Aufgabe 3

Die Sierpinski-Dreiecke entstehen folgendermaßen (Abbildung 1):

Das Ausgangsdreieck ist ein gleichseitiges Dreieck (Figur 0).
Die Mittelpunkte der Dreiecksseiten werden miteinander verbunden. Es entstehen vier kleine gleichseitige Dreiecke. Das mittlere Dreieck wird weiß gefärbt (Figur 1).
Dieser Vorgang wird für alle schwarzen Dreiecke wiederholt (Figur2,3,4,...).

Abbildung 1

Jede Seitenlänge des Dreiecks in Figur 0 beträgt $10\,\text{cm}.$

Bestätige durch eine Rechnung, dass der Flächeninhalt des Dreiecks in Figur 0 $A_0 = 43,3\,\text{cm}^2$ beträgt (Abbildung 2).

Abbildung 2: Dreieck zu Figur 0

Begründe den folgenden Zusammenhang anhand der Abbildung 1:
Der Flächeninhalt aller schwarzen Dreiecke einer neuen Figur beträgt $\frac{3}{4}$ der Fläche der schwarzen Dreiecke der vorherigen Figur.

Der Flächeninhalt $A_n$ aller schwarzen Dreiecke in Figur $n$ kann mit folgendem Term berechnet werden:

$43,3\cdot 0,75^n$ (in $\text{cm}$ ).

Bei welcher Figur $n$ beträgt der Flächeninhalt aller schwarzen Dreiecke zum ersten Mal weniger als $4\,\text{cm}^2?$ Notiere dein Vorgehen.

Vera berechnet mit einer Tabellenkalkulation die Flächeninhalte der schwarzen Dreiecke.

Abbildung 3

Berechne den fehlenden Wert in Zelle E5. Runde auf drei Nachkommastellen.

Betrachte die Zelle D3. Gib eine Formel an, mit der sich der Wert in dieser Zelle berechnen lässt.

Die Summe der Flächeninhalte der schwarzen und der weißen Dreiecke ergibt in jeder Figur zusammen $43,3\,\text{cm}^2.$
Wie entwickeln sich die Flächeninhalte der schwarzen und der weißen Flächen, wenn man die Figuren immer weiter fortsetzt? Beschreibe.

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1. Schritt: Höhe berechnen

Die Höhe $h$ teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Die Hypotenuse eines solchen Dreiecks ist $10\,\text{cm}$ lang. Eine der beiden Katheten ist $h,$ die andere ist $5\,\text{cm}$ lang. Mit dem Satz des Pythagoras kann die Höhe berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} (10\,\text{cm})^2 &=& h^2 +(5\,\text{cm})^2 \\[5pt] 100\,\text{cm}^2 &=& h^2 +25\,\text{cm}^2 \quad \scriptsize \mid\;-25\,\text{cm} \\[5pt] 75\,\text{cm}^2 &=& h^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] 8,66\,\text{cm} &\approx& h\\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Flächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_0&=& \dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot 10\,\text{cm} \cdot 8,66\,\text{cm} \\[5pt] &=& 43,3\,\text{cm}^2 \end{array}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks in Figur 0 ist also $A_0 = 43,3\,\text{cm}^2.$

Jedes schwarze Dreieck der vorherigen Figur wird für die neue Figur in vier kleinere Dreiecke geteilt, die alle gleichgroß sind. Von diesen vier Dreiecken werden nur drei schwarz eingefärbt.
Jedes schwarze Dreieck der vorherigen Figur wird also nur zu $\frac{3}{4}$ in der neuen Figur schwarz gefärbt.
Alle Dreiecke, die vorher schon weiß waren, bleiben auch in der neuen Figur weiß. Der Flächeninhalt aller schwarzen Dreiecke in der neuen Figur beträgt also $\frac{3}{4}$ der Fläche der schwarzen Dreiecke der vorherigen Figur.

Löse die Gleichung $43,4\cdot 0,75^n \approx 4$ mithilfe des Logarithmus:

$\begin{array}[t]{rll} 43,3\cdot 0,75^n &\approx& 4 \quad \scriptsize \mid\;:43,3 \\[5pt] 0,75^n &\approx& \dfrac{4}{43,3} \quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] \ln (0,75^n)&\approx& \ln \dfrac{4}{43,3} \\[5pt] n\cdot\ln 0,75&\approx& \ln \dfrac{4}{43,3} \quad \scriptsize \mid\; :\ln 0,75 \\[5pt] n &\approx& 8,28 \end{array}$

Es muss auf eine ganze Zahl gerundet werden. Bei $n=8$ ist der Flächeninhalt noch zu groß. Bei Figur 9 beträgt der Flächeninhalt aller schwarzen Dreiecke also zum ersten Mal weniger als $4\,\text{cm}^2.$

Der fehlende Wert entspricht dem Anteil des Flächeninhalts aller schwarzen Dreiecke der Figur 3 am Gesamtflächeninhalt. Der Gesamtflächeninhalt beträgt bei jeder Figur $43,3\,\text{cm}^2.$ Die Fläche aller schwarzen Dreiecke in Figur 3 ist $18,267\,\text{cm}^2$ groß.

$\dfrac{18,267}{43,300} \approx 0,422$

Der fehlende Wert in Zelle E5 ist $0,422.$

In Zelle D3 soll der Flächeninhalt aller schwarzen Dreiecke in Figur 1 stehen. Dazu muss die Anzahl der schwarzen Dreiecke in Figur 1 mit der Fläche eines schwarzen Dreiecks in Figur 1 multipliziert werden. Die zugehörigen Formelfelder sind B3 und C3. Die Formel ist also:

$D3 = B3*C3$

Nach Teilaufgabe b) nimmt der Flächeninhalt aller schwarzen Dreiecke mit jeder Figur ab. Da alles weiß ist, was nicht schwarz ist, nimmt der Flächeninhalt der weißen Dreiecke bei jeder Fortsetzung der Figuren immer weiter zu.

Auf lange Sicht nähert sich der Flächeninhalt der schwarzen Dreiecke also dem Wert Null. Damit nähert sich der Flächeninhalt aller weißen Dreiecke immer weiter dem Wert $43,3\,\text{cm}^2$ an.