Umkehrbarkeit von Funktionen
Wird bei einer Funktion 
die Zuordnungsrichtung umgekehrt, so entsteht die umgekehrte Zuordnung. Wenn die umgekehrte Zuordnung eine Funktion ist, so heißt die ursprüngliche Funktion umkehrbar.
Die Umkehrfunktion wird oft mit 
, 
oder 
bezeichnet.
Wenn die Umkehrfunktion von ist, so entsteht der Graph von durch Spiegelung des Graphen von an der ersten Winkelhalbierenden.
Ist eine Funktion steigend oder fallend, so ist sie umkehrbar.
Die Funktion mit 
ist für den Definitionsbereich 
umkehrbar. Die Umkehrfunktion hat den Funktionsterm 
die Zuordnungsrichtung umgekehrt, so entsteht die umgekehrte Zuordnung. Wenn die umgekehrte Zuordnung eine Funktion ist, so heißt die ursprüngliche Funktion umkehrbar.
Die Umkehrfunktion wird oft mit , oder bezeichnet.
Wenn die Umkehrfunktion von ist, so entsteht der Graph von durch Spiegelung des Graphen von an der ersten Winkelhalbierenden.
Ist eine Funktion steigend oder fallend, so ist sie umkehrbar.
Die Funktion mit ist für den Definitionsbereich umkehrbar. Die Umkehrfunktion hat den Funktionsterm
1
Die jeweilige Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion 
Entscheide, ob die Funktion umkehrbar ist und begründe.
Entscheide, ob die Funktion umkehrbar ist und begründe.
a)
b)
c)
d)
2
Ermittle den Funktionsterm der Umkehrfunktion.
a)
b)
c)
d)
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1
a)
Die Funktion ist für 
oder 
umkehrbar, nicht jedoch für beide Definitionsbereiche zusammen. Begründung: In dem jeweiligen Intervall fällt oder steigt der Graph der Funktion.
ist für oder umkehrbar, nicht jedoch für beide Definitionsbereiche zusammen. Begründung: In dem jeweiligen Intervall fällt oder steigt der Graph der Funktion.
b)
Die Funktion ist umkehrbar, da der Graph der Funktion kontinuierlich steigt.
ist umkehrbar, da der Graph der Funktion kontinuierlich steigt.
c)
Die Funktion ist umkehrbar, da der Graph der Funktion kontinuierlich steigt.
ist umkehrbar, da der Graph der Funktion kontinuierlich steigt.
d)
Die Funktion ist umkehrbar, da der Graph der Funktion kontinuierlich steigt.
ist umkehrbar, da der Graph der Funktion kontinuierlich steigt.
2
a)
und 
werden vertauscht und es wird anschließend nach aufgelöst:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x&=&2y+3 &\scriptsize \mid\;-3 \\[5pt]
x-3&=&2y &\scriptsize \mid\;:2 \\[5pt]
\dfrac{x-3}{2}&=&y
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8851bacc597ac71f59efd802bfae04c5218363e4b5c3c22e0ad8697b8bf9cfba_light.svg)
b)
und werden vertauscht und es wird anschließend nach aufgelöst:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x&=&y^3 &\scriptsize \mid\;\sqrt[3]{\,\,} \\[5pt]
\sqrt[3]{x}&=&y
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3a299360b45ee2fdc2f551d42623c3530db173d5df4266c9153b9bec322703ac_light.svg)
![\(g(x)=\sqrt[3]{x}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d470b8378f58ab8b34dab4a502c9cd14a9647d966be1da0f4e63d26f489b351c_light.svg)
c)
ist nur für umkehrbar.
Der Wertebereich besteht nur aus Werten 
Der Definitionsbereich von muss also lauten: 
und werden vertauscht und es wird anschließend nach aufgelöst:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x&=&y^2-1 &\scriptsize \mid +1\\[5pt]
x+1&=&y^2&\scriptsize \mid \sqrt{\,\,}\\[5pt]
\pm\sqrt{x+1}&=&y
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1418b32aeb48fd983e2d88a22a6431285cca4ad17110c77bd9facc3186f44b99_light.svg)
Da einem Wert von immer nur ein Funktionswert zugeordnet werden darf, kommt nur der positive Funktionsterm in Frage.
d)
wird zu 
wird zu 
![\(\begin{array}[t]{rll}
x&=&2\sqrt{y} &\scriptsize \mid :2\\[5pt]
\dfrac{1}{2}x&=&\sqrt{y}&\scriptsize \mid ()^2\\[5pt]
\dfrac{1}{4}x^2&=&y
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/267dda396634435bad71def53f1f4d388cb41ffec96cba6997a8080eb4aaf790_light.svg)
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