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Mit Hilfsmitteln

Aufgaben
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Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung
$f(x)= x^4-8\cdot x^3 +6\cdot x^2 +40\cdot x,$ $x\in \mathbb{R}.$
$f(x)= x^4-8\cdot x^3 +6\cdot x^2 +40\cdot x,$ $x\in \mathbb{R}.$
Der Graph der Funktion $f$ ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
a)
Ermittle die in der Abbildung markierte Nullstelle $a$ auf zwei Nachkommastellen genau.
(2 BE)
#nullstelle
b)
Weise rechnerisch nach, dass $x=2$ eine lokale Maximalstelle der Funktion $f$ ist.
(6 BE)
#extrempunkt
c)
(1)
Zeichne die Sekante $s_1$ durch die Punkte $H_1(2\mid 56)$ und $P_1(4\mid 0)$ des Graphen von $f$ in die Abbildung ein und berechne die Steigung von $s_1.$
(3 BE)
$\,$
(2)
Bestimme rechnerisch eine Gleichung der Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P_1(4\mid 0).$
[Zur Kontrolle: Die Steigung von $t$ ist $m_t=-40$]
(4 BE)
#tangente
$\,$
(3)
Zeichne die Tangente $t$ in die Abbildung ein.
(2 BE)
$\,$
(4)
Die Steigung einer Sekante $s_2$ durch den Punkt $P_1(4\mid 0)$ und einen weiteren Punkt $P_2$ des Graphen von $f$ soll sich um weniger als $0,1$ von der Steigung der Tangente $t$ unterscheiden.
Ermittle durch systematisches Probieren die Koordinaten eines Punktes $P_2$ so, dass diese Bedingung erfüllt ist.
(3 BE)
d)
Der Graph der Funktion $f$ wird nacheinander folgenden Transformationen unterzogen:
  • Der Graph wird in Richtung der $y$-Achse so gestaucht, dass der gestauchte Graph den lokalen Hochpunkt $H_2(2\mid 28)$ besitzt.
  • Im Anschluss wird der gestauchte Graph um drei Einheiten nach rechts verschoben.
Die Funktion, die zum so veränderten Graphen gehört, wird mit $g$ bezeichnet.
Gib eine Gleichung von $g$ an.
Hinweis: Eine Vereinfachung der Gleichung von $g$ ist nicht erforderlich.
(4 BE)

Aufgabe 4

Aufgrund ergiebiger Regenfälle wurde in der zweiten Oktoberhälfte $2016$ am Rhein ein Ansteigen des Wassers beobachtet.
Am 20.10.2016 um $0:00$ Uhr wurde an der Messstelle in Bonn ein Wasserstand[1] von $130\,\text{cm}$ gemessen. Das Wasser begann dann zu steigen und nach einiger Zeit zunächst wieder zu sinken.
Eine Schülerin verwendet die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit der Funktionsgleichung
$h(t)= -\frac{80}{27}\cdot t^3 + \frac{40}{3}\cdot t^2 +130$
für $0\leq t\leq 3,5\, ,$ um den Wasserstand des Rheins an der Messstelle in Bonn im Zeitraum vom 20.10.2016, 0:00 Uhr, bis zum 23.10.2016, 12:00 Uhr zu modellieren.
Dabei entspricht z.B. $t=0$ der Zeit 0:00 Uhr am 20.10.2016, $t=1$ der Zeit 0:00 Uhr am 21.10.2016 und $t=3,5$ der Zeit 12:00 Uhr am 23.10.2016. $h(t)$ ist der Wasserstand des Rheins an der Messstelle in Bonn in $\text{cm}.$
Der Graph von $h$ ist in der Abbildung 2 dargestellt.
Mit der Funktion $h$ ist es möglich, die Aufgaben a) bis d) zu bearbeiten.
a)
Berechne den Wasserstand des Rheins an der Messstelle in Bonn am 21.10.2016 um 12:00 Uhr.
(3 BE)
b)
Berechne $\dfrac{h(3)-h(1)}{2}$ und interpretiere den berechneten Wert im Sachzusammenhang.
(4 BE)
c)
Ermittle rechnerisch den niedrigsten und höchsten Wasserstand im betrachteten Zeitraum.
(9 BE)
d)
Bestimme rechnerisch, wie lange der Wasserstand im betrachteten Zeitraum zwischen $140\,\text{cm}$ und $150\,\text{cm}$ lag.
(4 BE)
In der folgenden Aufgabe e) wird der Wasserstand in einem über den 23.10.2016 hinausgehenden Zeitraum betrachtet.
e)
In der folgenden Abbildung 3 ist der Wasserstand im Zeitraum vom 20.10.2016, 0:00 Uhr $(t=0),$ bis zum 23.10.2016, 12:00 Uhr $(t=3,5),$ in einem erweiterten Koordinatensystem dargestellt.
Die Abbildung 4 zeigt die momentane Änderungsrate des Wasserstandes im verlängerten Zeitraum vom 20.10.2016, 0:00 Uhr, bis zum 28.10.2016, 12:00 Uhr $(t=8,5).$
Skizziere, passend zu der in Abbildung 4 gegebenen momentanen Änderungsrate, in Abbildung 3 den weiteren Verlauf des Wasserstandes bis zum 28.10.2016, 12:00 Uhr.
(4 BE)
#änderungsrate

[1] Der Wasserstand ist die Höhe des Wassers an einer Messstelle (Pegel) und entspricht nicht der Wassertiefe des Flusses.
Bildnachweise [nach oben]
[1]-[4]
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Lösungen
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Aufgabe 3Mit Hilfsmitteln

a)
$\blacktriangleright$  Nullstelle ermitteln
Löse die Gleichung $f(x)=0$ mit deinem GTR, indem du dir den Graphen von $f$ im Graphik-Menü anzeigen lässt und die Nullstellen bestimmst. Wähle den Bereich des Koordinatensystems so, dass $a$ in jedem Fall im Bild liegt.
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
F5 (G-Solv) $\to$ F1: ROOT
F5 (G-Solv) $\to$ F1: ROOT
Mit dem GTR ergibt sich: $a\approx -1,74$
b)
$\blacktriangleright$  Lokale Maximalstelle nachweisen
Für eine lokale Maximalstelle $x$ von $f$ muss das notwendige Kriterium $f'(x)=0$ erfüllt sein. Für die erste Ableitung von $f$ erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& x^4-8\cdot x^3 +6\cdot x^2 +40\cdot x \\[5pt] f'(x)&=& 4\cdot x^3 -8\cdot 3\cdot x^2 +6\cdot 2\cdot x +40\\[5pt] &=& 4\cdot x^3 -24\cdot x^2 +12\cdot x +40\\[5pt] \end{array}$
$ f'(x)=4\cdot x^3 -24\cdot x^2 +12\cdot x +40 $
Einsetzen von $x=2$ ergibt:
$f'(2) =4\cdot 2^3 -24\cdot 2^2 +12\cdot 2 +40 = 0$
$ f'(2)=0 $
Das notwendige Kriterium für lokale Extremstellen ist also erfüllt. Um sicherzugehen, dass es sich um eine Maximalstelle und nicht um eine Minimalstelle handelt, überprüfe das Vorzeichenwechselkriterium:
$\begin{array}[t]{rll} f'(1,99)&\approx& 0,36 \\[5pt] f'(2,01)&\approx& -0,36 \end{array}$
Der Graph von $f$ hat also unmittelbar vor der Stelle $x=2$ eine positive Steigung und unmittelbar danach eine negative. Der Graph steigt also zunächst und fällt nach der Stelle $x=2.$ Daher handelt es sich bei $x=2$ um eine lokale Maximalstelle.
c)
(1)
$\blacktriangleright$  Sekante einzeichnen und Steigung berechnen
Mit Hilfsmitteln
Abb. 1: Sekante $s_1$
Mit Hilfsmitteln
Abb. 1: Sekante $s_1$
Die Steigung $m_1$ kannst du anhand der Koordinaten von $H_1$ und $P_1$ mit Hilfe des Differenzenquotienten berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{y_{P_1} -y_{H_1}}{x_{P_1} -x_{H_1}} \\[5pt] &=& \dfrac{0-56}{4-2} \\[5pt] &=& \dfrac{-56}{2} \\[5pt] &=& -28 \end{array}$
Die Steigung von $s_1$ ist $m_1 = -28.$
$\,$
(2)
$\blacktriangleright$  Tangentengleichung bestimmen
Gesucht ist eine Gleichung der Tangente $t:\; y = m_t\cdot x +b_t.$
Die Steigung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P_1$ entspricht der Steigung des Graphen von $f$ im Punkt $P_1.$ Da diese Steigung durch die erste Ableitung beschrieben wird, gilt also $m_t = f'(4).$
$m_t = f'(4) = 4\cdot 4^3-24\cdot 4^2 +12\cdot 4 +40 = -40$
$ m_t = -40 $
Mit Hilfe einer Punktprobe mit den Koordinaten von $P$ in der Tangentengleichung folgt nun:
$\begin{array}[t]{rll} t:\; y &=& m_t \cdot x + b_t &\quad \scriptsize \mid\; m_t = -40 \\[5pt] y&=& -40\cdot x +b_t &\quad \scriptsize \mid\; P_1(4\mid 0)\\[5pt] 0&=& -40\cdot 4 +b_t \\[5pt] 0&=& -160 + b_t &\quad \scriptsize \mid\; +160 \\[5pt] 160&=& b_t \end{array}$
$ b_t =160 $
Eine Gleichung der Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P_1$ lautet:
$t:\; y = -40\cdot x +160$
#ableitung
$\,$
(3)
$\blacktriangleright$  Tangente einzeichnen
Mit Hilfsmitteln
Abb. 2: Tangente $t$
Mit Hilfsmitteln
Abb. 2: Tangente $t$
$\,$
(4)
$\blacktriangleright$  Koordinaten ermitteln
Die Steigung der Sekante durch $P_1$ und $P_2$ kommt der Steigung der Tangente in $P_1$ näher, je näher $P_2$ an $P_1$ liegt. Du kannst also beispielsweise mit der Stelle $x_P = 3,9$ starten.
$f(3,9) = 4,0521$
Die Steigung der Sekante wäre in dem Fall:
$\dfrac{0 - 4,0521}{4-3.9} = -40,521$
Die Abweichung ist noch zu groß. Probiere also eine Stelle zwischen $x=3,9$ und $x=4,$ beispielsweise $x = 3,99:$
$f(3,99)= 0,40059201$
Die Steigung der Sekante wäre in dem Fall:
$\dfrac{0-0,40059201}{4-3,99} = -40,059201 $
Hier ist die Abweichung zu $m_t=-40$ weniger als $0,1.$ Ein Punkt, der die Bedingung erfüllt ist also $P_2(3,99 \mid 0,40059201).$
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung zum transformierten Graphen angeben
1. Schritt: Gleichung des gestauchten Graphen bestimmen
Eine Stauchung oder Streckung in $y$-Richtung erfolgt durch einen Faktor $a\in \mathbb{R}.$ Die Gleichung der Funktion $g_1$ zum gestauchten Graphen von $f$ lautet also:
$g_1 (x)= a\cdot f(x).$
Bestimme $a$ so, dass $g_1(2)=28$ ist:
$\begin{array}[t]{rll} 28&=& g_1(2) &\quad \scriptsize \mid\; g_1(2)=a\cdot f(2) \\[5pt] 28&=& a\cdot f(2) \\[5pt] 28&=& a\cdot 56 &\quad \scriptsize \mid\; :56\\[5pt] \frac{1}{2}&=& a \end{array}$
$ a=\frac{1}{2} $
Eine Gleichung zum gestauchten Graphen lautet also
$g_1(x)= \frac{1}{2}\cdot f(x)= \frac{1}{2}\cdot \left(x^4-8x^3+6x^2+40x \right).$
$ g_1(x)= \frac{1}{2}\cdot f(x)=… $
2. Schritt: Gleichung des verschobenen Graphen angeben
Der Graph von $g$ entsteht nun durch Verschiebung um $3$ Einheiten in $x$-Richtung:
$g(x)= g_1(x-3) = \frac{1}{2}\cdot \left((x-3)^4-8\cdot (x-3)^3+6\cdot (x-3)^2+40\cdot (x-3) \right)$
$ g(x)= g_1(x-3) = … $

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Wasserstand berechnen
Der Wasserstand am 21.10.2016 um 12:00 Uhr wird durch $h(1,5)$ beschrieben:
$h(1,5) = -\frac{80}{27}\cdot 1,5^3 +\frac{40}{3}\cdot 1,5 ^2 +130 = 150$
$ h(1,5)=150 $
am 21.10.2016 um 12:00 Uhr betrug der Wasserstand des Rheins an der Messstelle in Bonn $150\,\text{cm}.$
b)
$\blacktriangleright$  Wert berechnen und interpretieren
$\dfrac{h(3) -h(1)}{2} = \dfrac{-\frac{80}{27}\cdot 3^3 +\frac{40}{3}\cdot 3^2 +130 - \left(-\frac{80}{27}\cdot 1^3 +\frac{40}{3}\cdot 1^2 +130 \right)}{2} = \frac{400}{27}$
$ …= \frac{400}{27} $
Der Wert ist der Differenzenquotient aus den beiden Punkten $(1\mid h(1))$ und $(3\mid h(3)).$ Er entspricht daher der Steigung der Sekante durch diese beiden Punkte.
Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass der Wasserstand des Rheins an der Messtelle in Bonn zwischen dem $21.10.2016$ um 0:00 Uhr und dem 23.10.2016 um 0:00 Uhr um durchschnittlich $\frac{400}{27}\,\text{cm}$ pro Tag gestiegen ist.
c)
$\blacktriangleright$  Niedrigsten und höchsten Wasserstand ermitteln
1. Schritt: Mögliche lokale Extremstellen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} h(t)&=& -\frac{80}{27}\cdot t^3 +\frac{40}{3}\cdot t^2 +130 \\[5pt] h'(t)&=& -\frac{80}{27}\cdot 3 \cdot t^2 + \frac{40}{3}\cdot 2\cdot t \\[5pt] &=& -\frac{80}{9} \cdot t^2 + \frac{80}{3}\cdot t \end{array}$
$ h'(t)=-\frac{80}{9} \cdot t^2 + \frac{80}{3}\cdot t $
Gleichsetzen von $h'(t)$ mit $0$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} h'(t) &=& 0 \\[5pt] -\frac{80}{9} \cdot t^2 + \frac{80}{3}\cdot t&=& 0\\[5pt] \left(-\frac{80}{9} \cdot t + \frac{80}{3}\right)\cdot t&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; t_1 = 0 \\[5pt] -\frac{80}{9} \cdot t_2 + \frac{80}{3}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-\frac{80}{3} \\[5pt] -\frac{80}{9} \cdot t_2 &=& -\frac{80}{3} &\quad \scriptsize \mid\;: \left( -\frac{80}{9}\right) \\[5pt] t_2&=& 3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h'(t) &=& 0 \\[5pt] t_1 &=& 0 \\[5pt] t_2&=& 3 \end{array}$
Mögliche lokale Extremstellen von $h$ sind also $t_1 =0$ und $t_2 = 3.$
2. Schritt: Funktionswerte vergleichen
Betrachtet wird die Funktion $h$ zur Modellierung des Wasserstandes im Bereich $0\leq t\leq 3,5.$ Den höchsten und den niedrigsten Funktionswert kann $h$ entweder in den beiden möglichen lokalen Extremstellen oder in den Intervallrändern annehmen. Vergleiche daher die Funktionswerte in diesen Stellen:
$\begin{array}[t]{rll} h(0)&=& -\frac{80}{27}\cdot 0^3 +\frac{40}{3}\cdot 0^2 +130 \\[5pt] &=& 130 \\[10pt] h(3)&=& -\frac{80}{27}\cdot 3^3 +\frac{40}{3}\cdot 3^2 +130 \\[5pt] &=& 170 \\[10pt] h(3,5)&=& -\frac{80}{27}\cdot 3,5^3 +\frac{40}{3}\cdot 3,5^2 +130 \\[5pt] &=& \frac{4.490}{27} \\[5pt] &\approx& 166,30 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h(0)&=& 130 \\[10pt] h(3)&=& 170 \\[10pt] h(3,5)&\approx& 166,30 \end{array}$
Der höchste Wasserstand im betrachteten Zeitraum ist $170\,\text{cm},$ der niedrigste ist $130\,\text{cm}.$
#extrempunkt
d)
$\blacktriangleright$  Zeitraum bestimmen
Berechne die Stellen im betrachteten Bereich, für die $h(t)= 140$ bzw. $h(t)= 150$ gilt. Dazu kannst du deinen GTR verwenden, indem du dir den Graphen von $h$ anzeigen lässt.
$\blacktriangleright$ Casio fx-CG
Bestimme den $x$-Wert zum $y$-Wert $-27,0$ mit dem X-CAL-Befehl.
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL
F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL
Du erhältst folgende Lösungen im betrachteten Bereich:
$\begin{array}[t]{rll} h(0,98)&\approx& 140 \\[5pt] h(1,5)&=& 150 \end{array}$
Der Wasserstand lag also ca. einen halben Tag zwischen $140\,\text{cm}$ und $150\,\text{cm}.$
e)
$\blacktriangleright$  Verlauf skizzieren
Mit Hilfsmitteln
Abb. 3: Skizze des weiteren Verlaufs
Mit Hilfsmitteln
Abb. 3: Skizze des weiteren Verlaufs
Bildnachweise [nach oben]
[1]-[3]
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