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Pflichtaufgaben

Aufgaben
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Pflichtaufgabe 1 - Ohne Hilfsmittel

1.
Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ durch:
  • $f(x)= 2\cdot \sin(x) +1$
  • $g(x)= -\cos(x)-2$
Skizziere die Graphen von $f$ und $g$ im Intervall $-\pi \leq x\leq 2\pi.$
(2 BE)
2.
Berechne die Schnittstele der Graphen der linearen Funktionen $f$ und $g.$
(3 BE)
#linearefunktion
3.
Für jede reelle Zahl $c$ $(c\neq 0)$ ist eine Funktion $f$ mit
$f(x)= -x^4 +c$ $(x \in \mathbb{R})$ gegeben.
Bestimme die reelle Zahl $c$ so, dass sich die Graphen der Funktionen $f$ und $g$ mit $g(x)= 3x^4$ $(x\in \mathbb{R})$ an der Stelle $x=1$ schneiden.
(1 BE)
4.
(3 BE)
#sinus#tangens#rechtwinkligesdreieck
5.
(2 BE)
#wahrscheinlichkeit

Pflichtaufgabe 2 - Mit Hilfsmitteln

1.
Die Wasserhyazinthe kann sich unter idealen Bedingungen äußerst stark vermehren. Zu Beobachtungsbeginn werden etwa $20$ Quadratmeter eines $72$ Hektar großen Sees durch Wasserhyazinthen bedeckt. Die bedeckte Fläche nimmt pro Woche um $30\,\%$ zu.
a)
Ermittle eine Funktionsgleichung, mit der sich das Pflanzenwachstum mathematisch beschreiben lässt.
(2 BE)
b)
Gib den Flächeninhalt der nach vier Wochen bedeckten Wasseroberfläche an.
(1 BE)
c)
Berechne die Anzahl der Tage, nach denen der See vollständig bedeckt ist.
(2 BE)
d)
Gib eine Grenze der verwendeten mathematischen Modellierung an.
(1 BE)
2.
In einem rechtwinkligen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0\mid 2),$ $B(-1\mid 0)$ und $C(3\mid -4)$ gegeben.
a)
Berechne die Größe eines Innenwinkels des Dreiecks $ABC.$
(3 BE)
b)
Die Punkte $A,$ $B,$ $C$ und $D$ bilden in dieser Reihenfolge ein Drachenviereck. Ermittle die Gleichung der Geraden, auf der die Diagonale $\overline{BD}$ liegt.
(3 BE)
#drachenviereck#geradengleichung
3.
Anweisung
  1. Der Spieler wählt eine Münze und wirft diese.
  2. In Abhängigkeit vom Ergebnis wählt der Spieler erneut eine Münze und wirft diese.
Gewonnen hat der Spieler, der genau einmal Wappen und einmal Zahl geworfen hat.
Anweisung
  1. Der Spieler wählt eine Münze und wirft diese.
  2. In Abhängigkeit vom Ergebnis wählt der Spieler erneut eine Münze und wirft diese.
Gewonnen hat der Spieler, der genau einmal Wappen und einmal Zahl geworfen hat.
(3 BE)
#wahrscheinlichkeit
Bildnachweise [nach oben]
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Pflichtaufgabe 1

1.
$\blacktriangleright$  Graphen skizzieren
Beachte folgende Punkte:
  • Durch den Faktor $2$ wird der Graph von $f$ entlang der $y$-Achse gestreckt.
  • Durch den Summanden $+1$ wird der Graph von $f$ um eine Einheit entlang der $y$-Achse nach oben verschoben.
  • Durch den Faktor $-1$ wird der Graph von $g$ an der $x$-Achse gespiegelt.
  • Durch den Summanden $-2$ wird der Graph von $g$ entlang der $y$-Ache um zwei Einheiten nach unten verschoben.
Graphen
Abb. 1: Graphen der Funktionen $f$ und $g$
Graphen
Abb. 1: Graphen der Funktionen $f$ und $g$
2.
$\blacktriangleright$  Schnittstelle berechnen
1. Schritt: Funktionsgleichungen aufstellen
Die Steigungen kannst du mithilfe von Steigungsdreiecken bestimmen. Die $y$-Achsenabschnitte kannst du direkt ablesen. Damit erhältst du folgende Funktionsgleichungen:
  • $f(x)= 2x+1$
  • $g(x)=-x+3$
2. Schritt: Schnittstelle berechnen
Setze beide Funktionsterme gleich:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& g(x) \\[5pt] 2x+1&=& -x+3 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] 2x&=& -x+2 &\quad \scriptsize \mid\;+x \\[5pt] 3x&=& 2 &\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt] x&=& \frac{2}{3} \end{array}$
Die Graphen der beiden linearen Funktionen $f$ und $g$ schneiden sich an der Stelle $x=\frac{2}{3}.$
3.
$\blacktriangleright$  Parameterwert bestimmen
Setze gleich:
$\begin{array}[t]{rll} f(1)&=& g(1)\\[5pt] -1^4+c&=& 3\cdot 1^4 \\[5pt] -1+c&=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] c&=& 4 \end{array}$
Mit $c=4$ schneiden sich die Graphen der beiden Funktionen $f$ und $g$ an der Stelle $x=1.$
4.
$\blacktriangleright$  Gleichungen angeben
Für den Sinus gilt:
$\sin \alpha = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
Im gegebenen Dreieck ist die Hypotenuse $\overline{PR}.$ Die Gegenkathete zu $\alpha $ ist $\overline{QR}.$ Es gilt also:
$\sin(\alpha) = \dfrac{\overline{QR}}{\overline{PR}}$
Für den Tangens gilt:
$\tan \alpha = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
Im vorliegenden Dreieck ist die Gegenkathete zum Winkel $\beta$ die Seite $\overline{PQ},$ die Ankathete zu $\beta$ ist $\overline{QR}.$
$\tan (\beta) = \dfrac{\overline{PQ}}{\overline{QR}}$
5.
$\blacktriangleright$  Durchführung des Spiels erläutern
1. Schritt: Wahrscheinlichkeiten des Glücksrads berechnen
Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Farben entsprechen dem jeweiligen Anteil des Sektors am gesamten Glücksrad:
  • $p_{blau}=\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{4}$
  • $p_{rot}=\frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{3}$
  • $p_{grün}=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{3} = \frac{5}{12}$
2. Schritt: Anzahl der Kugeln bestimmen
Zur Verfügung stehen insgesamt $15$ Kugeln, jeweils $5$ von jeder Farbe. Betrachtest du die obigen Wahrscheinlichkeiten, so bietet es sich an insgesamt $12$ Kugeln zu verwenden. Da dann von jeder Farbe eine gannzzahlige Anzahl verwendet werden kann. Halbe Kugeln oder ähnliches ergeben keinen Sinn.
Um die Wahrscheinlichkeiten einzuhalten, müssen von den $12$ Kugeln $\frac{1}{4}$ blau sein, also $3$ Stück. Es müssen $\frac{1}{3},$ also $4$ Stück, rot sein und $\frac{5}{12},$ also $5$ Stück grün sein. Dies ist mit der angegebenen Anzahl der zur Verfügung stehenden Kugeln möglich.
Damit die Wahrscheinlichkeiten bei jedem Zug erhalten bleiben, darf außerdem immer nur eine Kugel gleichzeitig gezogen werden und diese muss nach dem Zug wieder zurückgelegt werden.
Damit kann das Spiel also unter den geforderten Bedingungen durchgeführt werden.

Pflichtaufgabe 2

1.
a)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung ermitteln
Bei dem beschriebenen Wachstum handelt es sich um exponentielles Wachstum. Die Funktionsgleichung hat also folgende Form:
$B(t) = b\cdot a^t$
Der Anfangsbestand $b = B(0)$ ist laut Aufgabenstellung $20\,\text{m}^2,$ $b = 20.$
Laut Aufgabenstellung nimmt die bedeckte Fläche pro Woche um $30\,\%$ zu. Der Wachstumsfaktor $a$ ist also $a=1+0,3 = 1,3.$
Die bedeckte Fläche des Sees $t$ Wochen nach Beobachtungsbeginn kann also mit folgender Gleichung beschrieben werden:
$B(t) = 20\cdot 1,3^t$
b)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt angeben
$\begin{array}[t]{rll} B(4) &=& 20\cdot 1,3^4 \\[5pt] &=& 57,122 \end{array}$
Vier Wochen nach Beobachtungsbeginn sind also $57,122\,\text{m}^2$ des Sees durch Wasserhyazinthen bedeckt.
c)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Tage berechnen
Rechne zunächst die Angabe der Größe der Wasseroberfläche in $\text{m}^2$ um:
$72\,\text{ha} = 720\,000\,\text{m}^2 $
Gesucht ist nun $t$ mit $B(t)= 720\,000:$
$\begin{array}[t]{rll} B(t)&=& 720\,000 \\[5pt] 20\cdot 1,3^t &=& 720\,000 &\quad \scriptsize \mid\; :20\\[5pt] 1,3^t&=& 36\,000 &\quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] \ln 1,3^t &=& \ln 36\,000 \\[5pt] t\cdot \ln 1,3 &=& \ln 36\,000 &\quad \scriptsize \mid\;:\ln 1,3 \\[5pt] t&=& \frac{\ln 36\,000}{\ln 1,3} \\[5pt] t &\approx& 39,99 \end{array}$
$ t\approx 39,99 $
Nach ca. $40$ Wochen, also $280$ Tagen ist der See vollständig bedeckt.
d)
$\blacktriangleright$  Grenze der Modellierung angeben
Nach der Modellierung wächst die von der Pflanze bedeckte Fläche des Sees bis ins Unendliche. Der See hat aber nur eine begrenzte Größe von $72\,\text{ha}.$ Die bedeckte Fläche würde nach der Modellierung also irgendwann die Größe des Sees überschreiten, was im Sachzusammenhang aber nicht möglich ist.
#exponentielleswachstum
2.
a)
$\blacktriangleright$  Größe eines Innenwinkels berechnen
Über die Koordinatenangaben der Eckpunkte kannst du die Seitenlängen des Dreiecks berechnen. Mit diesen Seitenlängen kannst du dann mit dem Kosinussatz einen beliebigen Innenwinkel berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AB}&=& \sqrt{(y_B-y_A)^2 + (x_B-x_A)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{(0-2)^2 + (-1-0)^2 } \\[5pt] &=& \sqrt{5} \\[10pt] \overline{AC} &=& \sqrt{(y_C-y_A)^2 + (x_C-x_A)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{(-4-2)^2 + (3-0)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{45} \\[10pt] \overline{BC} &=& \sqrt{(y_C-y_B)^2 + (x_C-x_B)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{(-4-0)^2 + (3-(-1))^2} \\[5pt] &=& \sqrt{32} \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AB}&= \sqrt{5} \\[10pt] \overline{AC} &=\sqrt{45} \\[10pt] \overline{BC} &= \sqrt{32} \\[10pt] \end{array}$
Skizze
Abb. 2: Skizze
Skizze
Abb. 2: Skizze
Du kannst die jeweiligen Gleichungen auch mit dem solve-Befehl deines CAS lösen.
$\begin{array}[t]{rll} a^2&=& b^2 +c^2 -2bc\cdot \cos \alpha \\[5pt] \sqrt{32}^2&=& \sqrt{45}^2 + \sqrt{5}^2 -2\cdot \sqrt{45} \cdot \sqrt{5}\cdot \cos \alpha \\[5pt] 32&=& 50-30\cdot \cos \alpha &\quad \scriptsize \mid\; -50\\[5pt] -18&=& -30\cdot \cos \alpha &\quad \scriptsize \mid\;:(-30) \\[5pt] 0,6 &=& \cos \alpha &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] 53,1^{\circ}&\approx& \alpha \\[10pt] b^2&=& a^2 +c^2 -2ac\cdot \cos \beta \\[5pt] \sqrt{45}^2&=& \sqrt{32}^2 + \sqrt{5}^2 -2\cdot \sqrt{32} \cdot \sqrt{5}\cdot \cos \beta \\[5pt] 45&=& 37-2\sqrt{160}\cdot \cos \beta &\quad \scriptsize \mid\; -37\\[5pt] 8&=& -2\sqrt{160}\cdot \cos \beta &\quad \scriptsize \mid\;:(-2\cdot \sqrt{160}) \\[5pt] \frac{8}{-2\sqrt{160}} &=& \cos \beta &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] 108,4^{\circ}&\approx& \beta\\[10pt] c^2&=& a^2 +b^2 -2ab\cdot \cos \gamma \\[5pt] \sqrt{5}^2&=& \sqrt{32}^2 + \sqrt{45}^2 -2\cdot \sqrt{32} \cdot \sqrt{45}\cdot \cos \gamma \\[5pt] 5&=& 77-2\sqrt{1\,440}\cdot \cos \gamma &\quad \scriptsize \mid\; -77\\[5pt] -72&=& -2\sqrt{1\,440}\cdot \cos \gamma &\quad \scriptsize \mid\;:(-2\cdot \sqrt{1\,440}) \\[5pt] \frac{-72}{-2\sqrt{1\,440}} &=& \cos \gamma &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] 18,4^{\circ}&\approx& \gamma\\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \alpha&\approx& 53,1^{\circ}\\[10pt] \beta&\approx& 108,4^{\circ}\\[10pt] \gamma&\approx& 18,4^{\circ}\\[10pt] \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Geradengleichung ermitteln
Drachenviereck
Abb. 3: Drachenviereck im Koordinatensystem
Drachenviereck
Abb. 3: Drachenviereck im Koordinatensystem
$\begin{array}[t]{rll} m_h&=& \dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A} \\[5pt] &=& \dfrac{-4-2}{3-0} \\[5pt] &=& \dfrac{-6}{3} \\[5pt] &=& -2 \end{array}$
Da $g$ senkrecht zu $h$ verlaufen muss, muss für die beiden Steigungen folgender Zusammenhang gelten:
$\begin{array}[t]{rll} m_g\cdot m_h&=& -1 \\[5pt] m_g\cdot(-2)&=& -1 &\quad \scriptsize \mid\;:-2 \\[5pt] m_g&=& 0,5 \end{array}$
$ m_g= 0,5 $
Die Funktionsgleichung der Geraden durch $B$ und $D$ hat also die Form $y= 0,5\cdot x +b.$ Den $y$-Achsenabschnitt $b$ kannst du nun noch über eine Punktprobe mit den Koordinaten von $B$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 0,5\cdot x +b &\quad \scriptsize \mid\;B(-1\mid 0) \\[5pt] 0&=& 0,5\cdot (-1) + b&\quad \scriptsize \mid\;+0,5 \\[5pt] 0,5&=& b \end{array}$
$ b=0,5 $
Die Diagonale $\overline{BD}$ liegt also auf der Geraden mit der Gleichung $y= 0,5x+0,5.$
#kosinussatz
3.
$\blacktriangleright$  Reihenfolge der Münzen bestimmen
Spiele verschiedene Möglichkeiten durch. Wenn du mit der fairen Münze startest hast du folgende Gewinnwahrscheinlichkeiten:
  • Es wird mit einer Wahrscheinlichkeit von $50\,\%$ zuerst Wappen geworfen. Um zu gewinnen braucht man dann im nächsten Wurf Zahl. Die Wahrscheinlichkeit für Zahl beträgt bei der fairen Münze $50\,\%,$ bei der gezinkten Münze nur $30\,\%.$ In dem Fall sollte man für den zweiten Wurf also wieder die faire Münze wählen. Mit der fairen Münze als Startmünze beträgt die Wahrscheinlichkeit für den Pfad „Wappen-Zahl“ also:
    $0,5\cdot 0,5= 0,25$
  • Wird mit der fairen Münze aber zuerst Zahl geworfen, muss im nächsten Schritt Wappen geworfen werden. Die Wahrscheinlichkeit für Wappen beträgt bei der fairen Münze nur $50\,\%,$ bei der gezinkten Münze $70\,\%.$
    In dem Fall sollte man also mit der gezinkten Münze weiterspielen. Auf diesem Weg zu gewinnen hat folgende Wahrscheinlichkeit:
    $0,5\cdot 0,7 = 0,35$
Insgesamt ergibt sich für die faire Münze als Startmünze also eine Gewinnwahrscheinlichkeit von
$0,25+ 0,35 = 0,6.$
Startet man mit der gezinkten Münze, dann ergeben sich folgende Möglichkeiten:
  • Es wird mit einer Wahrscheinlichkeit von $70\,\%$ zuerst Wappen geworfen. Um zu gewinnen braucht man dann im nächsten Wurf Zahl. Die Wahrscheinlichkeit für Zahl beträgt bei der fairen Münze $50\,\%,$ bei der gezinkten Münze nur $30\,\%.$ In dem Fall sollte man für den zweiten Wurf also die faire Münze wählen. Mit der gezinkten Münze als Startmünze beträgt die Wahrscheinlichkeit für den Pfad „Wappen-Zahl“ also:
    $0,7\cdot 0,5= 0,35$
  • Wird mit der gezinkten Münze aber zuerst Zahl geworfen, muss im nächsten Schritt Wappen geworfen werden. Die Wahrscheinlichkeit für Wappen beträgt bei der fairen Münze nur $50\,\%,$ bei der gezinkten Münze $70\,\%.$
    In dem Fall sollte man also wieder mit der gezinkten Münze weiterspielen. Auf diesem Weg zu gewinnen hat folgende Wahrscheinlichkeit:
    $0,3\cdot 0,7 = 0,21$
Insgesamt ergibt sich für die gezinkte Münze als Startmünze also eine Gewinnwahrscheinlichkeit von
$0,35+ 0,21 = 0,56.$
Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist also am höchsten, wenn man mit der fairen Münze startet und sich dann entsprend obiger Abfolge für den zweiten Wurf entscheidet.
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