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Einstufige Zufallsexperimente

Spickzettel
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Ein Experiment, bei dem du das Ergebnis nicht vorhersagen kannst, nennt man Zufallsexperiment. Je nachdem ob du das Experiment einfach oder mehrfach hintereinander durchführst, nennt man das Experiment ein einfaches Zufallsexperiment oder ein mehrstufiges Zufallsexperiment.
Ein Zufallsexperiment hat eine Ergebnismenge, die angibt, welche Ergebnisse auftreten können.
$\text{Ergebnismenge}\,\Omega=\{\text{Alle wahrscheinlichen Ergebnisse}\}$
$\text{Ergebnismenge}\,\Omega=$ $\{\text{Alle wahrscheinlichen Ergebnisse}\}$
Erfüllt ein Ergebnis bestimmte Kriterien, die vorher festgelegt wurden, dann tritt ein Ereignis ein.
$\text{Ereignis}\,E=\{\text{Alle Ergebnisse, die ein bestimmtes Kriterium erfüllen}\}$
$\text{Ereignis}\,E=\{\text{Alle Ergebnisse, die}$$\text{ ein bestimmtes Kriterium erfüllen}\}$
Geschieht das nicht, dann tritt das Gegenereignis ein. Dieses umfasst alle Ergebnisse, die nicht zum Ereignis gehören.
$\text{Gegenereignis}\,\overline{E}=\{\text{Alle Ergebnisse, die nicht zum Ereignis gehören}\}$
$\text{Gegenereignis}\,\overline{E}=\{\text{Alle Ergebnisse,}$$\text{ die nicht zum Ereignis gehören}\}$
Den Ausgang von mehreren Stufen eines mehrstufigen Zufallsexperiments kannst du in einem Baumdiagramm darstellen. Du zeichnest ein Pfadsegment für jedes mögliche Ergebnis ein und gibst die passenden Wahrscheinlichkeiten $p$ an. Das wiederholst du für jede Stufe des Experiments und erhältst das Baumdiagramm.
Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades berechnest du mit der $\boldsymbol{1.}$ Pfadregel, der Multiplikationsregel.
Multipliziere alle Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades
Multipliziere alle Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades
Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis, bei dem mehrere Pfade das richtige Ergebnis liefern, berechnest du mit der $\boldsymbol{2.}$ Pfadregel, der Additionsregel.
Addiere die Wahrscheinlichkeiten aller passenden Ergebnisse („Pfade addieren“).
Addiere die Wahrscheinlichkeiten aller passenden Ergebnisse („Pfade addieren“).
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Einführung

Abb. 1: Ein klassisches Brettspiel: Mensch-ärger-dich-nicht.
Abb. 1: Ein klassisches Brettspiel: Mensch-ärger-dich-nicht.
Timo hat heute kein Glück. Schon wieder verliert er bei „Mensch ärger dich nicht“ gegen Melanie und das nur, weil sie ständig Sechser würfelt. Allmählich hat er das Gefühl, dass etwas nicht mit Melanies Würfeln stimmt. „Das ist unfair!“ beschwert sich Timo, „Du schummelst!“ „Tue ich gar nicht,“ wehrt sich Melanie, „Ich kann ja wohl kaum selbst entscheiden, was ich würfle.“
Das vielleicht nicht, aber Timo kommt auf die Idee, dass Melanies Würfel gezinkt sein könnten. Vielleicht wurden sie ja extra so gebaut, dass sie wahrscheinlicher auf die $6$ fallen. Er schnappt sich Melanies Würfel und möchte überprüfen, ob sie schummelt oder nicht. Er würfelt einmal mit einem Würfel und hat sofort eine $6$ gewürfelt.
Siegessicher würfelt er erneut und würfelt eine $1$. Er würfelt immer wieder und hat doch kein Glück. Er würfelt keine $6$ mehr. Melanie nimmt ihm die Würfel ab und würfelt $3$ mal hintereinander. Melanie würfelt zwei mal eine $6$. Timo ist erstaunt: „Das ist doch unmöglich!“

Erklärung

Als Timo den Würfel geworfen hat, um zu überprüfen, ob Melanies Würfel gezinkt ist, hat er ein sogenanntes Zufallsexperiment durchgeführt. Als Zufallsexperiment wird ein Experiment bezeichnet, dessen Ausgang du nicht vorhersagen kannst. Das ist z.B. ein Münzwurf oder ein Würfelwurf.
Ein Zufallsexperiment hat immer eine Ergebnismenge, die dir angibt, welche Ergebnisse bei dem Experiment auftreten können. Im Falle von Timos Würfelwurf würde die Ergebnismenge die Zahlen von $1-6$ umfassen. Du schreibst: $\Omega=\{1, 2,3,4,5,6\}$
Wenn du die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments ermitteln willst, dann überlegst du dir, welche möglichen Ergebnisse wahrscheinlich sind.
$\text{Ergebnismenge}\,\Omega=\{\text{Alle wahrscheinlichen Ergebnisse}\}$
$\text{Ergebnismenge}\,\Omega=$ $\{\text{Alle wahrscheinlichen Ergebnisse}\}$
Wenn du nun den Würfel wirfst, dann kann ein Ereignis eintreten. Ein Ereignis ist ein Ergebnis, das bestimmte Kriterien erfüllt, die du vorher festgelegt hast. Timo hat z.B. bei der Überprüfung von Melanies Würfeln festgelegt, dass das Ereignis lautet „Die gewürfelte Zahl ist eine $6$“. Demnach kann er sein Ereignis schreiben: $E=\{6\}$
Du kannst ein Ereignis frei definieren. Du könntest z.B auch sagen, dein Ereignis tritt ein, wenn die gewürfelte Zahl durch $3$ teilbar wäre. Demnach wäre dein Ereignis $E=\{3,6\}$.
$\text{Ereignis}\,E=\{\text{Alle Ergebnisse, die ein bestimmtes Kriterium erfüllen}\}$
$\text{Ereignis}\,E=\{\text{Alle Ergebnisse, die}$$\text{ ein bestimmtes Kriterium erfüllen}\}$
Wenn ein Ereignis nicht eintritt, dann tritt stattdessen sein Gegenereignis ein. Das Gegenereignis umfasst alle Ergebnisse, die nicht zum Ereignis gehören. Im Falle von Timos Ereignis „Die gewürfelte Zahl ist eine $6$“, wäre das Gegenereignis „Die gewürfelte Zahl ist keine $6$“. Sein Gegenereignis würde er also schreiben als: $\overline{E}=\{1,2,3,4,5\}$.
$\text{Gegenereignis}\,\overline{E}=\{\text{Alle Ergebnisse, die nicht zum Ereignis gehören}\}$
$\text{Gegenereignis}\,\overline{E}=\{\text{Alle Ergebnisse,}$$\text{ die nicht zum Ereignis gehören}\}$
Bisher haben wir uns mit einstufigen Zufallsexperimenten beschäftigt, d.h. wir führen das Experiment nur einmal durch. Als Melanie den Würfel drei mal hintereinander geworfen hat, hat sie ein mehrstufiges Zufallsexperiment durchgeführt. Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment kannst du die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis aus den Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Stufen berechnen.
Das kannst du dir an einem Baumdiagramm anschauen. Du beginnst das Diagramm und zeichnest von deinem Startpunkt aus ein Pfadsegment für jedes Ergebnis. In unserem Fall interessieren uns nur die Ergebnisse „$6$“ und „keine $6$“. Deshalb kannst du das Baumdiagramm vereinfachen. An jedes Pfadsegment schreibst du außerdem noch die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ergebnis eintritt.
Bei einem gewöhnlichen sechseitigen Würfel ist die Wahrscheinlichkeit für jede Seite gleich groß. Bei $6$ Seiten ist die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Zahl also $\frac{1}{6}$. Wenn du die Wahrscheinlichkeit für alle Ergebnisse zusammenzählst, dann erhältst du $1$. Demnach muss die Wahrscheinlichkeit für alle anderen Zahlen $1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$ sein. Von jedem Pfadsegment aus zeichnest du jetzt für die $\boldsymbol{2.}$ und $\boldsymbol{3.}$ Stufe des Experiments wieder Pfadsegmente mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. Unser Baumdiagramm sieht also so aus:
Abb. 2: Das Baumdiagramm zu einem dreistufigen Zufallsexperiment mit einem Würfel.
Abb. 2: Das Baumdiagramm zu einem dreistufigen Zufallsexperiment mit einem Würfel.
Wenn du nun die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Pfad berechnen willst, dann verwendest du die $\boldsymbol{1.}$ Pfadregel, die sogenannte Multiplikationsregel. Sie besagt, dass du die Wahrscheinlichkeit eines Pfades, also z.B. für den Pfad: „$6$, nicht $6$ und wieder $6$“, erhältst, wenn du alle Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizierst. Das wäre für diesen Pfad also $\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{6}$.
Multipliziere alle Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades
Multipliziere alle Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades
Für einige Ereignisse, wie z.B. dass Melanie bei $3$ Würfen zweimal $6$ würfelt, gibt es mehrere Pfade. Sie könnte z.B. zuerst keine $6$ würfeln und danach zweimal eine $6$ oder ihr letzter Wurf ist keine $6$. Wenn du ausrechnest, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Mit $3$ Würfen zweimal $6$ werfen“ ist, dann musst du all diese Möglichkeiten berücksichtigen. Dazu gibt es die $\boldsymbol{2.}$ Pfadregel, die sogenannte Additionsregel.
Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zum gewünschten Ergebnis führen. In unserem Fall müsstest du also die Wahrscheinlichkeiten der drei Pfade addieren, bei denen jeweils zweimal die $6$ geworfen wird.
Addiere die Wahrscheinlichkeiten aller passenden Ergebnisse („Pfade addieren“).
Addiere die Wahrscheinlichkeiten aller passenden Ergebnisse („Pfade addieren“).

Beispiel

Melanie hat bei ihren $3$ Würfen zuerst eine $6$, dann keine $6$ und zum Schluss noch eine $6$ geworfen. Timo wirft einen Blick auf das Baumdiagramm und markiert den passenden Pfad.
Abb. 3: Das Baumdiagramm und rot hervorgerufen ist Melanies Wurf.
Abb. 3: Das Baumdiagramm und rot hervorgerufen ist Melanies Wurf.
Timo liest die Wahrscheinlichkeiten für diesen Pfad ab und rechnet die Wahrscheinlichkeit dieses Pfades mit Hilfe der Multiplikationsregel aus:
$\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{216}\approx0,0231=2,3\,\%$
Die Wahrscheinlichkeit, dass Melanie mit ihren drei Würfen dieses Ergebnis erzielt hat ist ziemlich gering. Doch Melanie weißt Timo darauf hin, dass die Wahrscheinlichkeit für zweimal $6$ noch höher ist, da noch andere Pfade zum selben Ergebnis führen. Sie markiert zwei weitere Pfade und berechnet für jeden Pfad die Wahrscheinlichkeit mit der Multiplikationsregel.
Abb. 4: Das Baumdiagramm und rot hervorgerufen sind alle Würfe die zweimal die $6$ beinhalten.
Abb. 4: Das Baumdiagramm und rot hervorgerufen sind alle Würfe die zweimal die $6$ beinhalten.
Für jeden der Pfade kommt Melanie zum gleichen Ergebnis: $2,3\,\%$. Sie berechnet die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Mit $3$ Würfen zweimal $6$ würfeln“ mit Hilfe der Additionsregel:
$2,3\,\%+2,3\,\%+2,3\,\%=6,9\,\%$
Timo ist noch nicht überzeugt: „Die Wahrscheinlichkeit dafür ist immer noch gering“ „Ja,“ sagt Melanie, „Aber sie ist nicht $0$, deshalb kann es trotzdem passieren.“
Bildnachweise [nach oben]
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3
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Aufgaben
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1.
Tom wirft mit einem klassischen Spielwürfel mit den Zahlen 1 bis 6.
Gib die Ergebnismenge $\Omega$ und die Ereignismenge für das Ereignis: „Tom wirft eine 1“ an.
2.
In einer Urne sind sechs Kugeln: eine rote, zwei schwarze und drei weiße.
Bestimme die Ergebnismenge $\Omega$
3.
Finde zu folgenden Ergebnismengen geeignete Zufallsexperimente.
a)
$\mathbf{\Omega} = \left\{\right.$Hauptgewinn; Gewinn; Niete; Trostpreis$\left.\right\}$
b)
$\mathbf{\Omega} = \left\{\right.$Zahl; Bube; Dame; König; Ass$\left.\right\}$
c)
$\mathbf{\Omega} = \{$männlich, weiblich$\}$
4.
In einer Urne sind 21 Kugeln, davon sind 7 weiß und 14 schwarz.
Zeichne ein Baumdiagramm für zweimaliges Ziehen mit Zurücklegen und trage die Wahrscheinlichkeiten ein.
5.
In einer Urne sind 20 Kugeln: 15 rote und 5 weiße. Zunächst legst du die Kugeln immer zurück in die Urne. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit…
a)
…genau eine weiße Kugel zu ziehen?
b)
…bei dreimaligem Ziehen genau drei rote Kugeln zu ziehen?
c)
…bei viermaligem Ziehen zwei rote und zwei weiße Kugeln zu ziehen?
Nun legst du die Kugeln nicht mehr zurück. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit…
d)
…bei zweimaligem Ziehen eine weiße und eine rote Kugel zu ziehen?
e)
…bei fünfmaligem Ziehen fünf weiße Kugeln zu ziehen?
6.
In einem Beutel sind rote und grüne Murmeln, insgesamt sind es 20 Stück..
Die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Murmeln (mit zurücklegen) zu ziehen, ist 25%. Berechne, wie viele rote Murmeln im Beutel sind.
7.
Du würfelst zwei mal mit einem Würfel.
Sind diese Aussagen wahr oder falsch? Begründe deine Antwort.
a)
Die Wahrscheinlichkeit, zwei gleiche Zahlen zu würfeln, ist kleiner als 10%.
b)
Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Zahlen größer als 3 sind, ist kleiner als 50%.
c)
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 5 ist, ist 11,11%.
d)
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Zahlen 9 ist, ist größer als die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Zahlen 8 ist.
2.  In einer Urne sind sechs Kugeln: eine rote, zwei schwarze und drei weiße.
Bestimme die Ergebnismenge $\Omega$
3.  Gib die Ereignismenge an für ein Zufallsexperiment mit einem klassischen Spielwürfel, mit den Zahlen 1 bis 6,
a) …eine Zahl größer als 0 und kleiner als 7 zu werfen.
b) …eine Zahl größer als 9 zu werfen.
4.  Handelt es sich um ein Zufallsexperiment? Gehe auf alle Annahmen ein.
a) Du wettest, wie ein Hockeyspiel ausgeht.
b) Du schreibst in Mathe deine Abschlussprüfung.
c) Ein Stein fällt auf den Boden, wenn er dir aus der Hand rutscht.
d) Du spielst Lotto.
5.  Finde zu folgenden Ergebnismengen geeignete Zufallsexperimente.
a)  $\mathbf{\Omega} = \left\{\right.$Hauptgewinn; Gewinn; Niete; Trostpreis$\left.\right\}$
b)  $\mathbf{\Omega} = \left\{\right.$Zahl; Bube; Dame; König; Ass$\left.\right\}$
c)  $\mathbf{\Omega} = \left\{\text{männlich};\;\text{weiblich}\right\}$
d)  $\mathbf{\Omega} = \left\{1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6\right\}$
e)  $\mathbf{\Omega} = \left\{\text{rot};\;\text{grün};\;\text{orange};\;\text{gelb}\right\}$
6.
Quelle: www.wikipedia.de - Pumbaa80
Du bietest deinem Freund ein Gummibärchen an.
Da ihm die Farbe des Bärchens egal ist, greift er ohne hinzusehen in das Päckchen.
Bestimme die Ergebnismenge $\mathbf{\Omega}$
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Lösungen
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1)
Ergebnismenge>Ergebnismenge $\Omega$ bestimmen
Beim Wurf des Würfels gibt es sechs mögliche Ergebnisse: 1, 2, 3, 4, 5 und 6.
Die Ergebnismenge ist $\Omega= \{1;2;3;4;5;6\}$
Ereignismenge bestimme
Das Ereignis: „Tom wirft eine 1“.
Ereignismenge: $E= \{1\}$.
2)
Ergebnismenge bestimmen
Die Ergebnismenge der Urne ist:
$\Omega(\text{Urne})= \left\{\text{rote Kugel;schwarze Kugel;weiße Kugel}\right\}$.
$\Omega$ {Urne} = {rote Kugel;
schwarze Kugel;
weiße Kugel}
3)
Die Lösungen hier sind nur Vorschläge! Es gibt noch andere Zufallsexperimente, die möglich wären.
a)
$\mathbf{\Omega} = \left\{\text{Hauptgewinn};\;\text{Gewinn};\;\text{Niete};\;\text{Trostpreis}\right\}$
$\Omega$ = {Hauptgewinn;
Gewinn;
Niete;
Trostpreis}
$\blacktriangleright$mögliche Zufallsexperimente
  • An einem Glücksrad drehen.
  • Ein Los ziehen.
b)
$\mathbf{\Omega} = \left\{\text{Zahl};\;\text{Bube};\;\text{Dame};\;\text{König};\;\text{Ass}\right\}$
$\Omega$ = {Zahl;
Bube;
Dame;
König;
Ass}
$\blacktriangleright$mögliche Zufallsexperimente
  • Bei einem Kartenspiel musst du eine Karte ziehen. Der Zufall entscheidet über den Wert der Karte.
  • Bei einer Wahrsagerin musst du eine Karte ziehen. Die gezogene Karte hängt auch hier vom Zufall ab.
c)
$\mathbf{\Omega} = \left\{\text{männlich};\;\text{weiblich}\right\}$
$\blacktriangleright$mögliche Zufallsexperimente
  • Die Geburt eines Kindes kann als Zufallsexperiment aufgefasst werden. Die Eltern haben keinen Einfluss auf das Geschlecht des Kindes. Der Zufall entscheidet, ob das Geschlecht des Kindes männlich oder weiblich ist.
  • Um eine Person deiner Klasse für eine bestimmte Aufgabe auszuwählen, schreibt jeder seinen Namen auf einen Zettel. Anschließend kommen diese in ein Gefäß. Ein Zettel wird gezogen. Das Geschlecht der gezogenen Person hängt auch hier vom Zufall ab
4)
Baumdiagramm zeichnen:
Berechne die Wahrscheinlichkeiten:
für die weißen Kugeln: $P(\text{weiß}) = \dfrac{7}{21} = \dfrac{1}{3}$
für die schwarzen Kugeln: $P(\text{schwarz}) = \dfrac{14}{21} = \dfrac{2}{3}$
5)
a)
Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen.
Von insgesamt 20 Kugeln sind 5 Kugeln weiß. $\text{P(weiß)} =\frac{5}{20}= \frac{1}{4}=0,25=25\%$
b)
Wahrscheinlichkeit, drei rote Kugeln zu ziehen.
1. Schritt: Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugeln zu ziehen
Von insgesamt 20 Kugeln sind 15 Kugeln rot. $\text{P(rot)} =\frac{15}{20} =\frac{3}{4}=0,75=75\%$
2. Schritt: Wahrscheinlichkeit, drei rote Kugeln zu ziehen
Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei dreimaligem Ziehen genau drei rote Kugeln zu ziehen, mit der 1. Pfadregel.
$\text{P(rrr)}=\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\;=\; 0,421875 \approx 42\%$
c)
Wahrscheinlichkeit, zwei rote und zwei weiße Kugeln zu ziehen.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei viermaligem Ziehen zwei rote und zwei weiße Kugeln zu ziehen, mit der 1. Pfadregel.
$\text{P(rrww)}:\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\;=\; 0,0352 $
$\text{P(rwrw)}:\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}\;=\; 0,0352 $
$\text{P(wwrr)}:\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}\;=\; 0,0352 $
$\text{P(wrwr)}:\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}\;=\; 0,0352 $
$\text{P(wrrw)}:\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}\;=\; 0,0352 $
$\text{P(rwwr)}:\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}\;=\; 0,0352 $
Bilde die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten (2. Pfadregel):
$3,52\%+3,52\%+…\approx 21\%$
d)
Wahrscheinlichkeit, eine rote und eine weiße Kugel zu ziehen ohne zurücklegen
Die Wahrscheinlichkeit, bei zweimaligem Ziehen eine weiße und eine rote Kugel ohne zurücklegen zu ziehen, berechnest du folgendermaßen:
Der Ergebnisraum: $\Omega$ = {(w,r);(r,w)}
Die Wahrscheinlichkeit beim ersten Ziehen beträgt:
$\text{P(weiß)}= \dfrac{1}{4} \,\text{und}\; \text{P(rot)} = \dfrac{3}{4}$
Beim zweiten Ziehen verändert sich nun jedoch die Wahrscheinlichkeit:
Es sind dann nur noch 19 Kugeln in der Urne und somit beträgt die Wahrscheinlichkeit eine rote oder weiße Kugel zu ziehen:
$\text{P(weiß)}=\dfrac{15}{19} = 0,7894 $ und $\text{P(rot)}=\dfrac{5}{19} = 0,263$
Berechne die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine weiße und dann eine rote Kugel zu ziehen, mit der 1.Pfadregel.
$\text{P(w,r)} = \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{15}{19}= 0,197 = 19,7 \%$
Die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine rote und dann eine weiße Kugel zu ziehen, liegt bei: $\text{P(r,w)} = \dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{5}{19} = 0,197 = 19,7\%$
Bilde die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten (2. Pfadregel):$19,7\%+19,7\%=39,4\%$
e)
Wahrscheinlichkeit, fünf weiße Kugeln zu ziehen
Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei fünfmaligem Ziehen, fünf weiße Kugeln zu ziehen:
Beim ersten Zug liegt die Wahrscheinlichkeit bei $\frac{5}{20}$
Beim zweiten Zug ist eine weiße Kugel weniger und somit auch insgesamt eine Kugel weniger in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit liegt bei $\frac{4}{19}$
…usw
Beim fünften Zug sind vier weiße Kugeln weniger und somit auch insgesamt vier Kugeln weniger in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit liegt bei $\frac{1}{16}$
$\text{P(w,w,w,w,w)}$ $=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{4}{19}\cdot\dfrac{3}{18}\cdot\dfrac{2}{17}\cdot\dfrac{1}{16}=0,06\%$
Die Wahrscheinlichkeit, fünf weiße Kugeln zu ziehen, beträgt 0,06%
6)
Anzahl roter Murmeln bestimmen
Die Wahrscheinlichkeit, zwei rote Murmeln (mit zurücklegen) zu ziehen, ist 25%.
1. Pfadregel:
$\text{P(E)}= \text{P(rot)}\cdot \text{P(rot)}=0,25=\frac{1}{4}$
Da insgesamt 20 Murmeln im Beutel sind gilt:
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{1}{4}=&\dfrac{x}{20}\cdot \dfrac{x}{20}\\ \dfrac{1}{4}=&\dfrac{x^2}{400}&\scriptsize \mid\;\cdot 400 \\[5pt] \dfrac{1}{4}\cdot 400=&x^2&\\ 100=&x^2&\scriptsize \mid\;\sqrt{\,}\\ 10=&x&\\ \end{array}$
Es sind somit 10 rote Murmeln in dem Beutel.
7)
Aussagen auf Richtigkeit überprüfen
a)
P(zwei gleiche)$\mathbf{<}$10
Die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Zahl zu werfen ist $\frac{1}{6}$
Die Wahrscheinlichkeit für zwei gleiche Zahlen beträgt:
$\text{P(2 gleiche)}=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}=0,027= 2,7\%$
Die Aussage ist richtig.
b)
P($\mathbf{>}3$)$\mathbf{<}$50%
Eine Zahl größer als 3 werfen: $\text{E}=\left\{4,5,6\right\}$
Die Wahrscheinlichkeit, eine 4, 5 oder 6 zu werfen, kannst du mit der 2.Pfadregel berechnen.
$\text{P(4)}=\dfrac{1}{6}$
$\text{P(5)}=\dfrac{1}{6}$
$\text{P(6)}=\dfrac{1}{6}$
$\text{P($>$3)}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$
Die Wahrscheinlichkeit für beide Zahlen ist somit:
$P(>3,>3)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}= 25\%.$
Diese Aussage ist richtig.
c)
P(Summe=5) = 11,11%
Es gibt vier verschiedene Möglichkeiten, das die Summe 5 ist.
$\text{E}=\left\{(1,4);(2,3);(4,1);(3,2)\right\}$
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Zahlen 5 ist, mit der 1. Pfadregel.
$\text{P(1,4)}=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}$
$\text{P(4,1)}=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}$
$\text{P(2,3)}=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}$
$\text{P(3,2)}=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}$
Berechne mit der 2.Pfadregel, die Wahrscheinlichkeit in der Summe eine 5 zu werfen.
$\text{P(Summe=5)}=\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{36}=\dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9}=11,1\%$
$\text{P(Summe=5)}=\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{36}\\=\dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9}=11,1\%$
Diese Aussage ist richtig.
d)
P(Summe=9)$\mathbf{>}$P(Summe=8)
Es gibt vier verschiedene Möglichkeiten, dass die Summe 9 ist.
$\text{E}=\left\{(\text{3,6});(\text{4,5});(\text{5,4});(\text{6,3})\right\}$
Berechne die Wahrscheinlichkeit wie in c).
$\text{P(Summe=9)}=\dfrac{1}{9}=11,1\%$
Es gibt fünf verschiedene Möglichkeiten, dass die Summe 8 ist.
$\text{E}=\left\{(\text{2,6});(\text{3,5});(\text{4,4});(\text{5,3});(\text{6,2})\right\}$
Berechne die Wahrscheinlichkeit wie in c).
$\text{P(Summe=8)}=\dfrac{5}{36}=13,9\%$
Diese Aussage ist falsch.
2.  Ergebnismenge bestimmen
Die Ergebnismenge der Urne ist:
$\Omega(\text{Urne})= \left\{\text{rote Kugel;schwarze Kugel;weiße Kugel}\right\}$.
$\Omega$ {Urne} = {rote Kugel;
schwarze Kugel;
weiße Kugel}
3.
a)  Ereignismenge bestimmen
Da jede Zahl auf dem Würfel größer als 0 und kleiner als 7 ist, gibt es sechs mögliche Ereignisse.
Die Ereignismenge ist $E = \{1;2;3;4;5;6\}$.
b)  Ereignismenge bestimmen
Da keine Zahl auf dem Würfel größer als 9 ist, gibt es kein mögliches Ereignis.
Die Ereignismenge ist $E = \{\}$.
4.  Bestimmung, ob es sich um ein Zufallsexperiment handelt
a)  Du wettest, wie ein Hockeyspiel ausgeht.
Dies ist ein Zufallsexperiment, weil es beliebig oft wiederholbar ist, die Ergebnisse zufällig sind und der Ergebnisraum „Sieg Heimmannschaft“', „Sieg Gastmannschaft“ und „Unentschieden“ enthält.
b)  Du schreibst in Mathe deine Abschlussprüfung.
Dies ist kein Zufallsexperiment, weil es nicht beliebig oft wiederholbar ist.
Eine Abschlussprüfung wird nur einmal geschrieben.
c)  Ein Stein fällt auf den Boden, wenn er dir aus der Hand rutscht.
Dies ist kein Zufallsexperiment, weil du vorhersagen kannst, dass er auf den Boden fällt.
d)  Du spielst Lotto.
Dies ist ein Zufallsexperiment, weil es beliebig oft wiederholbar ist, die Ergebnisse zufällig sind und der Ergebnisraum bekannt ist.
5.  Die Lösungen hier sind nur Vorschläge! Es gibt bestimmt noch andere Zufallsexperimente, die möglich wären.
a) 
$\mathbf{\Omega} = \left\{\text{Hauptgewinn};\;\text{Gewinn};\;\text{Niete};\;\text{Trostpreis}\right\}$
$\Omega$ = {Hauptgewinn;
Gewinn;
Niete;
Trostpreis}
$\blacktriangleright$mögliche Zufallsexperimente
  • An einem Glücksrad drehen.
  • Ein Los ziehen.
b) 
$\mathbf{\Omega} = \left\{\text{Zahl};\;\text{Bube};\;\text{Dame};\;\text{König};\;\text{Ass}\right\}$
$\Omega$ = {Zahl;
Bube;
Dame;
König;
Ass}
$\blacktriangleright$mögliche Zufallsexperimente
  • Bei einem Kartenspiel musst du eine Karte ziehen. Der Zufall entscheidet über den Wert der Karte.
  • Bei einer Wahrsagerin musst du eine Karte ziehen. Die gezogene Karte hängt auch hier vom Zufall ab.
c)  $\mathbf{\Omega} = \left\{\text{männlich};\;\text{weiblich}\right\}$
$\blacktriangleright$mögliche Zufallsexperimente
  • Die Geburt eines Kindes kann als Zufallsexperiment aufgefasst werden. Die Eltern haben keinen Einfluss auf das Geschlecht des Kindes. Der Zufall entscheidet, ob das Geschlecht des Kindes männlich oder weiblich ist.
  • Um eine Person deiner Klasse für eine bestimmte Aufgabe auszuwählen, schreibt jeder seinen Namen auf einen Zettel. Anschließend kommen diese in ein Gefäß. Ein Zettel wird gezogen. Das Geschlecht der gezogenen Person hängt auch hier vom Zufall ab
d)  $\mathbf{\Omega} = \left\{1;\;2;\;3;\;4;\;5;\;6\right\}$
$\blacktriangleright$mögliche Zufallsexperimente
  • Du würfelst mit einem normalen Spielwürfel. Die Augenzahl ist abhängig vom Zufall. Hierbei handelt es sich sogar um ein Laplace-Experiment, da alle Augenzahlen mit gleicher Wahrscheinlichkeit oben liegen können.
  • In einem Gefäß befinden sich Plättchen/Kugeln, die mit Zahlen gekennzeichnet sind. Du greifst mit verbundenen Augen hinein und nimmst dir eines der Plättchen. Der Wert des Plättchens ist zufällig.
e)  $\mathbf{\Omega} = \left\{\text{rot};\;\text{grün};\;\text{orange};\;\text{gelb}\right\}$
$\blacktriangleright$mögliche Zufallsexperimente
  • In einem Gefäß sind Kugeln in den Farben rot, grün, orange und gelb. Mit verbundenen Augen nimmst du eine Kugel heraus. Der Zufall entscheidet über die Farbe der Kugel.
  • Die Felder eines Glücksrads sind mit den Farben rot, grün, orange und gelb gekennzeichnet. Du drehst an dem Rad. Auf welchem Feld das Rad stehen bleibt hängt vom Zufall ab.
  • Eine Packung mit Süßigkeiten enthält Fruchtgummis in den Farben rot, grün, orange und gelb. Du nimmst blind einen Fruchtgummi aus der Packung heraus. Die Farbe der Süßigkeit hängt vom Zufall ab.
6.  Du kannst hier die Farben frei wählen oder du beziehst dich auf die Gummibärchen der Abbildung.
Eine mögliche Ergebnismenge wäre:
$\mathbf{\Omega} = \left\{\text{dunkelrot};\;\text{hellrot};\;\text{grün};\;\text{orange};\;\text{gelb}\text{weiß}\right\}$.
$\Omega$ = {dunkelrot;
hellrot;
grün;
orange;
gelbweiß}
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