsteil B
Analysis Prüfungsteil B
d) $\blacktriangleright$ Umkehrfunktion
Du sollst begründen, warum die Funktion $f$ nicht umkehrbar ist.
Eine Funktion ist nicht umkehrbar, falls es für mindestens ein $x \in \mathbb{D}$ mehrere Lösungen zu $f(x)=t$ gibt.
Suche also nach Werten für $x$, die den gleichen Funktionswert liefern, betrachte dazu deine Zeichnung aus Aufgabenteil c).
Die Funktion $f$ hat beispielsweise zu $y=4$ zwei Lösungen:
$f(-3,09) = 4$ und $f(8,09) = 4$
Sie ist somit nicht umkehrbar.
Der Graph der Funktion $f^*$ mit Definitionsbereich $]5;+\infty[$ ist auf seinem Definitionsbereich monoton fallend und es gibt jeweils nur eine Lösung zu $f^*(x)=t$ für $x \in ]5;+\infty[$ und beliebigem reellen $t$, das kannst du deiner Zeichnung entnehmen. Die Funktion $f^*$ ist somit umkehrbar.
$\blacktriangleright$ Umkehrfunktion zeichnen
Der Graph einer Umkehrfunktion entsteht durch Spiegelung des Graphen der ursprünglichen Funktion an der Gerade zu $y=x$. Spiegle also den Graphen von $f^*$ an der ersten Winkelhalbierenden. Du erhältst in etwa folgende Abbildung.
Analysis Prüfungsteil B
Analysis Prüfungsteil B
e) $\blacktriangleright$ Integral berechnen
Du sollst also mithilfe des Integrals den Wert von $A(s)$ bestimmen. Deine Integralgrenzen sind gegeben durch $x=10$ und $x=s$ mit $s>10$.
Dafür benötigst du eine Stammfunktion $F$ von $f$. Betrachte dafür die Verkettung einer Logarithmusfunktion und einer ganzrationalen Funktion $b\cdot x^n+c$:
$h(x) = a(\ln (b\cdot x^n +c))$
Leite diese Funktion mit der Kettenregel ab:
$h'(x) = a(\ln (b\cdot x^n +c))' $$= a\cdot \frac{1}{b\cdot x^n + c} \cdot n\cdot b \cdot x^{n-1}$
Schreibe dir die Funktion $f$ um. Versuche den Term in die Form der gerade berechneten Ableitung zu erhalten:
$f(x) = \dfrac{20x}{x^2-25} = 10 \cdot \dfrac{1}{x^2-25}\cdot 2\cdot x$
Jetzt kannst du die Parameter $a, b$ und $c$ ablesen:
$a= 10, b=1, c=-25$
Setze diese Werte in den Funktionsterm von $h$ ein, um die Stammfunktion von $f$ zu erhalten:
$F(x) = 10\cdot \ln (x^2-25)$
Jetzt kannst du den gesuchten Inhalt berechnen:
$\begin{array}{rl} \displaystyle\int_{10}^{s}f(x)\mathrm dx&=\displaystyle\int_{10}^{s}\dfrac{20x}{x^2-25}\mathrm dx \\ &=\left[10\cdot \ln (x^2-25)\right]_{10}^s\\ &=10\cdot \ln (s^2-25) - 10\cdot \ln (10^2-25)\\ &=10\cdot (\ln (s^2-25) - \ln (75))\\ &=10\cdot \ln \dfrac{s^2-25}{75} \end{array}$
$\begin{array}{rl} \displaystyle\int_{10}^{s}f(x)\mathrm dx=&\displaystyle\int_{10}^{s}\dfrac{20x}{x^2-25}\mathrm dx \\ =&\left[10\cdot \ln (x^2-25)\right]_{10}^s\\ =&10\cdot \ln (s^2-25) - &10\cdot \ln (10^2-25)\\ =&10\cdot (\ln (s^2-25) - \ln 75)\\ =&10\cdot \ln \dfrac{s^2-25}{75} \end{array}$
Für den Inhalt von $A(s)$ gilt $\boldsymbol{A(s)=10\cdot \ln\dfrac{s^2-25}{75}}$.
f) $\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{s}$ bestimmen
Das Flächenstück aus Aufgabenteil e) soll den Inhalt 100 besitzen. Es soll also gelten:
$A(s) = 10\cdot \text{ln}\dfrac{s^2-25}{75} = 100$
Stelle diese Gleichung nach $s$ um:
$\begin{array}{rll} 100 &=10\cdot \text{ln}\dfrac{s^2-25}{75}&\scriptsize{\mid :10}\\ 10 &=\text{ln}\dfrac{s^2-25}{75}&\scriptsize{\text{Umkehrfunktion }\mathrm e^{x} \text{ anwenden}}\\ \mathrm e^{10} &= \dfrac{s^2-25}{75}&\scriptsize{\mid \cdot 75}\\ 75 \cdot \mathrm e^{10} &= s^2-25&\scriptsize{\mid +25}\\ 75 \cdot \mathrm e^{10} +25 &= s^2&\scriptsize{\mid \sqrt{ }}\\ s &= \sqrt{75 \cdot \mathrm e^{10} +25} &\scriptsize{\text{da } s>10 \text{ gelten soll, interessiert nur die positive Lösung}} \end{array}$
$\begin{array}{rll} 100 &=10\cdot \text{ln}\dfrac{s^2-25}{75}\\ 10 &=\text{ln}\dfrac{s^2-25}{75}\\ \mathrm e^{10} &= \dfrac{s^2-25}{75}&\\ 75 \cdot \mathrm e^{10} &= s^2-25&\\ 75 \cdot \mathrm e^{10} +25 &= s^2&\\ s &= \sqrt{75 \cdot \mathrm e^{10} +25} & \end{array}$
Du erhältst den Wert $\boldsymbol{s = \sqrt{75 \cdot \mathrm e^{10} +25} \approx 1285,3}$.
g) $\blacktriangleright$ Verhalten für $\boldsymbol{s\rightarrow +\infty}$ untersuchen
Du sollst das Verhalten von $A(s)$ für $s\rightarrow +\infty$ untersuchen. Betrachte dafür zunächst den Teil, der in der Logarithmusfunktion steht.
$\dfrac{s^2-25}{75}=\dfrac{1}{75}s^2 - \dfrac{1}{3}$
Setzt du hier große Werte für $s$ ein erhältst du große positive Funktionswerte:
$s=1000:\ \dfrac{1000^2}{75} - \dfrac{1}{3} $$= 13333$
$s=10000:\ \dfrac{10000^2}{75} - \dfrac{1}{3} $$= 1333333$
$s=100000:\ \dfrac{100000^2}{75} - \dfrac{1}{3} $$= 133333333$
Es gilt also:
$\dfrac{s^2-25}{75}=\dfrac{1}{75}s^2 - \dfrac{1}{3} \to \infty$ für $s\rightarrow +\infty$
Der Logarithmus steigt streng monoton, das bedeutet, dass für größer werdende $x$ Werte auch die Funktionswerte größer werden. Den Teil in der Logarithmusfunktion hast du bereits betrachtet, dieser wird immer größer, also wird auch der Logarithmus dieser Werte immer größer:
$s=1000:\ \ln\left(\dfrac{1000^2}{75} - \dfrac{1}{3}\right) $$= \ln 13333 = 9,49$
$s=10000:\ \ln\left(\dfrac{10000^2}{75} - \dfrac{1}{3}\right) $$= \ln 1333333 = 14,1$
$s=100000:\ \ln\left(\dfrac{100000^2}{75} - \dfrac{1}{3}\right) $$= \ln 133333333 = 18,7$
Es gilt also:
$\ln \dfrac{s^2-25}{75} \longrightarrow \infty$ für $s\rightarrow +\infty$
Betrachte jetzt $A(s)$:
$s=1000:$$\ A(1000) = 10\cdot\ln\left(\dfrac{1000^2}{75} - \dfrac{1}{3}\right) $$= 10\cdot\ln 13333 = 10\cdot9,49 = 94,9$
$s=10000:$$\ A(10000) =10\cdot\ln\left(\dfrac{10000^2}{75} - \dfrac{1}{3}\right) $$= 10\cdot\ln 1333333 = 10\cdot14,1 = 141$
$s=100000:$$\ A(100000) =10\cdot\ln\left(\dfrac{100000^2}{75} - \dfrac{1}{3}\right)$$ = 10\cdot\ln 133333333 = 10\cdot18,7 = 187$
Somit gilt auch für $A(s)$:
$\boldsymbol{A(s) = 10 \cdot \ln \dfrac{s^2-25}{75}\longrightarrow \infty}$ für $s\rightarrow +\infty$.

Aufgabe 2

a) $\blacktriangleright$ Gesamtfahrzeit bestimmen
Du sollst die jeweilige Gesamtfahrzeit bestimmen, die Funktion $t$ beschreibt gerade die Gesamtfahrzeit in Stunden.
Setze die gegebenen Eigengeschwindigkeiten in den Funktionsterm von $t$ ein, um die gesuchten Gesamtfahrzeiten zu berechnen.
$t(10 \frac{\text{km}}{\text{h}}) = \dfrac{10}{10 + 5} + \dfrac{10}{10 - 5} $$= \dfrac{10}{15} + \dfrac{10}{5} $$= \frac{8}{3} = 2,67$
Dieses Ergebnis ist die Gesamtfahrzeit in Stunden, gefragt ist jedoch nach der Gesamtfahrzeit in Minuten. Da 1 h = 60 min, multiplizierst du das Ergebnis mit 60, um die Gesamtfahrzeit in Minuten zu erhalten.
Die Gesamtfahrzeit mit einer Eigengeschwindigkeit von $10\frac{\text{km}}{\text{h}}$ beträgt $\boldsymbol{2,67\ \textbf{h} = 160\ \textbf{min}}$.
$t(20 \frac{\text{km}}{\text{h}}) = \dfrac{10}{20 + 5} + \dfrac{10}{20 - 5} $$= \dfrac{10}{25} + \dfrac{10}{15} = \frac{16}{15} $$= 1,067$
Die Gesamtfahrzeit mit einer Eigengeschwindigkeit von $20\frac{\text{km}}{\text{h}}$ beträgt $\boldsymbol{1,067\ \textbf{h} = 64\ \textbf{min}}$.
b) $\blacktriangleright$ Begründung des Terms
Die Nenner der Terme geben die Geschwindigkeit in km/h an und die Zähler die Strecke von 10 km.
Der erste Summand des Terms $t(x)$ beschreibt die Zeit die für 10 km benötigt wird, wenn sich die Geschwindigkeit aus der Eigengeschwindigkeit plus 5 $\frac{\textbf{km}}{\textbf{h}}$ ergibt. Die Fließgeschwindigkeit des Flusses beträgt 5 $\frac{\text{km}}{\text{h}}$. Auf der Hinfahrt fährt das Boot flussabwärts. Die Fließgeschwindigkeit wird also auf die Eigengeschwindigkeit addiert. Somit steht der erste Summand des Terms für die Hinfahrt.
Der zweite Summand des Terms $t(x)$ beschreibt die Zeit die für 10 km benötigt wird, wenn sich die Geschwindigkeit aus der Eigengeschwindigkeit minus \frac{\textbf{km}}{\textbf{h}}$ ergibt. Die Fließgeschwindigkeit des Flusses beträgt 5 $\frac{\text{km}}{\text{h}}$. Auf der Rückfahrt fährt das Boot flussaufwärts. Die Fließgeschwindigkeit wird also von der Eigengeschwindigkeit abgezogen. Somit steht der zweite Summand des Terms für die Rückfahrt.
c) $\blacktriangleright$ Begründung für Gesamtfahrzeit
Du sollst im Sachzusammenhang begründen, dass $t(x)$ für $0<x<5$ nicht als Gesamtfahrtzeit interpretiert werden kann. Betrachte dafür die Geschwindigkeit für die Rückfahrt, also den Nenner des zweiten Terms:
$x-5<0$ für $0<x<5$, das ist eine negative Geschwindigkeit, das Boot fährt also rückwärts und kommt nicht auf dem Fluss voran. Die Rückfahrt ist also nicht möglich. Wenn die Rückfahrt nicht möglich ist kann $t(x)$ auch nicht als Gesamtfahrtzeit für $0<x<5$ interpretiert werden.
d) $\blacktriangleright$ Zeige Äquivalenz
Um die Äquivalenz zu zeigen, bringe die Terme von $t(x)$ auf den gleichen Nenner und forme den Term um, bis er dem Term von $f(x)$ gleicht.
$\begin{array}{rl} t(x)&= \dfrac{10}{x+5} + \dfrac{10}{x-5}\\ &=\dfrac{10\cdot (x-5)}{(x+5)\cdot (x-5)}+ \dfrac{10\cdot (x+5)}{(x-5)\cdot (x+5)}\\ &=\dfrac{10\cdot (x+5) + 10 \cdot (x-5)}{(x-5)\cdot (x+5)}\\ &=\dfrac{10x+50 + 10 x-50}{x^2-25}\\ &=\dfrac{20x}{x^2-25}\\ &=f(x)& \end{array}$
$\begin{array}{rl} t(x)=& \dfrac{10}{x+5} + \dfrac{10}{x-5}\\ =&\dfrac{10\cdot (x-5)}{(x+5)\cdot (x-5)}\\ &+ \dfrac{10\cdot (x+5)}{(x-5)\cdot (x+5)}\\ =&\dfrac{10\cdot (x+5) + 10 \cdot (x-5)}{(x-5)\cdot (x+5)}\\ =&\dfrac{10x+50 + 10 x-50}{x^2-25}\\ =&\dfrac{20x}{x^2-25}\\ =&f(x)& \end{array}$
Die Terme $f(x)$ und $t(x)$ sind somit äquivalent.
e) $\blacktriangleright$ Eigengeschwindigkeit näherungsweise ermitteln
Die Gesamtfahrtzeit soll zwischen zwei und vierzehn Stunden liegen, es gilt also $2 \leq t \leq 14$. Zeichne also die Gleichung $y = t$ als waagrechte Gerade in dein Koordinatensystem ein und lese die $x$–Koordinate des Schnittpunkts ab. Damit erhältst du näherungsweise die zugehörige Eigengeschwindigkeit des Boots.
Für eine Gesamtfahrzeit von beispielsweise $t=6$ sieht die Skizze, mit der du die zugehörige Eigengeschwindigkeit näherungsweise bestimmen kannst, folgendermaßen aus:
Analysis Prüfungsteil B
Analysis Prüfungsteil B
Der Schnittpunkt der beiden Graphen ist die gesuchte Eigengeschwindigkeit, hier ca. 7 km/h.
$\blacktriangleright$ Eigengeschwindigkeit für eine Fahrt von vier Stunden
Die Eigengeschwindigkeit des Boots für eine Fahrt mit einer Gesamtfahrtzeit von vier Stunden berechnest du, indem du die Gleichung $\boldsymbol{4 = f(x) = t(x)}$ löst.
$\begin{array}{rll} 4&=\dfrac{20x}{x^2 - 25}&\scriptsize{\mid \cdot (x^2 - 25)}\\ 4\cdot (x^2 - 25)&=20x&\\ 4\cdot x^2 - 100&=20x&\scriptsize{\mid -20x}\\ 4\cdot x^2-20x - 100&=0&\scriptsize{\mid :4}\\ x^2-5x - 25&=0& \end{array}$
$\begin{array}{rll} 4&=\dfrac{20x}{x^2 - 25}&\\ 4\cdot (x^2 - 25)&=20x&\\ 4\cdot x^2 - 100&=20x&\\ 4\cdot x^2-20x - 100&=0&\\ x^2-5x - 25&=0& \end{array}$
Die quadratische Gleichung kannst du entweder mit der pq-Formel oder der abc-Formel lösen.
$\begin{array}{rll} x_{1,2}&=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}&\\ &=-\frac{-5}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-5}{2}\right)^2 - (-25)}&\\ &=2,5 \pm \sqrt{6,25 +25}&\\ &=2,5 \pm \sqrt{31,25}&\\ x_1 &=2,5 + 5,59 = 8,09&\\ x_2 &=2,5 - 5,59 = -3,09& \scriptsize{\text{nicht relevant, da Geschwindigkeit positiv sein soll}} \end{array}$
$\begin{array}{rll} x_{1,2}&=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}&\\ &=-\frac{-5}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-5}{2}\right)^2 - (-25)}&\\ &=2,5 \pm \sqrt{6,25 +25}&\\ &=2,5 \pm \sqrt{31,25}&\\ x_1 &=2,5 + 5,59 = 8,09&\\ x_2 &=2,5 - 5,59 = -3,09& \end{array}$
Alternativ
Außerdem kannst du die quadratische Gleichung auch mit der abc-Formel lösen:
$\begin{array}{rll} x_{1,2}&=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} & \\ &=\dfrac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25)}}{2\cdot 1} & \\ &=\dfrac{5\pm \sqrt{25+ 100}}{2} \\ &=\dfrac{5\pm \sqrt{125}}{2}\\ x_1 &=2,5 + 5,59 = 8,09&\\ x_2 &=2,5 - 5,59 = -3,09& \scriptsize{\text{nicht relevant, da Geschwindigkeit positiv sein soll}} \end{array}$
$\begin{array}{rll} x_{1,2}&=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} & \\ &=\dfrac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25)}}{2\cdot 1} & \\ &=\dfrac{5\pm \sqrt{25+ 100}}{2} \\ &=\dfrac{5\pm \sqrt{125}}{2}\\ x_1 &=2,5 + 5,59 = 8,09&\\ x_2 &=2,5 - 5,59 = -3,09& \end{array}$
Die Eigengeschwindigkeit des Boots für eine Fahrt mit einer Gesamtfahrtzeit von vier Stunden beträgt $\boldsymbol{8,09 \frac{\textbf{km}}{\textbf{h}}}$.
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