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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur (WTR)
Abi 2019
Analysis
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Stochastik
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Geometrie
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Abi 2018
Analysis
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Stochastik
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
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Aufgabengruppe I
Teil A
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Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Abi 2017
Analysis
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
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Stochastik
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Geometrie
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Abi 2016
Analysis
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Stochastik
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Geometrie
Aufgabengruppe I
Teil A
Teil B
Aufgabengruppe II
Teil A
Teil B
Abi 2015
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Abi 2014
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Abi 2013
Analysis Aufgabengrup...
Analysis Aufgabengrup...
Stochastik Aufgabengr...
Stochastik Aufgabengr...
Geometrie Aufgabengru...
Geometrie Aufgabengru...
Abi 2012
Analysis Aufgabengrup...
Analysis Aufgabengrup...
Stochastik Aufgabengr...
Stochastik Aufgabengr...
Geometrie Aufgabengru...
Geometrie Aufgabengru...
Musterabi
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Analysis Prüfungsteil...
Stochastik Prüfungste...
Geometrie Prüfungstei...
Abi 2011
Analysis Aufgabengrup...
Analysis Aufgabengrup...
Stochastik Aufgabengr...
Stochastik Aufgabengr...
Geometrie Aufgabengru...
Geometrie Aufgabengru...
LV-Abi 1
Analysis Prüfungsteil...
Analysis Prüfungsteil...
Geometrie Prüfungstei...
Geometrie Prüfungstei...
Stochastik Prüfungste...
Stochastik Prüfungste...
LV-Abi 2
Analysis Prüfungsteil...
Analysis Prüfungsteil...
Geometrie Prüfungstei...
Geometrie Prüfungstei...
Stochastik Prüfungste...
Stochastik Prüfungste...
LV-Abi 3
Analysis Prüfungsteil...
Analysis Prüfungsteil...
Geometrie Prüfungstei...
Geometrie Prüfungstei...
Stochastik Prüfungste...
Stochastik Prüfungste...

Stochastik Prüfungsteil B

Aufgaben
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Aufgabengruppe 1

Im Rahmen der sogenannten JIM–Studie wurde in Deutschland im Jahr 2012 der Umgang von Jugendlichen im Alter von 12 bis 19 Jahren mit Information und Medien untersucht. In der folgenden Tabelle werden ausgewählte Ergebnisse dieser Studie anhand einer repräsentativen Auswahl von 200 Jugendlichen wiedergegeben, von denen 102 Jungen sind. Dabei werden für vier Geräteklassen jeweils die Anzahl der Mädchen und die Anzahl der Jungen unter den 200 ausgewählten Jugendlichen angegeben, die ein entsprechendes Gerät besitzen.
MädchenJungen
Smartphone4252
Computer7787
Fernsehgerät5465
feste Spielkonsole3762

Aufgabe 1

a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine aus den 200 Jugendlichen zufällig ausgewählte Person weiblich ist und kein Fernsehgerät besitzt.
(2P)
b) Aus den 200 Jugendlichen wird eine Person zufällig ausgewählt, die ein Fernsehgerät besitzt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person weiblich ist.
(2P)
c) Begründen Sie, dass die Ereignisse „Eine aus den 200 Jugendlichen zufällig ausgewählte Person besitzt ein Fernsehgerät.“ und „ Eine aus den 200 Jugendlichen zufällig ausgewählte Person ist ein Mädchen.“ abhängig sind.
(2P)
d) Der Studie zufolge besitzen 55 % der Mädchen im Alter von 12 bis 19 Jahren ein Fernsehgerät.
Geben Sie den Wert der Summe $\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{12}B(25;\;0,55;\;i)$ in Prozent an. Begründen Sie, dass dieser Wert im Allgemeinen nicht die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass von den 25 Schülerinnen einer Klasse der Jahrgangsstufe 9 weniger als die Hälfte ein Fernsehgerät besitzt.
(3P)

Aufgabe 2

Der JIM-Studie zufolge besitzen deutlich weniger als 90 % der Jugendlichen einen Computer. Daher wird an den Stadtrat einer Kleinstadt der Wunsch herangetragen, im örtlichen Jugendzentrum einen Arbeitsraum mit Computern einzurichten. Der Stadtrat möchte die dafür erforderlichen finanziellen Mittel nur dann bewilligen, wenn weniger als 90 % der Jugendlichen der Kleinstadt einen Computer besitzen.
a) Die Entscheidung über die Bewilligung der finanziellen Mittel soll mithilfe einer Befragung von 100 zufällig ausgewählten 12– bis 19–jährigen Jugendlichen der Kleinstadt getroffen werden. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die finanziellen Mittel irrtümlich bewilligt werden, soll höchstens 5 % betragen. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel, bei der zugleich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die finanziellen Mittel irrtümlich nicht bewilligt werden, möglichst klein ist.
(4P)
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 100 befragten Jugendlichen genau 85 einen Computer besitzen, wenn der Anteil derjenigen Jugendlichen, die einen Computer besitzen, unter den Jugendlichen der Kleinstadt ebenso groß ist wie unter den in der Tabelle erfassten Jugendlichen.
(3P)

Aufgabe 3

Es ist zu vermuten, dass unter den Jugendlichen, die ein Smartphone besitzen, der Anteil derjenigen, die eine feste Spielkonsole besitzen, größer ist als unter den Jugendlichen, die kein Smartphone besitzen. Bestimmen Sie für die in der Tabelle erfassten 200 Jugendlichen, wie groß die Anzahl derjenigen Personen, die sowohl ein Smartphone als auch eine feste Spielkonsole besitzen, mindestens sein muss, damit die Vermutung für die in der Tabelle erfassten Jugendlichen zutrifft.
(4P)

(20P)

Aufgabengruppe 2

Aufgabe 1

In einem Supermarkt erhalten Kunden abhängig vom Wert ihres Einkaufs eine bestimmte Anzahl von Päckchen mit Tierbildern, die in ein Sammelalbum eingeklebt werden können. Jedes Päckchen enthält fünf Bilder. Im Sammelalbum sind Plätze für insgesamt 200 verschiedene Bilder vorgesehen. Die Bilder werden jeweils in großer Stückzahl mit der gleichen Häufigkeit produziert und auf die Päckchen zufällig verteilt, wobei sich die Bilder in einem Päckchen nicht unterschieden müssen.
a) Begründen Sie, dass der Term $\frac{200\cdot 199\cdot 198\cdot 197\cdot 196}{200^5}$ die Wahrscheinlichkeit dafür beschreibt, dass sich in einem Päckchen fünf verschiedene Tierbilder befinden.
(2P)
b) Einem Jungen fehlen in seinem Sammelalbum noch 15 Bilder. Er geht mit seiner Mutter zum Einkaufen und erhält anschließend zwei Päckchen mit Tierbildern.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden Päckchen nur Bilder enthalten, die der Junge bereits in seinem Sammelalbum hat.
(3P)
Bei Kindern besonders beliebt sind die 3D-Bilder, auf denen die Tiere dreidimensional erscheinen. 20 der 200 für ein Sammelalbum vorgesehenen Bilder sind 3D-Bilder.
c) Ermitteln Sie, wie viele Päckchen ein Kind mindestens benötigt, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $99 \,\%$ mindestens ein 3D-Bild zu erhalten.
(5P)

Aufgabe 2

Um Geld für die Ausstattung des örtlichen Kindergartens einzunehmen, veranstaltet der Supermarkt ein Gewinnspiel. Die fünf Sektoren des dabei eingesetzten Glücksrads sind von 1 bis 5 durchnummeriert. Die Größe der Sektoren ist direkt proportional zum Zahlenwert der Nummern; beispielsweise ist der Sektor mit der Nummer 3 dreimal so groß wie der Sektor mit der Nummer 1. Nachdem der Spieler sechs Euro bezahlt hat, wird das Glücksrad einmal gedreht. Erzielt der Spieler eine der Nummern 1 bis 4, so wird ihm der zugehörige Zahlenwert als Betrag in Euro ausgezahlt, erzielt er die Nummer 5, so erhält er eine Eintrittskarte für einen Freizeitpark im Wert von fünfzehn Euro.
a) Bestimmen Sie die Größe des Öffnungswinkels des Sektors mit der Nummer 1 sowie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Spieler bei einem Spiel eine Eintrittskarte gewinnt.
(Teilergebnis: Größe des Öffnungswinkels: $24^{\circ}$)
(3P)
b) Berechnen Sie den Erwartungswert der Auszahlung pro Spiel, wenn der Gewinn einer Eintrittskarte mit einer Auszahlung von fünfzehn Euro gleichgesetzt wird. Interpretieren Sie das Ergebnis.
(4P)
c) Der Supermarkt muss für jede Eintrittskarte nur zehn Euro an den Freizeitpark bezahlen. Damit ist bei der Spielaktion ein finanzieller Überschuss zu erwarten, der an den örtlichen Kindergarten gespendet werden soll. Ermitteln Sie den zu erwartenden Überschuss, wenn man davon ausgeht, dass das Spiel insgesamt 6.000–mal durchgeführt wird.
(3P)

(20P)
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Aufgabengruppe 1

Aufgabe 1

a) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine aus den 200 Jugendlichen zufällig ausgewählte Person weiblich ist und kein Fernsehgerät besitzt.
Von den 200 Schülern sind 98 weiblich. Die Anzahl der Mädchen, die ein Fernsehgerät besitzen kannst du der Tabelle entnehmen. Berechne dann die Anzahl der Mädchen, die kein Fernsehgerät besitzen und berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
b) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Aus den 200 Jugendlichen wird eine Person zufällig ausgewählt, die ein Fernsehgerät besitzt. Du sollst die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass diese Person weiblich ist.
Berechne die Anzahl der Personen mit Fernsehgerät. Überlege dir, wie viele davon weiblich sind und berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
c)$\blacktriangleright$ Begründung für Abhängigkeit
Du sollst begründen, dass die Ereignisse „Eine aus den 200 Jugendlichen zufällig ausgewählte Person besitzt ein Fernsehgerät.“ und „Eine aus den 200 Jugendlichen zufällig ausgewählte Person ist ein Mädchen.“ abhängig sind.
Zwei Ereignisse sind unabhängig, falls
$\boldsymbol{P(A)\cdot P(B) = P(A \cap B)}$
Berechne also die drei Wahrscheinlichkeiten und überprüfe, ob diese die Bedingung für Unabhängigkeit erfüllen.
d) $\blacktriangleright$ Wert der Summe angeben
Gebe den Wert der Summe $\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{12}B(25;\;0,55;\;i)$ in Prozent an.
Dabei ist $B(25;\;0,55;\;i)$ die Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung bei $n=25$ Versuchen genau $i$ Treffer zu erzielen, wobei die Trefferwahrscheinlichkeit $p=0,55$ beträgt.
$\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{12}B(25;\;0,55;\;i) = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{12} \binom{25}{i} \cdot 0,55^{i}\cdot (1-0,55)^{25-i}$
$\blacktriangleright$ Begründung für Wahrscheinlichkeit
Überlege dir was die oben berechnete Wahrscheinlichkeit angibt und ob das auch für das Alter der in Jahrgangsstufe 9 vertretenen Mädchen gilt.

Aufgabe 2

a) $\blacktriangleright$ Entscheidungsregel formulieren
Die Nullhypothese und die Alternative sind gegeben durch:
$H_0:\ 90\;\%$ der Jugendlichen besitzen einen Computer
$H_1:$ weniger als $90\;\%$ der Jugendlichen besitzen einen Computer
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Nullhypothese angenommen wird, obwohl die Alternativhypothese zutrifft, soll höchstens 5~% betragen.
Für die Entscheidungsregel musst du gerade den Ablehnungsbereich der Nullhypothese bestimmen.
Sei $X$ die Zufallsgröße, die die Anzahl der Jugendlichen angibt, die einen Computer besitzen. Bei wahrer Nullhypothese kann $X$ als binomialverteilt angenommen werden mit $n=100$ und $p=0,9$. Das ist der Fall, da ein Jugendlicher entweder einen Computer besitzt oder nicht. Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn besonders wenig Jugendliche einen Computer besitzen.
Der Ablehnungsbereich $\overline{A}$ lautet allgemein:
$\overline{A} = \{1, \ldots, k\}$
Da der Hypothesentest mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von $5\;\%$ ausgeführt werden soll, muss gelten: $P (X \in \overline{A}) = P(X \leq k) \leq 0,05$
Betrachte also die Bernoullikette mit $n=100$ und $p=0,9$ und suche nach dem Wert für $k$, für den obige Ungleichung gerade noch erfüllt ist.
b) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 100 befragten Jugendlichen genau 85 einen Computer besitzen.
Der Tabelle kannst du entnehmen, dass 77 Mädchen und 87 Jungen einen Computer besitzen. Berechne den Anteil der Jugendlichen mit Computer.
Du kannst mit einer Bernoullikette die Wahrscheinlichkeit, dass genau 85 der 100 Jugendlichen einen Computer besitzen, berechnen.

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Anzahl bestimmen
Berechne die Anzahl der Jugendlichen, die ein Smartphone besitzen und die Anzahl der Jugendlichen, die eine feste Spielkonsole besitzen. Der Anteil der Jugendlichen mit Smartphone und Spielkonsole soll nun höher sein als der Anteil der Jugendlichen mit Smartphone und ohne Spielkonsole.
Sei $n$ die Anzahl der Jugendlichen, die Smartphone und Spielkonsole haben. Überlege dir dann wie groß die Anzahl der Jugendlichen ist, die Smartphone, aber keine Spielkonsole haben.
Stelle die Ungleichung auf und löse nach $n$ auf.

Aufgabengruppe 2

Aufgabe 1

a) $\blacktriangleright$ Begründung für Wahrscheinlichkeit
Du sollst begründen, dass der Term $\frac{200\cdot 199\cdot 198\cdot 197\cdot 196}{200^5}$ die Wahrscheinlichkeit dafür beschreibt, dass sich in einem Päckchen fünf verschiedene Tierbilder befinden. Schreibe den Term etwas um.
Überlege dir wie viele Möglichkeiten es für die erste, zweite, … Karte gibt und identifiziere die Terme in der gegebenen Wahrscheinlichkeit.
b) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen
Die zwei Päckchen enthalten zusammen 10 Bilder. Berechne wie viele Tierbilder der Junge schon hat und die Wahrscheinlichkeit, dass er ein Bild schon hat.
Diese Wahrscheinlichkeit gilt für jedes der 10 Bilder. Berechne nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
c) $\blacktriangleright$ Mindestanzahl für 3D–Bild
Du sollst ermitteln, wie viele Päckchen ein Kind mindestens benötigt, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $99 \,\%$ mindestens ein 3D-Bild zu erhalten.
Berechne die Wahrscheinlichkeit für ein 3D-Bild.
Sei $n$ die Anzahl der benötigten Bilder. Außerdem sei $X$ eine binomialverteilte Zufallsvariable, die für die Anzahl der 3D–Bilder steht. Überlege dir, warum das angenommen werden kann.
Die Wahrscheinlichkeit für genau $i$ Treffer für $n$ Versuche und einer Trefferwahrscheinlichkeit von $p$ ist gegeben durch:
$\boldsymbol{P(X=i) = \binom{n}{i} \cdot p^{i}\cdot (1-p)^{n-i}}$
Die Wahrscheinlichkeit $P(X \geq 1)$ soll also größer als 0,99 sein. Die Anzahl $n$ der Päckchen ist gesucht.
Stelle also die Ungleichung auf, wandle diese mithilfe des Gegenereignisses um und nutze die Formel für die Wahrscheinlichkeit einer binomialverteilten Zufallsvariable. Du erhältst eine Ungleichung mit dem unbekannten Parameter $n$. Löse die Ungleichung nach $n$ auf:
$\begin{array}{rcll} P(X \geq 1) &> &0,99&\\ 1 - P(X = 0) &> &0,99&\scriptsize{ \mid\;+ P(X=0) }\\ 1 &> &0,99 + P(X = 0)&\scriptsize{ \mid\;-0,99 }\\ 0,01 &> & P(X = 0)&\scriptsize{ \text{Binomialverteilung}}\\ 0,01 &>& (1-0,1)^n & \end{array}$
$\begin{array}{rcll} P(X \geq 1) &> &0,99&\\ 1 - P(X = 0) &> &0,99&\\ 1 &> &0,99 + P(X = 0)&\\ 0,01 &> & P(X = 0)&\\ 0,01 &>& (1-0,1)^n & \end{array}$
Stelle diese Gleichung nach $n$ um und berechne anschließend die Anzahl der benötigten Packungen.

Aufgabe 2

a) $\blacktriangleright$ Öffnungswinkel berechnen
Du sollst den Öffnungswinkels des Sektors mit der Nummer 1 berechnen. Die anderen Sektoren sind 2, 3, 4 bzw. 5 mal so groß wie Sektor 1. Sektor 1 passt also 2 mal in Sektor 2, 3 mal in Sektor 3, usw. Berechne nun, wie oft Sektor 1 in das Glücksrad passen würde.
Das Glücksrad hat $360^{\circ}$, um den Winkel von Sektor 1 zu berechnen musst du die Gradzahl des Glücksrads durch die gerade berechnete Anzahl teilen.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Eintrittskarte berechnen
Überlege dir, welchen Anteil Sektor 5 vom Glücksrad einnimmt und wie groß dann die Wahrscheinlichkeit für den Teilnehmer ist, im Sektor 5 zu landen.
b) $\blacktriangleright$ Erwartungswert berechnen
Den Erwartungswert einer Zufallsvariable $X$, die die Werte $i$ mit einer Wahrscheinlichkeit $P(X = i)$ annimmt, berechnest du mit folgender Formel:
$\boldsymbol{E(X) = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} i \cdot P(X = i)}$
Vergleiche den erwarteten Gewinn mit dem EInsatz der Teilnehmer.
c) $\blacktriangleright$ Überschuss berechnen
Da der Supermarkt nur zehn Euro für jede Eintrittskarte an den Freizeitpark bezahlen muss, ergibt sich für die erwarteten Ausgaben ein anderer Wert als für den erwarteten Gewinn. Du kannst diesen wieder mit der Formel für den Erwartungswert berechnen.
Du kennst nun die erwarteten Ausgaben pro Spiel, berechne jetzt den erwarteten Gesamtüberschuss, wenn 6.000–mal gespielt wird.
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Aufgabengruppe 1

Aufgabe 1

a) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine aus den 200 Jugendlichen zufällig ausgewählte Person weiblich ist und kein Fernsehgerät besitzt.
Von den 200 Schülern sind 98 weiblich. Die Anzahl der Mädchen, die ein Fernsehgerät besitzen kannst du der Tabelle entnehmen. Die Anzahl, die kein Fernsehgerät besitzt ist dann $98 - 54 = 44$
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnet sich dann über:
$P(\text{„weiblich“ und „kein Fernsehgerät“}) = \frac{44}{200}= 0,22$
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine aus den 200 Jugendlichen zufällig ausgewählte Person weiblich ist und kein Fernsehgerät besitzt, beträgt $\boldsymbol{22\;\%}$.
b) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Aus den 200 Jugendlichen wird eine Person zufällig ausgewählt, die ein Fernsehgerät besitzt. Du sollst die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass diese Person weiblich ist.
Die Anzahl der Personen mit Fernsehgerät ist $54 + 65 = 119$. Davon sind $54$ weiblich. Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit betrachtest du nur die 119 Jugendlichen mit Fernsehgerät, da du bereits weist, dass die zufällig ausgewählte Person zu dieser Gruppe gehört.
$P(\text{„eine zufällig ausgewählte Person, die ein Fernsehgerät besitzt, ist weiblich“})= \frac{54}{119} = 0,454$
Die Wahrscheinlichkeit, dass die zufällig ausgewählte Person ein Mädchen ist, beträgt $\boldsymbol{45,4\;\%}$.
c)$\blacktriangleright$ Begründung für Abhängigkeit
Du sollst begründen, dass die Ereignisse „Eine aus den 200 Jugendlichen zufällig ausgewählte Person besitzt ein Fernsehgerät.“ und „Eine aus den 200 Jugendlichen zufällig ausgewählte Person ist ein Mädchen.“ abhängig sind.
Zwei Ereignisse sind unabhängig, falls
$\boldsymbol{P(A)\cdot P(B) = P(A \cap B)}$
Berechne also die drei Wahrscheinlichkeiten und überprüfe, ob diese die Bedingung für Unabhängigkeit erfüllen.
$P(\text{„Eine zufällig ausgewählte Person besitzt ein Fernsehgerät.“}) = \frac{119}{200}$
$P(\text{„Eine zufällig ausgewählte Person ist ein Mädchen.“}) = \frac{98}{200}$
$P(\text{„Eine zufällig ausgewählte Person ist ein Mädchen und besitzt ein Fernsehgerät.“})=\frac{54}{200}$
Setze diese nun in die Formel ein:
$\frac{119}{200} \cdot \frac{98}{200} = 0,29155 \ne 0,27 = \frac{54}{200}$
Die beiden Ereignisse sind somit abhängig.
d) $\blacktriangleright$ Wert der Summe angeben
Gebe den Wert der Summe $\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{12}B(25;\;0,55;\;i)$ in Prozent an.
Dabei ist $B(25;\;0,55;\;i)$ die Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung bei $n=25$ Versuchen genau $i$ Treffer zu erzielen, wobei die Trefferwahrscheinlichkeit $p=0,55$ beträgt.
$\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{12}B(25;\;0,55;\;i) $$= \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{12} \binom{25}{i} \cdot 0,55^{i}\cdot (1-0,55)^{25-i} $$= 0,306$
Der Wert der Summe beträgt $\boldsymbol{30,6\;\%}$
$\blacktriangleright$ Begründung für Wahrscheinlichkeit
Die Anzahl der Mädchen im Alter von 12 bis 19 Jahren, die ein Fernsehgerät besitzen kann als binomialverteilt angenommen werden, da ein Mädchen entweder ein Fernsehgerät besitzt oder nicht. Die gegebene Wahrscheinlichkeit ist eine Summe von Wahrscheinlichkeiten. Diese Summanden sind die Wahrscheinlichkeiten für „kein Mädchen im Alter von 12 bis 19 Jahren besitzen ein Fernsehgerät“, „ein Mädchen im Alter von 12 bis 19 Jahren besitzen ein Fernsehgerät“, … , „12 Mädchen im Alter von 12 bis 19 Jahren besitzen ein Fernsehgerät“. Die gesamte Wahrscheinlichkeit steht also für das Ereignis „höchstens 12 von 25 Mädchen im Alter von 12 bis 19 Jahren besitzen ein Fernsehgerät“. Im Allgemeinen ist damit aber nicht gesichert, dass diese Wahrscheinlichkeit auch für das Alter der in Jahrgangsstufe 9 vertretenen Mädchen gilt.

Aufgabe 2

a) $\blacktriangleright$ Entscheidungsregel formulieren
Die Nullhypothese und die Alternative sind gegeben durch:
$H_0:\ 90\;\%$ der Jugendlichen besitzen einen Computer
$H_1:$ weniger als $90\;\%$ der Jugendlichen besitzen einen Computer
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Nullhypothese angenommen wird, obwohl die Alternativhypothese zutrifft, soll höchstens 5% betragen.
Für die Entscheidungsregel musst du gerade den Ablehnungsbereich der Nullhypothese bestimmen.
Sei $X$ die Zufallsgröße, die die Anzahl der Jugendlichen angibt, die einen Computer besitzen. Bei wahrer Nullhypothese kann $X$ als binomialverteilt angenommen werden mit $n=100$ und $p=0,9$. Das ist der Fall, da ein Jugendlicher entweder einen Computer besitzt oder nicht. Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn besonders wenig Jugendliche einen Computer besitzen.
Der Ablehnungsbereich $\overline{A}$ lautet allgemein:
$\overline{A} = \{1, \ldots, k\}$
Da der Hypothesentest mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von $5\;\%$ ausgeführt werden soll, muss gelten: $P (X \in \overline{A}) = P(X \leq k) \leq 0,05$
Betrachte also die Bernoullikette mit $n=100$ und $p=0,9$ und suche nach dem Wert für $k$, für den obige Ungleichung gerade noch erfüllt ist. Durch systematisches Probieren erhältst du:
$P(X \leq 83) = 0,0206$
$P(X \leq 84) = 0,03989$
$P(X \leq 85) = 0,07257$
Der Wert liegt bei $k=84$, da anschließend die Wahrscheinlichkeit höher als $5\;\%$ ist.
Der Ablehnungsbereich liegt damit bei $\overline{A} = \{1, \ldots , 84\}$. Für die Entscheidungsregel gilt also:
Die Nullhypothese wird akzeptiert, falls mindestens 85 Jugendliche einen Computer besitzen.
Die Nullhypothese wird abgelehnt, falls 84 oder weniger Jugendliche einen Computer besitzen.
b) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 100 befragten Jugendlichen genau 85 einen Computer besitzen.
Der Tabelle kannst du entnehmen, dass 77 Mädchen und 87 Jungen einen Computer besitzen. Der Anteil der Jugendlichen mit Computer ist dann:
$\frac{77+87}{200} = \frac{164}{200} = 0,82$
Du kannst mit einer Bernoullikette die Wahrscheinlichkeit, dass genau 85 der 100 Jugendlichen einen Computer besitzen, berechnen. Das ist möglich, da ein ein Jugendlicher entweder einen Computer besitzt oder nicht, der Besitz eines Computers entspricht dann einem Treffer. Dabei ist $n=100$, $p=0,82$ und $k=85$.
$P(X=85) = \binom{100}{85} \cdot 0,82^{85} \cdot (1-0,82)^{100-85} $$= \binom{100}{85} \cdot 0,82^{85} \cdot 0,18^{15} = 0,081$
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den 100 befragten Jugendlichen genau 85 einen Computer besitzen, beträgt $\boldsymbol{8,1\;\%}$.

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Anzahl bestimmen
Der Tabelle kannst du entnehmen, dass 42 Mädchen und 52 Jungen ein Smartphone besitzen. Die Anzahl der Jugendlichen, die ein Smartphone besitzen ist somit $42+52 = 94$. Die Anzahl der Mädchen mit fester Spielkonsole ist 37, die der Jungen 62. Also haben insgesamt 99 Jugendliche eine feste Spielkonsole. Der Anteil der Jugendlichen mit Smartphone und Spielkonsole soll nun höher sein als der Anteil der Jugendlichen mit Smartphone und ohne Spielkonsole.
Sei $n$ die Anzahl der Jugendlichen, die Smartphone und Spielkonsole haben. Dann ist die Anzahl der Jugendlichen, die Smartphone, aber keine Spielkonsole haben $99-n$.
Stelle die Ungleichung auf und löse nach $n$ auf.
$\begin{array}{rcll} \dfrac{n}{94} &>& \dfrac{99-n}{106}&\scriptsize{ \mid\; \cdot 106}\\ 106 \cdot \dfrac{n}{94} &>& 99-n&\scriptsize{ \mid\; \cdot 94}\\ 106\cdot n &>& 94\cdot(99-n)&\\ 106\cdot n &>& 9306- 94\cdot n&\scriptsize{ \mid\; + 94\cdot n}\\ 200\cdot n &>& 9306&\scriptsize{ \mid\; : 200}\\ n &>& 46,53 \end{array}$
$\begin{array}{rcl} \dfrac{n}{94} &>& \dfrac{99-n}{106}\\ 106 \cdot \dfrac{n}{94} &>& 99-n\\ 106\cdot n &>& 94\cdot(99-n)\\ 106\cdot n &>& 9306- 94\cdot n\\ 200\cdot n &>& 9306\\ n &>& 46,53 \end{array}$
Damit die Vermutung zutrifft müssen mindestens 47 Jugendliche sowohl ein Smartphone, als auch eine feste Spielkonsole besitzen.

Aufgabengruppe 2

Aufgabe 1

a) $\blacktriangleright$ Begründung für Wahrscheinlichkeit
Du sollst begründen, dass der Term $\frac{200\cdot 199\cdot 198\cdot 197\cdot 196}{200^5}$ die Wahrscheinlichkeit dafür beschreibt, dass sich in einem Päckchen fünf verschiedene Tierbilder befinden. Schreibe den Term etwas um:
$\frac{200\cdot 199\cdot 198\cdot 197\cdot 196}{200^5} $$= \frac{200}{200} \cdot \frac{199}{200} \cdot \frac{198}{200}\cdot\frac{197}{200} \cdot \frac{196}{200} $
Für das erste Tierbild gibt es 200 Möglichkeiten, also $\frac{200}{200}$. Für das zweite Tierbild gibt es 199 Möglichkeiten, da das bereits enthaltene Bild nicht noch einmal in dem Päckchen enthalten sein soll, also $\frac{199}{200}$. Für das dritte Tierbild gibt es 198 Möglichkeiten, da die bereits enthaltenen Bild nicht noch einmal in dem Päckchen enthalten sein sollen, also $\frac{198}{200}$. Die gleiche Argumentation führt zu den Termen $\frac{197}{200}$ und $\frac{196}{200}$.
Die Wahrscheinlichkeit beschreibt also, dass in einem Päckchen fünf verschiedene Bilder enthalten sind.
b) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen
Du sollst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass sich in den zwei Päckchen nur Bilder befinden, die der Junge schon hat. Nenne dieses Ereignis $E$.
Die zwei Päckchen enthalten zusammen 10 Bilder. Da dem Jungen von 15 Bilder fehlen hat er bereits $200 - 15 = 185$ Tierbilder.
Die Wahrscheinlichkeit, dass er ein Bild schon hat beträgt somit: $\frac{185}{200}$.
Diese Wahrscheinlichkeit gilt für jedes der 10 Bilder. Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich also:
$P(E) = \left(\frac{185}{200}\right)^{10} = 0,459$
Zu $\boldsymbol{45,9\;\%}$ enthalten die zwei Päckchen nur Bilder, die der Junge schon in seinem Album hat.
c) $\blacktriangleright$ Mindestanzahl für 3D–Bild
Du sollst ermitteln, wie viele Päckchen ein Kind mindestens benötigt, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $99 \,\%$ mindestens ein 3D-Bild zu erhalten.
Die Wahrscheinlichkeit für ein 3D-Bild ist: $p= \frac{20}{200} = 0,1$.
Sei $n$ die Anzahl der benötigten Bilder. Außerdem sei $X$ eine binomialverteilte Zufallsvariable, die für die Anzahl der 3D–Bilder steht. Das kann angenommen werden, da ein Kind entweder ein 3D-Bild erhält oder nicht, das Erhalten eines 3D-Bildes entspricht somit einem Treffer. Die Wahrscheinlichkeit für genau $i$ Treffer für $n$ Versuche und einer Trefferwahrscheinlichkeit von $p$ ist gegeben durch:
$\boldsymbol{P(X=i) = \binom{n}{i} \cdot p^{i}\cdot (1-p)^{n-i}}$
Die Wahrscheinlichkeit $P(X \geq 1)$ soll also größer als 0,99 sein. Die Anzahl $n$ der Päckchen ist gesucht.
Stelle also die Ungleichung auf, wandle diese mithilfe des Gegenereignisses um und nutze die Formel für die Wahrscheinlichkeit einer binomialverteilten Zufallsvariable. Du erhältst eine Ungleichung mit dem unbekannten Parameter $n$. Löse die Ungleichung nach $n$ auf:
$\begin{array}{rcll} P(X \geq 1) &> &0,99&\\ 1 - P(X = 0) &> &0,99&\scriptsize{ \mid\;+ P(X=0) }\\ 1 &> &0,99 + P(X = 0)&\scriptsize{ \mid\;-0,99 }\\ 0,01 &> & P(X = 0)&\scriptsize{ \text{Binomialverteilung}}\\ 0,01 &>& (1-0,1)^n &\\ 0,01 &>& 0,9^n &\scriptsize{ \mid\; \ln()}\\ \ln(0,01) &> & n \cdot \ln(0,9)&\scriptsize{ \mid\; :\ln(0,9)}\\ 43,7& < & n& \end{array}$
$\begin{array}{rcll} P(X \geq 1) &> &0,99&\\ 1 - P(X = 0) &> &0,99&\\ 1 &> &0,99 + P(X = 0)&\\ 0,01 &> & P(X = 0)&\\ 0,01 &>& (1-0,1)^n &\\ 0,01 &>& 0,9^n &\\ \ln(0,01) &> & n \cdot \ln(0,9)&\\ 43,7& < & n& \end{array}$
Ein Kind benötigt mindestens 44 Karten. Da ein Päckchen 5 Karten enthält, benötigt das Kind 9 Päckchen.

Aufgabe 2

a) $\blacktriangleright$ Öffnungswinkel berechnen
Du sollst den Öffnungswinkels des Sektors mit der Nummer 1 berechnen. Die anderen Sektoren sind 2, 3, 4 bzw. 5 mal so groß wie Sektor 1. Sektor 1 passt also 2 mal in Sektor 2, 3 mal in Sektor 3, usw. Berechne nun, wie oft Sektor 1 in das Glücksrad passen würde.
$1+2+3+4+5 = 15$
Das Glücksrad hat $360^{\circ}$, um den Winkel von Sektor 1 zu berechnen musst du die Gradzahl des Glücksrads durch 15 teilen:
Winkel Sektor 1 $= \frac{360^{\circ}}{15} = 24^{\circ}$
Der Öffnungswinkels des Sektors mit der Nummer 1 beträgt $\boldsymbol{24^{\circ}}$.
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Eintrittskarte berechnen
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler Sektor 5 erzielt beträgt $\frac{5}{15}=0,33$. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler eine Eintrittskarte gewinnt $\boldsymbol{33\;\%}$.
b) $\blacktriangleright$ Erwartungswert berechnen
Den Erwartungswert einer Zufallsvariable $X$, die die Werte $i$ mit einer Wahrscheinlichkeit $P(X = i)$ annimmt, berechnest du mit folgender Formel:
$\boldsymbol{E(X) = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} i \cdot P(X = i)}$
Für das gegebene Spiel ist der Erwartungswert somit:
$\text{Erwartungswert} $$= 1\cdot \frac{1}{15} + 2 \cdot \frac{2}{15} + 3\cdot \frac{3}{15} + 4 \cdot \frac{4}{15} $$+ 15\cdot \frac{5}{15} $$= \frac{30}{15} + 5 = 7$
Der Erwartungswert beträgt $\boldsymbol{7\;}$€.
Da der Spieler nur einen Einsatz von 6 € hat, das ist weniger als der erwartete Gewinn, machen die Teilnehmer auf lange Sicht Gewinn.
c) $\blacktriangleright$ Überschuss berechnen
Da der Supermarkt nur zehn Euro für jede Eintrittskarte an den Freizeitpark bezahlen muss, ergibt sich für die erwarteten Ausgaben ein anderer Wert als für den erwarteten Gewinn. Du kannst diesen wieder mit der Formel für den Erwartungswert berechnen.
$\text{Erwartungswert} $$= 1\cdot \frac{1}{15} + 2 \cdot \frac{2}{15} + 3\cdot \frac{3}{15} + 4 \cdot \frac{4}{15}$$ + 10\cdot \frac{5}{15} $$= \frac{30}{15} + \frac{50}{15} = \frac{80}{15} $
Der erwartete Überschuss pro Spiel ist also: $6- \frac{80}{15}= \frac{2}{3}$.
Wenn 6.000–mal gespielt wird ergibt sich für den erwarteten Gesamtüberschuss:
$6.000 \cdot \frac{2}{3} = 4.000$
Der erwartete Überschuss beträgt $\boldsymbol{4.000\;}$€.
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