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Aufgabe 3

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Die Sierpinski-Dreiecke entstehen folgendermaßen (Abbildung 1):
  • Das Ausgangsdreieck ist ein gleichseitiges Dreieck (Figur 0).
  • Die Mittelpunkte der Dreiecksseiten werden miteinander verbunden. Es entstehen vier kleine gleichseitige Dreiecke. Das mittlere Dreieck wird weiß gefärbt (Figur 1).
  • Dieser Vorgang wird für alle schwarzen Dreiecke wiederholt (Figur2,3,4,…).
Sierpinski-Dreiecke
Abb. 1: Sierpinski-Dreiecke, Figur 0 bis Figur 4
Sierpinski-Dreiecke
Abb. 1: Sierpinski-Dreiecke, Figur 0 bis Figur 4
Jede Seitenlänge des Dreiecks in Figur 0 beträgt $10\,\text{cm}.$
a)
Figur 0
Abb. 2: Dreieck zu Figur 0
Figur 0
Abb. 2: Dreieck zu Figur 0
#dreieck#gleichseitigesdreieck
b)
Begründe den folgenden Zusammenhang anhand der Abbildung 1:
Der Flächeninhalt aller schwarzen Dreiecke einer neuen Figur beträgt $\frac{3}{4}$ der Fläche der schwarzen Dreiecke der vorherigen Figur.
c)
Der Flächeninhalt $A_n$ aller schwarzen Dreiecke in Figur $n$ kann mit folgendem Term berechnet werden:
$43,3\cdot 0,75^n $ (in $\text{cm}$).
Bei welcher Figur $n$ beträgt der Flächeninhalt aller schwarzen Dreiecke zum ersten Mal weniger als $4\,\text{cm}^2?$ Notiere dein Vorgehen.
Vera berechnet mit einer Tabellenkalkulation die Flächeninhalte der schwarzen Dreiecke.
#tabellenkalkulation
d)
Berechne den fehlenden Wert in Zelle E5. Runde auf drei Nachkommastellen.
e)
Betrachte die Zelle D3. Gib eine Formel an, mit der sich der Wert in dieser Zelle berechnen lässt.
f)
Die Summe der Flächeninhalte der schwarzen und der weißen Dreiecke ergibt in jeder Figur zusammen $43,3\,\text{cm}^2.$
Wie entwickeln sich die Flächeninhalte der schwarzen und der weißen Flächen, wenn man die Figuren immer wieter fortsetzt? Beschreibe.
Bildnachweise [nach oben]
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