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Aufgabe 1

Aufgaben
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Aufgabe 1
Abb. 1: Fuldatalbrücke
Aufgabe 1
Abb. 1: Fuldatalbrücke
a)
Berechne, wie viele Minuten die beiden bis zum Bahnhof benötigen.
#geschwindigkeit
Die Freunde fahren mit dem Zug um 8:14 Uhr in Frankfurt los und kommen um 11:13 Uhr in Baunatal an. Der abgebildete Graph stellt vereinfacht den Verlauf ihrer Zugfahrt dar (Abbildung 2).
Aufgabe 1
Abb. 2: Verlauf der Zugfahrt
Aufgabe 1
Abb. 2: Verlauf der Zugfahrt
b)
Auf welcher Teilstrecke fährt der Zug mit der höchsten Durchschnittsgeschwindigkeit? Begründe deine Entscheidung.
Um 8:30 Uhr fährt in Baunatal ein Güterzug nach Frankfurt los. Er fährt die Strecke mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von $100$ Kilometern pro Stunde $[\text{km/h}].$
c)
Zeichne den Verlauf der Fahrt des Güterzug in die Grafik ein (Abbildung 2). Entnimm der Grafik den Streckenabschnitt, auf dem sich die beiden Züge begegnen und gib die ungefähre Uhrzeit an.
Aufgabe 1
Abb. 3: Dreieck zur Schräglage
Aufgabe 1
Abb. 3: Dreieck zur Schräglage
d)
Max behauptet:
„Wenn der Neigungswinkel $\alpha = 7,1^{\circ}$ beträgt, dann beträgt der Höhenunterschied der Gleise $u\approx 17,7\,\text{cm}.$$“
Hat Max recht? Begründe mit einer Rechnung.
In Baunatal fotografieren Max und Justus die Brücke für den Mathematikunterricht. Der Brückenbogen kann durch eine Parabel $g$ der Form $g(x)= d\cdot (x-e)^2 +f$ angenähert werden (Abbildung 4).
Aufgabe 1
Abb. 4: Brückenbogen durhc eine Parabel angenähert, alle Angaben sind in Metern
Aufgabe 1
Abb. 4: Brückenbogen durhc eine Parabel angenähert, alle Angaben sind in Metern
#parabel
e)
Begründe, dass die Funktionsgleichung $g(x)= -0,008\cdot (x-50)^2 +20$ geeignet ist, um den Brückenbogen zu beschreiben.
f)
Justus legt den Ursprung des Koordinatensystems in den Scheitelpunkt der Parabel.
Gib die veränderten Werte für $e$ und $f$ an. Wie verändert sich der Wert für $d?$
Bildnachweise [nach oben]
[1]
Public Domain.
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Dauer berechnenAufgabe 1
Die beiden legen eine Strecke von $2,4\,\text{km}$ mit einer Geschwindigkeit von $4\,\text{km/h}$ zurück.
$2,4 : 4 = 0,6$
Die beiden benötigen also $0,6$ Stunden. Dies musst du nun noch in Minuten umrechnen:
$0,6\cdot 60 = 36$
Die beiden benötigen $36$ Minuten bis zum Bahnhof.
b)
$\blacktriangleright$  Teilstrecke mit der höchsten Durchschnittsgeschwindigkeit bestimmen
Der Zug fährt schneller je mehr Strecke er in derselben Zeit zurücklegt. Je steiler also das zugehörige Stück des Graphen ist, desto schneller ist der Zug unterwegs.
Das steilste Graphenstück ist das für die Teilstrecke zwischen Gießen und Marburg. Auf der Teilstrecke zwischen Gießen und Marburg fährt der Zug mit der höchsten Durchschnittsgeschwindigkeit.
c)
$\blacktriangleright$  Verlauf einzeichnen
Aufgabe 1
Abb. 1: Verlauf des Güterzugs in grün
Aufgabe 1
Abb. 1: Verlauf des Güterzugs in grün
$\blacktriangleright$  Streckenabschnitt und Zeitpunkt der Begegnung bestimmen
Die beiden Züge begegnen sich, wenn sich die beiden Graphen schneiden. Der Abbildung kannst du entnehmen, dass sich die Graphen zwischen Marburg und Treysa schneiden. Die Züge begegnen sich also auf dem Streckenabschnitt zwischen Marburg und Treysa. Dies geschieht etwa um 9:23 Uhr.
d)
$\blacktriangleright$  Max Behauptung überprüfen
Betrachte das Dreieck aus der Abbildung. Dabei handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck. Du kennst die Größe des Winkels $\alpha = 7,1^{\circ}$ und die Länge der Hypotenuse $c = 1.435\,\text{mm}.$ Gesucht ist die Länge der Gegenkathete $u.$ Verwende also den Sinus:
$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha &=& \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \\[5pt] \sin \alpha &=& \dfrac{u}{c} \\[5pt] \sin 7,1^{\circ} &=& \dfrac{u}{ 1.435\,\text{mm}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 1.435\,\text{mm} \\[5pt] \sin 7,1^{\circ} \cdot 1.435\,\text{mm} &=& u \\[5pt] 177,37\,\text{mm} &\approx& u \\[5pt] 17,7\,\text{cm} &\approx& u \end{array}$
$u \approx 17,7\,\text{cm} $
Max hat also recht.
#rechtwinkligesdreieck#sinus
e)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung begründen
Der Abbildung kannst du vier Bedingungen für die Parabel $g$ entnehmen:
  • Sie ist nach unten geöffnet.
  • Ihr Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(50\mid 20).$
  • Der Punkt $(0\mid 0)$ liegt auf der Parabel.
  • Der Punkt $(100\mid 0)$ liegt auf der Parabel.
Da der Faktor $d = -0,008$ negativ ist, ist die Parabel mit der Gleichung $g(x)= -0,008 \cdot (x-50)^2 +20$ nach unten geöffnet. Die Funktionsgleichung ist in der Scheitelpunktform angegeben, wodurch der Scheitelpunkt mit $(50\mid 20)$ direkt abgelesen werden kann. Die ersten beiden Bedingungen sind also erfüllt.
$g(0)= -0,008 \cdot (0-50)^2 +20 = 0$
$ g(0)=0 $
Der Punkt $(0\mid 0)$ liegt also auf der durch $g(x)$ beschriebenen Parabel, sodass auch die dritte Bedingung erfüllt ist.
$g(100)= -0,008 \cdot (100-50)^2 +20 = 0 $
$ g(100)=0 $
Der Punkt $(100\mid 0)$ liegt also auf der durch $g(x)$ beschriebenen Parabel, sodass auch die vierte Bedingung erfüllt ist. Damit ist $g(x)$ geeignet, um den Brückenbogen zu beschreiben.
f)
$\blacktriangleright$  Veränderte Werte angeben
Wie in e) bereits erwähnt, liegt die Funktionsgleichung von $g$ bereits in der Scheitelpunktform vor. Der Scheitelpunkt der Parabel hat also die Koordinaten $(e\mid f).$ Damit der Koordinatenursprung $(0\mid 0)$ nun Scheitelpunkt der Parabel ist, muss also $e=0$ und $f=0$ sein.
Der Wert für $d$ verändert nicht die Lage der Parabel, sondern sorgt für eine Stauchung oder Streckung. Daran soll sich aber nichts ändern, also bleibt der Wert für $d$ gleich.
Bildnachweise [nach oben]
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