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Aufgaben
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3

Analysis (innermathematische Aufgabe)

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=\frac{1}{48}\cdot x^3 - \frac{3}{8} \cdot x^2 + \frac{27}{16} \cdot x + 1$.
Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von f.
3a)
(1)
Ermittle rechnerisch eine Gleichung der Geraden s durch die Punkte H$\left (\;3|\frac{13}{4}\;\right)$ und T$(\;9|1\;)$.
[Zwischenergebnis: Die Gerade $s$ hat die Steigung $-\frac{3}{8}$.]
(2)
Es gibt zwei Stellen, an denen der Graph von $f$ Tangenten hat, die parallel zur Geraden s verlaufen.
Ermittle diese Stellen auf zwei Nachkommastellen genau.
(5+4P)
3b)
Gegeben ist zusätzlich die Funktion $g$ mit der Gleichung
$g(x)= \frac{1}{48} \cdot x^3 -\frac{3}{16}\cdot x^2 +\frac{13}{4}$.
(1)
Zeichne den Graphen von g in die Abbildung 1 ein.
Der Graph der Funktion $g$ geht durch eine Transformation aus dem Graphen der Funktion $f$ hervor.
(2)
Gib diese Transformation an.
(3)
Gib eine Funktionsgleichung von g an, aus der die Transformation deutlich wird, durch die der Graph von $g$ aus dem Graphen von $f$ hervorgeht.
(4+2+2P)
3c)
Die folgenden Abbildungen 2 bis 6 veranschaulichen, wie man den Wert der Ableitung $f´(2)$ näherungsweise ermitteln kann.
(1)
Gib an, welche Abbildung zum Differenzenquotienten $\frac{f(2)-f(0,8)}{2-0,8}$ gehört.
(2)
Gib an, welche geometrische Bedeutung der Wert $f´(2)$ hat.
Erkläre, warum in den Abbildungen 2 bis 6 veranschaulicht wird, wie dieser Wert immer genauer ermittelt werden kann.
(2+5P)
#tangente#geradengleichung
4
$\;$
Dabei entspricht $t=0$ der Uhrzeit 12:00 Uhr mittags, $t=1$ entspricht 13:00 Uhr usw.
Der Uhrzeit 11:00 Uhr entspricht $t=-1$ usw.
4a)
(1) Gib den Sonnenhöhenwinkel an, den Heinz um 7:00 Uhr morgens misst.
(2) Gib an, in welchem Zeitraum Heinz Sonnenhöhenwinkel misst, die mindestens 30 Grad betragen.
Heinz modelliert anhand seiner Daten den Sonnenhöhenwinkel im Laufe des Tages mit einer ganzrationalen Funktion 4. Grades. Er verwendet dazu für $-10\leq t \leq 10$ die Funktion $f$ mit der Gleichung
$f(t)=0,0031\cdot t^4-0,671\cdot t^2+36,1$
$f(t)$ beschreibt den Sonnenhöhenwinkel in Grad zu der durch $t$ gegebenen Uhrzeit.
4b)
Die Werte, die sich bei der Modellierung mit der Funktion $f$ ergeben, weichen etwas von den Werten aus der Abbildung 8 ab.
Berechne die Abweichung zwischen dem um 7:00 Uhr morgens gemessenen Wert und dem entsprechenden Funktionswert.
(2P)
4c)
Bei der Messung von Heinz erreicht die Sonne ihren höchsten Stand um 12:00 Uhr mittags (siehe Abbildung 8).
Weise rechnerisch nach, dass auch bei der Modellierung mit der Funktion $f$ die Sonne zu diesem Zeitpunkt ihren höchsten Stand erreicht.
(7P)
4d)
(1) Weise nach, dass gilt: $f'(-9)> f'(-2)$.
(2) Interpretiere diese Ungleichung im Sachzusammenhang.
(2+2P)

$\,$
An einem Tag Ende August beobachtet Heinz noch einmal die Sonne in Vardø. Um 04:00 Uhr morgens während des Sonnenaufgangs misst er den Sonnenhöhenwinkel $0$ Grad, um 12:00 mittags ist der Sonnenhöhenwinkel mit $29$ Grad maximal. Heinz möchte für diesen Tag den Sonnenhöhenwinkel mit einer ganzrationalen Funktion $g$ modellieren.
4e)
(1) Skizziere in der Abbildung 8 den Verlauf eines möglichen Graphen von $g$.
(2) Für die Funktionsgleichung von $g$ wählt Heinz den Ansatz: $g(t)=a\cdot f(b\cdot t)$
$\,$$\,$$\,$$\,$$\,$Ermittle für $a$ und $b$ jeweils einen zu seiner Messung passenden Wert.
(3+4P)
#ableitung#ganzrationalefunktion
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
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[3]
© 2016 – SchulLV.
[4]
© 2016 – SchulLV.
[5]
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[6]
© 2016 – SchulLV.
[7]
© 2016 – SchulLV.
[8]
© 2016 – SchulLV.
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Tipps
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3.
a)
(1)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung durch zwei Punkte bestimmen
Du hast die Punkte $H \left (3 \mid \frac{13}{4} \right)$ und $T \, (9 \mid 1)$ gegeben. Um die Gleichung der Geraden zu bestimmen, die durch diese beiden Punkte verläuft musst du zuerst die Steigung $m$ berechnen. Das kannst du mit folgender Formel tun:
$m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
$m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
In diese Formel setzt du jetzt die Koordinaten der Punkte $H$ und $T$ ein. Wenn du die Steigung $m$ ausgerechnet hast, kannst du die Koordinaten von einem der beiden Punkte und $m$ in die Geradengleichung eintragen. Diese sieht so aus:
$y=m \cdot x + t$
$y=m \cdot x + t$
(2)
$\blacktriangleright$  Stellen berechnen, an denen Tangenten verlaufen
Du sollst zwei Stellen ermitteln, an denen der Graph von $f$ Tangenten hat, die parallel zur Geraden $s$ verlaufen, deren Gleichung du in der vorherigen Teilaufgabe ausgerechnet hast. Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Funktionsgraphen in einem bestimmten Punkt berührt, ihn aber nicht schneidet. In diesem Berührpunkt hat die Tangente die gleiche Steigung wie die Kurve. Da Stellen gesucht sind, an denen der Graph von $f$ Tangenten hat, die parallel zur Geraden $s$ verlaufen, weißt du, dass die Tangenten die gleiche Steigung wie die Gerade haben müssen, also $-\frac{3}{8}$.
Die Steigung eines Graphen wird immer durch seine Ableitung beschrieben. Leite die Funktion $f(x)$ einmal ab und setze sie dann mit $-\frac{3}{8}$ gleich. In deinem GTR musst du dazu $f'(x)$ definieren und den Graphen dieser Funktion mit der Geraden $m(x)=-\frac{3}{8}$ schneiden.
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Graphen zeichnen
Definiere die Funktion $g(x)=\dfrac{1}{48} \cdot x³-\dfrac{3}{16} \cdot x²+\dfrac{13}{4}$ in deinem GTR und lasse sie dir zeichnen. Suche dir die markanten Punkte heraus und zeichne sie anhand dieser Punkte auf das Aufgabenblatt.
(2)
$\blacktriangleright$  Transformation angeben
Man kann erkennen, dass der Graph von $g$ den selben Verlauf wie der Graph von $f$ hat. Er ist im Vergleich zu $f$ nach links verschoben. Um die genaue Verschiebung zu berechnen, musst du die Koordinaten der Extrempunkte vergleichen. Berechne diese mit deinem GTR. Um sie zu vergleichen, musst du die Differenz zwischen den $x-$ und $y$-Koordinaten der Punkte berechnen.
(3)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung angeben
Der Graph von $g$ ist im Vergleich zu dem Graphen von $f$ um 3 Einheiten nach links auf der $x$-Achse verschoben. Die Verschiebung auf der $x$-Achse geht immer so vonstatten, dass in der Funktionsgleichung jedes $x$ durch $(x\pm n)$. In diesem Fall musst du jedes $x$ durch $(x+3)$ ersetzen, da der Graph um $3$ nach links auf der $x$-Achse verschoben ist.
c)
(1)
$\blacktriangleright$  Abbildung zuordnen
Die allgemeine Formel für den Differenzquotienten sieht so aus:
$f'(a)=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$
$f'(a)=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$
Beim Differenzquotienten beschreibt der Zähler immer die Strecke in $y$-Richtung und der Nenner die Strecke in $x$-Richtung. Überlege dir, zu welcher Abbildung die angegebene Strecke in $x-$Richtung passt.
(2)
$\blacktriangleright$  Näherungsweise Ermittlung der Ableitung erklären
Überlege dir, für was der Differenzquotient verwendet wird.
4
a)
(1)
$\blacktriangleright$  Sonnenhöhenwinkel angeben
Du weißt, dass die Uhrzeit $12:00$ Uhr $t=0$ entspricht. Die Uhrzeit $7:00$ Uhr morgens liegt $5$ Stunden vor $12:00$ Uhr. Also entspricht sie $t=-5$. Um den zu dieser Zeit gemessenen Sonnenhöhenwinkel herauszufinden, musst du den $y$-Wert an der Stelle $x=-5$ ablesen.
(2)
$\blacktriangleright$  Zeitraum angeben
Um den Zeitraum herauszufinden, in dem Heinz Sonnenhöhenwinkel misst, die mindestens $30°$ betragen, musst du überprüfen, bei welchen $x-$Werten der $y-$Wert mindestens $30$ beträgt.
b)
$\blacktriangleright$  Abweichung berechnen
Um die Abweichung zwischen dem um $7:00$ Uhr morgens gemessenen Wert und dem entsprechenden Funktionswert zu berechnen, lasse dir den Graphen der Funktion in deinem GTR zeichnen und bestimme den $y$-Wert zum $x$-Wert $x=-5$.
c)
$\blacktriangleright$  Maximalstelle rechnerisch bestimmen
Du musst die Stelle $x$ bestimmen, zu der die Sonne ihren höchsten Stand erreicht hat, an dem der Graph der Funktion also seinen Hochpunkt hat. Um den Hochpunkt eines Graphen einer Funktion $f$ zu bestimmen, musst du folgendes überprüfen:
  • Notwendige Bedingung: $f'(x)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $f''(x)<0$
Überpüfe zunächst, wo die erste Ableitung $f'(t)$ der Funktion ihre Nullstelle(n) hat und dann, welches Vorzeichen die zweite Ableitung $f''(t)$ an dieser Stelle besitzt.
d)
(1)
$\blacktriangleright$  Nachweis erbringen
Um nachzuweisen, dass $f'(-9)>f'(-2)$ gilt, setze die beiden Werte für $t$ in die erste Ableitung $f'(t)$ ein und rechne aus.
(2)
$\blacktriangleright$  Ungleichung im Sachzusammenhang interpretieren
Überlege dir welche geometrische Bedeutung die Werte $f'(-9)$ und $f'(-2)$ besitzen. Mithilfe dieser Überlegung, kannst du die Ungleichung im Sachzusammenhang interpretieren.
e)
(1)
$\blacktriangleright$  Verlauf von $g$ skizzieren
Suche dir die auffälligen Punkte des Graphen von $g$ heraus, um ihn zu skizzieren. Markant sind der Hochpunkt mit den Koordinaten $(0 \mid 29)$ und die zwei Nullstellen bei $t=-8$ und $t=8$. Mit diesen Angaben kannst du den Verlauf skizzieren.
(2)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung von $g$ ermitteln
Heinz hat für die Funktionsgleichung von $g$ den Ansatz $g(t)=a\cdot f(b\cdot t)$ gewählt. Du sollst für $a$ und $b$ jeweils einen zu seiner Messung passenden Wert ermitteln. Der Wert $a$ beschreibt die Streckung beziehungsweise die Stauchung des Graphen einer Funktion. Den Streckungs- beziehungsweise Stauchungsfaktor bestimmst du, in dem du den Hochpunkt eines Graphen einer Funktion durch den Hochpunkt des anderen Graphen einer Funktion teilst. Der Wert $b$ beschreibt die Periodenlänge.
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3.
a)
(1)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung durch zwei Punkte bestimmen
Du hast die Punkte $H \left (3 \mid \frac{13}{4} \right)$ und $T \, (9 \mid 1)$ gegeben. Um die Gleichung der Geraden zu bestimmen, die durch diese beiden Punkte verläuft musst du zuerst die Steigung $m$ berechnen. Das kannst du mit folgender Formel tun:
$m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
$m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
In diese Formel setzt du jetzt die Koordinaten der Punkte $H$ und $T$ ein. Wenn du die Steigung $m$ ausgerechnet hast, kannst du die Koordinaten von einem der beiden Punkte und $m$ in die Geradengleichung eintragen. Diese sieht so aus:
$y=m \cdot x + t$
$y=m \cdot x + t$
1. Schritt: Steigung berechnen
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{1-\frac{13}{4}}{9-3} &\quad \\[5pt] &=&-0,375 &\quad \\[5pt] &=& -\dfrac{3}{8} \end{array}$
2. Schritt: In Geradengleichung einsetzen
$\begin{array}[t]{rll} 1&=&-\frac{3}{8} \cdot 9 + t &\quad \\[5pt] \frac{8}{8}&=&-\frac{27}{8} + t &\quad \scriptsize \mid\; +\frac {27}{8} \\[5pt] \frac{35}{8}&=&t \end{array}$
Da du jetzt $m$ und $t$ ausgerechnet hast, hast du die Geradengleichung bereits. Sie lautet wie folgt:
$s(x)=-\dfrac{3}{8}\cdot x + \dfrac{35}{8}$
(2)
$\blacktriangleright$  Stellen berechnen, an denen Tangenten verlaufen
Du sollst zwei Stellen ermitteln, an denen der Graph von $f$ Tangenten hat, die parallel zur Geraden $s$ verlaufen, deren Gleichung du in der vorherigen Teilaufgabe ausgerechnet hast. Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Funktionsgraphen in einem bestimmten Punkt berührt, ihn aber nicht schneidet. In diesem Berührpunkt hat die Tangente die gleiche Steigung wie die Kurve. Da Stellen gesucht sind, an denen der Graph von $f$ Tangenten hat, die parallel zur Geraden $s$ verlaufen, weißt du, dass die Tangenten die gleiche Steigung wie die Gerade haben müssen, also $-\frac{3}{8}$.
Die Steigung eines Graphen wird immer durch seine Ableitung beschrieben. Leite die Funktion $f(x)$ einmal ab und setze sie dann mit $-\frac{3}{8}$ gleich. In deinem GTR musst du dazu $f'(x)$ definieren und den Graphen dieser Funktion mit der Geraden $m(x)=-\frac{3}{8}$ schneiden.
1. Schritt: Funktion ableiten
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&\frac{1}{48}\cdot x^3 - \frac{3}{8} \cdot x^2 + \frac{27}{16} \cdot x + 1 &\quad \\[5pt] f'(x)&=&\frac{3}{48}\cdot x^2 - \frac{6}{8} \cdot x+ \frac{27}{16} \end{array}$
2. Schritt: Schnittpunkt berechnen
Definiere die Funktion $f'(x)=\frac{3}{48}\cdot x^2 - \frac{6}{8} \cdot x+ \frac{27}{16}$ und die Funktion $m(x)=-\frac{3}{8}$ in deinem GTR. Berechne dann die beiden Schnittpunkte der Funktionen.
2nd $\rightarrow$ TRACE (CALC) $\rightarrow$ 5 : INTERSECT $\rightarrow$ Kurven auswählen
2nd $\rightarrow$ TRACE (CALC) $\rightarrow$ 5 : INTERSECT $\rightarrow$ Kurven auswählen
Mit Hilfsmitteln
Abb. 1: Schnittpunkt
Mit Hilfsmitteln
Abb. 1: Schnittpunkt
Mit Hilfsmitteln
Abb. 2: Schnittpunkt 2
Mit Hilfsmitteln
Abb. 2: Schnittpunkt 2
Die Stellen, an denen der Graph von $f$ Tangenten hat, die parallel zur Geraden $s$ verlaufen sind $x_1=4,27$ und $x_2=7,73$.
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Graphen zeichnen
Definiere die Funktion $g(x)=\dfrac{1}{48} \cdot x³-\dfrac{3}{16} \cdot x²+\dfrac{13}{4}$ in deinem GTR und lasse sie dir zeichnen. Suche dir die markanten Punkte heraus und zeichne sie anhand dieser Punkte auf das Aufgabenblatt.
Mit Hilfsmitteln
Abb. 3: Graph von $g(x)$
Mit Hilfsmitteln
Abb. 3: Graph von $g(x)$
(2)
$\blacktriangleright$  Transformation angeben
Man kann erkennen, dass der Graph von $g$ den selben Verlauf wie der Graph von $f$ hat. Er ist im Vergleich zu $f$ nach links verschoben. Um die genaue Verschiebung zu berechnen, vergleiche die Koordinaten der Extrempunkte. Diese kannst du mit deinem GTR wie folgt berechnen:
2nd $\rightarrow$ TRACE (CALC) $\rightarrow$ 4 : MAXIMUM
2nd $\rightarrow$ TRACE (CALC) $\rightarrow$ 4 : MAXIMUM
Der Hochpunkt von $f(x)$ liegt bei $(3\mid3,25)$, der Hochpunkt von $g(x)$ liegt bei $(0\mid3,25)$.
Vergleiche nun die beiden Hochpunkte miteinander. Berechne dazu die Differenz zwischen den $x-$ und $y$-Koordinaten der Punkte.
$x:x_f-x_g=3-0=3$
$y:y_f-y_g=3,25-3,25=0$
Daraus kannst du schließen, dass der Graph von $g$ aus dem Graphen von $f$ hervorgeht, indem man den Graphen um $3$ nach links auf der $x$-Achse verschoben hat.
(3)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung angeben
Der Graph von $g$ ist im Vergleich zu dem Graphen von $f$ um 3 Einheiten nach links auf der $x$-Achse verschoben. Die Verschiebung auf der $x$-Achse entsteht dadurch, dass in der Funktionsgleichung jedes $x$ durch $(x\pm n)$ ersetzt wird. In diesem Fall musst du jedes $x$ durch $(x+3)$ ersetzen, da der Graph um $3$ nach links auf der $x$-Achse verschoben ist. Die Funktionsgleichung sieht dann so aus:
$g(x)=\dfrac{1}{48}\cdot(x+3)^3-\dfrac{3}{8}\cdot(x+3)^2+\dfrac{27}{16}\cdot(x+3)+1$
$ g(x)=\dfrac{1}{48}\cdot(x+3)^3… $
Aus dieser Funktionsgleichung von $g$ wird die Transformation deutlich, durch die der Graph von $g$ aus $f$ hervorgeht.
c)
(1)
$\blacktriangleright$  Abbildung zuordnen
Die allgemeine Formel für den Differenzquotienten sieht so aus:
$f'(a)=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$
$f'(a)=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$
Beim Differenzquotienten beschreibt der Zähler immer die Strecke in $y$-Richtung und der Nenner die Strecke in $x$-Richtung.
Beim gegebenen Differenzquotienten $\dfrac{f(2)-f(0,8)}{2-0,8}$ beträgt die Strecke in $x$-Richtung $2-0,8$ also $1,2$. Die einzige Abbildung, zu der diese Angabe passt, ist Abbildung $4$.
(2)
$\blacktriangleright$  Näherungsweise Ermittlung der Ableitung erklären
Geometrisch entspricht die Ableitung an der Stelle 2 $f'(2)$ der Steigung der Tangente im Punkt $P(2\mid3)$.
Dieser Wert wird im Verlauf der Abbildungen $2$ bis $6$ immer genauer ermittelt, indem der $x$-Wert verkleinert wird, denn so nähert man sich immer mehr der tatsächlichen Steigung an der Stelle $a$ an. Die Ableitung an einer Stelle entspricht der Steigung des Graphen der eigentlichen Funktion an dieser Stelle.
#extrempunkt#steigung
4
a)
(1)
$\blacktriangleright$  Sonnenhöhenwinkel angeben
Du weißt, dass die Uhrzeit $12:00$ Uhr $t=0$ entspricht. Die Uhrzeit $7:00$ Uhr morgens liegt $5$ Stunden vor $12:00$ Uhr. Also entspricht sie $t=-5$. Um den zu dieser Zeit gemessenen Sonnenhöhenwinkel herauszufinden, musst du den $y$-Wert an der Stelle $x=-5$ ablesen. Der Sonnenhöhenwinkel bei $t=-5$ beträgt $20°$.
(2)
$\blacktriangleright$  Zeitraum angeben
Um den Zeitraum herauszufinden, in dem Heinz Sonnenhöhenwinkel misst, die mindestens $30°$ betragen, musst du überprüfen, bei welchen $x-$Werten der $y-$Wert mindestens $30$ beträgt.
Der Sonnenhöhenwinkel liegt zwischen $t=-3$ und $t=3$ bei mindestens $30°$. Die Uhrzeit $9:00$ Uhr entspricht $t=-3$ und die Uhrzeit $15:00$ Uhr entspricht $t=3$. Folglich misst Heinz im Zeitraum von $9:00-15:00$ Uhr Sonnenhöhenwinkel, die mindestens $30°$ betragen.
b)
$\blacktriangleright$  Abweichung berechnen
Um die Abweichung zwischen dem um $7:00$ Uhr morgens gemessenen Wert und dem entsprechenden Funktionswert zu berechnen, lasse dir den Graphen der Funktion in deinem GTR zeichnen und bestimme den $y$-Wert zum $x$-Wert $x=-5$.
2nd $\rightarrow$ TRACE (CALC) $\rightarrow$ 1 : VALUE $\rightarrow$ X=-5 eingeben
2nd $\rightarrow$ TRACE (CALC) $\rightarrow$ 1 : VALUE $\rightarrow$ X=-5 eingeben
Mit Hilfsmitteln
Abb. 4: $y$-Wert zum Zeitpunkt $t=-5$
Mit Hilfsmitteln
Abb. 4: $y$-Wert zum Zeitpunkt $t=-5$
Bei der Modellierung der Funktion liegt der Sonnenhöhenwinkel bei $21,2625°$ statt bei $20°$. Der Funktionswert weicht also um $1,2625°$ vom um $7:00$ Uhr morgens gemessenen Wert ab.
c)
$\blacktriangleright$  Maximalstelle rechnerisch bestimmen
Du musst die Stelle $x$ bestimmen, zu der die Sonne ihren höchsten Stand erreicht hat, an dem der Graph der Funktion also seinen Hochpunkt hat. Um den Hochpunkt eines Graphen einer Funktion $f$ zu bestimmen, musst du folgendes überprüfen:
  • Notwendige Bedingung: $f'(x)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $f''(x)<0$
Überpüfe zunächst, wo die erste Ableitung $f'(t)$ der Funktion ihre Nullstelle(n) hat und dann, welches Vorzeichen die zweite Ableitung $f''(t)$ an dieser Stelle besitzt.
1. Schritt: Funktion ableiten
$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=&0,0031\cdot t^4 - 0,671 \cdot t^2+36,1 &\quad \\[5pt] f'(t)&=&4 \cdot 0,0031 \cdot t^{4-1} - 2 \cdot 0,671 \cdot t^{2-1} &\quad \\[5pt] f'(t)&=& 0,0124 \cdot t^3 - 1,342 \cdot t &\quad \\[5pt] f''(t)&=& 3 \cdot 0,0124 \cdot t^{3-1} - 1,342 &\quad \\[5pt] f''(t)&=& 0,0372 \cdot t^2 - 1,342 \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} f(t)&=&0,0031\cdot t^4… &\quad \\[5pt] f'(t)&=& 0,0124 \cdot t^3 - 1,342 \cdot t &\quad \\[5pt] f''(t)&=& 0,0372 \cdot t^2 - 1,342 \end{array}$
2. Schritt: Notwendige Bedigung überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f'(t)&=&0 &\quad \\[5pt] 0,0124 \cdot t^3 - 1,342 \cdot t&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \text {Satz vom Nullprodukt} \\[5pt] t \cdot (0,0124 \cdot t^2 -1,342)&=&0 &\quad \\[5pt] t_1&=&0 &\quad \\[5pt] 0,0124 \cdot t^2 - 1,342&=&0 &\quad \\[5pt] 0,0124 \cdot t^2&=& 1,342 &\quad \scriptsize \mid\; :0,0124\\[5pt] t^2&=& 108,2258065&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] t_{2/3}&\approx& \pm 10,4 \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} f'(t)&=&0 &\quad \\[5pt] t_1&=&0 &\quad \\[5pt] t_{2/3}&\approx& \pm 10,4 \end{array} $
Da der Sonnenhöhenwinkel vor dem Punkt $t=-10$ und nach dem Punkt $t=10$ $0°$ beträgt, kannst du die Werte für $t_2$ und $t_3$ übersehen und brauchst nicht mit ihnen weiterrechnen.
3. Schritt: Hinreichende Bedingung prüfen
Setze $t_1=0$ in die zweite Ableitung $f''(t)$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} f''(t)&=&0,0372 \cdot t^2 - 1,342 &\quad \\[5pt] f''(0)&=& 0,0372 \cdot 0 ^2 - 1,342 &\quad \\[5pt] &=& -1,342&\quad \\[5pt] \end{array}$
Bei der Stelle $t_1=0$ hat der Graph der Funktion einen Hochpunkt. Der Zeitpunkt $t=0$ entspricht der Uhrzeit $12:00$ Uhr mittags. Da es an dieser Stelle einen Hochpunkt gibt, hast du bewiesen, dass auch bei der Modellierung mit der Funktion $f$ die Sonne zu diesem Zeitpunkt ihren höchsten Stand erreicht.
d)
(1)
$\blacktriangleright$  Nachweis erbringen
Um nachzuweisen, dass $f'(-9)>f'(-2)$ gilt, setze die beiden Werte für $t$ in die erste Ableitung $f'(t)$ ein und rechne aus.
$\begin{array}[t]{rll} f'(t)&=& 0,0124 \cdot t^3 - 1,342 \cdot t&\quad \scriptsize \\[5pt] f'(-9)&=& 0,0124 \cdot (-9)^3-1,342 \cdot (-9)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,0124 \cdot (-729)+12,078&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& -9,0396 + 12,078&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 3,0384 &\quad \scriptsize \\[5pt] f'(-2)&=&0,0124 \cdot (-2)^3-1,342 \cdot (-2) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,0124 \cdot (-8)+2,684 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& -0,0992 + 2,684&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2,5848 \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} f'(t)&=& 0,0124 \cdot t^3 - 1,342 \cdot t&\quad \scriptsize \\[5pt] f'(-9)&=& 0,0124 \cdot (-9)^3… &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 3,0384 &\quad \scriptsize \\[5pt] f'(-2)&=&0,0124 \cdot (-2)^3… &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2,5848 \end{array} $
Es ist $f'(-9)=3,0384$ und $f'(-2)=2,5848$. Da $2,5848$ kleiner als $3,0384$ ist, stimmt die Aussage.
(2)
$\blacktriangleright$  Ungleichung im Sachzusammenhang interpretieren
Zum Zeitpunkt $t=-9$ steigt der Graph der Funktion $f$ stärker an als zum Zeitpunkt $t=-2$. Die Ableitung an den Stellen $x=-9$ und $x=-2$ entsprechen der Steigung der Tangenten an diesen Stellen. Aus diesem Grund ist der Wert der Ableitung zum Zeitpunkt $t=-9$ größer sein, als der Wert der Ableitung zum Zeitpunkt $t=-2$.
e)
(1)
$\blacktriangleright$  Verlauf von $g$ skizzieren
Suche dir die auffälligen Punkte des Graphen von $g$ heraus, um ihn zu skizzieren. Markant sind der Hochpunkt mit den Koordinaten $(0 \mid 29)$ und die zwei Nullstellen bei $t=-8$ und $t=8$. Mit diesen Angaben kannst du den Verlauf skizzieren. Der Verlauf sieht wie folgt aus:
Mit Hilfsmitteln
Abb. 5: Verlauf des Graphen von $g$
Mit Hilfsmitteln
Abb. 5: Verlauf des Graphen von $g$
(2)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung von $g$ ermitteln
Heinz hat für die Funktionsgleichung von $g$ den Ansatz $g(t)=a\cdot f(b\cdot t)$ gewählt. Du sollst für $a$ und $b$ jeweils einen zu seiner Messung passenden Wert ermitteln. Der Wert $a$ beschreibt die Streckung beziehungsweise die Stauchung des Graphen einer Funktion. Den Streckungs- beziehungsweise Stauchungsfaktor bestimmst du, in dem du den Hochpunkt des Graphen der Funktion, der den höheren Wert besitzt, durch den Hochpunkt des Graphen der Funktion teilst, der den kleineren Wert besitzt.
Der größte Sonnenhöhenwinkel der Funktion $f$ betrug $36,1°$ nun beträgt er $29°$. Folglich ist die Funktion $f$ um $29:36,1 \approx 0,8$ gestaucht.
Der Wert $b$ beschreibt die Periodenlänge. Auf den Wert kommst du, indem du den Zeitpunkt, bei dem bei der Funktion $f$ der Sonnenhöhenwinkel $0°$ beträgt durch den Zeitpunkt, bei dem bei der Funktion $g$ der Sonnenhöhenwinkel $0°$ beträgt teilst, also $10:8=1,25$.
Also hast du für $a$ den Wert $0,8$ und für $b$ den Wert $1,25$. Die gesuchte Funktionsgleichung lautet folglich $g(t)=0,8 \cdot f(1,25 \cdot t)$.
#extrempunkt#ableitung
Bildnachweise [nach oben]
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3.
a)
(1)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung durch zwei Punkte bestimmen
Du hast die Punkte $H \left (3 \mid \frac{13}{4} \right)$ und $T \, (9 \mid 1)$ gegeben. Um die Gleichung der Geraden zu bestimmen, die durch diese beiden Punkte verläuft musst du zuerst die Steigung $m$ berechnen. Das kannst du mit folgender Formel tun:
$m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
$m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
In diese Formel setzt du jetzt die Koordinaten der Punkte $H$ und $T$ ein. Wenn du die Steigung $m$ ausgerechnet hast, kannst du die Koordinaten von einem der beiden Punkte und $m$ in die Geradengleichung eintragen. Diese sieht so aus:
$y=m \cdot x + t$
$y=m \cdot x + t$
1. Schritt: Steigung berechnen
$\begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{1-\frac{13}{4}}{9-3} &\quad \\[5pt] &=& -0,375 &\quad \\[5pt] &=& -\dfrac{3}{8} \end{array}$
2. Schritt: In Geradengleichung einsetzen
$\begin{array}[t]{rll} 1&=& -\frac{3}{8} \cdot 9 + t &\quad \\[5pt] \frac{8}{8}&=& -\frac{27}{8} + t &\quad \scriptsize \mid\; +\frac {27}{8} \\[5pt] \frac{35}{8}&=& t \end{array}$
Da du jetzt $m$ und $t$ ausgerechnet hast, hast du die Geradengleichung bereits. Sie lautet wie folgt:
$s(x)=-\dfrac{3}{8}\cdot x + \dfrac{35}{8}$
(2)
$\blacktriangleright$  Stellen berechnen, an denen Tangenten verlaufen
Du sollst zwei Stellen ermitteln, an denen der Graph von $f$ Tangenten hat, die parallel zur Geraden $s$ verlaufen, deren Gleichung du in der vorherigen Teilaufgabe ausgerechnet hast. Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Funktionsgraphen in einem bestimmten Punkt berührt, ihn aber nicht schneidet. In diesem Berührpunkt hat die Tangente die gleiche Steigung wie die Kurve. Da Stellen gesucht sind, an denen der Graph von $f$ Tangenten hat, die parallel zur Geraden $s$ verlaufen, weißt du, dass die Tangenten die gleiche Steigung wie die Gerade haben müssen, also $-\frac{3}{8}$.
Die Steigung eines Graphen wird immer durch seine Ableitung beschrieben. Leite die Funktion $f(x)$ einmal ab und setze sie dann mit $-\frac{3}{8}$ gleich. In deinem GTR musst du dazu $f'(x)$ definieren und den Graphen dieser Funktion mit der Geraden $m(x)=-\frac{3}{8}$ schneiden.
1. Schritt: Funktion ableiten
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&\frac{1}{48}\cdot x^3 - \frac{3}{8} \cdot x^2 + \frac{27}{16} \cdot x + 1 &\quad \\[5pt] f'(x)&=&\frac{3}{48}\cdot x^2 - \frac{6}{8} \cdot x+ \frac{27}{16} \end{array}$
2. Schritt: Schnittpunkt berechnen
Definiere die Funktion $f'(x)=\frac{3}{48}\cdot x^2 - \frac{6}{8} \cdot x+ \frac{27}{16}$ und die Funktion $m(x)=-\frac{3}{8}$ in deinem GTR. Berechne dann die beiden Schnittpunkte der Funktionen.
G-Solve $\rightarrow$ INTSECT
G-Solve $\rightarrow$ INTSECT
Mit Hilfsmitteln
Abb. 1: Schnittpunkt
Mit Hilfsmitteln
Abb. 1: Schnittpunkt
Mit Hilfsmitteln
Abb. 2: Schnittpunkt 2
Mit Hilfsmitteln
Abb. 2: Schnittpunkt 2
Die Stellen, an denen der Graph von $f$ Tangenten hat, die parallel zur Geraden $s$ verlaufen sind $x_1=4,27$ und $x_2=7,73$.
b)
(1)
$\blacktriangleright$  Graphen zeichnen
Definiere die Funktion $g(x)=\dfrac{1}{48} \cdot x³-\dfrac{3}{16} \cdot x²+\dfrac{13}{4}$ in deinem GTR und lasse sie dir zeichnen. Suche dir die markanten Punkte heraus und zeichne sie anhand dieser Punkte auf das Aufgabenblatt.
Mit Hilfsmitteln
Abb. 3: Graph von $g(x)$
Mit Hilfsmitteln
Abb. 3: Graph von $g(x)$
(2)
$\blacktriangleright$  Transformation angeben
Man kann erkennen, dass der Graph von $g$ den selben Verlauf wie der Graph von $f$ hat. Er ist im Vergleich zu $f$ nach links verschoben. Um die genaue Verschiebung zu berechnen, vergleiche die Koordinaten der Extrempunkte. Diese kannst du mit deinem GTR wie folgt berechnen:
G-Solve $\rightarrow$ MAX
G-Solve $\rightarrow$ MAX
Der Hochpunkt von $f(x)$ liegt bei $(3\mid3,25)$, der Hochpunkt von $g(x)$ liegt bei $(0\mid3,25)$.
Vergleiche nun die beiden Hochpunkte miteinander. Berechne dazu die Differenz zwischen den $x-$ und $y$-Koordinaten der Punkte.
$x:x_f-x_g=3-0=3$
$y:y_f-y_g=3,25-3,25=0$
Daraus kannst du schließen, dass der Graph von $g$ aus dem Graphen von $f$ hervorgeht, indem man den Graphen um $3$ nach links auf der $x$-Achse verschoben hat.
(3)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung angeben
Der Graph von $g$ ist im Vergleich zu dem Graphen von $f$ um 3 Einheiten nach links auf der $x$-Achse verschoben. Die Verschiebung auf der $x$-Achse geht immer so vonstatten, dass in der Funktionsgleichung jedes $x$ durch $(x\pm n)$. In diesem Fall musst du jedes $x$ durch $(x+3)$ ersetzen, da der Graph um $3$ nach links auf der $x$-Achse verschoben ist. Die Funktionsgleichung sieht dann so aus:
$g(x)=\dfrac{1}{48}\cdot(x+3)^3-\dfrac{3}{8}\cdot(x+3)^2+\dfrac{27}{16}\cdot(x+3)+1$
$ g(x)=\dfrac{1}{48}\cdot(x+3)^3… $
Aus dieser Funktionsgleichung von $g$ wird die Transformation deutlich, durch die der Graph von $g$ aus $f$ hervorgeht.
c)
(1)
$\blacktriangleright$  Abbildung zuordnen
Die allgemeine Formel für den Differenzquotienten sieht so aus:
$f'(a)=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$
$f'(a)=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$
Beim Differenzquotienten beschreibt der Zähler immer die Strecke in $y$-Richtung und der Nenner die Strecke in $x$-Richtung.
Beim gegebenen Differenzquotienten $\dfrac{f(2)-f(0,8)}{2-0,8}$ beträgt die Strecke in $x$-Richtung $2-0,8$ also $1,2$. Die einzige Abbildung, zu der diese Angabe passt, ist Abbildung $4$.
(2)
$\blacktriangleright$  Näherungsweise Ermittlung der Ableitung erklären
Geometrisch entspricht die Ableitung an der Stelle 2 $f'(2)$ der Steigung der Tangente im Punkt $P(2\mid3)$.
Dieser Wert wird im Verlauf der Abbildungen $2$ bis $6$ immer genauer ermittelt, indem der $x$-Wert verkleinert wird, denn so nähert man sich immer mehr der tatsächlichen Steigung an der Stelle $a$ an. Die Ableitung an einer Stelle entspricht der Steigung des Graphen der eigentlichen Funktion an dieser Stelle.
#extrempunkt#steigung
4
a)
(1)
$\blacktriangleright$  Sonnenhöhenwinkel angeben
Du weißt, dass die Uhrzeit $12:00$ Uhr $t=0$ entspricht. Die Uhrzeit $7:00$ Uhr morgens liegt $5$ Stunden vor $12:00$ Uhr. Also entspricht sie $t=-5$. Um den zu dieser Zeit gemessenen Sonnenhöhenwinkel herauszufinden, musst du den $y$-Wert an der Stelle $x=-5$ ablesen. Der Sonnenhöhenwinkel bei $t=-5$ beträgt $20°$.
(2)
$\blacktriangleright$  Zeitraum angeben
Um den Zeitraum herauszufinden, in dem Heinz Sonnenhöhenwinkel misst, die mindestens $30°$ betragen, musst du überprüfen, bei welchen $x-$Werten der $y-$Wert mindestens $30$ beträgt.
Der Sonnenhöhenwinkel liegt zwischen $t=-3$ und $t=3$ bei mindestens $30°$. Die Uhrzeit $9:00$ Uhr entspricht $t=-3$ und die Uhrzeit $15:00$ Uhr entspricht $t=3$. Folglich misst Heinz im Zeitraum von $9:00-15:00$ Uhr Sonnenhöhenwinkel, die mindestens $30°$ betragen.
b)
$\blacktriangleright$  Abweichung berechnen
Um die Abweichung zwischen dem um $7:00$ Uhr morgens gemessenen Wert und dem entsprechenden Funktionswert zu berechnen, lasse dir den Graphen der Funktion in deinem GTR zeichnen und bestimme den $y$-Wert zum $x$-Wert $x=-5$.
G-Solve $\rightarrow$ F6 $\rightarrow$ Y-CAL
G-Solve $\rightarrow$ F6 $\rightarrow$ Y-CAL
Mit Hilfsmitteln
Abb. 4: $y$-Wert zum Zeitpunkt $t=-5$
Mit Hilfsmitteln
Abb. 4: $y$-Wert zum Zeitpunkt $t=-5$
Bei der Modellierung der Funktion liegt der Sonnenhöhenwinkel bei $21,2625°$ statt bei $20°$. Der Funktionswert weicht also um $1,2625 ° $ vom um $7:00$ Uhr morgens gemessenen Wert ab.
c)
$\blacktriangleright$  Maximalstelle rechnerisch bestimmen
Du musst die Stelle $x$ bestimmen, zu der die Sonne ihren höchsten Stand erreicht hat, an dem der Graph der Funktion also seinen Hochpunkt hat. Um den Hochpunkt eines Graphen einer Funktion $f$ zu bestimmen, musst du folgendes überprüfen:
  • Notwendige Bedingung: $f'(x)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $f''(x)<0$
Überpüfe zunächst, wo die erste Ableitung $f'(t)$ der Funktion ihre Nullstelle(n) hat und dann, welches Vorzeichen die zweite Ableitung $f''(t)$ an dieser Stelle besitzt.
1. Schritt: Funktion ableiten
$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=& 0,0031\cdot t^4 - 0,671 \cdot t^2+36,1 &\quad \\[5pt] f'(t)&=& 4 \cdot 0,0031 \cdot t^{4-1} - 2 \cdot 0,671 \cdot t^{2-1} &\quad \\[5pt] f'(t)&=& 0,0124 \cdot t^3 - 1,342 \cdot t &\quad \\[5pt] f''(t)&=& 3 \cdot 0,0124 \cdot t^{3-1} - 1,342 &\quad \\[5pt] f''(t)&=& 0,0372 \cdot t^2 - 1,342 \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} f(t)&=& 0,0031\cdot t^4… &\quad \\[5pt] f'(t)&=& 0,0124 \cdot t^3 - 1,342 \cdot t &\quad \\[5pt] f''(t)&=& 0,0372 \cdot t^2 - 1,342 \end{array}$
2. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f'(t)&=& 0 &\quad \\[5pt] 0,0124 \cdot t^3 - 1,342 \cdot t&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text {Satz vom Nullprodukt} \\[5pt] t \cdot (0,0124 \cdot t^2 -1,342)&=& 0 &\quad \\[5pt] t_1&=& 0 &\quad \\[5pt] 0,0124 \cdot t^2 - 1,342&=& 0 &\quad \\[5pt] 0,0124 \cdot t^2&=& 1,342 &\quad \scriptsize \mid\; :0,0124\\[5pt] t^2&=& 108,2258065&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] t_{2/3}&\approx& \pm 10,4 \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} f'(t)&=& 0 &\quad \\[5pt] t_1&=& 0 &\quad \\[5pt] t_{2/3}&\approx& \pm 10,4 \end{array} $
Da der Sonnenhöhenwinkel vor dem Punkt $t=-10$ und nach dem Punkt $t=10$ $0°$ beträgt, kannst du die Werte für $t_2$ und $t_3$ übersehen und brauchst nicht mit ihnen weiterrechnen.
3. Schritt: Hinreichende Bedingung prüfen
Setze $t_1=0$ in die zweite Ableitung $f''(t)$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} f''(t)&=& 0,0372 \cdot t^2 - 1,342 &\quad \\[5pt] f''(0)&=& 0,0372 \cdot 0 ^2 - 1,342 &\quad \\[5pt] &=& -1,342&\quad \\[5pt] \end{array}$
Bei der Stelle $t_1=0$ hat der Graph der Funktion einen Hochpunkt. Der Zeitpunkt $t=0$ entspricht der Uhrzeit $12:00$ Uhr mittags. Da es an dieser Stelle einen Hochpunkt gibt, hast du bewiesen, dass auch bei der Modellierung mit der Funktion $f$ die Sonne zu diesem Zeitpunkt ihren höchsten Stand erreicht.
d)
(1)
$\blacktriangleright$  Nachweis erbringen
Um nachzuweisen, dass $f'(-9)>f'(-2)$ gilt, setze die beiden Werte für $t$ in die erste Ableitung $f'(t)$ ein und rechne aus.
$\begin{array}[t]{rll} f'(t)&=& 0,0124 \cdot t^3 - 1,342 \cdot t&\quad \scriptsize \\[5pt] f'(-9)&=& 0,0124 \cdot (-9)^3-1,342 \cdot (-9)&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,0124 \cdot (-729)+12,078&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& -9,0396 + 12,078&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 3,0384 &\quad \scriptsize \\[5pt] f'(-2)&=& 0,0124 \cdot (-2)^3-1,342 \cdot (-2) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,0124 \cdot (-8)+2,684 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& -0,0992 + 2,684&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2,5848 \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} f'(t)&=& 0,0124 \cdot t^3 - 1,342 \cdot t&\quad \scriptsize \\[5pt] f'(-9)&=& 0,0124 \cdot (-9)^3… &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 3,0384 &\quad \scriptsize \\[5pt] f'(-2)&=& 0,0124 \cdot (-2)^3… &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2,5848 \end{array} $
Es ist $f'(-9)=3,0384$ und $f'(-2)=2,5848$. Da $2,5848$ kleiner als $3,0384$ ist, stimmt die Aussage.
(2)
$\blacktriangleright$  Ungleichung im Sachzusammenhang interpretieren
Zum Zeitpunkt $t=-9$ steigt der Graph der Funktion $f$ stärker an als zum Zeitpunkt $t=-2$. Die Ableitungen an den Stellen $x=-9$ und $x=-2$ entsprechen der Steigung der Tangenten an diesen Stellen. Aus diesem Grund ist der Wert der Ableitung zum Zeitpunkt $t=-9$ größer sein, als der Wert der Ableitung zum Zeitpunkt $t=-2$.
e)
(1)
$\blacktriangleright$  Verlauf von $g$ skizzieren
Suche dir die auffälligen Punkte des Graphen von $g$ heraus, um ihn zu skizzieren. Markant sind der Hochpunkt mit den Koordinaten $(0 \mid 29)$ und die zwei Nullstellen bei $t=-8$ und $t=8$. Mit diesen Angaben kannst du den Verlauf skizzieren. Der Verlauf sieht wie folgt aus:
Mit Hilfsmitteln
Abb. 5: Verlauf des Graphen von $g$
Mit Hilfsmitteln
Abb. 5: Verlauf des Graphen von $g$
(2)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung von $g$ ermitteln
Heinz hat für die Funktionsgleichung von $g$ den Ansatz $g(t)=a\cdot f(b\cdot t)$ gewählt. Du sollst für $a$ und $b$ jeweils einen zu seiner Messung passenden Wert ermitteln. Der Wert $a$ beschreibt die Streckung beziehungsweise die Stauchung des Graphen einer Funktion. Den Streckungs- beziehungsweise Stauchungsfaktor bestimmst du, in dem du den Hochpunkt des Graphen der Funktion, der den höheren Wert besitzt, durch den Hochpunkt des Graphen der Funktion teilst, der den kleineren Wert besitzt.
Der größte Sonnenhöhenwinkel der Funktion $f$ betrug $36,1°$ nun beträgt er $29°$. Folglich ist die Funktion $f$ um $29:36,1 \approx 0,8$ gestaucht.
Der Wert $b$ beschreibt die Periodenlänge. Auf den Wert kommst du, indem du den Zeitpunkt, bei dem bei der Funktion $f$ der Sonnenhöhenwinkel $0°$ beträgt durch den Zeitpunkt, bei dem bei der Funktion $g$ der Sonnenhöhenwinkel $0°$ beträgt teilst, also $10:8=1,25$.
Also hast du für $a$ den Wert $0,8$ und für $b$ den Wert $1,25$. Die gesuchte Funktionsgleichung lautet folglich $g(t)=0,8 \cdot f(1,25 \cdot t)$.
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