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Wahlteil A1

Aufgaben
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1.
Der Verlauf einer Küstenlinie soll in einem geeigneten kartesischen Koordinatensystem durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion 4. Grades beschrieben werden. Dazu wurden die Koordinaten einiger Punkte ermittelt:
$A\ (0 \ |\ 5)$, $B\ (5\ |\ 2)$, $C\ (7\ |\ 1,4)$, $D\ (10\ |\ 3)$ und $E\ (13\ |\ 1,8)$.
Die Ordinatenachse des Koordinatensystems zeigt nach Norden.
Eine Einheit entspricht einem Kilometer.
1.1
Bestimme eine Gleichung einer solchen Funktion.
1.2
Verwende für alle folgenden Aufgaben die Funktion $f$ mit der Gleichung
$f(x)=\ -0,004x^4+0,1x^3-0,72x^2+x+5$
$f(x)=\ -0,004x^4+… $
mit x $\in$ $\mathbb{R}$. Der Graph von $f$ heißt $K$.
1.2.1
Berechne die Koordinaten und die Art der Extrempunkte, die Lage der Wendepunkte von $K$ sowie die Nullstellen von $f$.
Zeichne $K$ im Intervall $-2$ $\leq$ $x$ $\leq$ $14$.
1.2.2
Genau aus Nordost weht ein heftiger Wind.
Ermittle rechnerisch die Koordinaten der Punkte, in denen der Wind senkrecht auf die Küste trifft.
Im Punkt $T\ (10\ |\ 6)$ befindet sich Treibgut.
Bestimme die Koordinaten des Punktes, in dem es die Küste erreicht, wenn nur der konstant wehende Wind die Bewegung beeinflusst.
1.2.3
Die Gerade durch die Punkte $P\ (2\ |\ f(2))$ und $D$ sowie die Küstenlinie begrenzen ein Gebiet, welches für Motorboote gesperrt ist.
Berechne die Fläche des gesperrten Gebietes.
Bestimme die Länge der Küste von $P$ bis $D$.
Eine Gemeinde will für einen vier Kilometer langen Abschnitt der Küstenlinie $PD$ von $P$ aus gemessen die Verantwortung für Ordnung und Sicherheit übernehmen.
Ermittle, gegebenenfalls durch systematisches Probieren, die Koordinaten des zweiten Begrenzungspunktes auf der Küstenlinie.
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Tipps
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1.1
$\blacktriangleright$  Gleichung bestimmen
In dieser Aufgabe sollst die Gleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades bestimmen. Die allgemeine Form einer ganzrationalen Funktion vierten Grades lautet:
$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$
$f(x)=ax^4+bx^3$$+cx^2+dx+e$
Setze die Punkte $A(0\;|\;5)$, $B(5\;|\;2)$, $C(7\;|\;1,4)$, $D(10\;|\;3)$ und $E(13\;|\;1,8)$ in die allgemeine Form der Funktionsgleichung ein und löse die Gleichungen mit deinem Taschenrechner.
1.2.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten und Art der Extrempunkte berechnen
Du hast die Funktion $f$ gegeben und sollst deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f''(x_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f''(x_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $f'$ und $f''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $f$ an den Extremstellen.
$\blacktriangleright$  Lage der Wendepunkt berechnen
Die zweite Ableitung hast du in der Aufgabe zuvor schon berechnet. Setze diese mit Null gleich und löse die Gleichung nach x auf. Anschließend musst du überprüfen, ob $f'''(x)\neq0$ gilt. Gilt dies liegt an der Stelle $x$ ein Wendepunkt vor.
Nachdem du überprüft hast, dass es sich um Wendepunkte handelt, kannst du die $y$-Koordinate berechnen.
$\blacktriangleright$  Nullstellen berechnen
Die Nullstellen der Funktion f kannst du mit dem solve-Befehl berechnen. Setze dazu in den Taschenrechner $f(x)=0$ ein. Anschließend kannst du die $y$-Koordinate berechnen.
$\blacktriangleright$  Graphen der Funktion f skizzieren
Skizziere K im Intervall $-2<x<14$. Wichtig ist, dass die Extremstellen, Wendepunkt und Nullstellen eingezeichnet sind.
1.2.2
$\blacktriangleright$  Punkte berechnen, indem der Wind auf die Küste trifft
In dieser Aufgabe sollst du den Punkt berechnen, indem der Wind senkrecht auf die Küste K trifft. Der Wind soll dabei genau aus Nordost kommen. Die Geradengleichung $w(x)=x$ beschreibt die Richtung des Windes und hat die Steigung $m=1$. Der Wind trifft also genau in dem Punkt senkrecht auf die Küste, wenn die Tangente der Küste eine Steigung von $m=-1$ hat. Löse also mit deinem Taschenrechner die Gleichung $f'(x)=-1$.
$\blacktriangleright$  Berechnen, wo das Treibgut auf die Küste trifft
In dem Punkt $T(10\;|\;6)$ befindet sich Treibgut und du sollst berechnen in welchem Punkt das Treibgut die Küste erreicht. Der Wind weht wieder aus Nordost. Du musst dazu als erstes eine Gerade bilden die durch den Punkt T geht und die Steigung $m=1$ hat.
Jetzt kannst du den Schnittpunkt zwischen der Kurve K und der berechneten Geraden berechnen. Setze dazu die beiden Gleichungengleich und löse sie mit dem solve-Befehl nach x auf.
1.2.3
$\blacktriangleright$  Fläche des gesperrten Gebiets berechnen
Berechne dazu als erstes die Gerade g, danach die Schnittpunkte der Geraden g mit der Kurve K und berechne anschließend die Fläche zwischen der Geraden und der Küste.
$\blacktriangleright$  Länge der Küste zwischen P und D berechnen
Die Länge einer Kurve kannst du mit der Bogenlänge berechnen.
$s=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+[f'(x)]^2}\;\mathrm dx$
$s=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+[f'(x)]^2}\; \mathrm dx$
In diese Formel kannst du die Werte von der Aufgabe zuvor einsetzen und mit deinem Taschenrechner das Integral berechnen.
$\blacktriangleright$  Begrenzungspunkt der Küstenlinie ermitteln
In der Aufgabe zuvor hast du berechnet wie lange die Küstenlinie zwischen $x_1=2$ und $x_2=10$ ist. Die Länge war fast $10\;\text{km}$. Versuche nun den zweiten Begrenzungspunkt zu ermitteln, indem du zum Beispiel die Grenzen $a=2$ und $b_1=5$ und $b_2=4$ wählst.
Um ein genaueres Ergebnis zu erhalten kannst du $b$ mit dem solve-Befehl berechnen.
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Lösungen TI
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1.1
$\blacktriangleright$  Gleichung bestimmen
In dieser Aufgabe sollst die Gleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades bestimmen. Die allgemeine Form einer ganzrationalen Funktion vierten Grades lautet:
$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$
$f(x)=ax^4+bx^3$$+cx^2+dx+e$
Setze die Punkte $A(0\;|\;5)$, $B(5\;|\;2)$, $C(7\;|\;1,4)$, $D(10\;|\;3)$ und $E(13\;|\;1,8)$ in die allgemeine Form der Funktionsgleichung ein und löse die Gleichungen mit deinem Taschenrechner.
Wahlteil A1
Abb. 1: Gleichungen lösen
Wahlteil A1
Abb. 1: Gleichungen lösen
Du erhältst für $a=-0,0041$, $b=0,1015$, $c=-0,7336$, $d=1,0368$ und $e=5$. Diese Werte kannst du jetzt in die allgemeine Form der Funktionsgleichung einsetzen.
$K:\;f(x)=-0,0041x^4+0,1015x^3-0,7336x^2+1,0368x+5$
$K:\;f(x)= \dotsc$
Die Funktionsgleichung K der ganzrationalen Funktion vierten Grades lautet
$f(x)=-0,0041x^4+0,1015x^3-0,7336x^2+1,0368x+5$.
$f(x)= \dotsc$
1.2.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten und Art der Extrempunkte berechnen
Du hast die Funktion $f$ gegeben und sollst deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f''(x_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f''(x_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $f'$ und $f''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $f$ an den Extremstellen.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
Die Ableitungen kannst du mit deinem Taschenrechner berechnen.
menu $\longrightarrow$ 4: Analysis $\longrightarrow$ 1: Ableitung
menu $\longrightarrow$ 4: Analysis $\longrightarrow$ 1: Ableitung
Wahlteil A1
Abb. 2: Ableiten
Wahlteil A1
Abb. 2: Ableiten
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $f'(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen. Diese kannst du mit dem solve-Befehl berechnen:
Wahlteil A1
Abb. 3: notwendiges Kriterium
Wahlteil A1
Abb. 3: notwendiges Kriterium
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Setze die berechneten $x$-Werte in die zweite Ableitung der Funktion ein.
Wahlteil A1
Abb. 4: hinreichendes Kriterium
Wahlteil A1
Abb. 4: hinreichendes Kriterium
An den Stellen $x_1=0,832382$ und $x_2=11,2336$ hat der Graph der Funktion zwei Maximas und an der Stelle $x_3=6,68404$ ein Minimum.
4. Schritt: Funktionswerte berechnen Setze die $x$-Werte der Hoch- und Tiefpunkte in die Funktionsgleichug ein.
Wahlteil A1
Abb. 5: Funktionswerte berechnen
Wahlteil A1
Abb. 5: Funktionswerte berechnen
Die beiden Hochpunkte haben die Koordinaten $H1(0,838\:|\;5,389)$ und $H2(11,234\;|\;3,436)$ und der Tiefpunkt hat die Koordinaten $T(6,684\;|\;1,395)$
$\blacktriangleright$  Lage der Wendepunkt berechnen
Die zweite Ableitung hast du in der Aufgabe zuvor schon berechnet. Setze diese mit Null gleich und löse die Gleichung nach x auf.
An der Stelle $x_1=3,24$ und $x_2=9,26$ könnte der Graph der Funktion zwei Wendepunkte haben. Berechne mit deinem Taschenrechner die dritte Ableitung und setze die Werte für x ein. Ist $f'''(x)\neq0$ liegt ein Wendepunkt vor.
Wahlteil A1
Abb. 6: Überprüfen, ob Wendepunkt vorliegt
Wahlteil A1
Abb. 6: Überprüfen, ob Wendepunkt vorliegt
Nachdem du überprüft hast, dass es sich um Wendepunkte handelt, kannst du die $y$-Koordinate berechnen.
Die beiden Punkte $W1(3,24\;|\;3,64)$ und $W2(9,26\;|\;2,51)$ sind Wendepunkte vom Graph der Funktion f.
$\blacktriangleright$  Nullstellen berechnen
Die Nullstellen der Funktion f kannst du mit dem solve-Befehl berechnen. Setze dazu in den Taschenrechner $f(x)=0$ ein. Anschließend kannst du die $y$-Koordinate berechnen.
Der Graph der Funktion f hat an den Stellen $N1(−1,85\;|\;0)$ und $N2(13,64\;|\;0)$ zwei Nullstellen.
$\blacktriangleright$  Graphen der Funktion f skizzieren
Skizziere K im Intervall $-2<x<14$. Wichtig ist, dass die Extremstellen, Wendepunkt und Nullstellen eingezeichnet sind.
Wahlteil A1
Abb. 7: Skizze der Funktion f
Wahlteil A1
Abb. 7: Skizze der Funktion f
1.2.2
$\blacktriangleright$  Punkte berechnen, indem der Wind auf die Küste trifft
In dieser Aufgabe sollst du den Punkt berechnen, indem der Wind senkrecht auf die Küste K trifft. Der Wind soll dabei genau aus Nordost kommen. Die Geradengleichung $w(x)=x$ beschreibt die Richtung des Windes und hat die Steigung $m=1$. Der Wind trifft also genau in dem Punkt senkrecht auf die Küste, wenn die Tangente der Küste eine Steigung von $m=-1$ hat. Löse also mit deinem Taschenrechner die Gleichung $f'(x)=-1$.
Wahlteil A1
Abb. 8: Punkte, in denen der Wind senkrecht auf die Küste trifft
Wahlteil A1
Abb. 8: Punkte, in denen der Wind senkrecht auf die Küste trifft
In den Punkten $P1(2,61\;|\;3,29)$, $P2(3,91\;|\;2,94)$ und $P3(12,22\;|\;2,98)$ trifft der Wind aus Nordost senkrecht auf die Küste.
$\blacktriangleright$  Berechnen, wo das Treibgut auf die Küste trifft
In dem Punkt $T(10\;|\;6)$ befindet sich Treibgut und du sollst berechnen in welchem Punkt das Treibgut die Küste erreicht. Der Wind weht wieder aus Nordost. Du musst dazu als erstes eine Gerade bilden die durch den Punkt T geht und die Steigung $m=1$ hat.
$t(x)=1\cdot x + c $
Setzte die Koordinaten vom Punkt T in die Gleichung ein und berechne c.
$\begin{array}[t]{rll} 6&=&1\cdot10 +c &\quad \scriptsize \mid\; -10\\[5pt] -4&=&c \end{array}$
Die Geradengleichung lautet dann: t(x)=x-4
Jetzt kannst du den Schnittpunkt zwischen der Kurve K und der Geraden t(x) berechnen. Setze dazu die beiden Gleichungengleich und löse sie mit dem solve-Befehl nach x auf.
$\begin{array}[t]{rll} -0,004x^4+0,1x^3-0,72x^2+x-5&=& x-4 &\quad \scriptsize \mid\; -x \mid\; +4\\[5pt] -0,004x^4+0,1x^3-0,72x^2+9&=&0 \end{array}$
$-0,004x^4+$$0,1x^3-0,72x^2+9 $$= 0$
An der Stelle $x_1=−2,93121$ und $x_2=5,63331$ trifft das Treibgut auf die Küste. Da der negative $x$-Wert unterhalb der Kurve liegt, kann das Treibgut dort nicht auftreffen.
Setze also den Wert für $x_2$ in die Geradengleichung ein, um den $y$-Wert des gesuchten Punktes zu berechnen.
In dem Punkt $T'(5,63\;|\;1,63)$ trifft das Treibgut auf die Küste.
1.2.3
$\blacktriangleright$  Fläche des gesperrten Gebiets berechnen
Berechne dazu als erstes die Gerade g, danach die Schnittpunkte der Geraden g mit der Kurve K und berechne anschließend die Fläche zwischen der Geraden und der Küste.
1. Schritt: Gerade g berechnen
$\begin{array}{} \text{I}\quad&4,856&=&m\cdot 2+c\\ \text{II}\quad&3&=&m\cdot 10 +c\quad\\ \end{array}$
Dieses Gleichungssystem kannst du mit deinem Taschenrechner lösen.
Du erhältst für $m=-0,232$ und für $c=5,32$. Die Geradengleichung lautet somit $g(x)=-0.232x+5,32$.
2. Schritt: Schnittpunkte berechnen
Da die beiden Punkte D und P sowohl auf der Kurve K als auch auf der Geraden g liegen, sind diese beiden Punkte auch die gesuchten Schnittpunte zwischen der Kurve K und der Geraden g. Die beiden Schnittpunkte haben die $x$-Koordinate $x=2$ und $x=10$.
Die Grenzen für die Berechnung de Integral liegen bei $a=2$ und $b=10$.
3. Schritt: Fläche berechnen
Da die Größe der gesuchten Fläche zwischen der Kurve K und der Geraden g liegt, musst du die Fläche zwischen der Kurve K und der Geraden g berechnen. Mit deinem Taschenrechner kannst du den Flächeninhalt berechnen.
menu $\longrightarrow$ 4: Analysis $\longrightarrow$ 3:Integral
menu $\longrightarrow$ 4: Analysis $\longrightarrow$ 3:Integral
Wahlteil A1
Abb. 9: Flächeninhalt berechnen
Wahlteil A1
Abb. 9: Flächeninhalt berechnen
Das gesperrte Gebiet hat eine Fläche von $11,88\;\text{km}^2$
$\blacktriangleright$  Länge der Küste zwischen P und D berechnen
Die Länge einer Kurve kannst du mit der Bogenlänge berechnen.
$s=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+[f'(x)]^2}\;\mathrm dx$
Tipp
$s=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+[f'(x)]^2}\; \mathrm dx$
In diese Formel kannst du die Werte von der Aufgabe zuvor einsetzen und mit deinem Taschenrechner das Integral berechnen.
Wahlteil A1
Abb. 10: Bogenlänge berechnen
Wahlteil A1
Abb. 10: Bogenmaß berechnen
Die Küste zwischen P und D ist $9,71\;\text{km}$ lang.
$\blacktriangleright$  Begrenzungspunkt der Küstenlinie ermitteln
In der Aufgabe zuvor hast du berechnet wie lange die Küstenlinie zwischen $x_1=2$ und $x_2=10$ ist. Die Länge war fast $10\;\text{km}$. Versuche nun den zweiten Begrenzungspunkt zu ermitteln, indem du zum Beispiel die Grenzen $a=2$ und $b_1=5$ und $b_2=4$ wählst.
Wahlteil A1
Abb. 11: Länge der Küste berechnen
Wahlteil A1
Abb. 11: BLänge der Küste berechnen
Für $x=5$ ist die Küstenlinie ungefähr $4\;\text{km}$ lang. Der zweite Begrenzungspunkt hat somit die Koordinaten $B2(5\;|\;2)$
Um ein genaueres Ergebnis zu erhalten kannst du $b$ mit dem solve-Befehl berechnen.
Wahlteil A1
Abb. 12: Begrenzungspunkt berechnen
Wahlteil A1
Abb. 12: Begrenzungspunkt berechnen
Der zweite Begrenzungspunkt hat somit die Koordinaten $B1(4,88\;|\;2,09)$
Bildnachweise [nach oben]
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© 2016 – SchulLV.
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1.1
$\blacktriangleright$  Gleichung bestimmen
In dieser Aufgabe sollst die Gleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades bestimmen. Die allgemeine Form einer ganzrationalen Funktion vierten Grades lautet:
$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$
$f(x)=ax^4+bx^3$$+cx^2+dx+e$
Setze die Punkte $A(0\;|\;5)$, $B(5\;|\;2)$, $C(7\;|\;1,4)$, $D(10\;|\;3)$ und $E(13\;|\;1,8)$ in die allgemeine Form der Funktionsgleichung ein und löse die Gleichungen mit deinem Taschenrechner.
Wahlteil A1
Abb. 1: Gleichungen lösen
Wahlteil A1
Abb. 1: Gleichungen lösen
Du erhältst für $a=-0,0041$, $b=0,1015$, $c=-0,7336$, $d=1,0368$ und $e=5$. Diese Werte kannst du jetzt in die allgemeine Form der Funktionsgleichung einsetzen.
$K:\;f(x)=-0,0041x^4+0,1015x^3-0,7336x^2+1,0368x+5$
$K:\;f(x)= \dotsc$
Die Funktionsgleichung K der ganzrationalen Funktion vierten Grades lautet
$f(x)=-0,0041x^4+0,1015x^3-0,7336x^2+1,0368x+5$.
$ f(x)= \dotsc$
1.2.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten und Art der Extrempunkte berechnen
Du hast die Funktion $f$ gegeben und sollst deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f''(x_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f''(x_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $f'$ und $f''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $f$ an den Extremstellen.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
Die Ableitungen kannst du mit deinem Taschenrechner berechnen.
Wahlteil A1
Abb. 2: Ableiten
Wahlteil A1
Abb. 2: Ableiten
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $f'(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen. Diese kannst du mit dem solve-Befehl berechnen:
Wahlteil A1
Abb. 3: notwendiges Kriterium
Wahlteil A1
Abb. 3: notwendiges Kriterium
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Setze die berechneten $x$-Werte in die zweite Ableitung der Funktion ein.
Wahlteil A1
Abb. 4: hinreichendes Kriterium
Wahlteil A1
Abb. 4: hinreichendes Kriterium
An den Stellen $x_1=0,832382$ und $x_2=11,2336$ hat der Graph der Funktion zwei Maximas und an der Stelle $x_3=6,68404$ ein Minimum.
4. Schritt: Funktionswerte berechnen Setze die $x$-Werte der Hoch- und Tiefpunkte in die Funktionsgleichug ein.
Wahlteil A1
Abb. 5: Funktionswerte berechnen
Wahlteil A1
Abb. 5: Funktionswerte berechnen
Die beiden Hochpunkte haben die Koordinaten $H1(0,838\:|\;5,389)$ und $H2(11,234\;|\;3,436)$ und der Tiefpunkt hat die Koordinaten $T(6,684\;|\;1,395)$
$\blacktriangleright$  Lage der Wendepunkt berechnen
Die zweite Ableitung hast du in der Aufgabe zuvor schon berechnet. Setze diese mit Null gleich und löse die Gleichung nach x auf.
An der Stelle $x_1=3,24$ und $x_2=9,26$ könnte der Graph der Funktion zwei Wendepunkte haben. Berechne mit deinem Taschenrechner die dritte Ableitung und setze die Werte für x ein. Ist $f'''(x)\neq0$ liegt ein Wendepunkt vor.
Wahlteil A1
Abb. 6: Überprüfen, ob Wendepunkt vorliegt
Wahlteil A1
Abb. 6: Überprüfen, ob Wendepunkt vorliegt
Nachdem du überprüft hast, dass es sich um Wendepunkte handelt, kannst du die $y$-Koordinate berechnen.
Die beiden Punkte $W1(3,24\;|\;3,64)$ und $W2(9,26\;|\;2,51)$ sind Wendepunkte vom Graph der Funktion f.
$\blacktriangleright$  Nullstellen berechnen
Die Nullstellen der Funktion f kannst du mit dem solve-Befehl berechnen. Setze dazu in den Taschenrechner $f(x)=0$ ein. Anschließend kannst du die $y$-Koordinate berechnen.
Der Graph der Funktion f hat an den Stellen $N1(−1,85\;|\;0)$ und $N2(13,64\;|\;0)$ zwei Nullstellen.
$\blacktriangleright$  Graphen der Funktion f skizzieren
Skizziere K im Intervall $-2<x<14$. Wichtig ist, dass die Extremstellen, Wendepunkt und Nullstellen eingezeichnet sind.
Wahlteil A1
Abb. 7: Skizze der Funktion f
Wahlteil A1
Abb. 7: Skizze der Funktion f
1.2.2
$\blacktriangleright$  Punkte berechnen, indem der Wind auf die Küste trifft
In dieser Aufgabe sollst du den Punkt berechnen, indem der Wind senkrecht auf die Küste K trifft. Der Wind soll dabei genau aus Nordost kommen. Die Geradengleichung $w(x)=x$ beschreibt die Richtung des Windes und hat die Steigung $m=1$. Der Wind trifft also genau in dem Punkt senkrecht auf die Küste, wenn die Tangente der Küste eine Steigung von $m=-1$ hat. Löse also mit deinem Taschenrechner die Gleichung $f'(x)=-1$.
Wahlteil A1
Abb. 8: Punkte, in denen der Wind senkrecht auf die Küste trifft
Wahlteil A1
Abb. 8: Punkte, in denen der Wind senkrecht auf die Küste trifft
In den Punkten $P1(2,61\;|\;3,29)$, $P2(3,91\;|\;2,94)$ und $P3(12,22\;|\;2,98)$ trifft der Wind aus Nordost senkrecht auf die Küste.
$\blacktriangleright$  Berechnen, wo das Treibgut auf die Küste trifft
In dem Punkt $T(10\;|\;6)$ befindet sich Treibgut und du sollst berechnen in welchem Punkt das Treibgut die Küste erreicht. Der Wind weht wieder aus Nordost. Du musst dazu als erstes eine Gerade bilden die durch den Punkt T geht und die Steigung $m=1$ hat.
$t(x)=1\cdot x + c $
Setzte die Koordinaten vom Punkt T in die Gleichung ein und berechne c.
$\begin{array}[t]{rll} 6&=&1\cdot10 +c &\quad \scriptsize \mid\; -10\\[5pt] -4&=&c \end{array}$
Die Geradengleichung lautet dann: t(x)=x-4
Jetzt kannst du den Schnittpunkt zwischen der Kurve K und der Geraden t(x) berechnen. Setze dazu die beiden Gleichungengleich und löse sie mit dem solve-Befehl nach x auf.
$\begin{array}[t]{rll} -0,004x^4+0,1x^3-0,72x^2+x-5&=&x-4 &\quad \scriptsize \mid\; -x \mid\; +4\\[5pt] -0,004x^4+0,1x^3-0,72x^2+9&=&0 \end{array}$
$-0,004x^4+0,1x^3$$-0,72x^2+9=0$
An der Stelle $x_1=−2,93121$ und $x_2=5,63331$ trifft das Treibgut auf die Küste. Da der negative $x$-Wert unterhalb der Kurve liegt, kann das Treibgut dort nicht auftreffen.
Setze also den Wert für $x_2$ in die Geradengleichung ein, um den $y$-Wert des gesuchten Punktes zu berechnen.
In dem Punkt $T'(5,63\;|\;1,63)$ trifft das Treibgut auf die Küste.
1.2.3
$\blacktriangleright$  Fläche des gesperrten Gebiets berechnen
Berechne dazu als erstes die Gerade g, danach die Schnittpunkte der Geraden g mit der Kurve K und berechne anschließend die Fläche zwischen der Geraden und der Küste.
1. Schritt: Gerade g berechnen
$\begin{array}{} \text{I}\quad&4,856&=&m\cdot 2+c\\ \text{II}\quad&3&=&m\cdot 10 +c\quad\\ \end{array}$
Dieses Gleichungssystem kannst du mit deinem Taschenrechner lösen.
Du erhältst für $m=-0,232$ und für $c=5,32$. Die Geradengleichung lautet somit $g(x)=-0.232x+5,32$.
2. Schritt: Schnittpunkte berechnen
Da die beiden Punkte D und P sowohl auf der Kurve K als auch auf der Geraden g liegen, sind diese beiden Punkte auch die gesuchten Schnittpunte zwischen der Kurve K und der Geraden g. Die beiden Schnittpunkte haben die $x$-Koordinate $x=2$ und $x=10$.
Die Grenzen für die Berechnung de Integral liegen bei $a=2$ und $b=10$.
3. Schritt: Fläche berechnen
Da die Größe der gesuchten Fläche zwischen der Kurve K und der Geraden g liegt, musst du die Fläche zwischen der Kurve K und der Geraden g berechnen. Mit deinem Taschenrechner kannst du den Flächeninhalt berechnen.
Wahlteil A1
Abb. 9: Flächeninhalt berechnen
Wahlteil A1
Abb. 9: Flächeninhalt berechnen
Das gesperrte Gebiet hat eine Fläche von $11,88\;\text{km}^2$
$\blacktriangleright$  Länge der Küste zwischen P und D berechnen
Die Länge einer Kurve kannst du mit der Bogenlänge berechnen.
$s=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+[f'(x)]^2}\;\mathrm dx$
Tipp
$s=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+[f'(x)]^2}\; \mathrm dx$
In diese Formel kannst du die Werte von der Aufgabe zuvor einsetzen und mit deinem Taschenrechner das Integral berechnen.
Wahlteil A1
Abb. 10: Bogenlänge berechnen
Wahlteil A1
Abb. 10: Bogenmaß berechnen
Die Küste zwischen P und D ist $9,71\;\text{km}$ lang.
$\blacktriangleright$  Begrenzungspunkt der Küstenlinie ermitteln
In der Aufgabe zuvor hast du berechnet wie lange die Küstenlinie zwischen $x_1=2$ und $x_2=10$ ist. Die Länge war fast $10\;\text{km}$. Versuche nun den zweiten Begrenzungspunkt zu ermitteln, indem du zum Beispiel die Grenzen $a=2$ und $b_1=5$ und $b_2=4$ wählst.
Wahlteil A1
Abb. 11: Länge der Küste berechnen
Wahlteil A1
Abb. 11: BLänge der Küste berechnen
Für $x=5$ ist die Küstenlinie ungefähr $4\;\text{km}$ lang. Der zweite Begrenzungspunkt hat somit die Koordinaten $B2(5\;|\;2)$
Um ein genaueres Ergebnis zu erhalten kannst du $b$ mit dem solve-Befehl berechnen.
Wahlteil A1
Abb. 12: Begrenzungspunkt berechnen
Wahlteil A1
Abb. 12: Begrenzungspunkt berechnen
Der zweite Begrenzungspunkt hat somit die Koordinaten $B1(4,88\;|\;2,09)$
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