Teil 2

Aufgabe 1: Wandern und Routenplaner

Karla macht Wanderurlaub am Bodensee. Sie plant eine Wanderung in zwei Etappen von Lindau bis Bregenz und von Bregenz zum Brüggelekopf.

Auf der Karte ist die erste Etappe der Wanderung zu sehen: Die Route von Lindau bis nach Bregenz.

Abbildung 1: Ausschnitt der Wanderkarte. Die erste Etappe startet in Lindau und führt bis zur markierten Stelle in Bregenz.

a) Schätze anhand der Karte die Länge der Strecke der ersten Etappe ab.
Notiere dein Vorgehen.

Die zweite Etappe der Wanderung von Bregenz bis zum Brüggelekopf plant Karla mithilfe eines Höhenprofils (siehe Abbildung unten). Sie möchte wissen, welche Auf- und Abstiege sie bei ihrer Wanderung bewältigen muss. Das Höhenprofil ordnet jedem Punkt des Weges auf der Karte seine Höhe über dem Meeresspiegel zu.

Abbildung 2: Höhenprofil von Bregenz bis zum Brüggelekopf

Karlas Höhenprofil zeigt von Bregenz aus die Strecke laut Karte in km und die jeweilige Höhe in m an. Der tatsächlich zurückgelegte Weg kann über die Länge des Höhenprofils bestimmt werden.

b) In Oberfeld will Karla ihre erste Pause machen. Entnimm der Abbildung 2 die Länge der Strecke von Bregenz bis Oberfeld.

c) Auf wie viele Meter genau kannst du die Höhe eines Ortes aus der Abbildung 2 ablesen?

d) Das letzte Stück des Weges zwischen Alberschwende und dem Brüggelekopf ist ziemlich steil.
Wie viele Meter liegt der Brüggelekopf höher als der Ort Alberschwende?

Auf den letzten $2\,\text{km}$ vor dem Brüggelekopf müssen noch $400\,\text{m}$ Höhe überwunden werden.

e) Karlas kleiner Bruder behauptet: „Die Strecke, die du wandern musst, ist länger als $2\,\text{km}$ .“
Hat Karlas kleiner Bruder recht? Begründe deine Entscheidung.

f) Steigungen im Gelände werden üblicherweise in Prozent angegeben.
Berechne die ungefähre Steigung in Prozent für die letzten $2\,\text{km}$ .

Karla möchte abschätzen, wie lange sie ohne Pausen unterwegs sein wird. Sie findet im Internet für die Wanderung von Bregenz zum Brüggelekopf die folgenden Informationen:

Länge der Strecke:	$19,2\,\text{km}$
Höhenunterschiede insgesamt:
Aufstieg:	$1.019\,\text{m}$
Abstieg:	$251\,\text{m}$

„Du gehst auf einer ebenen Strecke mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von ca. $4,2\,\text{km}$ pro Stunde. Sowohl beim Aufstieg als auch beim Abstieg benötigst du mehr Zeit: Du rechnest für jeden Höhenunterschied von $300\,\text{m}$ eine zusätzliche Stunde dazu.“

g) Berechne mithilfe der Informationen die ungefähre Wanderzeit (ohne Pausen) von Bregenz bis zum Brüggelekopf.

Aufgabe 2: Fallschirmsprung

Andreas möchte einen Fallschirmsprung durchführen. Er informiert sich vorher und findet eine Abbildung, die den Verlauf eines typischen Sprunges annähernd beschreibt. Bei diesem Sprung öffnet sich der Fallschirm in etwa $1.500\,\text{m}$ .

Abbildung: Höhe (in m) eines Fallschirmspringers in Abhängigkeit von der Zeit (in s)

a) Wie lange dauert der Sprung ungefähr? Gib die Zeitdauer in Minuten an.

b) Andreas überlegt, wie sich der Sprung verändert, wenn er den Fallschirm bereits in $2.000\,\text{m}$ Höhe öffnet.
Skizziere den Verlauf des geänderten Fallschirmsprungs im vorhandenen Koordinatensystem.

In einer weiteren Abbildung ist ein Ausschnitt des vorher abgebildeten Sprunges detaillierter dargestellt. Darin sind nur die ersten $45$ Sekunden des Sprunges in der Höhe von $3.000\,\text{m}$ bis $1.000\,\text{m}$ dargestellt.

Abbildung: Ausschnitt mit vier Flugphasen (I, II, III, IV) Bildnachweis

c) Welche Aussage passt zu welcher Flugphase? Mache für jede Phase ein Kreuz. Eine Aussage kann auch zu mehreren Phasen passen.

	Phase I	Phase II	Phase III	Phase IV
Der Springer fällt in dieser Phase immer schneller: Die Geschwindigkeit steigt.
Der Springer fällt in dieser Phase immer langsamer: Die Geschwindigkeit sinkt.
Der Springer fällt in dieser Phase immer gleich schnell: Die Geschwindigkeit bleibt gleich.

Der Springer ist am Ende der Phase I nach $10$ Sekunden in $2.700$ Metern Höhe. Die Höhe des Springers wird in der Phase I durch folgende Funktion beschrieben:

$h(t)=3.000-3t^2$

$t$ ist die Zeit in Sekunden, $h(t)$ gibt die Höhe in Metern an.

d) Begründe, dass die Funktion $h(t)$ den Graphen aus Phase I beschreibt.

e) Berechne, wie viele Sekunden der Springer vom Absprung aus braucht, bis er $100\,\text{m}$ gefallen ist.

f) Bestimme die Geschwindigkeit des Springers in der Phase II in $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ .

Aufgabe 3: Tetraeder in Bottrop

Der „Tetraeder“ ist ein begehbarer Aussichtsturm in Bottrop. Die äußeren Kanten des Stahlgerüstes des Tetraeders haben jeweils die Länge von ca. $60\,\text{m}$ (vgl. Abbildung unten).

(Der Tetraeder in Bottrop) Bildnachweis

Luca baut ein verkleinertes Modell des Tetraeders mit der Kantenlänge von $60\,\text{cm}$ aus Holzstäben.

a) In welchem Maßstab baut Luca das Modell?

b) Die Seitenflächen sind jeweils gleichseitige Dreiecke. Berechne die Höhe einer Seitenfläche des Modells.

Zur Bestimmung der Oberfläche einer Pyramide müssen die Inhalte der Grundfläche und der Seitenflächen addiert werden. Luca findet in einer Formelsammlung jedoch: $0=2\cdot a \cdot h_s$ , wobei $a$ die Kantenlänge und $h_s$ die Höhe der Seitenfläche bezeichnen.

c) Begründe, wie die Oberflächenformel des Tetraeders zustande gekommen ist.

Dem Tetraeder in Bottrop liegt eine mathematische Struktur zugrunde. In jedem Schritt entstehen aus jedem Tetraeder vier kleinere Tetraeder. Die Kantenlänge der neuen Tetraeder wird dabei in jedem Schritt halbiert (vgl. Abbildungen unten).

d) Ergänze die folgende Tabelle:

	Schritt 0	Schritt 1	Schritt 2	Schritt 3
Anzahl der Tetraeder	$1$	$4$		$64$
Kantenlänge eines Tetraeders (cm)	$60$	$30$

e) Gib einen Term an, mit dem du die Anzahl der Tetraeder für jeden beliebigen Schritt $s$ berechnen kannst.

Luca fährt mit seiner Klasse zum Tetraeder nach Bottrop, um dort am „Tetraeder Treppenlauf“ teilzunehmen. Bei dem $5\,\text{km}$ langen Lauf müssen die Jugendlichen $387$ Treppenstufen und $128$ Höhenmeter überwinden.

Die Klasse teilt sich in zwei Gruppen (A und B). Die Veranstalter veröffentlichen von jedem Teilnehmer die Ergebnisse. Luca stellt für die Gruppe A und die Gruppe B die Ergebnisse in zwei Boxplots dar.

Abbildung: Die Boxplots zeigen die Laufzeiten in Minuten. Der Median der Laufzeiten aus Gruppe B beträgt ca. $20$ Minuten.

f) Kreuze an, welche Aussagen zutreffen:

	trifft zu	trifft nicht zu	nicht entscheidbar
Aus einem der Boxplots kann man die durchschnittliche Laufzeit ablesen.
Die meisten Läufer haben weniger als $22$ Minuten gebraucht.
Die Läufer sind in kleinen Gruppen gelaufen.

Leider hat sich die Klasse vor dem Lauf nicht darauf geeinigt, wie die Siegergruppe ermittelt wird.

g) Gib ein Argument anhand der Boxplots dafür an, dass die Gruppe A gewonnen hat.

h) Gib ein Argument anhand der Boxplots dafür an, dass die Gruppe B gewonnen hat.

Bildnachweise [nach oben]

(Abbildung Fallschirmspringer)

Fotolia - Bojanovic78

(Abbildung Tetraeder in Bottrop)

commons.wikimedia.org - Wiegels CC BY 3.0.

Aufgabe 1

Links unten auf der Karte kann ausgemessen werden, dass $0,8\,\text{cm}$ auf der Karte $1\,\text{km}$ in der Realität entsprechen.
Die Strecke wird näherungsweise gemessen: Auf der Karte sind es von Lindau bis nach Bregenz etwa $6,5\,\text{cm}$ .

Mit dem Dreisatz folgt:

$\begin{array}{rrcll} \scriptsize:8\;\mid&0,8\,\text{cm}&\widehat{=}&1\,\text{km}&\scriptsize\mid\;:8\\[3pt] \scriptsize\cdot65\;\mid&0,1\,\text{cm}&\widehat{=}&\dfrac{1}{8}\,\text{km}&\scriptsize\mid\;\cdot65\\[3pt] &6,5\,\text{cm}&\widehat{=}&8,125\,\text{km}& \end{array}$

Die Streckenlänge der ersten Etappe beträgt etwa $8,125\,\text{km}$ .

Die Länge der Strecke von Bregenz nach Oberfeld kann an der $x$ -Achse abgelesen werden.

Oberfeld befindet sich kurz nach der Achsenmarkierung bei Kilometer $6$ . Die Strecke ist ungefähr $6,25\,\text{km}$ lang.

Im Koordinatensytem ist ein Gitter eingezeichnet, das die $y$ -Achse alle $200\,\text{m}$ schneidet.
Daher kann die Höhe auf $200\,\text{m}$ genau abgelesen werden.

Zunächst müssen die Höhen von Alberschwende und Brüggelkopf ermittelt werden.

Alberschwende befindet sich knapp oberhalb von $700\,\text{m}.$ Es wird mit $725\,\text{m}$ gerechnet.
Der Brüggelekopf befindet sich knapp unterhalb von $1.200\,\text{m}.$ Es wird mit $1.175\,\text{m}$ gerechnet.

$1.175\,\text{m}-725\,\text{m}=450\,\text{m}$

Der Brüggelekopf liegt ungefähr $450\,\text{m}$ höher als der Ort Alberschwende.

Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck in das Koordinatensystem:

$a$ ist die ebene Strecke = $2\,\text{km}$
$b$ ist die Höhendifferenz
$c$ ist die tatsächliche Wanderstrecke (näherungsweise)

Im rechtwinkligen Dreieck gilt: $a^2+b^2=c^2$ .
Die tatsächliche Strecke ist länger als $2\,\text{km},$ da zu $a=2\,\text{km}$ der Höhenunterschied $b$ dazu kommt. Karlas kleiner Bruder hat recht.

Für die durchschnittliche Steigung $m$ zwischen zwei Punkten $A$ und $B$ gilt: $m=\dfrac{y_{B}-y_A}{x_B-x_A}$

Aus der Aufgabenstellung ist bekannt:

$x_B - x_A=2\,\text{km}=2\,000\,\text{m}$
$y_B - y_A=400\,\text{m}$

$\text{Steigung}\;m=\dfrac{y}{x}=\dfrac{400\,\text{m}}{2\,000\,\text{m}}=0,2$

Das entspricht einer Steigung von $20\,\%.$

1. Schritt: Wanderzeit auf ebener Strecke berechnen

Berechne die Wanderzeit für $19,2\,\text{km}$ bei einer Geschwindigkeit von $4,2\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ auf ebener Strecke. Die Formel hierfür ist: $\text{Geschwindigkeit}\;v=\dfrac{\text{Strecke} \,s}{\text{Zeit}\, t}$

Umstellen nach der Zeit $t$ und einsetzen liefert:

$t=\dfrac{s}{v}=\dfrac{19,2\,{\text{km}}}{4,2\,\frac{{\text{km}}}{\text{h}}}=4,57\,\text{h}$

2. Schritt: Benötigte Zeit für den Höhenunterschied berechnen

Für Auf- und Abstieg gibt es einen Zuschlag von $1\,\text{h}$ pro $300\,\text{m}$ .
Der Höhenunterschied beträgt insgesamt $1\,019\,\text{m Aufstieg}+251\,\text{m Abstieg}=1\,270\,\text{m}$ .

Die zusätzliche Zeit kann mit dem Dreisatz berechnet werden.

$\begin{array}{rrcll} \scriptsize:300\;\mid&300\,\text{m}&\widehat{=}&1\,\text{h}&\scriptsize\mid\;:300\\[3pt] \scriptsize\cdot 1\,270\;\mid&1\,\text{m}&\widehat{=}&\dfrac{1}{300}\,\text{h}&\scriptsize\mid\;\cdot 1\,270\\[3pt] &1\,270\,\text{m}&\widehat{\approx}&4,23\,\text{h}& \end{array}$

3. Schritt: Ungefähre gesamte Wanderzeit berechnen

$4,57\,\text{h}+4,23\,\text{h}=8,8\,\text{h}=8\,\text{h}\,48\,\text{min} \approx 9\,\text{h}$

Die ungefähre Wanderzeit von Bregrenz bis zum Brüggelekopf beträgt ungefähr $9$ Stunden.

Aufgabe 2

Der Wert kann an der $x$ -Achse abgelesen werden. Der Graph schneidet die $x$ -Achse bei ungefähr $310$ .
Demnach dauert der Sprung ungefähr $310\,\text{Sekunden}=5\,\text{min}\;10\,\text{sec}=5,16\,\text{min}$ .

	Phase Ⅰ	Phase Ⅱ	Phase Ⅲ	Phase Ⅳ
Der Springer fällt in dieser Phase immer schneller: Die Geschwindigkeit steigt.
Der Springer fällt in dieser Phase immer langsamer: Die Geschwindigkeit sinkt.
Der Springer fällt in dieser Phase immer gleich schnell: Die Geschwindigkeit bleibt gleich.

Phase Ⅰ geht von $0 \leq t \leq 10$ . Setze in die Formel $h(t)=3.000-3t^2$ für $t$ Werte zwischen $0$ und $10$ ein und gleiche das Ergebnis mit dem Verlauf des Fallschirmsprungs im Koordinatensystem ab. Es eignen sich die Werte $t=\{0;\;5;\;10\}$ .

$h(0)=3.000-3 \cdot 0^2=3.000$

$h(5)$ $=3.000-3 \cdot 5^2$ $=3.000- 3 \cdot 25$ $=3.000-75$ $=2.925$

$h(10)$ $=3.000-3 \cdot 10^2$ $=3.000-3 \cdot 100$ $=3.000-300$ $=2.700$

Der Abbildung kann entnommen werden, dass die Formel den Verlauf des Fallschirmsprungs in Phase Ⅰ passend beschreibt.

Der Springer springt aus $3\,000\,\text{m}$ Höhe ab. Gefragt ist also, nach wievielen Sekunden sich der Springer auf einer Höhe von $3\,000\,\text{m}-100\,\text{m}=2\,900\,\text{m}$ befindet. Einsetzen in die Formel liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 2\,900&=& 3\,000-3t^2 \quad \scriptsize \mid\; -3\,000 \\[2pt] -100&=& -3t^2 \quad \scriptsize \mid\; :(-3) \\[2pt] \dfrac{100}{3}&=&t^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[2pt] 5,77&\approx&t \end{array}$

Der Springer braucht vom Absprung aus ungefähr $5,77$ Sekunden, bis er $100\,\text{m}$ gefallen ist.

Die Geschwindigkeit in Phase Ⅱ ist konstant. Folgende Informationen können dem Koordinatensystem entnommen werden:

Phase Ⅱ geht von $10 \leq t \leq 30$ und dauert somit $20$ Sekunden
Bei $t=30$ befindet sich der Fallschirmspringer auf $1\,500\,\text{m}$ Höhe
Phase Ⅰ endet bei $t=10.$ An dieser Stelle gilt also $h(10)=3\,000-3\cdot 10^2=2\,700$

Innerhalb von $20$ Sekunden werden also $2\,700-1\,500=1\,200$ Meter Höhendifferenz zurückgelegt.

Somit beträgt die Geschwindigkeit $\dfrac{{1\,200}\,\text{m}}{{20}\,\text{s}}=60\,\frac{\text{m}}{\text{s}}.$

Aufgabe 3

Mit dem Dreisatz gilt:

$\begin{array}{rrcll} &60\,\text{cm}&\widehat{=}&60\,\text{m}\\[3pt] \scriptsize:60\;\mid&60\,\text{cm}&\widehat{=}&6\,000\,\text{cm}&\scriptsize\mid\;:60\\[3pt] &1\,\text{cm}&\widehat{=}&100\,\text{cm}& \end{array}$

Luca baut das Modell im Maßstab $1:100.$

Die Höhe $h$ im gleichseitigen Dreieck wird berechnet mit $h=\dfrac{a \cdot \sqrt{3}}{2}.$ Bekannt ist die Kantenlänge des Modells mit $60\,\text{cm}.$

$h=\dfrac{a \cdot \sqrt{3}}{2}=\dfrac{60\,\text{cm} \cdot \sqrt{3}}{2}=51,96\,\text{cm}$

Die Höhe einer Seitenfläche des Modells beträgt $51,96\,\text{cm}$ .

Ein Tetraeder ist ein Körper mit $4$ dreieckigen Seitenflächen. Die Oberfläche eines Tetraeders setzt sich also aus den Flächen von vier Dreiecken zusammen.

Die allgemeine Formel für die Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks lautet $A_D=\frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}=\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$

Alle äußeren Kanten des Tetraeders in Bottrop haben jeweils eine Länge von $60\,\text{m}$ . Also besteht das Tetraeder aus $\boldsymbol{4}$ gleichseitigen Dreiecken - es handelt sich um ein regelmäßiges Tetraeder.

Damit sind die Grundseite $a$ und die Höhe $h$ in den $4$ Dreiecken des Tetraeders jeweils gleich. Multipliziere die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks deshalb mit $4$ :

$O=4 \cdot (\frac{1}{2} \cdot a \cdot h)=2 \cdot a \cdot h$

	Schritt 0	Schritt 1	Schritt 2	Schritt 3
Anzahl der Tetraeder	$1$	$4$	$16$	$64$
Kantenlänge eines Tetraeders (cm)	$60$	$30$	$15$	$7,5$

Bei jedem Schritt entstehen aus jedem Tetraeder vier kleinere Tetraeder. Die Anzahl setzt sich folgendermaßen zusammen:

$\begin{array}[t]{rllll} s_3&=&64&=&4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3 \\[5pt] s_2&=&16&=&4 \cdot 4 = 4^2 \\[5pt] s_1&=&4&=&4^1 \\[5pt] s_0&=&1&=&4^0 \\[5pt] \end{array}$

Der Term für die Berechnung der Tetraeder-Anzahl bei jedem beliebigen Schritt $s_n$ lautet $4^n.$

	trifft zu	trifft nicht zu	nicht entscheidbar
Aus einem der Boxplots kann man die durchschnittliche Laufzeit ablesen.
Die meisten Läufer haben weniger als $22$ Minuten gebraucht.
Die Läufer sind in kleinen Gruppen gelaufen.

Der schnellste Läufer aus Gruppe A war schneller als der schnellste Läufer aus Gruppe B. Ein Argument dafür, dass Gruppe A gewonnen hat, wäre also, dass Gruppe A den schnellsten Läufer hat.

Der Median aus Gruppe B ist niedriger als der Median aus Gruppe A. Ein Argument für Gruppe B wäre also, dass Gruppe B im Mittel schneller war als Gruppe A.