Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
MV, Gesamtschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 9
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fach: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Erweiterungskurs
Grundkurs
Abitur eA (WTR)
Abitur eA (CAS)
Abitur gA (WTR)
Abitur gA (CAS)
Mittlerer Schulabschluss
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Abitur eA (WT...
Prüfung
wechseln
Abitur eA (WTR)
Abitur eA (CAS)
Abitur gA (WTR)
Abitur gA (CAS)
Mittlerer Schulabschluss
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Wahlteil A2

Aufgaben
Download als Dokument:PDFWord

Analytische Geometrie und Stochastik

2.1
Zeichne diese Punkte in einem geeigneten Koordinatensystem.
Zur Veranschaulichung des Hindernisses verbinde jeweils die Punkte $A$ mit $B$, $C$ mit $D$, $E$ mit $F$, $G$ mit $H$, $B$ mit $F$, $D$ mit $G$ und $C$ mit $H$.
2.2
Der Punkt $M_{DH}$ ist der Mittelpunkt der Strecke $\overline{DH}$.
Der Punkt $M_{BF}$ ist der Mittelpunkt der Strecke $\overline{BF}$.
Bestimme den Abstand der Punkte $M_{DH}$ und $M_{BF}$.
2.3
Betrachtet werden die Geraden:
  • $g$ durch die Punkte $C$ und $H$
  • $h$ durch die Punkte $D$ und $G$ und
  • $k$ durch die Punkte $A$ und $B$.
Die Punkte $A$, $C$ und $E$ liegen in der Ebene $\varepsilon$.
2.3.1
Die Geraden $g$ und $h$ schneiden einander in einem Punkt $S$ unter dem Winkel $\alpha$.
Berechne die Koordinaten von $S$ und die Größe von $\alpha$.
2.3.2
Untersuche rechnerisch die Lage der Geraden $k$ bezüglich der $z-$Achse.
2.3.3
Gib eine Koordinatengleichung für $\varepsilon$ an.
Bestimme die Größe des Winkels, den $\varepsilon$ mit der $xy-$Ebene einschließt.
Berechne den Abstand des Punktes $P(6\mid6\mid 17)$ zu $\varepsilon$.
2.3.4
Ermittle die Koordinaten des Durchstoßpunktes der Geraden $g$ mit der $yz-$Ebene.
2.4
Berechne den Inhalt der Fläche $ACGE$.
2.5
Zum Aufstellen eines Oxers stehen gelbe, blaue und weiße Stangen zur Verfügung.
Bei der Auswahl jeder Stange gelten folgende Wahrscheinlichkeiten:
P(gelb) = $\dfrac{1}{7}$, P(blau)= $\dfrac{2}{7}$ und P(weiß) = $\dfrac{4}{7}$.
Es werden zufällig drei Stangen für einen Oxer ausgewählt und jeweils ihre Farbe festgestellt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
  • A: Genau eine Stange ist gelb.
  • B: Höchstens zwei Stangen sind blau.
  • C: Mehr als zwei Stangen sind weiß.
  • D: Alle drei Stangen haben die gleiche Farbe.

(35P)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Tipps
Download als Dokument:PDF
2.1
$\blacktriangleright$  Punkte in Koordinatensystem einzeichnen
Du sollst die gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem eintragen, um das Springhindernis darzustellen. Wähle dazu ein geeignetes Koordinatensystem, indem du die jeweils größten Koordinaten betrachtest und die Länge der Koordinatenachsen darauf anpasst. Trage die Koordinaten der Punkte ein.
2.2
$\blacktriangleright$  Abstand der Mittelpunkte $\boldsymbol{M_{DH}}$ und $\boldsymbol{M_{BF}}$ berechnen
Du sollst den Abstand der Punkte $M_{DH}$ und $M_{BF}$ bestimmen. Gehe dazu in folgenden Schritten vor:
  1. Bestimme die Koordinaten des Mittelpunkts $M_{DH}$. Dazu kannst du die Formel $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\cdot \left( \overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OH}\right)$ verwenden.
  2. Bestimme die Koordinaten des Mittelpunkts $M_{BF}$. Dazu kannst du die Formel $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OF}\right)$ verwenden.
  3. Berechne den Abstand der Mittelpunkte. Stelle dazu den Verbindungsvektor von $\boldsymbol{M_{DH}}$ und $\boldsymbol{M_{BF}}$ auf und berechne den Betrag.
2.3.1
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt $\boldsymbol{S}$ von $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$ ermitteln
Du sollst den Schnittpunkt der Geraden $g$ und $h$ berechnen. Du kannst dazu in folgenden Schritten vorgehen.
  1. Geradengleichung von $g$ aufstellen.
  2. Geradengleichung von $h$ aufstellen.
  3. Schnittpunkt $S$ der Geraden bestimmen, indem du die Geradengleichungen gleichsetzt und das dabei entstehende lineare Gleichungssystem nach den beiden Parametern auflöst.
In der Aufgabenstellung ist angegeben, dass die Gerade $g$ durch die Punkte $C$ und $H$ geht, die Gerade $h$ durch die Punkte $D$ und $G$. Dies kannst du nun nutzen, um die Geradengleichungen aufzustellen.
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel der Geraden berechnen
Die Geraden $g$ und $h$ schneiden sich unter einem bestimmen Winkel $\alpha$, den du nun berechnen sollst.
Den Schnittwinkel $\alpha$ zwischen zwei Geraden kannst du mit folgender Formel berechnen:
$\cos\,\alpha=\dfrac{\left|\vec{u}\circ\vec{v}\right|}{\left|\vec{u}\right|\cdot \left|\vec{v}\right|}$
$\cos\,\alpha=\dfrac{\left|\vec{u}\circ\vec{v}\right|}{\left|\vec{u}\right|\cdot \left|\vec{v}\right|}$
Bei $u$ und $v$ handelt es sich um die Richtungsvektoren der Geraden.
Setze die Richtungsvektoren in die Formel ein.
2.3.2
$\blacktriangleright$  Lage der Gerade $k$ bezüglich der $z$-Achse untersuchen
Du sollst die Lage der Geraden $k$ bezüglich der $z$- Achse untersuchen. Gehe in folgenden Schritten vor:
  1. Stelle dafür zuerst eine Geradengleichung für $k$ auf. Du weißt, dass die Gerade $k$ durch die Punkte $A$ und $B$ geht. Stelle einen Stützvektor, z.B $\overrightarrow{OA}$ auf und einen passenden Richtungsvektor, $\overrightarrow{AB}$.
  2. Überlege dir, welche Geradengleichung die $z$-Achse hat.
  3. Setze die Geradengleichungen gleich. Hat das LGS einen gemeinsamen Punkt, schneiden sie sich. gibt es keinen gemeinsamen Punkt sind sie parallel oder windschief zueinander. Überprüfe dazu, ob die Richtungsvektoren ein Vielfaches voneinander sind.
2.3.3
$\blacktriangleright$  Koordinatengleichung für $\boldsymbol{\varepsilon}$ bestimmen
Du hast die Punkte $A$, $C$ und $E$ gegeben, die in der Ebene $\varepsilon$ liegen und sollst nun eine Ebenengleichung in Koordinatenform für $\varepsilon$ aufstellen.
Für eine solche Ebenengleichung in Koordinatenform werden vier Parameter benötigt:
$\varepsilon: n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 = d $
$\varepsilon: n_1\cdot x_1 + n_2\cdot x_2 + n_3\cdot x_3 $=$ d $
Hierbei versteht man unter
  • $n_1,\;n_2,\;n_3$ die Koordinaten eines Normalenvektors der Ebene $\varepsilon$,
  • $d$ einen Parameter, der mit Hilfe einer Punktprobe mit den Koordinaten eines Punktes aus der Ebene ermittelt werden kann.
Du kannst anstelle des Normalenvektors $\overrightarrow{n}$ zwei Spannvektoren $\overrightarrow{AC}$ und $\overrightarrow{AE}$ der Ebene berechnen und anschließend das Kreuzprodukt berechnen.
Du kannst anschließend alle berechneten Parameter in die allgemeine Ebengleichung einsetzen.
$\blacktriangleright$  Winkel zwischen $\boldsymbol{\varepsilon}$ und der $xy$-Ebene berechnen
Du sollst nun den Winkel zwischen der Ebene $\varepsilon$ und der $xy$-Ebene berechnen.
Den Schnittwinkel $\alpha$ zwischen zwei Ebenen kannst du mit der Cosinus- Formel berechnen:
$\cos\alpha= \dfrac{\left|\vec{n_E}\circ\vec{n_F}\right|}{\left|\vec{n_E}\right|\cdot\left|\vec{n_F}\right|}$
$\cos\alpha= \dfrac{\left|\vec{n_E}\circ\vec{n_F}\right|}{\left|\vec{n_E}\right|\cdot\left|\vec{n_F}\right|}$
Du brauchst also jeweils einen Normalenvektor der Ebenen.
Du hast den Normalenvektor $\overrightarrow{n_{\varepsilon}}$ =$\begin{pmatrix}2\\1\\8 \end{pmatrix}$ der Ebene $\varepsilon$ bereits berechnet. Der Normalenvektor $n_{xy}$ der $xy$-Ebene muss senkrecht auf der Ebene stehen und kann somit keine Komponente in $x$- und $y$- Richtung haben. Überlege, wie $n_{xy}$ aussieht.
Setze nun die Richtungsvektoren in die Cosinus-Formel ein:
$\blacktriangleright$  Abstand von $\boldsymbol{P}$ zu $\boldsymbol{\varepsilon}$ bestimmen
Um den Abstand zwischen einem Punkt $P$ und einer Ebene $\varepsilon$ zu berechnen, musst du nach folgenden Schritten vorgehen:
  1. Hessesche Normalenform bilden
    Die Hessesche Normalenform (HNF) einer Ebene $E$: $n_1\cdot x_1+n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3$=$c$ mit dem Normalenvektor $\vec{n}$ lautet:

    HNF:
    $\dfrac{n_1\cdot x_1+ n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3-c}{\left|\vec{n}\right|}=0$

    HNF
  2. Punkt in HNF einsetzen
    Die Koordinaten des Punktes $P(p_1 \mid p_2 \mid p_3)$ setzt du in die linke Seite der HNF ein:
    $d=\dfrac{n_1\cdot p_1+n_2\cdot p_2+n_3\cdot p_3-c}{\left|\vec{n}\right|}$
    $ d=… $
2.3.4
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Durchstoßpunktes von $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{yz}$- Ebene berechnen
Du sollst die Koordinaten des Durchstoßpunktes der Geraden $g$ und der $yz-$Ebene berechnen.
  • Dazu kannst du dir zuerst überlegen, wie die Ebenengleichung der $yz$- Ebene lauten kann. Die einfachste Möglichkeit ist es in diesem Fall, eine Ebenengleichung in Koordinatenform aufzustellen. Du benötigst dafür einen Normalenvektor, der senkrecht zur Ebene steht.
  • Die Geradengleichung von $g$ hast du bereits bestimmt: $g:\overrightarrow{x}=$ $\pmatrix{6 \\ 0 \\ 0,5}+ r\cdot\pmatrix{2 \\ 6,5 \\ 3} $
  • Den Durchstoßpunkt kannst du bestimmen, indem du die Koordinaten des allgemeinen Geradenpunkts in die Ebenengleichung einsetzt
2.4
$\blacktriangleright$  Inhalt der Fläche $\boldsymbol{ACGE}$ bestimmen
Bestimme den Flächeninhalt der Fläche $ACGE$. Du kannst dabei in folgenden Schritten vorgehen:
  • Berechne die Länge der Strecken $\overline{CA}$, $\overline{AG}$, $\overline{CE}$ und $\overline{GE}$, indem du den Verbindungsvektor aufstellst und den Betrag berechnest.
  • Vergleiche die Seitenlängen miteinander, gibt es zwei gleich lange Seitenpaare, kannst du das Kreuzprodukt berechnen. Das Ergebnis entspricht dem Flächeninhalt. Sind die Seitenlängen unterschiedlich, teile die Fläche in zwei Dreiecke und berechne den Flächeninhalt jedes Dreiecks mit dem Kreuzprodukt. Da es sich um ein Dreieck handelt, musst du es noch mit $0,5$ multiplizieren. Addiere dann die Flächeninhalte der beiden Dreiecke
  • Berechne den Flächeninhalt
2.5
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse berechnen
Du sollst die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Ereignisse berechnen. Für die Auswahl einer Stange sind die Wahrscheinlichkeiten
$P(\text{gelb})=\frac{1}{7}$, $P(\text{blau})=\frac{2}{7}$ und $P(\text{weiß})=\frac{4}{7}$
gegeben. Da sich die Wahrscheinlichkeiten nicht ändern, kannst du zur Berechnung die Formel der Binomialverteilung verwenden.
$B_{n,p}(k)=\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
$B_{n,p}(k)=\binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
Der Parameter $k$ gibt die Anzahl der Erfolge an, $n$ die Anzahl der Versuche. Somit sind $n-k$ die Fehlschläge. Der Parameter $p$ gibt die Wahrscheinlichkeit für jeden Zug an und $\binom{n}{k}$ die Anzahl Möglichkeiten in welcher Reihenfolge gezogen wird.
Da die Wahrscheinlichkeiten für Ereignis $D$ unterschiedlich sind, kannst du diesen Aufgabenteil nicht mit der Binomialverteilung lösen. Wenn alle Stangen die gleiche Farbe haben sollen, kannst du die angegebene Wahrscheinlichkeit jeweils drei mal multiplizieren (Pfadmultiplikationsregel) und anschließend alle Wahrscheinlichkeiten nach der Pfadadditionsregel addieren.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
2.1
$\blacktriangleright$  Punkte in Koordinatensystem einzeichnen
Du sollst die gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem eintragen, um das Springhindernis darzustellen. Wähle dazu ein geeignetes Koordinatensystem, indem du die jeweils größten Koordinaten betrachtest und die Länge der Koordinatenachsen darauf anpasst. Trage die Koordinaten der Punkte ein.
Wahlteil A2
Abb. 1: Punkte im Koordinatensystem
Wahlteil A2
Abb. 1: Punkte im Koordinatensystem
2.2
$\blacktriangleright$  Abstand der Mittelpunkte $\boldsymbol{M_{DH}}$ und $\boldsymbol{M_{BF}}$ berechnen
Du sollst den Abstand der Punkte $M_{DH}$ und $M_{BF}$ bestimmen. Gehe dazu in folgenden Schritten vor:
  1. Bestimme die Koordinaten des Mittelpunkts $M_{DH}$. Dazu kannst du die Formel $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\cdot \left( \overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OH}\right)$ verwenden.
  2. Bestimme die Koordinaten des Mittelpunkts $M_{BF}$. Dazu kannst du die Formel $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OF}\right)$ verwenden.
  3. Berechne den Abstand der Mittelpunkte. Stelle dazu den Verbindungsvektor von $\boldsymbol{M_{DH}}$ und $\boldsymbol{M_{BF}}$ auf und berechne den Betrag.
1. Schritt: Mittelpunkt $M_{DH}$ bestimmen
Um den Mittelpunkt $M_{DH}$ zu berechnen, setze die Ortsvektoren der Punkte $D$ und $H$ in die Formel ein:
$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OH}\right)$
$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\cdot(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OH})$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM_{DH}}&=&\frac{1}{2}\cdot\left(\pmatrix{7 \\ 0,5 \\ 4,5}+\pmatrix{8 \\ 6,5 \\ 3,5}\right) \\[5pt] \overrightarrow{OM_{DH}}&=&\pmatrix{7,5 \\ 3,5 \\ 4} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM_{DH}}&=&\pmatrix{7,5 \\ 3,5 \\ 4} \\[5pt] \end{array}$
Du erhältst den Mittelpunkt $M_{DH}(7,5\;|\;3,5\;|\;4)$.
2. Schritt: Mittelpunkt $M_{BF}$ bestimmen
Um den Mittelpunkt $M_{BF}$ zu berechnen, kannst du nach dem gleichen Prinzip vorgehen. Setze die Ortsvektoren von $B$ und $F$ in die Formel ein:
$\overrightarrow{0M}=\frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{0B}+\overrightarrow{0F} \right)$
$\overrightarrow{0M}=\frac{1}{2}\cdot(\overrightarrow{0B}+\overrightarrow{0F})$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM_{BF}}&=&\frac{1}{2}\cdot\left(\pmatrix{5 \\ 3 \\ 6}+\pmatrix{6 \\ 9 \\ 5}\right) \\[5pt] \overrightarrow{OM_{BF}}&=&\pmatrix{5,5 \\ 6 \\ 5,5} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM_{BF}}&=&\pmatrix{5,5 \\ 6 \\ 5,5} \\[5pt] \end{array}$
Der Mittelpunkt der Strecke $\overline{BF}$ ist also $M_{BF}(5,5\;|\;6\;|\;5,5)$.
3. Schritt: Abstand der Mittelpunkte berechnen
Du hast bereits die Mittelpunkte $M_{BF}(5,5\;|\;6\;|\;5,5)$ und $M_{DH}(7,5\;|\;3,5\;|\;4)$ ermittelt. Um nun den Abstand der beiden Punkte zu bestimmen, musst du zunächst den Verbindungsvektor aufstellen:
$\overrightarrow{M_{DH}M_{BF}}$$=\pmatrix{5,5-7,5 \\ 6-3,5 \\ 5,5-4}$$=\pmatrix{-2 \\ 2,5 \\ 1,5}$
Den Abstand der Punkte erhältst du, indem du den Betrag berechnest:
$\overrightarrow{|M_{DH}M_{BF}|}$$=\sqrt{(-2)^2+2,5^2+1,5^2}$$\approx3,54$
Der Abstand der Punkte beträgt also ca. $3,54\; \text{LE}$.
2.3.1
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt $\boldsymbol{S}$ von $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{h}$ ermitteln
Du sollst den Schnittpunkt der Geraden $g$ und $h$ berechnen.
  1. Geradengleichung von $g$ aufstellen.
  2. Geradengleichung von $h$ aufstellen.
  3. Schnittpunkt $S$ der Geraden bestimmen, indem du die Geradengleichungen gleichsetzt und das dabei entstehende lineare Gleichungssystem nach den beiden Parametern auflöst.
In der Aufgabenstellung ist angegeben, dass die Gerade $g$ durch die Punkte $C$ und $H$ geht, die Gerade $h$ durch die Punkte $D$ und $G$. Dies kannst du nun nutzen, um die Geradengleichungen aufzustellen.
1.Schritt: Geradengleichung von $g$ aufstellen
Die Gerade $g$ geht durch die Punkte $C(6\;|\;0\;|\;0,5)$ und $H(8\;|\;6,5\;|\;3,5)$. Du kannst die Geradengleichung von $g$ aufstellen, wenn du einen Stützvektor wählst, z.B. $\overrightarrow{OC}$ und einen passenden Richtungsvektor aufstellst, $\overrightarrow{CH}$.
$\overrightarrow{OC}$ = $\pmatrix{6 \\ 0 \\ 0,5}$
$\overrightarrow{CH}$ = $\pmatrix{8-6 \\ 6,5-0 \\ 3,5-0,5}$ = $\pmatrix{2 \\ 6,5 \\ 3}$
Du kannst nun eine Geradengleichung für $g$ aufstellen:
$g:\overrightarrow{x}=$ $\pmatrix{6 \\ 0 \\ 0,5}+ r\cdot\pmatrix{2 \\ 6,5 \\ 3} $
2.Schritt: Geradengleichung von $h$ aufstellen
Die Punkte $D(7\;|\;0,5\;|\;4,5)$ und $G(7\;|\;6\;|\;-0,5)$ liegen auf der Geraden von $h$. Du kannst die Geradengleichung von $h$ aufstellen, wenn du einen Stützvektor wählst, z.B. $\overrightarrow{OD}$ und einen passenden Richtungsvektor aufstellst, $\overrightarrow{DG}$.
$\overrightarrow{OD}$ = $\pmatrix{7 \\ 0,5 \\ 4,5}$
$\overrightarrow{DG}$ = $\pmatrix{7-7 \\ 6-0,5 \\ -0,5-4,5}$ = $\pmatrix{0 \\ 5,5 \\ -5}$
Du kannst nun eine Geradengleichung von $h$ aufstellen:
$h:\overrightarrow{x}=$ $\pmatrix{7 \\ 0,5 \\ 4,5}+ t\cdot\pmatrix{0 \\ 5,5 \\ -5} $
3.Schritt: Schnittpunkt $S$ der Geraden bestimmen
Den Schnittpunkt zweier Geraden kannst du bestimmen, indem du die Geradengleichungen gleichsetzt:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{6 \\ 0 \\ 0,5}+ r\cdot\pmatrix{2 \\ 6,5 \\ 3}&=&\pmatrix{7 \\ 0,5 \\ 4,5}+ t\cdot\pmatrix{0 \\ 5,5 \\ -5} &\quad \scriptsize \mid\;-\pmatrix{6 \\ 0 \\ 0,5} ; -t\cdot\pmatrix{0 \\ 5,5 \\ -5} \\[5pt] r\cdot\pmatrix{2 \\ 6,5 \\ 3} -t\cdot\pmatrix{0 \\ 5,5 \\ -5} &=& \pmatrix{1\\0,5\\4} \end{array}$
$ r\cdot\pmatrix{2 \\ 6,5 \\ 3} - … $
Du erhältst folgendes LGS:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&2r &=& 1 \\ \text{II}\quad&6,5r-5,5t &=& 0,5 \\ \text{III}\quad&3r +5t &=& 4 \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&…\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&…\quad\scriptsize\\ \text{III}\quad&… \end{array}$
Aus $\text{I}$ kannst du $r$ direkt berechnen:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&2r &=&1\quad \scriptsize\mid\; :2\\[5pt] \quad&r&=&0,5 \quad \scriptsize\\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&0,5&=&r \quad \scriptsize\\[5pt] \end{array}$
Einsetzen in $\text{II}$ liefert:
$\begin{array}{} \text{II}\quad&6,5r-5,5t &=&0,5 &\quad \scriptsize\mid\; r = 0,5\\[5pt] &6,5\cdot 0,5-5,5t &=&0,5\\[5pt] &3,25-5,5t &=&0,5 &\quad \scriptsize\mid\; -3,25\\[5pt] &-5,5t &=& -2,75 &\quad \scriptsize\mid\; : (-5,5)\\[5pt] &t&=&0,5 \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{II}\quad &t&=&0,5\\ \end{array}$
Zur Probe solltest du die Lösungen für $r$ und $t$ noch in die dritte Gleichung einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} 3\cdot 0,5 +5\cdot 0,5&=& 4 \\[5pt] 4&=& 4 \end{array}$
Die Parameter kannst du nun in die entsprechende Geradengleichung einsetzen:
$\overrightarrow{OS}=$ $\pmatrix{7 \\ 0,5 \\ 4,5}+ 0,5 \cdot\pmatrix{0 \\ 5,5 \\ -5}$$=\pmatrix{7 \\ 3,25 \\ 2} $
$\overrightarrow{OS}=\pmatrix{7 \\ 3,25 \\ 2} $
Du erhältst den Schnittpunkt $S(7\;|\;3,25\;|\;2)$.
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel der Geraden berechnen
Die Geraden $g$ und $h$ schneiden sich unter einem bestimmen Winkel $\alpha$, den du nun berechnen sollst.
Den Schnittwinkel $\alpha$ zwischen zwei Geraden kannst du mit folgender Formel berechnen:
$\cos\,\alpha=\dfrac{\left|\vec{u}\circ\vec{v}\right|}{\left|\vec{u}\right|\cdot \left|\vec{v}\right|}$
$\cos\,\alpha=\dfrac{\left|\vec{u}\circ\vec{v}\right|}{\left|\vec{u}\right|\cdot \left|\vec{v}\right|}$
Bei $u$ und $v$ handelt es sich um die Richtungsvektoren der Geraden.
Setze die Richtungsvektoren in die Formel ein:
$\begin{array}[t]{rll} &\cos\,\alpha&=&\dfrac{\left|\overrightarrow{CH}\circ\overrightarrow{DG}\right|}{\left|\overrightarrow{CH}\right|\cdot \left|\overrightarrow{DG}\right|}\\[5pt] &\cos\,\alpha&=&\dfrac{\left|6,5\cdot 5,5 -15\right|}{\sqrt{2^2+6,5^2+3^2}\cdot\sqrt{5,5^2+(-5^2)}} \\[5pt] &\cos\,\alpha&=&\dfrac{20,75}{55,25}&\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt] &\alpha&\approx&67,94° \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\alpha&\approx&67,94°&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Winkel zwischen den Geraden $g$ und $h$ beträgt ca. 67,94 °.
2.3.2
$\blacktriangleright$  Lage der Gerade $k$ bezüglich der $z$-Achse untersuchen
Du sollst die Lage der Geraden $k$ bezüglich der $z$- Achse untersuchen. Gehe in folgenden Schritten vor:
  1. Stelle dafür zuerst eine Geradengleichung für $k$ auf.
  2. Überlege dir, welche Geradengleichung die $z$-Achse hat.
  3. Setze die Geradengleichungen gleich
1.Schritt: Geradengleichung von $k$ aufstellen
Du weißt, dass die Gerade $k$ durch die Punkte $A$ und $B$ geht. Stelle einen Stützvektor, z.B $\overrightarrow{OA}$ auf und einen passenden Richtungsvektor, $\overrightarrow{AB}$.
$\overrightarrow{OA}$ = $\pmatrix{3 \\ 2 \\ 1}$
$\overrightarrow{AB}$ = $\pmatrix{5-3 \\ 3-2 \\ 6-1} $ = $\pmatrix{2 \\ 1 \\ 5}$
Du kannst nun eine Geradengleichung von $k$ aufstellen:
$k:\overrightarrow{x}=$ $\pmatrix{3 \\ 2 \\ 1}+ h\cdot\pmatrix{2 \\ 1 \\ 5} $
2.Schritt: Geradengleichung der $z$-Achse
Die $z$-Achse kann ebenfalls durch eine Geradengleichung beschrieben werden. Du weißt, dass die $z$- Achse durch den Ursprung verläuft, somit kannst du als Stützvektor $\overrightarrow{OO}=\pmatrix{0 \\ 0 \\ 0}$ verwenden. Du weißt ebenfalls, dass die $z$-Achse keine Komponenten in $x$- und $y$- Richtung besitzt, deswegen kannst du als Stützvektor $\overrightarrow{OP}=\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}$ verwenden. Du erhältst somit als Geradengleichung:
$p:\overrightarrow{x}=\pmatrix{0 \\ 0 \\ 0}+l\cdot\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}$
3.Schritt: Gleichsetzen
Um nun die Lage der beiden Geraden zueinander zu untersuchen, setze die Gleichungen gleich:
$\pmatrix{3 \\ 2 \\ 1}+ h\cdot\pmatrix{2 \\ 1 \\ 5} $=$\pmatrix{0 \\ 0 \\ 0}+l\cdot\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}$
Du erhältst folgendes lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&3+h\cdot2&=0&\quad \scriptsize\mid\;-3\mid\;:2 \\ \text{II}\quad&2+h\cdot1&=0&\quad\scriptsize\mid\;-2\\ \text{III}\quad&1+h\cdot5&=l&\quad\scriptsize\\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&…\\ \text{II}\quad&…\\ \text{III}\quad&… \end{array}$
$I: h=\frac{-3}{2}$, $II:h=-2$
Die Lösungen für $h$ sind nicht gleich.
Es gibt keine Lösung für das LGS. Das bedeutet, dass die Geraden keinen gemeinsamen Punkt haben. Du musst nun überprüfen, ob die Geraden parallel oder windschief zueinander liegen:
Wenn die Geraden parallel liegen, muss der Richtungsvektor der einen Geraden ein Vielfaches vom anderen sein. Es muss gelten:
$a\cdot \overrightarrow{u} = \overrightarrow{v}$
$a\cdot \overrightarrow{u} = \overrightarrow{v}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&a\cdot 2&=0&\quad \scriptsize\\ \text{II}\quad&a \cdot 1&=0&\quad \scriptsize\\ \text{III}\quad&a \cdot 5&=1&\quad \scriptsize\\ \end{array}$
Du erhältst für die Gleichung $\text{I}$ den Wert $a=0$, für Gleichung $\text{II}$ den Wert $a=0$ und für die Gleichung $\text{III}$ den Wert $a=\frac{1}{5}$. Da die Lösungen nicht übereinstimmen, somit hast du gezeigt, dass die Richtungsvektoren kein Vielfaches voneinander sind.
Da die Geraden keinen Schnittpunkt haben und die Richtungsvektoren der Geraden kein Vielfaches voneinander sind, sind die Geraden windschief zueinander.
2.3.3
$\blacktriangleright$  Koordinatengleichung für $\boldsymbol{\varepsilon}$ bestimmen
Du hast die Punkte $A$, $C$ und $E$ gegeben, die in der Ebene $\varepsilon$ liegen und sollst nun eine Ebenengleichung in Koordinatenform für $\varepsilon$ aufstellen.
Für eine solche Ebenengleichung in Koordinatenform werden vier Parameter benötigt:
$\varepsilon: n_1\cdot x + n_2\cdot y + n_3\cdot z = d $
$\varepsilon: n_1\cdot x + n_2\cdot y + n_3\cdot z$ $= d $
Hierbei versteht man unter
  • $n_1,\;n_2,\;n_3$ die Koordinaten eines Normalenvektors der Ebene $\varepsilon$,
  • $d$ einen Parameter, der mit Hilfe einer Punktprobe mit den Koordinaten eines Punktes aus der Ebene ermittelt werden kann.
Du kannst anstelle des Normalenvektors $\overrightarrow{n}$ zwei Spannvektoren $\overrightarrow{AC}$ und $\overrightarrow{AE}$ der Ebene berechnen und anschließend das Kreuzprodukt berechnen:
Spannvektoren bestimmen
$\overrightarrow{AC}=\pmatrix{6-3 \\ 0-2 \\ 0,5-1}=\pmatrix{3 \\ -2 \\ -0,5}$
$\overrightarrow{AE}=\pmatrix{4-3 \\ 8-2 \\ 0-1}=\pmatrix{1 \\ 6 \\ -1}$
Kreuzprodukt berechnen:
Du kannst dafür die Formel zur Berechnung des Kreuzprodukts verwenden:
$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_2 \cdot b_3-a_3 \cdot b_2\\a_3 \cdot b_1-a_1 \cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-a_2 \cdot b_1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} = $$…$
Setze die berechneten Spannvektoren ein:
$\begin{pmatrix}3\\-2\\-0,5 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\6\\-1 \end{pmatrix} $$= \begin{pmatrix}(-2) \cdot (-1)-(-0,5) \cdot 6\\(-0,5) \cdot 1-3 \cdot (-1)\\3 \cdot 6-(-2) \cdot 1 \end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}5\\2,5\\20 \end{pmatrix}$$=2,5\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\8 \end{pmatrix}$
Du erhältst den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ =$\begin{pmatrix}2\\1\\8 \end{pmatrix}$.
Du benötigst nun den Parameter $d$. Du kannst ihn bestimmen, indem du den Normalenvektor und die Koordinaten eines beliebigen Punktes, zum Beispiel von $A$ in die allgemeine Ebenengleichung einsetzt:
$\begin{array}[t]{rll} \varepsilon: n_1\cdot x + n_2\cdot y + n_3\cdot z&=& d \\[5pt] 2\cdot 3 + 1\cdot 2 + 8\cdot 1&=&d \\[5pt] 16&=& d \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 16&=& d \end{array}$
Der gesuchte Parameter ist $d=16$. Du kannst $d$ nun und $\overrightarrow{n}$ in die allgemeine Ebengleichung einsetzen:
$\varepsilon: 2\cdot x + 1\cdot y + 8\cdot z = 16 $
Eine Ebenengleichung von $\varepsilon$ lautet $\varepsilon: 2\cdot x + 1\cdot y + 8\cdot z = 16 $.
$\blacktriangleright$  Winkel zwischen $\boldsymbol{\varepsilon}$ und der $xy$-Ebene berechnen
Du sollst nun den Winkel zwischen der Ebene $\varepsilon$ und der $xy$-Ebene berechnen.
Den Schnittwinkel $\alpha$ zwischen zwei Ebenen kannst du mit der Cosinus- Formel berechnen:
$\cos\alpha= \dfrac{\left|\vec{n_E}\circ\vec{n_F}\right|}{\left|\vec{n_E}\right|\cdot\left|\vec{n_F}\right|}$
$\cos\alpha= \dfrac{\left|\vec{n_E}\circ\vec{n_F}\right|}{\left|\vec{n_E}\right|\cdot\left|\vec{n_F}\right|}$
Du brauchst also jeweils einen Normalenvektor der Ebenen.
Du hast den Normalenvektor $\overrightarrow{n_{\varepsilon}}$ =$\begin{pmatrix}2\\1\\8 \end{pmatrix}$ der Ebene $\varepsilon$ bereits berechnet. Der Normalenvektor $n_{xy}$ der $xy$-Ebene lautet $\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}$, denn der Normalenvektor muss senkrecht auf der Ebene stehen und kann somit keine Komponente in $x$- und $y$- Richtung haben.
Setze nun die Richtungsvektoren in die Cosinus-Formel ein:
$\begin{array}[t]{rll} &\cos\alpha&=& \dfrac{2\cdot 0+ 1\cdot 0+ 8\cdot 1}{\sqrt{2^2+1^2+8^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &\cos\alpha&=& \dfrac{8}{\sqrt{69}} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] &\alpha&=& 15,62° &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\alpha&=& 15,62° &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Winkel zwischen den Ebenen beträgt ca. $15,62°$.
$\blacktriangleright$  Abstand von $\boldsymbol{P}$ zu $\boldsymbol{\varepsilon}$ bestimmen
Um den Abstand zwischen einem Punkt $P$ und einer Ebene $\varepsilon$ zu berechnen, musst du nach folgenden Schritten vorgehen:
  1. Hessesche Normalenform bilden
    Die Hessesche Normalenform (HNF) einer Ebene
    $E: n_1\cdot x+n_2\cdot y+n_3\cdot z=d$
    $E: … $
    mit dem Normalenvektor $\vec{n}$ lautet:

    HNF:
    $\dfrac{n_1\cdot x+ n_2\cdot y+n_3\cdot z-c}{\left|\vec{n}\right|}=0$

    HNF
  2. Punkt in HNF einsetzen
    Die Koordinaten des Punktes $P(p_1 \mid p_2 \mid p_3)$ setzt du in die linke Seite der HNF ein:
    $d=\dfrac{n_1\cdot p_1+n_2\cdot p_2+n_3\cdot p_3-c}{\left|\vec{n}\right|}$
    $d=…$
1. Schritt: HNF bilden
Du hast die Ebenengleichung $\varepsilon: 2\cdot x1 + 1\cdot y + 8\cdot z = 16 $ bereits berechnet und ebenfalls den Betrag des Normalenvektors $\overrightarrow{n}=\sqrt{69}$.
Bilde nun die HNF:
$\dfrac{2\cdot x + 1\cdot y + 8\cdot z-16}{\sqrt{69}} = 0 $
Bilde nun die HNF:
2. Schritt: Punkt in HNF einsetzen
Setze nun die Koordinaten des Punktes $P(6\;|\;6\;|\;17)$ in die linke Seite der HNF ein:
$\dfrac{2\cdot 6 + 1\cdot 6 + 8\cdot 17-16}{\sqrt{69}} $$\approx 16,61 \;\text{LE}$
Der Abstand vom Punkt $P$ zur Ebene $\varepsilon$ beträgt ca. $16,61 \;\text{LE}$.
2.3.4
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Durchstoßpunktes von $\boldsymbol{g}$ und $\boldsymbol{yz}$- Ebene berechnen
Du sollst die Koordinaten des Durchstoßpunktes der Geraden $g$ und der $yz-$Ebene berechnen.
  • Dazu kannst du dir zuerst überlegen, wie die Ebenengleichung der $yz$- Ebene lauten kann. Die einfachste Möglichkeit ist es in diesem Fall, eine Ebenengleichung in Koordinatenform aufzustellen. Du benötigst dafür einen Normalenvektor, der senkrecht zur Ebene steht.
  • Die Geradengleichung von $g$ hast du bereits bestimmt: $g:\overrightarrow{x}=$ $\pmatrix{6 \\ 0 \\ 0,5}+ r\cdot\pmatrix{2 \\ 6,5 \\ 3} $
  • Den Durchstoßpunkt kannst du bestimmen, indem du die Koordinaten des allgemeinen Geradenpunkts in die Ebenengleichung einsetzt
$xy$-Ebene aufstellen
Der Normalenvektor darf nur Komponenten in $x$- Richtung enthalten, die anderen sind Null, denn sonst wäre er nicht senkrecht zur Ebene. Ein möglicher Normalenvektor ist $\overrightarrow{n}=\pmatrix{1 \\ 0 \\ 0}$.
Du kannst diesen Vektor nun in die allgemeine Ebenengleichung einsetzen:
$\varepsilon: 1\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = d $
Die Koordinaten eines bekannten Punktes auf der Ebene sind die des Ursprungs $(0\;|\;0\;|\;0)$. Du kannst den Parameter $d$ bestimmen, indem du die Ursprungskoordinaten einsetzt:
$\begin{array}[t]{rll} \varepsilon: 1\cdot 0 + 0\cdot 0 + 0\cdot 0 &=& 0 \\[5pt] d&=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} d&=& 0 \end{array}$
Durch Einsetzen des Normalenvektors und des Parameters $d$, erhältst du die Ebenengleichung:
$\varepsilon: 1\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 0 $
Durchstoßpunkt bestimmen
Du kannst den Durchstoßpunkt bestimmen, indem du die Koordinaten des allgemeinen Geradenpunktes in die Ebenengleichung einsetzt und nach $r$ auflöst:
$\begin{array}[t]{rll} &1\cdot (6+2r) + 0\cdot (6,5r) + 0\cdot (0,5+3r)&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; -6\\[5pt] &6+2r&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; -6\\[5pt] &2r&=&-6&\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] &r&=&\frac{-6}{2} \\[5pt] &r&=&-3&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &r&=&-3&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Setze den Parameter $r$ nun in die Geradengleichung ein:
$g:\overrightarrow{x}=$ $\pmatrix{6 \\ 0 \\ 0,5}+ r\cdot\pmatrix{2 \\ 6,5 \\ 3} $
$\overrightarrow{0S}=$ $\pmatrix{6 \\ 0 \\ 0,5}+ -3\cdot\pmatrix{2 \\ 6,5 \\ 3} $$=\pmatrix{0 \\ -19,5 \\ -8,5}$
Der Durchstoßpunkt ist $S(0\;|\;-19,5\;|\;-8,5)$.
2.4
$\blacktriangleright$  Inhalt der Fläche $\boldsymbol{ACGE}$ bestimmen
Bestimme den Flächeninhalt der Fläche $ACGE$. Du kannst dabei in folgenden Schritten vorgehen:
  • Berechne die Länge der Strecken $\overline{CA}$, $\overline{AG}$, $\overline{CE}$ und $\overline{GE}$, indem du den Verbindungsvektor aufstellst und den Betrag berechnest.
  • Vergleiche die Seitenlängen miteinander, gibt es zwei gleich lange Seitenpaare, kannst du das Kreuzprodukt berechnen. Das Ergebnis entspricht dem Flächeninhalt. Sind die Seitenlängen unterschiedlich, teile die Fläche in zwei Dreiecke und berechne den Flächeninhalt jedes Dreiecks mit dem Kreuzprodukt. Da es sich um ein Dreieck handelt, musst du es noch mit $0,5$ multiplizieren. Addiere dann die Flächeninhalte der beiden Dreiecke
  • Berechne den Flächeninhalt
1. Schritt: Länge der Strecken berechnen
Stelle zunächst den Verbindungsvektor von $A$ und $C$ auf:
$\overrightarrow{CA}=\pmatrix{3-6 \\ 2-0 \\ 1-0,5}=\pmatrix{-3 \\ 2 \\ 0,5}$
Um die Länge der Strecke zu erhalten, berechne den Betrag:
$\overrightarrow{|CA|}$$=\sqrt{(-3)^2+2^2+0,5^2}$$=3,64\;\text{LE}$
Stelle den Verbindungsvektor von $A$ und $G$ auf:
$\overrightarrow{AG}=\pmatrix{7-3 \\ 6-2 \\ -0,5-1}=\pmatrix{4 \\ 4 \\ -1,5}$
Berechne den Betrag:
$\overrightarrow{|AG|}=\sqrt{(4^2+4^2+(-1,5)^2}=5,85\;\text{LE}$
$\overrightarrow{|AG|}=5,85\;\text{LE}$
Stelle den Verbindungsvektor von $E$ und $C$ auf:
$\overrightarrow{CE}=\pmatrix{4-6 \\ 8-0 \\ 0-0,5}=\pmatrix{-2 \\ 8 \\ -0,5}$
Um die Länge der Strecke zu erhalten, berechne den Betrag:
$\overrightarrow{|CE|}$$=\sqrt{(-2)^2+8^2+(-0,5)^2}$$=8,26\;\text{LE}$
Stelle nun den Verbindungsvektor von $G$ und $E$ auf:
$\overrightarrow{GE}$$=\pmatrix{4-7 \\ 8-6 \\ 0-(-0,5)}$$=\pmatrix{-3 \\ 2 \\ 0,5}$
Berechne nun den Betrag:
$\overrightarrow{|GE|}$$=\sqrt{(-3)^2+2^2+0,5^2}$$=3,64\;\text{LE}$
2. Schritt: Längen vergleichen
Du erkennst, dass es keine zwei Seitenpaare gibt mit gleicher Seitenlänge. Deswegen kannst du die Fläche in zwei Dreiecke $ACE$ und $AEG$ aufteilen. Mit dem Kreuzprodukt zweier Verbindungsvektoren, kannst du den Flächeninhalt berechnen. Multipliziere dein Ergebnis dann noch mit $0,5$, da es sich um ein Dreieck handelt.
3. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Verwende das Kreuzprodukt, um den Flächeninhalt der Dreiecke zu berechnen. Da es sich um ein Dreieck handelt, musst du das Ergebnis noch mit $0,5$ multiplizieren.
Wahlteil A2
Abb. 2: Fläche aufteilen
Wahlteil A2
Abb. 2: Fläche aufteilen
Flächeninhalt von $ACE$ berechnen
Stelle die Richtungsvektoren $\overrightarrow{CA}$ und $\overrightarrow{CE}$ auf:
$\overrightarrow{CA}=\pmatrix{3-6 \\ 2-0 \\ 1-0,5}=\pmatrix{-3 \\ 2 \\ 0,5}$
$\overrightarrow{CE}=\pmatrix{4-6 \\ 8-0 \\ 0-0,5}=\pmatrix{-2 \\ 8 \\ -0,5}$
Berechne das Kreuzprodukt:
$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_2 \cdot b_3-a_3 \cdot b_2\\a_3 \cdot b_1-a_1 \cdot b_3\\a_1 \cdot b_2-a_2 \cdot b_1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} =…$
$\begin{pmatrix}-3\\2\\0,5 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-2\\8\\-0,5 \end{pmatrix} $$= \begin{pmatrix}2 \cdot (-0,5)-0,5 \cdot 8\\0,5 \cdot (-2)-(-3) \cdot (-0,5)\\(-3)\cdot 8-2 \cdot (-2) \end{pmatrix} $$=\pmatrix{-5 \\ -2,5 \\ -20}$
$\begin{pmatrix}-3\\2\\0,5 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-2\\8\\-0,5 \end{pmatrix} =…$
Berechne nun den Betrag, um den Flächeninhalt zu erhalten, den die zwei Vektoren aufspannen:
$\sqrt{(-5)^2+(-2)^2+(-20)^2}$$\approx20,7\;\text{LE}^2$
Für den Flächeninhalt eines Dreiecks, benötigst du genau die Hälfte der Fläche:
$0,5\cdot 20,7\;\text{LE}^2 = 10,35\;\text{LE}^2$
Der Flächeninhalt des Dreiecks $ACE$ beträgt also ca. $10,35\;\text{LE}^2$.
Flächeninhalt von $AEG$ berechnen
Verwende wieder das Kreuzprodukt, um den Flächeninhalt der Dreiecke zu berechnen. Da es sich um ein Dreieck handelt, musst du das Ergebnis noch mit $0,5$ multiplizieren.
Stelle die Richtungsvektoren $\overrightarrow{GA}$ und $\overrightarrow{GE}$ auf:
$\overrightarrow{GA}=\pmatrix{3-7 \\ 2-6 \\ 1+0,5}=\pmatrix{-4 \\ -4 \\ 1,5}$
$\overrightarrow{GE}=\pmatrix{4-7 \\ 8-6 \\ 0+0,5}=\pmatrix{-3 \\ 2 \\ 0,5}$
Berechne das Kreuzprodukt:
$\begin{pmatrix}-4\\-4\\1,5 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-3\\2\\0,5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}(-4) \cdot 0,5-1,5\cdot 2\\1,5 \cdot (-3)-(-4) \cdot 0,5\\(-4) \cdot 2-(-4) \cdot (-3) \end{pmatrix}=\pmatrix{-5 \\ -2,5 \\ -20}$
$\begin{pmatrix}-4\\-4\\1,5 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-3\\2\\0,5 \end{pmatrix} = …$
Berechne nun den Betrag, um den Flächeninhalt zu erhalten, den die zwei Vektoren aufspannen:
$\sqrt{(-5)^2+(-2,5)^2+(-20)^2}\approx20,8\;\text{LE}^2$
$\sqrt{(-5)^2+…}$
Für den Flächeninhalt eines Dreiecks, benötigst du genau die Hälfte der Fläche:
$0,5\cdot 20,8 \;\text{LE}^2= 10,4\;\text{LE}^2$
Der Flächeninhalt des Dreiecks $AEG$ beträgt also ca. $10,4\;\text{LE}^2$.
Den gesamten Flächeninhalt der Fläche $ACGE$ erhältst du durch Addition der beiden Dreicksflächen: $10,4\;\text{LE}^2 +10,35\;\text{LE}^2$$=20,75\;\text{LE}^2$
Der Flächeninhalt beträgt also ca. $20,75\;\text{LE}^2$.
2.5
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse berechnen
Du sollst die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Ereignisse berechnen. Für die Auswahl einer Stange sind die Wahrscheinlichkeiten
$P(\text{gelb})=\frac{1}{7}$, $P(\text{blau})=\frac{2}{7}$ und $P(\text{weiß})=\frac{4}{7}$
gegeben. Da sich die Wahrscheinlichkeiten nicht ändern, kannst du zur Berechnung die Formel der Binomialverteilung verwenden.
$B_{n,p}(k)=\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
$B_{n,p}(k)=\binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
Der Parameter $k$ gibt die Anzahl der Erfolge an, $n$ die Anzahl der Versuche. Somit sind $n-k$ die Fehlschläge. Der Parameter $p$ gibt die Wahrscheinlichkeit für jeden Zug an und $\binom{n}{k}$ die Anzahl Möglichkeiten in welcher Reihenfolge gezogen wird.
Wahrscheinlichkeit für Ereignis $A$ berechnen
Es ist die Wahrscheinlichkeit dafür gesucht, dass bei drei Zügen (n=3) genau eine Stange gelb ist ($k=1$). Die Wahrscheinlichkeit eine gelbe Stange zu ziehen beträgt $P(\text{gelb})=\frac{1}{7}$. Wenn die Zufallsvariable $X$ die Anzahl der gelben Stangen in 3 Zügen beschreibt, dann ist die Wahrscheinlchkeit für $X=1$ gesucht. $X$ ist dann binomialverteilt und daher lässt sich die Wahrscheinlichkeit mit der obigen Formel berechnen.
Setze diese Angaben nun in die Formel ein:
$B_{3,\frac{1}{7}}(X=1)$$=\binom{3}{1}\cdot \frac{1}{7} ^1 \cdot (1-\frac{1}{7})^{3-1}$$=\frac{108}{343}\approx 0,315=31,5\%$
Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $A$ beträgt ca. $31,5\%$.
Wahrscheinlichkeit für Ereignis $B$ berechnen
Es ist die Wahrscheinlichkeit dafür gesucht, dass bei drei Zügen (n=3) höchstens zwei Stangen blau sind. Die Wahrscheinlichkeit eine blaue Stange zu ziehen beträgt $P(\text{blau})=\frac{2}{7}$. Wenn die Zufallsvariable $T$ die Anzahl der gelben Stangen in 3 Zügen beschreibt, dann ist die Wahrscheinlchkeit für $T\le 2$ gesucht. $T$ ist dann binomialverteilt und daher lässt sich die Wahrscheinlichkeit mit der obigen Formel berechnen.
Setze diese Angaben nun in die Formel ein:
$B_{3,\frac{2}{7}}(T \le 2)=\binom{3}{0}\cdot \frac{2}{7} ^0 \cdot (1-\frac{2}{7})^{3-0}+\binom{3}{1}\cdot \frac{2}{7} ^1 \cdot (1-\frac{2}{7})^{3-1}+\binom{3}{2}\cdot \frac{2}{7} ^2 \cdot (1-\frac{2}{7})^{3-2}\approx0,9767=97,67\%$
$B_{3,\frac{2}{7}}(T \le 2)=97,67\%$
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $B$ beträgt ca. $97,67\%$.
Wahrscheinlichkeit für Ereignis $C$ berechnen
Es ist die Wahrscheinlichkeit dafür gesucht, dass bei drei Zügen (n=3) mehr als zwei Stangen weiß sind. Die Wahrscheinlichkeit eine weiße Stange zu ziehen beträgt $P(\text{weiß})=\frac{4}{7}$. Wenn die Zufallsvariable $R$ die Anzahl der gelben Stangen in 3 Zügen beschreibt, dann ist die Wahrscheinlchkeit für $R>2$ gesucht. $R$ ist dann binomialverteilt und daher lässt sich die Wahrscheinlichkeit mit der obigen Formel berechnen.
Setze diese Angaben nun in die Formel ein:
$B_{3,\frac{4}{7}}(R>2)=\binom{3}{3}\cdot \frac{4}{7} ^3 \cdot (1-\frac{4}{7})^{3-3}\approx0,1866=18,66\%$
$B_{3,\frac{4}{7}}(R>2)=18,66\%$
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $C$ beträgt ca. $18,66\%$.
Wahrscheinlichkeit für Ereignis $D$ berechnen
Es ist die Wahrscheinlichkeit dafür gesucht, dass bei drei Zügen (n=3) alle drei Stangen die gleiche Farbe haben ($k=1$). Die Wahrscheinlichkeit eine blaue Stange zu ziehen beträgt $P(\text{blau})=\frac{2}{7}$, die eine weiße zu ziehen $P(\text{weiß})=\frac{4}{7}$. Die Wahrscheinlichkeit für eine gelbe $P(\text{gelb})=\frac{1}{7}$.
Da die Wahrscheinlichkeiten unterschiedlich sind, kannst du diesen Aufgabenteil nicht mit der Binomialverteilung lösen. Wenn alle Stangen die gleiche Farbe haben sollen, kannst du die angegebene Wahrscheinlichkeit jeweils drei mal multiplizieren (Pfadmultiplikationsregel) und anschließend alle Wahrscheinlichkeiten nach der Pfadadditionsregel addieren:
$P_{\text{weiß}}(k=3)=\frac{4}{7}\cdot \frac{4}{7}\cdot \frac{4}{7}\approx0,1865=18,65\%$
$P_{\text{gelb}}(k=3)= \frac{1}{7}\cdot \frac{1}{7}\cdot \frac{1}{7}\approx0,0029=0,29\%$
$P_{\text{blau}}(k=3)=\frac{2}{7}\cdot \frac{2}{7}\cdot \frac{2}{7}\approx0,0233=2,33\%$
$P_{\text{blau}}(k=3)=2,33\%$
$18,65\%+ 0,29\%+ 2,33\% =21,27\%$
$18,65\%+ 0,29\%+ …$
Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $D$ beträgt ca. $21,27\%$.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
© 2016 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App