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Mathematisches Pendel

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Einführung


Im Alltag funktionieren zum Beispiel alte Wanduhren mit diesem Prinzip, oder auch große Abrissbirnen. Sicherlich hast du auch in deiner Jugend schon einmal geschaukelt. Hierbei führst du selbst auch eine Schwingung aus, die sich mit der Schwingung eines Federpendels vergleichen lässt. Wie genau das funktioniert, sehen wir im Folgenden.
Abb. 1: Eine Abrissbirne pendelt an einem langen Seil (hier zum Nachweis)
Abb. 1: Eine Abrissbirne pendelt an einem langen Seil (hier zum Nachweis)

Vorbemerkung

Beim mathematischen Pendel sind wir besonders interessiert an dem Schwingungsvorgängen unter kleinen Winkeln. Hier kann nämlich die Vereinfachung $\sin(\alpha)=\alpha$ angenommen werden: Dies gilt für Winkel unter ca. $10^\circ$ im Bogenmaß:

Wie du erkennen kannst, ist die Länge $\alpha$ des Kreisbogens bei kleinen Winkeln in etwa genau so groß wie $\sin(\alpha)$.
Für $\alpha=10^\circ$ ergibt sich gerade noch folgendes:

$\begin{array}{rcl} \sin(\alpha)&=&\alpha \\ \sin(10^\circ)&=&10^\circ \cdot \dfrac{\pi}{180^\circ} \\ 0,1736&\approx&0,1745 \end{array}$

Auf einem Kreisbogen zurückgelegte Wege $s$ können nach obiger Annäherung folgendermaßen approximiert werden:

Für den zurückgelegten Weg $s$ auf einem Kreisbogen folgt damit nach obiger Annäherung:

$\begin{array}{rcrcl} \sin(\alpha)&=&\alpha&=&\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \\ &&&=&\dfrac{s}{l} \\ &\Longrightarrow&s&=&\alpha \cdot l \end{array}$
$\begin{array}{rcl} \sin(\alpha)&=&\alpha \\ &=&\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \\ &=&\dfrac{s}{l} \\ \Longrightarrow \; s&=&\alpha \cdot l \end{array}$

Mathematisches Pendel

Das mathematische Pendel vollführt nach Auslenkung eine harmonische Schwingung. Diese kannst du dir folgendermaßen vorstellen:


Abb. 2: Beim Schaukeln benehmen wir uns wie
ein Pendel (hier zum Nachweis)
Abb. 2: Beim Schaukeln benehmen wir uns wie
ein Pendel (hier zum Nachweis)

Bei einem mathematischen Pendel wirkt in der Verlängerung des Fadens immer die „Reactio-Kraft“ der Zentripetalkraft $\overrightarrow{F}_Z$, die die schwingende Masse auf ihrer Kreisbahn hält. Wir werden sie im folgenden Seilkraft $\overrightarrow{F}_S$ nennen. Zusammen mit der immer wirkenden Gewichtskraft $\overrightarrow{F}_G$ ergibt sich folgendes Kräfteparallelogramm:

Beachte hierbei, dass der Winkel $\alpha$ als Stufenwinkel ebenfalls im Parallelogramm auftaucht. Die resultierende Kraft $F_R$ zwingt also bei maximaler Auslenkung die Masse zurück in Richtung Gleichgewichtslage. Dort angekommen allerdings hält sie dann nicht augenblicklich an, sondern schwingt auf Grund ihrer Trägheit weiter zur anderen Seite.

Über das Kräfteparallelogramm lässt sich nun die Größe der resultierenden Kraft $F_R$ mit obiger Approximation leicht berechnen:

$\begin{array}{rcl} F_R&=&-F_G \cdot \sin(\alpha) \\ &=&-m \cdot g \cdot \sin(\alpha) \\ &\approx&-m \cdot g \cdot \alpha \\ &=&-m \cdot g \cdot \dfrac{s}{l} \\ &=&-\underbrace{m \cdot \dfrac{g}{l}}_{D} \cdot s \quad \text{(1)} \end{array}$

Mit dem zweiten Newtonschen Gesetz $F=m\cdot a$ folgt damit folgende Differentialgleichung:

$\begin{array}{rcl} m\cdot a(t)&=&-m \cdot \dfrac{g}{l}\cdot s(t) \\ m\cdot \ddot{s}(t)&=&-m \cdot \dfrac{g}{l} \cdot s(t) \\ \ddot{s}(t)&=&-\dfrac{g}{l} \cdot s(t) \end{array}$

Die Lösung dieser Differentialgleichung ist die Formel der harmonischen Schwingung:

$s(t)=\widehat{s}\cdot \sin(\varphi)=\widehat{s}\cdot \sin(\omega \cdot t + \varphi_0)$
$\begin{array}{rcl} s(t)&=&\widehat{s}\cdot \sin(\varphi) \\ &=&\widehat{s}\cdot \sin(\omega \cdot t + \varphi_0) \end{array}$

Die Amplitude $\widehat{s}$ lässt sich wie oben beim Kreisbogen bereits beschrieben mit der für kleine Winkel gültigen Formel

$\widehat{s}=\alpha \cdot l$

berechnen. Sie hängt damit also nur von der Anfangsauslenkung und der Länge des Pendels ab. Beachte in der Lösung der Differentialgleichung ebenfalls, dass es bei Berechnungen des Federpendels folgende verschiedene Winkel gibt, die du nicht verwechseln solltest:

  • Phasenwinkel $\boldsymbol{\varphi}$ ist das Argument der Winkelfunktion (Sinus- oder Kosinusfunktion) und bestimmt deren Betrag zu einem bestimmten Zeitpunkt. Er kann zwischen $0$ und $2\pi$ liegen.
  • Nullphasenwinkel $\boldsymbol{\varphi_0}$ beschreibt die Anfangsauslenkung der Winkelfunktion (Sinus- oder Kosinusfunktion) und fließt in das Argument dieser mit ein.
  • Der Auslenkungswinkel $\boldsymbol{\alpha}$ gehört dagegen nicht zur Winkelfunktion, sondern ist der Winkel, um welchen das Pendel aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt wird. Er fließt, wie oben beschrieben, in die Berechnung der Amplitude ein.

Vom Federpendel wissen wir noch, dass die Kreisfrequenz $\omega$ definiert war, als $\sqrt{\dfrac{D}{m}}$. In (1) wurde $D$ dabei als $m \cdot \dfrac{g}{l}$ definiert. Deshalb folgt für die Kreisfrequenz $\omega$ beim mathematischen Pendel:

$\begin{array}{rcrcl} &&\omega=&\sqrt{\dfrac{D}{m}} \\ &&=&\sqrt{\dfrac{\color{orange}{m} \cdot g}{\color{orange}{m} \cdot l}} \\ &\Longrightarrow&\omega=&\sqrt{\dfrac{g}{l}} \end{array}$

Daraus folgt für die Periodendauer einer Schwingung:

$\begin{array}{rcl} T=&\dfrac{2 \pi}{\omega}\ \\ =&2 \pi \cdot \sqrt{\dfrac{l}{g}} \end{array}$

Wie du erkennen kannst, hängt also die Dauer einer Schwingungsperdiode einzig von der Länge des Pendels bzw. des Seils ab und nicht etwa auch von der Masse oder der Anfangsauslenkung des Pendels. Beim Schaukeln wirst du dich also noch so viel anstrengen können, doch schneller zu schaukeln als dein Partner, ist physikalisch nicht möglich. Die Amplitude hängt nur ab vom Auslenkungswinkel $\alpha$.

Bildnachweise [nach oben]
[1]
http://commons.wikimedia.org/wiki/File: Abrissbirne.jpg – Stefan Kühn CC-BY-SA
[2]
http://commons.wikimedia.org/wiki/File: Swing.jpg?uselang=de – Chamaeleon CC-BY-SA
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