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Teil 2

Aufgaben
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Aufgabe 1: Wandern und Routenplaner

Karla macht Wanderurlaub am Bodensee. Sie plant eine Wanderung in zwei Etappen von Lindau bis Bregenz und von Bregenz zum Brüggelekopf.
Auf der Karte ist die erste Etappe der Wanderung zu sehen: Die Route von Lindau bis nach Bregenz.
Teil 2 Abbildung 1: Ausschnitt der Wanderkarte. Die erste Etappe startet in Lindau
und führt bis zur markierten Stelle in Bregenz.
Teil 2 Abbildung 1: Ausschnitt der Wanderkarte. Die erste Etappe startet in Lindau und führt bis zur markierten Stelle in Bregenz.
a)  Schätze anhand der Karte die Länge der Strecke der ersten Etappe ab.
Notiere dein Vorgehen.
Die zweite Etappe der Wanderung von Bregenz bis zum Brüggelekopf plant Karla mithilfe eines Höhenprofils (siehe Abbildung unten). Sie möchte wissen, welche Auf- und Abstiege sie bei ihrer Wanderung bewältigen muss. Das Höhenprofil ordnet jedem Punkt des Weges auf der Karte seine Höhe über dem Meeresspiegel zu.
Teil 2 Abbildung 2: Höhenprofil von Bregenz bis zum Brüggelekopf
Teil 2 Abbildung 2: Höhenprofil von Bregenz bis zum Brüggelekopf
Karlas Höhenprofil zeigt von Bregenz aus die Strecke laut Karte in km und die jeweilige Höhe in m an. Der tatsächlich zurückgelegte Weg kann über die Länge des Höhenprofils bestimmt werden.
b)  In Oberfeld will Karla ihre erste Pause machen. Entnimm der Abbildung 2 die Länge der Strecke von Bregenz bis Oberfeld.
c)  Auf wie viele Meter genau kannst du die Höhe eines Ortes aus der Abbildung 2 ablesen?
d)  Das letzte Stück des Weges zwischen Alberschwende und dem Brüggelekopf ist ziemlich steil.
Wie viele Meter liegt der Brüggelekopf höher als der Ort Alberschwende?
Auf den letzten $2\,\text{km}$ vor dem Brüggelekopf müssen noch $400\,\text{m}$ Höhe überwunden werden.
e)  Karlas kleiner Bruder behauptet: „Die Strecke, die du wandern musst, ist länger als $2\,\text{km}$.“
Hat Karlas kleiner Bruder recht? Begründe deine Entscheidung.
f)  Steigungen im Gelände werden üblicherweise in Prozent angegeben.
Berechne die ungefähre Steigung in Prozent für die letzten $2\,\text{km}$.
Karla möchte abschätzen, wie lange sie ohne Pausen unterwegs sein wird. Sie findet im Internet für die Wanderung von Bregenz zum Brüggelekopf die folgenden Informationen:
Länge der Strecke:$19,2\,\text{km}$
Höhenunterschiede insgesamt:
Aufstieg:$1.019\,\text{m}$
Abstieg:$251\,\text{m}$
„Du gehst auf einer ebenen Strecke mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von ca. $4,2\,\text{km}$ pro Stunde. Sowohl beim Aufstieg als auch beim Abstieg benötigst du mehr Zeit: Du rechnest für jeden Höhenunterschied von $300\,\text{m}$ eine zusätzliche Stunde dazu.“
g)  Berechne mithilfe der Informationen die ungefähre Wanderzeit (ohne Pausen) von Bregenz bis zum Brüggelekopf.

Aufgabe 2: Fallschirmsprung

Andreas möchte einen Fallschirmsprung durchführen. Er informiert sich vorher und findet eine Abbildung, die den Verlauf eines typischen Sprunges annähernd beschreibt. Bei diesem Sprung öffnet sich der Fallschirm in etwa $1.500\,\text{m}$.
Teil 2 Abbildung: Höhe (in m) eines Fallschirmspringers in Abhängigkeit von der Zeit (in s)
Teil 2 Abbildung: Höhe (in m) eines Fallschirmspringers in Abhängigkeit von der Zeit (in s)
a)  Wie lange dauert der Sprung ungefähr? Gib die Zeitdauer in Minuten an.
b)  Andreas überlegt, wie sich der Sprung verändert, wenn er den Fallschirm bereits in $2.000\,\text{m}$ Höhe öffnet.
Skizziere den Verlauf des geänderten Fallschirmsprungs im vorhandenen Koordinatensystem.
In einer weiteren Abbildung ist ein Ausschnitt des vorher abgebildeten Sprunges detaillierter dargestellt. Darin sind nur die ersten $45$ Sekunden des Sprunges in der Höhe von $3.000\,\text{m}$ bis $1.000\,\text{m}$ dargestellt.
Teil 2
Abbildung: Ausschnitt mit vier Flugphasen (I, II, III, IV)   Bildnachweis
Teil 2
Abbildung: Ausschnitt mit vier Flugphasen (I, II, III, IV)   Bildnachweis
c)  Welche Aussage passt zu welcher Flugphase? Mache für jede Phase ein Kreuz. Eine Aussage kann auch zu mehreren Phasen passen.
Phase IPhase IIPhase IIIPhase IV
Der Springer fällt in dieser Phase immer schneller: Die Geschwindigkeit steigt.
Der Springer fällt in dieser Phase immer langsamer: Die Geschwindigkeit sinkt.
Der Springer fällt in dieser Phase immer gleich schnell: Die Geschwindigkeit bleibt gleich.
Der Springer ist am Ende der Phase I nach $10$ Sekunden in $2.700$ Metern Höhe. Die Höhe des Springers wird in der Phase I durch folgende Funktion beschrieben:
$h(t)=3.000-3t^2$
$t$ ist die Zeit in Sekunden, $h(t)$ gibt die Höhe in Metern an.
d)  Begründe, dass die Funktion $h(t)$ den Graphen aus Phase I beschreibt.
e)  Berechne, wie viele Sekunden der Springer vom Absprung aus braucht, bis er $100\,\text{m}$ gefallen ist.
f)  Bestimme die Geschwindigkeit des Springers in der Phase II in $\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

Aufgabe 3: Tetraeder in Bottrop

Der „Tetraeder“ ist ein begehbarer Aussichtsturm in Bottrop. Die äußeren Kanten des Stahlgerüstes des Tetraeders haben jeweils die Länge von ca. $60\,\text{m}$ (vgl. Abbildung rechts).
Luca baut ein verkleinertes Modell des Tetraeders mit der Kantenlänge von $60\,\text{cm}$ aus Holzstäben.
a)  In welchem Maßstab baut Luca das Modell?
b)  Die Seitenflächen sind jeweils gleichseitige Dreiecke. Berechne die Höhe einer Seitenfläche des Modells.
Teil 2
(Der Tetraeder in Bottrop)   Bildnachweis
Teil 2
(Der Tetraeder in Bottrop)   Bildnachweis
Zur Bestimmung der Oberfläche einer Pyramide müssen die Inhalte der Grundfläche und der Seitenflächen addiert werden. Luca findet in einer Formelsammlung jedoch: $0=2\cdot a \cdot h_s$, wobei $a$ die Kantenlänge und $h_s$ die Höhe der Seitenfläche bezeichnen.
c)  Begründe, wie die Oberflächenformel des Tetraeders zustande gekommen ist.
Dem Tetraeder in Bottrop liegt eine mathematische Struktur zugrunde. In jedem Schritt entstehen aus jedem Tetraeder vier kleinere Tetraeder. Die Kantenlänge der neuen Tetraeder wird dabei in jedem Schritt halbiert (vgl. Abbildungen unten).
Teil 2
Teil 2
d)  Ergänze die folgende Tabelle:
Schritt 0Schritt 1Schritt 2Schritt 3
Anzahl der Tetraeder$1$$4$$64$
Kantenlänge eines Tetraeders (cm)$60$$30$
e)  Gib einen Term an, mit dem du die Anzahl der Tetraeder für jeden beliebigen Schritt $s$ berechnen kannst.
Luca fährt mit seiner Klasse zum Tetraeder nach Bottrop, um dort am „Tetraeder Treppenlauf“ teilzunehmen. Bei dem $5\,\text{km}$ langen Lauf müssen die Jugendlichen $387$ Treppenstufen und $128$ Höhenmeter überwinden.
Die Klasse teilt sich in zwei Gruppen (A und B). Die Veranstalter veröffentlichen von jedem Teilnehmer die Ergebnisse. Luca stellt für die Gruppe A und die Gruppe B die Ergebnisse in zwei Boxplots dar.
Teil 2 Abbildung: Die Boxplots zeigen die Laufzeiten in Minuten. Der Median der Laufzeiten aus Gruppe B
beträgt ca. $20$ Minuten.
Teil 2 Abbildung: Die Boxplots zeigen die Laufzeiten in Minuten. Der Median der Laufzeiten aus Gruppe B beträgt ca. $20$ Minuten.
f)  Kreuze an, welche Aussagen zutreffen:
trifft zu
trifft nicht zu
nicht entscheidbar
Aus einem der Boxplots kann man die durchschnittliche Laufzeit ablesen.
Die meisten Läufer haben weniger als $22$ Minuten gebraucht.
Die Läufer sind in kleinen Gruppen gelaufen.
Leider hat sich die Klasse vor dem Lauf nicht darauf geeinigt, wie die Siegergruppe ermittelt wird.
g)  Gib ein Argument anhand der Boxplots dafür an, dass die Gruppe A gewonnen hat.
h)  Gib ein Argument anhand der Boxplots dafür an, dass die Gruppe B gewonnen hat.
Bildnachweise [nach oben]
(Abbildung Fallschirmspringer)
Fotolia – Bojanovic78
(Abbildung Tetraeder in Bottrop)
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Tipps
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Aufgabe 1: Wandern und Routenplanung

a)  $\blacktriangleright$  Anhand der Karte die Streckenlänge abschätzen
Links unten auf der Karte kannst du ausmessen, dass $0,8\,\text{cm}$ auf der Karte $1\,\text{km}$ in der Realität entspricht.
Miss die Strecke näherungsweise: Auf der Karte sind es von Lindau bis nach Bregenz etwa $6,5\,\text{cm}$.
Berechne per Dreisatz.
b)  $\blacktriangleright$  Abb. 2 die Streckenlänge von Bregenz bis Oberfeld entnehmen
Die Länge der Strecke von Bregenz nach Oberfeld kannst du an der $x$-Achse ablesen.
c)  $\blacktriangleright$  Angeben, auf wie viele Meter genau die Höhe in Abb. 2 abgelesen werden kann
Im Koordinatensytem ist ein Gitter eingezeichnet, das die $y$-Achse alle $200\,\text{m}$ schneidet.
d)  $\blacktriangleright$  Angeben, wie viele Meter der Brüggelekopf höher liegt als Alberschwende
Um den Höhenunterschied zwischen Brüggelekopf und Alberschwende herauszufinden, benötigst du zwei Informationen:
  1. Die Höhe von Alberschwende (näherungsweise)
  2. Die Höhe vom Brüggelekopf (näherungsweise)
Miss die Höhen. $0,35\,\text{cm}$ im Koordinatensystem entsprechen $100\,\text{Höhenmetern}$ in der Wirklichkeit.
e)  $\blacktriangleright$  Begründen, ob Karlas Bruder recht hat
Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck ins Koordinatensystem:
  • $a$ ist die ebene Strecke = $2\,\text{km}$
  • $b$ ist die Höhendifferenz
  • $c$ ist die tatsächliche Wanderstrecke (näherungsweise)
Teil 2
Teil 2
Im rechtwinkligen Dreieck gilt: $a^2+b^2=c^2$.
f)  $\blacktriangleright$  Die ungefähre Steigung für die letzten $\boldsymbol{2\,\textbf{km}}$ in $\boldsymbol{\%}$ berechnen
Für die durchschnittliche Steigung $m$ zwischen zwei Punkten $A$ und $B$ gilt:
$m=\dfrac{y_{B}-y_A}{x_B-x_A}$
Aus der Aufgabenstellung ist bekannt:
  • $x_B - x_A=2\,\text{km}=2.000\,\text{m}$
  • $y_B - y_A=400\,\text{m}$
g)  $\blacktriangleright$  Ungefähre Wanderzeit von Bregenz bis zum Brüggelekopf berechnen
Gehe in drei Schritten vor:
  1. Berechne die Wanderzeit auf ebener Strecke
  2. Berechne den Zuschlag für den Höhenunterschied
  3. Berechne die ungefähre gesamte Wanderzeit (ohne Pausen)
1. Schritt: Wanderzeit auf ebener Strecke berechnen
Berechne die Wanderzeit für $19,2\,\text{km}$ bei einer Geschwindigkeit von $4,2\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ auf ebener Strecke. Die Formel hierfür ist:
$\text{Geschwindigkeit}\;v=\dfrac{\text{Strecke}}{\text{Zeit}}=\dfrac{s}{t}$
2. Schritt: Benötigte Zeit für den Höhenunterschied berechnen
Für Auf- und Abstieg gibt es einen Zuschlag von $1\,\text{h}$ pro $300\,\text{m}$.
Der Höhenunterschied beträgt insgesamt $1.019\,\text{m Aufstieg}+251\,\text{m Abstieg}=1.270\,\text{m}$.
Berechne die zusätzliche Zeit per Dreisatz.
3. Schritt: Ungefähre gesamte Wanderzeit berechnen
Addiere die benötigte Zeit für die ebene Strecke und den Zuschlag für den Höhenunterschied. Du erhältst als Ergebnis die ungefähre Wanderzeit ohne Pausen.

Aufgabe 2: Fallschirmsprung

a)  $\blacktriangleright$  Zeitdauer des Sprungs in Minuten angeben
Lies den Wert an der $x$-Achse ab. Der Graph schneidet die $x$-Achse bei ungefähr $310$.
b)  $\blacktriangleright$  Verlauf des geänderten Fallschirmsprungs skizzieren
Unmittelbar nach dem Absprung hat der Graph die Form einer umgekehrten Parabel. Nach dem Öffnen des Fallschirms in etwa $1.500\,\text{m}$ Höhe beschreibt der Graph einen Knick und wird flacher. Schließlich verläuft der Graph linear nach unten.
Öffnet sich der Fallschirm bereits auf $2.000\,\text{m}$ Höhe, muss der Graph bereits bei $y=2.000$ einen Knick beschreiben und danach linear nach unten verlaufen.
Zeichne den Verlauf des geänderten Fallschirmsprungs parallel zum Verlauf des bereits eingezeichneten Sprungs.
c)  $\blacktriangleright$  Ankreuzen, welche Aussage zu welcher Flugphase passt
Der Springer fällt in dieser Phase immer schneller: Die Geschwindigkeit steigt.
Prüfe auf der Abbildung mit den vier Flugphasen, in welcher Phase der Verlauf des Graphen steiler wird.
Der Springer fällt in dieser Phase immer langsamer: Die Geschwindigkeit sinkt.
Prüfe auf der Abbildung mit den vier Flugphasen, in welcher Phase der Verlauf des Graphen flacher wird.
Der Springer fällt in dieser Phase immer gleich schnell: Die Geschwindigkeit bleibt gleich.
Prüfe auf der Abbildung mit den vier Flugphasen, in welcher Phase der Verlauf des Graphen linear ist.
d)  $\blacktriangleright$  Begründen, dass die Funktion $\boldsymbol{h(t)}$ den Graphen aus Phase Ⅰ beschreibt
Phase Ⅰ geht von $0 \leq t \leq 10$. Setze in die Formel $h(t)=3.000-3t^2$ für $t$ Werte zwischen $0$ und $10$ ein und gleiche das Ergebnis mit dem Verlauf des Fallschirmsprungs im Koordinatensystem ab. Es eignen sich die Werte: $t=\{0;\;5;\;10\}$.
e)  $\blacktriangleright$  Berechnen, wie viele Sekunden der Springer braucht, bis er $\boldsymbol{100\,\textbf{m}}$ gefallen ist
Folgende Informationen sind gegeben:
  • Formel $h(t)=3.000-3t^2$
  • Fallhöhe = $100\,\text{m} \Rightarrow h(t)=3.000-100=2.900$
Setze ein und stelle die Formel nach $t$ um.
f)  $\blacktriangleright$  Geschwindigkeit des Springers in Phase $\boldsymbol Ⅱ$ bestimmen
Die Geschwindigkeit in Phase Ⅱ ist konstant. Folgende Informationen kannst du im Koordinatensystem ablesen:
  • Phase Ⅱ geht von $10 \leq t \leq 30$ und dauert somit $20$ Sekunden
  • Bei $t=30$ befindet sich der Fallschirmspringer auf $1.500\,\text{m}$ Höhe
  • Phase Ⅰ endet bei $t=10$. Somit gilt Formel $h(t)=3.000-3t^2$. $\Rightarrow t(10)=2.700$

Aufgabe 3: Tetraeder in Bottrop

a)  $\blacktriangleright$  Angeben, in welchem Maßstab Luca das Modell baut
Gleiche die Einheiten von Original ($\text{m}$) und Modell ($\text{cm}$) an und bestimme den Maßstab mit dem Dreisatz.
b)  $\blacktriangleright$  Höhe einer Seitenfläche des Modells berechnen
Die Seitenflächen des Tetraeders sind gleichseitige Dreiecke. Die Höhe $h$ im gleichseitigen Dreieck berechnest du mit:
$h=\dfrac{a \cdot \sqrt{3}}{2}$
Bekannt ist die Kantenlänge des Modells mit $60\,\text{cm}$.
c)  $\blacktriangleright$  Begründen, wie die Oberflächenformel des Tetraeders zustande gekommen ist
Ein Tetraeder ist ein Körper mit $4$ dreieckigen Seitenflächen.
Die Oberfläche eines Tetraeders setzt sich also aus den Flächen von vier Dreiecken zusammen.
Die allgemeine Formel für die Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks lautet:
$A_D=\frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}=\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$
Alle äußeren Kanten des Tetraeders in Bottrop haben jeweils eine Länge von $60\,\text{m}$. Also besteht das Tetraeder aus $\boldsymbol{4}$ gleichseitigen Dreiecken – es handelt sich um ein regelmäßiges Tetraeder.
d)  $\blacktriangleright$  Tabelle ergänzen
Beachte vor allem die Angabe in der Aufgabenstellung: „In jedem Schritt entstehen aus jedem Tetraeder vier kleinere Tetraeder.“
Multipliziere die Anzahl der Tetraeder bei Schritt 1 mit $4$, um auf die Anzahl der Tetraeder bei Schritt 2 zu kommen.
Die Kantenlänge jedes Tetraeders wird bei jedem Schritt halbiert.
Teile die Kantenlänge durch $2$, um auf die Kantenlänge im jeweils nächsten Schritt zu kommen.
e)  $\blacktriangleright$  Term angeben, mit dem Anzahl der Tetraeder für jeden Schritt $\boldsymbol{s}$ berechnet werden kann
Bei jedem Schritt entstehen aus jedem Tetraeder vier kleinere Tetraeder. Die Anzahl setzt sich folgendermaßen zusammen:
$\begin{array}[t]{rllll} s_3&=&64&=&4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3 \\[5pt] s_2&=&16&=&4 \cdot 4 = 4^2 \\[5pt] s_1&=&4&=&4^1 \\[5pt] s_0&=&1&=&4^0 \\[5pt] \end{array}$
f)  $\blacktriangleright$  Zutreffende Aussagen ankreuzen
Aus einem der Boxplots kann man die durchschnittliche Laufzeit ablesen.
Boxplots zeigen die Verteilung der Ergebnisse. Ablesbar sind:
  • Kleinster und größter Wert
  • Zwei Quartile
  • Der Zentralwert (Median)
Die meisten Läufer haben weniger als 22 Minuten gebraucht.
Der Median der Laufzeiten aus Gruppe B beträgt ca. 20 Minuten.
Der Median der Laufzeiten aus Gruppe A beträgt ca. 21 Minuten.
Die Läufer sind in kleinen Gruppen gelaufen.
Gibt es in der Aufgabenstellung eine Angabe dazu, wie groß oder klein die Gruppen waren?
g)  $\blacktriangleright$  Argument dafür angeben, dass Gruppe A gewonnen hat
Konzentriere dich auf den größten und kleinsten Wert aus Gruppe A und vergleiche ihn mit den Werten aus Gruppe B.
h)  $\blacktriangleright$  Argument dafür angeben, dass Gruppe B gewonnen hat
Konzentriere dich auf den Median aus Gruppe B und vergleiche ihn mit dem aus Gruppe A.
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Aufgabe 1: Wandern und Routenplanung

a)  $\blacktriangleright$  Anhand der Karte die Streckenlänge abschätzen
Links unten auf der Karte kannst du ausmessen, dass $0,8\,\text{cm}$ auf der Karte $1\,\text{km}$ in der Realität entspricht.
Miss die Strecke näherungsweise: Auf der Karte sind es von Lindau bis nach Bregenz etwa $6,5\,\text{cm}$.
Berechne per Dreisatz:
$\begin{array}{rrcll} \scriptsize:8\;\mid&0,8\,\text{cm}&\widehat{=}&1\,\text{km}&\scriptsize\mid\;:8\\[3pt] \scriptsize\cdot65\;\mid&0,1\,\text{cm}&\widehat{=}&\frac{1}{8}\,\text{km}&\scriptsize\mid\;\cdot65\\[3pt] &6,5\,\text{cm}&\widehat{=}&8,125\,\text{km}& \end{array}$
Die Streckenlänge der ersten Etappe beträgt etwa $\boldsymbol{8,125\,\textbf{km}}$.
b)  $\blacktriangleright$  Abb. 2 die Streckenlänge von Bregenz bis Oberfeld entnehmen
Die Länge der Strecke von Bregenz nach Oberfeld kannst du an der $x$-Achse ablesen.
Oberfeld befindet sich kurz nach der Achsenmarkierung bei Kilometer $6$. Die Strecke ist also ungefähr $\boldsymbol{6,25\,\textbf{km}}$ lang.
c)  $\blacktriangleright$  Angeben, auf wie viele Meter genau die Höhe in Abb. 2 abgelesen werden kann
Im Koordinatensytem ist ein Gitter eingezeichnet, das die $y$-Achse alle $200\,\text{m}$ schneidet.
Daher kann die Höhe auf $\boldsymbol{200\,\textbf{m}}$ genau abgelesen werden.
d)  $\blacktriangleright$  Angeben, wie viele Meter der Brüggelekopf höher liegt als Alberschwende
Um den Höhenunterschied zwischen Brüggelekopf und Alberschwende herauszufinden, benötigst du zwei Informationen:
  1. Die Höhe von Alberschwende (näherungsweise)
  2. Die Höhe vom Brüggelekopf (näherungsweise)
Miss die Höhen. $0,35\,\text{cm}$ im Koordinatensystem entsprechen $100\,\text{Höhenmetern}$ in der Wirklichkeit.
  1. Alberschwende befindet sich knapp oberhalb von $700\,\text{m}$ $\Rightarrow$ Rechne mit $725\,\text{m}$
  2. Der Brüggelekopf befindet sich knapp unterhalb von $1.200\,\text{m}$ $\Rightarrow$ Rechne mit $1.175\,\text{m}$
$1.175\,\text{m}-725\,\text{m}=450\,\text{m}$
Der Brüggelekopf liegt ungefähr $\boldsymbol{450\,\textbf{m}}$ höher als der Ort Alberschwende.
e)  $\blacktriangleright$  Begründen, ob Karlas Bruder recht hat
Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck ins Koordinatensystem:
  • $a$ ist die ebene Strecke = $2\,\text{km}$
  • $b$ ist die Höhendifferenz
  • $c$ ist die tatsächliche Wanderstrecke (näherungsweise)
Teil 2
Teil 2
Im rechtwinkligen Dreieck gilt: $a^2+b^2=c^2$.
Die tatsächliche Strecke ist länger als $\boldsymbol{2\,\textbf{km}}$, da zu $a=2\,\text{km}$ der Höhenunterschied $b$ dazu kommt. Karlas kleiner Bruder hat recht.
f)  $\blacktriangleright$  Die ungefähre Steigung für die letzten $\boldsymbol{2\,\textbf{km}}$ in $\boldsymbol{\%}$ berechnen
Für die durchschnittliche Steigung $m$ zwischen zwei Punkten $A$ und $B$ gilt:
$m=\dfrac{y_{B}-y_A}{x_B-x_A}$
Aus der Aufgabenstellung ist bekannt:
  • $x_B - x_A=2\,\text{km}=2.000\,\text{m}$
  • $y_B - y_A=400\,\text{m}$
$\text{Steigung}\;m=\dfrac{y}{x}=\dfrac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Streckenlänge}}=\dfrac{400\,\text{m}}{2.000\,\text{m}}=0,2$
Multipliziere das Ergebnis mit $100$ und du erhältst die Steigung in $\%$: $0,2 \cdot 100\,\% = \boldsymbol{20\,\%}$.
g)  $\blacktriangleright$  Ungefähre Wanderzeit von Bregenz bis zum Brüggelekopf berechnen
Gehe in drei Schritten vor:
  1. Berechne die Wanderzeit auf ebener Strecke
  2. Berechne den Zuschlag für den Höhenunterschied
  3. Berechne die ungefähre gesamte Wanderzeit (ohne Pausen)
1. Schritt: Wanderzeit auf ebener Strecke berechnen
Berechne die Wanderzeit für $19,2\,\text{km}$ bei einer Geschwindigkeit von $4,2\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ auf ebener Strecke. Die Formel hierfür ist:
$\text{Geschwindigkeit}\;v=\dfrac{\text{Strecke}}{\text{Zeit}}=\dfrac{s}{t}$
Stelle nach der Zeit $t$ um und setze ein:
$t=\dfrac{s}{v}=\dfrac{19,2\,\color{#dc1400}{\text{km}}}{4,2\,\frac{\color{#dc1400}{\text{km}}}{\text{h}}}=\boldsymbol{4,57\,\textbf{h}}$
2. Schritt: Benötigte Zeit für den Höhenunterschied berechnen
Für Auf- und Abstieg gibt es einen Zuschlag von $1\,\text{h}$ pro $300\,\text{m}$.
Der Höhenunterschied beträgt insgesamt $1.019\,\text{m Aufstieg}+251\,\text{m Abstieg}=1.270\,\text{m}$.
Berechne die zusätzliche Zeit per Dreisatz:
$\begin{array}{rrcll} \scriptsize:300\;\mid&300\,\text{m}&\widehat{=}&1\,\text{h}&\scriptsize\mid\;:300\\[3pt] \scriptsize\cdot 1.270\;\mid&1\,\text{m}&\widehat{=}&\frac{1}{300}\,\text{h}&\scriptsize\mid\;\cdot 1.270\\[3pt] &1.270\,\text{m}&\widehat{=}&\boldsymbol{4,2\overline{3}\,\textbf{h}}& \end{array}$
3. Schritt: Ungefähre gesamte Wanderzeit berechnen
Addiere die benötigte Zeit für die ebene Strecke und den Zuschlag für den Höhenunterschied. Du erhältst als Ergebnis die ungefähre Wanderzeit ohne Pausen:
$4,57\,\text{h}+4,2\overline{3}\,\text{h}=8,8\,\text{h}=8\,\text{h}\,48\,\text{min} \approx \boldsymbol{9\,\textbf{h}}$

Aufgabe 2: Fallschirmsprung

a)  $\blacktriangleright$  Zeitdauer des Sprungs in Minuten angeben
Lies den Wert an der $x$-Achse ab. Der Graph schneidet die $x$-Achse bei ungefähr $310$.
Demnach dauert der Sprung ungefähr $310\,\text{Sekunden}=5\,\text{min}\;10\,\text{sec}=5\frac{1}{6}\,\text{min}=\boldsymbol{5,\overline{16}\,\textbf{min}}$.
b)  $\blacktriangleright$  Verlauf des geänderten Fallschirmsprungs skizzieren
Unmittelbar nach dem Absprung hat der Graph die Form einer umgekehrten Parabel. Nach dem Öffnen des Fallschirms in etwa $1.500\,\text{m}$ Höhe beschreibt der Graph einen Knick und wird flacher. Schließlich verläuft der Graph linear nach unten.
Öffnet sich der Fallschirm bereits auf $2.000\,\text{m}$ Höhe, muss der Graph bereits bei $y=2.000$ einen Knick beschreiben und danach linear nach unten verlaufen.
Zeichne den Verlauf des geänderten Fallschirmsprungs parallel zum Verlauf des bereits eingezeichneten Sprungs.
Der Verlauf des geänderten Fallschirmsprungs ist in der Abbildung grün gefärbt.
Teil 2
Teil 2
c)  $\blacktriangleright$  Ankreuzen, welche Aussage zu welcher Flugphase passt
Der Springer fällt in dieser Phase immer schneller: Die Geschwindigkeit steigt.
Prüfe auf der Abbildung mit den vier Flugphasen, in welcher Phase der Verlauf des Graphen steiler wird.
$\Rightarrow$ Trifft nur auf Phase Ⅰ zu.
Der Springer fällt in dieser Phase immer langsamer: Die Geschwindigkeit sinkt.
Prüfe auf der Abbildung mit den vier Flugphasen, in welcher Phase der Verlauf des Graphen flacher wird.
$\Rightarrow$ Trifft nur auf Phase Ⅲ zu.
Der Springer fällt in dieser Phase immer gleich schnell: Die Geschwindigkeit bleibt gleich.
Prüfe auf der Abbildung mit den vier Flugphasen, in welcher Phase der Verlauf des Graphen linear ist.
$\Rightarrow$ Trifft auf die Phasen Ⅱ und Ⅳ zu.
Phase ⅠPhase ⅡPhase ⅢPhase Ⅳ
Der Springer fällt in dieser Phase immer schneller: Die Geschwindigkeit steigt.
Teil 2
Teil 2
Der Springer fällt in dieser Phase immer langsamer: Die Geschwindigkeit sinkt.
Teil 2
Teil 2
Der Springer fällt in dieser Phase immer gleich schnell: Die Geschwindigkeit bleibt gleich.
Teil 2
Teil 2
Teil 2
Teil 2
d)  $\blacktriangleright$  Begründen, dass die Funktion $\boldsymbol{h(t)}$ den Graphen aus Phase Ⅰ beschreibt
Phase Ⅰ geht von $0 \leq t \leq 10$. Setze in die Formel $h(t)=3.000-3t^2$ für $t$ Werte zwischen $0$ und $10$ ein und gleiche das Ergebnis mit dem Verlauf des Fallschirmsprungs im Koordinatensystem ab. Es eignen sich die Werte: $t=\{0;\;5;\;10\}$.
  • $h(0)=3.000-3 \cdot 0^2=3.000$
  • $h(5)=3.000-3 \cdot 5^2=3.000- 3 \cdot 25=3.000-75=2.925$
  • $h(10)=3.000-3 \cdot 10^2=3.000-3 \cdot 100=3.000-300=2.700$
Im Koordinatensystem siehst du, dass die Formel den Verlauf des Fallschirmsprungs in Phase Ⅰ passend beschreibt.
e)  $\blacktriangleright$  Berechnen, wie viele Sekunden der Springer braucht, bis er $\boldsymbol{100\,\textbf{m}}$ gefallen ist
Folgende Informationen sind gegeben:
  • Formel $h(t)=3.000-3t^2$
  • Fallhöhe = $100\,\text{m} \Rightarrow h(t)=3.000-100=2.900$
Setze ein und stelle die Formel nach $t$ um:
$\begin{array}[t]{rll} 2.900&=&3.000-3t^2 &\quad \scriptsize \mid\; -3.000 \\[2pt] -100&=&-3t^2 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \\[2pt] 100&=&3t^2 &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[2pt] \frac{100}{3}&=&t^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[2pt] 5,77&\approx&t \end{array}$
Der Springer braucht vom Absprung aus ungefähr $\boldsymbol{5,77}$ Sekunden, bis er $100\,\text{m}$ gefallen ist.
f)  $\blacktriangleright$  Geschwindigkeit des Springers in Phase Ⅱ bestimmen
Die Geschwindigkeit in Phase Ⅱ ist konstant. Folgende Informationen kannst du im Koordinatensystem ablesen:
  • Phase Ⅱ geht von $10 \leq t \leq 30$ und dauert somit $20$ Sekunden
  • Bei $t=30$ befindet sich der Fallschirmspringer auf $1.500\,\text{m}$ Höhe
  • Phase Ⅰ endet bei $t=10$. Somit gilt Formel $h(t)=3.000-3t^2$. $\Rightarrow t(10)=2.700$
Innerhalb von $20$ Sekunden werden also $2.700-1.500=1.200$ Meter Höhendifferenz zurückgelegt.
Somit beträgt die Geschwindigkeit $\dfrac{\color{#dc1400}{1.200}\,\text{m}}{\color{#dc1400}{20}\,\text{sec}}=\boldsymbol{60\,\frac{\textbf{m}}{\textbf{sec}}}$.

Aufgabe 3: Tetraeder in Bottrop

a)  $\blacktriangleright$  Angeben, in welchem Maßstab Luca das Modell baut
Gleiche die Einheiten von Original ($\text{m}$) und Modell ($\text{cm}$) an und bestimme den Maßstab mit dem Dreisatz.
$\begin{array}{rrcll} &\text{Modell}&\widehat{=}&\text{Original}\\[3pt] &60\,\text{cm}&\widehat{=}&60\,\text{m}\\[3pt] \scriptsize:60\;\mid&60\,\text{cm}&\widehat{=}&6.000\,\text{cm}&\scriptsize\mid\;:60\\[3pt] &1\,\text{cm}&\widehat{=}&100\,\text{cm}& \end{array}$
Luca baut das Modell im Maßstab $\boldsymbol{1:100}$.
b)  $\blacktriangleright$  Höhe einer Seitenfläche des Modells berechnen
Die Seitenflächen des Tetraeders sind gleichseitige Dreiecke. Die Höhe $h$ im gleichseitigen Dreieck berechnest du mit:
$h=\dfrac{a \cdot \sqrt{3}}{2}$
Bekannt ist die Kantenlänge des Modells mit $60\,\text{cm}$. Setze in die Formel ein:
$h=\dfrac{a \cdot \sqrt{3}}{2}=\dfrac{60\,\text{cm} \cdot \sqrt{3}}{2}=51,96\,\text{cm}$
Die Höhe einer Seitenfläche des Modells beträgt $\boldsymbol{51,96\,\textbf{cm}}$.
c)  $\blacktriangleright$  Begründen, wie die Oberflächenformel des Tetraeders zustande gekommen ist
Ein Tetraeder ist ein Körper mit $4$ dreieckigen Seitenflächen.
Die Oberfläche eines Tetraeders setzt sich also aus den Flächen von vier Dreiecken zusammen.
Die allgemeine Formel für die Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks lautet:
$A_D=\frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}=\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$
Alle äußeren Kanten des Tetraeders in Bottrop haben jeweils eine Länge von $60\,\text{m}$. Also besteht das Tetraeder aus $\boldsymbol{4}$ gleichseitigen Dreiecken – es handelt sich um ein regelmäßiges Tetraeder.
Damit sind die Grundseite $a$ und die Höhe $h$ in den $4$ Dreiecken des Tetraeders jeweils gleich. Multipliziere die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks deshalb mit $4$:
$O=4 \cdot (\frac{1}{2} \cdot a \cdot h)=\boldsymbol{2 \cdot a \cdot h}$
d)  $\blacktriangleright$  Tabelle ergänzen
Beachte vor allem die Angabe in der Aufgabenstellung: „In jedem Schritt entstehen aus jedem Tetraeder vier kleinere Tetraeder.“
Multipliziere die Anzahl der Tetraeder bei Schritt 1 mit $4$, um auf die Anzahl der Tetraeder bei Schritt 2 zu kommen: $4 \cdot 4 = \boldsymbol{16}$.
Die Kantenlänge jedes Tetraeders wird bei jedem Schritt halbiert.
Teile die Kantenlänge durch $2$, um auf die Kantenlänge im jeweils nächsten Schritt zu kommen:
  1. Schritt: $30:2=\boldsymbol{15}$
  2. Schritt: $15:2=\boldsymbol{7,5}$
Schritt 0Schritt 1Schritt 2Schritt 3
Anzahl der Tetraeder $1$ $4$ $16$ $64$
Kantenlänge eines Tetraeders (cm) $60$ $30$ $15$ $7,5$
e)  $\blacktriangleright$  Term angeben, mit dem Anzahl der Tetraeder für jeden Schritt $\boldsymbol{s}$ berechnet werden kann
Bei jedem Schritt entstehen aus jedem Tetraeder vier kleinere Tetraeder. Die Anzahl setzt sich folgendermaßen zusammen:
$\begin{array}[t]{rllll} s_3&=&64&=&4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3 \\[5pt] s_2&=&16&=&4 \cdot 4 = 4^2 \\[5pt] s_1&=&4&=&4^1 \\[5pt] s_0&=&1&=&4^0 \\[5pt] \end{array}$
Der Term für die Berechnung der Tetraeder-Anzahl bei jedem beliebigen Schritt $\boldsymbol{s_n}$ lautet $\boldsymbol{4^n}$.
f)  $\blacktriangleright$  Zutreffende Aussagen ankreuzen
Aus einem der Boxplots kann man die durchschnittliche Laufzeit ablesen.
Boxplots zeigen die Verteilung der Ergebnisse. Ablesbar sind:
  • Kleinster und größter Wert
  • Zwei Quartile
  • Der Zentralwert (Median)
Den Durchschnitt kannst du aus einem Boxplot nicht ablesen. Daher trifft diese Aussage nicht zu.
Die meisten Läufer haben weniger als 22 Minuten gebraucht.
Der Median der Laufzeiten aus Gruppe B beträgt ca. 20 Minuten. D. h. dass $50\,\%$ der Läufer aus Gruppe B weniger als 20 Minuten gebraucht haben.
Der Median der Laufzeiten aus Gruppe A beträgt ca. 21 Minuten. D. h. dass $50\,\%$ der Läufer aus Gruppe A weniger als 21 Minuten gebraucht haben.
Mehr als die Hälfte der Schüler hat damit weniger als 22 Minuten gebraucht. Die Aussage trifft zu.
Die Läufer sind in kleinen Gruppen gelaufen.
In der Aufgabenstellung gibt es keine Angabe dazu, wie groß oder klein die Gruppen waren. Auch der Boxplot trifft darüber keine Aussage. Daher ist diese Aussage nicht entscheidbar.
trifft zutrifft nicht zunicht entscheidbar
Aus einem der Boxplots kann man die durchschnittliche Laufzeit ablesen. Teil 2
Die meisten Läufer haben weniger als $22$ Minuten gebraucht. Teil 2
Die Läufer sind in kleinen Gruppen gelaufen. Teil 2
g)  $\blacktriangleright$  Argument dafür angeben, dass Gruppe A gewonnen hat
Konzentriere dich auf den größten und kleinsten Wert aus Gruppe A und vergleiche ihn mit den Werten aus Gruppe B.
  • Der schnellste Läufer aus Gruppe A war schneller als der schnellste Läufer aus Gruppe B.
  • Der langsamste Läufer aus Gruppe A war schneller als der langsamste Läufer aus Gruppe B.
Damit hat Gruppe A den schnellsten Läufer, Gruppe B hat den langsamsten Läufer.
h)  $\blacktriangleright$  Argument dafür angeben, dass Gruppe B gewonnen hat
Konzentriere dich auf den Median aus Gruppe B und vergleiche ihn mit dem aus Gruppe A.
Der Median aus Gruppe B ist niedriger als der Median aus Gruppe A:
  • Die Hälfte der Läufer aus Gruppe B hat weniger als 20 Minuten gebraucht.
  • Die Hälfte der Läufer aus Gruppe A hat weniger als 21 Minuten gebraucht.
Die ersten $50\,%$ aus Gruppe B haben den Lauf also vor den ersten $50\,%$ aus Gruppe A beendet.
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