Exponentielles Wachstum
Definition
Wenn
mit einem Funktionsterm der Form 
beschrieben wird, so wächst der Bestand exponentiell.
Dabei gilt:
- Der Faktor
wird als Anfangswert bezeichnet. - Die Basis
wird als Wachstumsfaktor bezeichnet. - Für
gilt: Der Bestand nimmt zu. - Für
gilt: Der Bestand nimmt ab. - Falls die prozentuale Änderung
pro Zeitabschnitt gegeben ist, gilt: 
Beispiele
Exponentielles Wachstum
pro Monat. Zu Beginn sind nur zwei Seerosen im Teich.
Wie viele Seerosen hat der Teich nach 5 Monaten?
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(t)&=&c\cdot a^t \\[5pt]
f(5)&=&2\cdot 1,90^5 \\[5pt]
f(5)&\approx& 50
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9bf65672f7577e12055b5de8d6a8a7b53ee1f4740d0f79732c5b9fba1c159beb_light.svg)
Nach 5 Monaten hat der Teich 50 Seerosen.
Menschen. Pro Jahr sinkt die Einwohnerzahl um 
Wie viele Einwohner hat das Dorf nach 9 Jahren?
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(t)&=&c\cdot a^t \\[5pt]
f(9)&=&3\,271\cdot 0,92^9 \\[5pt]
f(9)&\approx& 1\,544
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/bf453c9448633357e4d65a4042292ab878d3c0f8935aded2999abb0c35404a43_light.svg)
Nach 9 Jahren hat das Dorf nur noch 
Einwohner.
1
Für ein Bio-Projekt gibt Leyla 100 Bakterien in eine Nährlösung. Die Bakterien vermehren sich nach einem Tag um 
David erhält eine andere Baktieren-Art als Leyla. Auch er hat nach drei Tagen genauso viele Bakterien in der Nährlösung wie Leyla. Allerdings vermehren sich seine Bakterien nach einem Tag um
a)
Wie viele Bakterien befinden sich in der Nährlösung nach 3 Tagen?
b)
Mit wie vielen Bakterien hat David sein Bio-Projekt gestartet?
2
Viele Forscher untersuchen das Schmelzen der Gletscher in verschiedenen Gebieten. Dabei fanden sie heraus, dass die Eisdicke der Gletscher jedes Jahr etwa 
schmilzt.
Ein Gletscher mit einer Eisdicke von 
wird untersucht.
Ein zweiter Gletscher befindet sich in einem anderen Gebiet und ist somit anderen Umweltbedingungen ausgesetzt. Das Eis schmilzt hier um schmilzt.
wird untersucht.
a)
Wie dick ist das Eis nach 2 Jahren?
jährlich.
Nach 2 Jahren beträgt die Eisdicke dieses Gletschers
.
b)
Wie dick war das Eis dieses Gletschers vor 2 Jahren?
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1
a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(t)&=&c\cdot a^t \\[5pt]
f(3)&=&100\cdot 1,50^3 \\[5pt]
f(3)&\approx&338 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/283faeaf46df8daed27fd10263b1c359872cba4046e010c0cc621a29ddbf38e9_light.svg)
Nach drei Tagen befinden sich 338 Bakterien in der Nährlösung.
b)
Um die Aufgabe zu lösen, wird die Gleichung nach 
umgestellt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(t)&=&c\cdot a^t &\quad \scriptsize \mid\;: a^t \\[5pt]
\dfrac{f(t)}{a^t}&=&c &\\[5pt]
c&=&\dfrac{f(t)}{a^t} &\\[5pt]
c&=&\dfrac{338 }{1,34^3} &\\[5pt]
c&\approx& 140
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a835e725ca360a3f03d275bb1f61b58562f22568d47af7641efb53f2c225e836_light.svg)
David hatte am Anfang des Bio-Projekts 140 Bakterien.
umgestellt:
David hatte am Anfang des Bio-Projekts 140 Bakterien.
2
a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(t)&=& c\cdot a^t \\[5pt]
f(t)&=& 2\,125\cdot 0,999\,57^2 \\[5pt]
f(t)&\approx& 2123 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/52315eb6ff219e1c62c2d70b1e1ca2c60bda689fcb333ae75086334c778b2720_light.svg)
Nach 2 Jahren hat der Gletscher nur noch eine Eisdicke von 2123 m.
b)
Um die Aufgabe zu lösen, wird die Gleichung nach umgestellt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(t)&=&c\cdot a^t &\quad \scriptsize \mid\;: a^t \\[5pt]
\dfrac{f(t)}{a^t}&=&c &\\[5pt]
c&=&\dfrac{f(t)}{a^t} &\\[5pt]
c&=&\dfrac{1\,026}{0,999\,65^2} &\\[5pt]
c&\approx&1\,027
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9c9ff56fadeaf567262c99ca04badffab93ba7c89e42640a46ddd84e5a3ae5cf_light.svg)
Der Gletscher hatte vor 2 Jahren eine Eisdicke von 1027 m.
umgestellt:
Der Gletscher hatte vor 2 Jahren eine Eisdicke von 1027 m.