Teil 1

Aufgabe 1

Berechne die Länge der fehlenden Seite im Dreieck (Abbildung).

Entscheide, ob ein Dreieck mit den Seitenlängen $a=6\,\text{cm},$ $b=8\,\text{cm}$ und $c=10\,\text{cm}$ rechtwinklig ist. Begründe deine Antwort.

Abbildung 1

Aufgabe 2

Vergleiche die Zahlen und setze das Zeichen $\gt ,$ $\lt$ oder $=$ ein.

$\frac{5}{10}$ $\frac{5}{7}$

$0,05$ $5\cdot 10^{-3}$

$-0,1$ $-\frac{1}{10}.$

Aufgabe 3

2015 wurde in Deutschland mit Produkten aus Fairem Handel ein Umsatz von $1,14$ Milliarden Euro erzielt. Das Kreisdiagramm zeigt die Anteile verschiedener Produkte am Gesamtumsatz des Fairen Handels.

Berechne, wie hoch der Umsatz mit Kaffee in Milliarden Euro war.

Beurteile die folgenden Aussagen mithilfe des Kreisdiagramms.

Abbildung 2: Anteile verschiedener Produkte am Gesamtumsatz des Fairen Handelns 2015

Aussage	trifft zu	trifft nicht zu
Ein Zehntel des Gesamtumsatzes wurde mit Blumen erzielt.		
Mehr als $40\,\%$ des Gesamtumsatzes wurden mit Kaffee und Tee erzielt.		
Der Umsatz mit Textilien und Kunsthandwerken war dreimal so hoch wie mit Schokolade.		

Aufgabe 4

Löse das lineare Gleichungssystem. Notiere deinen Lösungsweg.

$\begin{array}{llll} \text{I}\quad&2x+y&=& 14 \\ \text{II}\quad&3x-2y&=& 7 \\ \end{array}$

Begründe, warum das folgende lineare Gleichungssystem keine Lösung hat.

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&y&=& 4x+8 \\ \text{II}\quad&y&=& 4x+5 \\ \end{array}$

Aufgabe 5

Frau Sommer hat ein Bekleidungsgeschäft. Für die Rabattaktion „ $10\,\%$ Rabatt auf alle Pullover“ möchte sie die neuen Preise mit einer Tabellenkalkulation berechnen.

Abbildung 3

Entscheide, mit welchen Formeln man den Wert in Zelle D3 berechnen kann. Kreuze an.

Formel	trifft zu	trifft nicht zu
= B3*(1+B1/100)		
= B3-C3		
= B3*(1-B1/100)		
= B3+c_3		

Der Wert in Zelle B1 wird erhöht. Wie verändert sich der Wert in Zelle D6?
Beschreibe den Zusammenhang.

Bildnachweise [nach oben]

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Aufgabe 1

Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, kann der Satz des Pythagoras angewendet werden.

$\begin{array}[t]{rll} a^2 +b^2 &=& c^2 \\[5pt] a^2 +(55\,\text{cm})^2&=& (70\,\text{cm})^2 \quad \scriptsize \mid\; - (55\,\text{cm})^2\\[5pt] a^2&=& (70\,\text{cm})^2-(55\,\text{cm})^2 \\[5pt] a&=& \sqrt{ (70\,\text{cm})^2-(55\,\text{cm})^2 } \\[5pt] a&\approx& 43,3\,\text{cm} \end{array}$

Die fehlende Seite im Dreieck ist ca. $43,3\,\text{cm}$ lang.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die längste Seite die Hypotenuse. Es müsste also $c$ die Hypotenuse sein und der Satz des Pythagoras gelten:

$\begin{array}[t]{rll} a^2 +b^2&=& c^2 \\[5pt] (6\,\text{cm})^2 +(8\,\text{cm})^2&=& (10\,\text{cm})^2 \\[5pt] 36\,\text{cm}^2 + 64\,\text{cm}^2&=& 100\,\text{cm}^2 \\[5pt] 100\,\text{cm}^2&=& 100\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$

Der Satz des Pythagoras gilt also in dem Dreieck. Es ist daher rechtwinklig.

Aufgabe 2

$\dfrac{5}{10} \lt \dfrac{5}{7}$

$0,05 \gt 0,005= 5\cdot 10^{-3}$

$-0,1= -\frac{1}{10}$

Aufgabe 3

Der Gesamtumsatz beträgt $1,14$ Milliarden Euro. Davon entfielen $35\,\%$ auf Kaffee.

$1,14\,\text{Milliarden Euro} \cdot 0,35$ $= 0,399\,\text{Milliarden Euro}$

Der Umsatz mit Kaffee betrug $399$ Millionen Euro.

Aussage	trifft zu	trifft nicht zu
Ein Zehntel des Gesamtumsatzes wurde mit Blumen erzielt.		
Mehr als $40\,\%$ des Gesamtumsatzes wurden mit Kaffee und Tee erzielt.		
Der Umsatz mit Textilien und Kunsthandwerken war dreimal so hoch wie mit Schokolade.		

Aufgabe 4

$\begin{array}{llll} \text{I}\quad&2x+y&=& 14 &\quad \scriptsize \mid\; 2\cdot\text{I} + \text{II} \\[5pt] \text{II}\quad&3x-2y&=& 7 \\[5pt] \hline \text{I‘}\quad&7x &=& 35 &\quad \scriptsize \mid\; :7\\ &x &=& 5 \\[5pt] \end{array}$

Einsetzen der Lösung in die zweite Gleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \text{II}\quad 3x-2y &=& 7 &\quad \scriptsize \mid\; x=5 \\[5pt] 3\cdot 5 -2y&=& 7 \\[5pt] 15-2y&=& 7&\quad \scriptsize \mid\; -15\\[5pt] -2y&=& -8&\quad \scriptsize \mid\;:(-2) \\[5pt] y&=& 4 \end{array}$

Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist $x=5$ und $y= 4.$

Die beiden Gleichungen können als Funktionsgleichungen zweier Geraden aufgefasst werden. Eine Lösung des Gleichunggsystems wären dann die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Geraden.

Allerdings haben beide Geraden die gleiche Steigung aber unterschiedliche $y$ -Achsenabschnitte. Sie sind also parallel, aber nicht identisch, und können sich demnach nicht schneiden.

Das Gleichungssystem kann also keine Lösung besitzen, da sonst die Geraden einen Schnittpunkt hätten.

Aufgabe 5

Formel	trifft zu	trifft nicht zu
= B3*(1+B1/100)		
= B3-C3		
= B3*(1-B1/100)		
= B3+c_3		

Der Wert in Zelle D6 gibt den neuen Preis eines blauen Pullovers an. Der Wert in Zelle B1 gibt den Rabatt in $\%$ an. Wird mehr Rabatt gegeben, wird der neue Preis geringer, da mehr vom alten Preis abgezogen wird.

Bei einer Erhöhung des Werts in B1 wird also der Wert in Zelle D6 geringer.