Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
HE, Berufl. Gymnasium
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur LK (GTR)
Abitur LK (WTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (GTR)
Abitur GK (WTR)
Abitur GK (CAS)
Abitur LK (GT...
Prüfung
wechseln
Abitur LK (GTR)
Abitur LK (WTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (GTR)
Abitur GK (WTR)
Abitur GK (CAS)
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur LK (GTR)
Abi 2018
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C - Stochastik
Abi 2017
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geo...
B2 - Analytische Geo...
C - Stochastik
Abi 2016
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
Abi 2015
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
Abi 2014
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2013
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2012
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2011
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2010
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2009
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2008
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2007
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
LV-Abi 1
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik

C - Stochastik

Aufgaben
Download als Dokument:PDF
Bei einem Spiel werden kleine Pfeile von einer Position hinter einer Wurflinie aus auf eine kreisförmige Scheibe geworfen. Bleibt der Pfeil in einem Feld stecken, wird dem Spieler die dem Feld zugeordnete Punktzahl gutgeschrieben. Die Scheibe ist dabei in $20$ gleich große Felder unterteilt, welche die Nummern eins bis $20$ tragen (Material 1). Es wird angenommen, dass sich auch bei wiederholten Würfen die Trefferwahrscheinlichkeiten für alle beteiligten Spieler nicht verändern. Darüber hinaus gilt die Annahme, dass die beteiligten Spieler bei jedem Wurf die Scheibe treffen und der Pfeil in einem Feld stecken bleibt.
Für den Spieler $L$ („Laie“) gelte die Annahme, dass er unabhängig davon, auf welches Feld er zielt, alle Felder mit der gleichen Wahrscheinlichkeit trifft.
Für den Spieler $K$ („Könner“) ist für den Fall, dass er auf Feld „20“ zielt, ein Ausschnitt aus der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsverteilung in der folgenden Tabelle dargestellt.
Feld $F$$17 $$18 $$19 $$20 $
$P(\text{Feld }F\text{ wird getroffen})$$ \frac{8}{160}$$\frac{9}{160} $$\frac{20}{160} $$\frac{31}{160} $
Feld $F$$P(\text{Feld }$ $F\text{ wird getroffen})$
$17 $$ \frac{8}{160} $
$18 $$\frac{9}{160} $
$19 $$\frac{20}{160} $
$20 $$\frac{31}{160} $
1.1
Gib sowohl für den Spieler $L$ als auch für den Spieler $K$ die Wahrscheinlichkeit an, dass er beim einmaligen Werfen das Feld „19“ oder das Feld „20“ trifft, wenn er auf Feld „20“ zielt.
(3 BE)
1.2
Erkläre für den Spieler $K$ den folgenden Term und seine einzelnen Bestandteile im Sachzusammenhang und gib das zugehörige Ergebnis an. Gehe dabei davon aus, dass der Spieler $K$ auf Feld „20“ gezielt hat.
$\displaystyle\sum\limits_{k=0}^2 \binom{22}{k}\cdot \left(\frac{31}{160} \right)^k \cdot \left(\frac{129}{160} \right)^{22-k}$
$ \displaystyle\sum\limits_{k=0}^2… $
(4 BE)
2.1
Berechne die Anzahl der Würfe, die der Spieler $L$ mindestens benötigt, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ mindestens einmal das Feld „20“ zu treffen.
(4 BE)
2.2
Ein dritter Spieler zielt ebenfalls auf Feld „20“. Dieser Spieler $M$ („Meister“) trifft das Feld „20“ mit der Wahrscheinlichkeit $p_M.$
Erläutere die im folgenden dargestellten Zeilen und deute den Ansatz $(\text{I})$ und das Ergebnis $(\text{II})$ im Sachzusammenhang:
$(\text{I})$
$1-(1-p_M)^n \geq 0,99$
$(\text{II})$
$n=10 \Rightarrow p_M\geq 0,37$
$n=5 \Rightarrow p_M\geq 0,61$
(5 BE)
3
Auf der Grundlage der bisherigen Leistungen kann man für den Spieler $M$ von einer Treffsicherheit im Hinblick auf das Feld „20“ von $p_M= 0,7$ ausgehen.
3.1
Ermittle die $2\sigma$-Umgebung um den Erwartungswert (Material 2) für den Spieler $M,$ wenn die zugehörige Zufallsvariable die Anzahl der Treffer von Feld „20“ bei $100$ Würfen angibt. Beschreibe die Bedeutung dieser $2\sigma$-Umgebung im Sachzusammenhang.
(3 BE)
3.2
Einer der drei Spieler $L,$ $K,$ $M$ wird zufällig ausgewählt. Der Spieler zielt auf das Feld „20“ und wirft einen Pfeil. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich bei dem ausgewählten Spieler um den Spieler $M$ handelt unter der Voraussetzung, dass das Feld „20“ getroffen wird.
(3 BE)
3.3
Da der Spieler $M$ mit seiner Treffsicherheit für das Feld „20“ unzufrieden war, hat er intensive Trainingswochen hinter sich gebracht. Am Ende dieser Trainingswochen ist er davon überzeugt, sich verbessert zu haben. Um seinen Trainingserfolg zu überprüfen, wirft er $200$ Pfeile auf die Scheibe.
3.3.1
Entwickle im Sachzusammenhang eine Entscheidungsregel, mit der der Spieler $M$ anhand der Anzahl der Treffer des Felds „20“ auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ seinen Trainingserfolg überprüfen kann.
(5 BE)
#hypothesentest
3.3.2
Bestimme ausgehend von deiner Entscheidungsregel aus Aufgabe 3.3.1 die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art für den Fall, dass die tatsächliche Treffsicherheit des Spielers $M$ für das Feld „20“ nun bei $78\,\%$ liegt.
(3 BE)
Material 1
Material 2
Wenn $\mu$ der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariable $X$ ist und $\sigma$ die zugehörige Standardabweichung, dann gilt falls $\sigma > 3$ für die sogenannte $2\sigma$-Umgebung um den Erwartungswert $[\mu -2\sigma\; ;\; \mu +2\sigma]:$
$P(\mu-2\sigma \leq X \leq \mu +2\sigma)\approx 95,5\,\%$
$P(\mu-2\sigma \leq X \leq \mu +2\sigma)\approx 95,5\,\%$
Binomialsummenfunktion
$\boldsymbol{F_{n;p}(k) = \displaystyle\sum\limits_{i=0}^k\binom{n}{i}\cdot p^{i}\cdot (1-p)^{n-i}}$
$\boldsymbol{F_{n;p}(k) =}$ $\boldsymbol{\displaystyle\sum\limits_{i=0}^k\binom{n}{i}\cdot p^{i}\cdot (1-p)^{n-i}}$
für $\boldsymbol{n=200}$
ABCDEFG
1
2
3
nkp
4
0,650,700,750,78
5
2001250,25110,01380,00010,0000
6
1260,30010,02000,00010,0000
7
1270,35310,02840,00020,0000
8
1280,40930,03960,00040,0000
9
1290,46750,05420,00060,0000
10
1300,52660,07280,00100,0000
11
1310,58520,09600,00170,0000
12
1320,64210,12420,00280,0001
13
1330,69610,15790,00440,0001
14
1340,74630,19720,00680,0002
15
1350,79180,24210,01030,0004
16
1360,83230,29210,01540,0007
17
1370,86730,34670,02260,0012
18
1380,89710,40470,03230,0020
19
1390,92170,46520,04540,0032
20
1400,94160,52670,06250,0052
21
1410,95740,58770,08430,0081
22
1420,96950,64680,11150,0124
23
1430,97870,70280,14450,0185
24
1440,98540,75450,18380,0272
25
1450,99030,80120,22930,0391
26
1460,99360,84210,28080,0549
27
1470,99590,87720,33740,0756
28
1480,99750,90660,39830,1018
29
1490,99850,93050,46210,1343
30
1500,99910,94940,52710,1734
31
1510,99950,96410,59170,2193
32
1520,99970,97510,65420,2717
33
1530,99980,98310,71300,3301
34
1540,99990,98890,76680,3933
35
1551,00000,99280,81480,4597
36
1561,00000,99550,85620,5277
37
1571,00000,99730,89110,5952
38
1581,00000,99840,91960,6604
39
1591,00000,99910,94220,7214
40
1601,00000,99950,95950,7768
41
1611,00000,99970,97240,8257
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit angebenC - Stochastik
Spieler $L$ trifft alle Felder mit der gleichen Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er das Feld „19“ oder das Feld „20“ trifft, beträgt also:
$P_L(19;20) = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} = 10\,\%$
$ …=10\,\% $
Spieler $K$ trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{20}{160}$ das Feld „19“ und mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{31}{160}$ das Feld „20“, wenn er auf das Feld „20“ zielt. Mit der Pfadadditionsregel folgt daher:
$P_K(19;20) = \frac{20}{160} +\frac{31}{160} = \frac{51}{160} = 31,875\,\%$
$… = 31,875\,\% $
#pfadregeln
1.2
$\blacktriangleright$  Term im Sachzusammenhang erklären
In dem Term $\sum\limits_{k=0}^2 \binom{22}{k}\cdot \left(\frac{31}{160} \right)^k \cdot \left(\frac{129}{160} \right)^{22-k}$ werden die Einzelwahrscheinlichkeiten $\binom{22}{k}\cdot \left(\frac{31}{160} \right)^k \cdot \left(\frac{129}{160} \right)^{22-k}$ für $k = 0,$ $k=1$ und $k=2$ aufaddiert.
Dies sind die Wahrscheinlichkeiten $P(X=k)$ einer binomialverteilten Zufallsgröße $X,$ bei der die Trefferwahrscheinlichkeit $p= \frac{31}{160}$ beträgt und ein Stichprobenumfang von $n = 22$ betrachtet wird.
Bezogen auf den Sachzusammenhang wird mit dem Term also die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass der Spieler $K$ in $22$ Versuchen höchstens zweimal das Feld „20“ trifft, wenn er auf das Feld „20“ zielt.
$\blacktriangleright$  Ergebnis angeben
$\displaystyle\sum\limits_{k=0}^2\binom{22}{k}\cdot \left(\frac{31}{160} \right)^k \cdot \left(\frac{129}{160} \right)^{22-k} \approx 0,1719 = 17,19\,\%$
$ …\approx 17,19\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $17,19\,\%$ trifft Spieler $K$ in $22$ Versuchen, in denen er auf das Feld „20“ zielt, höchstens zweimal das Feld „20“.
#binomialverteilung
2.1
$\blacktriangleright$  Mindestanzahl der Würfe berechnen
Betrachte die Zufallsgröße $X_n,$ die beschreibt wie oft Spieler $L$ bei $n$ Versuchen das Feld 20 trifft. Diese kann als binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p= \frac{1}{20} = 0,05$ angenommen werden.
Bestimme das kleinste ganzzahlige $n$ so, dass folgende Ungleichung gerade noch erfüllt ist:
$P(X_n \geq 1) \geq 0,99$
Forme diese Ungleichung mithilfe des Gegenereignisses und der Formel für die Wahrscheinlichkeit einer binomialverteilten Zufallsgröße um.
$\begin{array}[t]{rll} P(X_n\geq 1)&\geq& 0,99 \\[5pt] 1-P(X_n = 0)&\geq& 0,99 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] -P(X_n = 0)&\geq& -0,01 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1)\\[5pt] P(X_n = 0)&\leq& 0,01 \\[5pt] \binom{n}{0} \cdot 0,05^0\cdot 0,95^n&\leq& 0,01 \\[5pt] 0,95^n&\leq& 0,01 &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] n\cdot \ln 0,95&\leq& \ln 0,01 &\quad \scriptsize \mid\; :\ln 0,95 < 0 \\[5pt] n&\geq& 90 \end{array}$
$ n\geq 90 $
Der Spieler $L$ muss mindestens $90$ mal Werfen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ mindestens einmal das Feld „20“ zu treffen.
#binomialverteilung
2.2
$\blacktriangleright$  Zeilen erläutern
$p_M$ beschreibt die Trefferwahrscheinlichkeit von Spieler $M.$ Der Term $(1-p_M)$ bezeichnet also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Spieler $M$ bei einem Wurf, bei dem er auf das Feld „20“ zielt, nicht trifft.
Der Term $(1-p_M)^n$ gibt also die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass der Spieler $M$ von $n$ Versuchen, das Feld „20“ zu treffen, kein einziges mal das Feld „20“ trifft.
Der Term $1-(1-p_M)^n$ gibt also die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass Spieler $M$ bei $n$ Versuchen nicht $n$ mal nicht trifft, dass er also von $n$ Versuchen höchstens $n-1$ mal nicht trifft bzw. mindestens einmal trifft.
Der Ansatz wurde also so gewählt, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Spieler $M$ von $n$ Versuchen mindestens einmal das Feld „20“ trifft, mindestens $99\,\%$ beträgt.
In Zeil $(\text{II})$ sind dann für $n=10$ und $n=5$ die erforderlichen Trefferwahrscheinlichkeiten angegeben.
Damit also Spieler $M$ in zehn Versuchen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ mindestens einmal das Feld „20“ trifft, muss die Trefferwahrscheinlichkeit von Spieler $M$ mindestens $0,37 = 37\,\%$ betragen.
Damit er in fünf Versuchen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ mindestens einmal das Feld „20“ trifft, muss die Trefferwahrscheinlichkeit von Spieler $M$ mindestens $0,61 = 61\,\%$ betragen.
3.1
$\blacktriangleright$  Umgebung ermitteln
Betrachte die Zufallsgröße $Y,$ die die Anzahl der Treffer von Feld „20“ von Spieler $M$ bei $100$ Würfen beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit $n=100$ und $p=0,7$ angenommen werden.
$\begin{array}[t]{rll} \mu&=& n\cdot p \\[5pt] &=& 100 \cdot 0,7 \\[5pt] &=& 70 \\[10pt] \sigma&=& \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\[5pt] &=& \sqrt{100 \cdot 0,7\cdot 0,3} \\[5pt] &=& \sqrt{21} > 3 \\[10pt] \end{array}$
Einsetzen in die Angaben aus Material 2 liefert dann wegen $\sigma > 3:$
$[70-2\cdot \sqrt{21};70 +2\cdot \sqrt{21}] \approx [61;79] $
$ …\approx [61;79] $
$\blacktriangleright$  Bedeutung der Umgebung im Sachzusammenhang beschreiben
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $95,5\,\%$ weicht die Anzahl der Treffer von Spieler $M$ in $100$ Versuchen maximal um neun vom Erwartungswert von $70$ ab. Oder:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $95,5\,\%$ beträgt die Anzahl der Treffer von Spieler $M$ in $100$ Versuchen mindestens $61$ und höchstens $79.$
#binomialverteilung
3.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Verwende den Satz von Bayes um die Wahrscheinlichkeit $P_{20}(M)$ zu berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P_{20}(M)&=& \dfrac{P_M(20)\cdot P(M)}{P(20)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,7\cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{3}\cdot P_L(20)+\frac{1}{3}\cdot P_K(20)+\frac{1}{3}\cdot P_M(20) }\\[5pt] &=& \dfrac{0,7\cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{3}\cdot 0,05+\frac{1}{3}\cdot \frac{31}{160}+\frac{1}{3}\cdot 0,7 } \\[5pt] &\approx& 0,7417 \\[5pt] &=& 74,17\,\% \end{array}$
$ P_{20}(M) \approx 74,17\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $74,17\,\%$ handelt es sich bei dem zufällig ausgewählten Spieler, der das Feld „20“ trifft um Spieler $M.$
#satzvonbayes
3.3.1
$\blacktriangleright$  Entscheidungsregel bestimmen
Betrachte die Zufallsgröße $Z,$ die die Anzahl der Treffer des Feldes „20“ von Spieler $M$ bei $200$ Würfen beschreibt. Diese wird als binomialverteilt mit $n=200$ und $p$ entsprechend der Nullhypothese angenommen:
$H_0:\; p=0,7$ die Gegenhypothese lautet entsprechend $H_1:\; p > 0,7$
Mit dem angegebenen Signifikanzniveau von $5\,\%$ soll die Entscheidungsgrenze $k$ also so gewählt werden, dass gerade noch folgende Ungleichung erfüllt ist:
$P(Z\geq k) \leq 0,05$
Diese kannst du mithilfe des Gegenereignisses wie folgt umformen:
$\begin{array}[t]{rll} P(Z\geq k)&\leq& 0,05 \\[5pt] 1-P(Z\leq k-1)&\leq& 0,05 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -P(Z\leq k-1)&\leq& -0,95 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt] P(Z\leq k-1)&\geq& 0,95 \end{array}$
$ P(Z\leq k-1)\geq 0,95 $
Suche nun den entsprechend kleinsten Wert für $k-1$ in der Tabelle für die Binomialsummenfunktion aus dem Aufgabenblatt:
$k-1 \geq 151$ $\Rightarrow k \geq 152$
Du kannst also folgende Entscheidungsregel definieren:
Trifft Spieler $M$ von den $200$ Pfeilen mindestens $152,$ so kann er davon ausgehen, dass das Training erfolgreich war und sich seine Trefferwahrscheinlichkeit erhöht hat. Trifft er weniger als $152$ kann er nicht von einer verbesserten Trefferquote ausgehen.
3.3.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art bestimmen
Der Fehler zweiter Art wird begangen, wenn die Nullhypothese fälschlicherweise nicht abgelehnt wird, obwohl eine alternative Wahrscheinlichkeit entsprechend der Gegenhypothese gilt.
Betrachte also die Zufallsgröße $Z$ aus Teil 3.3.1 für $n=200$ und gehe davon aus, dass diese in Wirklichkeit entsprechend der Gegenhypothese mit $p = 0,78$ binomialverteilt ist. Der Fehler zweiter Art wird begangen, wenn $Z\leq 151$ ist. Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit kannst du wieder die Tabelle zur Binomialsummenfunktion aus der Aufgabenstellung verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} P(Z\leq 151)&\approx& 0,2193 \\[5pt] &=& 21,93\,\% \end{array}$
In dem Fall, dass die tatsächliche Trefferwahrscheinlichkeit von Spieler $M$ auf $78\,\%$ gestiegen ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art ca. $21,93\,\%.$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App