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Stochastik S II

Aufgaben
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1.0
Bei einem internationalen Fußballwettbewerb überlegt der Veranstalter schon im Vorfeld, aus welchen Gruppen sich die Besucher in den Stadien zusammensetzen. Man rechnet mit $60\,\%$ fanatische Anhänger $(F)$ der jeweiligen Mannschaften. Die restlichen Besucher sind neutral $(N).$ Die Hälfte aller Personen in den Stadien wird wohl Alkohol trinken $(A).$ Ohne Alkoholgenuss geht man bei $2\,\%$ der Besucher von einer gewissen Gewaltbereitschaft $(G)$ aus. Durch Alkoholgenuss verfünffacht sich diese Wahrscheinlichkeit.
Zu welcher der verschiedenen Kategorien eine beliebig herausgegriffene Person im Stadi- on zählt, wird als Zufallsexperiment aufgefasst.
1.1
Ermittle mithilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse.
(5 BE)
#baumdiagramm
1.2
Es werden folgende Ereignisse definiert:
„Ein zufällig ausgewählter Besucher trinkt keinen Alkohol.“
„Die Person ist fanatisch und friedlich oder neutral und gewaltbereit.“
Gib diese Ereignisse in aufzählender Mengenschreibweise an und prüfe sie auf stochastische Unabhängigkeit.
(5 BE)
#stochastischeunabhängigkeit#ereignis
1.3
Gib in Mengenschreibweise ein Ereignis $E_3$ an, das unvereinbar mit $E_1$ ist und dessen Wahrscheinlichkeit $42\,\%$ von $P(E_1)$ beträgt.
(2 BE)
2.
Während der gesamten Spiele sind $400$ Fußballer im Einsatz. $80\,\%$ von ihnen werden erfahrungsgemäß in Zweikämpfen in regelwidrigen Körperkontakt mit dem Gegner kommen $(K).$ $180$ Spieler bekommen eine gelbe Karte als Verwarnung $(V),$ zwei Drittel davon im Zusammenhang mit einem unerlaubten Körperkontakt.
Stelle für den beschriebenen Sachverhalt eine vollständige Vierfeldertafel auf, bestimme die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_4 = \overline{K\cup \overline{V}}$ und interpretiere $E_4$ im Sinne der vorliegenden Thematik.
(5 BE)
#vierfeldertafel
3.0
Die Zufallsgröße $X$ gibt die Tordifferenz bei den Spielergebnissen im Turnier an. Unter Vernachlässigung von Tordifferenzen größer als fünf ergibt sich mit den Parametern $a,b \in \mathbb{R}$ folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:
$x$$ 0$$ 1$$ 2$$3 $$4 $$5 $
$P(X=x)$$0,5 $$2b $$a $$5b-0,4 $$2a-0,24 $$0,02$
$x$$P(X=x$
$0 $$0,5 $
$1 $$2b $
$2$$a $
$3 $$5b-0,4 $
$ 4$$2a-0,24 $
$5 $$0,02 $
3.1
Berechne die Parameter $a$ und $b,$ wenn $P(X \leq 2)= 0,84$ gilt, und stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung in einem Histogramm dar.
[Teilergebnis: $=0,14$]
(7 BE)
3.2
Berechne mit den Werten für $a$ und $b$ aus Aufgabe 3.1, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallswerte von $X$ innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegen.
(5 BE)
#standardabweichung#erwartungswert
4.
Beim Elfmeterschießen erzielen die Spieler mit einer Wahrscheinlichkeit von $p =0,75$ tatsächlich ein Tor. Es werden nun $10$ Elfmeter betrachtet. Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
„Mehr als $3,$ aber weniger als $8$ Schützen erzielen ein Tor.“
„Nur die ersten $4$ oder nur die letzten $4$ Elfmeter ergeben ein Tor.“
(4 BE)
5.0
Die Fehlerquote bei Entscheidungen der eingesetzten Schiedsrichter soll höchstens $12,5\,\%$ betragen. Bei einem der jüngeren Schiedsrichter vermutet man aber einen höheren Anteil (Gegenhypothese). In nächster Zeit werden deshalb $200$ seiner Entscheidungen auf Fehler hin untersucht.
#hypothesentest
5.1
Gib zu diesem Test Testgröße und Nullhypothese an und ermittle den größtmöglichen Ablehnungsbereich der Nullhypothese auf dem $5\,\%$-Niveau.
(5 BE)
5.2
Erläutere im Sachzusammenhang, worin bei diesem Test der Fehler 2. Art besteht.
(2 BE)
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse ermittelnStochastik S II
1. Schritt: Baumdiagramm erstellen
Stochastik S II
Abb. 1: Baumdiagramm
Stochastik S II
Abb. 1: Baumdiagramm
2. Schritt: Wahrscheinlichkeiten berechnen
$\begin{array}[t]{rll} P(FAG)&=& 0,6\cdot 0,5\cdot 0,1 \\[5pt] &=& 0,03 \\[10pt] P(FA\overline{G})&=& 0,6\cdot 0,5\cdot 0,9 \\[5pt] &=& 0,27 \\[10pt] P(F\overline{A}G)&=& 0,6\cdot 0,5\cdot 0,1 \\[5pt] &=& 0,03 \\[10pt] P(F\overline{A}\overline{G})&=& 0,6\cdot 0,5\cdot 0,9 \\[5pt] &=& 0,27 \\[10pt] P(\overline{F}AG)&=& 0,4\cdot 0,5\cdot 0,1 \\[5pt] &=& 0,02 \\[10pt] P(\overline{F}A\overline{G})&=& 0,4\cdot 0,5\cdot 0,9 \\[5pt] &=& 0,18 \\[10pt] P(\overline{F}\overline{A}G)&=& 0,4\cdot 0,5\cdot 0,1 \\[5pt] &=& 0,02 \\[10pt] P(\overline{F}\overline{A}\overline{G})&=& 0,4\cdot 0,5\cdot 0,9 \\[5pt] &=& 0,18 \\[10pt] \end{array}$
#pfadregeln
1.2
$\blacktriangleright$  Ereignisse angeben
$\{F\overline{A}G\, ; \, F\overline{A}\overline{G}\, ; \, \overline{F}\overline{A}G\, ; \, \overline{F}\overline{A}\overline{G} \}$
$\{FA\overline{G}\, ; \, F\overline{A}\overline{G}\}$
$\blacktriangleright$  Ereignisse auf stochastische Unabhängigkeit prüfen
Es ist $E_1\cap E_2 = \{F\overline{A}\overline{G}\, \}.$ Daraus folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(E_1\cap E_2)&=& 0,27 \\[10pt] P(E_1) &=& 0,03 + 0,27 + 0,02 + 0,18 \\[5pt] &=& 0,5 \\[10pt] P(E_2) &=& 0,27 + 0,27 \\[5pt] &=& 0,54 \\[10pt] P(E_1) \cdot P(E_2) &=& 0,5\cdot 0,54 \\[5pt] &=& 0,27\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(E_1\cap E_2)&= 0,27 \\[10pt] P(E_1) &= 0,5 \\[10pt] P(E_2) &=0,54 \\[10pt] P(E_1) \cdot P(E_2) &= 0,27\\[5pt] \end{array}$
Es ist also $P(E_1\cap E_2) = P(E_1)\cdot P(E_2).$ Die beiden Ereignisse $E_1$ und $E_2$ sind also stochastisch unabhängig.
1.3
$\blacktriangleright$  Ereignis angeben
Damit $E_3$ unvereinbar mit $E_1$ ist, darf es keines der Elementarereignisse enthalten, die in $E_1$ enthalten sind. Die Wahrscheinlichkeit soll $0,42 \cdot P(E_1) = 0,42\cdot 0,5 = 0,21$ betragen.
$E_3 = \{FAG\, ; \, \overline{F}A\overline{G}\}$
2.
$\blacktriangleright$  Vierfeldertafel erstellen
$K$$\overline{K}$Gesamt
$V$$0,3$$0,15$$\frac{180}{400} =0,45$
$\overline{V}$$ 0,5 $$0,05$$0,55$
Gesamt$0,8$$0,2$$1$
$K$$\overline{K}$Gesamt
$V$$0,3$$0,15$ $\frac{180}{400} =0,45$
$\overline{V}$$ 0,5 $$0,05$$0,55$
Gesamt$0,8$$0,2$$1$
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Es ist:
$K\cup \overline{V} = (K\cap V) \cup (K\cap \overline{V}) \cup (\overline{K}\cap \overline{V}) $
$ K\cup \overline{V} = … $
Also ist:
$\overline{K\cup \overline{V}} = \overline{K}\cap V $
Die zugehörige Wahrscheinlichkeit kannst du aus der Vierfeldertafel ablesen:
$P(E_4)= P(\overline{K}\cap V) = 0,15$
Das Ereignis $E_4$ bedeutet, dass ein Spieler keinen unerlaubten Körperkontakt hat aber eine gelbe Karte als Verwarnung erhält.
3.1
$\blacktriangleright$  Parameter berechnen
Aus der Aufgabenstellung lässt sich folgende Bedingung ablesen:
$\begin{array}[t]{rll} P(X\leq 2) &=& 0,84 \\[5pt] 0,5 + 2b +a &=& 0,84 &\quad \scriptsize \mid\;-0,5; -2b \\[5pt] a &=&0,34 -2b \end{array}$
$ a=0,34 -2b $
Da es sich um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt, muss die Summe aller Wahrscheinlichkeiten $1$ ergeben:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=0) +P(X=1)+ P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) &=& 1 \\[5pt] 0,5 + 2b +a + 5b-0,4 +2a-0,24 +0,02 &=& 1 \\[5pt] -0,12 + 7b + 3a &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; a = 0,34 -2b\\[5pt] -0,12 + 7b + 3 \cdot (0,34-2b)&=& 1 \\[5pt] -0,12 +7b + 1,02 - 6b&=& 1 \\[5pt] 0,9 + b &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\;-0,9 \\[5pt] b &=& 0,1 \end{array}$
$ b=0,1 $
Für $a$ gilt dann: $a = 0,34 -2\cdot 0,1 = 0,14.$
Es ist also $a=0,14$ und $b= 0,1.$
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeitsverteilung darstellen
Stochastik S II
Abb. 2: Histogramm
Stochastik S II
Abb. 2: Histogramm
3.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
$x$$ 0$$ 1$$ 2$$3 $$4 $$5 $
$P(X=x)$$0,5 $$0,2 $$0,14 $$0,1 $$0,04 $$0,02$
$x$$P(X=x$
$0 $$0,5 $
$1 $$0,2 $
$2$$0,14 $
$3 $$0,1 $
$ 4$$0,04 $
$5 $$0,02 $
$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& 0\cdot 0,5 + 1\cdot 0,2 + 2\cdot 0,14 +3\cdot 0,1 +4\cdot 0,04 +5\cdot 0,02 \\[5pt] &=& 1,04 \\[10pt] V(X) &=& (0- 1,04)^2\cdot 0,5 + (1-1,04)^2 \cdot 0,2 + (2-1,04)^2\cdot 0,14 \\[5pt] && + (3-1,04)^2 \cdot 0,1 + (4-1,04)^2\cdot 0,04 + (5-1,04)^2\cdot 0,02 \\[5pt] &=& 1,7184 \\[10pt] \sigma(X) &=& \sqrt{V(X)} \\[5pt] &=& \sqrt{1,7184} \\[5pt] &\approx& 1,31 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} E(X)&= 1,04 \\[10pt] V(X) &= 1,7184 \\[10pt] \sigma(X) &\approx 1,31 \\[5pt] \end{array}$
Der betrachtete Bereich ist also $[1,04- 1,31\, ; \, 1,04 +1,31]$ $= [-0,27\, ; \, 2,35].$ Es liegen also die Werte $X=0,$ $X=1$ und $X=2$ innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert. Die Zufallswerte von $X$ liegen also mit folgender Wahrscheinlichkeit innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert:
$0,5 +0,2 +0,14 = 0,84$
4.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse berechnen
Betrachte die Zufallsgröße $Z,$ die die Anzahl der Treffer bei $10$ Elfmetern beschreibt. Diese kann aufgrund der festgelegten Wahrscheinlichkeit als binomialverteilt mit $n=10$ und $p=0,75$ angenommen werden.
$\begin{array}[t]{rll} P(E_5) &=& P(3< Z < 8)\\[5pt] &=& P(Z=4)+ P(Z=5) + P(Z=6) + P(Z=7) \\[5pt] &=& \binom{10}{4}\cdot 0,75^4 \cdot 0,25^6 + \binom{10}{5}\cdot 0,75^5\cdot 0,25^5 \\[5pt] && + \binom{10}{6}\cdot 0,75^6\cdot 0,25^4 + \binom{10}{7}\cdot 0,75^7 \cdot 0,25^3 \\[5pt] &\approx& 0,4709 \\[5pt] &=& 47,09\,\% \end{array}$
$ P(E_5)\approx 47,09\,\% $
Verwende für $E_6$ die Pfadregeln:
$\begin{array}[t]{rll} P(E_6) &=& 0,75^4 \cdot 0,25^6 + 0,25^6 \cdot 0,75^4 \\[5pt] &\approx& 0,0002 \\[5pt] &=& 0,02\,\% \end{array}$
$ P(E_6)\approx 0,02\,\% $
#binomialverteilung
5.1
$\blacktriangleright$  Testgröße und Nullhypothese angeben
Betrachtet wird die Testgröße $T,$ die in der Stichprobe der nächsten $200$ Entscheidungen die zufällige Anzahl der Fehler beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit $n=200$ und $p$ angenommen werden.
Die Gegenhypothese ist angegeben als $p> 0,125.$ Die Nullhypothese ist daher:
$H_0:\, p\leq 0,125$
$\blacktriangleright$  Größtmöglichen Ablehnungsbereich bestimmen
Der Ablehnungsbereich $\overline{A} = \{k;\, …\, 200\}$ muss nun so gewählt werden, dass gerade noch $P(T \in \overline{A}) \leq 0,05$ gilt, wenn man davon ausgeht, dass die Nullhypothese durch $p=0,125$ erfüllt ist. Es soll also gelten:
$\begin{array}[t]{rll} P(T \in \overline{A})&\leq& 0,05 \\[5pt] P(T \geq k )&\leq& 0,05 \\[5pt] 1-P(T \leq k-1 )&\leq& 0,05 &\quad \scriptsize\mid \; -1\\[5pt] -P(T \leq k-1 )&\leq& -0,95 \\[5pt] P(T \leq k-1 )&\geq& 0,95 \\[10pt] \end{array}$
$ P(T \leq k-1 )\geq 0,95 $
Suche nun in einer entsprechenden Binomialverteilungstabelle für $n=200$ in der Spalte für $p = 0,125$ den kleinsten Wert $k-1,$ sodass gerade noch $P(T\leq k-1) \geq 0,95$ gilt. Du erhältst folgende Werte:
  • $P(T\leq 32) \approx 0,9415 < 0,95$
  • $P(T\leq 33) \approx 0,9612 > 0,95$
  • $P(T\leq 32) \approx 0,9415 < 0,95$
  • $P(T\leq 33) \approx 0,9612 > 0,95$
Es ist also $k-1 = 33$ und damit $k = 34.$ Der größtmögliche Ablehnungsbereich der Nullhypothese ist auf dem $5\,\%$-Signifikanzniveau also $\{34;…;200\}.$
#binomialverteilung
5.2
$\blacktriangleright$  Fehler 2. Art erläutern
Der Fehler 2. Art wird begangen, wenn eigentlich die Gegenhypothese gilt, aber das Stichprobenergebnis für die Nullhypothese ausfällt.
Im vorliegenden Fall, kann dieser Fehler also begangen werden, wenn zwar eigentlich die Gegenhypothese gilt, wenn also der Anteil der Fehler mehr als $12,5\,\%$ beträgt, aber trotzdem weniger als $34$ Fehler in der Stichprobe gemacht werden. Dann würde man fälschlicherweise davon ausgehen, dass der Anteil der Fehler des Schiedrichters nicht höher ist als bei den anderen Schiedsrichtern.
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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