Aufgabe A1 (Analysis)

Gegeben ist die Funktion $Formula: f:x\mapsto\dfrac{x}{\ln x}$ $Formula: f:x\mapsto\dfrac{x}{\ln x}$ mit maximalem Definitionsbereich Formula: D.

Begründe, dass $Formula: D=\mathbb{R}^{+}\setminus\{1\}$ $Formula: D=\mathbb{R}^{+}\setminus\{1\}$ gilt.

2 BE

Der Graph von Formula: f besitzt in genau einem Punkt eine waagrechte Tangente.

Berechne die Formula: x -Koordinate dieses Punkts.

3 BE

5 BE

Aufgabe A2 (Analysis)

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion $Formula: g:x\mapsto\cos x+\cos(2x).$ $Formula: g:x\mapsto\cos x+\cos(2x).$

Graph einer symmetrischen Wellenkurve mit Hochpunkt S auf der y-Achse und markierten Stellen bei −π und π.

Der Graph von Formula: g schneidet die Formula: y -Achse im Punkt Formula: S. Gib die Koordinaten von an.

1 BE

Zeige rechnerisch, dass das Integral $Formula: \displaystyle\int_0^\pi g(x)\,\mathrm{d}x$ $Formula: \displaystyle\int_0^\pi g(x)\,\mathrm{d}x$ den Wert Formula: 0 hat, und deute diese Tatsache geometrisch.

4 BE

5 BE

Aufgabe A3 (Stochastik)

Betrachtet wird die binomialverteilte Zufallsgröße Formula: X mit den Parametern Formula: n=36 und Formula: p=0{,}5.

Gib einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit Formula: P(X=27) berechnet werden kann.

1 BE

Die Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Formula: X.

Balkendiagramm: Wahrscheinlichkeitsverteilung P(X=k), glockenförmig, Spitze bei k ≈ 17–18, x-Achse 0–36

Ermittle einen Näherungswert für $Formula: P(\mu-0{,}5\cdot\sigma\leq X\leq\mu+0{,}5\cdot\sigma),$ $Formula: P(\mu-0{,}5\cdot\sigma\leq X\leq\mu+0{,}5\cdot\sigma),$ wobei $Formula: \mu$ $Formula: \mu$ der Erwartungswert und $Formula: \sigma$ $Formula: \sigma$ die Standardabweichung von Formula: X ist.

4 BE

5 BE

Aufgabe A4 (Geometrie)

Gegeben sind die Gerade $Formula: g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}-4\\2\\-2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}$ $Formula: g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}-4\\2\\-2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}$ mit $Formula: t\in\mathbb{R}$ $Formula: t\in\mathbb{R}$ und die Ebene Formula: E:-2x_1-x_2+2x_3-2=0.

Begründe, dass Formula: g senkrecht zu Formula: E steht, und zeige, dass der Punkt $Formula: P(-4\mid2\mid-2)$ $Formula: P(-4\mid2\mid-2)$ in liegt.

2 BE

Bestimme die Koordinaten eines Punkts auf Formula: g, der zu Formula: E den Abstand Formula: 12 hat.

3 BE

5 BE

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Lösung A1 (Analysis)

Der Logarithmus hat genau eine Nullstelle und zwar bei Formula: x=1. Der Nenner wird somit nur bei Null. Zusätzlich ist der Logarithmus nur für Werte größer Null definiert, d.h. somit gilt $Formula: D=\mathbb{R^+}\setminus\{1\}.$ $Formula: D=\mathbb{R^+}\setminus\{1\}.$

Für die erste Ableitung von Formula: f folgt mit der Quotientenregel:

$Formula: \begin{array}{rlll} f'(x)&=&\dfrac{1\cdot\ln x -x\cdot\tfrac{1}{x}}{(\ln x)^2} \\[5pt] &=&\dfrac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f'(x)&=&\dfrac{1\cdot\ln x -x\cdot\tfrac{1}{x}}{(\ln x)^2} \\[5pt] &=&\dfrac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} \end{array}$

Es gilt Formula: f'(x)=0 genau dann wenn der Zähler Null wird. Somit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} \ln x-1&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+1 \\[5pt] \ln x&=&1 \\[5pt] x&=&\mathrm e^1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \ln x-1&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+1 \\[5pt] \ln x&=&1 \\[5pt] x&=&\mathrm e^1 \end{array}$

Damit besitzt der Graph von Formula: f bei $Formula: x=\mathrm e$ $Formula: x=\mathrm e$ eine waagrechte Tangente.

Lösung A2 (Analysis)

$Formula: \begin{array}{rlll} g(0)&=&\cos 0 + \cos 2\cdot0 \\[5pt] &=&1+1 \\[5pt] &=&2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} g(0)&=&\cos 0 + \cos 2\cdot0 \\[5pt] &=&1+1 \\[5pt] &=&2 \end{array}$

Somit gilt $Formula: S(0\mid2).$ $Formula: S(0\mid2).$

Wert rechnerisch zeigen

$Formula: \begin{array}{rlll} \displaystyle\int_{0}^{\pi} g(x)\;\mathrm{d}x&=&\displaystyle\int_{0}^{\pi} (\cos x + \cos 2x)\;\mathrm{d}x \\[5pt] &=&[\sin x+\dfrac{1}{2}\sin 2x]_{0}^{\pi} \\[5pt] &=&(\sin \pi+\dfrac{1}{2}\sin 2\pi)-(\sin 0+\dfrac{1}{2}\sin 2\cdot0) \\[5pt] &=&(0+0)-(0+0) \\[5pt] &=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \displaystyle\int_{0}^{\pi} g(x)\;\mathrm{d}x&=&\displaystyle\int_{0}^{\pi} (\cos x + \cos 2x)\;\mathrm{d}x \\[5pt] &=&[\sin x+\dfrac{1}{2}\sin 2x]_{0}^{\pi} \\[5pt] &=&(\sin \pi+\dfrac{1}{2}\sin 2\pi)-(\sin 0+\dfrac{1}{2}\sin 2\cdot0) \\[5pt] &=&(0+0)-(0+0) \\[5pt] &=&0 \end{array}$

Tatsache geometrisch deuten

Das Flächenstück, welches Formula: g rechts unterhalb der Formula: x -Achse mit dieser einschließt ist genauso groß wie das Flächenstück, welches im ersten Quadranten mit den beiden Achsen einschließt.

Lösung A3 (Stochastik)

$Formula: \dbinom{36}{27} \cdot 0,5^{27} \cdot 0,5^9$ $Formula: \dbinom{36}{27} \cdot 0,5^{27} \cdot 0,5^9$

Es gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \mu&=&n\cdot p \\[5pt] &=&36\cdot0,5 \\[5pt] &=&18 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \mu&=&n\cdot p \\[5pt] &=&36\cdot0,5 \\[5pt] &=&18 \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \sigma&=&\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\[5pt] &=&\sqrt{18\cdot0,5} \\[5pt] &=&3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \sigma&=&\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\[5pt] &=&\sqrt{18\cdot0,5} \\[5pt] &=&3 \end{array}$

Damit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(\mu-0,5 \cdot \sigma \leq X \leq \mu+0,5 \cdot \sigma)&=&P(17 \leq X \leq 19) \\[5pt] &\approx&0,13+2\cdot0,125 \\[5pt] &=&0,38 \\[5pt] &=&38\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(\mu-0,5 \cdot \sigma \leq X \leq \mu+0,5 \cdot \sigma)&=&P(17 \leq X \leq 19) \\[5pt] &\approx&0,13+2\cdot0,125 \\[5pt] &=&0,38 \\[5pt] &=&38\,\% \end{array}$

Lösung A4 (Geometrie)

Lage von $Formula: \boldsymbol{g}$ $Formula: \boldsymbol{g}$ begründen

Der Vektor $Formula: \left(\begin{array}{c}-2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ $Formula: \left(\begin{array}{c}-2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ ist sowohl Richtungsvektor von Formula: g als auch Normalenvektor von Formula: E, somit steht senkrecht zu Formula: E.

Lage von $Formula: \boldsymbol{P}$ $Formula: \boldsymbol{P}$ zeigen

Einsetzen der Koordinaten von Formula: P in die Ebenengleichung von Formula: E ergibt:

$Formula: -2 \cdot(-4)-2+2 \cdot(-2)-2=0$ $Formula: -2 \cdot(-4)-2+2 \cdot(-2)-2=0$

Somit liegt Formula: P in Formula: E.

Der Ortsvektor von Formula: g ergibt sich durch den Punkt Formula: P, der nach Teilaufgabe a in Formula: E liegt. Für die Länge des Richtungsvektors von gilt:

$Formula: \left|\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)\right|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2}=3$ $Formula: \left|\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)\right|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2}=3$

Da der Richtungsvektor von Formula: g orthogonal zu Formula: E steht, liefert Formula: t=4 den Ortsvektor eines geeigneten Punktes:

$Formula: \left(\begin{array}{c} -4 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)+4\cdot\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -12 \\ -2 \\ 6 \end{array}\right)$ $Formula: \left(\begin{array}{c} -4 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)+4\cdot\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -12 \\ -2 \\ 6 \end{array}\right)$

Die Koordinaten des gesuchten Punktes sind somit z.B. gegeben durch $Formula: (-12\mid-2\mid6).$ $Formula: (-12\mid-2\mid6).$

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