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Pflichtaufgabe A0

Aufgaben
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1 Analysis
Gegeben ist der Graph einer ganzrationalen Funktion $f$ dritten Grades.
1.1
(2P)
1.2
Begründe, dass $f$ nicht durch die Gleichung $y=-\frac{1}{3}x^3+x^2-2$ beschrieben wird.
(2P)
2 Analysis
Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=\frac{2}{3}x^3+x^2+1$ und $x\in\mathbb{R}$.
2.1
Der Graph der Funktion besitzt einen Hochpunkt.
Berechne seine Koordinaten.
(4P)
2.2
Bestimme den größten Funktionswert der Funktion $f$ im Intervall $[-1;1]$
(2P)
3 Analytische Geometrie
Gegeben sind die Punkte $A(-2\mid0\mid1)$, $B(-1\mid1\mid2)$, $P(1\mid3\mid4)$ und $Q_z(2\mid1\mid z)$.
3.1
Untersuche, ob der Punkt $P$ auf der Strecke $AB$ liegt.
(3P)
3.2
Betrachtet werden die Geraden $AB$ und $BQ_z$.
Bestimme den Wert von $z$, sodass die Geraden senkrecht zueinander verlaufen.
(2P)
4 Stochastik
In einer großen Lieferung von Smartphonedisplays sind erfahrungsgemäß $5\,\%$ defekt.
4.1
Es werden $200$ Stück zufällig ausgewählt.
Berechne die Anzahl der defekten Displays, die zu erwarten sind.
(1P)
4.2
Aus der Lieferung werden zwei Displays zufällig ausgewählt und auf ihre Funktionstüchtigkeit überprüft.
Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
A: Mindestens ein Display ist defekt.
Gib eine Formulierung für das Gegenereignis zu A und dessen Wahrscheinlichkeit an.
(4P)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Tipps
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1.1
$\blacktriangleright$ Graphen einer Ableitungsfunktion skizzieren
Für die Skizze des Graphen einer Ableitungsfunktion orientierst du dich an folgenden Regeln
  • Fällt/Steigt der Graph der Funktion $f$, befindet sich der Graph von $f'$ unterhalb/oberhalb der $y-$ Achse.
  • Hat der Graph der Funktion $f$ eine Extremstelle, schneidet der Graph von $f'$ an dieser Stelle die $y-$ Achse.
I Fällt/Steigt der Graph der Funktion $f$, sind befindet sich der Graph von $f'$ unterhalb/oberhalb der $y-$ Achse.
II Hat der Graph der Funktion $f$ eine Extremstelle, schneidet der Graph von $f'$ an dieser Stelle die $y-$ Achse.
1.2
$\blacktriangleright$ Funktionsterm abgleichen
In diesem Aufgabenteil musst du begründen, warum die dargestellte Funktion nicht durch die Gleichung $y = \dfrac{-1}{3} x^3 + x^2 - 2 $ beschrieben werden kann.
Leite dazu die Funktion nach $x$ ab und überprüfe sie auf Extremstelle; finde also die $x-$Werte, an denen die Ableitung gleich Null ist.
2.1
$\blacktriangleright$ Koordinaten eines Hochpunktes berechnen
Du sollst den Hochpunkt des Graphen der Funktion bestimmen, die durch die Gleichung
$f(x) = \dfrac{2}{3} \cdot x^3 + x^2 + 1 $
beschrieben werden kann.
Leite dazu die Funktion ab und überpüfe sie auf Extremstellen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f''(x_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f''(x_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $f'$ und $f''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $f$ an den Extremstellen.
2.2
$\blacktriangleright$ Lokales Maximum berechnen
Nun sollst du den größten Funktionswert im Intervall $[-1,1]$ berechnen. Dazu nutzt du das Wissen, dass die Funktion bei $x = 0$ ein lokales Minimum und bei $x = - 1$ ein lokales Maximum annimmt.
Das bedeutet, dass der Graph der Funktion im Intervall $[0, \infty[$ monoton wächst.
Weil die Funktion bei $x=-1$ ein lokales Maximum annimmt, fällt $f$ im Intervall $[-1,0]$ monoton.
Anschaulich fällt der Graph der Funktion von $-1$ bis $0$ und steigt von $0$ bis $1$. Also musst du die Funktionswerte $f(-1)$ und $f(1)$ vergleichen, da nur einer von diesen ein lokales Maximum darstellen kann.
3.1
$\blacktriangleright$ Berechnung der Lage eines Punktes
In dieser Aufgabe sind dir die Punkte $A,B,P,Q_z$ vorgegeben. Du sollst nun prüfen, ob der Punkt $P$ auf der Strecke $\overline{AB}$ liegt. Lege dazu eine Gerade durch die Punkte $A$ und $B$ und überprüfe, ob sich der Punkt auf der Gerade $g$ befindet.
3.2
$\blacktriangleright$ $z$-Komponente eines Punktes berechnen
Nun sollst du für $Q_z$ einen Wert für $z$ so berechnen, dass die Geraden senkrecht zueinander stehen. Nutze dazu folgende Bedingung
Stehen zwei Geraden senkrecht zueinander, so ist das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren Skalarprodukt Null.
Stehen zwei Geraden senkrecht zueinander, so ist das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren Skalarprodukt Null.
Du musst also einen Wert für $z$ finden, für den gilt
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BQ_z} = 0$
4.1
$\blacktriangleright$ Anteil defekter Displays berechnen
Du sollst den Anteil an Smartphonedisplays berechnen, die bei einer Stichprobe von $200$ Stück erwartungsgemäß defekt sind. Die Wahrscheinlichkeit eines Defekts beträgt $5 \%$.
Das bedeutet, dass unter einer beliebigen Menge $X$ von Handydisplays $5 \%$ defekte Handydisplays erwartet werden. Also werden von dieser Menge genau $\dfrac{5}{100}X$ defekte Handydisplays erwartet.
4.2
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit einer Mindestanzahl defekter Handydisplays berechnen
Es werden zwei Handys ausgewählt. Du sollst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass mindestens eines davon ein defektes Display hat.
Nutze dazu die Formel
$P(X \cup Y) = P(X) + P(Y)$
$P(X \cup Y) = P(X) + P(Y)$
Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Vereinigungsmenge zweier Ereignisse gerade der Summe der Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der Einzelereignisse entspricht.
Also musst du das Ereignis $A$:"mindestens ein Display ist defekt" umformulieren. Wenn mindestens ein Display defekt sein soll, dann gilt entweder
  • $X$: ein Display ist defekt
  • oder
  • $Y$: zwei Displays sind defekt.
$A$ ist also die Vereinigungsmenge von $X$ und $Y$.
Rechne nun $P(X)$ und $P(Y)$ aus. Das kannst du mithilfe der Bernoulli - Formel:
$P(T = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k+(1-p)^{n-k} $.
$P(T = k) $$= \binom{n}{k} \cdot p^k+(1-p)^{n-k} $.
Dabei ist $k$ die Anzahl der Treffer, $n$ die Anzahl der Versuche und $p$ die Trefferwahrscheinlichkeit und $\binom{n}{k}$ der Binomialkoeffizient.
$\blacktriangleright$ Gegenwahrscheinlichkeit berechnen
Hier sollst du das Gegenereignis von $A$ formulieren und dessen Wahrscheinlichkeit berechnen. Das Gegenereignis dazu, dass mindestens ein Handydisplay defekt ist, entspricht dem Ereignis, dass kein Handydisplay defekt ist.
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Gegenereignisses $\overline{X}$ zu dem Ereignis $X$ ist
$P(\overline{X}) = 1 - P(X)$
$P(\overline{X}) = 1 - P(X)$
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$ Graphen einer Ableitungsfunktion skizzieren
Für die Skizze des Graphen einer Ableitungsfunktion orientierst du dich an folgenden Regeln
  • Fällt/Steigt der Graph der Funktion $f$, befindet sich der Graph von $f'$ unterhalb/oberhalb der $y-$ Achse.
  • Hat der Graph der Funktion $f$ eine Extremstelle, schneidet der Graph von $f'$ an dieser Stelle die $y-$ Achse.
I Fällt/Steigt der Graph der Funktion $f$, sind befindet sich der Graph von $f'$ unterhalb/oberhalb der $y-$ Achse.
II Hat der Graph der Funktion $f$ eine Extremstelle, schneidet der Graph von $f'$ an dieser Stelle die $y-$ Achse.
Mit diesen Regeln erhältst du eine Skizze.
Pflichtaufgabe A0
Abb. 1: Skizze der ersten Ableitungsfunktion $g$ der Funktion $f$
Pflichtaufgabe A0
Abb. 1: Skizze der ersten Ableitungsfunktion $g$ der Funktion $f$
1.2
$\blacktriangleright$ Funktionsterm abgleichen
In diesem Aufgabenteil musst du begründen, warum die dargestellte Funktion nicht durch die Gleichung $y = \dfrac{-1}{3} x^3 + x^2 - 2 $ beschrieben werden kann.
Leite dazu die Funktion nach $x$ ab und überprüfe sie auf Extremstelle; finde also die $x-$Werte, an denen die Ableitung gleich Null ist.
Du erhältst:
$y' = -x^2 + 2x = x(-x+2) = 0$
Diese Gleichung hat die Lösungen $x_1 = 0$ und $x_2 = 2$
Am skizzierten Graph jedoch kannst du erkennen, dass die Funktion bei $x = 0$ kein Extremum hat. Folglich kann der skizzierte Funktionsgraph nicht durch die gegebene Gleichung beschrieben werden.
2.1
$\blacktriangleright$ Koordinaten eines Hochpunktes berechnen
Du sollst den Hochpunkt des Graphen der Funktion bestimmen, die durch die Gleichung
$f(x) = \dfrac{2}{3} \cdot x^3 + x^2 + 1 $
beschrieben werden kann.
Leite dazu die Funktion ab und überpüfe sie auf Extremstellen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f''(x_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f''(x_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $f'$ und $f''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $f$ an den Extremstellen.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& \dfrac{2}{3} \cdot x^3 + x^2 + 1&\quad \scriptsize \; \\[10pt] f'(x)&=&\dfrac{2}{3} \cdot 3 \cdot x^2 + 2 \cdot 1\cdot x &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& 2x^2+2x&\quad \scriptsize \; \\[10pt] f''(x)&=& 4x + 2 \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f''(x)&=& 4x + 2 \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $f'(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=&0 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] x^2+2x&=&0 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] x(2x+2)&=&0 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$
Aus der letzten Gleichung kannst du die Nullstellen $x_1 = 0$ und $x_2 = -1$ ablesen.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$f''(0) = 4 \cdot 0+ 2 = 2 > 0$
Das bedeutet, der Graph von $f$ hat an dieser Stelle einen Tiefpunkt.
$f''(-1) $$= 4 \cdot (-1) + 2 = -2< 0 $ Das bedeutet, der Graph von $f$ hat an dieser Stelle einen Hochpunkt.
4. Schritt: Funktionswerte berechnen
Setze zur Bestimmung der Koordinaten des Hochpunktes $x=-1$ in die Funktionsgleichung von $f$ ein.
$f(-1) = 2 \cdot (-1)^3 + (-1)^2 + 1 $$= \dfrac{4}{3}$
Damit ergeben sich die Koordinaten des Hochpunktes zu $(-1 \mid \dfrac{4}{3})$.
2.2
$\blacktriangleright$ Lokales Maximum berechnen
Nun sollst du den größten Funktionswert im Intervall $[-1,1]$ berechnen. Dazu nutzt du das Wissen, dass die Funktion bei $x = 0$ ein lokales Minimum und bei $x = - 1$ ein lokales Maximum annimmt.
Das bedeutet, dass der Graph der Funktion im Intervall $[0, \infty[$ monoton wächst.
Weil die Funktion bei $x=-1$ ein lokales Maximum annimmt, fällt $f$ im Intervall $[-1,0]$ monoton.
Anschaulich fällt der Graph der Funktion von $-1$ bis $0$ und steigt von $0$ bis $1$. Also musst du die Funktionswerte $f(-1)$ und $f(1)$ vergleichen, da nur einer von diesen ein lokales Maximum darstellen kann.
Rechne also
$f(-1) = \dfrac{4}{3}$
Vergleiche diesen Wert mit
$f(1) = \dfrac{8}{3}$
Es gilt $f(1) > f(-1)$ und der größte Wert, den die Funktion im Intervall $[-1,1]$ annimmt, beträgt $f(1) = \dfrac{8}{3}$.
3.1
$\blacktriangleright$ Berechnung der Lage eines Punktes
In dieser Aufgabe sind dir die Punkte $A,B,P,Q_z$ vorgegeben. Du sollst nun prüfen, ob der Punkt $P$ auf der Strecke $\overline{AB}$ liegt. Lege dazu eine Gerade durch die Punkte $A$ und $B$ und überprüfe, ob sich der Punkt auf der Gerade $g$ befindet.
Mit dem Richtungsvektor $\overrightarrow{AB}$ und dem Stützvektor $\overrightarrow{OA}$ erhältst du die Gleichung
$g: \overrightarrow{x} = \pmatrix{-2 \\ 0 \\1} + r \cdot \pmatrix{-1-(-2) \\ 1 - 0 \\ 2 - 1} = \pmatrix{-2 \\ 0 \\1} + r \cdot \pmatrix{1 \\ 1 \\ 1}$
$ g: \overrightarrow{x} = \dotsc$
Prüfe nun, ob der Punkt auf dieser Geraden liegt, also ob das LGS $\overrightarrow{OP} = \pmatrix{-2 \\ 0 \\1} + r \cdot \pmatrix{1 \\ 1 \\ 1}$ eine Lösung hat.
$\begin{array}[t]{rll} 1&=&-2 + r &\quad \\ 3&=& r &\quad \\ 4&=& 1 + r &\quad \\ \end{array}$
Aus der zweiten Gleichung erhältst du sofort $r = 3$. Setze diesen Wert nun in die beiden anderen Gleichungen ein und du erhältst
$\begin{array}[t]{rll} 1&=&-2 + 3 &\quad \\ 4&=& 1 + 3&\quad \\ \end{array}$
Folglich ist das LGS lösbar und der Punkt liegt auf der Geraden. Um zu überprüfen, ob der Punkt auch auf der Strecke liegt, berechne die Lösungen der Gleichung
$\overrightarrow{OA} = \pmatrix{-2 \\ 0 \\1} + r \cdot \pmatrix{1 \\ 1 \\ 1}$
und
$\overrightarrow{OB} = \pmatrix{-2 \\ 0 \\1} + r \cdot \pmatrix{1 \\ 1 \\ 1}$
Prüfe anschließend, ob der Parameter $r = 3$ innerhalb des von diesen Lösungen begrenzten Intervalls liegt. Ist dies der Fall, liegt der Punkt auf der Strecke.
Aus der ersten Gleichung erhältst du mit $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OA} + r \cdot \overrightarrow{AB}$ $r = 0$.
Das zweite LGS lautet
$\begin{array}[t]{rll} -1&=&-2 + r &\quad \\ 1&=& r &\quad \\ 2&=& 1 + r &\quad \\ \end{array}$
Aus der zweiten Zeile folgt sofort $r = 1$. Du musst nicht überprüfen, ob die restlichen Gleichungen erfüllt sind, da $B$ automatisch auf der Geraden liegt.
Da $3$ nicht innerhalb von $[1,3]$ liegt, liegt der Punkt nicht auf der Strecke.
3.2
$\blacktriangleright$ $z$-Komponente eines Punktes berechnen
Nun sollst du für $Q_z$ einen Wert für $z$ so berechnen, dass die Geraden senkrecht zueinander stehen. Nutze dazu folgende Bedingung
Stehen zwei Geraden senkrecht zueinander, so ist das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren Skalarprodukt Null.
Stehen zwei Geraden senkrecht zueinander, so ist das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren Skalarprodukt Null.
Du musst also einen Wert für $z$ finden, für den gilt
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BQ_z} = 0$
Rechne also
$\overrightarrow{AB} = \pmatrix{1 \\ 1 \\1 }$
und
$\overrightarrow{BQ_z} = \pmatrix{2- - 1 \\ 1 - 1 \\ z - 2} = \pmatrix{3 \\ 0 \\ z - 2}$
Berechne also das Skalaerprodukt von $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BQ_z$ in Abhängigkeit von $z$. Setze diesen Term gleich Null und löse ihn nach $z$ auf.
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BQ_z} = 3 + 1 \cdot(z-2) = 0$
Aus dieser Gleichung erhältst du den Wert $z = -1$. Folglich stehen die beiden Geraden für $z = -1$ senkrecht aufeinander.
4.1
$\blacktriangleright$ Anteil defekter Displays berechnen
Du sollst den Anteil an Smartphonedisplays berechnen, die bei einer Stichprobe von $200$ Stück erwartungsgemäß defekt sind. Die Wahrscheinlichkeit eines Defekts beträgt $5 \%$.
Das bedeutet, dass unter einer beliebigen Menge $X$ von Handydisplays $5 \%$ defekte Handydisplays erwartet werden. Also werden von dieser Menge genau $\dfrac{5}{100}X$ defekte Handydisplays erwartet.
Mit diesem Ansatz kannst du nun die erwartete Anzahl der defekten Handydisplays berechnen, indem du für $X = 200$ einsetzt.
$200 \cdot \dfrac{5}{100} = 10$
Also erwartet man bei einer Stichprobe von $200$ Handys $10$ defekte Displays.
4.2
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit einer Mindestanzahl defekter Handydisplays berechnen
Es werden zwei Handys ausgewählt. Du sollst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass mindestens eines davon ein defektes Display hat.
Nutze dazu die Formel
$P(X \cup Y) = P(X) + P(Y)$
$P(X \cup Y) = P(X) + P(Y)$
Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Vereinigungsmenge zweier Ereignisse gerade der Summe der Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der Einzelereignisse entspricht.
Also musst du das Ereignis $A$:"mindestens ein Display ist defekt" umformulieren. Wenn mindestens ein Display defekt sein soll, dann gilt entweder
  • $X$: ein Display ist defekt
  • oder
  • $Y$: zwei Displays sind defekt.
$A$ ist also die Vereinigungsmenge von $X$ und $Y$.
Rechne nun $P(X)$ und $P(Y)$ aus. Das tust du mithilfe der Bernoulli - Formel:
$P(T = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k+(1-p)^{n-k} $.
$P(T = k) $$= \binom{n}{k} \cdot p^k+(1-p)^{n-k} $.
Dabei ist $k$ die Anzahl der Treffer, $n$ die Anzahl der Versuche und $p$ die Trefferwahrscheinlichkeit und $\binom{n}{k}$ der Binomialkoeffizient.
In diesem Fall ist die Anzahl der Treffer die Anzahl der defekten Displays. Die Anzahl der Versuche ist $2$ und die Trefferwahrscheinlichkeit entspricht $0,05$.
Rechne also:
$P(X) = P(T = 1) = \binom{2}{1}\cdot 0,05 \cdot (1-0,05) = \dfrac{2!}{(2-1)! \cdot 1!} \cdot 0,05 \cdot 0,95 = 0,095 $.
$P(X) = 0,095$
und
$P(Y) = P(T=2) = 0,05 \cdot 0,05 = \dfrac{2!}{(2-2)! \cdot 0!} \cdot 0,05 \cdot 0,05 = 0,0025 $
$ P(Y) = 0,0025$
Mit der Formel von oben berechnest du die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens ein Handydisplay defekt ist
$P(A) = P(X \cup Y) = 0,095+0,0025 = 0,0975 $
$P(A) = 0,0975$
Folglich ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens ein Handydisplay defekt ist $9,75 \%$.
$\blacktriangleright$ Gegenwahrscheinlichkeit berechnen
Hier sollst du das Gegenereignis von $A$ formulieren und dessen Wahrscheinlichkeit berechnen. Das Gegenereignis dazu, dass mindestens ein Handydisplay defekt ist, entspricht dem Ereignis, dass kein Handydisplay defekt ist.
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Gegenereignisses $\overline{X}$ zu dem Ereignis $X$ ist
$P(\overline{X}) = 1 - P(X)$
$P(\overline{X}) = 1 - P(X)$
Rechen also
$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.0975 = 0,9025$.
$P(\overline{A}) = 0,9025$
Folglich ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein Handydisplay defekt ist, $90,25 \%$.
Bildnachweise [nach oben]
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