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Teil B

Aufgaben
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Eine Geothermieanlage fördert durch einen Bohrkanal heißes Wasser aus einer wasserführenden Gesteinsschicht an die Erdoberfläche. In einem Modell entspricht die $x_1x_2$-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems der horizontal verlaufenden Erdoberfläche. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Kilometer in der Realität. Der Bohrkanal besteht aus zwei Abschnitten, die im Modell vereinfacht durch die Strecke $[AP]$ und $[PQ]$ mit den Punkten $A \, (0\mid0\mid0)$ $P \, (0\mid0\mid-1)$ und $Q \, (1\mid1\mid-3,5)$ beschrieben werden (vgl. Abbildung)
Teil B
Abb. 1: schematische Skizze (nicht maßstabsgetreu)
Teil B
Abb. 1: schematische Skizze (nicht maßstabsgetreu)
a)
Berechne auf der Grundlage des Modells die Gesamtlänge des Bohrkanals auf Meter gerundet.
(2 BE)
b)
Beim Übergang zwischen den beiden Abschnitten des Bohrkanals muss die Bohrrichtung um den Winkel geändert werden, der im Modell durch den Schnittwinkel der beiden Geraden $AP$ und $PQ$ beschrieben wird. Bestimme die Größe des Winkels.
(3 BE)
#schnittwinkel
Im Modell liegt die obere Begrenzungsfläche der wasserführenden Gesteinsschicht in der Ebene $E$ und die untere Begrenzungsfläche in einer zu $E$ parallelen Ebene $F.$ Die Ebene $E$ enthält den Punkt $Q.$ Die Strecke $[PQ]$ steht senkrecht auf der Ebene $E$ (vgl.Abbildung).
c)
Bestimme eine Gleichung der Ebene $E$ in Normalenform.
[Zur Kontrolle: $E: \, 4x_1 + 4x_2 - 10x_3 - 43 = 0$]
(2 BE)
#normalenform
d)
Der Bohrkanal word geradlinig verlängert und verlässt die wasserführende Gesteinsschicht in einer Tiefe von $3600 \, \text m$ unter der Erdoberfläche. Die Austrittstelle wird im Modell als Punkt R auf der Gerade $PQ$ beschrieben. Bestimme die Koordinaten von $R$ und ermittel die Dicke der wasserführende Gesteinsschicht auf Meter gerundet.
[Zur Kontrolle: $x_1$- und $x_2$-Koordinate von $R$: $1,04$]
(6 BE)
Ein zweiter Bohrkanal wird benötigt, durch den das entnommene Wasser abgekühlt zurück in die wasserführende Gesteinsschicht geleitet wird. Der Bohrkanal soll geradlinig und senkrecht zur Erdoberfläche verlaufen. Für den Beginn des Bohrkanals an der Erdoberfläche kommen nur Borhstellen in Betracht, die im Modell durch einen Punkt $B (t\mid-t\mid0)$ mit $t\in\mathbb{R}$ beschrieben werden könnnen.
e)
Zeige rechnerisch, dass der zweite Bohrkanal die wasserführende Gesteinsschicht im Modell im Punkt $T (t\mid-t\mid-4,3)$ erreicht, und erläutere, wie die Länge des zweiten Bohrkanals bis zur wasserführenden Gesteinsschicht von der Lage der zugehörigen Bohrstelle beeinflusst wird.
(3 BE)
f)
Aus energetischen Gründen soll der Abstand der beiden Stellen, an denen die beiden Bohrkanäle auf die wasserführende Gesteinsschicht treffen, mindestens $1500 \, \text m$ betragen.
$\alpha$) Entscheide auf der Grundlage des Modells, ob diese Bedingung für jeden möglichen zweiten Bohrkanal erfüllt wird.
$\beta$) Für bestimmte mögliche Bohrstellen des zweiten Bohrkanals beträgt dieser Abstand $2000 \text m$. Bestimme die Koordinaten der zugehörigen Punkte $B$ im Modell.
(4 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Gesamtlänge des Bohrkanals berechnenTeil B
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AP}&=& \left|\overrightarrow{AP} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{0\\0\\-1} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{0^2+0^2+(-1)^2} \\[5pt] &=& 1\,\text{[km]} \\[10pt] \overline{PQ}&=& \left|\overrightarrow{PQ} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{1\\1\\-2,5} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{1^2+1^2+(-2,5)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{8,25} \\[10pt] &\approx& 2,872\,\text{[km]} \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AP}&= 1\,\text{[km]} \\[10pt] \overline{PQ}&\approx 2,872\,\text{[km]} \\[10pt] \end{array}$
Insgesamt ist der Bohrkanal also ca. $3,872\,\text{km}$ und damit ca. $3.872\,\text{m}$ lang.
#vektorbetrag
b)
$\blacktriangleright$  Winkelgröße bestimmen
Als Richtungsvektoren der Geraden $AP$ und $PQ$ kannst du die Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AP}$ und $\overrightarrow{PQ}$ verwenden. Die Größe des Schnittwinkels $\alpha$ der beiden Geraden kannst du dann mithilfe der entsprechenden Formel bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha &=& \dfrac{\left|\overrightarrow{AP}\circ \overrightarrow{PQ} \right| }{\left|\overrightarrow{AP} \right| \cdot \left| \overrightarrow{PQ} \right| } \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{\left|\pmatrix{0\\0\\-1}\circ \pmatrix{1\\1\\-2,5}\right| }{\left|\pmatrix{0\\0\\-1} \right| \cdot \left| \pmatrix{1\\1\\-2,5} \right| } \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{2,5 }{1 \cdot \sqrt{8,25} } \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{2,5 }{ \sqrt{8,25} } &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \alpha &\approx& 29,5^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 29,5^{\circ} $
Beim Übergang zwischen den beiden Abschnitten des Bohrkanals muss die Bohrrichtung um ca. $29,5^{\circ}$ geändert werden.
c)
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung in Normalenform bestimmen
Da die Strecke $[PQ]$ senkrecht auf der Ebene $E$ steht, kann der Vektor $\overrightarrow{PQ} = \pmatrix{1\\1\\-2,5}$ als Normalenvektor verwendet werden.
Mit einer Punktprobe mithilfe der Koordinaten von $Q$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} E:\quad 1\cdot x_1 +1\cdot x_2 -2,5\cdot x_3 &=& d &\quad \scriptsize \mid\; Q(1\mid 1\mid -3,5)\\[5pt] 1\cdot 1 +1\cdot 1 -2,5 \cdot (-3,5) &=& d \\[5pt] 10,75&=& d \end{array}$
$ d = 10,75 $
Eine Gleichung von $E$ in Normalenform lautet:
$E:\quad x_1+x_2-2,5x_3-10,75=0$
$ E: \,… $
oder in einer mit dem Faktor $4$ erweiterten Fassung:
$E:\quad 4x_1+4x_2-10x_3-43=0$
$ E: \,… $
d)
$\blacktriangleright$  Koordinaten bestimmen
Der Punkt $R$ liegt auf der Geraden $PQ$ und da der Bohrkanal die wasserführende Gesteinsschicht in einer Tiefe von $3.600$ Metern verlässt, besitzt $R$ die $x_3$-Koordinate $-3,6.$ Für die Gerade $PQ$ kannst du folgende Gleichung aufstellen:
$\begin{array}[t]{rll} PQ:& \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OP} + r\cdot \overrightarrow{PQ} \\[5pt] & &=& \pmatrix{0\\0\\-1} + r\cdot \pmatrix{1\\1\\-2,5} \end{array}$
$ PQ: \overrightarrow{x}… $
Für $R$ gilt:
$\overrightarrow{OR} = \pmatrix{x_1\\x_2 \\ -3,6}$
Einsetzen in die Geradengleichung liefert folgende Gleichung, die du mit dem solve-Befehl deines CAS lösen kannst:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x_1\\x_2 \\ -3,6} &=& \pmatrix{0\\0\\-1} + r\cdot \pmatrix{1\\1\\-2,5} &\quad \scriptsize \mid\; -\pmatrix{0\\0\\-1} \\[5pt] \pmatrix{x_1\\x_2 \\ -2,6} &=& r\cdot \pmatrix{1\\1\\-2,5} \end{array}$
$ \pmatrix{x_1\\x_2 \\ -2,6} = r\cdot \pmatrix{1\\1\\-2,5} $
Du erhältst $r=x_1=x_2 = 1,04.$
Der Punkt $R,$ der im Modell die Austrittsstelle beschreibt, besitzt also die Koordinaten $R(1,04\mid 1,04\mid -3,6).$
$\blacktriangleright$  Dicke der wasserführenden Gesteinsschicht ermitteln
Die Dicke der wasserführenden Gesteinsschicht wird nun im Modell durch den Abstand der beiden Punkte $Q$ und $R$ beschrieben, die die Eintritts- und Austrittsstelle des Bohrkanals in die wasserführende Gesteinsschicht beschreiben.
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{QR} \right| &=& \left|\pmatrix{0,4\\ 0,4 \\ -0,1} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{0,4^2 +0,4^2 +(-0,1)^2}\\[5pt] &\approx& 0,574\,\text{[km]} \end{array}$
$ \left|\overrightarrow{QR} \right|\approx 0,574\,\text{[km]} $
Die wasserführende Gesteinsschicht ist ca. $0,574\,\text{km},$ also ca. $574\,\text{m}$ dick.
#vektorbetrag
e)
$\blacktriangleright$  Punkt rechnerisch zeigen
Der zweite Bohrkanal beginnt im Modell im Punkt $B(t\mid -t \mid 0)$ und verläuft geradlinig und senkrecht zur Erdoberfläche. Er kann also durch die Gerade $g_t$ mit der folgenden Gleichung beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} g_t: & \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OB} + s\cdot \pmatrix{0\\0\\1} \\[5pt] &&=& \pmatrix{t\\-t\\0} + s\cdot \pmatrix{0\\0\\1} \\[5pt] &&=& \pmatrix{t\\-t\\s} \end{array}$
$ g_t: \, \overrightarrow{x} = \pmatrix{t\\-t\\s}$
Die Ebene $E$ beschreibt die obere Begrenzung der wasserführenden Gesteinsschicht. Der Punkt $T$ ist also der Punkt, in dem die Gerade $g$ auf die Ebene $E$ trifft.
Setzt du die obigen Koordinaten in die Ebenengleichung von $E$ ein, so erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} E:\, & 4x_1 +4x_2 -10x_3 -43 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;(t\mid -t \mid s) \\[5pt] & 4t -4t -10s -43 &=& 0\\[5pt] & -10s -43 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +43 \\[5pt] & -10s &=& 43 &\quad \scriptsize \mid\; :(-10)\\[5pt] & s &=& -4,3 \end{array}$
$ s=-4,3 $
Die Gerade $g_t$ und die Ebene $E$ schneiden sich also im Punkt $T(t\mid -t \mid -4,3).$ Dies ist der Punkt im Modell, in dem der zweite Bohrkanal auf die wasserführende Gesteinsschicht trifft.
$\blacktriangleright$  Beeinflussung der Lage auf die Länge des Kanals erläutern
Der zweite Bohrkanal verläuft geradlinig und senkrecht zur Erdoberfläche. Da die Erdoberfläche im Modell der $x_1x_2$-Ebene entspricht, wird die Länge des Bohrkanals durch den Abstand des Punkts $T,$ in dem der Bohrkanal endet, zur $x_1x_2$-Ebene beschrieben. Dieser Abstand entspricht dem Betrag der $x_3$-Koordinate von $T,$ die wiederum unabhängig von $t$ ist, also unabhängig von der Lage der Bohrstelle ist. Die Länge des Bohrkanals beträgt also unabhängig von der Lage der Bohrstelle $4,3\,\text{km}.$ Die Lage der Bohrstelle hat also keinen Einfluss auf die Länge des zweiten Bohrkanals.
f)
$\alpha$)
$\blacktriangleright$  Entscheiden, ob die Bedingung erfüllt wird
Die Stellen, an denen die beiden Bohrkanäle auf die wasserführende Gesteinsschicht treffen, werden im Modell durch $Q(1\mid 1\mid -3,5)$ und $T(t\mid -t\mid -4,3)$ mit $t\in \mathbb{R}$ beschrieben.
Der Abstand dieser beiden Punkte soll mindestens $1,5$ betragen. Die so entstehende Ungleichung kannst du mit dem solve-Befehl deines CAS auflösen. Den Vektorbetrag kannst du mit dem norm-Befehl bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} 1,5 &\leq& \left|\overrightarrow{QT} \right| \\[5pt] 1,5 &\leq& \left|\pmatrix{t-1\\-t-1\\-0,8} \right| & \quad \scriptsize \mid \; CAS\\[5pt] -0,195 &\leq& t^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 1,5 &\leq \left|\overrightarrow{QT} \right| \\[5pt] … \\[5pt] -0,195 &\leq t^2 \end{array}$
Da $t^2 \geq 0$ ist, ist diese Ungleichung für jedes $t\in \mathbb{R}$ erfüllt. Daher ist der geforderte Mindestabstand für jeden möglichen zweiten Bohrkanal erfüllt.
$\beta$)
$\blacktriangleright$  Koordinaten bestimmen
Du kannst ähnlich wie in Aufgabenteil $\alpha$ vorgehen und anschließend die zugehörigen Koordinaten von $B$ bestimmen. Diesmal soll der Abstand zwischen $Q$ und $T$ genau $2$ betragen. Die Gleichung kannst du wieder mithilfe des CAS lösen:
$\begin{array}[t]{rll} 2 &=& \left|\overrightarrow{QT} \right| \\[5pt] 2 &=& \left|\pmatrix{t-1\\-t-1\\-0,8} \right| & \quad \scriptsize \mid \; CAS\\[5pt] t_1 &=& \frac{-\sqrt{17}}{5} \\[5pt] t_2 &=& \frac{\sqrt{17}}{5} \end{array}$
Für $t= \pm \frac{\sqrt{17}}{5} $ treffen die beiden Bohrkanäle also mit einem Abstand von $2000\,\text{m}$ auf die wasserführende Gesteinsschicht. Die zugehörigen möglichen Bohrstellen werden durch die Koordinaten $B_1\left(\frac{\sqrt{17}}{5} \mid -\frac{\sqrt{17}}{5} \mid 0 \right)$ und $B_2\left(-\frac{\sqrt{17}}{5} \mid \frac{\sqrt{17}}{5} \mid 0 \right)$ beschrieben.
#vektorbetrag
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