Kosinussatz
In einem beliebigen Dreieck gilt:
mit 
und 
Berechnet werden soll die Länge der Strecke 
des Dreiecks.
Beispiel
Gegeben ist das Dreieck mit und
Berechnet werden soll die Länge der Strecke des Dreiecks.
![\(\begin{array}[t]{rll}
a^2&=&b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha)\\[5pt]
&=&(8,4\,\text{cm})^2+(12,2\,\text{cm})^2-2\cdot 8,4\,\text{cm}\cdot 12,2\,\text{cm}\cdot \cos(40^\circ)\\[5pt]
a&\approx&7,9\,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/7690fd96a1e7edd128f25a9b5154b1c1c64575bcc4464b70fed5e50f4db3c36a_light.svg)
1
Berechne die übrigen Längen der Seiten und Größen der Winkel des Dreiecks 
a)
b)
c)
d)
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![\(\begin{array}[t]{rll}
c^2&=&a^2+b^2-2ab\cdot \cos(\gamma)\\[5pt]
&=&(4,8\,\text{cm})^2+(7,2\,\text{cm})^2-2\cdot 4,8\,\text{cm}\cdot 7,2\,\text{cm}\cdot \cos(42^\circ)\\[5pt]
c&\approx&4,85\,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8310e0aa9e503ecce7979aa706eb50571eed56b8b01fe7437739fae69a738f31_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
a^2&=&b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha)\\[5pt]
2bc\cdot \cos(\alpha)&=&b^2+c^2-a^2\\[5pt]
\cos(\alpha)&=&\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\[5pt]
&=&\dfrac{(7,2\,\text{cm})^2+(4,85\,\text{cm})^2-(4,8\,\text{cm})^2}{2\cdot 7,2\,\text{cm}\cdot 4,85\,\text{cm}}\\[5pt]
\alpha&\approx&41,5^\circ
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/7730defc1b42f4e7b1e81f2e86505b46a18d6e4e0fd3319671c34a5c1cff1467_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
a^2&=&b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha)\\[5pt]
&=&(5,2\,\text{cm})^2+(6,8\,\text{cm})^2-2\cdot 5,2\,\text{cm}\cdot 6,8\,\text{cm}\cdot \cos(56^\circ)\\[5pt]
a&\approx&5,81\,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c255fded9098ac49feb619eceddd0e231e29d5e3210a6a538584631b22c6ba55_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
b^2&=&a^2+c^2-2ac\cdot \cos(\beta)\\[5pt]
2ac\cdot \cos(\beta)&=&a^2+c^2-b^2\\[5pt]
\cos(\beta)&=&\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\[5pt]
&=&\dfrac{(5,81\,\text{cm})^2+(6,8\,\text{cm})^2-(5,2\,\text{cm})^2}{2\cdot 5,81\,\text{cm}\cdot 6,8\,\text{cm}}\\[5pt]
\beta&\approx&47,9^\circ
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/7989bca6c6b4a8f9344ac4d719abf9e4af1484391b09e448b24ddedf054b844d_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
b^2&=&a^2+c^2-2ac\cdot \cos(\beta)\\[5pt]
&=&(9,7\,\text{cm})^2+(14,2\,\text{cm})^2-2\cdot 9,7\,\text{cm}\cdot 14,2\,\text{cm}\cdot \cos(100^\circ)\\[5pt]
b&\approx&18,54\,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/dd8e24187cb21050616cd810db7a2ddc8862627b12c67e1715b76134dcae6ae3_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
a^2&=&b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha)\\[5pt]
2bc\cdot \cos(\alpha)&=&b^2+c^2-a^2\\[5pt]
\cos(\alpha)&=&\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\[5pt]
&=&\dfrac{(18,54\,\text{cm})^2+(14,2\,\text{cm})^2-(9,7\,\text{cm})^2}{2\cdot 18,54\,\text{cm}\cdot 14,2\,\text{cm}}\\[5pt]
\alpha&\approx&31^\circ
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/31857799e3c0b924e28e3e1f26eb3b534d440d3d2bba43cb43319858e2ae5ece_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
c^2&=&a^2+b^2-2ab\cdot \cos(\gamma)\\[5pt]
&=&(10,8\,\text{cm})^2+(8,1\,\text{cm})^2-2\cdot 10,8\,\text{cm}\cdot 8,1\,\text{cm}\cdot \cos(112^\circ)\\[5pt]
c&\approx&15,74\,\text{cm}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ba221371b983c4b5ecb0556393976ddc0541a4d0ce549bad2201a5e8390f9418_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
a^2&=&b^2+c^2-2bc\cdot \cos(\alpha)\\[5pt]
2bc\cdot \cos(\alpha)&=&b^2+c^2-a^2\\[5pt]
\cos(\alpha)&=&\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\[5pt]
&=&\dfrac{(8,1\,\text{cm})^2+(15,74\,\text{cm})^2-(10,8\,\text{cm})^2}{2\cdot 8,1\,\text{cm}\cdot 15,74\,\text{cm}}\\[5pt]
\alpha&\approx&39,5^\circ
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1fb137023d253e56f39a7f25c139ac8e2a2248b30c8376fc15c9da47c7c9e687_light.svg)
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