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Wahlteil B2

Aufgaben
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Analytische Geometrie

$\,$
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(-3\mid2\mid-1)$, $B(-7\mid-1\mid1)$, $C(1\mid-5\mid2)$, $E(1\mid 2\mid3)$, $Q(7\mid5\mid0)$, $S(3\mid 2\mid 0)$ und $U(6\mid \dfrac{17}{4}\mid 5)$ gegeben.
Die Punkte $A$, $B$ und $C$ bestimmen die Ebene $\varepsilon$.
2.1
Ermittle eine Gleichung der Ebene $\varepsilon$ in Koordinatenform.
Bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes von $\varepsilon$ mit der $y-$Achse.
2.2
Bestimme eine Gleichung der Ebene, die die Punkte $A$ und $E$ enthält und orthogonal zu $\varepsilon$ ist.
2.3
Betrachtet wird ein gerader Pyramidenstumpf $PQRSTUVW$ mit quadratischer Grundfläche $PQRS$.
2.3.1
Die Strecke $\overline{QS}$ bestimmt eine Diagonale des Quadrates $PQRS$. Dieses Quadrat $PQRS$ liegt in der $xy-$Ebene.
Berechne die Koordinaten der Punkte $P$ und $R$.
zur Kontrolle: $P(\dfrac{13}{2}\mid \dfrac{3}{2}\mid 0), P(\dfrac{7}{2}\mid \dfrac{11}{2}\mid 0)$.
2.3.2
Berechne das Volumen des Pyramidenstumpfes.
2.3.3
Die Gerade $k$ verläuft durch die Mittelpunkte von Grund- und Deckfläche.
Berechne die Koordinaten des Punktes auf der Geraden $k$, der zu allen Eckpunkten des Stumpfes denselben Abstand besitzt.

(30P)
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Tipps
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2.1
$\blacktriangleright$  Koordinatenform bestimmen
Du sollst eine Gleichung der Ebene $\varepsilon$ in Koordinatenform ermitteln, die durch die Punkte $A(-3\mid 2 \mid -1)$, $B(-7 \mid -1 \mid 1)$ und $C(1 \mid -5 \mid 2)$ bestimmt wird.
Zur Ermittlung der Koordinatengleichung gehst du in drei Schritten vor
1. Schritt: Richtungs - und Stützvektoren berechnen
Berechne zwei Richtungsvektoren $\overrightarrow{p}$ und $\overrightarrow{q}$ der Ebene, die linear unabhängigen Verbindungsvektoren zwischen Punkten in der Ebene entsprechen. Berechne auch einen Stützvektor $\overrightarrow{u}$ der Ebene, der dem Ortsvektor eines Punktes in der Ebene entspricht.
2. Schritt: Normalenvektor berechnen
Bestimme einen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene. Diesen erhältst du über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren, das du mit folgender Formel bestimmst:
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \pmatrix{a_2b_3 - a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1}$
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \pmatrix{a_2b_3 - a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1}$
3. Schritt: Koordinatengleichung aufstellen
Wähle einen beliebigen Vektor der Form $\overrightarrow{x} = \pmatrix{x_1 \\ x_2 \\x_3}$ und berechne das Skalarprodukt dieses Vektors mit dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene. Setze diesen Term mit dem Skalarpdoukt des Stützvektors $\overrightarrow{u}$ und des Normalenvektors gleich. Damit ergibt sich die Koordinatengleichung der Ebene zu:
$\varepsilon: \overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{n} = x_1 \cdot n_1 + x_2 \cdot n_2 + c_3 \cdot n_3 = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n}$
$\varepsilon: \overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{n} = …$
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt der Ebene $\varepsilon$ mit der $y-$Achse bestimmen
Zur Ermittlung des Schnittpunktes der Ebene $\varepsilon$ mit der $y-$ Achse müssen die Koordinaten $x$ (also $x_1$) und $z$ (also $x_3$) Null sein. Die allgemeine Gestalt dieses Schnittpunktes ist $P(0\mid a\mid0)$. Dabei ist $a$ ein konstanter Wert für $y$ (also $x_2$.)
Setze $x_1 = x_3 = 0$ in die Koordinatengleichung ein und löse die entstehende Gleichung nach $x_2$ auf:
2.2
$\blacktriangleright$  Gleichung einer zu $\varepsilon$ orthogonalen Ebene bestimmen
Du sollst die Gleichung einer Ebene bestimmen, die zur Ebene $\varepsilon$ mit dem Normalenvektor $\overrightarrow{n_{\varepsilon}}$ orthogonal ist und die Punkte $A$ und $E$ enthält. Nenne diese Ebene $H$ und ihren Normalenvektor $\overrightarrow{n_H}$. Die Koordinatengleichung einer Ebene liefert immer eine Konstante, wenn man die Koordinaten eines Punktes einsetzt. Liegen zwei Punkte in der Ebene, liefert die Koordinatengleichung für beide Punkte denselben Wert. Also muss für die Ortsvektoren der beiden Punkte $A$ und $E$ innerhalb der Ebene $E$ gelten:
II $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{n_H} = \overrightarrow{OE} \cdot \overrightarrow{n_H}$
Außerdem gilt, dass zwei Ebenen genau dann senkrecht aufeinander stehen, wenn das Skalarprodukt ihrer Normalenvektoren $0$ ist. Also muss gelten:
II$\,\,\,\, \overrightarrow{n_{\varepsilon}} \cdot \overrightarrow{n_H} = 0$
Verwende diese beiden Gleichungen, um die Koordinaten des Normalenvektors der Ebene $E$ in parametrisierter Form zu ermitteln. Mache für $\overrightarrow{n_H}$ den Ansatz
$\overrightarrow{n_H} = \pmatrix{n_1\\n_2\\n_3}$
Stelle die Gleichungen I und II so um, dass die Koordinaten $n_2$ und $n_3$ von $n_1$ abhängen.
Anschließend kannst du durch Festsetzen eines Wertes für $n_1$ einen Normalenvektor ermitteln und über die Koordinaten des Punktes $A$ die Koordinatengleichung für $H$ aufstellen.
2.3.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Eckpunkte eines Quadrates bestimmen
Du sollst die Eckpunkte des Quadrates $PQRS$ bestimmen, das in der $xy-$Ebene liegt. Du weißt, dass die Strecke $\overline{QS}$ eine Diagonale dieses Quadrates bestimmt. Die Punkte $Q$ und $S$ sind in der Aufgabenstellung gegeben. Du sollst die Punkte $R$ und $P$ bestimmen. Dazu kannst du folgendermaßen vorgehen:
  1. Stelle die Geradengleichung der Diagonalen $QS$ auf.
  2. Der Mittelpunkt des Rechtecks liegt genau auf der Hälfte der Strecke $QS$. Du kannst also $r$ = $\frac{1}{2}$ in die Geradengleichung einsetzen um den Mittelpunkt zu bestimmen.
  3. Jetzt kannst du die Länge der Strecke $MS$ oder $MQ$ bestimmen.
  4. Die Punkte $P$ und $R$ liegen auf einer Geraden die durch den Mittelpunkt $M$ des Rechtecks geht und die Gerade $QS$ senkrecht schneidet. Du kannst die Geradengleichung aufstellen indem du $M$ als Stützvektor benutzt. Die Richtung bestimmst du indem du das Skalarprodukt von $QS \circ PR$ = $0$ setzt. Die Länge der Richtungsvektoren entspricht denen der Strecke $MS$ bzw. $MQ$
  5. Die Punkte $P$ und $R$ kannst du ermitteln indem du für $r$ $1$ und $-1$ einsetzt.
2.3.2
$\blacktriangleright$  Volumen des Pyramidenstumpfes bestimmen
Du sollst das Volumen des Pyramidenstumpfes $PQRSTUWV$ bestimmen. Dazu benutzt du folgende Formel:
$V = \dfrac{h}{3}\cdot(G + \sqrt{GD} + D)$
$V = \dfrac{h}{3}\cdot(G + \sqrt{GD} + D)$
Dabei ist $G$ der Inhalt der Grundfläche, $D$ der Inhalt der Deckfläche und $h$ die Höhe des Pyramidenstumpfes. Zur Berechnung kannst du in vier Schritten vorgehen:
1. Schritt: Flächeninhalt der Grundfläche berechnen
Bei der Grundfläche $PQRS$ handelt es sich um ein Quadrat, dessen Inhalt du mit folgender Formel berechnen kannst:
$A = a^2$
$A = a^2$
Dabei ist $a$ die Seitenlänge des Quadrats. Diese Seitenlänge entspricht der Länge, also dem Betrag der Seitenvektoren des Quadrats. Berechne also den Seitenvektor $\overrightarrow{PQ}$. Anschließend berechnest du den Betrag $a$ und daraus den Flächeninhalt.
Den Betrag eines Vektors $\overrightarrow{a}$ berechnest du mit folgender Formel:
$\mid \overrightarrow{a} \mid = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$
$\mid \overrightarrow{a} \mid = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$
Berechne nun den Flächeninhalt.
2. Schritt: Höhe des Pyramidenstumpfes berechnen
Zur Berechnung der Höhe des Pyramidenstumpfes verwendest du, dass die Grundfläche in der $xy-$ Ebene liegt und der Pyramidenstumpf gerade ist, dass also jeder Punkt der Deckfläche denselben Abstand zur Grundfläche hat.
Dieser Abstand entspricht der Höhe $h$ des Stumpfes.
Betrachte also den Eckpunkt $U$ der Deckfläche. Dieser Punkt ist zur $xy-$ Ebene um $5 \, \text{LE}$ in positive $z-$ Richtung verschoben.
3. Schritt: Inhalt der Deckfläche berechnen
Um die Deckfläche zu berechnen benötigst du die Länge der Diagonale $\overline{WU}$ des Quadrates $TUVW$. Für den Flächeninhalt eines Quadrates $A$ mit der Diagonale $d$ gilt:
$A = \dfrac{d^2}{2}$
$A = \dfrac{d^2}{2}$
Die Länge der Diagonalen $\overline{WU}$ entspricht der Länge des Vektors $\overrightarrow{WU}$. Also musst du disen Vektor aus den Koordinaten der Punkte $W$ und $U$ berechnen.
Die Koordinaten von $U$ sind dir bereits bekannt. Um die Koordinaten von $W$ zu berechnen, machst du dir eine Skizze der Pyramide in der Sicht auf die Deckfläche.
4. Schritt: Volumen der Pyramide berechnen
Du kennst nun die notwenidgen Größen zur Berechnung des Volumens des Pyramidenstumpfes. Setze diese in die Formel ein, um das Volumen zu ermitteln.
2.3.3
$\blacktriangleright$  Koordinaten eines Punktes bestimmen
Du sollst die Koordinaten eines Punktes auf der Geraden $k$ ermitteln, der zu allen Eckpunkten des Stumpfes denselben Abstand besitzt.
Dazu gehst du in drei Schritten vor:
  1. Ermittle als erstes den Mittelpunkte $M$ der Grundfläche
  2. Stelle als zweites die Geradengleichung für $k$ auf
  3. Löse zuletzt unter Einbeziehung der Symmetrie des Pyramidenstumpfes eine Gleichung für den Abstand eines allgemeinen Punktes auf $k$ von den Eckpunkten des Pyramidenstumpfes
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2.1
$\blacktriangleright$  Koordinatenform bestimmen
Du sollst eine Gleichung der Ebene $\varepsilon$ in Koordinatenform ermitteln, die durch die Punkte $A(-3\mid 2 \mid -1)$, $B(-7 \mid -1 \mid 1)$ und $C(1 \mid -5 \mid 2)$ bestimmt wird.
Zur Ermittlung der Koordinatengleichung gehst du in drei Schritten vor
1. Schritt: Richtungs - und Stützvektoren berechnen
Berechne zwei Richtungsvektoren $\overrightarrow{p}$ und $\overrightarrow{q}$ der Ebene, die linear unabhängigen Verbindungsvektoren zwischen Punkten in der Ebene entsprechen. Berechne auch einen Stützvektor $\overrightarrow{u}$ der Ebene, der dem Ortsvektor eines Punktes in der Ebene entspricht.
2. Schritt: Normalenvektor berechnen
Bestimme einen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene. Diesen erhältst du über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren, das du mit folgender Formel bestimmst:
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \pmatrix{a_2b_3 - a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1}$
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \pmatrix{a_2b_3 - a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1}$
3. Schritt: Koordinatengleichung aufstellen
Wähle einen beliebigen Vektor der Form $\overrightarrow{x} = \pmatrix{x_1 \\ x_2 \\x_3}$ und berechne das Skalarprodukt dieses Vektors mit dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene. Setze diesen Term mit dem Skalarpdoukt des Stützvektors $\overrightarrow{u}$ und des Normalenvektors gleich. Damit ergibt sich die Koordinatengleichung der Ebene zu:
$\varepsilon: \overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{n} = x_1 \cdot n_1 + x_2 \cdot n_2 + c_3 \cdot n_3 = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n}$
$\varepsilon: \overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{n} = …$
1. Schritt: Richtungs - und Stützvektoren berechnen
Wähle als Richtungsvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$:
$\overrightarrow{p} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \pmatrix{-7 - (-3)\\-1 - 2 \\ 1 - (-1)} = \pmatrix{-4\\-3\\2}$
$\overrightarrow{q} = \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = \pmatrix{1- (-3)\\-5- 2 \\ 2 - (-1)} = \pmatrix{4\\-7\\3}$
$\overrightarrow{p} = \pmatrix{-4\\-3\\2}$
$\overrightarrow{q} = \pmatrix{4\\-7\\3}$
Wähle als Stützvektor den Ortsvektor von $A$:
$\overrightarrow{u} = \overrightarrow{OA} = \pmatrix{-3\\2\\-1}$
2. Schritt: Normalenvektor berechnen
Berechne den Normalenvektor mit der angegeben Formel des Kreuzprodukts:
$\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q} = \pmatrix{(-3)\cdot 3 - (-7)\cdot2 \\2 \cdot (4) - (-4)\cdot3 \\ (-4)\cdot (-7) - (-3)\cdot(-4)} = \pmatrix{5\\20\\40}$
$\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q} = \pmatrix{5\\20\\40}$
Um die Koordinatengleichung zu vereinfachen, teile diesen Vektor durch $5$ und wähle den so vereinfachten Vektor als $\overrightarrow{n}$.
$\overrightarrow{n} = \pmatrix{1\\4\\8}$
3. Schritt: Koordinatengleichung aufstellen
Durch Gleichsetzen von $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{x}$ mit $\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{u}$ erhältst du die Koordinatengleichung von $\varepsilon$:
$\varepsilon: x_1 + 4x_2 + 8x_3 = -3$
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt der Ebene $\varepsilon$ mit der $y-$Achse bestimmen
Zur Ermittlung des Schnittpunktes der Ebene $\varepsilon$ mit der $y-$ Achse müssen die Koordinaten $x$ (also $x_1$) und $z$ (also $x_3$) Null sein. Die allgemeine Gestalt dieses Schnittpunktes ist $P(0\mid a\mid0)$. Dabei ist $a$ ein konstanter Wert für $y$ (also $x_2$.)
Setze $x_1 = x_3 = 0$ in die Koordinatengleichung ein und löse die entstehende Gleichung nach $x_2$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 0 + 4\cdot x_2 + 8 \cdot 0&=& -3 &\quad \scriptsize \mid :4\; \\[5pt] x_2&=&-\dfrac{3}{4} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_2&=&-\dfrac{3}{4} \end{array}$
Damit sind die Koordinaten des Schnittpunkts $P(0 \mid -\dfrac{3}{4} \mid 0)$.
2.2
$\blacktriangleright$  Gleichung einer zu $\varepsilon$ orthogonalen Ebene bestimmen
Du sollst die Gleichung einer Ebene bestimmen, die zur Ebene $\varepsilon$ mit dem Normalenvektor $\overrightarrow{n_{\varepsilon}}$ orthogonal ist und die Punkte $A$ und $E$ enthält. Nenne diese Ebene $H$ und ihren Normalenvektor $\overrightarrow{n_H}$. Die Koordinatengleichung einer Ebene liefert immer eine Konstante, wenn man die Koordinaten eines Punktes einsetzt. Liegen zwei Punkte in der Ebene, liefert die Koordinatengleichung für beide Punkte denselben Wert. Also muss für die Ortsvektoren der beiden Punkte $A$ und $E$ innerhalb der Ebene $E$ gelten:
II $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{n_H} = \overrightarrow{OE} \cdot \overrightarrow{n_H}$
Außerdem gilt, dass zwei Ebenen genau dann senkrecht aufeinander stehen, wenn das Skalarprodukt ihrer Normalenvektoren $0$ ist. Also muss gelten:
II$\,\,\,\, \overrightarrow{n_{\varepsilon}} \cdot \overrightarrow{n_H} = 0$
Verwende diese beiden Gleichungen, um die Koordinaten des Normalenvektors der Ebene $E$ in parametrisierter Form zu ermitteln. Mache für $\overrightarrow{n_H}$ den Ansatz
$\overrightarrow{n_H} = \pmatrix{n_1\\n_2\\n_3}$
Stelle die Gleichungen I und II so um, dass die Koordinaten $n_2$ und $n_3$ von $n_1$ abhängen.
Anschließend kannst du durch Festsetzen eines Wertes für $n_1$ einen Normalenvektor ermitteln und über die Koordinaten des Punktes $A$ die Koordinatengleichung für $H$ aufstellen.
1. Schritt: Koordinaten von $\boldsymbol{\overrightarrow{n_E}}$ parametrisieren
Setze die Ortsvektoren von $A$ und $E$ in die Gleichung II ein:
$-3n_1 + 2 n_2 - n_3 $$= n_1 + 2n_2 + 3n_3$
Diese Gleichung kannst du so umformen, dass $n_1$ von $n_3$ abhängt.
$\begin{array}[t]{rll} -3n_1 + 2 n_2 - n_3 &=&n_1 + 2n_2 + 3n_3 &\quad \scriptsize \mid -2n_2\; \\[5pt] -3n_1 - n_3&=& n_1 + 3n_3\quad \scriptsize \mid -n_1 \, \mid +n_3 \; \\[5pt] -4n_1 &=& 4n_3\quad \scriptsize \mid :4 \; \\[5pt] -n_1 &=& n_3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} -n_1 &=& n_3 \end{array}$
Setze nun $n_3 = -n_1$ in die Gleichung II ein.
II$\,\,\,\, \overrightarrow{n_{\varepsilon}} \cdot \overrightarrow{n_H} = 0$
$\pmatrix{n_1\\n_2\\-n_1}\circ \pmatrix{1\\4\\8} = 0$
Aus dieser Gleichung kannst du $n_2$ in Abhängigkeit von $n_1$ bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} n_1 + 4n_2 -8 n_1&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] n_2&=&\frac{7}{4}n_1 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Koordinaten von $\boldsymbol{\overrightarrow{n_E}}$ bestimmen
Du hast nun die Koordinaten von $\overrightarrow{n_E}$ in parametrisierter Form vorliegen:
$\overrightarrow{n_E} = \pmatrix{n_1\\\dfrac{7}{4}n_1\\-n_1}$
Setze für $n_1$ nun $1$ ein und du erhältst einen Normalenvektor der Ebene $E$:
$\overrightarrow{n_E} = \pmatrix{1\\\frac{7}{4}\\-1}$
3. Schritt: Koordinatengleichung von $\boldsymbol{E}$ bestimmen
Jetzt kannst du den Punkt $A$ in die Ebenengleichung einsetzen um $d$ zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} H:&=& 1n_1 + \frac{7}{4}n_2 -1n_3 &\quad \scriptsize \\[5pt] d&=& 1(-3) + \frac{7}{4}(2) -1(-1)&\quad \scriptsize \\[5pt] d&=& \frac{3}{2}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} d&=& \frac{3}{2}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Damit lautet die Koordinatengleichung der Ebene $H$:
$H:= 1n_1 + \frac{7}{4}n_2 -1n_3 = \frac{3}{2}$
2.3.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Eckpunkte eines Quadrates bestimmen
Du sollst die Eckpunkte des Quadrates $PQRS$ bestimmen, das in der $xy-$Ebene liegt. Du weißt, dass die Strecke $\overline{QS}$ eine Diagonale dieses Quadrates bestimmt. Die Punkte $Q$ und $S$ sind in der Aufgabenstellung gegeben. Du sollst die Punkte $R$ und $P$ bestimmen. Dazu kannst du folgendermaßen vorgehen:
  1. Stelle die Geradengleichung der Diagonalen $QS$ auf.
  2. Der Mittelpunkt des Rechtecks liegt genau auf der Hälfte der Strecke $QS$. Du kannst also $r$ = $\frac{1}{2}$ in die Geradengleichung einsetzen um den Mittelpunkt zu bestimmen.
  3. Jetzt kannst du die Länge der Strecke $MS$ oder $MQ$ bestimmen.
  4. Die Punkte $P$ und $R$ liegen auf einer Geraden die durch den Mittelpunkt $M$ des Rechtecks geht und die Gerade $QS$ senkrecht schneidet. Du kannst die Geradengleichung aufstellen indem du $M$ als Stützvektor benutzt. Die Richtung bestimmst du indem du das Skalarprodukt von $QS \circ PR$ = $0$ setzt. Die Länge der Richtungsvektoren entspricht denen der Strecke $MS$ bzw. $MQ$
  5. Die Punkte $P$ und $R$ kannst du ermitteln indem du für $r$ $1$ und $-1$ einsetzt.
1. Geradengleichung $QS$ aufstellen
Du kannst den Punkt $S$ als Stützvektor und die Strecke $QS$ als Richtungsvektor verwenden. $\overrightarrow{QS} = \pmatrix{3\\2\\0} + r\left( \pmatrix{7\\5\\0} -\pmatrix{3\\2\\0}\right)$
$\overrightarrow{QS} = \pmatrix{3\\2\\0} + r \pmatrix{4\\3\\0}$
2. Mittelpunkt bestimmen
Du setzt $r$ = $\frac{1}{2}$ in die Geradengleichung $QS$ ein um den Mittelpunkt zu bestimmen.
$\overrightarrow{QS} = \pmatrix{3\\2\\0} + r \pmatrix{4\\3\\0}$
$M = \pmatrix{3\\2\\0} + \frac{1}{2} \pmatrix{4\\3\\0}$
$M = \pmatrix{5\\3,5\\0} $
3. Länge der Geraden $MS$ bestimmen
Die Länge der Strecke $MS$ kannst du mit dem Satz des Phytagoras bestimmen. Du subtrahierst den Punkt $M$ vom Punkt $S.$
$\begin{array}[t]{rll} \mid MS \mid &=& \sqrt{(3-5)^2+(2-3,5)^2} &\quad \scriptsize \\[5pt] \mid MS \mid &=& 2,5 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \mid MS \mid &=& 2,5 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
4. Gerade $MR$,$MP$ aufstellen
$\begin{array}[t]{rll} QS \circ MP&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \pmatrix{4\\3\\0} \circ \pmatrix{a\\b\\0}&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] 4a +3b &=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] a &=& -\frac{3}{4}b& \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Um die Geradengleichung aufzustellen verwendest du $M$ als Stützvektor und den oben bestimmten Richtungsvektor. $\overrightarrow{MP} = \pmatrix{5\\3,5\\0} + r \pmatrix{-\frac{3}{4}a\\a\\0}$
Du kannst jetzt $a$ aus der Geradengleichung $MP$ bestimmen indem du den Betrag des Richtungsvektors von $MP$ gleich $2,5$ setzt. Dies liegt daran, dass alle Eckpunkte des Rechtecks gleichweit vom Mittelpunkt entfernt sind.
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{\left(-\frac{3}{4}a\right)^2+a^2}&=& 2,5 &\quad \scriptsize \\[5pt] \sqrt{-\frac{9}{16}a^2+a^2}&=& 2,5 &\quad \scriptsize \\[5pt] \sqrt{-\frac{25}{16}a^2}&=& 2,5 &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{5}{4}a&=& 2,5 &\quad \scriptsize \\[5pt] a &=& 2&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung der Strecke $MP$ lautet:
$\overrightarrow{MP} = \pmatrix{5\\3,5\\0} + r \pmatrix{-\frac{3}{4}a\\a\\0}$
$\overrightarrow{MP} = \pmatrix{5\\3,5\\0} + r \pmatrix{-\frac{3}{2}\\2\\0}$
Punkte $P$ und $R$ ermitteln
Da die Punkte $P$ und $R$ auf der Geraden $MP$ liegen und symmetrisch zum Punkt $M$ im Absand $2,5$ sind kannst du einfach für $r$ $1$ und $-1$ einsetzen um die Koordinaten von $P$ und $R$ zu bestimmen.
$R = \pmatrix{5\\3,5\\0} + 1 \pmatrix{-\frac{3}{2}\\2\\0}$
$R = \pmatrix{\frac{7}{2}\\\frac{11}{2}\\0} $
$P = \pmatrix{5\\3,5\\0} - 1 \pmatrix{-\frac{3}{2}\\2\\0}$
$P = \pmatrix{\frac{13}{2}\\\frac{3}{2}\\0}$
2.3.2
$\blacktriangleright$  Volumen des Pyramidenstumpfes bestimmen
Du sollst das Volumen des Pyramidenstumpfes $PQRSTUWV$ bestimmen. Dazu benutzt du folgende Formel:
$V = \dfrac{h}{3}\cdot(G + \sqrt{GD} + D)$
$V = \dfrac{h}{3}\cdot(G + \sqrt{GD} + D)$
Dabei ist $G$ der Inhalt der Grundfläche, $D$ der Inhalt der Deckfläche und $h$ die Höhe des Pyramidenstumpfes. Zur Berechnung kannst du in vier Schritten vorgehen:
1. Schritt: Flächeninhalt der Grundfläche berechnen
Bei der Grundfläche $PQRS$ handelt es sich um ein Quadrat, dessen Inhalt du mit folgender Formel berechnen kannst:
$A = a^2$
$A = a^2$
Dabei ist $a$ die Seitenlänge des Quadrats. Diese Seitenlänge entspricht der Länge, also dem Betrag der Seitenvektoren des Quadrats. Berechne also den Seitenvektor $\overrightarrow{PQ}$. Anschließend berechnest du den Betrag $a$ und daraus den Flächeninhalt.
$\overrightarrow{PQ} = \pmatrix{7\\5\\0} - \pmatrix{\dfrac{13}{2}\\ \dfrac{3}{2}\\0} = \pmatrix{\dfrac{1}{2}\\ \dfrac{7}{2} \\0}$
Den Betrag eines Vektors $\overrightarrow{a}$ berechnest du mit folgender Formel:
$\mid \overrightarrow{a} \mid = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$
$\mid \overrightarrow{a} \mid = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$
Für die Seitenlänge erhältst du somit:
$\sqrt{\left(\dfrac{1}{2} \right)^2 + \left( \dfrac{7}{2} \right)^2} = \sqrt{\dfrac{50}{4}}$
Mit der Flächenformel für ein Quadrat erhältst du den Inhalt der Grundfläche
$G = \sqrt{\dfrac{50}{4}}^2 = 12,5 \, \text{Flächeneinheiten} = 12,5 \, \text{FE}$
$G = 12,5$
2. Schritt: Höhe des Pyramidenstumpfes berechnen
Zur Berechnung der Höhe des Pyramidenstumpfes verwendest du, dass die Grundfläche in der $xy-$ Ebene liegt und der Pyramidenstumpf gerade ist, dass also jeder Punkt der Deckfläche denselben Abstand zur Grundfläche hat.
Dieser Abstand entspricht der Höhe $h$ des Stumpfes.
Betrachte also den Eckpunkt $U$ der Deckfläche. Dieser Punkt ist zur $xy-$ Ebene um $5 \, \text{LE}$ in positive $z-$ Richtung verschoben. Da die Fläche $PQRS$ in der $xy-$ Ebene liegt, beträgt der Abstand des Punktes von der Grundfläche also ebenfalls $5$.
Damit ist die Höhe des Pyramidenstumpfes $h = 5 \, \text{LE}$.
3. Schritt: Inhalt der Deckfläche berechnen
Um die Deckfläche zu berechnen benötigst du die Länge der Diagonale $\overline{WU}$ des Quadrates $TUVW$. Für den Flächeninhalt eines Quadrates $A$ mit der Diagonale $d$ gilt:
$A = \dfrac{d^2}{2}$
$A = \dfrac{d^2}{2}$
Die Länge der Diagonalen $\overline{WU}$ entspricht der Länge des Vektors $\overrightarrow{WU}$. Also musst du disen Vektor aus den Koordinaten der Punkte $W$ und $U$ berechnen.
Die Koordinaten von $U$ sind dir bereits bekannt. Um die Koordinaten von $W$ zu berechnen, machst du dir eine Skizze der Pyramide in der Sicht auf die Deckfläche.
Du erkennst, dass du den Punkt $W$ erhältst, indem du den Punkt $S$ in Richtung des Vektors $\overrightarrow{SW}$ verschiebst.
Die Vektoren $\overrightarrow{SW}$ und $\overrightarrow{UQ}$ haben die gleichen $x-$ und $y-$ Komponenten. Die $z-$Komponente des Vektors $\overrightarrow{SW}$ ist jedoch die negative $z-$Komponente des Vektors $\overrightarrow{UQ}$.
Folglich gilt für die Komponenten von $\overrightarrow{SW}$:
$\overrightarrow{SW} = \pmatrix{(SW)_1\\(SW)_2\\(SW)_3} = \pmatrix{(UQ)_1\\(UQ)_2\\-(UQ)_3}$
Berechne $\overrightarrow{QU}$.
$\overrightarrow{UQ} = \pmatrix{7-6\\ 5- \dfrac{17}{4}\\0 - 5} = \pmatrix{1\\\dfrac{3}{4}\\-5}$
Daraus kannst du die Komponenten von $\overrightarrow{SW}$ berechnen.
$\overrightarrow{SW} = \pmatrix{1\\\dfrac{3}{4}\\5} $
Berechne nun die Verschiebung des Punktes $S$ in Richtung dieses Vektors. So erhältst du die Komponenten von $\overrightarrow{OW}$:
$\overrightarrow{OW} = \overrightarrow{OS} + \overrightarrow{SW} = \pmatrix{3 + 1 \\ 2 + \dfrac{3}{4} \\ 0 + 5} = \pmatrix{4 \\ \dfrac{11}{4} \\ 5} $
$\overrightarrow{OW} = \pmatrix{4 \\ \dfrac{11}{4} \\ 5} $
Nun kannst du die Länge der Diagonalen ermitteln, indem du den Betrag des Vektors $\overrightarrow{WU}$ berechnest.
$d = \sqrt{(6-4)^2 + (\dfrac{17}{4} - \dfrac{11}{4})^2 + (5-5)^2} = \frac{5}{2} \, \text{LE}$
$d = …$
Eingesetzt in die Formel für den Flächeinhalt eines Quadrats erhältst du:
$A = \dfrac{\left(\frac{5}{2}\right)^2}{2} = 3,125 \, \text {FE}$
4. Schritt: Volumen der Pyramide berechnen
Du kennst nun die notwenidgen Größen zur Berechnung des Volumens des Pyramidenstumpfes. Setze diese in die Formel ein, um das Volumen zu ermitteln.
$V = \dfrac{5}{3} \cdot (12,5 + \sqrt{12,5 \cdot 3,125) } + 3,125= 36,46 \, \text{Volumeneinheiten} = 36,46 \, \text{VE}$
$V = 36,46 \, \text{VE}$
Folglich beträgt das Volumen des Pyramidenstumpfes $PQRSTUVW$ $36,46 \, \text{VE}$.
2.3.3
$\blacktriangleright$  Koordinaten eines Punktes bestimmen
Du sollst die Koordinaten eines Punktes auf der Geraden $k$ ermitteln, der zu allen Eckpunkten des Stumpfes denselben Abstand besitzt.
Dazu gehst du in drei Schritten vor: ermittle als erstes den Mittelpunkte $M$ der Grundfläche. Stelle als zweites die Geradengleichung für $k$ auf. Löse zuletzt unter Einbeziehung der Symmetrie des Pyramidenstumpfes eine Gleichung für den Abstand eines allgemeinen Punktes auf $k$ von den Eckpunkten des Pyramidenstumpfes.
1. Schritt: Koordinaten des Mittelpunktes bestimmen
Die Koordinaten dieses Punktes $M$ kannst du bestimmten, indem du die Diagonale der Grundfläche betrachtest.
Die Mittelpunkte eines Quadrates liegen in der Mitte der Diagonalen des Quadrates. Verschiebe also den Eckpunkt $Q$ um die Hälfte des Diagonalvektors.
Mit dem Diagonalvektor $\overrightarrow{QS}$ der Grundfläche erhältst du:
$\overrightarrow{OM_1} = \overrightarrow{OQ} + \dfrac{1}{2} \cdot \overrightarrow{QS} = \pmatrix{7 - 2\\ 5 - \dfrac{3}{2} \\ 0 - 0} = \pmatrix{5 \\ \dfrac{7}{2} \\0}$
$\overrightarrow{OM_1} = \pmatrix{5 \\ \dfrac{7}{2} \\0}$
2. Schritt: Geradengleichung bestimmen
Du sollst die Geradengleichung $k$ durch die Mittelpunkte der Grund- und Deckfläche aufstellen. Da es sich um einen gerade Pyramidenstumpf handelt und beide Flächen parallel zur $xy-$ Ebene verlaufen, sind diese beiden Punkte durch einen Vektor in $z-$ Richtung verbunden, den du als Richtungsvektor verwenden kannst.
Wähle also für den Stützvektor $\overrightarrow{OM}$ und für den Richtungsvektor den Einheitsvektor in $z-$Richtung
Damit erhältst du die Gleichung:
$k: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{OM} + r \cdot \overrightarrow{e_z} = \pmatrix{5 \\ \dfrac{7}{2} \\0} + r \cdot \pmatrix{0\\0\\1}$
$k: $
3. Schritt: Lage des Punktes bestimmen
Betrachte nun einen allgemeinen Punkt auf der Geraden mit dem Ortsvektor $\overrightarrow{x}$. Die Gerade $k$ verläuft durch die Symmetrieachse des Pyramidenstumpfes.
Wenn also ein Punkt auf der Geraden zum Eckpunkt $S$ der Grundfläche denselben Abstand hat wie zum Eckpunkt $U$ der Deckfläche, so hat er zu allen anderen Eckpunkten denselben Abstand, weil du die Pyramide beliebig um die Gerade $k$ gedreht werden kann.
Betrachte nun den Abstand zwischen $\overrightarrow{x}$ und $S$, sowie den Abstand zwischen $\overrightarrow{x}$ und $U$.
Der Abstand zwischen zwei Punkten ist der Betrag ihres Verbindungsvektors. Der Verbindungsvektor zwischen dem gesuchten Punkt und $S$ hat also dieselbe Länge wie der Verbindungsvektor zwischen dem gesuchten Punkt und $U$.
$\vert \overrightarrow{x} - \overrightarrow{OS} \vert = \vert \overrightarrow{x} - \overrightarrow{OU} \vert$
Diese Gleichung kannst du nach dem Parameter $r$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{(5-3)^2 + (\dfrac{7}{2}-2)^2 + r^2}&=&\sqrt{(5-6)^2+ (\dfrac{17}{4}- \dfrac{7}{2})^2+(r-5)^2} &\quad \scriptsize \mid ()^2\; \\[5pt] 4 + 2,25 + r^2&=&1+ 0,75^2 + r^2 -10r + 25 \quad \scriptsize \mid -r^2 \mid -25 \mid -0,75^2 \mid -1 \; \\[5pt] 4 + 2,25 + r^2&=&1+ 0,75^2 + r^2 -10r + 25 \quad \scriptsize \mid -r^2 \mid -25 \mid -0,75^2 \; \\[5pt] -20,3125&=&-10r\quad \scriptsize \mid :(-10) \; \\[5pt] r&\approx&2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} r&\approx&2 \end{array}$
Setze diese Lösung nun in die Geradengleichung ein und du erhältst die Koordinaten des gesuchten Punktes.
$\overrightarrow{x} = \pmatrix{5 \\ \dfrac{7}{2} \\0} + 2 \cdot \pmatrix{0\\0\\1} = \pmatrix{5 \\ \dfrac{7}{2} \\2}$
Also sind die Koordinaten des gesuchten Punktes auf der Geraden $k$, der zu allen Eckpunkten des Pyramidenstumpfes $PQRSTUVW$ denselben Abstand hat $(5 \mid \dfrac{7}{2} \mid 2)$.
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