Logarithmen
Um eine Gleichung wie z.B. 
rechnerisch zu lösen, wird der sogenannte Logarithmus benötigt.
Man sagt: x ist der Logarithmus von b zur Basis a.
![\(\begin{array}[t]{rll}
3^x&=&27&\quad \scriptsize \mid\;\log \\[5pt]
x&=&\log_3(27)& \\[5pt]
x&=&3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/da0aec73ded057b3b47144e2b4205829da8d5ede51a87eafc71afc42f20fa12b_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
10^x&=&10\,000&\quad \scriptsize \mid\;\log \\[5pt]
x&=&\log(10\,000)& \\[5pt]
x&=& 4
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3dbd9f52255c0dfe8fed1e64471784d640d8c667980a53203004cd6043c45ed0_light.svg)
rechnerisch zu lösen, wird der sogenannte Logarithmus benötigt.
Definition
Der Logarithmus 
zur Basis 
ist die Hochzahl, mit der 
potenziert wird, um 
zu erhalten 
Für 
gilt 
Beachte: Für die Basis 
wird statt 
die Abkürzung 
verwendet.
zur Basis ist die Hochzahl, mit der potenziert wird, um zu erhalten
Für gilt
Beachte: Für die Basis wird statt die Abkürzung verwendet.
Beispiel
Frage zum Lösen: Mit welcher Zahl muss 
potenziert werden, um 
zu erhalten? Die Antwort ist 3, denn: 
potenziert werden, um zu erhalten? Die Antwort ist 3, denn:
Weiteres Beispiel
Frage zum Lösen: Mit welcher Zahl muss potenziert werden, um 
zu erhalten? Die Antwort ist 4, denn: 
potenziert werden, um zu erhalten? Die Antwort ist 4, denn:
1
Löse die Gleichung und runde auf zwei Dezimalstellen.
![\(4^x=\sqrt[4]{8\,000}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3b47d55dab54f8aab11990506b7e856ef81bbae3c928112b1fcfa3c639403618_light.svg)
![\(20^x=\sqrt[3]{1\,815\,848}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f10c596b131cef2d67354ffdf137354fea0479a44b6666dce9d18bc3b27b3215_light.svg)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
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1
a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
8^x&=& 93&\quad \scriptsize \mid\;\log \\[5pt]
x&=&\log_8(93) &\\[5pt]
x&\approx&2,18
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/5ca24612eef9460058ec9a592cf93fe55464afb10d602581d0043d5152444790_light.svg)
b)
![\(\begin{array}[t]{rll}
5^x&=& 2\,031&\quad \scriptsize \mid\;\log \\[5pt]
x&=&\log_5(2\,031) &\\[5pt]
x&\approx&4,73
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/5fe3df5f8b5bf41705fa3951567fd3f60eff0f64128876683fae0f56e9f02d3c_light.svg)
c)
![\(\begin{array}[t]{rll}
3+4^x&=&5\,682&\quad \scriptsize \mid\;-3 \\[5pt]
4^x&=&5\,679&\quad \scriptsize \mid\;\log \\[5pt]
x&=&\log_4(5\,679) &\\[5pt]
x&\approx&6,24
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3365c951f94207d25c0d82d6a3959fe103a1232a2abbe4c4328064722665078b_light.svg)
d)
![\(\begin{array}[t]{rll}
3\cdot 3^x&=& 750&\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt]
3^x&=&250&\quad \scriptsize \mid\;\log \\[5pt]
x&=&\log_3(250) &\\[5pt]
x&\approx&5,03
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/5707338c3cbe97475048dea3d263f6aaee0b805e1caa78b8084cfa824cf8a7d2_light.svg)
e)
![\(\begin{array}[t]{rll}
7^x&=&\dfrac{2}{5}&\quad \scriptsize \mid\;\log \\[5pt]
x&=&\log_7\left(\dfrac{2}{5}\right) &\\[5pt]
x&\approx&-0,47
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c9eea9758988fb2eb93ffc8bdb4a1b33e95f469ca177a763bece47379dedec7e_light.svg)
f)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{5}{23}\cdot 10^x&=&9\,220&\quad \scriptsize \mid\;:\dfrac{5}{23} \\[5pt]
10^x&=&42\,412&\quad \scriptsize \mid\;\log \\[5pt]
x&=&\log(42\,412) &\\[5pt]
x&\approx&4,63
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/24d9e734d352d568194d7232470bc127bfd0ec7b2cce96b172ba01ede56b0ddb_light.svg)
g)
![\(\begin{array}[t]{rll}
4^x&=&\sqrt[4]{8\,000}&\quad \scriptsize \mid\;\log \\[5pt]
x&=&\log_4\left(\sqrt[4]{8\,000}\right) &\\[5pt]
x&\approx& 1,62
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/cc8858f10a130af7de3fdfc0335e84d37a97e105e3147ea7fc4b609ad7c8f71c_light.svg)
h)
![\(\begin{array}[t]{rll}
20^x&=&\sqrt[3]{1\,815\,848}&\quad \scriptsize \mid\;\log \\[5pt]
x&=&\log_{20}(\sqrt[3]{1\,815\,848}) &\\[5pt]
x&\approx&1,60
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/fc227149ffb6de12864522936fa7782017bc8edae7e906236c8297e2eb2a0c91_light.svg)
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