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Aufgabe 1

Aufgaben
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Kara stellt mithilfe einer Form selbst Schokoladenkugeln her. Diese bestehen vollständig aus Schokolade und haben einen Durchmesser von $1,5\,\text{cm}.$
#kugel
a)
Zeige, dass das Volumen einer Kugel ca. $1,77\,\text{cm}^3$ beträgt.
b)
Kara will $100$ Kugeln aus Vollmilchschokolade herstellen.
Ein Kubikzentimeter $(\text{cm}^3)$ Vollmilchschokolade wiegt $1,3\,\text{Gramm (g)}.$ Wie viel Gramm Schokolade sollte Kara einkaufen, wenn etwa $5\,\%$ in den Formen zurückbleiben? Notiere deine Rechnung und runde sinnvoll.
#prozent
c)
Sie möchte alle Kugeln in rote Aluminiumfolie verpacken. Sie hat quadratische Stücke mit einer Kantenlänge von $5\,\text{cm}$ zur Verfügung.
Begründe, dass ein solches Stück Aluminiumfolie geeignet ist, um eine Kugel zu verpacken.
#kugel
Aufgabe 1
Abb. 1: Verkürztes Baumdiagramm
Aufgabe 1
Abb. 1: Verkürztes Baumdiagramm
#baumdiagramm#wahrscheinlichkeit
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Volumen einer Kugel berechnen
Der Durchmesser der Kugeln beträgt $1,5\,\text{cm},$ der Radius also $r =0,75\,\text{cm}.$ Mit der Formel für das Volumen einer Kugel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 \\[5pt] &=& \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot (0,75\,\text{cm})^3 \\[5pt] &\approx& 1,77\,\text{cm}^3 \\[5pt] \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Menge der benötigten Schokolade bestimmen
Jede Kugel besitzt ein Volumen von ca. $1,77\,\text{cm}^3.$ Sie benötigt also ca.
$1,77\,\text{cm}^3\cdot 100 = 177\,\text{cm}^3$
Schokolade. Das gewünschte Gewicht der Kugeln ist also:
$177\cdot 1,3\,\text{g} = 230,1\,\text{g}$
$5\,\%$ der Schokolade bleibt in der Form zurück und muss daher zusätzlich einberechnet werden:
$230,1\,\text{g} \cdot 0,05 \approx 11,51\,\text{g}$
Die benötigte Menge ist also:
$230,1\,\text{g} + 11,51\,\text{g}= 241,61 \,\text{g}$
Kara muss also ca. $250\,\text{g}$ Schokolade kaufen.
c)
$\blacktriangleright$  Eignung der Folie begründen
Die Kantenlänge des Papiers muss mindestens so lang sein wie der Umfang einer Kugel.
Mithilfe der Formel für den Umfang eines Kreises ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} u&=& 2\cdot \pi \cdot r \\[5pt] &=& 2\cdot \pi \cdot 0,75\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 4,71\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
Die Aluminiumfolie ist für die Verpackung der Kugel geeignet, da ihre Kantenlänge größer ist als der Umfang der Kugel.
#kreis
d)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit begründen
In der Tüte befinden sich insgesamt $24$ Kugeln, von denen $6$ weiß sind. Die Wahrscheinlichkeit ist also:
$\frac{6}{24} = \frac{1}{4}$
e)
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm ergänzen
Nachdem Karas Opa bereits eine der $6$ weißen Kugeln gegessen hat, sind nur noch $5$ in der Tüte. Insgesamt befinden sich nun noch $23$ Kugeln in der Tüte. Die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel ebenfalls aus weißer Schokolade ist, ist also:
$\frac{5}{23}$
Trage dies im Baumdiagramm ein.
f)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Verwende das Baumdiagramm und die Pfadregeln. Es gibt zwei mögliche Pfade, die zu dem Ereignis führen: $V-W$ und $W-V.$ Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten musst zu addieren.
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{4}\cdot \frac{12}{23} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{23}&=& \frac{6}{23} \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{6}{23}$ ist eine der beiden Kugeln weiß und die zweite aus Vollmilchschokolade.
#pfadregeln
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