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Teil B

Aufgaben
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Aufgabe 1

Gegeben sind die Funktion $f$ durch $y=f(x)=0,25\cdot x^2-4\cdot x+7$    $(x\in\mathbb{R})$    sowie der Punkt $P(6\mid-8)$.
1.1  Gib die Koordinaten des Extrempunktes des Graphen der Funktion $f$ sowie die Nullstellen und den Wertebereich der Funktion $f$ an.
(3P)
1.2  Zeige, dass der Punkt $P$ auf dem Graphen von $f$ liegt.
Begründe, dass es auf dem Graphen von $f$ einen zweiten Punkt mit der $y$-Koordinate $y=-8$ gibt und gib dessen $x$-Koordinate an.
(3P)
1.3  Der Graph einer linearen Funktion $h(D_h=\mathbb{R})$ verläuft durch den Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der $y$-Achse und durch den Punkt $P$.
Bestimme eine Funktionsgleichung von $h$.
(2P)

Aufgabe 2

Bei der Renovierung eines Zimmers werden Halogenstrahler der Firma Hell installiert.
2.1  In einer Packung befinden sich drei Halogenstrahler. Es ist bekannt, dass $5\,\%$ der Halogenstrahler dieser Firma fehlerhaft sind.
Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
Ereignis A: Alle drei Halogenstrahler in dieser Packung sind fehlerfrei.
Ereignis B: In dieser Packung befindet sich höchstens ein fehlerhafter
$\hspace{2.05cm}$ Halogenstrahler.
(4P)
2.2  Ein fehlerhafter Halogenstrahler wird $2,85\,\text{m}$ über dem Fußboden angebracht. Er dient als punktförmige Lichtquelle und erzeugt einen geraden Lichtkegel mit dem Öffnungswinkel $38,0°$. Auf dem Fußboden entsteht eine kreisförmige Lichtfläche.
Berechne den Durchmesser dieser Lichtfläche.
(3P)

Aufgabe 3

Ägyptische Pyramiden gehören zum Weltkulturerbe.
3.1  Die wohl bekannteste ist die Cheops-Pyramide. Bei ihrer Fertigstellung war sie eine gerade quadratische Pyramide mit einer Höhe von $146,6\,\text{m}$. Die Länge der Seiten ihrer Grundfläche betrug $230,3\,\text{m}$.
3.1.1  Heute beträgt die Höhe $137,1\,\text{m}$.
Ermittle, um wie viel Prozent die Höhe der Pyramide heute geringer ist als bei ihrer Fertigstellung.
(2P)
3.1.2  Alle vier Seitenflächen waren bei Fertigstellung der Pyramide mit Sandsteinplatten belegt.
Bestimme den Inhalt der Fläche, die mit Sandsteinplatten belegt war.
(4P)
3.2  Die drei Pyramiden Cheops, Chephren und Mykerinos und die Sphinx-Statue stehen auf dem ebenen Gizeh-Plateau. Die Mittelpunkte ihrer Grundflächen werden in der angegebenen Reihenfolge mit $A$, $B$, $C$ und $S$ bezeichnet (siehe Abbildung).
Es gelten folgende Maße:
$\overline{AB}=500\,\text{m}$, $\overline{AS}=540\,\text{m}$, $\overline{BC}=450\,\text{m}$, $\overline{CS}=960\,\text{m}$, $\sphericalangle ASC=71°$
Berechne die Entfernung $\overline{AC}$.
Teil B
Abbildung (nicht maßstäblich)
Teil B
Abbildung (nicht maßstäblich)
$\;\;\;\,\,$ Begründe, dass die Mittelpunkte der Grundflächen der Pyramiden Cheops, Chephren und Mykerinos nicht auf einer Geraden liegen.
(4P)
3.3  Zur Altersbestimmung von archäologischen Funden wird der Zerfall eines radioaktiven Nuklids genutzt. Ein Messgerät zeigt zum Zeitpunkt der Messung die Anzahl von Zerfällen dieses Nuklids an. Es wird folgende Beziehung verwendet:
$A(t)=A_0\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{t_H}}$
In der Gleichung bedeuten:
$t$… Zeit seit Beginn des Zerfalls in Jahren
$t_H$… Halbwertszeit in Jahren (Zeit, in der die Hälfte des Nuklids zerfällt)
$A(t)$… Anzahl der Zerfälle zur Zeit $t$
$A_0$… Anzahl der Zerfälle zur Zeit $t=0$
Für das betrachtete Nuklid gelten $A_0=920$ und $t_H=5.730$.
3.3.1  Gib an, wie groß die Anzahl der Zerfälle bei einem $5.730$ Jahre alten Fund ist. Ermittle die Anzahl der Zerfälle nach $10.000$ Jahren.
(3P)
3.3.2  Bei einer ägyptischen Mumie wurde festgestellt, dass die Anzahl der Zerfälle nur noch $25\,\%$ des Wertes zur Zeit $t=0$ beträgt.
Ermittle das Alter dieser Mumie.
(2P)
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Tipps
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Aufgabe 1

1.1$\blacktriangleright$ Extrempunkt bestimmen
Du hast die Funktion $f(x) = 0,25x^2 -4x+7$ gegeben und sollst die Koordinaten des Extrempunktes des Graphen der Funktion $f$ bestimmen. Zeichne dir die Funktion in deinem GTR. Der Zeichnung kannst du entnehmen, dass es sich um ein Minimum handelt, berechne die Extremstelle mit dem GTR.
$\blacktriangleright$  Nullstellen bestimmen
Du sollst außerdem die Nullstellen der Funktion $f$ bestimmen. Dafür kannst du deinen GTR verwenden.
$\blacktriangleright$  Wertebereich bestimmen
Du sollst den Wertebereich der Funktion $f$ angeben. Der Wertebereich enthält alle Funktionswerte, die die Funktion auf ihrem Definitionsbereich annimmt.
Beachte, dass der Graph der Funktion $f$ eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Minimum in $E(8 \mid -9)$ ist.
1.2 $\blacktriangleright$  Zeige, dass Punkt auf Graph liegt
Du sollst zeigen, dass der Punkt $P(6 \mid -8)$ auf dem Graphen von $f$ liegt. Setze die Koordinaten des Punkts in die Funktionsgleichung von $f$ ein. Liefert die Punktprobe eine wahre Aussage, so liegt der Punkt auf dem Graphen von $f$.
$\blacktriangleright$  Begründe, warum es zweiten Punkt mit $\boldsymbol{y=-8}$ gibt
Der Graph der Funktion $f$ ist eine Parabel, die achsensymmetrisch zur Gerade $x=8$ ist.
Um die $x$–Koordinate des zweiten Punkts mit $y=-8$ zu bestimmen, kannst du in deinem GTR die Gerade $y=-8$ einzeichnen und dann den Schnittpunkt, der rechts der Achse $x=8$ liegt, berechnen.
1.3 $\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Eine Gerade $h$ verläuft durch den Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der $y$–Achse und den Punkt $P$. Du sollst die Funktionsgleichung von $h$ bestimmen.
Bestimme zunächst den $y$–Achsenabschnitt von $f$. Setze dann die Punkte in die allgemeine Geradengleichung $y = mx+b$ ein und berechne $m$ und $b$.
Den $y$–Achsenabschnitt erhältst du, indem du $x=0$ in den Funktionsterm von $f$ einsetzt.

Aufgabe 2

2.1 $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
In einer Packung sind 3 Halogenstrahler und es ist bekannt, dass 5% der Halogenstrahler defekt sind. Du sollst die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses berechnen:
A: Alle drei Halogenstrahler in dieser Packung sind fehlerfrei.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Halogenstrahler fehlerfrei ist, beträgt
$1- 0,05 = 0,95$
Die einzelnen Halogenstrahler in einer Packung sind unabhängig, berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
Du sollst die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses berechnen:
B: In dieser Packung befindet sich höchstens ein fehlerhafter Halogenstrahler.
Es sind also entweder drei fehlerfreie Strahler in der Packung oder zwei fehlerfreie Strahler und ein defekter Strahler. Die Wahrscheinlichkeiten für diese beiden Möglichkeiten musst du also addieren. Die Wahrscheinlichkeit für drei fehlerfreie Halogenstrahler hast du bereits berechnet.
2.2 $\blacktriangleright$  Durchmesser der Lichtfläche berechnen
Ein Halogenstrahler wird 2,85 m über dem Boden angebracht und erzeugt einen Lichtkegel mit einem Öffnungswinkel von 38,0°. Auf dem Fußboden entsteht eine kreisförmige Lichtfläche. Du sollst den Durchmesser dieser Lichtfläche berechnen.
Für den Durchmesser eines geraden Kreiskegels mit Höhe $h$ und Öffnungswinkel $\alpha$ gilt folgende Formel
$d = 2 \cdot h \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$
Die Höhe des Lichtkegels beträgt $h=2,85$, da dort die Lampe angebracht wurde. Der Öffnungswinkel ist $\alpha = 38^{\circ}$. Berechne den Durchmesser mit der oben angegebenen Formel.

Aufgabe 3

3.1.1 $\blacktriangleright$ Berechne, um wie viel Prozent die Höhe der Pyramide kleiner ist
Die Cheops–Pyramide hatte bei ihrer Fertigstellung eine Höhe von 146,6 m. Heute ist ihre Höhe noch 137,1 m. Du sollst berechnen, um wie viel Prozent die Höhe heute geringer ist.
Berechne zunächst um wie viele Meter die Höhe geringer ist. Jetzt kannst du den Prozentanteil des Höhenverlusts berechnen.
3.1.2 $\blacktriangleright$  Mantelfläche berechnen
Alle Seitenflächen der Pyramide waren mit Sandsteinplatten belegt. Du sollst diese Fläche berechnen. Die Länge der Seiten ihrer Grundfläche ist 230,3 m.
Die Mantelfläche einer vierseitigen Pyramide berechnest du mit folgender Formel:
$M = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\cdot a \cdot h_a\right)$
Berechne also zunächst die Höhe der Seitenfläche $h_a$ und anschließend die Mantelfläche.
1. Schritt: Höhe der Seitenfläche berechnen.
Um die Höhe der Seitenfläche $h_a$ zu berechnen, kannst du ausnutzen, dass die Höhe $h$, die Hälfte der Strecke $a$ und $h_a$ ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Somit kannst du $h_a$ mit dem Satz von Pythagoras berechnen.
Teil B
Teil B
2. Schritt: Mantelfläche berechnen
Berechne nun die Mantelfläche der Pyramide mit der oben angegebenen Formel. Die benötigten Größen sind $h_a = 186,4$ und $a=230,3$.
3.2 $\blacktriangleright$  Streckenlänge berechnen
In der Aufgabenstellung ist folgende Situation gegeben:
Teil B
Teil B
Außerdem kennst du noch die Größe des Winkels $\gamma = 71°$ im Punkt $S$.
Wende den Kosinussatz im Dreieck $ACS$ an.
$\blacktriangleright$  Begründe, warum Pyramiden nicht auf einer Linie liegen
Die Entfernung zwischen der Cheops und der Mykerinos Pyramide beträgt $\overline{AC}=935,76$ m. Addiert man die Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ so erhältst du $450 + 500 = 950$ m. Folgere daraus, dass die Pyramiden nicht auf einer Linie liegen.
3.3.1 $\blacktriangleright$  Anzahl der Zerfälle berechnen
Für die Altersbestimmung von archäologischen Funden wird der Zerfall eines radioaktiven Nuklids genutzt. Die Anzahl der Zerfälle zum Zeitpunkt $t$ kannst du mit folgender Formel berechnen
$A(t) = A_0 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{t_H}}$
wobei $t$ die Zeit seit Beginn des Zerfalls in Jahren, $A_0$ die Anzahl der Zerfälle zur Zeit $t=0$ und $t_H$ die Halbwertszeit in Jahren beschreibt.
In der Aufgabenstellung ist $A_0 = 920$ und $t_H = 5730$ gegeben.
Du sollst nun die Anzahl der Zerfälle für $t=5730$ berechnen, setze $t=5730$ in die Zerfallsfunktion ein.
Außerdem sollst du noch die Anzahl der Zerfälle für $t=10000$ berechnen. Zeichne dir dafür die Funktion in deinem GTR und berechne den gesuchten Funktionswert.
3.3.2 $\blacktriangleright$  Alter berechnen
Deine Aufgabe ist es das Alter der Mumie zu bestimmen. Als Information ist dir gegeben, dass die Anzahl der Zerfälle nur noch 25% der Zerfälle zum Zeitpunkt $t=0$ beträgt. Berechne also zunächst die Anzahl der Zerfälle für den gesuchten Zeitpunkt und anschließend den Zeitpunkt.
Die Anzahl der Zerfälle für $t=0$ ist $A_0 = 920$. Berechne 25% dieser Anzahl:
Du musst also die folgende Gleichung lösen um das Alter der Mumie zu bestimmen:
$A(t) = 0,25 \cdot 920$
Zeichne die Anzahl der Zerfälle als Gerade mit deinem GTR und berechne den Schnittpunkt mit $A(t)$ um den Zeitpunkt zu bestimmen.
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Aufgabe 1

1.1$\blacktriangleright$ Extrempunkt bestimmen
Du hast die Funktion $f(x) = 0,25x^2 -4x+7$ gegeben und sollst die Koordinaten des Extrempunktes des Graphen der Funktion $f$ bestimmen. Zeichne dir die Funktion in deinem GTR. Der Zeichnung kannst du entnehmen, dass es sich um ein Minimum handelt, berechne die Extremstelle mit dem GTR.
2nd TRACE (CALC)$\to$ 3: minimum
Teil B
Teil B
Der Extrempunkt lautet $E(8 \mid -9)$.
$\blacktriangleright$  Nullstellen bestimmen
Du sollst außerdem die Nullstellen der Funktion $f$ bestimmen. Um diese zu bestimmen, wähle in deinem Taschenrechner folgenden Befehl:
2nd TRACE (CALC)$\to$ 2: zero
Teil B
Teil B
Die Nullstellen von $f$ lauten $x_1 = 2$ und $x_2 = 14$.
$\blacktriangleright$  Wertebereich bestimmen
Du sollst den Wertebereich der Funktion $f$ angeben. Der Wertebereich enthält alle Funktionswerte, die die Funktion auf ihrem Definitionsbereich annimmt.
Die Funktion $f$ ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Minimum in $E(8 \mid -9)$. Das bedeutet, dass sie Wert größer gleich -9 annimmt. Der Wertebereich lautet demnach:
$W_f = [-9,\infty)$.
1.2 $\blacktriangleright$  Zeige, dass Punkt auf Graph liegt
Du sollst zeigen, dass der Punkt $P(6 \mid -8)$ auf dem Graphen von $f$ liegt. Setze die Koordinaten des Punkts in die Funktionsgleichung von $f$ ein. Liefert die Punktprobe eine wahre Aussage, so liegt der Punkt auf dem Graphen von $f$.
$\begin{array}[t]{rll} f(6)&=&-8\\[5pt] 0,25 \cdot 6^2 - 4 \cdot 6 +7&=&-8\\[5pt] 0,25 \cdot 36 - 24 + 7&=&-8\\[5pt] 9 -24 + 7 &=&-8\\[5pt] -8 &=&-8 \quad \color{#87c800}{\checkmark} \end{array}$
Der Punkt $P$ liegt somit auf dem Graphen von $f$.
$\blacktriangleright$  Begründe, warum es zweiten Punkt mit $\boldsymbol{y=-8}$ gibt
Der Graph der Funktion $f$ ist eine Parabel, die achsensymmetrisch zur Gerade $x=8$ ist. Somit werden die Funktionswerte $y > -9$ (vergleiche Wertebreich) von je zwei verschiedenen $x$–Werten angenommen.
Um die $x$–Koordinate des zweiten Punkts mit $y=-8$ zu bestimmen, kannst du in deinem GTR die Gerade $y=-8$ einzeichnen und dann den Schnittpunkt, der rechts der Achse $x=8$ liegt, berechnen.
2nd TRACE (CALC)$\to$ 5: intersect
Teil B
Teil B
Der gesuchte Punkt hat die Koordinaten $(10 \mid -8)$.
1.3 $\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Eine Gerade $h$ verläuft durch den Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der $y$–Achse und den Punkt $P$. Du sollst die Funktionsgleichung von $h$ bestimmen.
Bestimme zunächst den $y$–Achsenabschnitt von $f$. Setze dann die Punkte in die allgemeine Geradengleichung $y = mx+b$ ein und berechne $m$ und $b$.
Den $y$–Achsenabschnitt erhältst du, indem du $x=0$ in den Funktionsterm von $f$ einsetzt.
$f(0) = 7$
Die Gerade verläuft also durch die Punkte $P(6 \mid -8)$ und $S_y(0 \mid 7)$. Setze $S_y$ in die Geradengleichung ein und löse nach $b$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 7&=&m \cdot 0 +b \\[5pt] b&=&7 \end{array}$
Setze nun $b=7$ und den Punkt $P$ in die Geradengleichung ein um $m$ zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} -8&=&m \cdot 6 +7 \quad \mid\; -7 \\[5pt] -15&=&6m \quad \mid\; :6 \\[5pt] m&=&-2,5 \end{array}$
Die Funktionsgleichung von $h$ lautet somit $h(x) = -2,5x+7$.

Aufgabe 2

2.1 $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
In einer Packung sind 3 Halogenstrahler und es ist bekannt, dass 5% der Halogenstrahler defekt sind. Du sollst die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses berechnen:
A: Alle drei Halogenstrahler in dieser Packung sind fehlerfrei.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Halogenstrahler fehlerfrei ist, beträgt
$1- 0,05 = 0,95$
Die einzelnen Halogenstrahler in einer Packung sind unabhängig, somit ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit
$P(A) = 0,95^3 \approx 0,8574$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 85,74% sind alle Halogenstrahler fehlerfrei.
Es ist außerdem noch nach der Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses gefragt:
B: In dieser Packung befindet sich höchstens ein fehlerhafter Halogenstrahler.
Es sind also entweder drei fehlerfreie Strahler in der Packung oder zwei fehlerfreie Strahler und ein defekter Strahler. Die Wahrscheinlichkeiten für diese beiden Möglichkeiten musst du also addieren. Die Wahrscheinlichkeit für drei fehlerfreie Halogenstrahler hast du bereits berechnet. Für zwei fehlerfreie und ein defekter gilt folgende Wahrscheinlichkeit:
$\binom{3}{1} \cdot 0,05 \cdot 0,95^2 \approx 0,1354$
Somit ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit
$P(B) \approx 0,8574 + 0,1354 = 0,9928$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,28% ist höchstens ein Halogenstrahler defekt.
2.2 $\blacktriangleright$  Durchmesser der Lichtfläche berechnen
Ein Halogenstrahler wird 2,85 m über dem Boden angebracht und erzeugt einen Lichtkegel mit einem Öffnungswinkel von 38,0°. Auf dem Fußboden entsteht eine kreisförmige Lichtfläche. Du sollst den Durchmesser dieser Lichtfläche berechnen.
Für den Durchmesser eines geraden Kreiskegels mit Höhe $h$ und Öffnungswinkel $\alpha$ gilt folgende Formel
$d = 2 \cdot h \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$
Die Höhe des Lichtkegels beträgt $h=2,85$, da dort die Lampe angebracht wurde. Der Öffnungswinkel ist $\alpha = 38^{\circ}$. Berechne den Durchmesser mit der oben angegebenen Formel.
$d = 2 \cdot 2,85 \cdot \tan\left(\frac{38}{2}\right) = 5,7 \cdot \tan(19) \approx 1,96$
Die Lichtfläche hat einen Durchmesser von 1,96 m.

Aufgabe 3

3.1.1 $\blacktriangleright$ Berechne, um wie viel Prozent die Höhe der Pyramide kleiner ist
Die Cheops–Pyramide hatte bei ihrer Fertigstellung eine Höhe von 146,6 m. Heute ist ihre Höhe noch 137,1 m. Du sollst berechnen, um wie viel Prozent die Höhe heute geringer ist.
Berechne zunächst um wie viele Meter die Höhe geringer ist.
$146,6 - 137,1 = 9,5$
Jetzt kannst du den Prozentanteil des Höhenverlusts berechnen:
$\dfrac{9,5}{146,6} \cdot 100\% \approx 6,48 \%$
Die Pyramide ist heute ungefähr 6,5% kleiner als bei ihrer Fertigstellung.
3.1.2 $\blacktriangleright$  Mantelfläche berechnen
Alle Seitenflächen der Pyramide waren mit Sandsteinplatten belegt. Du sollst diese Fläche berechnen. Die Länge der Seiten ihrer Grundfläche ist 230,3 m.
Die Mantelfläche einer vierseitigen Pyramide berechnest du mit folgender Formel:
$M = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\cdot a \cdot h_a\right)$
Berechne also zunächst die Höhe der Seitenfläche $h_a$ und anschließend die Mantelfläche.
1. Schritt: Höhe der Seitenfläche berechnen.
Um die Höhe der Seitenfläche $h_a$ zu berechnen, kannst du ausnutzen, dass die Höhe $h$, die Hälfte der Strecke $a$ und $h_a$ ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Somit kannst du $h_a$ mit dem Satz von Pythagoras berechnen.
Teil B
Teil B
$\begin{array}[t]{rll} h_a^2&=&h^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2\\[5pt] h_a^2&=&146,6^2 + \left(\dfrac{230,3}{2}\right)^2\\[5pt] h_a^2&=&34.751,0825\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{ }\\[5pt] h_a&\approx&186,4 \end{array}$
Die Höhe der Seitenfläche beträgt ungefähr 186,4 m.
2. Schritt: Mantelfläche berechnen
Berechne nun die Mantelfläche der Pyramide mit der oben angegebenen Formel. Die benötigten Größen sind $h_a = 186,4$ und $a=230,3$.
$M = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\cdot 230,3 \cdot 186,4\right) \approx 85.855,84$
Die Fläche, die mit Steinplatten belegt war, hat einen Flächeninhalt von 85.855 m2.
3.2 $\blacktriangleright$  Streckenlänge berechnen
In der Aufgabenstellung ist folgende Situation gegeben:
Teil B
Teil B
Außerdem kennst du noch die Größe des Winkels $\gamma = 71°$ im Punkt $S$.
Auf das Dreieck $ACS$ kannst du den Kosinussatz anwenden:
$c^2 = a^2+b^2 - 2ab \cos \gamma$
$c^2 = a^2+b^2 - 2ab \cos \gamma$
$\gamma$ ist der Winkel, der $c$ gegenüberliegt. In unserem Fall ist $c$ die Seite, deren Länge gesucht ist, $a= 960$ und $b= 540.$
Mit dem Kosinussatz ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rll} c^2&=& 960^2 +540^2 -2\cdot 960\cdot 540 \cdot \cos 71^{\circ} \\[5pt] c^2&=& 875.650,9375 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] c&\approx& 935,76 \end{array}$
Die Strecke $\overline{AC}$ hat eine Länge von 935,76 m.
$\blacktriangleright$  Begründe, warum Pyramiden nicht auf einer Linie liegen
Die Entfernung zwischen der Cheops und der Mykerinos Pyramide beträgt $\overline{AC}=935,76$ m. Addiert man die Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ so erhältst du $450 + 500 = 950$ m. Diese Strecke ist länger als die Länge der Strecke $\overline{AC}$, somit liegen die Pyramiden nicht auf einer Linie.
3.3.1 $\blacktriangleright$  Anzahl der Zerfälle berechnen
Für die Altersbestimmung von archäologischen Funden wird der Zerfall eines radioaktiven Nuklids genutzt. Die Anzahl der Zerfälle zum Zeitpunkt $t$ kannst du mit folgender Formel berechnen
$A(t) = A_0 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{t_H}}$
wobei $t$ die Zeit seit Beginn des Zerfalls in Jahren, $A_0$ die Anzahl der Zerfälle zur Zeit $t=0$ und $t_H$ die Halbwertszeit in Jahren beschreibt.
In der Aufgabenstellung ist $A_0 = 920$ und $t_H = 5730$ gegeben.
Du sollst nun die Anzahl der Zerfälle für $t=5730$ berechnen, setze $t=5730$ in die Zerfallsfunktion ein.
$A(5730) = 920 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{5730}{5730}} $ $= 920 \cdot \dfrac{1}{2}= 460$
Nach 5730 Jahren beträgt die Anzahl der Zerfälle 460.
Außerdem sollst du noch die Anzahl der Zerfälle für $t=10000$ berechnen. Zeichne dir dafür die Funktion in deinem GTR und berechne den gesuchten Funktionswert mit folgendem Befehl:
2nd TRACE (CALC) $\to$ 1: value
Teil B
Teil B
Die Anzahl der Zerfälle nach 10000 Jahren beträgt 274.
3.3.2 $\blacktriangleright$  Alter berechnen
Deine Aufgabe ist es das Alter der Mumie zu bestimmen. Als Information ist dir gegeben, dass die Anzahl der Zerfälle nur noch 25% der Zerfälle zum Zeitpunkt $t=0$ beträgt. Berechne also zunächst die Anzahl der Zerfälle für den gesuchten Zeitpunkt und anschließend den Zeitpunkt.
Die Anzahl der Zerfälle für $t=0$ ist $A_0 = 920$. Berechne 25% dieser Anzahl:
$A(t) = 0,25 \cdot A_0 = 0,25 \cdot 920 = 230$
Die Anzahl der Zerfälle zum gesuchten Zeitpunkt beträgt 230. Du musst also die folgende Gleichung lösen um das Alter der Mumie zu bestimmen:
$A(t) = 230$
Zeichne eine Gerade mit der Gleichung $y=230$ mit deinem GTR und berechne den Schnittpunkt mit $A(t)$ um den Zeitpunkt zu bestimmen.
2nd TRACE (CALC) $\to$ 5: intersect
Teil B
Teil B
Die Mumie ist 11460 Jahre alt.
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Aufgabe 1

1.1$\blacktriangleright$ Extrempunkt bestimmen
Du hast die Funktion $f(x) = 0,25x^2 -4x+7$ gegeben und sollst die Koordinaten des Extrempunktes des Graphen der Funktion $f$ bestimmen. Zeichne dir die Funktion in deinem GTR. Der Zeichnung kannst du entnehmen, dass es sich um ein Minimum handelt, berechne die Extremstelle mit dem GTR.
G–Solve $\to$ MIN
Teil B
Teil B
Der Extrempunkt lautet $E(8 \mid -9)$.
$\blacktriangleright$  Nullstellen bestimmen
Du sollst außerdem die Nullstellen der Funktion $f$ bestimmen. Um diese zu bestimmen, wähle in deinem Taschenrechner folgenden Befehl:
G–Solve $\to$ ROOT
Teil B
Teil B
Die Nullstellen von $f$ lauten $x_1 = 2$ und $x_2 = 14$.
$\blacktriangleright$  Wertebereich bestimmen
Du sollst den Wertebereich der Funktion $f$ angeben. Der Wertebereich enthält alle Funktionswerte, die die Funktion auf ihrem Definitionsbereich annimmt.
Die Funktion $f$ ist eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Minimum in $E(8 \mid -9)$. Das bedeutet, dass sie Werte größer gleich -9 annimmt. Der Wertebereich lautet demnach:
$W_f = [-9,\infty)$.
1.2 $\blacktriangleright$  Zeige, dass Punkt auf Graph liegt
Du sollst zeigen, dass der Punkt $P(6 \mid -8)$ auf dem Graphen von $f$ liegt. Setze die Koordinaten des Punkts in die Funktionsgleichung von $f$ ein. Liefert die Punktprobe eine wahre Aussage, so liegt der Punkt auf dem Graphen von $f$.
$\begin{array}[t]{rll} f(6)&=&-8\\[5pt] 0,25 \cdot 6^2 - 4 \cdot 6 +7&=&-8\\[5pt] 0,25 \cdot 36 - 24 + 7&=&-8\\[5pt] 9 -24 + 7 &=&-8\\[5pt] -8 &=&-8 \quad \color{#87c800}{\checkmark} \end{array}$
Der Punkt $P$ liegt somit auf dem Graphen von $f$.
$\blacktriangleright$  Begründe, warum es zweiten Punkt mit $\boldsymbol{y=-8}$ gibt
Der Graph der Funktion $f$ ist eine Parabel, die achsensymmetrisch zur Gerade $x=8$ ist. Somit werden die Funktionswerte $y > -9$ (vergleiche Wertebreich) von je zwei verschiedenen $x$–Werten angenommen.
Um die $x$–Koordinate des zweiten Punkts mit $y=-8$ zu bestimmen, kannst du in deinem GTR die Gerade $y=-8$ einzeichnen und dann den Schnittpunkt, der rechts der Achse $x=8$ liegt, berechnen.
G–Solve $\to$ INTSECT
Teil B
Teil B
Der gesuchte Punkt hat die Koordinaten $(10 \mid -8)$.
1.3 $\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Eine Gerade $h$ verläuft durch den Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der $y$–Achse und den Punkt $P$. Du sollst die Funktionsgleichung von $h$ bestimmen.
Bestimme zunächst den $y$–Achsenabschnitt von $f$. Setze dann die Punkte in die allgemeine Geradengleichung $y = mx+b$ ein und berechne $m$ und $b$.
Den $y$–Achsenabschnitt erhältst du, indem du $x=0$ in den Funktionsterm von $f$ einsetzt.
$f(0) = 7$
Die Gerade verläuft also durch die Punkte $P(6 \mid -8)$ und $S_y(0 \mid 7)$. Setze $S_y$ in die Geradengleichung ein und löse nach $b$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 7&=&m \cdot 0 +b \\[5pt] b&=&7 \end{array}$
Setze nun $b=7$ und den Punkt $P$ in die Geradengleichung ein um $m$ zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} -8&=&m \cdot 6 +7 \quad \mid\; -7 \\[5pt] -15&=&6m \quad \mid\; :6 \\[5pt] m&=&-2,5 \end{array}$
Die Funktionsgleichung von $h$ lautet somit $h(x) = -2,5x+7$.

Aufgabe 2

2.1 $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
In einer Packung sind 3 Halogenstrahler und es ist bekannt, dass 5% der Halogenstrahler defekt sind. Du sollst die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses berechnen:
A: Alle drei Halogenstrahler in dieser Packung sind fehlerfrei.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Halogenstrahler fehlerfrei ist, beträgt
$1- 0,05 = 0,95$
Die einzelnen Halogenstrahler in einer Packung sind unabhängig, somit ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit
$P(A) = 0,95^3 \approx 0,8574$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 85,74% sind alle Halogenstrahler fehlerfrei.
Es ist außerdem noch nach der Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses gefragt:
B: In dieser Packung befindet sich höchstens ein fehlerhafter Halogenstrahler.
Es sind also entweder drei fehlerfreie Strahler in der Packung oder zwei fehlerfreie Strahler und ein defekter Strahler. Die Wahrscheinlichkeiten für diese beiden Möglichkeiten musst du also addieren. Die Wahrscheinlichkeit für drei fehlerfreie Halogenstrahler hast du bereits berechnet. Für zwei fehlerfreie und ein defekter gilt folgende Wahrscheinlichkeit:
$\binom{3}{1} \cdot 0,05 \cdot 0,95^2 \approx 0,1354$
Somit ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit
$P(B) \approx 0,8574 + 0,1354 = 0,9928$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,28% ist höchstens ein Halogenstrahler defekt.
2.2 $\blacktriangleright$  Durchmesser der Lichtfläche berechnen
Ein Halogenstrahler wird 2,85 m über dem Boden angebracht und erzeugt einen Lichtkegel mit einem Öffnungswinkel von 38,0°. Auf dem Fußboden entsteht eine kreisförmige Lichtfläche. Du sollst den Durchmesser dieser Lichtfläche berechnen.
Für den Durchmesser eines geraden Kreiskegels mit Höhe $h$ und Öffnungswinkel $\alpha$ gilt folgende Formel
$d = 2 \cdot h \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$
Die Höhe des Lichtkegels beträgt $h=2,85$, da dort die Lampe angebracht wurde. Der Öffnungswinkel ist $\alpha = 38^{\circ}$. Berechne den Durchmesser mit der oben angegebenen Formel.
$d = 2 \cdot 2,85 \cdot \tan\left(\frac{38}{2}\right) = 5,7 \cdot \tan(19) \approx 1,96$
Die Lichtfläche hat einen Durchmesser von 1,96 m.

Aufgabe 3

3.1.1 $\blacktriangleright$ Berechne, um wie viel Prozent die Höhe der Pyramide kleiner ist
Die Cheops–Pyramide hatte bei ihrer Fertigstellung eine Höhe von 146,6 m. Heute ist ihre Höhe noch 137,1 m. Du sollst berechnen, um wie viel Prozent die Höhe heute geringer ist.
Berechne zunächst um wie viele Meter die Höhe geringer ist.
$146,6 - 137,1 = 9,5$
Jetzt kannst du den Prozentanteil des Höhenverlusts berechnen:
$\dfrac{9,5}{146,6} \cdot 100\% \approx 6,48 \%$
Die Pyramide ist heute ungefähr 6,5% kleiner als bei ihrer Fertigstellung.
3.1.2 $\blacktriangleright$  Mantelfläche berechnen
Alle Seitenflächen der Pyramide waren mit Sandsteinplatten belegt. Du sollst diese Fläche berechnen. Die Länge der Seiten ihrer Grundfläche ist 230,3 m.
Die Mantelfläche einer vierseitigen Pyramide berechnest du mit folgender Formel:
$M = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\cdot a \cdot h_a\right)$
Berechne also zunächst die Höhe der Seitenfläche $h_a$ und anschließend die Mantelfläche.
1. Schritt: Höhe der Seitenfläche berechnen.
Um die Höhe der Seitenfläche $h_a$ zu berechnen, kannst du ausnutzen, dass die Höhe $h$, die Hälfte der Strecke $a$ und $h_a$ ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Somit kannst du $h_a$ mit dem Satz von Pythagoras berechnen.
Teil B
Teil B
$\begin{array}[t]{rll} h_a^2&=&h^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2\\[5pt] h_a^2&=&146,6^2 + \left(\dfrac{230,3}{2}\right)^2\\[5pt] h_a^2&=&34.751,0825\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{ }\\[5pt] h_a&\approx&186,4 \end{array}$
Die Höhe der Seitenfläche beträgt ungefähr 186,4 m.
2. Schritt: Mantelfläche berechnen
Berechne nun die Mantelfläche der Pyramide mit der oben angegebenen Formel. Die benötigten Größen sind $h_a = 186,4$ und $a=230,3$.
$M = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\cdot 230,3 \cdot 186,4\right) \approx 85.855,84$
Die Fläche, die mit Steinplatten belegt war, hat einen Flächeninhalt von 85.855 m2.
3.2 $\blacktriangleright$  Streckenlänge berechnen
In der Aufgabenstellung ist folgende Situation gegeben:
Teil B
Teil B
Außerdem kennst du noch die Größe des Winkels $\gamma = 71°$ im Punkt $S$.
Auf das Dreieck $ACS$ kannst du den Kosinussatz anwenden:
$c^2 = a^2+b^2 - 2ab \cos \gamma$
$c^2 = a^2+b^2 - 2ab \cos \gamma$
$\gamma$ ist der Winkel, der $c$ gegenüberliegt. In unserem Fall ist $c$ die Seite, deren Länge gesucht ist, $a= 960$ und $b= 540.$
Mit dem Kosinussatz ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rll} c^2&=& 960^2 +540^2 -2\cdot 960\cdot 540 \cdot \cos 71^{\circ} \\[5pt] c^2&=& 875.650,9375 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] c&\approx& 935,76 \end{array}$
Die Strecke $\overline{AC}$ hat eine Länge von 935,76 m.
$\blacktriangleright$  Begründe, warum Pyramiden nicht auf einer Linie liegen
Die Entfernung zwischen der Cheops und der Mykerinos Pyramide beträgt $\overline{AC}=935,76$ m. Addiert man die Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ so erhältst du $450 + 500 = 950$ m. Diese Strecke ist länger als die Länge der Strecke $\overline{AC}$, somit liegen die Pyramiden nicht auf einer Linie.
3.3.1 $\blacktriangleright$  Anzahl der Zerfälle berechnen
Für die Altersbestimmung von archäologischen Funden wird der Zerfall eines radioaktiven Nuklids genutzt. Die Anzahl der Zerfälle zum Zeitpunkt $t$ kannst du mit folgender Formel berechnen
$A(t) = A_0 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{t_H}}$
wobei $t$ die Zeit seit Beginn des Zerfalls in Jahren, $A_0$ die Anzahl der Zerfälle zur Zeit $t=0$ und $t_H$ die Halbwertszeit in Jahren beschreibt.
In der Aufgabenstellung ist $A_0 = 920$ und $t_H = 5730$ gegeben.
Du sollst nun die Anzahl der Zerfälle für $t=5730$ berechnen, setze $t=5730$ in die Zerfallsfunktion ein.
$A(5730) = 920 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{5730}{5730}} $ $= 920 \cdot \dfrac{1}{2}= 460$
Nach 5730 Jahren beträgt die Anzahl der Zerfälle 460.
Außerdem sollst du noch die Anzahl der Zerfälle für $t=10000$ berechnen. Zeichne dir dafür die Funktion in deinem GTR und berechne den gesuchten Funktionswert mit folgendem Befehl:
TRACE $\to$ X: 10000
Teil B
Teil B
Die Anzahl der Zerfälle nach 10000 Jahren beträgt 274.
3.3.2 $\blacktriangleright$  Alter berechnen
Deine Aufgabe ist es das Alter der Mumie zu bestimmen. Als Information ist dir gegeben, dass die Anzahl der Zerfälle nur noch 25% der Zerfälle zum Zeitpunkt $t=0$ beträgt. Berechne also zunächst die Anzahl der Zerfälle für den gesuchten Zeitpunkt und anschließend den Zeitpunkt.
Die Anzahl der Zerfälle für $t=0$ ist $A_0 = 920$. Berechne 25% dieser Anzahl:
$A(t) = 0,25 \cdot A_0 = 0,25 \cdot 920 = 230$
Die Anzahl der Zerfälle zum gesuchten Zeitpunkt beträgt 230. Du musst also die folgende Gleichung lösen um das Alter der Mumie zu bestimmen:
$A(t) = 230$
Zeichne eine Gerade mit der Gleichung $y=230$ mit deinem GTR und berechne den Schnittpunkt mit $A(t)$ um den Zeitpunkt zu bestimmen.
G–Solve $\to$ INTSECT
Teil B
Teil B
Die Mumie ist 11460 Jahre alt.
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