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Pflichtaufgabe 1 - Analysis

Aufgaben PLUS
Lösungen PLUS
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1.1
a)
$\blacktriangleright$  Nullstellen berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0 \\[5pt] 5x\cdot \mathrm e^{-0,5x^2}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:\mathrm e^{-0,5x^2}\neq 0 \\[5pt] 5x&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:5 \\[5pt] x&=& 0 \end{array}$
$ x = 0 $
Die einzige Nullstelle von $f$ ist $x =0.$
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& 0 \\[5pt] -3(x-1)^2+3&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-3 \\[5pt] -3(x-1)^2&=& -3 &\quad \scriptsize \mid\;:(-3) \\[5pt] (x-1)^2&=& 1 \\[5pt] x-1&=& \pm 1 \\[5pt] x_1&=& 0 \\[5pt] x_2&=& 2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 0 \\[5pt] x_2&=& 2 \end{array}$
Die Nullstellen von $g$ sind $x_1 = 0$ und $x_2 = 2.$
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung der Ableitung herleiten
Verwende die Produktregel und die Kettenregel, um die erste Ableitungsfunktion von $f$ zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 5x\cdot \mathrm e^{-0,5x^2} \\[10pt] f'(x)&=& 5\cdot \mathrm e^{-0,5x^2} + 5x\cdot \mathrm e^{-0,5x^2} \cdot (-0,5\cdot 2\cdot x ) \\[5pt] &=& 5\cdot \mathrm e^{-0,5x^2} - 5x^2\cdot \mathrm e^{-0,5x^2} \\[5pt] &=& -5\cdot(x^2-1)\cdot \mathrm e^{-0,5x^2} \\[5pt] \end{array}$
$ f'(x)=-5\cdot(x^2-1)\cdot \mathrm e^{-0,5x^2} $
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Lokelen Extrempunkt nachweisen
1. Schritt: Notwendiges Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f'(-1)&=& -5\cdot ((-1)^2 -1)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot (-1)^2} \\[5pt] &=& -5\cdot 0\cdot \mathrm e^{-0,5} \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$ f'(-1)=0 $
Das notwendige Kriterium für lokale Extremstellen von $f$ ist also an der Stelle $x=-1$ erfüllt.
2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& -5\cdot (x^2-1)\cdot \mathrm e^{-0,5x^2} \\[10pt] f''(x)&=& -5\cdot 2x \cdot \mathrm e^{-0,5x^2} -5\cdot (x^2-1)\cdot \mathrm e^{-0,5x^2}\cdot (-0,5\cdot 2\cdot x) \\[5pt] &=& -10x \cdot \mathrm e^{-0,5x^2} -5\cdot (x^2-1)\cdot \mathrm e^{-0,5x^2}\cdot (- x) \\[5pt] &=& -10x \cdot \mathrm e^{-0,5x^2} +5x\cdot (x^2-1)\cdot \mathrm e^{-0,5x^2}\\[5pt] &=& -5x\cdot (2-(x^2-1))\cdot \mathrm e^{-0,5x^2} \\[5pt] &=& -5x\cdot (3-x^2)\cdot \mathrm e^{-0,5x^2} \\[5pt] \end{array}$
$ f''(x)=… $
Einsetzen von $x=-1$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} f''(-1)&=& -5\cdot (-1)\cdot (3-(-1)^2)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot (-1)^2} \\[5pt] &=& 5\cdot 2\cdot \mathrm e^{-0,5} \\[5pt] &=& 10\cdot \mathrm e^{-0,5} \\[5pt] &>& 0 \end{array}$
$ f''(-1) > 0 $
Mit dem hinreichenden Kriterium für lokale Extremstellen folgt, dass es sich bei dem Punkt $P(-1\mid f(-1))$ um einen lokalen Tiefpunkt handelt.
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Integral berechnen
1. Schritt: Stammfunktion von $\boldsymbol{g}$ bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& -3(x-1)^2+3 \\[5pt] &=& -3\cdot (x^2-2x+1)+3 \\[5pt] &=& -3x^2+6x-3+3 \\[5pt] &=& -3x^2+6x \\[10pt] G(x)&=& -\frac{3}{3}x^3+\frac{6}{2}x^2 \\[5pt] &=& -x^3+3x^2 \\[5pt] \end{array}$
$ G(x)= -x^3+3x^2$
2. Schritt: Integral berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{2}(f(x)-g(x))\;\mathrm dx &=& \displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\;\mathrm dx -\displaystyle\int_{0}^{2}g(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& F(2)-F(0)-\left(G(2)-G(0) \right) \\[5pt] &=& -5\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 2^2} +5\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 0^2} - \left(-2^3+3\cdot 2^2 - (-0^3+3\cdot 0^2) \right) \\[5pt] &=& -5\cdot \mathrm e^{-2} + 5 - \left(-8+12 \right) \\[5pt] &=& -5\cdot \mathrm e^{-2} +1 \end{array}$
$ … = -5\cdot \mathrm e^{-2} +1 $
$\,$
e)
$\blacktriangleright$  Aussage beurteilen
Damit der Graph einer Funktion $f$ mit dem Argument $x$ symmetrisch zum Koordinatenursprung ist, muss für alle $x$ im Definitionsbereich gelten:
$f(-x) = -f(x)$
Bei geraden Exponenten $k$ gilt aber immer $(-x)^k = x^k$ und nicht $(-x)^k = -x^k.$ Sobald also das Argument auch mit geraden Exponenten im Funktionsterm vorkommt, kann nicht mehr $f(-x)= -f(x)$ gelten und der Graph damit nicht symmetrisch zum Koordinatenursprung sein.
Die Aussage ist also richtig.
1.2
a)
$\blacktriangleright$  Produktionsmenge angeben
In der Abbildung ist die Schnittstelle des Graphen mit der Gerade $y= 125$ gesucht. Diese lässt sich zu $x\approx 7$ ablesen.
Bei einer Produktionsmenge von ca. $74$ Kubikmetern der Flüssigkeit fallen $125\,000$ Euro Kosten an.
$\,$
b)
$\blacktriangleright$  Monotonieverhalten angeben
Der Abbildung lässt sich entnehmen, dass $K$ für $0\leq x \leq 9$ monoton steigt.
Die Kosten steigen also mit der Menge der produzierten Flüssigkeit.
$\,$
c)
$\blacktriangleright$  Ausbleibenden Gewinn zeigen
Für die Gewinnfunktion gilt:
$\begin{array}[t]{rll} G(4)&=& E(4)-K(4) \\[5pt] &=& 23\cdot 4 - \left(4^3-12\cdot 4^2 +50\cdot 4 +20 \right) \\[5pt] &=& 92-92 \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$ G(4)=0 $
Bei einem Verkauf von $4$ Kubikmetern der Flüssigkeit beträgt der Gewinn $0\,€.$ Das Unternehmen erzielt also keinen Gewinn.
$\,$
d)
$\blacktriangleright$  Erlös einzeichnen und den Bereich für Gewinn bestimmen
Erlösfunktion
Abb. 1: Graph von $E$
Erlösfunktion
Abb. 1: Graph von $E$
$\,$
e)
$\blacktriangleright$  Menge für den maximalen Gewinn berechnen
Gesucht ist die Maximalstelle $x_M$ von $G$ im Bereich $0\leq x\leq 9.$
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bilden
$\begin{array}[t]{rll} G(x)&=& 23x -\left(x^3-12x^2 +50x +20\right) \\[5pt] &=& -x^3 + 12x^2 - 27x - 20 \\[10pt] G'(x)&=& -3x^2+24x-27 \\[10pt] G''(x)&=& -6x+24\\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& G'(x) \\[5pt] 0&=& -3x^2+24x-27 &\quad \scriptsize \mid\; abc-\text{Formel} \\[5pt] x_{1/2}&=& \dfrac{-24\pm \sqrt{24^2-4\cdot (-3) \cdot(-27) }}{2\cdot (-3)} \\[5pt] &=& \dfrac{-24\pm \sqrt{252}}{-6} \\[5pt] x_1&=& 4-\sqrt{7} \\[5pt] x_2&=& 4+\sqrt{7} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& G'(x) \\[5pt] … \\[5pt] x_1&=& 4-\sqrt{7} \\[5pt] x_2&=& 4+\sqrt{7} \end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} G''\left(4-\sqrt{7}\right)&=& -6\cdot \left( 4-\sqrt{7}\right)+24 \\[5pt] &=& +6\sqrt{7} > 0 \\[10pt] G''\left(4+\sqrt{7}\right)&=& -6 \cdot \left( 4 + \sqrt{7}\right) + 24 \\[5pt] &=& -6\sqrt{7} <0 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} G''\left(4-\sqrt{7}\right) > 0 \\[10pt] G''\left(4+\sqrt{7}\right)<0 \\[5pt] \end{array}$
An der Stelle $x= 4+\sqrt{7} $ besitzt der Graph von $G$ einen Hochpunkt.
4. Schritt: Funktionswerte vergleichen
Vergleiche die Funktionswerte an den Intervallrändern mit dem im Hochpunkt:
$\begin{array}[t]{rll} G(0)&=& -0^3 + 12\cdot 0^2 - 27\cdot 0 - 20 \\[5pt] &=& -20 \\[10pt] G(9)&=& -9^3 + 12\cdot 9^2 - 27\cdot 9 - 20 \\[5pt] &=& -20 \\[5pt] G\left(4+\sqrt{7}\right)&=& -\left(4+\sqrt{7}\right)^3 + 12\cdot \left(4+\sqrt{7}\right)^2 - 27\cdot \left(4+\sqrt{7}\right) - 20 \\[5pt] &\approx& 37,04 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} G(0)&=& -20 \\[10pt] G(9)&=& -20 \\[5pt] G\left(4+\sqrt{7}\right)&\approx& 37,04 \end{array}$
Es müssen $4+\sqrt{7}\approx 6,6$ Kubikmeter der Flüssigkeit verkauft werden, damit das Unternehmen den größten Gewinn erzielt.
$\,$
f)
$\blacktriangleright$  Monotonie zeigen
Überprüfe die erste Ableitungsfunktion von $K_b.$
$\begin{array}[t]{rll} K_b(x) &=& x^3-bx^2+50x+20 \\[10pt] K_b'(x) &=& 3x^2 -2bx + 50 \\[5pt] \end{array}$
Ist $K_b'(x) > 0$ für alle $x\in \mathbb{R},$ so ist $K_b$ streng monoton wachsend. Berechne also zunächst die Nullstellen von $K_b'$ in Abhängigkeit von $b:$
$\begin{array}[t]{rll} K_b'(x)&=& 0 \\[5pt] 3x^2 -2bx + 50&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt] x^2 -\frac{2}{3}bx +\frac{50}{3}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{1/2}&=& -\frac{-\frac{2}{3}b}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-\frac{2}{3}b}{2}\right)^2-\frac{50}{3} } \\[5pt] &=& \frac{1}{3}b \pm \sqrt{\frac{1}{9}b^2-\frac{50}{3}} \\[5pt] \end{array}$
$ x_{1/2} = \frac{1}{3}b \pm \sqrt{\frac{1}{9}b^2-\frac{50}{3}} $
Da $K_b'$ stetig ist, gilt $K_b'(x) > 0$ für alle $x,$ wenn $K_b'$ keine Nullstelle besitzt und es ein $x$ gibt mit $K_b'(x)>0.$
Keine Nullstelle besitzt $K_b',$ wenn der Radikand, also der Teil unter der Wurzel, negativ ist:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{9}b^2-\frac{50}{3} &<& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+\frac{50}{3} \\[5pt] \frac{1}{9}b^2 &<& \frac{50}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 9\\[5pt] b^2 &< & 150 &\quad \scriptsize \mid\;b>0 \text{ ist vorausgesetzt} \\[5pt] b&<& \sqrt{150} \end{array}$
$ b< \sqrt{150} $
Für $b< \sqrt{150}$ besitzt $K_b'$ also keine Nullstelle, sodass entweder $K_b'(x)<0$ oder $K_b'(x)>0$ für alle $x\in \mathbb{R}$ gilt.
$\begin{array}[t]{rll} K_b'(1)&=& 3\cdot 1^2 -2b\cdot1 + 50 \\[5pt] &=& 53-2b \end{array}$
$ K_b'(1) = 53-2b $
Von 53 wird maximal $2\cdot \sqrt{150} \approx 24,5$ abgezogen, es ist also $53-2b >0.$
Da $K_b'$ für $b< \sqrt{150}$ keine Nullstelle besitzt, stetig ist und $K_b'(1)>0$ ist, gilt insgesamt $K_b'(x) >0$ für alle $x\in \mathbb{R}.$
Daher ist $K_b$ streng monoton wachsend.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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