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A1 - Analysis

Aufgaben
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Der Bitterfelder Bogen ist eine $28\text{ m}$ hohe begehbare architektonische Stahlskulptur, die als das neue Wahrzeichen im ehemaligen Bitterfeld-Wolfener Chemie- und Braunkohlerevier bezeichnet werden kann. Er besteht aus drei Bögen, die leicht zueinander geneigt sind (Material 1). Nehmen Sie zur Vereinfachung an, dass diese drei Bögen in Ebenen liegen, die zum Boden senkrecht und somit parallel zueinander sind. Weitere Maße können Material 2 entnommen werden.
1.
1.1 Im Prospekt wird beschrieben, dass in die beiden Zwischenräume eine $6^{\circ}$ Steigung aufweisende Rampenanlage eingehängt ist. Fußwege führen in langgestrecktem Zick-Zack-Kurs in die Höhe. Alle Wege sind stufenlos und von metallenen Geländern gesichert. Jede Biegung des insgesamt ca. $540\text{ m}$ langen Wanderweges hat eine kleine Plattform.
Bestimmen Sie den Höhenunterschied, den ein $540\text{ m}$ langer geradliniger Wanderweg bei einem Steigungungswinkel von $6^{\circ}$ überwindet. Beurteilen Sie anhand des Ergebnisses und des einleitenden Textes die Angaben im Prospekt.
(4P)
1.2 Für Rollstuhlfahrer darf die Steigung höchstens $6\,\%$ betragen. Berechnen Sie die Steigung in $\%$ bei einem Steigungswinkel von $6^{\circ}$ und entscheiden Sie, ob ein solcher Wanderweg für Rollstuhlfahrer geeignet ist.
(3P)
Im Folgenden soll der äußere Rand eines Bogens modelliert werden.
2. In einem ersten Versuch werden quadratische Funktionen für diese Modellierung verwendet.
2.1 Bestimmen Sie den Funktionsterm einer quadratischen Funktion, die den äußeren Rand eines Bogens beschreibt, mithilfe der Informationen aus dem einleitenden Text und aus Material 2.
(6P)
2.2 In Material 1 ist zu erkennen, dass der Bogen an der höchsten Stelle einen Knick hat. Erklären Sie, welche Konsequenzen dies für die Modellierung des Bogenrandes mithilfe von quadratischen Funktionen hat.
(3P)
3. In einem zweiten Versuch soll der äußere Rand des Bogens durch folgende Funktionen beschrieben werden:
$\begin{array}{rll} K_{1}(x)=&\sqrt{1.296-\left(x-\dfrac{1}{10}\right)^{2}}-8,& x\in[-35;\;0] \text{ und} \\ K_{2}(x)=&\sqrt{1.296-\left(x+\dfrac{1}{10}\right)^{2}}-8,& x\in[0;\;35] \end{array}$
$\begin{array}{rl} K_{1}(x)=&\sqrt{1.296-\left(x-\dfrac{1}{10}\right)^{2}}-8, \\ x\in[-35;\;0] \text{ und} \\ \\ K_{2}(x)=&\sqrt{1.296-\left(x+\dfrac{1}{10}\right)^{2}}-8, \\ x\in[0;\;35] \end{array}$
3.1 Zeigen Sie, dass der so definierte äußere Rand des Bogens achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist.
(4P)
3.2 Bestimmen Sie den maximalen Höhenunterschied zwischen $K_2$ und dem Graphen der quadratischen Funktion aus Aufgabe 2.1.
$[$Wenn Sie Aufgabe 2.1 nicht gelöst haben, verwenden Sie die quadratische Funktion $q$ mit $q(x)=-0,02x^{2}+28$.$]$
(4P)
3.3 Ermitteln Sie den Schnittwinkel der Graphen von $K_1$ und $K_2$ an der höchsten Stelle des Bogens.
(6P)
3.4 Das komplette Bauwerk soll eine Stoffhülle erhalten.
Bestimmen Sie die benötigte Stofffläche und erläutern Sie Ihr Vorgehen (Material 3).
(7P)
3.5 Ermitteln Sie das umbaute Volumen dieses Bauwerks.
(3P)
Material 1
A1 - Analysis Quelle: http://www.bitterfelder-bogen.de
A1 - Analysis Quelle: http://www.bitterfelder-bogen.de
Material 2
A1 - Analysis Quelle: http://commons.wikimedia.org/ - Joeb07
A1 - Analysis Quelle: http://commons.wikimedia.org/ - Joeb07
Material 3
Information: Länge eines Graphen
Die Länge des Graphen einer differenzierbaren Funktion $f$ zwischen den Punkten $A(a\mid f(a))$ und $B(b\mid f(b))$ wird durch folgende Formel berechnet:
$L=\mathop{\displaystyle\int}\limits_{a}^{b}\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^{2}}\mathrm dx$,$\quad$ $a\leq b$
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1.
1.1 $\blacktriangleright$ Bestimmen des Höhenunterschieds
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass in die beiden Zwischenräume des Bogens eine Rampenanlage eingehängt ist, die eine Steigung von besitzt. Hier führen Fußwege in einem langgestrecktem Zick-Zack-Kurs in die Höhe. Insgesamt besitzt der Zick-Zack-Kurs eine Länge von $540\text{ m}$.
Deine Aufgabe ist es nun, den Höhenunterschied, den ein $540\text{ m}$ langer geradliniger Wanderweg bei einem Steigungswinkel von 6° überwindet, zu berechnen. Anschließend sollst du anhand des Ergebnisses und des einleitenden Textes die Angaben im Prospekt, die im Material zu dieser Aufgabe zu finden sind, beurteilen.
Fertigst du dir eine Skizze zum Sachverhalt an, so kannst du erkennen, dass der $540\text{ m}$ lange und mit $6°$ geneigte Wanderweg in einem rechtwinkligen Dreieck, wie es beispielsweise unten zu sehen ist, liegt.
A1 - Analysis
A1 - Analysis
In diesem Dreieck kannst du den Höhenunterschied $h$ über die passende Winkelbeziehung für rechtwinklige Dreiecke berechnen.
1.2 $\blacktriangleright$ Steigung in Prozent berechnen
Der Aufgabenstellung kannst du nun entnehmen, dass die Steigung einer Rampe für Rollstuhlfahrer höchstens $6\,\%$ betragen darf. Deine Aufgabe ist es nun die Steigung in $\%$ bei einem Steigungswinkel von $6\,°$ zu berechnen und zu entscheiden, ob ein solcher Wanderweg für Rollstuhlfahrer geeignet ist.
Willst du die Steigung in Prozent berechnen, so musst du herausfinden, welchen Höhenunterschied ein $100\text{ m}$ langer und um 6° geneigter Wanderweg überwindet. Das Ergebnis, geteilt durch 100, entspricht dann dem hier gesuchten Prozentsatz.
Du berechnest also in folgendem rechtwinkligen Dreieck:
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Verwende auch hier wieder Winkelbeziehungen für rechtwinklige Dreiecke, um den Höhenunterschied zu berechnen.
2.
2.1 $\blacktriangleright$ Bestimmen einer quadratischen Funktion
Nun soll der äußere Rand eines Bogens modelliert werden. Deine Aufgabe ist es nun, den Funktionsterm einer quadratischen Funktion zu bestimmen, die den äußeren Rand des Bogens beschreibt. Dabei sollst du die dies mit Hilfe der Informationen aus dem einleitenden Text und aus Material 2 tun.
Die Grundform einer Funktionsterms eine quadratischen Funktion sieht dabei wie folgt aus:
$f(x) = a \cdot x^2 + b\cdot x + c$ mit
  • $a,b,c$: Parameter.
Um eine solche Funktion eindeutig bestimmen zu können, bedarf es also einem Gleichungssystem mit insgesamt 3 Gleichungen. Das heißt du müsstest hier insgesamt 3 Bedingungen an die Funktion $f$ formulieren, um diese eindeutig bestimmen zu können.
Bevor du jedoch damit beginnen kannst, die Funktion zu modellieren, solltest du hier entscheiden wie das zugrunde liegende Koordinatensystem aussieht. Hier wird dabei davon ausgegangen, dass die $y$-Achse genau in der Mitte der Skulptur liegt und die $x$-Achse den Boden, auf dem die Skulptur steht, beschreibt. Wir gehen also davon aus, dass die Skulptur bzw. der Bogen symmetrisch zur $\boldsymbol{y}$-Achse ist.
Liegt nun eine zur $y$-Achse symmetrische quadratische Funktion vor, so vereinfacht sich deren Funktionsterm zu:
$f(x) = a \cdot x^2 + c$
Hier bedarf es also nur noch eine Gleichungssystem mit 2 Bedingungen und insgesamt 2 Gleichungen. Hier musst du also 2 Bedingungen an $f$ formulieren, um den Funktionsterm eindeutig zu bestimmen.
Die erste Bedingung ergibt sich dabei aus der Höhe eines Bogens. Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass der Bogen insgesamt eine Höhe von $28\text{ m}$ hat. Das heißt der Bogen hat an seiner höchsten Stelle eine Höhe von $28\text{ m}$.
Die zweite Bedingung ergibt aus der Breite des Bogens. Dem Material zu dieser Aufgabe kannst du dazu entnehmen, dass der Bogen insgesamt eine Länge von $70\,\text{m}$ besitzt. Ein Bogen besitzt also eine waagrechte Länge von $35\text{ m}$.
Fertige dir hier eine Skizze zum Sachverhalt an, um dir die Bedeutung der Bedingungen klarer zu machen:
A1 - Analysis
A1 - Analysis
2.2 $\blacktriangleright$ Erklären der Konsequenzen für die Modellierung
Betrachtest du Material 1 näher, so kannst du erkennen, dass der Bogen an der höchsten Stelle einen Knick hat. Deine Aufgabe ist es nun, zu erklären, welche Konsequenzen dies für die Modellierung des Bogenrandes mit Hilfe von quadratischen Funktionen hat.
Willst du hier auf die Konsequenzen für die Modellierung des Bogenrandes durch quadratische Funktionen eingehen, so beziehe dich bei deiner Erklärung auf folgende drei Punkte:
  • Stetigkeit,
  • Differenzierbarkeit und
  • Anzahl der benötigten quadratischen Funktionen.
3.
3.1 $\blacktriangleright$ Achsensymmetrie zur $\boldsymbol{y}$-Achse zeigen
Der Aufgabenstellung kannst du nun entnehmen, dass der äußere Rand des Bogens durch folgende beiden Funktionen beschrieben werden soll:
  • $K_1(x) = \sqrt{1.296 - \left(x - \frac{1}{10}\right)^2} - 8$ für $x \in \left[-35;0\right]$
  • $K_2(x) = \sqrt{1.296 - \left(x + \frac{1}{10}\right)^2} - 8$ für $x \in \left[0;35\right]$
Deine Aufgabe ist es nun, zunächst zu zeigen, dass der so modellierte äußere Rand des Bogens achsensymmetrisch zur $\boldsymbol{y}$-Achse ist. Ist der Graph einer Funktion $f$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse, so erfüllt dessen Funktionsterm, für ein beliebiges negatives $\boldsymbol{x}$ folgenden Zusammenhang:
$f(-x) = f(x)$
Setze also $-x$ in $K_1(x)$ und $K_2(x)$ ein und zeige so, dass die Graphen von $K_1$ und $K_2$ symmetrisch zur $y$-Achse sind.
3.2 $\blacktriangleright$ Maximalen Höhenunterschied bestimmen
Hier ist es nun deine Aufgabe den maximalen Höhenunterschied zwischen $K_2$ und dem Graphen der quadratischen Funktion aus Aufgabe 2.1 zu bestimmen. Für den Funktionsterm der quadratischen Funktion nehmen wir dabei
$q(x) = -0,02 \cdot x^2 + 28$
an.
Willst du den maximalen Höhenunterschied zwischen zwei Graphen bestimmen, so bildest du eine Differenzfunktion $d$, die sich aus dem Betrag der Differenz der betrachteten Funktionsterme ergibt. Hast du eine solche Differenzfunktion bestimmt, so untersuchst du diese im betrachteten Intervall, hier $x \in [0;35]$, auf globale Maxima. Verwende dazu deinen GTR und vergiss nicht die Randstellen des betrachteten Intervalls zu untersuchen.
Der zur ermittelten Stelle zugehörige $\boldsymbol{y}$-Wert entspricht dann gerade dem maximalen Höhenunterschied zwischen dem Graphen von $K_2$ und dem Graphen der Funktion $q$.
Gehe beim Lösen der Aufgabe also so vor:
  1. Schritt: Bestimmen der Differenzfunktion $d$
  2. Schritt: Untersuchen der Differenzfunktion $d$ auf globale Maxima
  3. Schritt: Bestimmen des maximalen Höhenunterschieds
3.3 $\blacktriangleright$ Bestimmen des Schnittwinkels
Nun sollst du den Schnittwinkel zwischen den Graphen von $K_1$ und $K_2$ an der höchsten Stelle des Bogens bestimmen.
Willst du diesen Schnittwinkel bestimmen, so berechnest du im ersten Schritt zunächst den betrachteten Schnittpunkt der Graphen von $K_1$ und $K_2$. Hast du diesen bestimmt, so berechnest du im nächsten Schritt den Winkel der Graphen von $K_1$ und $K_2$ im Schnittpunkt zur Horizontalen. Verwende dazu folgenden Zusammenhang:
$\tan(\alpha) = m$ mit:
  • $\alpha$: Winkel zur Horizontalen im betrachteten Punkt
  • $m$: Steigung der Funktion im betrachteten Punkt
Hast du die Winkel zur Horizontalen bestimmt, so kannst du mit diesen und der Winkelsumme von 180° der Horizontalen den Schnittwinkel bestimmen.
Gehe beim Lösen dieser Aufgabe also so vor:
  1. Schritt: Bestimmen des betrachteten Schnittpunktes $P$
  2. Schritt: Bestimmen der Winkel der Graphen von $K_1$ und $K_2$ zur Horizontalen in $P$
  3. Schritt: Berechnen des Schnittwinkels $\alpha_S$
3.4 $\blacktriangleright$ Bestimmen der benötigten Stoffmenge
Der Aufgabenstellung kannst du nun entnehmen, dass das komplette Bauwerk in eine Stoffhülle eingewickelt werden soll. Deine Aufgabe ist es dabei, die dafür benötigte Stoffmenge zu bestimmen.
Bevor du damit anfängst, solltest du dir jedoch Gedanken darüber machen, welche Flächen des Bauwerks bzw. des Bogens eingehüllt werden sollen:
  • Fläche vorne mit dem Flächeninhalt $A_v$,
  • Fläche hinten mit dem Flächeninhalt $A_h$,
  • Zwischenstreifen mit dem Flächeninhalt $A_S$.
Die Flächeninhalt $A_v$ und $A_h$ der vorderen und hinteren Fläche des Bogens berechnest du dabei über ein Integral über $K_1$ und $K_2$.
Der Zwischenstreifen besitzt die Form eines Rechtecks. Die Breite $b$ des Rechtecks entspricht der Breite des Bauwerks (siehe Material 2). Die Länge des Rechtecks ergibt sich über die im Material 3 angegebene Formel:
$L = \displaystyle\int_{a}^{b} \left(\sqrt{1+(f'(x))^2}\right)\mathrm dx$
Gehe beim Lösen der Aufgabe also so vor:
  • Berechne $A_v$ und $A_h$ über ein Integral. Verwende dazu deinen GTR und die Tatsache, dass die Graphen von $K_1$ und $K_2$ symmetrisch zur $y$-Achse sind.
  • Berechne die Länge $\ell$ eines Bogens. Verwende dazu ebenfalls deinen GTR und auch die Tatsache, dass die Graphen von $K_1$ und $K_2$ symmetrisch zur $y$-Achse sind.
  • Berechne $A_S$ und den gesamten Flächeninhalt des benötigten Stoffs.
3.5 $\blacktriangleright$ Ermitteln des Volumen des Bauwerks
Zuletzt sollst du hier das Volumen des Bauwerks berechnen. Beachte dabei, dass es sich hier um ein Prisma handelt. Das Volumen eines Prisma ergibt sich dabei über folgenden Ansatz:
$V = G \cdot h$ mit
  • $G$: Grundfläche des Prisma
  • $h$: Höhe des Prisma
Als Grundfläche fungiert hier die im vorherigen Aufgabenteil berechnete Fläche der vorderen oder hintern Front des Bogens. Die Höhe des Prisma entspricht der im Material 2 angegeben Breite des Bogens.
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1.
1.1 $\blacktriangleright$ Bestimmen des Höhenunterschieds
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass in die beiden Zwischenräume des Bogens eine Rampenanlage eingehängt ist, die eine Steigung von besitzt. Hier führen Fußwege in einem langgestrecktem Zick-Zack-Kurs in die Höhe. Insgesamt besitzt der Zick-Zack-Kurs eine Länge von $540\text{ m}$.
Deine Aufgabe ist es nun, den Höhenunterschied, den ein $540\text{ m}$ langer geradliniger Wanderweg bei einem Steigungswinkel von 6° überwindet, zu berechnen. Anschließend sollst du anhand des Ergebnisses und des einleitenden Textes die Angaben im Prospekt, die im Material zu dieser Aufgabe zu finden sind, beurteilen.
Fertigst du dir eine Skizze zum Sachverhalt an, so kannst du erkennen, dass der $540\text{ m}$ lange und mit $6°$ geneigte Wanderweg in einem rechtwinkligen Dreieck, wie es beispielsweise unten zu sehen ist, liegt.
A1 - Analysis
A1 - Analysis
In diesem Dreieck kannst du den Höhenunterschied $h$ über die passende Winkelbeziehung für rechtwinklige Dreiecke berechnen.
Gegeben hast du hier die Hypotenuse des Dreiecks mit einer Länge von $540\text{ m}$, sowie den dazugehörigen Winkel von $6°$. Gesucht ist die Gegenkathete $h$. Wende also den Sinus an, um den hier gesuchten Höhenunterschied $h$ zu berechnen.
$\begin{array}{rll} \sin \alpha=&\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \\ \sin 6\,\text{°}=&\dfrac{h}{540\,\text{m}}&\scriptsize \mid\;\cdot 540\,\text{m} \\ h=&\sin 6\,\text{°} \cdot 540\,\text{m} \\ h=&56,45\,\text{m} \end{array}$
$\begin{array}{rl} \sin \alpha=&\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \\ \sin 6\,\text{°}=&\dfrac{h}{540\,\text{m}} \\ h=&\sin 6\,\text{°} \cdot 540\,\text{m} \\ h=&56,45\,\text{m} \end{array}$
Ein $540\,\text{m}$ langer geradliniger und um $6°$ geneigter Wanderweg überwindet also einen Höhenunterschied von ungefähr $56,45\,\text{m}$.
Vergleichst du diesen Höhenunterschied mit der Größe bzw. dem überwundenen Höhenunterschieds des Bogens, so kannst du sehen, dass dieser nur $28\text{ m}$ hoch ist und lediglich einen Höhenunterschied von $21\text{ m}$ überwindet. Ein Grund dafür könnte sein, dass die Skulptur jeweils an den äußeren Enden eine waagerechte Plattform besitzt, die ebenfalls in die Länge des $540\,\text{m}$ langen Aufstiegs zählt. Ein weiterer Grund könnte sein, dass der Anstiegswinkel, der im Prospekt gegeben ist, nicht richtig angegeben wurde und dieser in Wahrheit kleiner ist.
1.2 $\blacktriangleright$ Steigung in Prozent berechnen
Der Aufgabenstellung kannst du nun entnehmen, dass die Steigung einer Rampe für Rollstuhlfahrer höchstens $6\,\%$ betragen darf. Deine Aufgabe ist es nun die Steigung in $\%$ bei einem Steigungswinkel von $6\,°$ zu berechnen und zu entscheiden, ob ein solcher Wanderweg für Rollstuhlfahrer geeignet ist.
Willst du die Steigung in Prozent berechnen, so musst du herausfinden, welchen Höhenunterschied ein $100\text{ m}$ langer und um 6° geneigter Wanderweg überwindet. Das Ergebnis, geteilt durch 100, entspricht dann dem hier gesuchten Prozentsatz.
Du berechnest also in folgendem rechtwinkligen Dreieck:
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Verwende auch hier wieder Winkelbeziehungen für rechtwinklige Dreiecke, um den Höhenunterschied zu berechnen.
Hier kannst du den Tangens verwenden, um den gesuchten Höhenunterschied zu berechnen. Wende diesen dabei wie folgt an:
$\begin{array}{rll} \tan \alpha=&\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \\ \tan 6\,\text{°}=&\dfrac{h}{100\,\text{m}}&\scriptsize \mid\;\cdot 100\,\text{m} \\ h=&\tan 6\,\text{°} \cdot 100\,\text{m} \\ h=&10,51\,\text{m} \end{array}$
$\begin{array}{rll} \tan \alpha=&\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \\ \tan 6\,\text{°}=&\dfrac{h}{100\,\text{m}} \\ h=&\tan 6\,\text{°} \cdot 100\,\text{m} \\ h=&10,51\,\text{m} \end{array}$
Ein um $6°$ geneigter Wanderweg besitzt also einen Anstieg von
$\dfrac{10,51\,\text{m}}{100\,\text{m}} = 0,1051 = 10,51\,\text{%}$
und ist damit nicht für Rollstuhlfahrer geeignet.
2.
2.1 $\blacktriangleright$ Bestimmen einer quadratischen Funktion
Nun soll der äußere Rand eines Bogens modelliert werden. Deine Aufgabe ist es nun, den Funktionsterm einer quadratischen Funktion zu bestimmen, die den äußeren Rand des Bogens beschreibt. Dabei sollst du die dies mit Hilfe der Informationen aus dem einleitenden Text und aus Material 2 tun.
Die Grundform einer Funktionsterms eine quadratischen Funktion sieht dabei wie folgt aus:
$f(x) = a \cdot x^2 + b\cdot x + c$ mit
  • $a,b,c$: Parameter.
Um eine solche Funktion eindeutig bestimmen zu können, bedarf es also einem Gleichungssystem mit insgesamt 3 Gleichungen. Das heißt du müsstest hier insgesamt 3 Bedingungen an die Funktion $f$ formulieren, um diese eindeutig bestimmen zu können.
Bevor du jedoch damit beginnen kannst, die Funktion zu modellieren, solltest du hier entscheiden wie das zugrunde liegende Koordinatensystem aussieht. Hier wird dabei davon ausgegangen, dass die $y$-Achse genau in der Mitte der Skulptur liegt und die $x$-Achse den Boden, auf dem die Skulptur steht, beschreibt. Wir gehen also davon aus, dass die Skulptur bzw. der Bogen symmetrisch zur $\boldsymbol{y}$-Achse ist.
Liegt nun eine zur $y$-Achse symmetrische quadratische Funktion vor, so vereinfacht sich deren Funktionsterm zu:
$f(x) = a \cdot x^2 + c$
Hier bedarf es also nur noch eine Gleichungssystem mit 2 Bedingungen und insgesamt 2 Gleichungen. Hier musst du also 2 Bedingungen an $f$ formulieren, um den Funktionsterm eindeutig zu bestimmen.
Die erste Bedingung ergibt sich dabei aus der Höhe eines Bogens. Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass der Bogen insgesamt eine Höhe von $28\text{ m}$ hat. Das heißt der Bogen hat an seiner höchsten Stelle eine Höhe von $28\text{ m}$.
Die zweite Bedingung ergibt aus der Breite des Bogens. Dem Material zu dieser Aufgabe kannst du dazu entnehmen, dass der Bogen insgesamt eine Länge von $70\,\text{m}$ besitzt. Ein Bogen besitzt also eine waagrechte Länge von $35\text{ m}$.
Fertige dir hier eine Skizze zum Sachverhalt an, um dir die Bedeutung der Bedingungen klarer zu machen:
A1 - Analysis
A1 - Analysis
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Formulieren des Gleichungssystems
Setze nun $P_x(0|35)$ und $P_y(0|35)$ in den von $a$ und $c$ abhängigen Funktionsterm von $f$ ein, um hier das zu lösende lineare Gleichungssystem zu formulieren:
$\begin{array}{rrl} Ⅰ&f(35)=&a \cdot 35^2 + c \\ &0=&a \cdot 35^2 + c \\ Ⅱ&f(0)=&a \cdot 0^2 + c \\ &28=&c \end{array}$
$\begin{array}{rl} Ⅰ \\ f(35)=&a \cdot 35^2 + c \\ &0=&a \cdot 35^2 + c \\ \\ Ⅱ \\ f(0)=&a \cdot 0^2 + c \\ &28=&c \end{array}$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Lösen des Gleichungssystems
Aus Ⅱ siehst du sofort, dass $c = 28$ gilt. Setze dies in Ⅰ ein und löse nach $a$:
$\begin{array}{rrl} Ⅰ&0=&a \cdot 1.225 + 28&\scriptsize\mid\,-28 \\ &-28=&a \cdot 1.225&\scriptsize\mid\,:1.225 \\ &-0,0229=&a \end{array}$
$\begin{array}{rl} Ⅰ \\ 0=&a \cdot 1.225 + 28&\scriptsize\mid\,-28 \\ &-28=&a \cdot 1.225&\scriptsize\mid\,:1.225 \\ &-0,0229=&a \end{array}$
Der Funktionsterm von $f$ ergibt sich zu:
$f(x) = -0,0229 \cdot x^2 + 28$.
2.2 $\blacktriangleright$ Erklären der Konsequenzen für die Modellierung
Betrachtest du Material 1 näher, so kannst du erkennen, dass der Bogen an der höchsten Stelle einen Knick hat. Deine Aufgabe ist es nun, zu erklären, welche Konsequenzen dies für die Modellierung des Bogenrandes mit Hilfe von quadratischen Funktionen hat.
Willst du hier auf die Konsequenzen für die Modellierung des Bogenrandes durch quadratische Funktionen eingehen, so beziehe dich bei deiner Erklärung auf folgende drei Punkte:
  • Stetigkeit,
  • Differenzierbarkeit und
  • Anzahl der benötigten quadratischen Funktionen.
Besitzt der Graph einer bestimmten Funktion an einer Stelle einen Knick und keinen Sprung, dann ist dieser Graph im betreffenden Punkt stetig. Jedoch ist der Graph der Funktion an der Stelle mit dem Knick nicht differenzierbar. Da der Bogen an der höchsten Stelle einen Knick besitzt, muss dieser durch mindestens 2 quadratische Funktionen modelliert werden.
Machbar wäre dies hier mit einer abschnittsweise definierten Funktion, die sich aus einer Funktion für die Modellierung des linken und aus einer Funktion für die Modellierung des rechten Teil des Bogens zusammensetzt.
3.
3.1 $\blacktriangleright$ Achsensymmetrie zur $\boldsymbol{y}$-Achse zeigen
Der Aufgabenstellung kannst du nun entnehmen, dass der äußere Rand des Bogens durch folgende beiden Funktionen beschrieben werden soll:
  • $K_1(x) = \sqrt{1.296 - \left(x - \frac{1}{10}\right)^2} - 8$ für $x \in \left[-35;0\right]$
  • $K_2(x) = \sqrt{1.296 - \left(x + \frac{1}{10}\right)^2} - 8$ für $x \in \left[0;35\right]$
Deine Aufgabe ist es nun, zunächst zu zeigen, dass der so modellierte äußere Rand des Bogens achsensymmetrisch zur $\boldsymbol{y}$-Achse ist. Dies ist der Fall, wenn der Graph von $K_2$ gerade durch Spiegelung vom Graphen von $K_1$ an der $y$-Achse hervorgeht. Dafür muss folgendes gelten:
$K_1(-x) = K_2(x)$
$K_1(-x) = K_2(x)$
Setze also $-x$ in $K_1(x)$ ein und zeige so, dass die Graphen von $K_1$ und $K_2$ symmetrisch zueinander bezüglich der $y$-Achse sind.
$\begin{array}{rl} K_1(-x)=&\sqrt{1.296 - \left(-x - \frac{1}{10}\right)^2} - 8 \\ =& \sqrt{1.296 - \left((-x)^2 - 2 \cdot \frac{1}{10} \cdot (-x) + \frac{1}{10}^2\right)} - 8 \\ =&\sqrt{1.296 - \left(x^2 + 2 \cdot \frac{1}{10} \cdot x + \frac{1}{10}\right)^2} - 8 \\ =& \sqrt{1.296 - \left(x + \frac{1}{10}\right)^2} - 8 = K_2(x) \end{array}$
$\begin{array}{rl} K_1(-x)=&\sqrt{1.296 - \left(-x - \frac{1}{10}\right)^2} - 8 \\ =& \sqrt{1.296 - \left((-x)^2 - 2 \cdot \frac{1}{10} \cdot (-x) + \frac{1}{10}^2\right)} - 8 \\ =&\sqrt{1.296 - \left(x^2 + 2 \cdot \frac{1}{10} \cdot x + \frac{1}{10}\right)^2} - 8 \\ =& \sqrt{1.296 - \left(x + \frac{1}{10}\right)^2} - 8 = K_2(x) \end{array}$
Da beide Funktionen den Zusammenhang erfüllen, hast du hier gezeigt, dass die Graphen von $K_1$ und $K_2$ zueinander symmetrisch bezüglich der $y$-Achse sind. Also ist der äußere Rand des Bogens achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
3.2 $\blacktriangleright$ Maximalen Höhenunterschied bestimmen
Hier ist es nun deine Aufgabe den maximalen Höhenunterschied zwischen $K_2$ und dem Graphen der quadratischen Funktion aus Aufgabe 2.1 zu bestimmen. Für den Funktionsterm der quadratischen Funktion nehmen wir dabei
$q(x) = -0,02 \cdot x^2 + 28$
an.
Willst du den maximalen Höhenunterschied zwischen zwei Graphen bestimmen, so bildest du eine Differenzfunktion $d$, die sich aus dem Betrag der Differenz der betrachteten Funktionsterme ergibt. Hast du eine solche Differenzfunktion bestimmt, so untersuchst du diese im betrachteten Intervall, hier $x \in [0;35]$, auf globale Maxima. Verwende dazu deinen GTR und vergiss nicht die Randstellen des betrachteten Intervalls zu untersuchen.
Der zur ermittelten Stelle zugehörige $\boldsymbol{y}$-Wert entspricht dann gerade dem maximalen Höhenunterschied zwischen dem Graphen von $K_2$ und dem Graphen der Funktion $q$.
Gehe beim Lösen der Aufgabe also so vor:
  1. Schritt: Bestimmen der Differenzfunktion $d$
  2. Schritt: Untersuchen der Differenzfunktion $d$ auf globale Maxima
  3. Schritt: Bestimmen des maximalen Höhenunterschieds
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Bestimmen der Differenzfunktion $\boldsymbol{d}$
Bilde den Betrag der Differenz von $K_2(x)$ und $q(x)$, um hier den Funktionsterm von $d$ zu bestimmen:
$d(x) = \left|K_1(x) - q(x)\right|$.
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Bestimmen des globalen Maximums der Differenzfunktion
Wechsle in den $\texttt{Y=}$-Editor deines GTR und speichere dort $K_1(x)$, $q(x)$ und $d(x)$ (siehe unten linkes). Lasse dir anschließend den Graphen von $d$ im Intervall $[0;35]$ anzeigen und untersuche diesen über die unten stehende Eingabenfolge auf lokale Maxima (siehe unten rechts):
2nd $\to$ CALC $\to$ 4: maximum
A1 - Analysis
A1 - Analysis
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Untersuche nun noch die Funktionswerte bei $x = 0$ und $x = 35$, um die Randstellen auf globale Maxima zu untersuchen. Dabei ist gleich ersichtlich, dass es nicht notwendig ist, $x = 0$ zu untersuchen, da hier die Funktionswerte von $d$ gegen Null gehen. Verwende beim Untersuchen der Funktionswerte folgenden Befehl:
2nd $\to$ CALC $\to$ 1: value
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Die Funktion $d$ besitzt also ein lokales Maximum bei $x = 25,71$ mit einem Abstand von $d(x) = 2,32$ zwischen den Funktionen. Betrachtest du jedoch die Randstelle bei $x = 35$, so kannst du erkennen, dass hier der Abstand zwischen den Funktionen mit $d(x) = 3,5$ größer ist. Bei $x_M = 35$ liegt also ein globales Maximum vor. Der maximale Höhenunterschied zwischen dem Graphen von $K_2$ und $q$ ist also $3,5\text{ m}$.
3.3 $\blacktriangleright$ Bestimmen des Schnittwinkels
Nun sollst du den Schnittwinkel zwischen den Graphen von $K_1$ und $K_2$ an der höchsten Stelle des Bogens bestimmen.
Willst du diesen Schnittwinkel bestimmen, so berechnest du im ersten Schritt zunächst den betrachteten Schnittpunkt der Graphen von $K_1$ und $K_2$. Hast du diesen bestimmt, so berechnest du im nächsten Schritt den Winkel der Graphen von $K_1$ und $K_2$ im Schnittpunkt zur Horizontalen. Verwende dazu folgenden Zusammenhang:
$\tan(\alpha) = m$ mit:
  • $\alpha$: Winkel zur Horizontalen im betrachteten Punkt
  • $m$: Steigung der Funktion im betrachteten Punkt
Hast du die Winkel zur Horizontalen bestimmt, so kannst du mit diesen und der Winkelsumme von 180° der Horizontalen den Schnittwinkel bestimmen.
Gehe beim Lösen dieser Aufgabe also so vor:
  1. Schritt: Bestimmen des betrachteten Schnittpunktes $P$
  2. Schritt: Bestimmen der Winkel der Graphen von $K_1$ und $K_2$ zur Horizontalen in $P$
  3. Schritt: Berechnen des Schnittwinkels $\alpha_S$
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Bestimmen des betrachteten Schnittpunktes $\boldsymbol{P}$
Übertrage wie im Aufgabenteil zuvor die Funktionsterme $K_1(x)$ und $K_2(x)$ in den $\texttt{Y=}$-Editor deines GTR. Wechsle anschließend in den $\texttt{Graphs}$-Modus und lasse dir die Graphen im Intervall $[-35;35]$ anzeigen. Bestimme dann über folgende Befehlseingabenfolge den gesuchten Schnittpunkt an der höchsten Stelle des Bogens. Beachte dabei, dass dieser auf der $y$-Achse liegen muss, da sowohl der Graph von $K_1$ als auch $K_2$ sowie der gesamte Bogen selbst, symmetrisch zur $y$-Achse ist.
2nd $\to$ CALC $\to$ 5: intersect
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Die Graphen von $K_1$ und $K_2$ schneiden sich also im Punkt $P(0|28)$.
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Bestimmen der Winkel zur Horizontalen
Willst du nun die Winkel der Graphen von $K_1$ und $K_2$ zur Horizontalen bestimmen, so berechnest du zunächst die Steigung von $K_1$ und $K_2$ an der Stelle $x_P = 0$. Verwende dazu wiederum deinen GTR. Wechsle dazu erneut in den $\texttt{Graphs}$-Modus, um über
2nd $\to$ CALC $\to$ 6: dy/dx
die Steigung der Graphen von $K_1$ und $K_2$ im Punkt $P$ zu bestimmen.
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Hier gilt also:
  • $K_1'(0) = 0,0028$ und
  • $K_2'(0) = -0,0028$.
Setzt du dies nun in den oben gezeigten Zusammenhang für die Winkel zur Horizontalen ein, so solltest du zu folgendem Ergebnis gekommen sein:
  • $\alpha_1 = \tan^{-1}(K_1'(0)) $$= \tan^{-1}(0,0028) = 0,16\,\text{°}$
  • $\alpha_2 = \tan^{-1}(K_2'(0)) $$= \tan^{-1}(-0,0028) = -0,16\,\text{°}$
$\blacktriangleright$ 3. Schritt: Berechnen des Schnittwinkels $\boldsymbol{\alpha_S}$
Der Schnittwinkel $\alpha_S$ ergibt sich nun aus der Differenz zwischen 180° und den Beträgen der Winkel $\alpha_1$ und $\alpha_2$:
$\alpha_S $$= 180\text{°} - \alpha_1 - \alpha_2 $$= 180\text{°} - |0,16\text{°}| - |-0,16\text{°}| $$= 179,68\,\text{°}$
Die Graphen von $K_1$ und $K_2$ schneiden sich unter einem Winkel von $179,68\,\text{°}$ im Höchsten Punkt des Bogens.
3.4 $\blacktriangleright$ Bestimmen der benötigten Stoffmenge
Der Aufgabenstellung kannst du nun entnehmen, dass das komplette Bauwerk in eine Stoffhülle eingewickelt werden soll. Deine Aufgabe ist es dabei, die dafür benötigte Stoffmenge zu bestimmen.
Bevor du damit anfängst, solltest du dir jedoch Gedanken darüber machen, welche Flächen des Bauwerks bzw. des Bogens eingehüllt werden sollen:
  • Fläche vorne mit dem Flächeninhalt $A_v$,
  • Fläche hinten mit dem Flächeninhalt $A_h$,
  • Zwischenstreifen mit dem Flächeninhalt $A_S$.
Die Flächeninhalt $A_v$ und $A_h$ der vorderen und hinteren Fläche des Bogens berechnest du dabei über ein Integral über $K_1$ und $K_2$.
Der Zwischenstreifen besitzt die Form eines Rechtecks. Die Breite $b$ des Rechtecks entspricht der Breite des Bauwerks (siehe Material 2). Die Länge des Rechtecks ergibt sich über die im Material 3 angegebene Formel:
$L = \displaystyle\int_{a}^{b} \left(\sqrt{1+(f'(x))^2}\right)\mathrm dx$
Gehe beim Lösen der Aufgabe also so vor:
  • Berechne $A_v$ und $A_h$ über ein Integral. Verwende dazu deinen GTR und die Tatsache, dass die Graphen von $K_1$ und $K_2$ symmetrisch zur $y$-Achse sind.
  • Berechne die Länge $\ell$ eines Bogens. Verwende dazu ebenfalls deinen GTR und auch die Tatsache, dass die Graphen von $K_1$ und $K_2$ symmetrisch zur $y$-Achse sind.
  • Berechne $A_S$ und den gesamten Flächeninhalt des benötigten Stoffs.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Berechnen von $\boldsymbol{A_v}$ und $\boldsymbol{A_h}$ über ein Integral
$A_v$ bzw. $A_h$ ergibt sich, indem man $K_1$ über den Intervall $[-35;0]$ und $K_2$ über den Intervall $[0;35]$ integriert. Aufgrund der Achsensymmetrie des Bauwerks bzw. des Bogens ist es ausreichend, wenn du hier beispielsweise $K_1$ über den Intervall $[-35;0]$ integrierst. Das Doppelte des resultierende Flächeninhalts entspricht dann $A_v$ bzw. $A_h$.
Verwende zum Integrieren wiederum deinen GTR. Wechsle erneut in den $\texttt{Graphs}$ und berechne über
2nd $\to$ CALC $\to$ 7: $\displaystyle\int$f(x)dx
das Integral über $K_1$ in den Grenzen $x_u = -35$ und $x_o = 0$ (siehe unten).
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Für $A_v$ bzw. $A_h$ gilt also: $A_v = A_h = 2 \cdot 729,46\,\text{m}^2 = 1.458,92\,\text{m}^2$.
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Berechnen der Länge $\boldsymbol{\ell}$ des Bogens
Beim Berechnen der Länge des Bogens genügt es aufgrund der Symmetrie auch hier wieder nur den Graphen von $K_1$ zu betrachten. Die Länge des Bogens ergibt sich nämlich dann aus dem Doppelten der Länge des Bogens über $[-35;0]$, welcher hier über den Graphen von $K_1$ modelliert wurde.
Willst du die Länge des Bogens berechnen, so verwendest du die oben angegebene Formel und wählst für die Grenzen des darin enthaltenen Integrals die Grenzen des betrachteten Intervalls, also $x_u = -35$ und $x_o = 0$. Die Länge berechnest du mit deinem GTR.
Lege dazu $K_1(x)$ wie schon zuvor im $\texttt{Y=}$-Editor (hier $\texttt{Y1}$) fest und füge über
MATH $\to$ 9: fnInt(
zunächst ein Integral in den $\texttt{Calculator}$-Modus ein. Greife dann über
MATH $\to$ 8: nDeriv(
auf den Ableitungsbefehl zu und füge über den Funktionsterm von $K_1$
VARS $\to$ Y-VARS $\to$ 1: Function $\to$ Y1
in dessen Befehlsklammer ein. Berechne dann wie im Schaubild unten zu sehen ist.
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Die Länge des Bogens beträgt also $\ell = 2 \cdot 46,07\,\text{m} = 92,14\,\text{m}$. Der Flächeninhalt $A_S$ des Streifens ergibt sich also zu:
$A_S $$= \ell \cdot b $$= 92,14\,\text{m} \cdot 14\,\text{m} $$= 1.289,96\,\text{m}^2$.
$\blacktriangleright$ 3. Schritt: Berechnen des gesamten Flächeninhalts
Die Menge des benötigten Stoffs ergibt sich nun über die Summe der einzelnen Flächeninhalte:
$A_{ges} $$= A_v + A_h + A_S $$= 1.458,92\,\text{m}^2 + 1.458,92\,\text{m}^2+ 1.289,96\,\text{m}^2 $$=4.207,8\,\text{m}^2$.
Es werden also insgesamt $4.207,8\,\text{m}^2$ Stoff benötigt, um das Bauwerk einzuhüllen.
3.5 $\blacktriangleright$ Ermitteln des Volumen des Bauwerks
Zuletzt sollst du hier das Volumen des Bauwerks berechnen. Beachte dabei, dass es sich hier um ein Prisma handelt. Das Volumen eines Prisma ergibt sich dabei über folgenden Ansatz:
$V = G \cdot h$ mit
  • $G$: Grundfläche des Prisma
  • $h$: Höhe des Prisma
Als Grundfläche fungiert hier die im vorherigen Aufgabenteil berechnete Fläche der vorderen oder hintern Front des Bogens. Die Höhe des Prisma entspricht der im Material 2 angegeben Breite des Bogens.
Das Volumen $V$ des Bogens ergibt sich also über:
$V = G \cdot h = 1.458,92\,\text{m}^2 \cdot 14\,\text{m} = 20.424,88\,\text{m}^3$
Das Volumen des Bauwerks ist $20.424,88\,\text{m}^3$.
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