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Teil 1

Aufgaben
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Aufgabe 1

Ordne folgende Zahlen der Größe nach:
$10^8$;      $2^{-1}$;      $\dfrac{1}{3}$;      $10^{-1}$;      $2^8$

Aufgabe 2

Claude wirft mit einem besonderen Spielwürfel.
Hier siehst du das Netz des Würfels.
Teil 1
Teil 1
a)  Begründe, dass die Wahrscheinlichkeit für die Augenzahl „$2$“ bei einem Wurf mit dem Würfel $\frac{1}{3}$ beträgt.
b)  Der Würfel wird zweimal geworfen.
Ergänze in dem Baumdiagramm die fehlenden Wahrscheinlichkeiten und Ereignisse.
c)  Berechne die Wahrscheinlichkeit, zweimal eine „$2$“ zu würfeln.
Teil 1
Teil 1

Aufgabe 3

Eine zylinderförmige Getränkedose enthält $0,33\,\text{l}$ Mineralwasser und hat einen Durchmesser von $67\,\text{mm}$.
Wie hoch ist die Getränkedose mindestens?

Aufgabe 4

Löse folgendes Gleichungssystem mit einem geeigneten Verfahren:
(I)
$2x+y=2$
(II)
$x-0,5y=2$

Aufgabe 5

Bei einem Dreieck $ABC$ ist die Seite $\overline{AB}$ $4\,\text{cm}$ lang (vgl. Abbildung rechts). Der Winkel $\alpha$ bei dem Punkt $A$ ist $40°$ groß.
a)  Bestimme rechnerisch die Länge der Seite $\overline{AC}$.
b)  Bestimme rechnerisch die Länge der Seite $\overline{BC}$.
Teil 1
Teil 1

Aufgabe 6

Mit einer dynamischen Geometriesoftware werden zwei Geraden durch die Punkte $A$ und $B$ bzw. $C$ und $D$ erzeugt. Die beiden Geraden haben den gemeinsamen Schnittpunkt $S$ (vgl. Abbildung unten).
Was verändert sich, wenn du den Punkt $A$ auf die Koordinaten $(2\mid8)$ verschiebst? Begründe.
Teil 1 Bildschirmfoto aus einer dynamischen Geometriesoftware
Teil 1 Bildschirmfoto aus einer dynamischen Geometriesoftware
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Tipps
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Aufgabe 1

$\blacktriangleright$  Zahlen der Größe nach ordnen
Bringe die Zahlen in Dezimalschreibweise, um sie zu vergleichen.
Für Zahlen mit negativen Hochzahlen (= Exponenten) gilt:
$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$

Aufgabe 2

a)  $\blacktriangleright$  Begründen, dass die Wahrscheinlichkeit für eine „$\boldsymbol{2}$“ bei einem Wurf $\boldsymbol{\frac{1}{3}}$ beträgt
Gegeben ist ein 6-seitiger Würfel:
  • $4$ Seiten haben die Augenzahl „$1$“
  • $2$ Seiten haben die Augenzahl „$2$“
Es gilt: $\small{\text{Wahrscheinlichkeit für „2“}}=\dfrac{\small{\text{Anzahl Seiten mit „2“}}}{\small{\text{Gesamtzahl der Seiten}}}$
b)  $\blacktriangleright$  Baumdiagramm ergänzen
In den Kreisen stehen die Augenzahlen des Würfels ($1$ oder $2$), in den Quadraten die Wahrscheinlichkeit für die jeweilige Augenzahl ($\frac{1}{3}$ oder $\frac{2}{3}$).
Für die „$1$“ gilt: $\small{\text{Wahrscheinlichkeit für „1“}}=\dfrac{\small{\text{Anzahl Seiten mit „1“}}}{\small{\text{Gesamtzahl der Seiten}}}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$
c)  $\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen, zweimal eine „$\boldsymbol{2}$“ zu würfeln
Wende die Pfadmultiplikationsregel an. $2$ mal wird geworfen. Die Wahrscheinlichkeit für eine „$2$“ beträgt $\frac{1}{3}$.

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$  Mindesthöhe der Getränkedose berechnen
Gegeben ist ein Zylinder mit:
  • Volumen $V=0,33\,\text{l}$
  • Durchmesser $d=67\,\text{mm}$
Rechne die Einheiten um (Formelsammlung):
  • $V=0,33\,\text{l}=330\,\text{ml}=330\,\text{cm}^3$
  • Durchmesser $d=2r=67\,\text{mm}=6,7\,\text{cm}\quad\Rightarrow$ Radius $r=3,35\,\text{cm}$
Verwende die Formel zur Volumenberechnung und stelle nach der Höhe $h$ um.

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$  Gleichungssystem lösen
Löse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren oder mit dem Einsetzungsverfahren.

Aufgabe 5

a)  $\blacktriangleright$  Länge der Seite $\boldsymbol{\overline{AC}}$ bestimmen
In einem rechtwinkligen Dreieck sind gegeben:
  • Winkel $\alpha=40°$
  • Seite $\overline{AB}$ als Ankathete von $\alpha$ mit der Länge $4\,\text{cm}$
Gesucht ist die Hypotenuse $\overline{AC}$.
Berechne über den Kosinus:
$\cos{\alpha}=\dfrac{\small{\text{Ankathete}}}{\small{\text{Hypotenuse}}}$
Stelle nach der Hypotenuse um.
b)  $\blacktriangleright$  Länge der Seite $\boldsymbol{\overline{BC}}$ bestimmen
Im rechtwinkligen Dreieck $ABC$ sind gegeben:
  • Winkel $\alpha=40°$
  • Seite $\overline{AB}$ als Ankathete von $\alpha$ mit der Länge $4\,\text{cm}$
  • Seite $\overline{AC}$ als Hypotenuse mit der Länge $5,22\,\text{cm}$
Berechne die Länge der Gegenkathete $\overline{BC}$ entweder über den Tangens oder den Satz des Pythagoras.
Für den Tangens gilt:
$\tan{\alpha}=\dfrac{\small{\text{Gegenkathete}}}{\small{\text{Ankathete}}}$
Der Satz des Pythagoras lautet:
$a^2+b^2=c^2$

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$  Punkt $\boldsymbol{A}$ verschieben und begründen, was sich verändert
Der Punkt $A$ befindet sich ungefähr bei $(1,5 \mid 5,5)$.
Eine Erhöhung des $x$-Wertes und des $y$-Wertes sorgt jeweils für eine Verschiebung der Geraden durch $A$ und $B$.
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Lösungen
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Aufgabe 1

$\blacktriangleright$  Zahlen der Größe nach ordnen
Bringe die Zahlen in Dezimalschreibweise, um sie zu vergleichen.
Für Zahlen mit negativen Hochzahlen (= Exponenten) gilt:
$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$
$\begin{array}[t]{rcl} 2^{-1}&=&\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}=0,5 \\[5pt] 10^{-1}&=&\frac{1}{10^1}=\frac{1}{10}=0,1 \\[5pt] \frac{1}{3}&=&0,\overline{3} \\[5pt] 2^8&=&2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 256 \\[5pt] 10^8&=&10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10=100.000.000 \quad \scriptsize \text{(1 mit 8 Nullen)} \end{array}$
Die Zahlen $2^8$ und $10^8$ musst du nicht ausrechnen, um sie zu vergleichen – bei gleicher Hochzahl entscheidet die Basis, welche Zahl größer ist: $10 > 2 \Rightarrow 10^8 > 2^8$.
Ordne von klein nach groß: $\boldsymbol{10^{-1} < \frac{1}{3} < 2^{-1} < 2^8 < 10^8}$

Aufgabe 2

a)  $\blacktriangleright$  Begründen, dass die Wahrscheinlichkeit für eine „$\boldsymbol{2}$“ bei einem Wurf $\boldsymbol{\frac{1}{3}}$ beträgt
Gegeben ist ein 6-seitiger Würfel:
  • $4$ Seiten haben die Augenzahl „$1$“
  • $2$ Seiten haben die Augenzahl „$2$“
Es gilt: $\small{\text{Wahrscheinlichkeit für „2“}}=\dfrac{\small{\text{Anzahl Seiten mit „2“}}}{\small{\text{Gesamtzahl der Seiten}}}=\dfrac{2}{6}=\boldsymbol{\dfrac{1}{3}}$
b)  $\blacktriangleright$  Baumdiagramm ergänzen
In den Kreisen stehen die Augenzahlen des Würfels ($1$ oder $2$), in den Quadraten die Wahrscheinlichkeit für die jeweilige Augenzahl ($\frac{1}{3}$ oder $\frac{2}{3}$).
Für die „$1$“ gilt: $\small{\text{Wahrscheinlichkeit für „1“}}=\dfrac{\small{\text{Anzahl Seiten mit „1“}}}{\small{\text{Gesamtzahl der Seiten}}}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$
Teil 1
Teil 1
c)  $\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen, zweimal eine „$\boldsymbol{2}$“ zu würfeln
Wende die Pfadmultiplikationsregel an. $2$ mal wird geworfen. Die Wahrscheinlichkeit für eine „$2$“ beträgt $\frac{1}{3}$.
$\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \boldsymbol{\dfrac{1}{9}}$

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$  Mindesthöhe der Getränkedose berechnen
Gegeben ist ein Zylinder mit:
  • Volumen $V=0,33\,\text{l}$
  • Durchmesser $d=67\,\text{mm}$
Rechne die Einheiten um (Formelsammlung):
  • $V=0,33\,\text{l}=330\,\text{ml}=330\,\text{cm}^3$
  • Durchmesser $d=2r=67\,\text{mm}=6,7\,\text{cm}\quad\Rightarrow$ Radius $r=3,35\,\text{cm}$
Verwende die Formel zur Volumenberechnung und stelle nach der Höhe $h$ um.
$\small{\text{Volumen}}= \small{\text{Grundfläche}} \cdot \small{\text{Höhe}} = \pi r^2 \cdot h$
$\begin{array}[t]{rcl} V&=&\pi \cdot r^2 \cdot h \quad & \scriptsize \mid \; :(\pi \cdot r^2) \\[5pt] \dfrac{V}{\pi \cdot r^2}&=&h \\ h&=&\dfrac{330\,\text{cm}\color{#dc1400}{^3}}{\pi \cdot 11,2225\,\color{#dc1400}{\text{cm}^2}}\\[5pt] h&=&9,36\,\text{cm} \end{array}$
Die Getränkedose ist mindestens $\boldsymbol{9,36\,\textbf{cm}}$ hoch.

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$  Gleichungssystem lösen
Löse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren oder mit dem Einsetzungsverfahren.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Additionsverfahren
$\begin{array}{lrcll} \text{I}\quad&2x+y&=&2\quad& \scriptsize\text{Rechne: }\text{I}+2 \cdot \text{II}\\ \text{II}\quad&x-0,5y&=&2&\quad\\ \hline \text{Ia}\quad&4x&=&6\quad&\scriptsize\mid \; :4 \\ \text{II}\quad&x-0,5y&=&2\quad&\scriptsize\mid \; \cdot 2 \\ \hline \text{Ib}\quad&x&=&1,5\quad& \\ \text{IIa}\quad&2x-y&=&4& \Rightarrow y=-1\quad \end{array}$
Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist: $\textbf{L}\boldsymbol{=\{(1,5;-1)\}}$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Einsetzungsverfahren
$\begin{array}{lrcll} \text{I}\quad &2x+y &=& 2\quad &\scriptsize \mid \; :2 \\ \text{II}\quad &x-0,5y &=& 2\quad &\scriptsize \mid \; +0,5y \\ \hline \text{Ia}\quad &x+0,5y &=& 1\quad &\scriptsize \text{II in I einsetzen} \; \\ \text{IIa}\quad &x &=& 2+0,5y\quad &\scriptsize \mid \; \\ \hline \text{Ib}\quad &2 + y &=& 1\quad &\scriptsize \mid \; -2 \\ \text{IIa}\quad &x &=& 2+0,5y \quad &\scriptsize \\ \hline \text{Ic}\quad &y &=& -1\quad &\scriptsize \\ \text{IIa}\quad &x &=& 2+0,5 \cdot (-1)&\Rightarrow x=1,5 \\ \end{array}$
Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist: $\textbf{L}\boldsymbol{=\{(1,5;-1)\}}$.

Aufgabe 5

a)  $\blacktriangleright$  Länge der Seite $\boldsymbol{\overline{AC}}$ bestimmen
In einem rechtwinkligen Dreieck sind gegeben:
  • Winkel $\alpha=40°$
  • Seite $\overline{AB}$ als Ankathete von $\alpha$ mit der Länge $4\,\text{cm}$
Gesucht ist die Hypotenuse $\overline{AC}$.
Berechne über den Kosinus:
$\cos{\alpha}=\dfrac{\small{\text{Ankathete}}}{\small{\text{Hypotenuse}}}$
Stelle nach der Hypotenuse um:
$\begin{array}[t]{rcl} \cos{\alpha}&=&\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}} \qquad \scriptsize \mid \; : \cos{\alpha}; \cdot\,\text{Hypotenuse}\,\overline{AC} \\[5pt] \overline{AC}&=&\dfrac{\overline{AB}}{\cos{\alpha}} = \dfrac{4\,\text{cm}}{\cos{(40°)}} = \dfrac{4\,\text{cm}}{0,77} = \boldsymbol{5,22\,\textbf{cm}} \end{array}$
b)  $\blacktriangleright$  Länge der Seite $\boldsymbol{\overline{BC}}$ bestimmen
Im rechtwinkligen Dreieck $ABC$ sind gegeben:
  • Winkel $\alpha=40°$
  • Seite $\overline{AB}$ als Ankathete von $\alpha$ mit der Länge $4\,\text{cm}$
  • Seite $\overline{AC}$ als Hypotenuse mit der Länge $5,22\,\text{cm}$
Berechne die Länge der Gegenkathete $\overline{BC}$ entweder über den Tangens oder den Satz des Pythagoras.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Über Tangens berechnen
Für den Tangens gilt:
$\tan{\alpha}=\dfrac{\small{\text{Gegenkathete}}}{\small{\text{Ankathete}}}$
Stelle nach der Gegenkathete $\overline{BC}$ um:
$\begin{array}[t]{rcl} \tan{\alpha}&=&\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}} \qquad \scriptsize \mid \; \cdot\,\text{Ankathete}\,\overline{AB} \\[5pt] \overline{BC}&=& \tan{\alpha} \cdot \,\overline{AB}= \tan{(40°)} \cdot 4\,\text{cm} = 0,84 \cdot 4 = \boldsymbol{3,36\,\textbf{cm}} \end{array}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Über Satz des Pythagoras berechnen
Der Satz des Pythagoras lautet:
$a^2+b^2=c^2$
  • $a$ ist die Kathete $\overline{AB}$ mit der Länge $4\,\text{cm}$
  • $c$ ist die Hypotenuse $\overline{AC}$ mit der Länge $5,22\,\text{cm}$
  • $b$ ist die gesuchte Kathete $\overline{BC}$
Stelle nach $b^2$ um:
$\begin{array}[t]{rll} a^2+b^2&=&c^2 &\quad \scriptsize \mid \; -a^2 \\[2pt] b^2&=&c^2-a^2 &\quad \scriptsize \\[2pt] &=&(5,22\,\text{cm})^2-(4\,\text{cm})^2 \\[2pt] &=&27,25\,\text{cm}^2-16\,\text{cm}^2 \\[2pt] &=&11,25\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid \; \sqrt{\;} \\[2pt] &=&\boldsymbol{3,35\,\textbf{cm}} \\[2pt] \end{array}$
Die Abweichung von 0,01 cm im Vergleich zu Lösungsweg A entsteht durch das Runden auf die 2. Nachkommastelle.

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$  Punkt $\boldsymbol{A}$ verschieben und begründen, was sich verändert
Der Punkt $A$ befindet sich ungefähr bei $(1,5 \mid 5,5)$.
Eine Erhöhung des $x$-Wertes und des $y$-Wertes sorgt jeweils für eine Verschiebung der Geraden durch $A$ und $B$. Dadurch wird auch der Schnittpunkt $\boldsymbol{S}$ in positiver $x$-Richtung (nach „rechts“) und in positiver $y$-Richtung (nach „oben“) verschoben.
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